高考数学备考：四种命题及其关系
高考数学专题知识突破：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。
2021届高考数学总复习：命题及其关系、充分条件与必要条件
2021届高考数学总复习：命题及其关系、充分条件与必要条件一、知识点1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
2．充分条件、必要条件与充要条件的概念1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论。
2．区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/B)两者的不同。
3．A是B的充分不必要条件⇔非B是非A的充分不必要条件。
4．充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件。
(3)若A＝B，则p是q的充要条件。
一、走进教材1．(选修2－1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．“若x<y，则x2<y2”B．“若x>y，则x2>y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”。
故选C。
答案 C2．(选修2－1P 10练习T 3(2)改编)“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2。
故选B 。
答案 B二、走近高考3．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，所以0<x 3<1；由x 3<1，得x <1，不能推出0<x <1。
高三高考数学复习课件1-2命题及其关系充分条件与必要条件
跟踪训练1 (1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶 数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
(2)设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于 1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
【答案】 A
题型一 命题及其关系 【例1】 (1)命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题 是( ) A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1<x<1，则x2<1 C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
(2)(2018·石家庄模拟)命题“若一个数是负数，则它的 平方是正数”的逆命题是( )
1－m≤1＋m， 则1－m≥－2， ∴0≤m≤3.
1＋m≤10，
∴当 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件，即所求 m 的取
值范围是[0，3]．
【思维升华】 充分条件、必要条件的应用，一般表现 在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的 关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或 不等式组)求解．
p是q的_充__分__不__必__要___条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的__必__要__不__充__分___条件
p q且q⇒p
p是q的_充__要__条件
p⇔q
p是q的_既__不__充__分__也__不__必__要___条件 p q且q p
【知识拓展】 从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝ {x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以 叙述为
高考数学复习考点知识与题型专题讲解2---命题及其关系、充分条件与必要条件
高考数学复习考点知识与题型专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B．若x2＋y2>2，则x2≤1或y2≤1C．若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1D．若x2＋y2>2，则x2≤1且y2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x2＋y2>2，则x2>1或y2>1”的否命题是“若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1”．思维升华判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是() A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数答案D解析命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数”．(2)命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否命题为真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二 充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)， 由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1<0，q>1时，a n＝a1q n－1<0，此时数列{S n}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n}单调递增时，有S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n>0，若a1>0，则q n>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则q n<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a ·b ＝0，则(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2，所以“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的充分条件；反之，由(a ＋b )2＝a 2＋b 2得a ·b ＝0，所以非零向量a ，b 垂直，“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的必要条件．故“a ⊥b ”是“(a ＋b )2＝a 2＋b 2”的充要条件．题型三 充分、必要条件的应用例3已知集合A ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求m 的取值范围．解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴A ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈A 是x ∈B 的必要条件，知B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，故m 的取值范围是[9，＋∞)． 教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华 求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是()A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x ≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2 答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x ＋2＝4x ＋2，即x ＝0时等号成立，因为x >0，所以x ＋4x ＋2>2， 所以“∀x >0，a ≤x ＋4x ＋2”的充要条件是a ≤2. 7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题是真命题，则m 的取值范围是()A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2， 即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1.9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0， 解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x <－1(答案不唯一)解析由于4x ＝22x ，故2x >22x 等价于x >2x ，解得x <0，使得“2x >4x ”成立的一个充分条件只需为集合{x |x <0}的子集即可．11．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)有公共点的充要条件是________．答案a ∈[1，＋∞)解析直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a·b>0”为真命题；④直线l与平面α内的两条直线垂直是直线l与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B ．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D ．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤－2－a <2<a ，a >0，无解， 综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案m ≥5解析依题意有x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x ，设f (x )＝x ＋4x (1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133，因此函数f (x )＝x ＋4x (1<x <3)的值域为[4,5)，∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。
【高中数学,四种命题及其关系】 高中数学命题及关系知识点
【高中数学,四种命题及其关系】高中数学
命题及关系知识点
四种命题及其关系高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真、假、真B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假
【参考答案】B
【解题必备】四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：
（1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．即命题表述形式原命题若p，则q 逆命题若q，则p 否命题若，则逆否命题若，则（2）①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；
而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.
即 1．设有下面四个命题：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则. 其中的真命题为 A． B． C． D． 2．设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是 A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则 C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则 1．【答案】B
【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.学-科网 2．
【答案】D
【解析】原命题的逆否命题是：若方程没有实根，则，故选D.。
高考数学总结归纳点拨 四种命题要点回顾
四种命题要点回顾四种命题及其关系虽是高考命题的内容之一，但一般不单独命题，主要以选择题和填空题的形式出现，往往和其它知识结合起来进行考查。
1．四种命题：把命题“若p则q”作为原命题，对它的条件p和结论q作“换位”和“换质（否定）”，又可以得到三种不同形式的命题。
关于逆命题，否命题与逆否命题，也可以如下表述：（1）p、q“换位”：交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；（2）p、q“换质”：同时否定命题的条件和结论，所得的命题是否命题；（3）p、q“换位”且“换质”：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。
2．四种命题之间的关系：互逆命题，互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题，否命题与逆否命题。
四种命题之间的关系如图所示：3．四种命题的真假性之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题互为逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
例1 判断命题“若0m >，则20x x m +-=有实数根”的逆否命题的真假。
分析；可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题的等价关系使问题获解。
解法1：∵0m >，∴40m >，∴410m +>。
∴方程20x x m +-=的判别式410m ∆=+>，∴20x x m +-=有实数根，∴原命题“若0m >，则20x x m +-=有实数根”为真。
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若0m >，则20x x m +-=有实数根”的逆否命题也为真。
评注：本解法是直接进行逻辑推理判断的。
解法2：原命题“若0m >，则20x x m +-=有实数根”的逆否命题为“若20x x m +-=无实数根，则0m ≤”。
∵20x x m +-=无实数根，∴410m ∆=+<，∴104m <-≤， ∴“若20x x m +-=无实数根，则0m ≤”为真。
高考高中数学四种命题的相互关系
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互四种命题的相互关系教学目标：1.熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命题真假性之间的内在联系进行推理论证2.培养学生简单推理的思维能力.教学重点：四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系教学难点：利用真假性之间的内在联系进行推理论证．授课类型：新授课教具准备：多媒体课件．教学过程：一．复习引入：1.二．新课教授1.四种命题间的相互关系以下四个命题中，〔1〕假设f (x) 是正弦函数，那么f (x) 是周期函数；〔2〕假设f (x) 是周期函数，那么f (x) 是正弦函数；〔3〕假设f (x) 不是正弦函数，那么f (x) 不是周期函数；〔4〕假设f (x) 不是周期函数，那么f (x) 不是正弦函数；命题〔1〕与命题〔2〕〔3〕〔4〕之间的关系我们已经了解，那么任意两个命题间的关系是： 〔老师引导—学生答复〕归纳：原命题、逆命题、否命题 和逆否命题之间的关系：2.四种命题真假性之间的关系〔1〕讨论：①例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系： 〔学生答复〕：原命题〔1〕为真其逆命题〔2〕为假其否命题〔3〕为假其逆否命题〔4〕为真发现有以下规律：②〔探究中〕以“假设x2－3x ＋2＝0，那么x ＝2”为原命题，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。
〔学生答复〕：原命题为：假设x2－3x ＋2＝0，那么x ＝2，为假其逆命题为：假设x ＝2，那么x2－3x ＋2＝0，为真其否命题为：假设x2－3x ＋2≠0，那么x ≠2，为真其逆否命题为：假设x ≠2，那么x2－3x ＋2≠0，为假发现有另外的规律，③再举其它例子：写出“同位角相等，两直线平行〞的逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。
〔学生答复〕： 原命题为：同位角相等，两直线平行，为真其逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真其否命题为：同位角不相等，两直线不平行，为真其逆否命题为：两直线不平行，同位角不相等，为真发现还存在以下规律：④把以上命题改成：同位角不相等，两直线平行，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。
高考数学总复习命题及其关系充分条件与必要条件PPT课件
[自主解答] (1)“存在集合 C 使得 A ⊆C，B ⊆∁UC”⇔ “A ∩B＝∅”．故 C 正确．
(2)当数列{an}的首项 a1＜0 时，若 q＞1，则数列{an}是递减 数列；当数列{an}的首项 a1＜0 时，要使数列{an}为递增数列，则 0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也 不必要条件．故选 D.
提示：两者说法不相同．“p 的一个充分不必要条件是 q” 等价于“q 是 p 的充分不必要条件”，显然这与“p 是 q 的充 分不必要条件”是截然不同的．
1．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 B ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1， 0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不 充分条件．
[答案] (1)C (2)D (3)①④
充要条件问题的常见类型及解题策略 (1)判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三 步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论， 从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系． (2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题 目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验 证得到的必要条件是否满足充分性． (3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充 分必要性，判断是否成立即可．
B．若 x≤1，则 x＞0
C．若 x≤1，则 x≤0
D．若 x＜1，则 x＜0
高二数学四种命题的相互关系
反馈练习
用反证法证明,若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. x=a 或_________, x=b 证明 假设_________
(x-a)(x-b)=0 x=a 由于____________ 时,_________________,
与 (x-a)(x-b)≠_______, (x-a)(x-b)=0 又_________
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
所以假设不成立,
从而______________________. x ≠a且 x ≠b
例 1
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） （真） （真）
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
高二数学四种命题的关系PPT优秀课件
3.若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾, ∴a能被2整除.
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假
反设
设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理
归谬
论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确，
结论
从而肯定命题的结论正确。
加强训练
1.已知函数f(x)是（-∞，+ ∞ ）上的增函数， a,b∈R,若f(a)+f(b) ≥f(-a)+f(-b)， 求证：a+b ≥0.
四种命题中的真假性有什么规律?
原命题 凡质数都是奇数 假
逆命题 凡奇数都是质数 假
否命题 不是质数就不是奇数 假
逆否命题 不是奇数就不是质数 假
几条结论:
原命题 真 真 假 假
逆命题 真 假 真 假
否命题 逆否命题
真
真
假
真
真
假
假
假
1、真假个数一定是偶数，即0个，2个，4个。 2、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。 3、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
互
互逆
否 否命题
若p则 q 互 逆
逆命题 若q 则p
互
否 逆否命题
高三数学复习(理)：第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件[学生用书P5]1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)命题的条件与结论不明确；(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；(3)对充分必要条件判断错误．1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠02．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤03．已知p：a<0，q：a2>a，则﹁p是﹁q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：﹁p：a≥0；﹁q：a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分条件．答案：必要不充分[学生用书P5]四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D.命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．2．有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：选D.①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B ＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．3．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．4 解析：选 C.因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题也为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．(2)判断命题真假的2种方法①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2020·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.(2)当x－2＝2－x时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝1，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q 的充要条件，故选C.【答案】(1)A(2)C判断充要条件的3种常用方法(1)定义法：直接判断若p，则q、若q，则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A 的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒]判断充要条件时需注意3点(1)要分清条件与结论分别是什么．(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．1．(2021·南充市第一次适应性考试)“A＝60°”是“cos A＝12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.A＝60°⇒cos A＝12，cos A＝12⇒A＝±60°＋k·360°，k∈Z，所以“A＝60°”是“cos A＝12”的充分不必要条件．2．(2021·广东省七校联考)已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由题意可得p：x＜y，q：0＜x＜y，故p是q的必要不充分条件，选B.3．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件解析：选D.由“非有志者不能至也”，可得能够到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必须有志，而有志者未必到达“奇伟、瑰怪，非常之观”，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要不充分条件．充分条件、必要条件的探求及应用(典例迁移)(1)设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A ．－1<x ≤1B ．x ≤1C ．x >－1D ．－1<x <1(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则m 的取值范围为________．【解析】 (1)因为集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，又因为“x ∈A 且x ∉B ”，所以－1<x <1；又当－1<x <1时，满足x ∈A 且x ∉B ，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是“－1<x <1”．故选D.(2)由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．【答案】 (1)D (2)[0，3]【迁移探究】 (变问法)本例(2)条件不变，若“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，所以P ⇒S 且S ⇒P .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．1．(2021·东北三校第一次联考)下列说法中正确的是( )A ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则b ≥cB ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则b ≤cC ．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充要条件，则b ＞cD ．若“a ＜b ”是“a ＞c ”的必要条件，则b ＜c解析：选A.令A ＝{a |a ＞b }，B ＝{a |a ＞c }，C ＝{a |a ＜b }．若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充分条件，则有A ⊆B ，则b ≥c ，故选项A 正确，选项B 错误；若“a ＞b ”是“a ＞c ”的充要条件，则有A ＝B ，则b ＝c ，故选项C 错误；若“a ＜b ”是“a ＞c ”的必要条件，则有B ⊆C ，这是不可能的，故选项D 错误．故选A.2．命题“∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10解析：选C.命题∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0⇔∀x ∈[1，3]，x 2≤a ⇔9≤a .则“a ≥10”是“命题∀x ∈[1，3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.3．若“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，则a 的最小值为________．解析：由x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.因为“x 2－x －6>0”是“x >a ”的必要不充分条件，所以{x |x >a }是{x |x <－2或x >3}的真子集，即a ≥3，故a 的最小值为3. 答案： 3[学生用书P7]思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为______．【解析】 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，所以0<m ≤3.【答案】 (0，3]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.方法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．方法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．2．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．故选B.[学生用书P357(单独成册)][A级基础练]1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B.命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是()A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为0.逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0，故选C.3．下列命题：①“若a≤b，则a＜b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；④“若2x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．②④B．①②③C．②③④D．①③④解析：选B.对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；对于④，“若2x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.4．(2021·西安五校联考)“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由ln(x＋1)＜0得0＜x＋1＜1，－1＜x＜0，由x2＋2x＜0得－2＜x＜0，所以“ln(x＋1)＜0”是“x2＋2x＜0”的充分不必要条件，故选A.5．(2021·开封市第一次模拟考试)若a，b是非零向量，则“a·b＞0”是“a 与b的夹角为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.因为a，b为非零向量，a·b＞0，所以由向量数量积的定义知，a 与b的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a·b＞0成立．故“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.6．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是()A．a＋b＞0 B．a－b＞0C．ab＞1 D.ab＞1解析：选A.因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，ab＞1，故选A.7．已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得，直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以－1m2＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．故选A.8．(2021·六校联盟第二次联考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤8”是“ab≤16”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a＞0，b＞0，8≥a＋b≥2ab，故4≥ab，ab≤16，所以a＋b≤8可以推出ab≤16.若a＝2，b＝8，则a＋b＝2＋8＝10，所以ab≤16推不出a＋b≤8.9．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0⇒/x ＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2⇒(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分10．条件p：x>a，条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；(2)若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是________．解析：设A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x ≥2}，(1)因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，所以a ≥2.(2)因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以a <2.答案：(1)a ≥2 (2)a <211．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]12．给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②在△ABC 中，“sin B >sin C ”是“B >C ”的充要条件是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．以上说法中正确的是________．(填序号)解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④[B级综合练]13．若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是()A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2 D．a＞1且b＞1解析：选B.因为a＋b＞ab，所以(a－1)(b－1)＜1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B.14．已知条件p：x2＋2x－3＞0；条件q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.答案：[1，＋∞)[C级提升练]15．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.16．能说明“若f(x)＞f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)。
2022高考数学一轮复习-命题及其关系、充分条件与必要条件
2022高考数学一轮复习-命题及其关系、充分条件与必要条件【2020年高考会如此考】1．考查四种命题的意义及相互关系．2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的明白得．3．考查题型要紧以选择题、填空题形式显现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的明白得及判定．基础梳理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，能够判定真假的陈述句叫做命题．其中判定为确实语句叫真命题，判定为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)假如p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)假如p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：直截了当判定“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，关于条件或结论是否定式的命题，一样运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．双基自测1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．解析①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．答案②③2．(2020·深圳)已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有|a|2＝1，a＝±2.因此，p是q的充分不必要条件．答案A3．(2011·山东)关于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案 B4．(2020·湖南) 命题“若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 （ ）A ．若α≠4π,则tanα≠1B ．若α=4π,则tanα≠1 C ．若tanα≠1,则α≠4πD ．若tanα≠1,则α=4π 解析 因为“若p ,则q ”的逆否命题为“若p ⌝,则q ⌝”,因此 “若α=4π,则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠4π”.答案 C5．命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为 . 答案 若a ≤b ，则有2a ≤2b －1考向一 命题正误的判定【例1】►(2011·海南三亚)设集合A 、B ，有下列四个命题：①A ⊄B ⇔对任意x ∈A 都有x ∉B ；②A ⊄B ⇔A ∩B ＝∅；③A ⊄B ⇔B ⊄A ；④A ⊄B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．[审题视点] 关于假命题，举出恰当的反例是一难点．解析 ①不正确，如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，有A ⊄B 但2∈A 且2∈B . ②不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，有A ⊄B 而A ∩B ＝{2}．③不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2}，有A ⊄B 但B ⊆A .④正确．答案 ④正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最差不多的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．【训练1】给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R，且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中不正确命题的序号是()．A．①②③B．①②C．②③D．①③解析关于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；关于②，可举反例：如a、b异号，尽管ab＜1，但ba＜0，故②错；关于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，明显为偶函数，故选B.答案 B考向二四种命题的真假判定【例2】►已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[审题视点] 分清命题的条件和结论，明白得四种命题间的关系是解题关键．解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D判定四种形式的命题真假的差不多方法是先判定原命题的真假，再判定逆命题的真假，然后依照等价关系确定否命题和逆否命题的真假．假如原命题的真假不行判定，那就第一判定其逆否命题的真假．【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，假如f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝x2e x，g(x)＝e x都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．答案 C考向三充要条件的判定【例3】►指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)关于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判定所给命题间的关系．解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，因此只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，明显綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，依照原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)明显x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，因此p是q的必要不充分条件．(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，因此p⇒q但q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．判定p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.关于带有否定性的命题或比较难判定的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判定它的等价命题．【训练3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．答案：C难点突破2——高考中充要条件的求解从近几年课改区高考试题能够看出，高考要紧以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一样难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式要紧有两种：一是判定指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．判定充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题尽管属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．一、充要条件与不等式的解题策略【示例】►(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、充要条件与方程结合的解题策略【示例】►(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.三、充要条件与数列结合的解题策略【示例】►(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件四、充要条件与向量结合的解题策略【示例】►(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件五、充要条件与三角函数结合的解题策略【示例】►(2010·上海)“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件。
高二数学四种命题的相互关系
我们发现，命题（ 2 ）（ 3 ）是互 为逆否命题，命题（ 2 ）（ 4 ）是互否 命题，命题（3）（4）是互逆命题。
一般地，原命题、逆命题、否命 题与逆否命题这四种命题之间的相互关 系如下图所示：
若p，则q
若q，则p
互 逆
原命题
互 否
逆命题
互 否
否命题
若¬p,则¬q
互
逆
逆否命题
思考：
下列四个命题： （1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数， 则f(x)不是正弦函数；
我们已经知道命题（1）与命题（2）（3）
（4）之间的关系。你能说出其中任意两个命题
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假 性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接 地证明原命题为真命题.
例4 证明:若p2+q2=2,则p+q 2
分析:
将若“p2+q2=2,则p+q 2”视为原命 题.要证明原命题为真,可以考虑证明它的 逆否命题“若p+q>2,则p2+q2 2”为真命 题,从而达到证明原命题为真命题的目的.
P9
证明:若a2-b2+2a-4b 0,则a-b 1 逆否命题为:若a-b=1,则a2-b2+2a-4b-3=0 2-b2+2a-4b-3 a 证明: =(a+1)2-(b+2)2-3-1+4 因为a-b=1 所以a=1+b a2-b2+2a-4b-3 =(1+b+1)2-(b+2)2 =(b+2)2-(b+2)2=0 这表明,原命题的逆否命题为真命 题,从而原命题也为真命题.
2020高考数学备考：四种命题及其关系
2020高考数学备考：四种命题及其关系1、命题的概念一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,能够判断真假的陈述句叫做命题.2、命题的形式命题的基本形式为“若p,则q”.其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.创设情境思考下列四个命题中,命题(1)与命题(2) (3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.思考一：命题(1)和命题(2)的条件和结论有什么内在联系?(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
也就是说，把一个命题的条件和结论互换位置就是它的逆命题.思考二：命题(1)和命题(3)的条件和结论有什么内在联系?(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;互否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，把一个命题的条件和结论同时否定就是它的否命题.思考三：命题(1)和命题(4)的条件和结论有什么内在联系?(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.互为逆否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。
专题05 四种命题及其相互关系的智能转化-高考数学80个热点难点吃透大全
洪老师的高考必备资料库考纲要求:1、 了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系；2、 给出四种命题中的一种，能够写出其他的三种.基础知识回顾: 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题 ，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 （1）四种命题原命题：若 p 则 q ；原命题的逆命题：若 q 则 p ；原命题的否命题：若 p 则 q ；原命题的逆否命题：若 q 则 p 。
【注】命题的否定：若 p 则 q 。
（命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论。
）（2）四种命题间的关系（3）四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.应用举例:类型一、四种命题之间的关系【例1】【2017河北冀州中学高三摸底考试】命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是( )A．若a2>b2，则a≤bB．若a2≤b2，则a≤b1洪老师的高考必备资料库C．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2【答案】B【解析】根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若 p，则 q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故 p为a2≤b2， q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.【例2】【2017江苏省泰州中学高三摸底】命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题【答案】C【解析】根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．类型二、命题的真假判断 【例3】【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试】对于下列说法正确的是( )A.若 f x 是奇函数，则 f x 是单调函数B.命题“若 x2 x 2 0 ，则 x 1 ”的逆否命题是“若 x 1，则 x2 x 2 0 ” C.命题 p : x R, 2x 1024 ，则 p : x0 R ， 2x0 1024D.命题“ x , 0, 2x x2 ”是真命题【答案】D【例4】【天津市红桥区2017届高三二模】已知下列命题：①函数 f x 2 x2 1 有最小值 2；2 x2 ②“ x2 4x 5 0 ”的一个必要不充分条件是“ x 5 ”；③命题 p ： x R ， tanx 1；命题 q ： x R ， x2 x 1 0 .则命题“ p q ”是假命题； ④函数 f x x3 3x2 1 在点 2, f 2 处的切线方程为 y 3 .2洪老师的高考必备资料库其中正确命题的序号是__________． 【答案】③④ 【解析】 f x 2 x2 1 ，设 t x2 2 t 2 ， f t t 1 在 2, 上为增函数，2 x2tf x 的最小值为 3 2 ，①错误；② x 5 x2 4x 5 0 ，“ x2 4x 5 0 ”的一个必要不充分条2 件是“ x 5 ”，错误；③命题 p ： x R ， tanx 1，为真命题；命题 q ： x R ， x2 x 1 0 ， 为真命题；则命题“ p q ”是假命题，正确；④函数 f x x3 3x2 1 在点 2, f 2 处的切线方程为 y 3 ，正确；正确命题的序号为③④.【点睛】对每个命题进行判断，研究函数的最值首先要考虑函数的定义域；判断充要条件要搞清谁是条件，谁是结论；判断复合命题的真假首先要判断两个简单命题的真假；利用导数求切线方程要明确导数的几何意义. 类型三、命题的否定与否命题 【例5】【2017河北邯郸市成安一中高三入学考试】“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角 ”的否命题为______________________________．该命题的否定为______________________________． 【答案】在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角 【解析】原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论 ． 即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．命题的否定是否定命题的结论，即“在△ ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角”。
高中数学常用逻辑术语命题及其关系四种命题四种命题间的相互关系
1．1.3 四种命题间的相互关系
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1．四种命题的定义
名称
定义
□01 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个
互逆 命题的结论和条件，那么这样的两个命题
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解 原命题：已知 a 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集非空，则 a≥74，是真命题．
逆命题：已知 a 为实数，若 a≥74，则关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2 ＋2≤0 的解集非空，是真命题．
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【跟踪训练 3】 已知函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R， 对命题“若 a＋b≥0，则 f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”，写出其逆否命题，判 断其真假，并证明你的结论．
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叫做互逆
命题 命题．其中，一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的
□02 逆命题
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定义
□03 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命
互否 题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题
高一数学四种命题的关系
1.7.2四种命题的关系及真假判断
例2 、设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”写出它的逆命题、否命
题及逆否命题，并判断它们的真假.
分析：本题中c>0是大前提，写其他命题的时候必须保留，而原命题的条件p 是a>b，结论是ac>bc.
1.7.2四种命题的关系及真假判断
学习目标： 1、理解四种命题之间的相互关系； 2、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； 3、能根据原命题的真假判断其他三个命题的真假。 4、互为逆否命题的等价性。
1.7.2四种命题的关系及真假判断
一、复习回顾：
1、原命题：若p则q. 2、逆命题：若q则p. 3、互否命题 ：若非p则非q 或 若﹃p ，则﹃q 4、逆否命题：若非q则非p 或 若﹃q，则﹃p
的真假，要严格证明，判断它的四种命题为假，只需举一个反例说明．另
须指出的是：
原命题 逆否命题
逆命题 否命题
因而四种命题真假的个数一定为偶数，即0个或2个或4个．
1.7.2四种命题的关系及真假判断
课堂小结： 1、理解四种命题之间的相互关系； 2、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； 3、能根据原命题的真假判断其他三个命题的真假。 4、互为逆否命题的等价性。
网般的眼睛，和白象牙色花生一样的耳朵，一张灰蓝色药锅一样的嘴唇，怪叫时露出紫罗兰色死鬼一样的牙齿，变态的葱绿色海带模样的舌头很是恐怖，绿宝石色弯 弓似的下巴非常离奇。这巨仙有着美如银剑一样的肩胛和如同玉葱一般的翅膀，这巨仙威猛的浓绿色黄瓜模样的胸脯闪着冷光，活像萝卜一般的屁股更让人猜想。这 巨仙有着犹如怪藤一样的腿和紫玫瑰色漏勺一样的爪子……硕长的海蓝色野猪模样的七条尾巴极为怪异，白杏仁色马心一样的猪肘树皮肚子有种野蛮的霸气。浓绿色 画笔一般的脚趾甲更为绝奇。这个巨仙喘息时有种紫葡萄色笔帽模样的气味，乱叫时会发出青兰花色螃蟹般的声音。这个巨仙头上天蓝色土豆一般的犄角真的十分罕 见，脖子上很像板尺一般的铃铛丰盈的脑袋的确绝对的绝妙又威猛！月光妹妹笑道：“就这点本事也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是女孩！什么是 雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的纸花硬脖鬼！ 这个巨大的纸花 硬脖鬼，身长四百多米，体重二百多万吨。最奇的是这个怪物长着十 分荒凉的硬脖！这巨鬼有着深白色兔子般的身躯和亮白色细小竹竿形态的皮毛，头上是深灰色路灯似的鬃毛，长着深橙色怪石般的扫帚浪雾额头，前半身是纯白色钢 条般的怪鳞，后半身是镶着银宝石的羽毛。这巨鬼长着深黑色怪石般的脑袋和金红色玉米般的脖子，有着墨黑色路灯一般的脸和亮黑色鲇鱼般的眉毛，配着淡红色树 根似的鼻子。有着浅灰色拖网一般的眼睛，和橙白色船帮般的耳朵，一张浅灰色死鬼般的嘴唇，怪叫时露出鲜红色狼精般的牙齿，变态的纯白色毛刷形态的舌头很是 恐怖，亮白色卧蚕样的下巴非常离奇。这巨鬼有着犹如布条般的肩胛和仿佛叉子似的翅膀，这巨鬼花哨的暗白色海星形态的胸脯闪着冷光，美如海豹似的屁股更让人 猜想。这巨鬼有着特像柳叶般的腿和水红色槟榔般的爪子……普通的深灰色古树形态的四条尾巴极为怪异，暗橙色烟囱般的粉丝雪影肚子有种野蛮的霸气。暗白色柴 刀似的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息时有种淡红色钳子形态的气味，乱叫时会发出暗黑色葫芦一般的声音。这个巨鬼头上暗绿色马心似的犄角真的十分罕见，脖子 上活像香肠似的铃铛深绿色南瓜模样的脑袋的确绝对的标准又傲慢。这时那伙校精组成的巨大奖章铜翅仙忽然怪吼一声！只见奖章铜翅仙颤动灰蓝色蛛网般的眼睛， 整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的银橙色种子一样裂开……七条淡橙色面条模样的变态巨根急速从里面伸出然后很快钻 进泥土中……接着，一棵浅灰色弹丸模样的恐怖巨大
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2019年高考数学备考：四种命题及其关系
1、命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式
子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.
2、命题的形式
命题的基本形式为“若p,则q”.
其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
创设情境
思考下列四个命题中,命题(1)与命题(2) (3)
(4)的条件和结论之间分别有什么关系?
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;
(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;
(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;
(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.
思考一:命题(1)和命题(2)的条件和结论有什么内在联系?
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;
(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;
互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
也就是说，把一个命题的条件和结论互换位置就是它的逆命题.
思考二:命题(1)和命题(3)的条件和结论有什么内在联系?
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;
(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;
互否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，把一个命题的条件和结论同时否定就是它的否命题.
思考三:命题(1)和命题(4)的条件和结论有什么内在联系?
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;
(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
互为逆否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫
做原命题的逆否命题。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
也就是说，把一个命题的条件和结论同时否定，并互换位置就是它的逆否命题.。