北京四中高一数学上学期期末试题
北京古城第四中学高一数学理上学期期末试卷含解析
北京古城第四中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 不论，为何实数，的值A．总是正数 B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数参考答案：A2. 已知数列满足，且，则=（）A. B. C. D.参考答案：A略3. 已知，，，若，则x＝（）A. －9B. 9C. －11D. 11参考答案：B【分析】利用题中所给的条件，求得然后利用，根据向量数量积公式求得x所满足的等量关系式，求得结果.【详解】因为，所以，因为，所以，即，解得，故选B.【点睛】该题考查的是有关向量垂直的条件，涉及到的知识点有向量的加法运算法则，向量垂直的条件，向量数量积的坐标公式，正确使用公式是解题的关键. 4. 定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f （x）=2x+，则f（log220）=（）A．﹣1 B．C．﹣D．1参考答案：A【考点】抽象函数及其应用．【分析】由于f（﹣x）=﹣f（x）推出函数是奇函数，f（x﹣2）=f（x+2），得到函数f（x）为周期为4的函数，求出log220的范围，再由已知表达式，和对数恒等式，即可得到答案．【解答】解：由于定义在R上的函数f（x），满足f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数，f（x﹣2）=f（x+2），所以函数f（x）为周期为4的函数，log220∈（4，5），x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220）===﹣1，故选：A．5. 已知向量a=(l，n)，b=(-l，n)，若2a-b与b垂直，则等于 ( )A.1 B． C．2 D．4参考答案：C6. 利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：那么方程的一个根位于下列哪个区间内（）A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8) C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)参考答案：C7. 设集合≤x≤0},B={x|-1≤x≤3},则A∩B=（）A．［-1,0］ B．［-3,3］ C．［0,3］ D．［-3,-1］参考答案：A略8. 函数与的图像如图，则函数的图像可能是（）．A．B．C．D．参考答案：A解：由的图像可知：在时，函数值为负，时，函数值为正，结合的图像可知：时，函数值先为正数，后为，再为负数，时，函数值先为负数，后为，再为正数，时，先为负数，后为，再为正数，且的图像不过原点．故选．9. 若函数为偶函数，则（）A．－2 B．－1 C．1 D．2参考答案：C10. （5分）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A．πB．2πC．4πD．8π参考答案：B考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设出圆柱的高，通过侧面积，求出圆柱的高与底面直径，然后求出圆柱的体积．解答：解：设圆柱的高为：h，轴截面为正方形的圆柱的底面直径为：h，因为圆柱的侧面积是4π，所以h2π=4π，∴h=2，所以圆柱的底面半径为：1，圆柱的体积：π×12×2=2π．故选B．点评：本题考查圆柱的侧面积与体积的计算，考查计算能力，基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数，则满足方程的实数的值为．参考答案：或∵函数，当或，时;当即时, 由得，解得；当即时,由得,解得 （舍去）；综上：或. 12. 已知定点,,以为直径的端点作圆，与轴有交点，则交点的 坐标_________.参考答案：(1,0),(2,0)13. 已知函数，则.参考答案：-114. 已知实数x 、y 满足，则目标函数的最小值是 .．参考答案： - 915. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是___________．参考答案：略16. 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。
人教A版数学必修四第一学期期末测试高一年级
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）北京四中2009～2010学年度第一学期期末测试高一年级数学试卷试卷分为两卷，卷(I)100分，卷(II)50分，满分共计150分；考试时间：120分钟卷(I)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．的值是( )A．B． C． D．2．等于( )A. B. C. D.3．在中，是边上一点，则等于( )A. B. C. D.4．函数最小值是( )A. 1 B．C．-1 D．5．若是周期为的奇函数，则可以是( )A. B. C. D.6．将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A. B. C. D.7．已知，向量与垂直，则实数的值为( )A. B. C. D.8．函数的图象( )A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称9．设非零向量满足则( )A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°10．设，对于函数，下列结论正确的是( )A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11．若，则____________.12．已知向量夹角为，且，，则____________.13．已知是锐角，，且，则=___________.14．若，则___________.15．已知函数的图像如图所示，则_____________.16．已知函数，如果存在实数使得对任意实数，都有，则的最小值是_________.三、解答题(本大题共3小题，共26分)17．(本题满分8分)已知.求：(1)的值；(2)的值.18．(本题满分8分)已知ΔABC三个顶点的坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(m，0)．(1)若，求m的值；(2)若m=5，求的值．19．(本题满分10分)已知向量，函数.(1)求函数的解析式；(2)求函数的最小正周期、单调增区间；(3)求函数在时的最大值及相应的的值.卷(II)一、选择题：(本大题共3小题，每小题4分，共12分)1. 函数是偶函数，则值的集合是( )A．B．C．D．2．已知，点在内，且，设，则( )A．B．C． D．3. 设,是锐角三角形的两内角，则( )A．cos>sin, cos>sin B. cos>sin, cos<sinC. cos<sin, cos<sinD. cos<sin, cos>sin二、填空题：(本大题共2小题，每小题4分，共8分)4．函数的最小正周期为_______________，单调减区间为______________________________.5．下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|}.③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数⑤函数其中真命题的序号是_______________(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共3小题，共30分)6．(本题满分10分) 已知,,,.(1) 求的值；(2) 求的值.7．(本题满分10分)记．若函数.(1)用分段函数形式写出函数的解析式；(2)求的解集.8．(本题满分10分)设函数，其中为正整数.(1)判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；(2)证明：；(3)对于任意给定的正奇数，求函数的最大值和最小值.参考答案卷(I)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D C D B C A A B B二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11 1213 1415 0 16三、解答题(本大题共3小题，共26分)17. 解：法一：(1)由得：，(2)法二：由得.；若，则；若，则.综上有.18．解析：(1),由可得解得.(2)当时,可得,所以.因为A为三角形的内角，所以.19.解：(1)(2)由(1)知，所以最小正周期为；令，解得，所以函数的单调递增区间为.(3)当时，，所以，当，即时，取最大值，即. 卷(Ⅱ)1. B2.B3.C4.，5.①④6. 解：(1)因为,.又,所以(2)根据(1)，得而,且,所以故=.7．解：(1)=解得．又函数在内递减，在内递增，所以当时，；当时，．所以．(2)等价于：①或②．解得：，即的解集为．8．解：(1)在上均为单调递增的函数.对于函数，设，则，，函数在上单调递增.(2)原式左边.又原式右边..(3)当时，函数在上单调递增，的最大值为，最小值为.当时，函数在上为单调递增.的最大值为，最小值为.下面讨论正奇数的情形：对任意且，以及，，从而.在上为单调递增，则的最大值为，最小值为.综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.。
2020-2021年北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题(含解析)
2021北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题一．解答题（共17小题）1．（2020秋•房山区期末）已知函数1122()log (2)log (2)f x x x =++-．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅰ）求解关于x 的不等式12()log (3)f x x ．2．（2020秋•海淀区期末）已知函数1()f x x x=-． （Ⅰ）用函数单调性的定义证明()f x 在区间(0,)+∞上是增函数； （Ⅰ）解不等式1(2)(4)x x f f +>．3．（2020秋•西城区校级期末）已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何1x ，2f x D ∈（其中fD 为函数()f x 的定义域），均有1212|()()|||f x f x x x --成立．（Ⅰ）已知函数211()1,[,]22f x x x =+∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（Ⅰ）是否存在实数a ，使得()2ap x x =+，[1x ∈-，)+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅰ）对于实数a ，()b a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[a ，]b 的函数的集合，定义：已知()h x 是定义在[p ，]q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[p ，]q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋯<<=，和式11|()()|nii i h x h xT -=-∑恒成立，则称()h x 为[p ，]q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”， T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121ni n i t t t t ==++⋯+∑．求证：集合[1010,1010]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”． 4．（2020秋•大兴区期末）已知函数2()()21xf x a a R =-∈+． （Ⅰ）判断()f x 在(0,)+∞内的单调性，并证明你的结论；（Ⅰ）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 5．（2020秋•顺义区期末）已知函数2()4x mf x x +=-是定义在(2,2)-上的奇函数． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间(2,2)-上是减函数； （3）解不等式(1)()0f t f t -+<．6．（2020秋•石景山区期末）已知函数2()log ||f x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域及(f 的值； （Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅰ）判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并给予证明． 7．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数||()1(22)2x xf x x -=+-<． （1）求函数()f x 的值域：（2）若函数()log a g x x =的图象与函数()f x 的图象有交点，请直接写出实数a 的取值范围． 8．（2020秋•丰台区期末）已知函数()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅰ）若x R ∀∈，()f x m >，请写出m 的最大值； （Ⅰ）判断并证明函数1()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性． 9．（2020秋•西城区校级期末）已知函数2()21x x af x -=+为奇函数．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若()0.5f x <，求x 的范围； （3）求函数()f x 的值域．10．（2020秋•昌平区期末）已知函数1()log (0||2af x a x =>+且1)a ≠． （Ⅰ）试判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的值域；（Ⅰ）若对任意x R ∈，()1f x 恒成立，求实数a 的取值范围． 11．（2020秋•西城区期末）设函数4()3f x x x=++． （Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线2y x =交点的坐标； （Ⅰ）当(0,)x ∈+∞时，求函数()f x 的最小值；（Ⅰ）用单调性定义证明：函数()f x 在(2,)+∞上单调递增．12．（2020秋•西城区期末）设函数21()21x x f x +=-．（Ⅰ）若f （a ）2=，求实数a 的值；（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅰ）若()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立，求实数m 的最小值．13．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数1133()5x xf x --=，1133()5x x g x -+=．（1）①直接写出函数()f x 的奇偶性；②写出函数()f x 的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：111()5()()422f fg -= ；f （4）5f -（2）g （2）= ；f （9）5f -（3）g （3）= ；（3）由（2）中的各式概括出()f x 和()g x 对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明． 14．（2020秋•东城区期末）已知函数1()21xf x a =-+是奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅰ）判断()f x 的单调性；（只需写出结论）（Ⅰ）若不等式2()()0f x x f x m -++<恒成立，求m 的取值范围．15．（2020秋•房山区期末）设函数()f x 的定义域为D ，若存在正实数a ，使得对于任意x D ∈，有x a D +∈，且()()f x a f x +>，则称()f x 是D 上的“a 距增函数”．（Ⅰ）判断函数()2x f x x =-是否为(0,)+∞上的“1距增函数”？说明理由；（Ⅰ）写出一个a 的值，使得2,0()0x x f x x +<⎧⎪=是区间(,)-∞+∞上的“a 距增函数”；（Ⅰ）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||f x x a a =--．若()f x 为R 上的“2021距增函数”，求a 的取值范围．16．（2020秋•丰台区期末）设函数()f x 的定义域为I ，如果存在区间[m ，]n I ⊆，使得()f x 在区间[m ，]n 上是单调函数且值域为[m ，]n ，那么称()f x 在区间[m ，]n 上具有性质P ．（Ⅰ）分别判断函数()cos f x x =和3()g x x =在区间[1-，1]上是否具有性质P ；（不需要解答过程）（Ⅰ）若函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ， （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅰ）求n m -的最大值．17．（2020秋•朝阳区期末）“函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ϕ定义域内的任意x ，都有()(2)2x m x n ϕϕ+-=”．若函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，且当[0x ∈，1]时，2()1f x x ax a =-++． （Ⅰ）求(0)f f +（2）的值； （Ⅰ）设函数4()2xg x x=-． （Ⅰ）证明函数()g x 的图象关于点(2,4)-对称；（Ⅰ）若对任意1[0x ∈，2]，总存在22[,1]3x ∈-，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．2021北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题参考答案一．解答题（共17小题）1．【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得2020x x +>⎧⎨->⎩，解可得函数的定义域，由奇偶性的定义可得结论，（Ⅰ）根据题意，原不等式变形可得21122log (4)log (3)x x -，则有2043x x <-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数1122()log (2)log (2)f x x x =++-，则有2020x x +>⎧⎨->⎩，解可得2x >，则函数()f x 的定义域为(2,)+∞，所以函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数． （Ⅰ）由2111222()log (2)log (2)log (4)f x x x x =++-=-，得21122log (4)log (3)x x -，因为12log y x =在(0,)+∞是减函数，所以有2043x x <-，解得24x <，因此不等式12()log (3)f x x 的解集为{|24}x x <．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数不等式的解法，属于基础题． 2．【分析】（Ⅰ）任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，由作差法证明可得结论，（Ⅰ）根据题意，由指数的运算性质可得120x +>，40x >，结合()f x 的单调性可得124x x +>，变形可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则1212121212111()()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=---=-+， 1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， ∴121210,10x x x x -<+>， 12()()0f x f x ∴-<．即12()()f x f x <，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； （Ⅰ）根据题意，对于1(2)(4)x x f f +>，有120x +>，40x >，而函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增， 则有124x x +>，即121x -<， 解可得1x <．不等式的解集为(,1)-∞．【点评】本题考查函数单调性的证明以及性质的应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 3．【分析】（Ⅰ）利用已知条件，通过任取1x ，21[2x ∈-，1]2，证明1212|()()|||f x f x x x --成立，说明()f x 属于集合M ．（Ⅰ）若()p x M ∈，则有1212||||22a ax x x x --++，然后可求出当[1a ∈-，1]时，()p x M ∈．（Ⅰ）直接利用新定义加以证明，并求出()h x 的“绝对差上确界T ”的值． 【解答】解：（Ⅰ）设1x ，21[2x ∈-，1]2，则2212121212|()()|||||||f x f x x x x x x x -=-=-+， 因为11122x -，21122x -， 所以1211x x -+，所以221212121212|()()|||||||||f x f x x x x x x x x x -=-=+--，所以函数()f x 属于集合M ． （Ⅰ）若函数()2aP x x =+，[1x ∈-，)+∞属于集合M ， 则当1x ，2[1x ∈-，)+∞时，1212|()()|||P x P x x x --恒成立，即1212||||22a ax x x x --++，对1x ，2[1x ∈-，)+∞恒成立，所以12|||(2)(2)|a x x ++，对1x ，2[1x ∈-，)+∞恒成立，因为1x ，2[1x ∈-，)+∞， 所以12|(2)(2)|1x x ++， 所以||1a ，即11a -， 所以a 的取值范围为[1-，1]．（Ⅰ）取1010p =-，1010q =， 则对区间[1010-，1010]的任意划分，和式1102111|()()||()()||()()||()()|ni i n n i h x h x h x h x h x h x h x h x --=-=-+-+⋯+-∑10211102110||||||()()()1010(1010)2020n n n n n x x x x x x x x x x x x x x ---+-+⋯+-=-+-+⋯+-=-=--=，所以集合[1010,1010]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，且()h x 的“绝对差上确界” 2020T =． 【点评】本题考查函数的新定义，解题中需要一定的阅读理解能力，属于中档题． 4．【分析】()I 先设120x x <<，然后利用作差法比较1()f x 与2()f x 的大小即可判断，()II 若()f x 为奇函数，则(0)0f =，代入可求a ，然后结合奇函数定义进行检验即可判断．【解答】解：()()I f x 在(0,)+∞内的单调递增，证明如下： 设120x x <<，则12211212222(22)()()01212(12)(12)x x x x x x f x f x --=-=<++++， 所以12()()f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增， ()II 存在1a =使得()f x 为奇函数，若()f x 为奇函数，则(0)10f a =-=，故1a =，此时221()11221x x x f x -=-=++，2112()()2112x xx xf x f x -----===-++，故()f x 为奇函数，此时1a =．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，定义法的应用是求解问题的关键． 5．【分析】（1）由奇函数的性质得，(0)0f =，代入可求m ，进而可求函数解析式； （2）先设1222x x -<<<，然后利用作差法比较1()f x 与2()f x 的大小即可判断； （3）结合()f x 在区间(2,2)-上是减函数且为奇函数即可直接求解． 【解答】解：（1）由奇函数的性质得，(0)04mf =-=， 故0m =，2()4xf x x =-， 证明：（2）设1222x x -<<<， 则1212211222221212(4)()()()044(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x +--=-=>----， 所以12()()f x f x >，故()f x 在区间(2,2)-上是减函数；（3）因为()f x 在区间(2,2)-上是减函数且为奇函数， 由(1)()0f t f t -+<得(1)()()f t f t f t -<-=-， 所以212t t >->->-， 解得，122t <<， 故不等式的解集1(2，2)．【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的定义及性质的应用，还考查了利用函数的性质求解不等式，属于中档题．6．【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得||0x >，然后求出x 的取值范围，再求出(f 的值； （Ⅰ）先求出函数的定义域，根据()f x ，可得()()f x f x -=，从而判断()f x 为偶函数； （Ⅰ）先判断()f x 的单调性，然后设120x x <<，利用定义法证明()f x 的单调性即可． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数2()log ||f x x =，则有||0x >， 解得0x ≠，即函数的定义域为{|0}x x ≠，221(log |log (2f ===； （Ⅰ）2()log ||f x x =，其定义域为{|0}x x ≠，则22()log ||log ||()f x x x f x -=-==，则()f x 为偶函数； （Ⅰ）()f x 在(,0)-∞上为减函数， 证明：当(,0)x ∈-∞时，2()log ()f x x =-，设120x x <<，则112212222()()log ()log ()log x f x f x x x x --=---=-， 又由120x x <<，则120x x ->->，所以121x x ->-， 所以11222()()log 0x f x f x x --=>-， 故()f x 在(,0)-∞上为减函数．【点评】本题考查了函数的奇偶性和利用定义法证明函数的单调性，考查了转化思想，属于中档题． 7．【分析】（1）分段去掉绝对值，即可求解值域；（2）对a 进行讨论，根据图象有交点，可得实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）函数||()1(22)2x xf x x -=+-<．则1,02()1,20x f x x x ⎧=⎨--<<⎩，因为1y x =-在(2,0)-单调递减， 可得()f x 值域为[1，3)．（2）当01a <<，当02x <时，()log a g x x =的图象与函数()f x 的图象恒有交点， 当1a <时，当02x <时，()log a g x x =是单调递增函数，则log 21a ，可得2a ． 则12a <．故得实数a 的取值范围是01a <<或12a <．【点评】本题考查函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题． 8．【分析】（Ⅰ）利用函数()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=，列出方程组，求解即可；（Ⅰ）利用()21x f x =-是单调递增函数，求出()f x 的范围，利用恒成立的解法，可得到m 的取值范围，进而得到答案；（Ⅰ）利用函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=， 所以021a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩．（Ⅰ）因为1a =，1b =-，所以()21x f x =-是单调递增函数，对x R ∀∈，()1f x >-，所以1m -，故m 的最大值为1-．（Ⅰ）由（Ⅰ）知，()21x f x =-， 所以11()21xy f x ==-， 所以1()y f x =在区间(0,)+∞上是单调递减函数，证明如下： 令1()21x g x =-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则21211212121211(21)(21)22()()2121(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x g x g x -----=-==------， 因为1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，所以121222,21,21x x x x <>>，所以2112220(21)(21)x x x x ->--，即12()()g x g x >， 所以1()21x g x =-在区间(0,)+∞上是单调递减函数， 即1()y f x =在区间(0,)+∞上是单调递减函数． 【点评】本题考查了函数单调性的性质与判断，涉及了指数函数单调性的应用、不等式恒成立的求解，证明函数单调性的关键是掌握函数单调性的定义以及证明的一般步骤．9．【分析】（1）可看出()f x 的定义域为R ，即()f x 在原点有定义，并且()f x 是奇函数，从而得出1(0)02af -==，从而得出1a =；（2）由()0.5f x <即可得出23x <，从而求出x 的范围； （3）分离常数得出2()121x f x =-+，根据20x>即可求出2121x -+的范围，即得出()f x 的值域． 【解答】解：（1）()f x 的定义域为R ； ()f x ∴在原点有定义，且()f x 是奇函数； ∴1(0)02af -==； 1a ∴=；∴21()21x x f x -=+；（2）由211212x x -<+得：23x <；2log 3x ∴<；（3）212()12121x x xf x -==-++； 20x >；211x ∴+>，10121x <<+； ∴211121x -<-<+； ()f x ∴的值域为(1,1)-．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，指数函数的单调性，指数与对数的互化，指数函数的值域，分离常数法的运用． 10．【分析】（Ⅰ）利用函数奇偶性的定义即可求解；（Ⅰ）由对数函数的性质即可求解值域；（Ⅰ）对a 分类讨论，由对数函数的性质即可求解a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数1()log (0||2a f x a x =>+且1)a ≠的定义域为R ， 且11()log log ()||2||2aa f x f x x x -===-++，所以()f x 为偶函数． （Ⅰ）当2a =时，21()log ||2f x x =+， 因为110||22x <+，所以2211log log 1||22x =-+， 所以函数()f x 的值域为(-∞，1]-．（Ⅰ）若对任意x R ∈，()1f x 恒成立，即1log log ||2a a a x +恒成立，当1a >时，则有1||2a x +恒成立，因为110||22x <+，所以0a <，不符合题意； 当01a <<时，则有1||2a x +恒成立，因为110||22x <+，所以112a <， 综上，实数a 的取值范围是1[2，1)．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，函数值域的求法，对数函数的性质，以及不等式恒成立问题，属于中档题．11．【分析】（Ⅰ）联立方程组，解出即可；（Ⅰ）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可； （Ⅰ）根据函数的单调性的定义证明即可．【解答】（Ⅰ）解：令()y f x =，则由题意得：432y x xy x⎧=++⎪⎨⎪=⎩， 解得：12x y =-⎧⎨=-⎩或48x y =⎧⎨=⎩，故函数()f x 的图象与直线2y x =交点的坐标是(1,2)--，(4,8)；（Ⅰ）解：44()32337f x x x x x =++⋅+==，当且仅当4x x=即2x =时“=”成立， 故()f x 在(0,)+∞上的最小值是7； （Ⅰ）证明：不妨设212x x >>，则1212212121212112124()444()()33()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=++---=-+=-⋅， 212x x >>，210x x ∴->，121240x x x x ->， 故21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 故函数()f x 在(2,)+∞上单调递增．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查图象交点问题，是基础题．12．【分析】（Ⅰ）将x a =代入解析式，解指数方程即可求出a 得值；（Ⅰ）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()f x 、()f x -得数量关系，结合定义可得结论；（Ⅰ）先求出()f x 在[1，)+∞上得最大值，再根据要使()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立，即()max m f x ，求出m 得最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f （a ）2=，所以21221a a +=-，所以21222a a +=⋅-且21a ≠，所以23a =，所以2log 3a =； （Ⅰ）()f x 为奇函数，证明如下：因为210x -≠，所以定义域为{|0}x x ≠关于原点对称，又因为211221()()211221x x x x x x f x f x --+++-===-=----，所以()f x 为奇函数；（Ⅰ）因为212122()1212121x x x x x f x +-+===+---， 又因为21x y =-在[1，)+∞上单调递增，所以221x y =-在[1，)+∞上单调递减，所以()max f x f =（1）3=，又因为()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立， 所以()3max m f x =，即3m ． 所以m 得最小值为3．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算的能力，属于中档题．13．【分析】（1）①由幂函数的奇偶性及奇偶性的性质可直接判断；②利用增函数的定义即可证明； （2）代入计算即可得结论；（3）由（2）归纳出等式2()5()()0(0)f x f x g x x -=≠，代入即可证明．【解答】解：（1）①函数()f x 为奇函数． ②()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(0,)+∞， 证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则1111113333112233121211331211()()()(1)555x x x x f x f x x x x x -----=-=-+ 因为1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 所以113312x x <，所以1133120x x -<，所以12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，由奇函数的性质可得()f x 在(,0)-∞上单调递增， 故()x 的单调递增区间为(,0)-∞，(0,)+∞．（2）经过代入计算可得111()5()()0422f fg -=，f （4）5f -（2）g （2）0=，f （9）5f -（3）g （3）0=．（3）由（2）中的各式概括出()f x 和()g x 对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式为2()5()()0(0)f x f x g x x -=≠，证明：221111222233333333332()5()()05055555x x x x x x x x x x f x f x g x -------+---==-⋅⋅=-=．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题．14．【分析】()I 由奇函数的性质可得(0)0f =，即可求得a 值，并验证其成立即可； （Ⅰ）由复合函数的单调即可判断；（Ⅰ）由函数的奇偶性与单调性将不等式转化为2x x x m ->+恒成立，由△0<即可求得m 的取值范围． 【解答】解：()I 因为()f x 为奇函数，定义域为R ， 所以(0)0f =，即102a -=，解得12a =． 则1121()2212(21)x x x f x -=-=++，验证1112()()2212(21)xxx f x f x ---=-==-++，满足题意． （Ⅰ）11()221xf x =-+为增函数． （Ⅰ）由奇函数()f x 在定义域R 上单调递增，不等式2()()0f x x f x m -++<恒成立， 得2()()f x x f x m ->+恒成立， 即2x x x m ->+恒成立．由220x x m -->恒成立，有△440m =+<，得1m <-． 所以，m 的取值范围是(,1)-∞-．【点评】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，考查不等式恒成立问题，属于中档题．15．【分析】()I 要判断函数()2x f x x =-是否为(0,)+∞上的“1距增函数”，只要任意(0,)x ∈+∞，检验(1)()f x f x +>是否成立即可判断；（Ⅰ）结合已知函数及()()f x a f x +>，即可求解；（Ⅰ）由已知结合函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对x 进行分类讨论及绝对值不等式性质进行转化可求． 【解答】解：（Ⅰ）函数()2x f x x =-是(0,)+∞上的“1距增函数”， 任意(0,)x ∈+∞，有1(0,)x +∈+∞，且21x >， 所以1(1)()2(1)(2)210x x x f x f x x x ++-=-+--=->， 因此()2x f x x =-是(0,)+∞上的“1距增函数”． （Ⅰ）10a =（答案不唯一，不小于4即可） （Ⅰ）||,0()0,0||,0x a a x f x x x a a x -->⎧⎪==⎨⎪-++⎩因为()f x 为R 上的“2021距增函数”，()i 当0x >时，由定义|2021|||x a a x a a +-->--恒成立即|2021|||x a x a +->-恒成立，由绝对值几何意义可得20210a a +-<，20212a < ()ii 当0x <时，分两种情况：当2021x <-时，由定义|2021|||x a a x a a -+++>-++恒成立即|2021|||x a x a ++<+恒成立，由绝对值几何意义可得20210a a --->，20212a <- 当20210x -<时，由定义|||2021|x a a x a a -++<+--恒成立 即|2021||||20212|2x a x a a a +-++->恒成立当0a 时，显然成立当0a >时，可得202104a <<综上，a 的取值范围为2021(,)4-∞． 【点评】本题以新定义为载体，综合考查函数性质的综合应用，属于中档试题． 16．【分析】（Ⅰ）直接根据题中给出的信息判断即可；（Ⅰ）()i 根据题意，()h x x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根m ，(0)n m (0)t t ，转化为20t t a --=在[0，)+∞有两个不相等的实数根， 方法1：利用二次方程根的分布列出不等关系，求解即可； 方法2：利用换元法，转化为求解函数的值域问题，求解即可． ()ii 利用n m -的表达式结合a 的范围，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）函数()cos f x x =在区间[1-，1]上不具有性质P ，3()g x x =在区间[1-，1]上具有性质P ．（Ⅰ）()i 方法1：因为函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ， 则()h x x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根m ，(0)n m ，a x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根．(0)t t ，即20t t a --=在[0，)+∞有两个不相等的实数根． 所以00a >⎧⎨-⎩，即1400a a +>⎧⎨-⎩．解得104a -<所以，实数a 的取值范围1(,0]4-．方法2：因为函数()h x a =在[0，)+∞单调递增，函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ，则()h x x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根m ，(0)n m ，a x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根．(0)t t ，即2a t t =-在[0，)+∞有两个不相等的实数根． 所以，实数a 的取值范围1(,0]4-．()ii 因为n m -= 又104a -<，所以当0a =时，n m -取最大值1．【点评】本题考查了函数性质的综合应用问题，涉及了函数单调性的性质与判断、方程根的分布问题，对学生知识的综合应用能力有较高的要求．17．【分析】（Ⅰ）由函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件，计算可得所求和；（Ⅰ）（Ⅰ）计算()(2)g x g x +-，由函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件即可得证；（Ⅰ）求得()g x 的值域，记函数()y f x =，[0x ∈，2]的值域为A ．再由二次函数的最值求法和恒成立思想，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，可得()(2)4f x f x +-=， 则(0)f f +（2）4=； （Ⅰ）（Ⅰ）证明：4()2xg x x=-，(x ∈-∞，2)(2⋃，)+∞， 4(4)164(4)2(4)2x xg x x x --∴-==---， 4164816()(4)8222x x x g x g x x x x--∴+-=+==----． 即对任意的(x ∈-∞，2)(2⋃，)+∞，都有()(4)8g x g x +-=-成立． ∴函数()g x 的图象关于点(2,4)-对称．（Ⅰ）48()422x g x x x ==----， 易知()g x 在2(3-，1)上单调递增，()g x ∴在2[3x ∈-，1]时的值域为[1-，4]．记函数()y f x =，[0x ∈，2]的值域为A ．若对任意的1[0x ∈，2]，总存在22[3x ∈-，1]，使得12()()f x g x =成立，则[1A ⊆-，4]．[0x ∈，1]时，2()1f x x ax a =-++，f ∴（1）2=，即函数()f x 的图象过对称中心(1,2)．（1）当02a，即0a 时，函数()f x 在(0,1)上单调递增．由对称性知，()f x 在(1,2)上单调递增． ∴函数()f x 在(0,2)上单调递增．易知(0)1f a =+．又(0)f f +（2）4=，f ∴（2）3a =-，则[1A a =+，3]a -． 由[1A ⊆-，4]，得11340a a a +-⎧⎪-⎨⎪⎩，解得10a -．（2）当012a <<，即02a <<时，函数()f x 在(0,)2a 上单调递减，在(2a，1)上单调递增．由对称性，知()f x 在(1,2)2a -上单调递增，在(22a-，2)上单调递减．∴函数()f x 在(0,)2a 上单调递减，在(2a ，2)2a -上单调递增，在(22a-，2)上单调递减．∴结合对称性，知[A f =（2），(0)]f 或[()2a A f =，(2)]2af -．02a <<，(0)1(1f a ∴=+∈，3)．又(0)f f +（2）4=，f ∴（2）3(1,3)a =-∈．易知2()1(1,2)24a a f a =-++∈．又()(2)422a af f +-=，(2)(22af ∴-∈，3)．∴当02a <<时，[1A ⊆-，4]成立．（3）当12a，即2a 时，函数()f x 在(0,1)上单调递减． 由对称性，知()f x 在(1,2)上单调递减． ∴函数()f x 在(0,2)上单调递减．易知(0)1f a =+．又(0)f f +（2）4=， f ∴（2）3a =-，则[3A a =-，1]a +． 由[1A ⊆-，4]，得31142a a a --⎧⎪+⎨⎪⎩．解得23a ．综上可知，实数a 的取值范围为[1-，3]．【点评】本题考查函数的对称性的运用，考查分类讨论思想和转化思想，考查运算能力、推理能力，属于难题．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
最新北京四中—度第一学期高一数学期末考试试卷
北京四中2015 —2016学年度第一学期期末试卷高一数学2016.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ，则BD =u u u r_____.（用a ，b 表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，ABCD则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域；（Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=o.（Ⅰ）求AB BC ⋅u u u r u u u r的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.ABCPB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =I ð_____． 2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2,1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系ekx by +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2xxf >的实数x 的取值范围．7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2016.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.D ；6.D ；7.A ；8.A ；9.C ； 10.D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 2-； 12. 1()2-b a ； 13. 43-； 14.3π； 15. 85π； 16. 32. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为2απ∈π(,)，且3sin 5α=，所以4cos 5α==-. ………………3分所以sin 3tan cos 4ααα==-. ………………5分 所以tan 1tan()741tan αααπ--==-+. ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，24sin 22sin cos 25ααα==-， ………………9分2321cos 22cos 25αα+==. ………………11分所以244sin2cos 1255321cos 2825ααα-+-==-+. ………………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意()2sin(2)3f x x π=+，因为02x π≤≤，所以02x ≤≤π.所以42333x πππ≤+≤. ………………3分所以sin(2)123x π-≤+≤. ………………6分 所以2)(3≤≤-x f ，函数)(x f的值域为[. ………………8分 （Ⅱ）由已知(,)12B A π，13(,)12C A π，(,0)3D π, ………………11分 所以(,)4DB A π=-u u u r ，3(,)4DC A π=u u u r .因为CD BD ⊥，所以DC DB ⊥，223016DB DC A -π⋅=+=u u u r u u u r，解得4A =±.又0A >，所以4A =. ………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r………………2分213122AB AC AB =⋅-=--=-u u u r u u u r u u u r . ………………4分（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B，1(,22C -. ………………5分 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈， ………………6分 由AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，得1(cos ,sin )(1,0)(,22x y θθ=+-.所以cos ,sin 22y x y θθ=-=.所以cos x θθ=+，y θ=， ………………8分2211cos sin 2cos 2333xy θθθθθ+=+-2112cos 2)3223θθ=-+ ………………10分 21sin(2)363θπ=-+. ………………11分 因为2[0,]3θπ∈，2[,]666θππ7π-∈-.所以，当262θππ-=，即3θπ=时，xy 的最大值为1. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {|01}x x <≤；2. 1,62； 3. 1-； 4. {2}a a <； 5. 0.4. 注：2题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分） 解:（Ⅰ）因为26()1x f x x =+，所以26()1xf x x --=+ ()f x =-. ………………4分所以()f x 为奇函数. ………………6分（Ⅱ）由不等式(2)2xxf >，得262221xx x⋅>+. ………………8分 整理得225x<， ………………9分所以22log 5x <，即21log 52x <. ………………10分 7.（本小题满分10分）解: （Ⅰ）当1a =时，2()2f x x x =-. 二次函数图象的对称轴为1x =，开口向上.所以在区间[0,2]上，当1x =时，()f x 的最小值为1-. ………………1分 当0x =或2x =时，()f x 的最大值为0. ………………2分所以()f x 在区间[0,2]上的值域为[1,0]-. ………………3分 （Ⅱ）注意到2()2f x x ax =-的零点是0和2a ，且抛物线开口向上.当0a ≤时，在区间[0,2]上2()()2g x f x x ax ==-，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………4分当01a <<时，需比较(2)g 与()g a 的大小，22()(2)(44)44g a g a a a a -=--=+-，所以，当02a <<时，()(2)0g a g -<；当21a -≤<时，()(2)0g a g ->.所以，当02a <<时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………5分当21a ≤<时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………6分 当12a ≤≤时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………7分 当2a >时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………8分所以，()g x的最大值244,2,(),22,44, 2.a a t a a a a a ⎧-<⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎩………………9分所以，当2a =时，()t a的最小值为12-………………10分 8.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由已知114x =，212x =. 所以 121212max{max{,},max{,1}}d x x x x x x =---1111111max{max{,},max{,}}max{,}4442422===. ………………4分（Ⅱ）取113x =，23x 2=，此时试验的预计误差为31. ………………5分以下证明，这是使试验预计误差达到最小的试验设计. 证明：分两种情形讨论1x 点的位置. ① 当311<x 时，如图所示， 如果 21233x ≤<，那么 2113d x ≥->； 如果2213x ≤≤，那么 2113d x x ≥->. ………………7分 011x 2x 31② 当311>x ，113d x ≥>.综上，当113x ≠时，13d >. ………………8分 (同理可得当223x ≠时，13d >) 即113x =，23x 2=时，试验的预计误差最小. （Ⅲ）当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值分别为14和15. ………………10分注：用通俗语言叙述证明过程也给分.。
人教A版数学必修四第一学期期末测试高一年级.doc
北京四中2009～2010学年度第一学期期末测试高一年级数学试卷试卷分为两卷，卷(I)100分，卷(II)50分，满分共计150分；考试时间：120分钟卷(I)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．的值是( )A．B． C． D．2．等于( )A. B. C. D.3．在中，是边上一点，则等于( )A. B. C. D.4．函数最小值是( )A. 1 B．C．-1 D．5．若是周期为的奇函数，则可以是( )A. B. C. D.6．将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A. B. C. D.7．已知，向量与垂直，则实数的值为( )A. B. C. D.8．函数的图象( )A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称9．设非零向量满足则( )A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°10．设，对于函数，下列结论正确的是( )A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11．若，则____________.12．已知向量夹角为，且，，则____________.13．已知是锐角，，且，则=___________.14．若，则___________.15．已知函数的图像如图所示，则_____________.16．已知函数，如果存在实数使得对任意实数，都有，则的最小值是_________.三、解答题(本大题共3小题，共26分)17．(本题满分8分)已知.求：(1)的值；(2)的值.18．(本题满分8分)已知ΔABC三个顶点的坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(m，0)．(1)若，求m的值；(2)若m=5，求的值．19．(本题满分10分)已知向量，函数.(1)求函数的解析式；(2)求函数的最小正周期、单调增区间；(3)求函数在时的最大值及相应的的值.卷(II)一、选择题：(本大题共3小题，每小题4分，共12分)1. 函数是偶函数，则值的集合是( )A．B．C．D．2．已知，点在内，且，设，则( )A．B．C． D．3. 设,是锐角三角形的两内角，则( )A．cos>sin, cos>sin B. cos>sin, cos<sinC. cos<sin, cos<sinD. cos<sin, cos>sin二、填空题：(本大题共2小题，每小题4分，共8分)4．函数的最小正周期为_______________，单调减区间为______________________________.5．下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|}.③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数⑤函数其中真命题的序号是_______________(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共3小题，共30分)6．(本题满分10分) 已知,,,.(1) 求的值；(2) 求的值.7．(本题满分10分)记．若函数.(1)用分段函数形式写出函数的解析式；(2)求的解集.8．(本题满分10分)设函数，其中为正整数.(1)判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；(2)证明：；(3)对于任意给定的正奇数，求函数的最大值和最小值.参考答案卷(I)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D C D B C A A B B二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11 1213 1415 0 16三、解答题(本大题共3小题，共26分)17. 解：法一：(1)由得：，(2)法二：由得.；若，则；若，则.综上有.18．解析：(1),由可得解得.(2)当时,可得,所以.因为A为三角形的内角，所以.19.解：(1)(2)由(1)知，所以最小正周期为；令，解得，所以函数的单调递增区间为.(3)当时，，所以，当，即时，取最大值，即. 卷(Ⅱ)1. B2.B3.C4.，5.①④6. 解：(1)因为,.又,所以(2)根据(1)，得而,且,所以故=.7．解：(1)=解得．又函数在内递减，在内递增，所以当时，；当时，．所以．(2)等价于：①或②．解得：，即的解集为．8．解：(1)在上均为单调递增的函数.对于函数，设，则，，函数在上单调递增.(2)原式左边.又原式右边..(3)当时，函数在上单调递增，的最大值为，最小值为.当时，函数在上为单调递增.的最大值为，最小值为.下面讨论正奇数的情形：对任意且，以及，，从而.在上为单调递增，则的最大值为，最小值为.综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.。
北京四中2017-2018学年高一上学期期末必修一、必修四滚动练习(七) PDF版缺答案
A．[0,
π ]
6
B．[ π , π] 3
C．[ π , 2π ] 33
D．[ π , π ] 6
8.已知角 终边经过点 sin 30,cos30，则 tan =______________．
9.如图,在边长为 2 正方形 ABCD 中,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边
CD 上,若 AB AF 2 ,则 AE BF 的值是______________． 10.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,0) 和点 B(3,4) ，若点 C 在 AOB 的平分
2
14.已知点
A( x1 ,
f
( x1 )),
B(x2 ,
f
(x2 ))
是函数
y
2 sin( x
)(
0,
(
2
, 0))
图象上的任意两点，且
角 φ 的终边经过点 P(1,
3) ，若
f
(x1)
f
(x2 )
4 时，
x1 x2
的最小值为
3
．（Ⅰ）求函数
f
(x) 的解
D．
（ ）6.如图，在△ABC 中，设 AB a ， AC b ，AP 的中点为 Q，BQ 的中点为 R，CR 的中点为 P，若
AP ma nb ，则 m+ n
1
A．
2
B．
6
C．
D． 1
2
3
7
C
P
Q
R
A
B
（ ）7.已知|a|=2|b|≠0，且关于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围是
北京四中高一数学上学期期末试题
北京市四中上学期高一年级期末测验数学试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. ︒210cos = A.21B.23 C. 21-D. 23-2. 设向量()⎪⎭⎫⎝⎛==21,21,0,1b a ，则下列结论中正确的是 A. ||||= B. 22=⋅b a C. b b a 与-垂直D. b a ∥3. 已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πα，53cos =a ，则=αtanA.43B. 43-C.34 D. 34-4. 已知向量、满足2||,1||,0===⋅b a b a ，则=-|2|b a A. 0 B. 22C. 4D. 85. 若24πθπ<<，则下列各式中正确的是A. θθθtan cos sin <<B. θθθsin tan cos <<C. θθθcos sin tan <<D. θθθtan sin cos <<6. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且BC BP BA 2=+，则 A. =++ B. =+ C. =+D. =+7. 函数14cos 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx y 是 A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为π2的奇函数D. 最小正周期为π2的偶函数8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=⋅，则=⋅ A. 0B. －4C.4D. 4或－49. 若函数()⎪⎭⎫⎝⎛<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1B. －1C. 2D. －210. 若()()m x x f ++=ϕωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=⎪⎭⎫⎝⎛+4π，且18-=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则实数m 的值等于 A. 1± B. 3±C. －3或1D. －1或3二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。
北京市北京四中数学高一上期末测试卷(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12118]已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．(0分)[ID ：12113]已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ） A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞4．(0分)[ID ：12092]已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<5．(0分)[ID ：12089]已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．(0分)[ID ：12087]已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+7．(0分)[ID ：12121]若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]8．(0分)[ID ：12077][]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．(0分)[ID ：12060]已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B C ．14，2 D ．14，4 10．(0分)[ID ：12059]函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -11．(0分)[ID ：12055]用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.912．(0分)[ID ：12033]若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭13．(0分)[ID ：12031]设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)214．(0分)[ID ：12071]已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( ) A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,215．(0分)[ID ：12088]函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）二、填空题16．(0分)[ID ：12216]已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________17．(0分)[ID ：12202]已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______. 18．(0分)[ID ：12201]已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.19．(0分)[ID ：12184]已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 20．(0分)[ID ：12177]已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______． 21．(0分)[ID ：12166]0.11.1a =，12log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________.22．(0分)[ID ：12155]2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________23．(0分)[ID ：12146]已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a 的取值集合为______.24．(0分)[ID ：12141]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．25．(0分)[ID ：12130]已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题26．(0分)[ID ：12315]已知函数1()21xf x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.27．(0分)[ID ：12307]已知函数()(lg x f x =.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围.28．(0分)[ID ：12297]某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。
北京四中第一学期高一数学期末测试卷
北京四中第一学期高一数学期末测试卷卷（I）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）则样本数据落在上的频率为A. 0.13B. 0.39C. 0.52D. 0.642．一个容量为的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为，，则的值为A. 640B. 320C. 240D. 1603．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人4．已知均为实数，且，，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.5．样本中共有5个个体，其值分别为,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则其样本方差为A. B. C. D. 26．某人向一个半径为的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于的概率为A．B． C． D．7．某程序框图如右图所示，若输出的，则判断框内为A．k＞2?B．k＞3?C．k＞4?D．k＞5?8．掷一枚均匀的硬币两次，事件A“朝上面一正一反”，事件B“朝上面至少一正”，则下列结果正确的是A．B．C．D．9．甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A．，B．，C．，D．，10．从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．甲、乙两人下棋，甲不输的概率是80%，两人和棋的概率是50%，则甲获胜的概率是_________.12．口袋里装有100个大小相同的小球，分别是红、黑、白三种颜色，其中红球有45个，若从口袋里摸出一球是白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为_________.13．函数的定义域为_________.14．将容量为的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则等于_________.15．不等式的解集为_________.16．若,则的最小值为_________.三、解答题（本大题共2小题，每小题13分，共26分）17．随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）．(1) 求频率分布直方图中的值及身高在以上的学生人数；(2) 将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取人，求从这三个组分别抽取的学生人数；(3) 要从(2)中已经抽取的名学生中再抽取人，求组中至少有人被抽中的概率．18．设函数，(1) 若=10，求在上的最小值；(2) 若的解集为，求的值；(3) 若函数的值域为，求实数的取值范围．卷（Ⅱ）一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）1．若关于的不等式的解集是，则等于A． B. 24 C. 14 D.2．已知是上的减函数，那么的取值范围是A． B. C． D.3．定义在R上的函数满足，则的值为A. B. 0 C. 1 D. 2二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）4．已知关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则实数的取值范围是__________.5．设，且，则按从大到小的顺序排列为__________.6．若不等式对于一切成立，则的最小值是__________.三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）7．袋子中装有编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球.(1) 写出所有不同的结果；(2) 求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(3) 求至少摸出1个黑球的概率.8．设二次函数，(1) 若不等式在R上恒成立，求实数的取值范围；(2) 若方程的两根,满足，求实数的取值范围；(3) 在条件(2)下，试比较与的大小．并说明理由．答题纸班级__________姓名__________成绩__________卷（I）三、解答题（本大题共2小题，每小题13分，共26分）17.18.答题纸班级__________姓名__________成绩__________卷（Ⅱ）三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）7.8.参考答案卷（I）C B B BD B A D B A11．30%；12．0.32；13．；14．60；15. 16.17．解：（1）0.06，60；（2）分别为3,2,1人；（3）.18．解：（1），时取等号；（2）图象或穿根法，；（3）卷（II）B C B 4．； 5．； 6．-2.5；7．解：（1）ab，ac，ad，ae,bc，bd，be，cd，ce，de；（2）恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.（3）至少摸出1个黑球的概率为0.7 .8．解：（1）；（2）实数的取值范围是；（3）．参考答案及试卷分析Ⅰ．2．，即，则3．分层抽样按比例抽取样本，因为3600：5400：1800=2：3：1．所以应在这三校分别抽取学生，，人．4．因为且，由不等式的可乘性，有即，从而．B正确易错：学生容易由推出，直接取倒数得到，错因在于没有准确理解不等式的基本性质，除法可以转化为乘法，而乘法性质有重要的限制条件：，．5．熟悉平均值及方差的定义即可．6．典型的几何概型：无限性，等可能性，所以设“此人射击中靶点与靶心的距离小于2”为事件A，则A对应半径为2的圆的面积，基本事件空间对应半径为6的圆的面积，即7．读程序框图，循环第一次：k=2，S=4；循环第二次k=3，S=11．即第二次就跳出循环，所以判断框内应为．8．Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，A={(正，反)，(反，正)}B={(正，正)，(正，反)，(反，正)}，(反，反)}，依古典概型计算公式，得到，．9．甲、乙测试成绩进行对比，由于总和相同，所以平均值相同．又由于甲的成绩更集中，所以方差小，直接计算也可得结论．10．基本事件总数为9×8×7×6×5个．事件A“含‘at’（‘at’相连且顺序不变）”可理解为从除与之外的7个字母中选出3个之后与‘at’整体进行排序．所以共有种．运用古典概型计算公式得到．易错：对于事件A所含基本事件个数不清楚，对于计数问题，找到合适的计数方法至关重要．此题也可认为有4个位置，先选一个放‘at’，再从剩余7个中依次选3个排在剩余3个位置上．12．由小球个数可以知概率，由概率也可推知小球个数，即白球有23个．所以黑球为32个．摸一次摸黑球概率为0.32．13．解不等式组即可．15．法一：运用解绝对值不等式的通法，则不等式等价于即．法二：因为当且仅当，所以不等式等价于．易错分析：注意把握各种类型不等式求解的通法，运用转化和化归的方法加以解决等价变形非常重要．16．，因为，所以，当且仅当取等．所以最小值为．易错：运用均值不等式求最值一定要正，定等三个条件，适当的配凑出倒数，相反数常常是解决此类问题的突破口．17．3)运用对立事件的概率公式，计算B组中无人被抽中的概率，则．18．1)因为，所以当且仅当，即时取等号．2)即，变形得的解集为．即且的解集为．由穿根法得到的两根分别为1，3．所以．3)若的值域为R，必须有能取遍所有正数．即可以取遍所有正数．由知．所以．从而即．又且，所以．易错：1)不标明取等条件2)对于解集理解不透彻，容易直接将1，3代入．这只能说明1，3是零点，不能说明解集恰好为．3)对于值域为R与条件恒大于零混淆．Ⅱ．1．二次不等式解集为，说明对应的二次函数开口向上，且两个零点分别为和，所以解得2．分段函数为减函数，必须满足在每段上为减函数，且分界点处也要左侧函数值大于右侧函数值，即要满足不等式组．易错：根据定义，函数在区间M上为减函数必须保证对于任意，且都有．由于对“任意”这个条件认识不够，导致错选B．3．因为所以．即时，的函数值以6为一个周期．所以．4．设，则只需要即可．解得．5．根据函数的单调性．因为，所以6．法一：设，则①或时，即或②时，，即综上，即的最小值．法二：分离变量．因为在上恒成立，所以只需要在上恒成立．因为在上最大值是，所以即可．7．1)ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be．共6个基本事件，所以．3)记“至少摸出一个黑球”为事件B，则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be共7个基本事件，所以．所以，至少摸出一个黑球的概率为．8．1)，即．2)令，则由题意得所以实数的取值范围是．3)法一：设，则在上单增，所以而，且，所以．法二：设．则由得所以．综合评价：试卷难度不高，重点考查必修3的知识，客观题准确计算很重要，主观题书写规范要注意．。
北京市西城区北京四中2022-2023学年高一上数学期末综合测试试题含解析
故选：D.
2、B
【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当角 为第二象限角时， ，所以 ，故充分；
当 时， 或 ，所以 在第二象限或在第三象限，故不必要；
故选：B
3、B
【解析】令 ，则用计算器作出 的对应值表：
由表格数据知，用二分法操作 次可将 作为得到方程 的近似解，， ， 近似解的精确度应该为0.01，故选B.
（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？
18．对于等式 ，如果将 视为自变量 ， 视为常数， 为关于 （即 ）的函数，记为 ，那么 ，是幂函数；如果将 视为常数， 视为自变量 ， 为关于 （即 ）的函数，记为 ，那么 ，是指数函数；如果将 视为常数， 视为自变量 为关于 （即 ）的函数，记为 ，那么 ，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果 为常数 （ 为自然对数的底数），将 视为自变量 ，则 为 的函数，记为
所以， ， .
故选：D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、1
【解析】根据幂函数定义可构造方程求得 ，将 的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.
【详解】由题意得 ，∴ 或1，
当 时， 是偶函数；
当 时， 是奇函数.
故答案为：1.
12、
【解析】等比数列 中，由 可得 ．等比数列 ， 构成以 为首项， 为公比的等比数列，所以
（Ⅱ）某小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 分贝以下（不含 分贝），试求声音强度 的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
北京四中2017-2018学年高一上学期期末必修一、必修四滚动练习(九) PDF版
第5题高一上期末必修一必修四滚动复习（九）（ ）1.已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin πωx x f （ω> 0）,若()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20πf f 且在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上有且仅有三个零点，则ω= A. 32 B. 2 C. 326 D. 314 （ ）2.已知log (2)a y ax =-在[]0,1上为x 的减函数，则a 的取值范围为A．(0,1) B．(1,2) C．(0,2) D．[2,)+∞ （ ）3.如图，在四边形MNPQ 中，已知,6,10NO OQ OM OP === ， 28MN MQ ⋅=- ，则NP QP ⋅= A. 64 B. 42 C. 36 D. 284.已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+ ，AD t AC = ，若,,B O D 三点共线，则t 的值为______________． 5.如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅ 的值为______________． 6.已知函数()()22423,{ 3,a x a x t f x x x x t -+-≤=-+>，无论t 为何值，函数()f x 在区间(),-∞+∞上总是不单调，则a 的取值范围是______________． 7.已知),1,2(=)6,(m =，向量a 与向量b 的夹角锐角，则实数m 的取值范围是______________．8.已知函数()() sinf x x o πωω=->（）在40π（，）单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω=_______． 10.设向量，，且，，则的最大值是____________；最小值是____________．9,111.设G 为ABC ∆的重心，过G 作直线l 分别交线段,AB AC (不与端点重合)于Q P ,．若,AP AB AQ AC λμ== （Ⅰ）求11λμ+的值；（Ⅱ）求,的取值范围．12.已知平面上三点A ，B ，C ，BC →＝（2－k ，3），AC →＝（2，4）．（Ⅰ）若三点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件；（Ⅱ）若△ABC 中角A 为直角，求k 的值．13.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足12033OC A OB =+ ．（Ⅰ）求证：A ，B ，C 三点共线；（Ⅱ）求AC CB的值；（III ）已知(1,cos ),(1cos ,cos ),0,2A x B x x x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2()(2)3f x OA OC m AB =-+ 的最小值为23-，求实数m 的值．14.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f ＝，若,[1,1],0m n m n ∈-+≠ 时，有()()0f m f n m n ++＞．（Ⅰ）求证：()f x 在[1,1]-上为增函数；（Ⅱ）求不等式1((1)2f x f x +<-的解集； （III）若221()2tan 1cos f x t t αα+---≤对所有[1,1]x ∈-，[,34ππα∈-恒成立，求实数t 的取值范围．。
2020-2021北京市北京四中高一数学上期末模拟试题(带答案)
t f x ，则 f t 3，作出 f x 的图象，结合图象可知，方程 f t 3 有三个实根，
进而可得答案. 【详解】
由题意，函数 y f f x 3 的零点个数，即方程 f f x 3 的实数根个数，
设 t f x ，则 f t 3，作出 f x 的图象，
如图所示，结合图象可知，方程
4．设 a log4 3 ， b log8 6 ， c 20.1 ，则（ ）
A． a b c
B． b a c
C． c a b
D． c b a
5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL
血液中酒精含量低于 20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到 20～79mg 的驾驶员即为
【详解】
由题意，对数的运算公式，可得
a
log4
3
log2 log2
3 4
1 2
log2
3
log2
3，
b
log8
6
log2 log2
6 8
1 3
log
2
6
log2
3
6
，
又由 3 3 6 2 ，所以 log2 3 log2 3 6 log2 2 1，即 a b 1，
由指数函数的性质，可得 c 20.1 20 1 ， 所以 c b a .
所以 g(2) 2 ， g 2 2，
所以 f (2) g(2) 3 2 3 1，故选 D.
【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
先化简集合 A,B,再求 B A 得解.
【详解】
由题得 A x | 2x1 20 {x | x 1} ， B y | y 0 .
北京四中2023年高一数学期末真题
北京四中2023年高一数学期末真题（正文部分）一、选择题1. 已知函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，则 f(x) 的原函数为（）A. f'(x)B. f(x)C. xf'(x) + CD. xf'(x)解析：根据函数的求导和积分的性质，函数 f(x) 的导函数 f'(x) 对应的原函数是 F(x) + C，其中 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，C 为常数。
因此，选项 C 和 D 是正确的答案，选择 C。
2. 在三角形 ABC 中，AB = AC，∠BAC = 70°，∠ABC = 80°，则∠ACB 的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°解析：由已知条件可知，在三角形 ABC 中，AB = AC，∠BAC = 70°，∠ABC = 80°，所以∠ACB = ∠ABC = 80°。
选择 B。
二、填空题1. 一直线上有两个点 A(-2, 3) 和 B(4, -1)，则直线 AB 的斜率为______。
解析：直线 AB 的斜率 k 可以通过两点间的坐标计算得出：k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 3) / (4 - (-2)) = (-4) / 6 = -2/3所以直线 AB 的斜率为 -2/3。
2. 已知集合 A = {x | x > 0}，集合 B = {y | y < 5}，则集合 A ∪ B = ________。
解析：集合 A = {x | x > 0} 表示所有大于 0 的实数，集合 B = {y | y < 5} 表示所有小于 5 的实数。
集合 A ∪ B 表示 A 和 B 的并集，即包含A 和 B 所有元素的集合。
由于 A 中的元素大于 0，而 B 中的元素小于 5，所以集合 A ∪ B 中的元素既包含大于 0 的数，也包含小于 5 的数，即 A ∪ B = {x | x > 0, x < 5}。
2023-2024学年北京市北京第四中学高一上数学期末联考试题含解析
21．已知二次函数 f x ax2 b 2 x 3 ，且 1,3 是函数 f (x) 的零点.
（1）求 f (x) 解析式，并解不等式 f (x) 3 ；
（2）若 g x f sin x ，求函数 g x 的值域
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为－1.
（2）若函数 f (x) 在区间[m, n](m 2) 上单调递减，且值域为[loga a(n 1), loga a(m 1)] ，求实数 a 的取值范围
20．设函数
f
x
x
1 x
ax
1 2
x
2
，其中
a R
（1）若当
x
1 2
,
2
时
f
x 取到最小值，求
a
的取值范围
（2）设 f x 的最大值为 M a ，最小值为 L a ，求 g a M a La 的函数解析式，并求 g a 的最小值
6、B 【解析】
对选项
A，
g
12
1
2
，即可判断
A
错误；对选项
B，求出
g
x
的单调区间即可判断
B
正确；对选项
C，求
出
g
x
在
0,
6
的最大值即可判断
C
错误；对选项
D，根据
g
2 3
3 0 ，即可判断 D 错误.
详解】 f x
3
sin
2x
cos
2x
2
sin
北京市第四中学数学高一上期末经典习题(培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12120]已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能2．(0分)[ID ：12119]已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则A ．-2B ．2C ．-98D ．983．(0分)[ID ：12112]已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为（ ） A ．(0,+)∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,+)∞4．(0分)[ID ：12092]已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<5．(0分)[ID ：12090]若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8) B ．(8,)+∞ C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞6．(0分)[ID ：12086]已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．(0分)[ID ：12121]若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]8．(0分)[ID ：12102]已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）． A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<9．(0分)[ID ：12080]函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．()2,+∞C ．(),0-∞D ．()1,+∞10．(0分)[ID ：12078]把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦11．(0分)[ID ：12060]已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为 A ．12，2 B．2C ．14，2 D ．14，4 12．(0分)[ID ：12057]设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃ B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃13．(0分)[ID ：12056]某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1414．(0分)[ID ：12071]已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( ) A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,215．(0分)[ID ：12123]函数y ＝11x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12 C ．13D ．－12二、填空题16．(0分)[ID ：12222]已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．17．(0分)[ID ：12209]对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.18．(0分)[ID ：12204]已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____.19．(0分)[ID ：12195]已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，其中a 是方程lg 4x x +=的解，b 是方程104x x +=的解，如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ，2x ，…，n x ，记121==+++∑ni n i x x x x ，则1ni i x ==∑__________．20．(0分)[ID ：12193]定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________21．(0分)[ID ：12185]如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C 分别在函数22logy x=，12y x =，22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.22．(0分)[ID ：12178]函数()()4log 521x f x x =-+-的定义域为________.23．(0分)[ID ：12175]若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________．24．(0分)[ID ：12174]函数{}()min 2,2f x x x =-，其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m 的取值范围是______________.25．(0分)[ID ：12160]某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是小时.三、解答题26．(0分)[ID ：12308]已知函数2()(8)f x ax b x a ab =+--- 的零点是-3和2 (1)求函数()f x 的解析式.(2)当函数()f x 的定义域是0,1时求函数()f x 的值域. 27．(0分)[ID ：12292]已知全集U =R ，函数()3lg(10)f x x x =--的定义域为集合A ，集合{}|57B x x =≤<（1）求集合A ； （2）求()U C B A ⋂.28．(0分)[ID ：12286]已知函数sin ωφf x A x B (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值322，当23x π=时，()f x 取得最小值2. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间. (2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移22个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.29．(0分)[ID ：12259]已知函数()log (1)2a f x x =-+（0a >，且1a ≠），过点(3,3). （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()123122xx f f +-<-.30．(0分)[ID ：12271]某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选择了模型•x y p q r =+，其中y 为患病人数，x 为月份数，a b c p q r ，，，，，都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．A3．B4．A5．A6．B7．B8．D9．C10．C11．A12．C13．C14．C15．B二、填空题16．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于17．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可18．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f（x）是定义域在R上的偶函数将f （m﹣2）>f（2m﹣3）转化为再利用f（x）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f（x）是定义域在R上的偶函数且f19．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以20．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式21．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函22．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次23．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为24．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f（x）＝|x﹣2|当或时此时f（x）＝2∵f（4﹣2）＝25．24【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．A解析：A 【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A3．B解析：B 【解析】 【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象，从而可得122x x +=-，240log 2x <，341x x =，从而得解【详解】解：因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩，，可作函数图象如下所示： 依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈，有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点，由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，则341x x =，()41,2x ∈ 所以12344412x x x x x x +++=-++，()41,2x ∈ 因为1y x x =+，在()1,2x ∈上单调递增，所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即44152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题4．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.5．A【解析】 【分析】根据题意可得出，不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ，从而可看出m ＝0时，满足题意，m ≠0时，可得出280m m m ⎧⎨=-<⎩＞，解出m 的范围即可． 【详解】∵函数f （x ）的定义域为R ；∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ； ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；②m ≠0时，则280m m m ⎧⎨=-<⎩＞； 解得0＜m <8；综上得，实数m 的取值范围是[0,8)故选：A ． 【点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．6．B解析：B 【解析】 【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ． 【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．7．B【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.8．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-．令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22xx x -==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ． 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．C解析：C 【解析】 【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞.内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数， 外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.10．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．12．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 13．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.14．C解析：C 【解析】函数()0.5log f x x =为减函数，且0x >, 令2t 2x x =-，有t 0>，解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线，对称轴为1x =，所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.15．B解析：B 【解析】y ＝11x -在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为12，选B.二、填空题16．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于 解析：-3 【解析】 【分析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m. 【详解】 因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =. 当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数； 当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数， 所以3m =-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.17．【解析】【分析】不动点实际上就是方程f （x0）=x0的实数根二次函数f （x ）=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可解析：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可． 【详解】解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩， 解得：a ∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭； 故答案为：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题．18．（﹣∞1）（+∞）【解析】【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数将f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）转化为再利用f （x ）在区间0+∞）上是减函数求解【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数且f解析：（﹣∞，1）（53，+∞） 【解析】 【分析】因为先根据f （x ）是定义域在R 上的偶函数，将 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），转化为()()223f m f m ->-，再利用f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数求解.【详解】因为f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且 f （m ﹣2）>f （2m ﹣3）, 所以()()223fm f m ->- ,又因为f （x ）在区间[0，+∞）上是减函数， 所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|， 所以3m 2﹣8m +5>0， 所以（m ﹣1）（3m ﹣5）>0， 解得m <1或m 53>， 故答案为：（﹣∞，1）（53，+∞）.本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以 解析：1-【解析】 【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解. 【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10xy =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像的两个交点也关于y x =对称所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b +=所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++=解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x = 所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1- 【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.20．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.21．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D 的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函解析：11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标. 【详解】由图像可知，点(),2A A x 在函数y x=的图像上，所以2Ax =，即212A x ==⎝⎭.因为点(),2B B x 在函数12y x =的图像上，所以122Bx =，4B x =.因为点()4,C C y在函数2x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以4124C y ⎛== ⎝⎭. 又因为12D A x x ==，14D C y y ==， 所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为11,24⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次 解析：[)0,5【解析】 【分析】根据题意，列出不等式组50210xx ->⎧⎨-≥⎩，解出即可. 【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义， 需满足50210xx ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5， 故答案为[)0,5. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.23．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为 解析：15-【解析】根据题意，当0x <时，()()(),f x g x f x =为奇函数，()()()()()()()()()211113(323)15f g f f f f f f f -=-=-=-=-=-+⨯=-，则故答案为15-.24．【解析】【分析】【详解】试题分析：由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f （x ）＝|x ﹣2|当或时此时f （x ）＝2∵f （4﹣2）＝ 解析：0232m <<-【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由{},min ,{,a a ba b b a b≤=>可知{}()min 2,2f x x x =-是求两个函数中较小的一个，分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，即由22x x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0，解可得423423x -≤≤+当423423x -≤≤+时，22x x ≥-，此时f （x ）＝|x ﹣2| 当423x +＞或0433x ≤-＜时，22x x -＜，此时f （x ）＝2x ∵f （4﹣23）＝232-其图象如图所示，0232m -＜＜时，y ＝m 与y ＝f （x ）的图象有3个交点 故答案为0232m -＜＜考点：本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.点评：本小题通过分别画出两个函数的图象，保留较小的部分，可以很容易的得到函数的图象，从而数形结合可以轻松解题.25．24【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用解析：24 【解析】由题意得：2211221924811{,,1924248b k k k be e e e +=∴====，所以33x =时，331131()192248k b k b y e e e +==⋅=⨯=.考点：函数及其应用.三、解答题 26．（1）2()3318f x x x =--+（2）[12,18] 【解析】 【分析】 【详解】 （1）832,323,5b a aba b a a----+=--⨯=∴=-= ,()23318f x x x =--+ （2）因为()23318f x x x =--+开口向下，对称轴12x =- ,在[]0,1单调递减，所以()()max min 0,18,1,12x f x x f x ====当当 所以函数()f x 的值域为[12,18] 【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．27．(1) {}|310A x x =≤< (2) {}()|35710U C B A x x x ⋂=≤<≤<或 【解析】试题分析：（1）根据真数大于零以及偶次根式被开方数非负列不等式，解得集合A （2）先根据数轴求U C B ，再根据数轴求交集试题解析：（1）由题意可得：30100x x -≥⎧⎨->⎩，则{|310}A x x =≤<（2）{|57}U C B x x x =<≥或(){|35710}U C B A x x x ⋂=≤<≤<或28．(1)()262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3；(2)2a ∈⎣【解析】【分析】（1）由最大值和最小值求得,A B ，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得ω，再由函数值（最大或最小值均可）求得ϕ，得解析式；（2）由图象变换得()g x 的解析式，确定()g x 在[0,]2π上的单调性，而()g x a =有两个解，即()g x 的图象与直线y a =有两个不同交点，由此可得．【详解】(1)由题意知,22A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩解得A =，2B =. 又22362T πππ=-=，可得2ω=.由6322f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得6π=ϕ. 所以()262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 由222262k x k πππππ-≤+≤+， 解得36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z .又[]0,x π∈，所以()f x 的单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3. (2)函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，得到函数()g x 的表达式为()23x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()g x 在[0,]12π是递增，在[,]122ππ上递减，要使得()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同的实数解， 即()y g x =的图像与y a =有两个不同的交点，所以a ∈⎣. 【点睛】本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础．29．（1）2（2）{}2log 5x|2<x <【解析】【分析】（1）将点(3,3)代入函数计算得到答案.（2）根据函数的单调性和定义域得到1123122x x +<-<-，解得答案.【详解】（1）()()3log 3123,log 21,2a a f a =-+=∴=∴=∴ ()()2log 12f x x =-+. （2）()()2log 12f x x =-+的定义域为{}|1x x >，并在其定义域内单调递增，∴()()1123122,123122x x x x f f ++-<-∴<-<-，不等式的解集为{}22<log 5x x <.【点睛】 本题考查了函数解析式，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.30．乙选择的模型较好.【解析】【分析】由二次函数为2y ax bx c =++，利用待定系数法求出解析式,计算456x =、、时的函数值;再求出函数•x y p q r =+的解析式,计算456x =、、时的函数值,最后与真实值进行比较，可决定选择哪一个函数式好.【详解】依题意，得222•1?152•2?254•3?358a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩， 即5242549358a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1152a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴甲：2152y x x =-+，又123•52•54•58p q r p q r p q r ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩①②③， 2132••2••4p q p q p q p q --=--=①②，④②③，⑤， 2q ÷=⑤④，,将2q =代入④式，得1p =将21q p ==，代入①式，得50r =， ∴乙：2250x y =+计算当4x =时，126466y y ==，；当5x =时，127282y y ==，；当6x =时，1282114y y ==，.可见，乙选择的模型与实际数据接近，乙选择的模型较好.【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数类型的应用问题,也考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题,意在考查灵活运用所学知识解决实际问题的能力，是中档题。
2022-2023学年北京市西城区北京市第四中学高一上数学期末含解析
若关于 x 的方程 b f x2 cf x d 0 有两个正根，则方程 f x 1 ln x a 0 有四个不同的实数根 综合以上情况可得，关于 x 的方程的解集不可能是2016, 2017, 2018 ．选 D
非选择题
5、D
【解析】设出 P 点的坐标，根据 P1P 2P2P 列式，根据向量的坐标运算，求得 P 点的坐标.
B. m1 m2 , n1 n2 D. m1 m2 , n1 n2
12．已知在正四面体 ABCD 中，E 是 AD 的中点，P 是棱 AC 上的一动点，BP＋PE 的最小值为 14 ，则该四面体内切
球的体积为（）
A. 256 3 π 9
1
B. π
3
C.4 3 π 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
f 3 23 3 log2 3 11 log2 3 0 ，
所以零点所在区间为 0,1 ，
故选：B. 9、A 【解析】利用二元二次方程表示圆的条件及点与圆的位置关系即得.
【详解】由圆 x2 y2 2x 2 y b 0 ，可知圆 22 22 4b 0 ，
∴b 2，
又∵直线 kx y k 1 0 ，即 y 1 k x 1 ，恒过定点 1, 1 ， ∴点 1, 1 在圆 x2 y2 2x 2 y b 0 的内部， ∴12 12 21 21 b 0 ，即 b 2 ，
（1）求函数 f m m 3 的最小值；
m2
（2）求关于 x 的一元二次不等式 x2 m 3 x 3m 0 的解集.
20．已知函数 g x x2 3a 1 x 2a2 a ， f x g x
x
（1）求 g x 0 的解集；
（2）当 a 1时，若方程 f
2x 1 k
2020-2021北京良乡第四中学高中必修一数学上期末模拟试题(及答案)
2020-2021北京良乡第四中学高中必修一数学上期末模拟试题(及答案)一、选择题1．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则A B =I （ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B 2C 2D ．25．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－157．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>9．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(34D ．)34,211．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣112．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 二、填空题13．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则52(log )f =__________.14．若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________15．已知关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，则a 的取值范围是__________.16．若函数cos ()2||x f x x x =++，则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 17．已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21xg x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．18．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =I ______. 19．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.20．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．三、解答题21．已知函数2()(8)f x ax b x a ab =+--- 的零点是-3和2 (1)求函数()f x 的解析式.(2)当函数()f x 的定义域是[]0,1时求函数()f x 的值域.22．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈． （1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围． 23．攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y （y 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x （单位：克）的关系为：当0≤x ＜7时，y 是x 的二次函数；当x ≥7时，1()3x m y -=．测得部分数据如表：（1）求y 关于x 的函数关系式y ＝f （x ）；（2）求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳．24．若()221x x af x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.25．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)26．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选择了模型•xy p q r =+，其中y 为患病人数，x 为月份数，a b c p q r ，，，，，都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．3．B解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+,解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.5．B解析：B 【解析】 【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ． 【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．6．A解析：A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <Q ，解得15a =-，故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．D解析：D 【解析】 【分析】采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】∵(] 121∈-∞，，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则110102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()1(())21010f f f =，又∵[)102∈+∞，，∴()103f =，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以c a b >>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.9．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．10．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,34a <2， 故答案为34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解11．B解析：B 【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．12．D解析：D 【解析】 【分析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤．当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1x 2≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．二、填空题13．【解析】【分析】由已知可得＝a 恒成立且f （a ）＝求出a ＝1后将x ＝log25代入可得答案【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f ＝∴＝a 恒成立且f （a ）＝即f （x ）＝﹣+af （a ）解析：23 【解析】 【分析】由已知可得()221x f x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，求出a ＝1后，将x ＝log 25代入可得答案． 【详解】∵函数f （x ）是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有f[()221x f x ++]＝13， ∴()221x f x ++＝a 恒成立，且f （a ）＝13，即f （x ）＝﹣x 221++a ，f （a ）＝﹣x 221++a ＝13， 解得：a ＝1，∴f （x ）＝﹣x 221++1， ∴f （log 25）＝23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x ，都有()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立是解答的关键，属于中档题．14．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般解析：1(,0)4-【解析】 【分析】令20x t =>,42x x a -=,可化为20t t a --=,进而求20t t a --=有两个正根即可. 【详解】令20x t =>,则方程化为:20t t a --=Q 方程42x x a -=有两个根,即20t t a --=有两个正根,1212140100a x x x x a ∆=+>⎧⎪∴+=>⎨⎪⋅=->⎩,解得:104a -<<.故答案为: 1(,0)4-. 【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.15．【解析】【分析】根据方程的解在区间内将问题转化为解在区间内即可求解【详解】由题：关于的方程的解在区间内所以可以转化为：所以故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围关键在于利用对数 解析：()23log 11,1-+【解析】 【分析】根据方程的解在区间()3,8内，将问题转化为23log x a x+=解在区间()3,8内，即可求解. 【详解】由题：关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内， 所以()224log 3log +-=x x a 可以转化为：23log x a x+=， ()3,8x ∈，33111,28x x x +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 所以()23log 11,1a ∈-+ 故答案为：()23log 11,1-+ 【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围，关键在于利用对数运算法则等价转化求解值域.16．10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为：10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值解析：10【解析】 【分析】 由cos ()2||xf x x x=++，得()()42||f x f x x +-=+，由此即可得到本题答案. 【详解】 由cos ()2||xf x x x =++，得cos()cos ()2||2||x x f x x x x x--=+-+=+--，所以()()42||f x f x x +-=+，则(lg 2)(lg 2)42|lg 2|42lg 2f f +-=+=+，(lg5)(lg5)42|lg5|42lg5f f +-=+=+，所以，11(lg 2)lg (lg 5)lg 42lg 242lg 51025f f f f ⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：10 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值.17．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题解析：3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+， 当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21xg x a x x =+++， 设21xy x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-， 均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤， 当2x >-时，ln(2)x R +∈， 若0,2,()a x g x >→-→-∞， 若0,,()a x g x <→+∞→-∞ 所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.18．【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以；又因为所以所以所以；则故答案为：【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式 解析：()1,2-【解析】 【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ，然后根据交集概念求解A B I 的结果.【详解】因为12x -<，所以13x -<<，所以()1,3A =-；又因为204x x -<+，所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩，所以42x -<<，所以()4,2B =-； 则()1,2A B =-I . 故答案为：()1,2-.【点睛】解分式不等式的方法：首先将分式不等式转化为整式不等式，若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式，可采用数轴穿根法求解集.19．【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值再将1代入即可求解【详解】∵函数为奇函数∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）即f （﹣x ）∴（2x ﹣1）（x+a ）＝（2x+1）（x ﹣a ）即2x2+（2解析：23【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值，再将1代入即可求解 【详解】 ∵函数()()()21xf x x x a =+-为奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 即f （﹣x ）()()()()2121x xx x a x x a -==--+--+-，∴（2x ﹣1）（x +a ）＝（2x +1）（x ﹣a ）， 即2x 2+（2a ﹣1）x ﹣a ＝2x 2﹣（2a ﹣1）x ﹣a ， ∴2a ﹣1＝0，解得a 12=．故2(1)3f = 故答案为23【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．20．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m---，且 24(2)(2)04m m m m --->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-.综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-.故答案为：{|2m m >或2}3m <-.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.三、解答题21．（1）2()3318f x x x =--+（2）[12,18]【解析】 【分析】 【详解】 （1）832,323,5b a aba b a a----+=--⨯=∴=-=Q ,()23318f x x x =--+ （2）因为()23318f x x x =--+开口向下，对称轴12x =- ,在[]0,1单调递减，所以()()max min 0,18,1,12x f x x f x ====当当 所以函数()f x 的值域为[12,18] 【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解．22．（1）()24x xg x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可， （2）对于同时含有2,xxa a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题． 试题解析：解：（1）∵()3x f x =，且(2)18f a +=∴⇒∵∴（2）法一：方程为令，则144t ≤≤- 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+，y b =两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解． 法二： 方程为，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦1=1-40413{0416(4)012b b f b f b ∆>⇒<⎛⎫∴≤⇒≥⎪⎝⎭≤⇒≥- 解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点：求函数的解析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．23．（1）2884071()73x x x x y x -⎧-+-≤⎪=⎨≥⎪⎩，＜，；（2）当4x =时产品的性能达到最佳【解析】【分析】（1）二次函数可设解析式为2y ax bx c =++，代入已知数据可求得函数解析式；（2）分段函数分段求出最大值后比较可得． 【详解】（1）当0≤x ＜7时，y 是x 的二次函数，可设y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）， 由x ＝0，y ＝﹣4可得c ＝﹣4，由x ＝2，y ＝8，得4a +2b ＝12①， 由x ＝6，y ＝8，可得36a +6b ＝12②，联立①②解得a ＝﹣1，b ＝8， 即有y ＝﹣x 2+8x ﹣4； 当x ≥7时，1()3x my -=，由x ＝10，19y =，可得m ＝8，即有81()3x y -=；综上可得2884071()73x x x x y x -⎧-+-≤⎪=⎨≥⎪⎩，＜，．（2）当0≤x ＜7时，y ＝﹣x 2+8x ﹣4＝﹣（x ﹣4）2+12， 即有x ＝4时，取得最大值12； 当x ≥7时，81()3x y -=递减，可得y ≤3，当x ＝7时，取得最大值3．综上可得当x ＝4时产品的性能达到最佳． 【点睛】本题考查函数模型的应用，考查分段函数模型的实际应用．解题时要注意根据分段函数定义分段求解． 24．（1）1a = （2）112m -≤≤ 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数()f x ，可知()f x 的值域，结合不等式计算，可得结果. 【详解】 （1）()2121a f +=-，()121112af +-=-因为()221x x af x +=-是奇函数.所以()()11f f =--，得1a =； 经检验1a =满足题意（2）根据（1）可知()2121x x f x +=-化简可得()2121x f x =+- 所以可知()2121x f x =+- 当()0,x ∈+∞时，所以()1f x > 对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥- 所以212m m ≥-， 即112m -≤≤ 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题.25．(1)2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2) 10株时，最大值40千克【解析】 【分析】当420x <≤时，设v ax b =+，然后代入两组数值，解二元一次方程组可得参数a 、b 的值，即可得到函数v 关于x 的函数表达式；第()2题设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，然后列出()f x 表达式，再分段求出()f x 的最大值，综合两段的最大值可得最终结果．【详解】(1)由题意得，当04x <≤时，2v =； 当420x <≤时，设v ax b =+，由已知得200104a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得258a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以285v x =-+，故函数2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩．(2)设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克，依题意及()1可得()22,0428,4205x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩，当04x <≤时，()f x 为增函数，故()()4428max f x f ==⨯=；当420x <≤时，()()222222820(10)40555f x x x x x x =-+=--=--+，此时()()1040max f x f ==．综上所述，可知当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克． 【点睛】本题主要考查应用函数解决实际问题的能力，考查了理解能力，以及实际问题转化为数学问题的能力，本题属中档题． 26．乙选择的模型较好. 【解析】 【分析】由二次函数为2y ax bx c =++，利用待定系数法求出解析式,计算456x =、、时的函数值;再求出函数•xy p q r =+的解析式,计算456x =、、时的函数值,最后与真实值进行比较，可决定选择哪一个函数式好. 【详解】依题意，得222•1?152•2?254•3?358a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，即5242549358a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1152a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴甲：2152y x x =-+，又123•52•54•58p q r p q r p q r ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩①②③， 2132••2••4p q p q p q p q --=--=①②，④②③，⑤，2q ÷=⑤④，,将2q =代入④式，得1p =将21q p ==，代入①式，得50r =， ∴乙：2250xy =+计算当4x =时，126466y y ==，； 当5x =时，127282y y ==，； 当6x =时，1282114y y ==，.可见，乙选择的模型与实际数据接近，乙选择的模型较好. 【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数类型的应用问题,也考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题,意在考查灵活运用所学知识解决实际问题的能力，是中档题。
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高中数学精品资料2020.8【人教版高一数学模拟试卷】北京市四中上学期高一年级期末测验数学试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. ︒210cos = A.21B.23 C. 21-D. 23-2. 设向量()⎪⎭⎫⎝⎛==21,21,0,1，则下列结论中正确的是 A. ||||= B. 22=⋅ C. 与-垂直D. ∥3. 已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πα，53cos =a ，则=αtanA.43B. 43-C.34 D. 34-4. 已知向量a 、b 满足2||,1||,0===⋅，则=-|2| A. 0 B. 22C. 4D. 85. 若24πθπ<<，则下列各式中正确的是A. θθθtan cos sin <<B. θθθsin tan cos <<C. θθθcos sin tan <<D. θθθtan sin cos <<6. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且2=+，则 A. 0=++PC PB PA B. 0=+PC PA C. 0=+PC PBD. 0=+PB PA7. 函数14cos 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx y 是 A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为π2的奇函数D. 最小正周期为π2的偶函数8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=⋅AC d ，则=⋅BC d A. 0B. －4C.4D. 4或－49. 若函数()⎪⎭⎫⎝⎛<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1B. －1C. 2D. －210. 若()()m x x f ++=ϕωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=⎪⎭⎫⎝⎛+4π，且18-=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则实数m 的值等于 A. 1± B. 3±C. －3或1D. －1或3二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。
12. 已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若()c b a ∥+，则=m ________。
13. ⎪⎭⎫⎝⎛+6tan πα21=，316tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ，则()=+βαtan _________。
14. 若函数()x x f 2sin =，则=⎪⎭⎫⎝⎛12πf _________，，单调增区间是_________。
15. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BD BC 3=，1||=AD ，则=⋅AD AC _________。
16. 定义运算b a *为：()()⎩⎨⎧>≤=b a b b a a b a *。
例如：12*1=，则函数()x x x f cos *sin =的值域为_________。
三、解答题（本大题共3小题，共26分） 17. （本小题满分6分）已知：如图，两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为32π，点C 是以O 为圆心的劣弧AB 的中点。
求：（1）⋅的值； （2）⋅的值。
18. （本小题满分10分）已知：函数()()023cos 3cos sin 2>++-⋅=a b a x a x x a x f （1）若R x ∈，求函数()x f 的最小正周期及图像的对称轴方程； （2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，()x f 的最小值是－2，最大值是3，求：实数b a ,的值。
19. （本小题满分10分）已知：向量()()()ββββααsin 4,cos ,cos 4,sin ,sin ,cos 4-=== （1）若16tan tan =βα，求证：∥； （2）若2-与垂直，求()βα+tan 的值； （3）求||c b +的最大值。
卷（II ）一、选择题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1. 要得到⎪⎭⎫⎝⎛+=32πx f y 的图象，只需把()x f y 2=的图象 A. 向右平移3π个单位 B. 向左平移3π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向左平移6π个单位 2. 设函数()x f 是以2为周期的奇函数，若()1,0∈x 时，()xx f 2=，则()x f 在区间（1，2）上是A. 增函数且()0>x fB. 减函数且()0<x fC. 增函数且()0<x fD. 减函数且()0>x f3. 设250cos 1,13tan 113tan 2,6sin 236cos 212︒-=︒+︒=︒-︒=c b a ，则有 A. c b a >> B. c b a <<C. b c a <<D. a c b <<4. 函数()23log 21-=x y 的定义域是_________5. 设πθ20<≤时，已知两个向量()()θθθθcos 2,sin 2,sin ,cos OP 21-+==OP ，而||21P P 的最大值为_________，此时=θ_________。
6. 已知函数()x f 是定义在]1,(-∞上的减函数，且对一切实数x ，不等式()()x k f x k f 22sin sin -≥-恒成立，则实数=k _________。
二、解答题（本大题共2小题，共20分） 7. （本小题满分10分）已知：向量()()m ,2,3,1-=-=，且()-⊥。
（1）求实数m 的值；（2）当b a k +与b a -平行时，求实数k 的值。
8. （本小题满分10分）对于在区间[]q p ,上有意义的两个函数()x f 和()x g ，如果对于任意的[]q p x ,∈，都有()()1||≤-x g x f ，则称()x f 与()x g 在区间[]q p ,上是“接近”的两个函数，否则称它们在[]q p ,上是“非接近”的两个函数。
现有两个函数()()()()1,01log ,3log ≠>-=-=a a ax x g a x x f aa 且，给定一个区间[]3,2++a a 。
（1）若()x f 与()x g 在区间[]3,2++a a 都有意义，求实数a 的取值范围； （2）讨论()x f 与()x g 在区间[]3,2++a a 上是否是“接近”的两个函数。
【试题答案】1-5 DCDBD6-10 BACAC11.103 12. －113.71 14.432-，()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,πππ 15.316. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,1 17. 解：（1）∵向量和长度为1，夹角为32π∴||||=⋅2132cos-=π。
（2分） ∵点C 是以O 为圆心的劣弧AB 的中点， ∴∠AOC=∠BOC=3π，∴⋅=⋅21=。
（3分） ∴⋅+--⋅-⋅=-⋅-=⋅)()(231212121=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=。
（6分） 18. 解：（1）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=23cos 3cos sin 2x x x a x f b + b x a b x x a +⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯-=32sin 2322cos 132sin 21π（3分） 函数()x f 的最小正周期ππ==22T 。
（4分） 当132sin ±=⎪⎭⎫⎝⎛-πx 时，得到对称轴方程，即232πππ+=-k x ， ∴函数()x f 的图像的对称轴方程：()Z k k x ∈+=1252ππ；（6分） （2）()b x a x f +⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin π， ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，∴[]π,02∈x ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,332πππx ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,2332sin πx 。
（7分）∵0>a ，∴函数()x f 的最小值是223-=+-b a ，最大值3=+b a 。
（9分） 解得-==3,2b a 2。
（10分）19. 解：（1）∵16tan tan =βα，∴βαβαcos cos 16sin sin = ∵()()ββααcos 4,sin ,sin ,cos 4==∴βαβαcos 4sin sin cos 4=，∴b a ∥。
（2分）（2）∵2-与垂直，∴()022=⋅-⋅=-⋅c a b a c b a ，即：()0sin sin 4cos cos 42cos sin 4sin cos 4=--+βαβαβαβα，（4分） ∴()()0cos 8sin 4=+-+βαβα，∴()2tan =+βα；（6分） （3）∵()ββββsin 4cos 4,cos sin -+=+c b∴||c b +()()222sin 4cos 4cos sin ββββ-++=βββ2sin 1517cos sin 3017-=-=（9分）∴当12sin -=β时，241517||max =+=+；（10分）卷（II ）1-3 DCC4. ]1,32(5.14，π6. －17. 解：（I ）()m --=-3,3，由()-⊥得()=-⋅0 即()0333=---m ，故4-=m ；（II ）由k +()43,2---=k k ，()1,3=-当k -+与平行时，()()04332=----k k ，从而1-=k 。
8. 解：（1）要使()x f 1与()x f 2有意义，则有a x a a a x a x 31003>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且 要使()x f 1与()x f 2在[]3,2++a a 上有意义，等价于真数的最小值大于0即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠><<⇒>-+>-+1010032031a a a a a a a 且（2）()()()()[]a x a x x f x f a --=-3log |||21|， 令()()1||21≤-x f x f ，得()()[]13log 1≤--≤-a x a x a 。
（*）因为10<<a ，所以[]3,2++a a 在直线a x 2=的右侧。
所以()()()[]a x a x x g a --=3log 在[]3,2++a a 上为减函数。
所以()()()()()()a a g x g a a g x g a a 44log 2,69log 3max min -=+=-=+=。
于是()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-≥-≤-10169log 144log a a a a a ，∴125790-≤<a 。