高中数学人教B版必修二学案：2.2.3 两条直线的位置关系
人教B版高中数学必修二2.2.2两条直线的位置关系.doc
高中数学学习材料唐玲出品2.2.2两条直线的位置关系【目标要求】（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式.两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程． （3）掌握直线方程各种形式之间的互化．（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面,系统,周密地分析讨论问题的能力．（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点．（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法． 【巩固教材——稳扎马步】1.下列四个命题中，真命题是（ ）A.经过定点 ()00,P x y 的直线都可以用方程 ()00y y k x x -=-表示B.经过两个不同的点 ()111,P x y ， ()222,P x y 的直线都可以用方程：()()()()121121y y x x x x y y --=--来表示C.与两条坐标轴都相交的直线一定可以用1x ya b+=表示 D.经过点()0,Q b 的直线方程都可以表示为y kx b =+2.已知 ()2,3A -，()3,2B --,直线l 过点()1,1P ,且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.344k k ≤-≥或 B.344k -≤≤ C.1344k k ≤-≥或 D.344k -≤≤ 3.直线221x y a b -=在 y 轴上的截距是( ) A.b B.2b - C.2b D.b ±4.若直线0ax by c ++=经过第一.二.三象限,则有( )A.ab ＞0 bc ＞0B.ab ＜0 bc ＜0C.ab ＞0 bc ＜0D.ab ＜0 bc ＞0 【重难突破——重拳出击】5.已知点()3,P m 在过点()2,1M -和()3,4N -的直线上，则m 的值是（ ） A. 5 B. 2 C. -2 D. -66.过点()2,P m -的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形,则m 的值 ( )A.3-62或 B. 3-62或 C. 2-63或 D. 263或- 7.经过点P （3，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 8.方程()10y kx k k=+≠的图形不可能是( )9.直线31y kx k =-+，当k 变动时，所有直线都通过定点( )A. ()0,0B. ()0,1C. ()3,1D. ()2,110.在y 轴上截距2为且垂直于直线3y π=-的直线方程是( )A ．32y x =- B. 32y x =+ C.123y x =-- D. 123y x =-+11.若直线0Ax By c ++=与两坐标轴都相交，则有( )A. 0A B =B. 00A B ≠≠或C. 0C ≠D. 0C = 12.已知直线()()2222440m mx m y m+---+-=，其斜率不存在，则m 的值为( )A. 1B.34 C. 2- D. 314不等于或 【巩固提高——登峰揽月】x y x OxyxOxy x OxyxOA. B. C. D.13.直线的方程 0=++c by ax是一次方程．它的左边c by ax ++是x .y 的一次式．为方便起见，常数c 也看作是一次式．显然，如果x 的一次式c ax +在1x x =与2x x =()21x x ≠时取相同的值，那么c ax +必定是常数c （即a 必定为零）．这一个简单的事实有许多应用．1、 求证等腰三角形底边上一点到两边距离之和为定值．2 . ABC ∆中有两个内接矩形1111G F E D ，2222G F E D ，都有一条边在BC 上，另两个顶点分别在AB 、AC 上（图2.2.2-1）．如果两个矩形的周长都是20，14(1）求证任意一个一边在BC 上，另两个顶点分别在AB .AC 上的矩形DEFG 的周长是20．(2）求ABC ∆的面积．【课外拓展——超越自我】15.将边长为1的正三角形ABC 的各边都n 等分，过各分点作平行于其它两边的直线，将这个三角形等分成小三角形．各小三角形的顶点称为结点．在每个结点放置了一个实数．已知（1）A .B .C 三点上放置的数分别是a .b .c ．（2）在每个由有公共边的两个小三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数的和相等．试求：（1）放置最大数的点与放置最小数的点之间的最短距离r ． （2）所有结点上的数的总和S ．D 2G 2F 2E 2D 1G1F 1E 1D A 图2.2.2-1B AC E G F2.2.2两条直线的位置关系【巩固教材——稳扎马步】 1.B. 2.A 3.B. 4.B 【重难突破——重拳出击】5.C6.D7.C. 8．A. 9．C. 10．B. 11.A 12. C. 【巩固提高——登峰揽月】13.解 设底边BC 为x 轴，腰AB .AC 的法线式为0111=++c y b x a及0222=++c y b x a并且ABC ∆的内部在这两条直线的正侧．点P 在线段BC 上，它的坐标为（x ，0）．因此，P 到两腰的距离之和为221121c x a c x a d d +++=+ （★）是x 的一次式．由于当P 与B 或C 重合时，（★）的值均为腰上的高h ，所以（★）式是常数h ． 注意点到直线的距离是有正负的．当P 沿x 轴移动到线段BC 外时，1d .2d 中有一个由正变负，所以上面的论证表明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离的差为定值，即一腰上的高． 14.解 以AB 为x 轴，D 点坐标为（x ，0），由于DG 与D 到AC 的距离只差一个常数因子C sin ，所以DG DE +是x 的一次式．这个一次式的D 与1D 或2D 重合时，它的值都是10，因此这一次式是常数10．即矩形DEFG 的周长是20．当D 与A 重合时，矩形退化为BC 上的高的两倍，所以这高为10．当D 与B 重合时，矩形退化为BC 的两倍，所以BC 为10．从而ABC ∆的面积为50．【课外拓展——超越自我】15． 条件（2）可叙述成：在所述菱形中，两相邻顶点上放置的数的差与另两个相邻顶点上放置的数的差相等．图2.2.2-2由此可知，下图中同一条线上的三个连续的结点上放置的数成等差数列（因为有两个结点既与这三个连续结点的前两个构成菱形，也与后两个构成菱形）．由于等差数列的每一项都是首项与另一项的一次式，所以各结点上放置的数都有是a .b .c 的一次式．如果c b a ==，那么所放置的数均相等，0=r ．如果a .b .c 不等，设a 最大，c 最小．由于等差数列中，最大（最小）的项是首项或最末一项，所以在所放置的数中也是a 最大，c 最小．1=r ．现在考虑总和S ．它也是a .b .c 的一次式．而且，当a .b .c 中任意两个字母互换时，相当于改变三角形的位置，所以总和S 保持不变，即S 是a .b .c 的对称式（对称函数）．因此a .b .c 的系数相等，即()h c b a k S +++=其中k .h 为待定系数．令0===c b a ，这时所有结点上的数为0，0=S ．从而0=h ． 令1===c b a ，这时所有结点上的数为1，S 等于结点的个数()()()221121++=++++n n n从而()()621++=n n k因此()()()c b a n n S ++++=621图2.2.2-3。
人教B版高中数学必修二2.2.3两条直线的位置关系.doc
2.2.3两条直线的位置关系【目标要求】(1)熟练掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（2）能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标．（3）进一步掌握求直线方程的方法．（4）进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法． 合的思想方法．【巩固教材——稳扎马步】1．下列两条直线12:2560:40l x y l x y +-=-+=与的交点是( )A ． (2,2)-B ． (2,2)-C ． (2,4)-D ．(4,2)-2．直线21x ay -=和221x ay -=平行，则实数a 为( )A ． 0B ． -1C ． 1D ．23．已知1:210l x my +-=与2:320l x y n +-=重合则, m n 应当满足( )A ．33,24m n ==B ． 24,33m n ==C ．34,23m n ==D ．43,32m n == 4．若直线()()2243660a a x a a y ++++--=与y 轴垂直，则a 等于 ( )A ．3或 1B ．2或 3C ． 1D ．2【重难突破——重拳出击】5．下列说法中，正确的是( )A.若直线1l 与2 l 的斜率相等，则1l ∥2 l .B.若直线1l 与2 l 互相平行，则它们的斜率相等.C.直线1l 与2 l 中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则1l 与2 l 一定相交.D.若直线1l 与2 l 的斜率都不存在，则1l ∥2 l6．过点A(1.2)和点B(-3,2)的直线于直线0y =的位置关系是（ ）A ． 相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对7．如果直线212:260:(1)(1)0l ax y l x a y a ++=+-+-=与直线平行但不重合，则a 的值等于( )A ． -1或2B ．-1C ．2D ．238．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A ．13- B ． -3 C ． 13D ．3 9．已知定点()()2,3,3,2,A B ---直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．344k k ≥≤-或B ．344k -≤≤C ． 3144k k ≥≤-或D ．344k -≤≤ 10．直线320x y m ++=和直线()213230m x y m +-+-=的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．重合 D ．视m 的取值而定11．已知直线420mx y +-=与250x y n -+=垂直，垂足为()1,p ，则m n p -+的值为 （ ）A ．24B ．20C ．0D ．-112．设a b 、、c 分别是△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应边的边长，则直线sin 0x A ay C ⋅++=与sin sin 0by y B C -⋅+=的位置关系是( )A ． 相交B ．平行C ．重合D ．垂直【巩固提高——登峰揽月】13.已知直线l 的方程为3x+4y-12＝0，求直线'l 的方程，使得：(1)'l 与l 平行，且过点(-1，3)；(2)'l 与l 垂直，且'l 与两轴围成的三角形面积为4.14.求经过两条直线0132=++y x 和043=+-y x 的交点，并且垂直于直线0743=-+y x 的直线的方程：【课外拓展——超越自我】15.对于直线l 上任一点（y x ,），点（y x y x 3,24++）仅在l 上，求直线l 的方程16. 已知两定点A （2，5），B （-2，1），M 和N 是过原点的直线l 上两个动点，且，，如果直线和的交点在轴上，求，及点的MN l AB AM BN C y M N C =22//坐标。
高中数学人教新课标B版必修2--《2.2.3两条直线的位置关系》课件2
H
E
2 2 3D
A
23
G
F C
B
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 o
巩固提例高:1．空间四边形 ABCD 中， AD BC 2 ， E, F 分别是 AB,CD 的中点， EF 3 ， 求异面直线 AD, BC 所成的角。
2
2
在 EGF 中，cos EGF EG2 FG2 EF 2 1 ，∴ EGF 120 ，
2EG FG
2
∵两异面直线所成角的范围是：00,900
∴异面直线 AD, BC 所成的角为60
作角
证角
算角
答角
小结：
1. 异面直线的定义 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线.
相交直线
2. 空间两直线的位置关系
平行直线 异面直线
3. 异面直线的画法 辅助平面衬托法
4. 异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角 5. 公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6. 等角定理：空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相
等或互补．
7. 计算异面直线所成的角
补充练习
450 。
D
(3)
直线
AB, BC,CD, DA, AB,
BC,CD, DA 与直线AAA
都垂直.
C' B'
C B
课堂反馈
1.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =2 3 , AD = 2 3 , AE = 2
高中数学人教新课标必修二B版教案高中数学两条直线的位置关系人教版必修2B教案
两条直线的位置关系一、复习目标：1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式． 2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 二、知识要点：1．已知两条直线1l 与2l ：（1）12//l l ⇔ ． （2）12l l ⊥⇔ ； （3）1l 与2l 重合⇔ ．2．直线1l 到2l 的角公式： ；直线1l 与2l 的夹角公式： ． 3．点到直线的距离公式： ；两平行直线间的距离公式： ． 三、课前预习：1．ABC ∆中，,,a b c 是内角,,A B C 的对边，且lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列，则直线21:(sin )(sin )0l A x A y a +-=与22:(sin )(sin )0l B x C y c +-=的位置关系（ A ）()A 重合 ()B 相交不垂直 ()C 垂直 ()D 平行2．点(1,1)到直线cos sin 1x y θθ+=的距离为()f θ的最大值是（ D ）()A 2 ()B 3()C 1()D 13．设直线1l ：(1)(2)30m x m y ++--=与直线2l ：(2)(51)20m x m y -+-+=.①若互相垂直，则m 的值为 0或2 ；②若没有公共点，则m 的值为12或52-.4．已知三角形的三个顶点为(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -．（1）A ∠=12arctan5；（2）A ∠的平分线AD 所在的直线方程为0x y -=.5．点(7,1)P -关于直线:250l x y --=的对称点Q 的坐标为(9,7)-．四、例题分析：例1．光线从点(2,4)A -射出，经直线l ：270x y --=反射，反射光线过点(5,8)B ． （1）求入射光线所在直线方程； （2）求光线从A 到B 经过的路程S .解：设点B 关于直线270x y --=的对称点是'00(,)B x y ．∴000058270228152x y y x ++⎧⋅--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解之得009,6x y ==，∴'(9,6)B ．（1）∴入射光线所在直线方程即'AB 直线方程：211480x y -+=．（2）设入射光线与直线l 交于点N ，则',,A N B 共线．∴''||||||||||S AN BN AN B N AB =+=+== 小结：例2．已知ABC ∆的顶点(31)A -，过点B 的内角平分线的方程是4100x y -+=，过点C 的中线方程为610590x y +-=，求顶点B 的坐标和直线BC 的方程．解：设点(,)B m n ，由过点B 的内角平分线方程得4100m n -+=①，又∵AB 的中点31(,)22m n +-在过C 的中线上，∴316()10()5922m n +-⋅+⋅=②，联立①、②解得10,5m n ==，∴点(10,5)B ．6AB k =1k =∴1l 、2l 之间的距离|BD|=35|87|=--.由已知|BC|=32，∴∠BCD=45°，即所求直线与1l （或2l ）的夹角为45°，设所求直线的斜率为k ，则有：tan45°=)43(1)43(-⋅+--k k ，解之得，k1=-7或k2=-71.∴所求直线的方程为y=-7(x-2)或y-3=71(x-2)，即，7x+y -17=0或x-7y+19=0.小结：1．过点(1,2)P 引直线，使它与两点(2,3)A 、(4,5)B -距离相等，则此直线方程为（ C ） ()A 2370x y +-=或460x y +-= ()B 460x y +-=()C 3270x y +-=或460x y +-= ()D 46x y +=2．把直线3y x =绕原点逆时针方向转动，使它与圆22230x y y ++-+=相切，则直线转动的最小正角是 （ B ）()A 3π ()B 2π ()C 23π ()D 56π3．等腰三角形底边所在的直线1l 的方程为10x y +-=,一腰所在的直线2l 的方程为220x y --=,点(2,0)-在另一腰上,则此腰所在的直线3l 的方程为240x y -+=.4．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,2)，P 为线段OA 垂直平分线上的一点，若OPA ∠为锐角，则点P 的横坐标x 的取值范围是3x >或1x <．5．△ABC 中，顶点(9,1)A 、(3,4)B 、内心(4,1)I ，则顶点C 的坐标为(1,4)--． 6．已知直线1l ：10x y +-=，2l ：230x y -+=，求直线2l 关于直线1l 对称的直线l 的方程.x+y-1=0， x=32-解法1 由 得2x-y+3=0， y=35∴l 过点P （32-，35）.又，显然Q （-1，1）是直线2l 上一点，设Q 关于直线1l 的对称点为'Q （0x ，0y ），则有1)1(1100-=-⋅+-x y 0x =0 解之，得1212100=+++-y x 0y =2即'Q （0，2）.直线l 经过点P 、'Q ，由两点式得它的方程为x-2y +4=0.解法2 由解法1知，1l 与2l 的交点为P （32-，35）.设直线l 的斜率为k ，且1l 与2l 的斜率分别为-1和2. ∵ 2l 到1l 的角等于1l 到l 的角，∴ 2)1(121⨯-+--=)1(1)1(-⋅+--k k ， ∴21=k . ∴直线l 的方程为y-35=21（x+32），即x-2y+4=0.解法3 设M （x ，y ）是直线l 上的任意一点，点M 关于直线1l 的对称点为'M ，坐标为（0x ，0y ），则1)1(00-=-⋅--x x y y 0x =1-y 解得12200=-+++y y x x 0y =1-x即点'M （1-y ，1-x ），因为点'M 在直线2l 上，将它的坐标代入直线2l 的方程得，x-2y+4=0，即为直线l 的方程.7．已知三条直线1l ：0mx y m -+=，2l ：(1)0x my m m +-+=，3l ：(1)(1)0m x y m +-++=，它们围成ABC ∆.（1）求证：不论m 取何值时，ABC ∆中总有一个顶点为定点；（2）当m 取何值时，ABC ∆的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值. 证明⑴ 将直线1l ：mx-y+m=0化为m （x +1）-y=0， x+1=0，由 得x=-1，y=0，即直线1l 经过定点（-1，0）. -y=0，同理，将3l ：（m+1）x-y+（m+1）=0化为m （x+1）+（x-y+1）=0， x+1=0由 得x=-1，y=0，即直线3l 经过定点（-1，0）. x-y+1＝0从而，直线1l 、3l 都过同一个定点（-1，0），由于1l 、3l 的交点是△ABC 的一个顶点，故△ABC 中总有一个顶点为定点.⑵ 设1l 、3l 的交点为A （-1，0），1l 、2l 的交点为B ，2l 、3l 的交点为C （如图），mx-y+m=0， x=由 解得x+my-m （m+1）=0， y=122+m m +m 即B （12+m m ，112+-m +m+1）.x+my-m （m+1）=0， x=0 由 解得（m+1）x-y+（m+1）=0 y=m+1 即C （0，m+1）.所以，11)11()1(2222+=+-++=m m m m BC .于是，△ABC 的面积S =h BC ⋅21=112122+++⋅m m m =)11(212++m m ∵ 12+m ≥2|m|， ∴ 12+m m≤21， ∴ ]21,21[12-∈+m m ，从而S ∈[41，43]. 令S=41，则m=-1；令S=43，则m=1.所以，当m=1时，△ABC 有最大面积43；当m=-1时，△ABC 有最小面积41.8．已知正方形的中心为直线220x y --=和10x y ++=的交点，正方形一边所在直线的方程为350x y +-=，求其它三边所在的直线方程．解：∵直线220x y --=和10x y ++=的交点为14(,)33O -，且设与350x y +-=平行的边所在的直线方程为30(5)x y c c ++=≠-，则11|45||4|c ---+=，∴373c =，故此直线方程为37303x y ++=．又设与350x y +-=垂直的边所在的直线方程为''30()x y c c R -+=∈，则'114|45||3()|c --⋅--+=，∴'11c =-或'193c =． 所以其它三边所在的直线方程为37303x y ++=，19303x y -+=，3110x y --=．。
内蒙古准格尔旗世纪中学高中数学必修二人教B版：2-2-3两条直线的位置关系教案 精品
《两条直线的位置关系》教案教学目标1、熟练掌握两条直线垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2、通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．3、通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重难点重点：两条直线平行、垂直的条件难点：理解平行和垂直条件的思路教学过程一、情景导入问题：已知两条直线的方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则这两条直线相交、平行、重合的条件是怎样的？二、交流展示1、在直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线的位置关系？三、合作探究探究一：两条直线相交和平行与重合条件教师：给出两条直线的方程为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0与l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，让同学们用已有的知识自主探究，相互讨论相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0；或A 1A 2 B 1B 2学生：解两条直线所在方程构成的方程组可得：(A 1B 2-A 2B 1)x +B 2C 1-B 1C 2=0因此可得x=B 1C 2-C 1B 2 A 1B 2－A 2B 1 ,y=A 2C 1-A 1C 2 A 1B 2－A 2B 1 ,当A 1B 2－A 2B 1≠0时，方程有唯一解.让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系.教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究.讨论结果：l 1,l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0；或A 1A 2 ≠ 错误！未找到引用源。
B 1B 2l 1,l 2平行的条件是A 1B 2－A 2B 1=0且B 2C 1-B 1C 2=0；或A 1A 2 =B 1B 2 ≠错误！未找到引用源。
C 1C 2l 1,l 2重合的条件是A 1=λA 2，B 1=λB 2，C 1=λC 2，或A 1A 2 =B 1B 2 =C 1C 2探究二：两条直线垂直的条件教师：根据两条直线方程的系数，我们能判断出两直线是否相交、平行、重合，那么能否利用两直线方程的系数来判断两直线是否垂直呢？学生：已知两条直线的方程为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，l 1、l 2垂直的条件是A 1A 2+B 1B 2=0；若l 1的斜率是k 1=-A 1B 1 ，l 2的斜率为k 2=-A 2B 2，即当l 1、l 2的斜率都存在时，直线l 1与l 2垂直的条件是k 1·k 2=－1即A 1A 2+B 1B 2=0时，当两条直线垂直时，这两条直线的倾斜角的差为90°.例1：已知直线l 1：3x +6y +10=0，l 2：x =－2y +5，求证：l 1//l 2.解：把l 2的方程写成一般式x +2y －5=0，因为A 1B 2－A 2B 1=0，B 1C 2－B 2C 1≠0，所以l 1//l 2.四、课堂小结两直线相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0；或A 1A 2 B 1B 2两直线平行的条件是A 1B 2－A 2B 1=0且B 2C 1-B 1C 2=0；或A 1A 2 =B 1B 2C 1C 2 两直线重合的条件是A 1=λA 2，B 1=λB 2，C 1=λC 2，或A 1A 2 =B 1B 2 =C 1C 2两直线垂直的条件是A 1A 2+B 1B 2=0或k 1·k 2=－1五、巩固练习已知直线l 1：3x +6y +10=0，l 2：x =－2y +5，求证：l 1//l 2.六、布置作业课后练习84页 练习A 第二题87页 练习A 第二题 练习B 第一题。
高中数学人教B必修二学案：第二单元 2.2.3 第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件含答案
2．2.3 两条直线的位置关系第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行与重合求参数或直线方程．知识点 两条直线相交、平行与重合的条件思考1 直线l 1：2x ＋3y －6＝0与直线l 2：3x ＋2y ＋6＝0的位置关系是怎样的？思考2 直线l 3：2x ＋3y －2＝0与直线l 4：4x ＋6y ＋3＝0的位置关系是怎样的？梳理 两条直线相交、平行与重合的判定方法 (1)代数法两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解进行判断(如表所示)：(2)几何法设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1；l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1与l 2相交⇔____________； ②l 1∥l 2⇔________________； ③l 1与l 2重合⇔____________.类型一 两条直线位置关系的判定例1 判断下列各组中两条直线的位置关系． (1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.反思与感悟 两条直线位置关系的判定方法 设两条直线的方程分别为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2、B 2≠0)，则两直线相交．(2)若A 1A 2＋B 1B 2＝0，则两直线相互垂直．(3)若A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0或(B 1C 2－B 2C 1≠0)或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)，则两直线平行．跟踪训练1 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？类型二 两条直线平行的应用例2 (1)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程； (2)求过点P (3,2)且与经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线平行的直线方程．反思与感悟 (1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．跟踪训练2 若直线l 与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56，求直线l的方程．类型三 两条直线的交点问题例3 求经过原点，且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程．反思与感悟 利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程，减少了运算量，因此我们必须熟练掌握这一方法，并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题．跟踪训练3 三条直线x ＋y ＋1＝0,2x －y ＋8＝0，ax ＋3y －5＝0只有两个不同的交点，则a ＝________.1．直线Ax ＋4y －1＝0与直线3x －y －C ＝0重合的条件是( ) A ．A ＝12，C ≠0 B ．A ＝－12，C ＝14C ．A ＝－12，C ≠－14D ．A ＝－12，C ＝－142．直线2x －y ＋k ＝0和直线4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．104．过点(－1，－3)且与直线2x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________________． 5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：答案精析问题导学 知识点思考1 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，3x ＋2y ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6.∴l 1与l 2相交．思考2 24＝36≠－23，∴l 3∥l 4.梳理 (1)平行 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 相交 A 1A 2≠B 1B 2 重合 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(2)①k 1≠k 2 ②k 1＝k 2且b 1≠b 2 ③k 1＝k 2且b 1＝b 2 题型探究例1 解 (1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4； A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1. 因为A 1A 2≠B 1B 2，所以l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4； 把l 2化为x －3y ＋2＝0， 所以A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. 因为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，所以l 1与l 2重合．(3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3； A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2. 因为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，所以l 1与l 2平行．(4)A 1＝1，B 1＝0，C 1＝－5； A 2＝1，B 2＝0，C 2＝－6， 因为A 1B 2－A 2B 1＝0，而A 2C 1－A 1C 2≠0，所以l 1与l 2平行． 跟踪训练1 解 因为直线l 1：x ＋my ＋6＝0， 直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0， 所以A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6， A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与 l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0， 即1×3－m (m －2)≠0， 即m 2－2m －3≠0， 所以(m －3)(m ＋1)≠0， 解得m ≠3且m ≠－1.故当m ≠3且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0，m 2≠9，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3，所以m ＝－1.故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3.所以m ＝3.故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．例2 解 (1)方法一 已知直线的斜率为－23，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线方程的斜率为－23.由点斜式，得所求直线的方程为y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.方法二 设与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)． ∵l 经过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.(2)经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线的斜率为k ＝1－(－1)0－(－2)＝1.∵所求直线经过点P (3,2)， ∴所求直线方程为y －2＝x －3 即x －y －1＝0.跟踪训练2 解 设直线l 的方程为 2x ＋3y ＋C ＝0， 令x ＝0，得y ＝－C3，令y ＝0，得x ＝－C2.由题意，得－C 3－C 2＝56，解得C ＝－1.所以直线的方程为2x ＋3y －1＝0.例3 解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)． 又直线l 经过原点， ∴直线l 的方程为y －0－2－0＝x －0－1－0，即2x －y ＝0. 方法二 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， ∵直线过原点(0,0)， ∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0， 即2x －y ＝0. 跟踪训练3 3或－6解析 当直线ax ＋3y －5＝0与x ＋y ＋1＝0平行时，a ＝3. 当直线ax ＋3y －5＝0与2x －y ＋8＝0平行时， a 2＝3－1≠－58，得a ＝－6， ∴a ＝3或a ＝－6. 当堂训练 1．D 2.C 3.A 4．2x ＋y ＋5＝0解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 将点(－1，－3)代入方程， 2×(－1)－3＋C ＝0，得C ＝5. ∴直线方程为2x ＋y ＋5＝0.5．解 设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ， 则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3,4)．。
人教B版高中数学必修二2.2.2两条直线的位置关系.doc
2.2.2两条直线的位置关系【目标要求】（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式.两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程．（3）掌握直线方程各种形式之间的互化．（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面,系统,周密地分析讨论问题的能力．（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点．（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法．【巩固教材——稳扎马步】1.下列四个命题中，真命题是（ ）A.经过定点 ()00,P x y 的直线都可以用方程 ()00y y k x x -=-表示B.经过两个不同的点 ()111,P x y ， ()222,P x y 的直线都可以用方程：()()()()121121y y x x x x y y --=--来表示C.与两条坐标轴都相交的直线一定可以用1x y a b+=表示 D.经过点()0,Q b 的直线方程都可以表示为y kx b =+2.已知 ()2,3A -，()3,2B --,直线l 过点()1,1P ,且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A.344k k ≤-≥或 B.344k -≤≤ C.1344k k ≤-≥或 D.344k -≤≤ 3.直线221x y a b -=在 y 轴上的截距是( ) A.b B.2b - C.2bD.b ±4.若直线0ax by c ++=经过第一.二.三象限,则有( )A.ab ＞0 bc ＞0B.ab ＜0 bc ＜0C.ab ＞0 bc ＜0D.ab ＜0 bc ＞0【重难突破——重拳出击】5.已知点()3,P m 在过点()2,1M -和()3,4N -的直线上，则m 的值是（ ）A. 5B. 2C. -2D. -66.过点()2,P m -的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形,则m 的值 ( )A. 3-62或B. 3-62或C. 2-63或D. 263或-7.经过点P （3，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条 D. 4条8.方程()10y kx k k =+≠的图形不可能是( )9.直线31y kx k =-+，当k 变动时，所有直线都通过定点( )A. ()0,0B. ()0,1C. ()3,1D. ()2,110.在y 轴上截距2为且垂直于直线3y π=-的直线方程是( )A ．32y x =- B. 32y x =+ C.123y x =-- D. 123y x =-+ 11.若直线0Ax By c ++=与两坐标轴都相交，则有( )A. 0A B =gB. 00A B ≠≠或C. 0C ≠D. 0C =12.已知直线()()2222440m m x m y m +---+-=，其斜率不存在，则m 的值为( )A. 1B. 34C. 2-D. 314不等于或 【巩固提高——登峰揽月】13.直线的方程 0=++c by ax是一次方程．它的左边c by ax ++是x .y 的一次式．为方便起见，常数c 也看作是一次式．显然，如果x 的一次式c ax +在1x x =与2x x =()21x x ≠时取相同的值，那么c ax +必定是常数c （即a 必定为零）．这一个简单的事实有许多应用．1、 求证等腰三角形底边上一点到两边距离之和为定值．2 . ABC ∆中有两个内接矩形1111G F E D ，2222G F E D ，都有一条边在BC 上，另两个顶点分别在AB 、AC 上（图2.2.2-1）．如果两个矩形的周长都是20，14(1）求证任意一个一边在BC 上，另两个顶点分别在AB .AC 上的矩形DEFG 的周长是20． (2）求ABC ∆的面积． 【课外拓展——超越自我】 15.将边长为1的正三角形ABC 的各边都n 等分，过各分点作平行于其它两边的直线，将这个三角形等分成小三角形．各小三角形的顶点称为结点．在每个结点放置了一个实数．已知 D 2G2F 2E 2D 1G1F 1E 1D A 图2.2.2-1B AC E G F（1）A .B .C 三点上放置的数分别是a .b .c ．（2）在每个由有公共边的两个小三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数的和相等．试求：（1）放置最大数的点与放置最小数的点之间的最短距离r ．（2）所有结点上的数的总和S ．2.2.2两条直线的位置关系【巩固教材——稳扎马步】1.B.2.A3.B.4.B【重难突破——重拳出击】5.C6.D7.C. 8．A. 9．C. 10．B. 11.A 12. C.【巩固提高——登峰揽月】13.解 设底边BC 为x 轴，腰AB .AC 的法线式为0111=++c y b x a及0222=++c y b x a并且ABC ∆的内部在这两条直线的正侧．点P 在线段BC 上，它的坐标为（x ，0）．因此，P 到两腰的距离之和为221121c x a c x a d d +++=+ （★）是x 的一次式．由于当P 与B 或C 重合时，（★）的值均为腰上的高h ，所以（★）式是常数h ．注意点到直线的距离是有正负的．当P 沿x 轴移动到线段BC 外时，1d .2d 中有一个由正变负，所以上面的论证表明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离的差为定值，即一腰上的高．14.解 以AB 为x 轴，D 点坐标为（x ，0），由于DG 与D 到AC 的距离只差一个常数因子C sin ，所以DG DE +是x 的一次式．这个一次式的D 与1D 或2D 重合时，它的值都是10，因此这一次式是常数10．即矩形DEFG 的周长是20．当D 与A 重合时，矩形退化为BC 上的高的两倍，所以这高为10．当D 与B 重合时，矩形退化为BC 的两倍，所以BC 为10．从而ABC ∆的面积为50．【课外拓展——超越自我】15． 条件（2）可叙述成：在所述菱形中，两相邻顶点上放置的数的差与另两个相邻顶点上放置的数的差相等．由此可知，下图中同一条线上的三个连续的结点上放置的数成等差数列（因为有两个结点既与这三个连续结点的前两个构成菱形，也与后两个构成菱形）．由于等差数列的每一项都是首项与另一项的一次式，所以各结点上放置的数都有是a .b .c 的一次式．如果c b a ==，那么所放置的数均相等，0=r ．如果a .b .c 不等，设a 最大，c 最小．由于等差数列中，最大（最小）的项是首项或最末一项，所以在所放置的数中也是a 最大，c 最小．1=r ．现在考虑总和S ．它也是a .b .c 的一次式．而且，当a .b .c 中任意两个字母互换时，相当于改变三角形的位置，所以总和S 保持不变，即S 是a .b .c 的对称式（对称函数）．因此a .b .c 的系数相等，即()h c b a k S +++=其中k .h 为待定系数．令0===c b a ，这时所有结点上的数为0，0=S ．从而0=h ．令1===c b a ，这时所有结点上的数为1，S 等于结点的个数()()()221121++=++++n n n Λ 从而 ()()621++=n n k 因此 ()()()c b a n n S ++++=621 图2.2.2-3。
高中数学人教B版必修2课件：2.2.3 两条直线的位置关系
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练 1】 给出以下四条直线:①l1:2x-3y+1=0;② l2:6x+4y-1=0;③l3:6x-9y+2=0;④l4: 2 ������ + 3 ������ = 0. 其中互相平行的直线是 ,互相垂直的直线 是 . 解析:4 条直线的方程可分别化为:
l1:y= ������ + ; ������2: ������ = − ������ + ; ������3: ������ = ������ + ; ������4: ������ = − ������. 显然 l1∥l3,l2∥l4,l1⊥l2,l1⊥l4,l3⊥l2,l3⊥l4.
1
2
证明:设直线 l1,l2 的一般式分别为 A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,则 k1=− ������1 , ������1 = − ������1 , ������2 = − ������2 , ������2 = − ������2 . 而当A1B2-A2B1=0,且 B1C2-C1B2≠0 时,l1∥l2,所以当
【例3】 已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求: (1)过点A和直线l平行的直线方程; (2)过点A和直线l垂直的直线方程. 分析:本题可根据两条直线平行与垂直时斜率间的关系,求出所 求直线的斜率后用点斜式求解,也可利用直线系方程来求解.
解:(1)(方法一)由 l:3x+4y-20=0,得 kl=− 4. 所以 l1 的方程为 y-2=− 4 (������ − 2), 即 3x+4y-14=0.
3 3 直线 l2 化为斜截式为 y=− 5 ������ − 10, 3 由此可知 l1 的斜率为 k1=− 5 , 在y 轴上的截距为 6 3 3 , ������2 的斜率为k2=− , 在y 轴上的截距为 B2=− . 5 5 10 3 6 3 因为k1=k2=− 5 , ������1 = 5 ≠ − 10 = ������2,所以 l1∥l2. 5 5
人教B版高中数学必修二《 2.2.3 两条直线的位置关系》_3
双基达标 (限时20分钟)1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点坐标为 ( )．A ．(－4，－3)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(3,4)解析 由方程组⎩⎨⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝3故选C.答案 C2．已知过A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( )．A ．－8B ．0C ．2D ．10解析 由题意可知，k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8. 答案 A3．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值是( )．A ．－23B ．－32 C.23D.32解析 由于直线l 与经过点(－2,1)且斜率为－23的直线垂直，可知a －2≠－a －2.∵k l ＝1－(－1)－a －2－(a －2)＝－1a ，∴－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，∴a ＝－23. 答案 A4．直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2过A (－2，－1)，B (3,4)，则l 1与l 2的位置关系为________．解析 ∵直线l 1的倾斜角为45°， ∴k 1＝1.又∵直线l 2过A (－2，－1)，B (3,4)， ∴k 2＝4－(－1)3－(－2)＝1.∴k 1＝k 2，∴l 1与l 2平行或重合． 答案 平行或重合5．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是________．解析 ∵l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，不妨设斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.答案 垂直6．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，过求点D 的坐标．解 设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k AD ＝yx －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AB ·k CD ＝－1，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1×y －4x ＝－1y x －1＝－23，解得⎩⎨⎧x ＝10y ＝－6，即D (10，－6)．综合提高 (限时25分钟)7．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝0的对称点的坐标是 ( )．A ．(5,2)B ．(2，－5)C ．(－5，－2)D ．(－2，－5)解析 设P (2,5)关于直线x ＋y ＝0的对称点为P 1，则PP 1的中点应在x ＋y ＝0上，可排除A ，B 而(－2，－5)与P (2,5)显然关于原点对称，但不关于直线x ＋y ＝0对称．故选C.答案 C8．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则定点坐标为( )．A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(3,1)D ．(3，－1)解析 直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，由直线系方程知，此直线系过两直线的交点．由⎩⎨⎧ x －y －4＝0，2x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，，交点为(3，－1)．故选D.答案 D9．经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．解析 设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0， 即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0. 令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ； 令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ，得λ＝13或λ＝67. 直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0. 答案 x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝010．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ，1，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．解析 由题意得，l 1∥l 2，∴k 1＝k 2， ∵k 1＝－a2，k 2＝3， ∴－a2＝3，∴a ＝－6. 答案 －611．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2，3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．解 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，k 1不存在，a －2＝3，则a ＝5； 当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0， 由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6.12．(创新拓展)已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)． (1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解 (1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ， 即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5.解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝6，∴D (－1,6)． (2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．。
人教B版高中数学必修二两条直线的位置关系教案
两条直线的位置关系教学目标：掌握两条异面直线的概念以及异面直线所成角的概念，使学生明白数学概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性。
教学重点：1、异面直线和异面直线所成角的概念的理解。
2、两条直线互为异面直线的依据的证明。
教学难点：1、异面直线和异面直线所成角的概念的理解。
2、异面直线的判定；异面直线所成角的判断与求解。
教学过程：一、创设情景，引入新课1、回忆上节课我们研究了空间两条直线的位置关系和分类依据。
2、对于两条相交直线我们只要研究他们夹角的大小来刻画，对于空间两条平行线，我们在上节课已经作了研究，并得到两个成果，就是公理4和等角定理。
3、请同学们观察如图所示正方体中AB和B1C1，AB和A1C1的位置关系是怎样的？它们在空间的具体位置关系有什么不同吗？如何比较简单地判定空间的两条直线是异面直线？如何能找到一个几何量来刻画两条异面直线的具体的位置关系？二、讲解新课：（一）异面直线的判定方法1、探究判断空间两条直线异面的方法如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，你能找到互为异面的两条直线吗？图形语言：符号语言：探究合作证明：总结：证明两条直线为异面直线的方法有：（1）通常借助于：（2）用定理证明：通常称为两在两不在定理，一个平面，两条直线（平面内一条，平面外一条），两个点（平面内一个，平面外一个）（3）当一个问题正面叙说不容易说清楚时，我们通常采用反证法，步骤是：反设（设出所证问题的反面），归谬（推出与公理、定理、定义矛盾或已知条件的矛盾或自相矛盾）、下结论。
（二）探究两条异面直线所成的角1、我们可以用角来刻画两条直线的位置关系，步骤为：从这个概念中，我们能够得到一些什么信息？（1）角的范围（2）求解异面直线所成的角的步骤。
[问题1]两条异面直线所成的角的大小是否因为点O 的不同而改变吗？[问题2]若异面直线所成的角为900，又如何定义他们之间的关系？[问题3]在求解异面直线所成角的过程中，体现了什么样的数学思想呢？（三）例题讲解：例1：（1）空间两条直线可以确定一个平面；（2）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条；（3）垂直于一条直线的两条直线平行；（4）直线a 与b 平行，直线b 与c 平行，则a 与c 平行；（5）直线a 与b 相交，直线b 与c 相交，则a 与c 相交；（6）直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则a 与c 异面；（7）一条直线与两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直。
数学人教B2学案：课堂探究2.2.3两条直线的位置关系含解析
课堂探究探究一判断两条直线的位置关系1．(1）判断两条直线平行，需要判断其斜率相等（斜率存在时)，即k1＝k2。
两条直线斜率相等，则两条直线可能平行也可能重合，还需要再进一步判断截距不相等，即b1≠b2。
如果两条直线的斜率不存在,两条直线的方程为x＝a1,x＝a2,只需a1≠a2即可；(2）判断两条直线平行，也可用系数比．2．判断两条直线垂直：(1）如果斜率都存在，只判断k1k2＝－1,如果一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断,应注意上面的两种情况；（2）利用A1A2＋B1B2＝0判断．【典型例题1】判断下列各组直线的位置关系,若相交，求出交点的坐标．（1）l1:4x＋3y－2＝0与l2：x＋2y＋2＝0；＝0与l2:2x＋4y－1＝0；（2)l1：x＋2y－12x＋1。
(3）l1：x－3y＝0与l2：y＝13思路分析：判断两直线位置关系的解法有三种：一是根据方程组的解的个数判定；二是根据方程的系数间的关系判定；三是化成斜截式方程判定．解法一：(1)解方程组4320,220,x y x y +-=⎧⎨++=⎩ ① ②①×2－②×3得5x －10＝0,所以x ＝2。
将x ＝2代入①得y ＝－2，所以两直线相交，交点坐标为（2,－2）．（2）解方程组120,22410,x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩ ① ②①×2－②得0＝0，即此方程组有无数多个解，所以两直线重合．(3）解方程组30,110,3x y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ① ② 由①得x ＝3y ，代入②得y ＝y ＋1,即0＝1不成立，所以方程组无解,所以两直线平行．解法二：(1）由于A 1＝4，B 1＝3，C 1＝－2，A 2＝1,B 2＝2，C 2＝2，所以D 1＝A 1B 2－A 2B 1＝4×2－1×3＝5≠0,所以两直线相交．解方程组4320,220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得2,2,x y =⎧⎨=-⎩所以两直线的交点为（2,－2)．（2)由于A 1＝1，B 1＝2，C 1＝－12，A 2＝2，B 2＝4,C 2＝－1， 所以D 1＝A 1B 2－A 2B 1＝1×4－2×2＝0，D 2＝A 1C 2－A 2C 1＝1×(－1）－2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－1＋1＝0，所以两直线重合．（3)由于A 1＝1，B 1＝－3,C 1＝0，A 2＝13，B 2＝－1，C 2＝1， 所以D 1＝A 1B 2－A 2B 1＝1×（－1）－13×(－3）＝－1＋1＝0,D 2＝A 1C 2－A 2C 1＝1×1－13×0＝1－0＝1≠0，所以两直线平行． 解法三：(1)l 1:y ＝－43x ＋23，l 2：y ＝－12x －1。
高中数学人教B版(2019)选择性必修第—册第二章2.2.3两条直线的位置关系(1)-教学设计
教学难点：斜率公式的推导与应用
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
新课讲解
在初中我们学习平面几何时已经知道，两条不重合的直线l1与l2：如果它们没有公共点，那么l1和l2平行；如果它们有唯一的公共点，则l1和l2相交。在平面直角坐标系中，直线可以用直线的方程来表示，那么如何依据两条直线的方程来判定它们之间的位置关系呢？
(2) 与 平行或重合的充要条件是 与 共线，即 .
那么又是如何区分两条直线的平行和重合呢？
在 与 共线时，存在实常数 ，使得 ,因为 与 都不是零向量，所以 0，且
此时 的方程可以写成 ,即 .可以看出，方程组 要么有无穷多组解，要么没有解，而且有无穷多组解的充要条件是 因此
与 重合的充要条件是，存在实数 ,使得
那么如果直线我们不知道斜率是否存在，比如直线是以一般式方程给出的，我们又如何判断呢？
设直线 .当然我们可以继续利用方程组解的个数来判断两条直线的位置关系，但这里我们还可以换一个角度，利用直线的法向量来处理。
由于 是直线 的一个法向量， 是直线l2的一个法向量，我们可以知道
(1) 与 相交的充要条件是 与 不共线，即 ;
若直线 ,则可得方程组
消去未知数y并整理，可得
(1)当且仅当 ,即 时， 式有唯一解
,因此可知方程组有唯一解，且 .此时，直线 与 有唯一的交点（称为相交），且交点坐标（ ）.
(2)当且仅当 且 ,即 且 时， 式无解，因此方程组也无解.此时直线l1与l2没有交点，因此它们相互平行.
(3)当且仅当 且 ,即 且 时，任意实数都是 式的解，方程组有无数组解.此时，直线l1与l2的方程完全一样，它们重合。
学案3：2.2.3 两条直线的位置关系
2.2.3 两条直线的位置关系学习目标1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标.(重点)2.掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别.(重点)3.灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系.(难点) 基础·初探教材整理1 两条直线相交、平行与重合的条件 1.代数方法判断两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解进行判断(如下表所示)2.若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y 轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， ①l 1与l 2相交⇔ ； ②l 1∥l 2⇔ ； ③l 1与l 2重合⇔ . 预习自测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行.( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2.( )(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交.( ) (4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行.( )教材整理2 两条直线垂直两条直线垂直与斜率的关系2直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是()A.平行B.重合C.相交但不垂直D.垂直合作学习类型1 两条直线平行的判定例1根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行.(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，3)，N(－2，－23)；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5).名师指津1.判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断.在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不重合才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.2.应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解.跟踪训练1.已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值.类型2 两条直线垂直的判定例2(1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值.名师指津利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1.一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步.2.二代：就是将点的坐标代入斜率公式.3.求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.跟踪训练2.(1)l1经过点A(3,4)和B(3,6)，l2经过点P(－5,20)和Q(5,20)，判断l1与l2是否垂直；(2)直线l1过点(2m,1)，(－3，m)，直线l2过点(m，m)，(1，－2)，若l1与l2垂直，求实数m 的值.探究共研型探究点直线平行与垂直的综合应用探究1已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断△ABC的形状吗？探究2 若已知直角三角形ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，你能求出m 的值吗？例3 已知四点A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状. 名师指津1.利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定.2.由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形. 跟踪训练3.已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标. 课堂检测1.已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( ) A.－3 B.3 C.－13D.132.过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为()A.垂直B.平行C.重合D.以上都不正确3.已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2的斜率k2＝m2＋3－4，若l1∥l2，则m的值为________.4.直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y＝________.5.已知四点A(2,2＋22)，B(－2,2)，C(0,2－22)，D(4,2)，顺次连接这四点，试判断四边形ABCD的形状.(说明理由)参考答案基础·初探教材整理1两条直线相交、平行与重合的条件1.平行无交点A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)相交有一个交点A1A2≠B1B2(A2B2≠0)无数个交点 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 2. ①k 1≠k 2②k 1＝k 2且b 1≠b 2 ③k 1＝k 2且b 1＝b 2 预习自测1. 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×【解析】 (1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确. 教材整理2 两条直线垂直 k 1·k 2＝－1 l 1⊥l 2 预习自测 2. 【答案】 D【解析】 设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1，故l 1与l 2垂直. 合作学习类型1 两条直线平行的判定例1 【解析】 先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行.解：(1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－(－3)－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2.(2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1，故直线l 1与直线l 2重合.(3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合.(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2. 跟踪训练1.解：当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行， 不合题意；当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －(－2)＝4－mm ＋2，k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1.因为直线PQ ∥直线MN ，所以k PQ ＝k MN ， 即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1. 当m ＝0或1时，由图形知，两直线不重合. 综上，m 的值为0或1. 类型2 两条直线垂直的判定例2 【解析】 (1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解.解：(1)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为0，所以l 1⊥l 2. (2)由题意，知l 2的斜率k 2一定存在，l 1的斜率可能不存在. 当l 1的斜率不存在时，3＝a －2，即a ＝5，此时k 2＝0， 则l 1⊥l 2，满足题意.当l 1的斜率k 1存在时，a ≠5， 由斜率公式，得k 1＝3－a a －2－3＝3－a a －5，k 2＝a －2－3－1－2＝a －5－3.由l 1⊥l 2，知k 1k 2＝－1， 即3－a a －5×⎝ ⎛⎭⎪⎫a －5－3＝－1，解得a ＝0. 综上所述，a 的值为0或5. 跟踪训练2.解：(1)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为0， ∴l 1⊥l 2.(2)①当两直线斜率都存在，即m ≠－32且m ≠1时，有k 1＝1－m 2m ＋3，k 2＝m ＋2m －1.∵两直线互相垂直，∴1－m 2m ＋3×m ＋2m －1＝－1.∴m ＝－1.②当m ＝1时，k 1＝0，k 2不存在，此时亦有两直线垂直.当2m ＝－3，m ＝－32时，k 1不存在，k 2＝m ＋2m －1＝－32＋2－32－1＝－15，l 1与l 2不垂直.综上可知，实数m ＝±1.探究共研型探究点 直线平行与垂直的综合应用探究1 【答案】 如图，AB 边所在的直线的斜率k AB ＝－12，BC 边所在直线的斜率k BC ＝2.由k AB ·k BC ＝－1，得AB ⊥BC ，即∠ABC ＝90°.∴△ABC 是以点B 为直角顶点的直角三角形. 探究2 【答案】 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ， 所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1， 即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.例3 【解析】 画出图形，由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明.解：A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置如图.由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12，k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，∴AB ∥CD . 由k AD ≠k BC ， ∴AD 与BC 不平行.又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD .故四边形ABCD 为直角梯形. 跟踪训练3.解：设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝yx －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC，所以⎩⎨⎧1×y －4x＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6，即D (10，－6).课堂检测 1. 【答案】 B【解析】 因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝3－03－1＝3. 2. 【答案】 A【解析】 过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k 2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k 1·k 2＝－1，所以两条直线垂直. 3. 【答案】 ±2【解析】 由题意得m 2＋3－4＝tan 60°，解得m ＝±2. 4. 【答案】 －1 7【解析】 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7.5.解：∵k AB ＝2－(2＋22)－2－2＝22，k BC ＝2－22－20－(－2)＝－2，k AD ＝2－(2＋22)4－2＝－2，k CD ＝2－(2－22)4－0＝22，∴k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD . ∴AB ∥CD 且BC ∥AD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵k AB ·k BC ＝－1， ∴AB ⊥BC ，∴四边形ABCD 是矩形.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2.3两条直线的位置关系[学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想.[知识链接]1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α＜180°.2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝y2－y1x2－x1.3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式. [预习导引]1.两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系,可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下：方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(A2C1－A1C2≠0)或A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)有唯一解 相交有一个交点A 1B 2－A 2B 1≠0 或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)有无数个解 重合无数个 交点A 1＝λA 2,B 1＝λB 2,C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)(2)两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系,也可用两直线的斜率和在y 轴上的截距来进行判断.具体判断方法如表所示. 位置关系 平行重合相交一般相交垂直图示k ,b 满足 条件k 1＝k 2且b 1≠b 2k 1＝k 2且b 1＝b 2k 1≠k 2k 1·k 2＝－1对坐标平面内的任意两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,有l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.如果B 1B 2≠0,则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1,l 2的斜率k 2＝－A 2B 2.又可以得出：l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.要点一 直线的交点问题例1 求经过原点,且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程.解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， 所以直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1,－2). 又直线l 经过原点,所以直线l 的方程为 y －0－2－0＝x －0－1－0,即2x －y ＝0. 方法二 设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0, ∵直线过原点(0,0), ∴8－λ＝0,λ＝8,∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0,10x －5y ＝0, 即2x －y ＝0.规律方法 本题中的方法一是通法通解.方法二利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程,减少了运算量,因此我们必须熟练掌握这一方法,并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题. 跟踪演练1 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0得 P (0,2).因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3, 所以直线l 的斜率为－43,由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2,即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0, 又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0, 解得λ＝11,∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 要点二 两条直线的平行关系例2 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行： (1)l 1经过点A (－1,－2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (－1,－1)； (2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (－1,3),N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2),B (－3,10),l 2经过点M (5,－2),N (5,5). 解 (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1,k 2＝－1－4－1－3＝54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行；(2)k 1＝1,k 2＝2－12－1＝1,k 1＝k 2,∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合.(3)k 1＝0－11－0＝－1,k 2＝0－32－(－1)＝－1,k 1＝k 2,数形结合知,l 1∥l 2.(4)l 1与l 2都与x 轴垂直,∴l 1∥l 2.规律方法 判断两条直线平行,应首先看两条直线的斜率是否存在,即先看两点的横坐标是否相等,对于横坐标相等是特殊情况,应特殊判断.在证明两条直线平行时,要区分平行与重合,必需强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.跟踪演练2 已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a －1,2),直线l 2经过点C (1,2),D (－2,a ＋2).若l 1∥l 2,求a 的值. 解 设直线l 2的斜率为k 2,由斜率公式得k 2＝2－(a ＋2)1－(－2)＝－a 3.若l 1∥l 2,则l 1的斜率k 1＝－a3, 由斜率公式k 1＝2－a a －4,则2－a a －4＝－a3,∴a ＝1或a ＝6.经检验,当a ＝1或a ＝6时,l 1∥l 2. 要点三 两条直线的垂直关系例3 判断下列各题中的直线l 1,l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1,－2),B (1,2),l 2经过点P (－2,－1),Q (2,1)； (2)l 1经过点A (3,4),B (3,6),l 2经过点P (－5,20),Q (5,20).解 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2,直线l 2的斜率k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12,因为k 1·k 2＝1≠－1,所以l 1与l 2不垂直.(2)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率k 2＝20－205－(－5)＝0,所以l 1⊥l 2.规律方法 两条直线垂直需判定k 1k 2＝－1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条斜率不存在,另一条斜率为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.跟踪演练3 已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2,－4),B (6,6),C (0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率. 解 由斜率公式可得 k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54,k BC ＝6－66－0＝0,k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5.由k BC ＝0知,直线BC ∥x 轴,∴BC 边上的高线与x 轴垂直,其斜率不存在.设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2, 由k 1k AB ＝－1,k 2k AC ＝－1, 即k 1×54＝－1,k 2×5＝－1, 解得k 1＝－45,k 2＝－15.综上可知BC 边上的高所在直线的斜率不存在； AB 边上的高所在直线的斜率为－45； AC 边上的高所在直线的斜率为－15.1.直线l 1：2x ＋3y －2＝0；l 2：2x ＋3y ＋2＝0的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.重合答案 B解析 ∵A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2≠A 2C 1,∴l 1∥l 2.2.已知直线l 1的斜率k 1＝－85,直线l 2的斜率k 2＝58,则l 1与l 2的位置关系为()A.平行B.重合C.垂直D.无法确定答案 C解析∵k1·k2＝－1,∴l1⊥l2.3.下列说法正确的有()①若两直线斜率相等,则两直线平行；②若l1∥l2,则k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交；④若两直线斜率都不存在,则两直线平行.A.1个B.2个C.3个D.4个答案 A解析当k1＝k2时,l1与l2平行或重合,①不成立；②中斜率不存在时,不正确；④同①,也不正确.只有③正确.故选A.4.直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直,则l的方程是()A.3x＋2y－1＝0B.3x＋2y＋7＝0C.2x－3y＋5＝0D.2x－3y＋8＝0答案 A解析与2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为3x＋2y＋m＝0,把(－1,2)代入直线方程得m＝－1.5.一条光线从A(3,2)发出,到x轴上的M点后,经x轴反射通过点B(－1,6),则反射光线所在直线的斜率为__________.答案－2解析 如图所示,作A 点关于x 轴的对称点A ′,所以点A ′在直线MB 上. 由对称性可知A ′(3,－2),所以光线MB 所在直线的斜率为k A ′B ＝6－(－2)－1－3＝－2.故反射光线所在直线的斜率为－2.1.两直线平行或垂直的判定方法斜率 直线 斜率均不存在平行或重合 一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在垂直 斜率均存在相等 平行或重合 积为－1垂直2.。