高一-暑期班第1讲集合与映射学生版

内容 基本要求
集合的含义 会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系； 集合的表示
能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等 集合间的基本关系
理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念.在具体情景中，了解空集和全集的含义；
理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集
集合的基本运算
掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算.能使用维恩图表达集合之间的关系和运算.
1. 集合的含义，会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；
3. 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等；
4. 理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义；
5.
理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 6. 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．
板块一：集合的含义与表示 （一） 知识内容
1.集合的相关定义
⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）. ⑵ 元素用小写字母,,,a b c 表示；集合用大写字母,,,A B C 表示.
⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.
知识精讲
高考要求
第1讲 集合与映射
2.元素与集合间关系：属于∈；不属于∉.
3.集合表示法
⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法. 例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}
⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x |描述特点}
例如：大于3的所有整数表示为：{Z |3}x x ∈>
方程2250x x --=的所有实数根表示为：{R x ∈|2250x x --=}
（二）典例分析：
1.集合的性质
【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.
A. 中国古代四大发明
B. 地球上的小河流
C. 方程210x -=的实数解
D. 周长为10cm 的三角形
【例2】已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 .
2.集合与元素间的关系 【例3】用“∈”或“∉”填空：
⑴ 若2{|340}A x x x =--=，则1-___A ；4-___A ； ⑵ 0___∅； ⑶ 0___{0}．
【例4】用符号“∈”或“∉”填空
⑴0______N ， 5______N ，16______N
⑵1
______,π_______,e ______2-R Q Q Q （e 是个无理数）
⑶2323-++________{}
|6,,x x a b a b =+∈∈Q Q
3.集合的表示方法
【例5】用列举法表示下列集合
⑴ 方程2260x x +-=的根；
⑵ 不大于8且大于3的所有整数；
⑶ 函数32y x =+与1
y x
=的交点组成的集合．
【例6】下列命题正确的有（ ）
⑴很小的实数可以构成集合；
⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合； ⑶3611,,,,0.524
2
-这些数组成的集合有5个元素；
⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
板块二：集合间的基本关系 （一） 知识内容
1.子集：
对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为 集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）. 规定：∅是任意集合的子集. 2.真子集：
如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集， 记作A
B （或B A ）.∅是任意非空集合的真子集.
3.相等：
如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A 与集合中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B .
(二)典例分析
【例7】用适当的符号填空： ⑴ ___{0}∅ ⑵ 2___{(1,2)}
⑶ 0___2{|250}x x x -+= ⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸ {3,5}___N
⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺
{(2,3)}___{(3,2)}
【例8】下列说法中，正确的是（ ）
A ．任何一个集合必有两个子集；
B ．若,A B =∅则,A B 中至少有一个为∅
C ．任何集合必有一个真子集；
D ．若S 为全集，且,A B S =则A B S ==
【例9】设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______
【例10】已知{25}
⊆，求m的取值范围．
=+≤≤-，B A
B x m x m
=-≤≤，{121}
A x x
【例11】若全集{}
A=，则集合A的真子集共有．
U=且{}2
0,1,2,3
U
A．3个B．5个C．7个D．8个
【例12】{,,}
a b c d e f，求满足条件的A的个数．
a b c A{,,,,,}
【例13】求集合{,}
a b的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1,2,3,4,5,,100}
的子集和真子集的个数．
板块三：集合的基本运算
（一）知识内容
1．相关概念：
⑴并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，
记作A B（读作“A并B”），即{|,
x B
∈．
A B x x A
=∈或}
⑵交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，
记作A B（读作“A交B”），即{|,
x B
∈．
=∈且}
A B x x A
⑶全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，
记作
U
A ，即
{|,U
A x x U =∈且}x A ∉．
（二）典例分析
【例14】已知全集{1,2,3,
,10}U =，{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，{3,5,7,9}C =
求：A
B ，A
B ，()U A B ，
U
A B ，()A B C
【例15】已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，求实数a 的值．
【例16】若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）
⑴若A B =∅，则()()U U
A B U =
⑵若A
B U =，则()()U U A B =∅
⑶若A B =∅，则A B ==∅
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【例17】已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）
A ．∅
B ．{1,3}-
C ．R
D ．[1,3]-
【例18】若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．1或1-或0
【例19】设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0N n x x n =-+=方程有实数根，求
(
)
U
M N ．
【例20】已知{(,)|,}I x y x y =∈R ，3(,)|12y A x y x -⎧
⎫==⎨⎬-⎩⎭
，{}(,)|1B x y y x =≠+，则()I A B 等于（ ）
A ．∅
B ．{(2,3)}
C ．(2,3)
D ．{2,3}
【例21】设全集{|20I x x =≤且x 为质数}．若{3,5},
{7,19}I
I
A
B A
B ==，且{2,17}I I
A
B =，求
集合,A B ．
【例22】已知全集I 中有15个元素，集合M
N 中有3个元素，I I
M
N 中有5个元素，
I
M
N 中有4个元素．则集合N 中元素的个数（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
15
4
53
I
N
M
【例23】设I =R ，集合2{|4430}A x x ax a =+-+=，22{|(1)0}B x x a x a =+-+=，
2{|220}C x x ax a =+-=．若,,A B C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．
板块四：映射的定义 （一）知识内容
1.一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．
记作“f ：A →B ” 说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

2.象与原象：如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么集合A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象。

注意点：（1）对映射定义的理解。

（2）判断一个对应是映射的方法。

3．一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任一元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射．
（二）典例分析
【例24】以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？如果是映射，是不是一一映射．
⑴ 集合{|A P P =是数轴上的点}，集合R B =，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对
应；
⑵ 集合{|A P P =是平面直角坐标系中的点}，集合{(,)|,}B x y x y =∈∈R R ，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
⑶ 集合{|A x x =是三角形}，集合{|B x x =是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；
⑷ 集合{|A x x =是华星中学的班级}，集合{|B x x =是华星中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．
【例25】已知12{,}A a a =，12{,}B b b =，则从A 到B 的不同映射共有（ ）
A ．4个
B ． 3个
C ． 2个
D ． 1个
【例26】已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的
元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5
【例27】⑴若集合{1,0,1}A =-，{2,1,0,1,2}B =--，f ：A →B 表示A 到B 的一个映射，且满足对任意x A
∈都有()x f x +为偶数，则这样的映射有_______ 个．
⑵设:f A B →是从集合A 到B 的映射，{}(,),A B x y x y ==∈∈R R ，
:(,)(,)f x y kx y b →+，若B 中元素(6,2)在映射f 下的原象是(3,1)，
则k ，b 的值分别为________．
习题1. 用列举法表示集合：10,1M m
m m ⎧
⎫
=∈∈=⎨⎬+⎩
⎭
Z Z
习题2. 若全集{}0,1,2,3U =且
{}2U
A =，则集合A 的真子集共有
．
A ．3个
B ．5个
C ．7个
D ．8个
习题3. 若{}{}
21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = ．
习题4. 某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音
乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人．
习题5. 已知集合{}04A x x =≤≤，{}02B y y =≤≤，下列从A 到B 的对应f 不是映射的是（ ）
A ．1:2f x y x →=
B ．1
:3f x y x →=
C ．2:3f x y x →=
D ．21
:8
f x y x →=
习题6. 已知全集是R ，{|37},{|210}A x x B x x =<=<<≤，求
R
()A
B ，R ()
A B
家庭作业
习题1. 若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）
A ．0X ⊆
B ．{}0X ∈
C ．X ∅∈
D ．{}0X ⊆
习题2. 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素
2n +n ，则在映射f 下，像20的原象是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
习题3. 已知{}2|43,M y y x x x ==-+∈R ，{}2|28,N y y x x x ==-++∈R ，
则__________M
N =．
习题4. 设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)
12y M x y x ⎧
+⎫
==⎨⎬-⎩
⎭
，{}(,)4N x y y x =≠-， 那么()()U U M N 等于________________．
月测备选。