《实变函数》考试大纲
(完整版)《实变函数》期末复习提要
《实变函数》期末复习提要内容包括集合、n R 中的点集、勒贝格测度、勒贝格可测函数、勒贝格积分等方面的知识。
第一章 集合1．考核要求：⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念；⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用；⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理；⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集；⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。
2．练习题单元练习题一、单项选择题1.)\(\)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（ ）．(A) B A ⊂ (B) A B ⊂(C) C A ⊂ (D) A C ⊂2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（ ）．(A) B A = (B) ∅=B(C) B A ⊂ (D) A B ⊂二、填空题1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1n n A ． 3.设]11,0(nA n +=，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ．4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n nA n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ． 三、证明题1.设)(x f 是1R 上的实值函数，证明对任意实数a ，有∞=+<≤==1}1)({})({n n a x f a x a x f x 2.设)(x f 是1R 上的实值函数，对任意实数a ，证明：∞=+<∈=≤∈111}1)(,{})(,{n n a x f R x x a x f R x x 第二章 n 维空间中的点集1．考核要求：⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件；⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论；⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论；⑸理解康托集的构造及其性质。
长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001实变函数2篇
长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001实变函数长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001实变函数精选2篇（一）长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001 实变函数实变函数是数学分析中的重要概念，是探究实数域上函数性质的根底。
在考研复试中，通常会涉及到对实变函数的理论性和应用性的考察。
下面是长沙理工大学2024考研复试实变函数的大纲：一、根本概念和根本性质1. 实数集的根本性质和定义2. 函数的根本定义和性质3. 实变函数的有界性与有界变差性4. 函数的连续性、连续点和连续类型二、导数和微分1. 导数的定义和性质2. 导数的计算法那么〔如和、积、商的求导法那么〕3. 微分的定义和性质4. 高阶导数和高阶微分5. 导数的应用〔如极值、凹凸性、函数图像的绘制〕三、广义积分1. 黎曼积分的定义和性质2. 黎曼可积性的断定定理3. 定积分的根本性质和计算方法4. 不定积分的根本性质和计算方法5. 反常积分的定义和性质6. 初等函数的原函数与不定积分四、级数与幂级数1. 数项级数的根本概念和性质2. 级数的收敛断定方法〔如比拟判别法、比值判别法、根值判别法〕3. 幂级数的收敛半径和收敛域4. 幂级数的和函数性质和求和方法5. 幂级数的应用〔如函数展开、近似计算〕五、函数序列与函数级数1. 函数序列的收敛性定义和断定方法2. 函数序列的一致收敛和极限函数的性质3. 函数级数的收敛性定义和断定方法4. 函数级数的均匀收敛性与各种一致收敛级数的判别法5. 函数级数的一致收敛和逐项积分此外，考生还需要纯熟掌握实变函数相关的根本练习题和典型例题，以及对应的解题方法和技巧。
考生在复试前应该对这些内容进展系统性的复习和总结，掌握实变函数的根本概念、根本理论和应用方法，以便在考试中可以纯熟运用。
长沙理工大学2024考研复试大纲：F1001实变函数精选2篇（二）长沙理工大学2024考研复试大纲：F0801通信原理一、绪论1. 通信原理的概念和开展历史〔200字〕通信原理是研究信息传输的根本原理和方法的学科，是现代通信技术的重要根底。
实变与泛函分析初步自学考试大纲
实变与泛函分析初步自学考试大纲第一章集合（一）重点集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、 D.Morgan 法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；单射、满射、一一映射、映射基本性质、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集；R n中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；收敛点列、聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质；G 集合、F 集合、G 集合和F 集合的性质、Borel 集；R1中开集与闭集的构造、R n中开集与闭集的构造。
识记：集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、 D.Morgan 法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；单射、满射、一一映射、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集；R n中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；收敛点列、聚点、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质、G 集合、F 集合、G 集合和F 集合的性质、Borel集；R1中开集与闭集的构造、R n中开集与闭集的构造。
理解：集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、 D.Morgan 法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质；R n中的距离、邻域、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质；G 集合和F集合的性质、Borel集；R1中开集与闭集的构造、R n中开集与闭集的构造。
长沙理工大学2023考研复试大纲：F1001实变函数2
长沙理工大学2023考研复试大纲：F1001实变函数1500字长沙理工大学2023考研复试大纲：F1001实变函数实变函数是数学分析中的一个重要分支，研究函数在实数集上的性质和变化规律。
在考研复试中，实变函数是数学专业考生必备的知识点之一。
下面我们将介绍长沙理工大学2023考研实变函数的大纲内容，帮助考生更好地备考。
一、实数及其性质1. 实数的概念2. 实数的性质：有序性、稠密性、无理数、超实数等3. 实数的宾夫埃尔德贝格完备性二、实函数概念与性质1. 实函数的定义与表示2. 函数的基本性质：有界性、最值、奇偶性、周期性等3. 实函数的单调性、有界性、连续性与一致连续性4. 实函数的极限与收敛性三、函数的连续性与间断点1. 函数的连续性与间断点的概念2. 连续函数的性质与判定方法3. 间断点的分类及其性质4. 极限存在定理及连续性定理的证明四、导数与微分1. 导数的概念与定义2. 导数的计算与性质：四则运算、复合函数、反函数等3. 各种类型函数的导数计算：幂函数、指数函数、对数函数等4. 微分的概念与性质：微分近似、高阶微分等五、函数的凸性与最值1. 函数的凸性与下凸性2. 函数的极值与最值：条件极值、绝对极值等3. 极值的判定方法：导数法、二阶导数法等4. 图像绘制与凸函数的性质六、积分与不定积分1. 积分的概念与性质2. 不定积分与定积分的关系3. 常见函数的不定积分计算：幂函数、指数函数、三角函数等4. 定积分的计算与性质：定积分存在定理、积分中值定理等七、级数与幂级数1. 级数的基本概念与性质2. 收敛级数的判定方法：比值判别法、根值判别法等3. 幂级数的概念及收敛半径的计算4. 幂级数的性质与求和方法：和函数、逐项求导与逐项积分等以上就是长沙理工大学2023考研实变函数的大纲内容。
对于考生们来说，重点掌握实数及其性质、实函数的基本性质和连续性、导数与微分的计算与性质、函数的凸性与最值、积分与不定积分、级数与幂级数等知识点，同时要注重联系实际问题，提升应用能力。
沈阳师范大学《实变函数论》(加试)2020年考研专业课加试大纲
《实变函数论》考试大纲一、课程简介《实变函数》是我校数学与统计各专业的一门重要专业基础课，它不仅是学习泛函分析、概率论、数理统计、测度论、计算方法、数理方程、随机过程等后继课程的一种工具，而且是一种高级思维模式；它不仅传播一门知识，而且培养一种思维品质。
因此，这门课程的好坏直接影响到21世纪人才的培养，进而影响到我国的科技发展水平与现代化进程。
实变函数论是现代数学的重要基础，人们常以实变函数理论的出现作为现代数学现代分析数学诞生的标志。
实变函数的中心任务是建立一种较之旧的黎曼积分更为灵活、有效的勒贝格（Lebesgue）积分理论。
采用集合论的思想方法研究数学分析中的问题是实变函数的主要特点。
目前，实变函数理论已渗透到现代数学的许多分支，它在数学各个分支的应用成为现代数学的显著特征。
由于思想方法独特，它的许多理论比起经典的分析学要深刻得多，应用起来也便利得多。
例如积分与极限交换不再要求一致收敛；重积分化为累次积分只需函数是可积的，等等。
另外，许多初等数学的基本概念和内容也需要实变函数的理论才能解释清楚。
二、考查目标主要考查学生对《实变函数》中基数，可列集，不可列集等；n维欧氏空间，开集，闭集，紧致集等；勒贝格测度，包括勒贝格测度的引入，内测度，外测度，可测集的性质；可测函数，包括可测函数的基本性质，可测函数的收敛性，可测函数的构造；勒贝格积分，包括勒贝格积分的引入，积分性质，积分序列的极限等各项知识的掌握情况，以及运用这些知识研究与解决分析问题的能力。
三、考试内容及要求第一章集合（一）考核知识点集合之间的交、差、余运算。
集列的上、下限集的概念及其交并表示。
单调集列的收敛。
――映射与集合对等及集合基数。
可数集，不可数集、基数为c 的集合。
（二）考核要求掌握集合及其运算。
集的对等及其基数。
掌握集之间的交、差、余运算。
掌握集列的概念及其交并表示。
理解单调集列的概念。
掌握――映射，两集合1。
《实变函数》课程大纲
备注说明：
1.带*内容为必填项。
2.课程简介字数为300-500字；课程大纲以表述清楚教学安排为宜，字数不限。
专业必修课
授课对象
（Audience）
数学系本科生
授课语言
(Language of
Instruction)
中文或英文
*开课院系
（School）
数学系
先修课程
（tructor）
课程网址
(Course Webpage)
无
*课程简介（Description）
*课程简介（Description）
The Course is one of the core courses for the above majors. It is required for all math majors. The following topics are covered in this course:
实变函数复习手册
邢台学院数学系《实变函数》复习手册 前言本课程是数学专业的一门重要的基础课程，在数学教学中具有承上启下的作用。
通过本课程的学习，希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算，点集的一些性质，测度、可测函数及L 积分的定义及性质；熟悉并会运用积分序列的极限定理。
为以后学习其它课程打下良好的基础。
第一章 集合本章讨论了集合的基本性质及运算，主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定义。
为以后引入L 积分打下了基础。
§1 集合的概念理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。
§2 集合的运算深刻理解并集或和集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义，并且会求。
§3 对等与基数1 掌握有限集、无限集、一一映照、对等的定义；会建立常见集合间的对等关系；了解对等的性质。
2 了解基数概念，会比较两个集的基数大小。
§4 可数集合与自然数集合N 对等的集合称为可数集合。
1 任何无限集包含一个可数子集。
2 若A 是一个可数集合，B 是一个有限集合，则A ∪B 是可数集合。
3 有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。
4 有理数全体是一个可数集，代数数全体是一个可数集。
§5 不可数集合1 实数集全体R 不是可数集。
其基数记为c ，称与R 对等的集合具有连续基数。
2 任何区间具有连续基数，可数个c 集的并是c 集，实数列全体E ∞的基数是c 。
3 不存在基数最大的集合，也不存在最大基数。
练习题 一、选择题1、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体自然数B 、0，1之间的实数全体C 、[0，1]上的实数全体D 全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、全体小个子D 、{x ：x>1} 3、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体胖子 4、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体瘦子 5、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体小孩子B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体实数 6、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体大人C 、{x ：x>1}D 、全体整数 7、设{}:1A x x ααα=-<≤，I 为全体实数，则IA αα∈= （）A 、()1,1-B 、(]1,0-C 、(),-∞+∞D 、()1,+∞8、设11:11i A x x i i ⎧⎫=-+≤≤-⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、(]1,0-C 、[]0,1D 、[]1,1-9、设1:01i A x x i ⎧⎫=≤<+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、（0，1）B 、[]0,1C 、[)0,1D 、()0,+∞10、设11:12i A x x i i ⎧⎫=-<<+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、[1，2]B 、（1，2）C 、（0，3）D 、(]1,211、设3:2i A x i x i ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、[]0,1C 、∅D 、{0}12、设11:i A x x i i ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、[]0,1C 、∅D 、{0}13、设2110,221n A n -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，210,12n A n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、[0，2] B 、[)0,2 C 、[0，1] D 、[)0,114、设2110,221n A n -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，210,12n A n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、[0，2] B 、[)0,2 C 、[0，1] D 、[)0,1 15、设(0,)n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（）A 、∅B 、[]0,nC 、RD 、()0,+∞ 16、设1(0,)n A n=，n N ∈，则lim n n A →∞=（）A 、（0，1）B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、{0}D 、∅ 17、设2110,n A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20,n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、∅ B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、()0,nD 、()0,+∞ 18、设2110,n A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20,n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、∅ B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、()0,nD 、()0,+∞ 19、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(A-B)=（） A 、B B 、A C 、A ∩B D 、A ∪B20、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B ∪C)=（）A 、(A-B)∩(A-C)B 、(A-B)∪(A-C)C 、A ∩BD 、A ∩C 21、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B ∩C)=（）A 、(A-B)∩(A-C)B 、(A-B)∪(A-C)C 、A ∩BD 、A ∩C22、设A 、B 、S 是三个集合，且,A S B S ⊂⊂，则()s C A B -=（） A 、s s C A C B ⋃ B 、s s C A C B ⋂ C 、s C A B ⋃ D 、s C A B ⋂ 23、设A 、B 、S 是三个集合，()s C A B ⋃=（）A 、s s C A CB ⋃ B 、s sC A C B ⋂ C 、s C A B ⋃D 、s A C B ⋃ 24、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B-C)=()A 、A ∪C-B B 、A-B-C C 、(A-B)∪(A ∩C)D 、C-(B-A) 二、填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A n =，则B =（）2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集，则B =（）3、若A c =，B c =，则A B ⋃=（）4、若A c =，B 是一可数集，则A B ⋃=（）5、若A c =，B n =，则A B ⋃=（）6、若{}n A 是一集合列，且n A c =，则1nn A∞= =（）7、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则IA αα∈ =（） 8、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则IA αα∈ =（） 9、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()s IC A αα∈ =（） 10、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()s IC A αα∈ =（） 11、若{}n A 是任意一个集合列，lim n n A →∞=（）12、若{}n A 是任意一个集合列，lim n n A →∞=（）三、判断题1、{0,1}={1,0}。
实变函数复习提纲
实变函数复习提纲第一章、集与点集1.基本概念:映射;集合(族)的基本运算(并、交、差);两个集合的对称差;集合的对等;有限集;无限集;可列(数)集;至多可数(列)集;不可数(列)集;开集;闭集;聚点;闭包;导集;完全集;稀疏集与稠密集;Cantor三分集;Cantor函数;集合的势(基数)(可列集的势记为ℵ0,连续统的势记为ℵ);两个集合的势相等;实数的p(>1)进制表示等.2.基本定理:(1).R中非空开集可表示成至多可列个互不相交的开区间的并.(2).R2中的非空开集可表示成可列个互不相交的半开正方体的并.(3).伯恩斯坦(Bernstein)定理:设λ,µ为两个势.若λ≤µ,µ≤λ同时成立,则有λ=µ.(4)∗.策梅洛选择公理:设A是一个非空集组成的非空集类,则存在映射f:A→A∈A A,满足对每个A∈A有f(A)∈A.第二章、勒贝格(Lebesgue)测度1.基本概念:外测度;内测度;Lebesgue测度;可测集;不可测集;测度的完全可加性;外测度的次(半)可加性;Gδ集;Fσ集;Lebesgue测度的平移不变性等.2.基本性质与定理:(1).开集,闭集是可测集;零测集是可测集;可测集的可数并(交),可测集的差集是可测集;Carath´e odory条件:对于R的任意子集A,有m∗(A)= m∗(A∩E)+m∗(A∩E c);外测度与内测度的“单调性”.(2).设E是R的一个子集,则下述命题等价:(i).E是可测的;(ii).∀ε>0存在包含E的开集G使得m∗(G−E)<ε;(iii).∀ε>0存在包含于E中的闭集F使得m∗(E−F)<ε.(3).设E是R的一个子集,则下述命题等价:(i).E是可测的;(ii).∀ε>0存在可测集F和G,使得F⊂E⊂G,并且m∗(G−F)<ε;(iii).存在包含E的Gδ集G使得m∗(G−E)=0;(iv).存在包含于E中的Fσ集F使得m∗(E−F)=0.这个结论事实上是在说可测集的结构:即可测集与Gδ集或Fσ集只相差一个零测集.(4).不可测集是存在的.第三章、可测函数1.基本概念:可测函数;简单函数;特征函数;几乎处处;集合序列的上(极)限集和下(极)限集;近一致收敛;依测度收敛等.2.基本性质与定理:(1).可测集上的连续函数是可测的;若{f n}n∈N+是可测函数列,则supn∈N+f n,infn∈N+f n也是可测的;可测函数列的上下极限函数也是可测的;两个可测函数的和、差、商、积(若运算几乎处处有定义)也是可测的.(2).可测函数可以用简单函数来逼近.(书本第98页定理1.3)(3).叶果洛夫(Egoroff)定理.它解释了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间的关系.(4).里斯(Riesz)定理.它解释了可测函数列几乎处处收敛与依测度收敛之间的关系.(5).鲁津(Lusin)定理.它解释了可测函数与连续函数之间的关系.第四章、勒贝格(Lebesgue)积分1.基本概念:非负简单函数的勒贝格积分;非负可测函数的勒贝格积分;一般可测函数的勒贝格积分;有积分;可积;积分的绝对连续性;依维它利意义覆盖;有界变差函数;绝对连续函数等.2.基本性质与定理:(1).积分具有线性性、σ可加性(课本第126页定理2.3);唯一性定理(课本第133页定理2.7).(2).勒维(Levi)定理.它解释了非负单调可测函数列的积分的极限与极限函数的积分之间的关系.(3).法杜(Fatou)定理.它解释了非负可测函数列的积分的下极限与下极限函数的积分之间的关系.(4).勒贝格(Lebesgue)控制收敛定理.(5).R积分与L积分的比较定理:设f是有界闭区间[a,b]上的有界函数,则f在[a,b]上R可积当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.更进一步,当f在[a,b]上R可积时,f在[a,b]上一定L可积,而且两个积分值相等.第五章、函数空间L p.L p(E),1≤p≤+∞空间以及傅立叶(Fourier)变换的定义.注:请关注习题课(习题讲解)的内容!考试以上课讲解的内容为准!。
(0195)《实变函数》复习大纲、样题及
（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。
即或为有限集或为可数集。
（3）可数个可数集的并集是可数集。
（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。
3、常见的可数集：有理数及其无限子集。
三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
2、掌握集之间的并、交、差、余运算。
3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
4、理解集列的收敛、单调集列的概念。
5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。
五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。
即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。
我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。
第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。
二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。
2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。
3、开集、闭集具有对偶性。
4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。
实变函数教学大纲
实变函数教学大纲一、引言实变函数是高等数学中的重要概念之一，它与实数的性质密切相关。
本教学大纲旨在介绍实变函数的基本知识和概念，帮助学生建立对实变函数的正确理解和应用能力。
二、教学目标1. 理解实变函数的定义，并能正确应用；2. 掌握实变函数的基本性质，包括有界性、连续性、可导性等；3. 能够分析实变函数的图像和性态，包括单调性、极值点、拐点等；4. 能够解决与实变函数相关的典型问题，包括求导、求极限等；5. 培养学生的创新思维和问题解决能力。
三、教学内容1. 实数与实变函数1.1 实数的定义与性质1.2 实变函数的定义与表示方式1.3 实变函数的定义域与值域2. 实变函数的基本性质2.1 实变函数的有界性2.2 实变函数的连续性2.3 实变函数的可导性2.4 实变函数的单调性与极值点2.5 实变函数的拐点与凹凸性3. 实变函数的图像与性态3.1 绘制实变函数的图像3.2 分析实变函数的性态，包括单调性、极值点、拐点等4. 实变函数的应用4.1 求实变函数的导数4.2 求实变函数的极限4.3 实变函数在数学建模中的应用案例四、教学方法1. 理论讲授：通过讲解理论知识，梳理实变函数的定义和基本性质；2. 示例分析：选择典型的实例，通过分析解决问题的步骤和方法，增加学生的实际应用能力；3. 互动探讨：通过问题导向的方式引导学生思考和讨论，激发学生的主动性和创造性思维；4. 实践训练：提供丰富的练习题和实际应用题，让学生进行实践演练，巩固知识和技能。
五、教材及参考书目1. 主教材：实变函数教程，作者：XXX，出版社：XXX2. 参考书目：实变函数导论，作者：XXX，出版社：XXX实变函数与泛函分析，作者：XXX，出版社：XXX六、教学评估与考核1. 平时成绩：包括出勤率、课堂表现和参与度等；2. 作业成绩：包括课后习题和实践应用题等；3. 期中考试：考察对基础知识和理论的掌握程度；4. 期末考试：考察对实变函数知识的综合应用和理解能力。
西北民族大学《实变函数》2020年考研专业课复试大纲
西北民族大学2019年攻读硕士学位研究生招生考试大纲
培养单位（盖章）：
主管领导（签字）： 导师组组长（签字）：
学科专业名称：数学
考试科目代码：
考试科目名称：实变函数
一、考试性质
《实变函数》是数学专业硕士生入学考试一门同等学历加试科目，由于属于选拔性考试，试题具有一定的深度和区别度。
二、考查目标
要求考生系统掌握实变函数的基本知识、基础理论和基本方法，理解实变函数中反映出的数学思想与方法，具有较强的抽象思维能力、逻辑推理能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
考查内容包括集合,点集,测度论,可测函数，积分论。
三、试卷结构
试题以证明题和论述题为主要类型，共6-12题，每题10-20分，试卷总分为100分，其中证明题80分，论述题20分。
数学专业同等学历加试考试大纲及参考书：《实变函数》
同等学历加试科目：《实变函数》一、试卷满分及考试时间试卷满分：100分考试时间：1.5小时二、考试题型：填空题，选择题，计算题，证明题三、考试大纲及参考书目第一章集合与点集[本章重点] 集合对等，集列上、下限集的概念，熟练掌握可数集，不可数集的概念及性质，熟练掌握度量空间的概念，例，掌握点集的有关概念及直线上开集、闭集，完备集的构造。
[考试要求]1、掌握集列的上限集，下限集概念。
2、掌握对等、基数概念及Bernstein定理，并能用定理证明集合对等。
3、掌握可数集的概念及性质。
4、掌握不等数集的概念及性质，以及常见的不可数集。
5、掌握度量空间、内点、聚点、界点、开集、闭集、完备集的概念及其性质。
6、掌握直线上开集、闭集的构造。
7、了解康托集、疏朗集。
第二章测度论[本章重点] 约当测度的定义及性质，外测度的概念及性质，勒贝格可测的定义及性质。
[考试要求]1、了解约当测度的概念及性质。
2、掌握外测度概念及性质。
3、掌握勒贝格可测集的概念、性质并能熟练应用性质。
第三章可测函数[本章重点] 可测函数的定义、性质及其与简单函数的关系，几乎处处概念，依测度收敛概念及与几乎处处收敛的关系，Riesz 定理，Lebesgue定理，叶果洛夫定理，鲁津定理。
[考试要求]1、熟练掌握可测函数定义、性质及其与简单函数的关系。
2、掌握叶果洛夫定理及其条件。
3、掌握鲁津定理。
4、掌握依测度收敛及其与几乎处处收敛的关系，Riesz 定理，Lebesgue定理。
第四章积分论[本章重点] 勒贝格积分定义及性质，勒贝格控制收敛定理，Levi定理，法都引理，逐项积分定理，有界变差函数，绝对连续函数概念及性质，不定积分概念。
考试要求：1、掌握Lebesgue积分定义，L—可积分与R—可积分之间的关系。
2、掌握Lebesgue积分性质。
3、掌握积分极限定理，控制收敛定理，Levi定理，逐项积分定理，Fatau 引理，并能熟练应用定理。
4、了解有界变差函数定义及性质。
贵州电大实变函数形考02-0003
贵州电大实变函数形考02-0003一、考试内容本次形考的主要内容是实变函数。
实变函数是数学分析中的重要概念之一，是研究实数域上函数性质的基础。
在本次考试中，我们将主要涉及实变函数的定义、性质、极限、连续性和导数等知识点。
二、知识点总览在本次实变函数形考中，你需要掌握以下知识点：1.实变函数的定义与符号表示2.实变函数的性质：增减性、奇偶性、周期性等3.实变函数的极限与连续性4.实变函数的导数与微分5.实变函数的高阶导数与泰勒展开三、知识点详解1. 实变函数的定义与符号表示实变函数是定义在实数域上的函数。
它可以用符号表示为：f(f)或f=f(f)，其中f为自变量，f(f)为因变量。
实变函数可以是多种形式，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 实变函数的性质实变函数的性质包括增减性、奇偶性、周期性等。
增减性是指函数在定义域内的增减变化趋势。
奇偶性是指函数的定义在奇数次幂和偶数次幂相间的项上是否相等。
周期性是指函数在一定范围内的周期重复性。
3. 实变函数的极限与连续性实变函数的极限是指当自变量趋近于某一点时，函数值的趋近情况。
极限有左极限和右极限，并分别用符号表示为：$\\lim_{x\\to a^-} f(x)$和$\\lim_{x\\to a^+} f(x)$。
连续性是指函数在定义域内没有跳跃或间断点，即函数图像是连续的。
4. 实变函数的导数与微分实变函数的导数是衡量函数变化率的工具，表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数的符号表示为f′(f)或$\\frac{dy}{dx}$。
微分是导数的微小变化量，表示函数在某一点附近的近似线性变化。
5. 实变函数的高阶导数与泰勒展开实变函数的高阶导数是导数的导数，表示函数变化的二阶、三阶及更高阶的情况。
高阶导数可以用于研究函数的曲率等性质。
泰勒展开是将函数在某一点附近展开为幂级数的形式，用于近似计算函数的值。
四、总结实变函数是数学分析中的重要内容，涉及实数域上函数的定义、性质、极限、连续性和导数等知识点。
实变函数（同等学力）
实变函数（同等学力）大连海事大学硕士研究生入学考试大纲考试科目：实变函数试卷满分及考试时间：试卷满分为100分，考试时间为180分钟。
考试内容一、集合论基础1. 集合及其运算；2. 集合的基数；3. 可数集与不可数集。
二、R n中的拓扑1. 开集与闭集，内点，聚点，导集，闭包；2. 开集的构造定理；3. 康托（Cantor）三分集，完备集，疏朗集，稠密集，紧致集。
三、测度理论1. 外测度的概念和基本性质；2. Lebesgue可测集的概念与Caratheodory条件；3. Lebesgue可测集全体Ω的各种整体性质（如可列可加性等）；4. 不可测集的构造；5. Lebesgue可测集的等价概念；6. 代数，σ代数，Borel集。
四、可测函数1. 可测函数及其性质；2. 测函数列的逐点收敛、近一致收敛、依测度收敛；3. 用连续函数逼近可测函数，鲁金（Lusin）定理。
五、Lebesgue积分1. Lebesgue积分的定义与性质；2. 可测函数列积分收敛定理，Lebesgue积分的绝对连续性；3. Lebesgue积分与Riemman积分的关系；4. 重积分、累次积分、Fubini定理；5. 有界变差函数，绝对连续函数，Lebesgue-Stieltjes积分。
基本要求一、集合论基础1. 熟练掌握集合各种运算（包括集合列的上、下极限集）；2. 理解集合基数、可数集与不可数集等概念，熟练掌握集合基数的比较和计算方法；3. 理解Bernstein定理及Cantor对角线法。
二、R n中的拓扑1. 掌握度量概念，和由此引出的内点，聚点，导集，闭包，开集与闭集等概念及其性质；2. 理解1维与2维以上欧式空间开集的构造定理，并能在后面的测度理论中意识到它们的区别；3. 掌握完备集，疏朗集，稠密集，紧致集等基本概念，并能对康托（Cantor）三分集、广义康托（Cantor）集做相应探讨。
三、测度理论1. 理解外测度、测度的概念及其区别，能够运用Caratheodory 条件推导Lebesgu e可测集各种性质；2. 掌握不可测集的构造方法与破坏可列可加性的反例；3. 掌握开集、闭集、Gδ集、Fσ集与可测集的关系，熟练运用等测包、等测核概念证明集合的可测性；4. 理解代数、σ代数、Borel集的概念，掌握Borel集与Lebesgue 可测集的关系。
硕士研究生复试大纲实变函数
硕士研究生复试大纲(实变函数)
一、考试的总体要求
实变函数是近代分析数学的基础，考试以实分析的基本知识为主，掌握集合论初步、可测集合及可测函数与勒贝格积分的定义、性质及相关定理。
二、考试内容及比例
集合及其运算、映射、集合的基数、可数集、开集、闭集、内部、闭包、完备集等。
占30%。
点集的Lebesgue测度，可测集的性质等。
占20%。
可测函数，可测函数的几个重要定理，以及Lebesgue积分的定义及性质，一般可积函数，积分与极限换序的若干定理等。
占50%。
三、试卷题型及比例
填空题约占40%，判断对错题约占20%，证明题、计算题等约占40%。
四、考试形式及时间
考试形式为笔试。
考试时间为一个小时。
主要参考教材
1、《实变函数论》，江泽坚，高等教育出版社，1994年。
2、《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社，1979年。
3、《实变函数与泛函分析》，程其襄等，高等教育出版社，1983年。
哈尔滨工程大学实变函数考试大纲
考试科目名称:实变函数
考查要点:
一、实数集的勒贝格测度
1．要求考生掌握集合的定义及其运算
2．要求考生掌握一维开集,闭集的定义和结构
3．要求考生掌握有界集的外测度,内测度和测度的定义及其性质
二、勒贝格可测函数
1．要求考生掌握可测函数的性质
2．要求考生掌握可测函数的收敛性,包括近一致收敛,依测度收敛及几乎处处收敛3．要求考生会用叶果洛夫定理,黎兹定理
三、勒贝格积分
1．要求考生掌握勒贝格积分的定义及其简单性质
2．要求考生掌握积分序列的收敛性(勒维定理,法都定理,控制收敛定理)
3．要求考生掌握黎曼积分与勒贝格积分的关系，并会用黎曼积分计算勒贝格积分
考试总分： 75分考试时间：1.5小时考试方式：笔试
考试题型：计算题（30分）
证明题（45分）
主要参考书：
1、简明实变函数,杨海欧著,哈尔滨工程大学出版社,2003。
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《实变函数》考试大纲一、课程说明本大纲适用数学专业。
1 本课程的目的和要求实变函数是数学专业重要的分析基础课之一这一部分内容为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，通过本课程的学习，应使出学生较好的掌握测度和积分这个基本工具，特别是极限（或积分）和积分顺序的交换，并且在一定程度上掌握集的分析方法2 本课程的主要内容先介绍近代数学的基础——集与映射等有关概念，同时介绍实直线上的点集的性质，按着讲L-测度以及L-可测集的概念与性质，在介绍可测函数的概念与性质，接着是勒贝格积分的概念与性质，还有积分极限定理，R-积分与L-积分比较，Fubini定理，囿变函数，绝对连续函数及其中N-L公式，最后介绍Lp空间及其性质3 教学重点与难点本课程的重点是勒贝格测度与勒贝格积分。
实变函数的内容虽是微积分的继续深化，但在思想方法上确有较大的飞越，实变函数的一些概念比起数学分析来要抽象得多，这使得初学者对实变函数往往不太习惯，为使学生能较好地适应这一过度，教师在讲解时尽可能将主要概念的产生背景，以北及概念之间的内在联系加以介绍。
例如，教师应向学生交代，为什么要研究新的积分,为什么要研究可列可加测度等，讲解时既要严格论证又要形象说明，同时要配合典型例题，适当地加强对学生的基础训练，这是一个重要的学习环节，教师应当给学生布置一定数量的习题，使学生通过做习题，加深对课文的理解，也帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思路。
4 本课程的知识范围与相关课程的关系本课是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解析几何中的一些基本知识，故本课程应安排在第四学期或第五学期讲授。
5 教材的选用绍兴文理学院数学系主要选用下面的教材江泽坚、吴智泉编《实变函数论》(第二版)，北京：高等教育出版社，2001年(国优教材).该教材论证严谨，重点突出，思路清晰，是一本国优教材。
二课程内容及学时分配本课程总学时为72学时，其中讲课约54学时，习题课约18学时，在执行时可以适当调整，由于习题课教师既可以单独讲，也可以穿插在正课本中讲故下面各章节所分配的学时中同时包括正课与习题课的学时，不在分开。
本大纲中有“*”号的项目，在教学中可酌情处理，书中例题材教师也可酌情增删第1章 集与点集（12学时）本章介绍近代数学的基础——集与映射等有关概念，同时也介绍实变函树论必需的直线上的点集的概念和知识。
2 教学目的及要求掌握集与元素的概念以及集的运算，集的对等，势的概念，理解可列集不可列集的概念。
掌握直线上的开集与闭集，内点，聚点，导集，闭包，完备集等概念，理解开集的构造定理及Cantor 三分集的完备性，稀疏性。
理解Bernstein定理，了解序集概念以及Zorn引理，Zermelo选择公理。
3 教学重点集的对等，开集的构造定理以及由一个集的所有子集构成的集的势。
4 教学难点Cantor三分集具有完备性，稀疏性。
5 各章节教学时间安排及进度安排1 集的运算，集与元素的概念，集的闭包与相等，集的表示，集的运算。
（2课时）2 映射，集的对等，可列集映射，对等，有限集与无限集，可列集与不可列集。
（2学时）3一维开集，闭集及性质领域及开集，聚点和孤立点，导集，完全集，闭集。
（2学时）4开集的构造开集的构造区间，开集的构造定理，Cantor三分集，稠密集与稀疏集，n维欧氏空间概述。
（3学时）5集的势，序集势的定义，势的比较，连续集的势，可列集的势，由一个集的一切子集所构成的集的势，Bernstein-定理及应用，Zorn引理*Zermelo选择公理。
（2学时）6 主要教学环节的组织在最后1学时进行有关部门问题讨论以及习题讨论。
第二章程勒贝格测度（16学时）1 教学内容本章主要介绍直线上的Lebesgue测度，同时也介绍了一般的测度理论。
2教学目的及要求掌握直线上的开集与闭集的测度以及直线上有界集`的内外测度以及Lebesgue测度以及可测集的概念，理解可测集对可列并，及余的封闭性，理解Lebesgue测度的完全可加性以及可测集的Caratheodory条件，了解多维空间中的测度，不可测集的例，理解环与环上定义的测度的概念与性质，了解σ-环上的外测度，可测集，测度扩张及广义测度。
3教学重点直线上的有界可测集的概念与此同时性质，Lebesgue测度的完全可加性可测集的Caratheodory条件，单调类定理。
5各章节教学大纲 时间分配及进度安排§1引言本节介绍如何 由区间的“长度”推广到点集的确“测度”只要求学生有初步了解即可。
（1学时）§2 有界点集的外、内测度，可测集直线上有界开集，闭集的测度及基本性质，直线上有界集的外，内测度，Lebesgue可测集及测度。
（3学时）§3 可测集的性质直线上有界集可测的充要条件，可测集的补集是可测的，可测集关于集合的并、交运算是封闭的，测度的单调性，可测集关于集合的可列并，可列交运算是封闭的测度的完全可加性，可测集的Caratheodory条件，渐张可测集列以及渐缩可测集列的测度性质，可测集与Gδ型集 与 Fσ型集之间的关系.(3学时)§4 关于测试度的几点评语直线上无界可测集及测度，多维空间点集的测度，不可测集的例。
（3学时）(5)环与环上定义的测度集类：环与σ环代数及σ代数，单调类定理环上测度的定义及性质。
（6）σ环上的测度，可集类，测度的扩张（一学时）（7）广义测度（一学时）6主要教学环节的组织在本章中最后一学时进行有关问题讨论及习题讨论第三章 可测函数1．教学内容本张介绍可测度函数类并讨论它的性质，为下一条lebesgue积分做准备；2．教学的目的及要求理解可测度函数的概念与性质，可测度函数可用简单函数来逼近，两个可测度函数的四则运算的可测性，理解叶果洛夫定理，可测函数以测度收敛与几乎处处收敛之间的关系，Riesy 定理，理解鲁津定理的两种形式；3．教学重点可测度函数可以利用简单函数来逼近，可测度函数以测度收敛与几乎处处收敛的关系，可测函数用连续函数逼近；4．教学难点业果洛夫定理 Riesy 定理、鲁津定理5．各章节教学时间安排及进度安排。
（1）可测函数的基本性质，可测函数的几个等价条件，几乎处处的概念，可测函数的上、下确界函数的可测性，可测函数的上、下极限函数及极限函数的可测性。
可测函数可以用简单函数来逼近，两个可测函数的和、差、积、商（假定运算几乎处处有定义）的可测性（5学时）；（2）可测函数列的收敛性集列的上、下限集及极限集，叶果洛夫定理可测函数列测度收敛与几乎处处收敛之间的关系，Riesy 定理。
（4学时）（3）可测函数的构造（4）鲁津定理：鲁津定理的另一种形式（2学时）6．主要教学环节的组织7．在本章最后1学时进行有关问题的讨论及习题讨论第4章勒贝格积分1．教学内容本章在前面所讲的测度论的基础上讨论勒见格积分，它是本课程的重要内容，此外本章还介绍了单调函数，有界变差函数的一些重要性质以及L.S积分；2．教学目的及要求掌握勒贝格积分的绝对连续性，σ可加性，理解掌握levr定理，Fatou定理，Lebesgue控制收敛定理，游街收敛定理，理解Fubini定理，理解囿变函数的概念与性质，理解绝对连续函数的N-L公式，了解勒贝格—斯蒂杰积分概念；3．教学重点Levi定理、Fatou定理lebesgue控制收敛定理，Fooini定理，囿变函数及绝对连续函数 4．教学难点Futoni定理，勒贝格积分，σ-可积性；5．各章节教学时间分配及进度安排；（1）勒贝格积分的引入简单函数的积分及性质、非负可测函数的积分、可测函数的积分、无界集上可测函数的积分。
（4学时）（2）积分的性质积分的有限可加性，积分的绝对连续性，积分的σ-可加性，非负单增简单函数列积分与极限次序的交换，积分的线性，积分的单调性，积分的唯一性，可积函数可用简单函数或连续函数平均逼近。
（4学时）(3) 积分序列的极限Levi 定理Fatou 定理 Ledesgue 控制收敛定理有界收敛定理。
（4学时）（4）R积分与L 积分的比较定义在有限区间上的R可积函数必L可积（反之不然），有关积分与极限次序的交换L 积分优于R积分，有关 Newton-Leibniz 公式L积分优于R积分。
（4学时）（5）乘积测度与傅比尼定理乘积可测空间，可测集及可测函数的截口可测性，乘积测度空间，Fubini 定理，乘积测度的完备化*。
（4学时）（6）微分与积分单调函数，跳跃函数，跃度，列导数，Vitali 引理，单调函数几乎处处可微定理*，囿变函数及总变分，囿变函数与单调函数之间的关系，囿变函数的标准分解，可积函数的不定积分，绝对连续函数，N-L公式，奇异函数*，囿变函数的Lebesgue 分解定理。
（4学时）（7*）勒贝格—斯蒂杰积分的概念由于L-S 积分的基本想法与第四章中L 积分的建立类似，故本节内容教师可向学生作简单介绍，以学生自学为主。
6．主要教学环节的组织本章最后2 学时进行有关问题讨论及习题讨论。
第五章函数空间L P（6学时）1．教学内容L P空间的概念，L P空间的完备性、可分性，傅立叶变式概要。
2．教学目的与要求理解L P空间的概念，掌握Holder 不等式和Minkowski不等式，理解Bernstein多项式及L P 空间的可分性，了解傅立叶变式。
3．教学重点L P空间中的强收敛，完备性，可分性。
4．教学难点L P空间的完备性5．各章节教学时间分配及进度安排（1）L P空间，完备性L P（p＞1）空间，Holder 不等式，Minkowski不等式，L P空间中的范数，L P空间中点列的强收敛，L P空间中的完备性。
（2学时）（2）L P空间的可分性L P空间的可分性，Bernstein多项式，L P空间中点列的弱收敛，L2空间中的内积及标准直交系。
（2学时）（3*）傅立叶变式概要（1学时）6．主要教学环节组织在本章最后1学时进行有关问题讨论及习题讨论。
三．教学参考书[1]江泽坚、吴智泉，实变函数论(第二版)，北京：高等教育出版社，2001年(国优教材)[2] 郑维行，王声望编《实变函数与泛函分析概要》（第二版）第一册，高等教育出版社，1989年。
[3] 薛昌兴编《实变函数与泛函分析》上册，高等教育出版社，1993年。
[4] 夏道行等编著《实变函数论及泛函分析》（第二版）上册，高等教育出版社，1984年。