伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解(多元函数的极限和连续)【圣才出品】
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向量空间 有了内积运算后，称 为欧几里得（Euclid）空间或欧氏空间．
②向量的模
利用内积运算，定义向量
的模如下：
中两个非零向量 x 与 y 的内积为：
．
其中 x, y 是向量 x 与 y 的夹角．
（5）距离
①距离的定义
设
与
为 中任意两个点，则 x 与 y 的距离定义
②内积运算
设
，则 x 与 y 的内积定义为
③内积的基本性质 a．正定性 对于 b．对称性 对于 c．分配律 对于 d．结合律 对于 （4）欧氏空间 ①欧式空间的定义
，有
，并且上述等号当且仅当 x＝0 时成立；
，有 xy yx ；
，有
和
，有
．
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为
特殊的，在
或 中，两个点 x 与 y 的距离即是连接 x 与 y 的线段的长度．
②距离的性质
a．正定性 对于
，有
，并且
的充分必要条件是 x y ；
b．对称性 对于
，有
c．三角不等式 对于
，有
．
（6）记号
①欧氏空间是指定义了距离后的空间 ．
②当 n＝2 时，用 (x, y) 来表示平面 中的点，用 i 来表示单位向量（1，0），用 j 来
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c．设 中的点列 与 满足
和
，再设
则有
且
3． Rn 中一些特殊点及其性质
（1）聚点
①设
是一个给定的集合，若
的任何 邻域
中都有 E 中异于
x 的点，则称 x 为 E 的聚点或极限点．
②若 x 是 E 的聚点，则
否属于 E 无关．
①球形邻域
设
，称集合
，定义矩阵 A 的范数为 ．
为以 x0 为心的 邻域；称集合
上述定义的邻域称为球形邻域．
②方形邻域
设
，定义
为 的 去心邻域．
并称它为 的方形邻域．称 ③球形邻域与方形邻域的包含关系
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为方形去心邻域．
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③用列向量
来表示
，称 x 为 中的一个点或向量
的转置．
④记
为 中的原点或零向量．
（2） 中的运算
① 中的加法运算
设
，定义
，
并称 x y 为 x 与 y 的和．
② 中的数乘运算
设
，定义
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并称 x 为 与 x 的数乘．
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使得
．
（4）稠密
若集合 A 中每一个点的任何邻域中都有集合 B 中的点，则称 B 在 A 中稠密．
4．开集与闭集
设
是一个给定的集合，将 E 在 中的补集
（1）集合中点的分类
设
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记为 ．
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①若存在
，使得
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，则称 x 是 E 的内点．记 为 E 中所有内点构成的
表示单位向量（0，1），并称它们为单位坐标向量．因此，对于
，有
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③当 n＝3 时，用 (x, y, z) 表示空间 中的点，记
，
于是对于
有
（7）矩阵的范数
设
是一个 m n 矩阵，其中
2．点列极限
（1）欧氏空间 中邻域的概念
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伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解 第 13 章 多元函数的极限和连续
13.1 复习笔记
一、欧氏空间 1．欧氏空间 （1）相关定义 ①多元函数的定义域是高维空间的子集，它们所在的空间为
②设
，记
xi (i 1, 2,, n) 称为 x 的第 i 个坐标或分量．
（2） 中的点列收敛
①点列收敛的定义
a．点列收敛的自然定义
设 是 中的一个点列，若存在
，使得
，则称 收敛
于 ，并称 为该点列的极限．
b．点列收敛的邻域描述
设 是 中的一个点列，若存在
使得对于
当
时，有
即
，则称 是收敛点列，并称
收敛于 记做
．这时也称
为 的极限．若不存在
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，使得
，则称 发散．
②点列收敛的充分必要条件
③Rn 中的线性运算
中的加法运算和数乘运算称为 Rn 中的线性运算．对
，有
a．交换律：x＋y＝y＋x；
b．结合律：
；
c．分配律：
．
注：第一，在加法运算中，存在零元素
，满足：对于
有x0 x；
第二，在数乘运算中，存在单位元
，满足：对于
有1x x ．
（3）向量空间
①向量空间
对 赋予线性运算后，称 为一个 n 维向量空间（简称空间）．
中必有 E 中的无限多个点． x 是 E 的聚点与 x 是
（2）孤立点
若 x 不是一个集合 E 的聚点，则存在
，使得
中没有 E 的点．特别地，
当
且 x 不是 E 的聚点时，则称 x 为 E 的孤立点．此时必存在
，使得
．
（3）集合的聚点
设
非空．则 x 是 E 的聚点的充分必要条件是：存在 E 中一个两两不同的点列
② 中开集的性质
a． 与 是开集；
b．任意个开集的并是开集；
c．有限个开集的交是开集；
d． 中的任意个开集的交未必一定是开集．
（3）闭集
①设
，若 是开集，则称 E 是闭集．闭集不一定是可数个闭区间（单点也作为
是 E 的内点也不是 E 的外点．
（2）开集
①设
，若
，则称 E 为开集．
a．规定空集φ为开集．
b． 中每一个点的球形邻域与方形邻域都是开集．当 n＝1 时， 中的一个集合 E 若
是一些开区间的并，则 E 是开集．反过来， 中的任何一个开集是可数个开区间的并．当 n
＝2 时， R2 中的开集由平面内一些不带边界的集合组成．
集合，并称之为 E 的内部．
②若存在
使得
，则称 x 是 E 的外点．E 的所有外点构成的集合称
为 E 的外部．
③若对于
，有
，并且
，则称 x 是 E 的边界点，
并用 来记 E 的边界点集，称之为 E 的边界．
注：E 的内点一定属于 E；E 的外点一定不属于 E，且 E 的外部即为 的内部 ；E
的边界点可以是 E 中的点，也可以不是 E 中的点；x 为 E 的边界点的充分必要条件是 x 既不
设 是 中的一个点列，
，则
的充分必要条
件是：对于
，有
．
③点列有界
对于一个集合
，若存在正常数
使得对于
有
，则称集合
是有界的．特别地，对于一个点列 ，若存在
，使得对于
，有
．则称点列 是有界的．
④点列极限的性质
a．设 是 中的一个收敛点列，则其极限必是唯一的；
b．设 是 中的一个收敛点列，则 必有界；
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向量空间 有了内积运算后，称 为欧几里得（Euclid）空间或欧氏空间．
②向量的模
利用内积运算，定义向量
的模如下：
中两个非零向量 x 与 y 的内积为：
．
其中 x, y 是向量 x 与 y 的夹角．
（5）距离
①距离的定义
设
与
为 中任意两个点，则 x 与 y 的距离定义
②内积运算
设
，则 x 与 y 的内积定义为
③内积的基本性质 a．正定性 对于 b．对称性 对于 c．分配律 对于 d．结合律 对于 （4）欧氏空间 ①欧式空间的定义
，有
，并且上述等号当且仅当 x＝0 时成立；
，有 xy yx ；
，有
和
，有
．
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为
特殊的，在
或 中，两个点 x 与 y 的距离即是连接 x 与 y 的线段的长度．
②距离的性质
a．正定性 对于
，有
，并且
的充分必要条件是 x y ；
b．对称性 对于
，有
c．三角不等式 对于
，有
．
（6）记号
①欧氏空间是指定义了距离后的空间 ．
②当 n＝2 时，用 (x, y) 来表示平面 中的点，用 i 来表示单位向量（1，0），用 j 来
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c．设 中的点列 与 满足
和
，再设
则有
且
3． Rn 中一些特殊点及其性质
（1）聚点
①设
是一个给定的集合，若
的任何 邻域
中都有 E 中异于
x 的点，则称 x 为 E 的聚点或极限点．
②若 x 是 E 的聚点，则
否属于 E 无关．
①球形邻域
设
，称集合
，定义矩阵 A 的范数为 ．
为以 x0 为心的 邻域；称集合
上述定义的邻域称为球形邻域．
②方形邻域
设
，定义
为 的 去心邻域．
并称它为 的方形邻域．称 ③球形邻域与方形邻域的包含关系
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为方形去心邻域．
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③用列向量
来表示
，称 x 为 中的一个点或向量
的转置．
④记
为 中的原点或零向量．
（2） 中的运算
① 中的加法运算
设
，定义
，
并称 x y 为 x 与 y 的和．
② 中的数乘运算
设
，定义
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并称 x 为 与 x 的数乘．
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使得
．
（4）稠密
若集合 A 中每一个点的任何邻域中都有集合 B 中的点，则称 B 在 A 中稠密．
4．开集与闭集
设
是一个给定的集合，将 E 在 中的补集
（1）集合中点的分类
设
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记为 ．
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①若存在
，使得
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，有
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③当 n＝3 时，用 (x, y, z) 表示空间 中的点，记
，
于是对于
有
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设
是一个 m n 矩阵，其中
2．点列极限
（1）欧氏空间 中邻域的概念
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13.1 复习笔记
一、欧氏空间 1．欧氏空间 （1）相关定义 ①多元函数的定义域是高维空间的子集，它们所在的空间为
②设
，记
xi (i 1, 2,, n) 称为 x 的第 i 个坐标或分量．
（2） 中的点列收敛
①点列收敛的定义
a．点列收敛的自然定义
设 是 中的一个点列，若存在
，使得
，则称 收敛
于 ，并称 为该点列的极限．
b．点列收敛的邻域描述
设 是 中的一个点列，若存在
使得对于
当
时，有
即
，则称 是收敛点列，并称
收敛于 记做
．这时也称
为 的极限．若不存在
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，使得
，则称 发散．
②点列收敛的充分必要条件
③Rn 中的线性运算
中的加法运算和数乘运算称为 Rn 中的线性运算．对
，有
a．交换律：x＋y＝y＋x；
b．结合律：
；
c．分配律：
．
注：第一，在加法运算中，存在零元素
，满足：对于
有x0 x；
第二，在数乘运算中，存在单位元
，满足：对于
有1x x ．
（3）向量空间
①向量空间
对 赋予线性运算后，称 为一个 n 维向量空间（简称空间）．
中必有 E 中的无限多个点． x 是 E 的聚点与 x 是
（2）孤立点
若 x 不是一个集合 E 的聚点，则存在
，使得
中没有 E 的点．特别地，
当
且 x 不是 E 的聚点时，则称 x 为 E 的孤立点．此时必存在
，使得
．
（3）集合的聚点
设
非空．则 x 是 E 的聚点的充分必要条件是：存在 E 中一个两两不同的点列
② 中开集的性质
a． 与 是开集；
b．任意个开集的并是开集；
c．有限个开集的交是开集；
d． 中的任意个开集的交未必一定是开集．
（3）闭集
①设
，若 是开集，则称 E 是闭集．闭集不一定是可数个闭区间（单点也作为
是 E 的内点也不是 E 的外点．
（2）开集
①设
，若
，则称 E 为开集．
a．规定空集φ为开集．
b． 中每一个点的球形邻域与方形邻域都是开集．当 n＝1 时， 中的一个集合 E 若
是一些开区间的并，则 E 是开集．反过来， 中的任何一个开集是可数个开区间的并．当 n
＝2 时， R2 中的开集由平面内一些不带边界的集合组成．
集合，并称之为 E 的内部．
②若存在
使得
，则称 x 是 E 的外点．E 的所有外点构成的集合称
为 E 的外部．
③若对于
，有
，并且
，则称 x 是 E 的边界点，
并用 来记 E 的边界点集，称之为 E 的边界．
注：E 的内点一定属于 E；E 的外点一定不属于 E，且 E 的外部即为 的内部 ；E
的边界点可以是 E 中的点，也可以不是 E 中的点；x 为 E 的边界点的充分必要条件是 x 既不
设 是 中的一个点列，
，则
的充分必要条
件是：对于
，有
．
③点列有界
对于一个集合
，若存在正常数
使得对于
有
，则称集合
是有界的．特别地，对于一个点列 ，若存在
，使得对于
，有
．则称点列 是有界的．
④点列极限的性质
a．设 是 中的一个收敛点列，则其极限必是唯一的；
b．设 是 中的一个收敛点列，则 必有界；
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