北师大版八年级上册探索勾股定理同步练习题

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2020年《暑假衔接》北师大版八年级上册：1.1 探索勾股定理同步练习

2020年《暑假衔接》北师大版八年级上册1.1 探索勾股定理同步练习一．选择题（共10小题）1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）A．B．C．D．2．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．3．下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CEB＝S△CDBC．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD5．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为（）A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米6．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，且a：b＝4：3，则大正方形面积与小正方形面积之比为（）A．25：9B．25：1C．4：3D．16：97．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边的正方形的面积为（）A．9B．16C．25D．58．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且a＝7，b＝24，则c的长为（）A．26B．18C．25D．219．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（）A．9B．6C．5D．410．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC＝8，则BC的长为（）A．4B．6C．D．二．填空题（共6小题）11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为．14．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为．15．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a、b、c的式子表示），．16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝．三．解答题（共4小题）17．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．18．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．（1）求BC的长；（2）求△ABC的面积．19．如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）20．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选：C．2．解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选：B．3．解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．4．解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．可知ab+c2+ab＝（a+b）2，∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．故选：D．5．解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：＝4（厘米），可得这个直角三角形的面积为：×3×4＝6（平方厘米）．故选：A．6．解：∵a：b＝4：3，∴大正方形面积与小正方形面积之比为（a2+b2）：（a﹣b）2＝b2：b2＝25：1．故选：B．7．解：由勾股定理得：AB＝＝5，所以以AB为边长的正方形的面积为52＝25．故选：C．8．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝7，b＝24，∴c2＝a2+b2∴c＝25．故选：C．9．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∴大正方形的边长为5．故选：C．10．解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a+b＝8，c2＝a2+b2，HG＝c﹣b，DG＝c﹣a，则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c﹣b）（c﹣a）＝2，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴ab＝32﹣，∴S＝c2﹣c（a+b）+ab＝c2﹣8c+32﹣＝2，解得c1＝6，c2＝10（舍去）．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），故答案是：3．12．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，∴AC2+BC2＝AB2，即（AB﹣2）2+82＝AB2，解得AB＝17．故答案为：17．13．解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2＝25，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和＝AC2+BC2＝25．故答案为：25．14．解：由图可知，（b﹣a）2＝5，4×ab＝42﹣5＝37，∴2ab＝37，（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．故答案为79．15．解：如图所示：①S＝c2+ab×2＝c2+ab，②S＝a2+b2+ab×2＝a2+b2+ab．故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．16．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则由勾股定理知，AC2+BC2＝AB2．S1＝πAC2，S2＝πBC2，所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝12.5π．故答案为：12.5π．三．解答题（共4小题）17．解：设AD＝x∵CD⊥AB，∴∠D＝90°，∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x＝，∴AD＝．18．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即122+92＝BC2，解得BC＝15；（2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，∴AD2+122＝202，解得AD＝16，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．∴S△ABC＝AB•CD＝×25×12＝150．19．解解：（1）如图所示，是梯形；由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝（a+b）（a+b）．从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即ab+ab+c2．两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．20．解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，也利用表示为ab+c2+ab，∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab，即a2+b2＝c2；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，∴斜边为5，∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h，∴h＝，故答案为；（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，∴边长为a﹣2b，由此可画出的图形为：。

新北师大版八年级上学期勾股定理同步练习题

新北师大版八年级上学期《第一章勾股定理》同步练习题一、选择题1.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是【】A．6 B．7 C．8 D．92.如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是平【】A.40cm B．202cm C．20cm D ．102 cm3.如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=46，则PE+PF的长是【】A．46B．6 C．42D．264.点P在等腰Rt△ABC的斜边AB所在直线上，若记：k=AP2+BP2，则【】A.满足条件k ＜2CP2的点P有且只有一个 B.满足条件k＜2CP2的点P有无数个 C.满足条件k=2CP2的点P有有限个 D.对直线AB上的所有点P，都有k=2CP25.如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是【】A．Sl +S2＞S3B．Sl+S2＜S3C．S1+S2=S3D．S12+S22=S326.如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是【】A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④7. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是【】A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.58.如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是【】A．217 B．25 C．42 D．79.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，43第1题图第2题图第3题图第5题图10.已知△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8，则边BC 的长为【】 A ．21 B ．15 C ．6 D ．以上答案都不对 11.如图：在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF ∥BC 交AC 于M ，若CM=5，则CE 2+CF 2等于【】A ．75 B ．100 C ．120 D ．12512. 如图，正方形网格中，每个正方形的顶点叫格点，每个小正方形的边长为1，则以格点为顶点的三角形中，三边长都是整数的三角形的个数是【】 A ．4 B ．8 C ．16 D ．2013.如图，P 为等腰△ABC 内一点，过点P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，已知AB=AC=10，BC=12，且PD ：PE ：PF=1：3：3，则AP 的长为【】A ．43B ． 203C ．7D ．814. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是【】 A ．52 B ．42 C ．76 D ．7215. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为【】 A ．90 B ．100 C ．110 D ．121 二，填空题16.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕第11题图第12题图第13题图第14题图第6题图第7题图第8题图第9题图一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是尺．17. 如图，△ABC 中，AB=AC=2，若P 为BC 的中点，则AP2+BP•PC 的值为；若BC 边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，记mi=APi2+BPi•PiC（i=1，2，…，100），则m1+m2+…+m100的值为．18.直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．设S△ABC=S，a+b+c=L ，则S 与L 的比SL蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a+b-c 的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表：三边a 、b 、c a+b-c L S S/L 3、4、5 2 12 6 1/2 6、8、10 4 24 24 1 5、12、13 4 30 30 1 8、15、17 6 40 48 3/2 12、16、20 8 4896 2 … … … ………若a+b-c=m ，则观察上表我们可以猜想出SL= （用含m 的代数式表示） 19.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm ．20.图中所示是一条宽为1.5m 的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD 的宽AB 为1m ，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD 不能超过 m ．21.如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 是BC 的中点，且它关于AC 的对称点是D′，则BD′= ．三、解答题（必须有必要的解答过程）22. 如图，在一棵树CD 的10m 高处的B 点有两只猴子，它们都要到A 处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m 处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D 后直线跃入池塘的A 处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？第16题图第17题图第19题图第20题图第21题图23.如图，在一张长方形ABCD纸张中，一边BC折叠后落在对角线BD上，点E为折痕与边CD的交点，若AB=5，BC=12，求图中阴影部分的面积．24.如图，AD是已知△ABC中BC边上的高．P是AD上任意一点，当P从A向D移动时，线段PB、PC的长都在变化，试探索PB2-PC2的值如何变化？25.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．26.定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．27.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是12(9−1)，12(9+1)；勾是五时，股和弦的算式分别是12(25−1)，12(25+1)．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦．28. 大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，其一腰上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为h1、h2．（1）请你结合图形来证明：12h h h +=；（2）当点M 在BC 延长线上时，12h h 、、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，写出结论并证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线1l ：y=34x+3，2l ：y=-3x+3，若2l 上的一点M 到1l 的距离是32．求点M 的坐标．。

北师大版八年级上册数学认识勾股定理同步练习题

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为 1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m 高的树被风折断，树顶落在离树根3 m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长.CF D A参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．60cm．3．134．D．5．25km．6．4．7．3 cm．构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。

高效学习经验——把数学的知识点都结合起中考状元XX平日里爱打篮球、爱看球赛,XX给人的第一印象很阳光。

在他看来,他取得高分的最大秘诀就是:基础知识掌握得非常牢固。

在所有学科中,XX认为自己的理科和英语还算不错。

他说他最擅长的是用知识网络法来归纳知识,让零散的知识变得系统、有条理，具体如何做呢?以数学为例,XX会首先联想一个数学关键词比如说一元二次方程,然后围绕着这个关键词想一想,什么叫做一元次方程,一元二次方程有哪些解法,解答一元二次方程的步骤是什么等等,然后再将这些间题的答案写在笔记本中,这样知识就变得非常清晰了。

北师大版八年级数学上册探索勾股定理同步练习题

探索勾股定理同步练习题一、【基础知识精讲】1．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么222a b c +=即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2．用面积法证明勾股定理：（1）如图，将四个全等的直角三角形拼成正方形。

（Ⅰ）ab c b a S ABCD 214)(22⨯+=+=正方形。

(Ⅱ) ab b a c S EFGH 214)(22⨯+-==正方形。

∴222b a c +=. ∴222c b a =+3．勾股定理各种表达式：在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a.b.c则222b a c +=，222b c a -=，222a c b -=4.勾股定理的作用: (1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)用于证明平方关系的问题。

二、【例题精讲】例1：在△ABC 中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=_______；（2）若a=6，c=10，则b=_________；例2. 如图1-1，在△ABC 中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．例3.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，DE为BC的垂直平分线，求证：222ACAEBE=-三、【同步练习】A组一、填空题1. 在△ABC中，∠c=90°. (1)若a＝8,b=15,则c=____；（2）若a=7,c=25,则b=______.2. 某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取__________米．3. 斜边的边长为cm17，一条直角边长为cm8的直角三角形的面积是。

4．如图，已知ABC∆中，︒=∠90C，15=BA，12=AC，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是。

ACB二、选择题：1. 小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是( )A.48 cmB.4.8 cmC.0.48 cmD.5 cm2. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )A、b2=c2－a2B、a∶b∶c=3∶4∶5C、∠C=∠A－∠BD、∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶153. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，12B组1．在直角三角形ABC中，∠C=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=_________________ 2．如图，喜洋洋想知道灰太狼家旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

《探索勾股定理》同步练习 2022年北师大版八上

第一章勾股定理单元总览勾股定理是平面几何有关度量的最根本定理之一，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，学习勾股定理及其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的根底，因而勾股定理具有学科的根底性和广泛的运用．我们不应只满足于掌握勾股定理及其逆定理，并运用它们解决具体问题，还要经历勾股定理及其逆定理的探究过程，在探究过程中进一步丰富数学活动经验，开展推理能力和分析问题、解决问题的能力，同时感受勾股定理的文化价值．一、目标导航教学目标：①经历用数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步开展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．②探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步开展学生的说理和简单推理的意识及能力．二、根底过关1．如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么它们的关系是______ ，即直角三角形两直角边的_______ ． 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设a ＝5，b ＝12，那么c ＝． 3．如图，在以下横线上填上适当的值：m= n= y= x=m x y554041171586m= n= y= m y540411715m= n= m4041n=4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设34a b ， c ＝10，那么a ＝，b ＝_______． 5．，甲、乙从同一地点出发，甲往东走了90m ，乙往南走了120m ，这时甲、乙两人相距．6．一个长方形的一条边长为3cm ，面积为12cm 2，那么它的一条对角线长为． 7．一直角三角形的三边是三个连续的正整数，那么此直角三角形的周长为． 8．如图，阴影局部的面积为〔〕A ．3B ．9C ．81D ．100 9．直角三角形两直角边分别为5cm 和12cm ，那么其斜边的高为〔〕化归A ．6cmB ．8cmC ．8013cm D ．6013cm 10．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∠DBC ＝90°，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝12，那么CD 为〔〕A ．5B ．13C ．17D ．18ABCD8题图 10题图11．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际的上岸点C 偏离了想要到达的点B 有140m 〔即BC ＝140m 〕，其结果是他在水中实际游了500m ，求河宽为多少米？12．等腰△ABC ，AB ＝AC ，腰长是13cm ，底边是10cm ，求：〔1〕高AD 的长；〔2〕△ABC 的面积ABC S ．13．在△ABC 中AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，求△ABC 的周长．三、能力提升14．一个直角三角形的斜边与一条直角边的和为8，差为2，试求这个直角三角形三边的长．15．如图，在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，那么这棵树高米．四、聚沙成塔我国明朝数学家程大位〔1533-1606〕写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？1 探索勾股定理〔1〕1．a 2＋b 2＝c 2；平方和等于斜边的平方 2．13 3．① 10 ② 8 ③ 9 ④ 9 4．6；8 5．150m 6．5cm 7．12 8．C 9．D 10．B 11．AB ＝320m 12．AD ＝12cm ；S △ABC ＝30 cm 2 13．△ABC 的周长为42或32． 14．直角三角形的三边长分别为3、4、5 15．15米．聚沙成塔：提示，秋千的索长为x 尺〔一步＝4尺〕，x 2－〔x －4〕2 解得：x ＝62 一次函数一、目标导航知识目标：①理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系．②通过由信息写一次函数表达式的过程，开展学生的数学应用能力．能力目标：①经历一般规律的探索过程、开展学生的抽象思维能力．②经历利用一次函数解决实际问题的过程，开展学生的数学应用能力．二、根底过关1．以下函数：〔1〕43y x =+；〔2〕12y x =-；〔3〕1y x=；〔4〕2y x =；〔5〕1y x =-中，一次函数有〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．以下函数中，是一次函数但不是正比例函数的是〔〕A ．3xy =-B ．3y x=-C ．12x y +=D ．212x y x+=3．以下关系中，是正比例关系的是〔〕A ．当路程s 一定时，速度v 与时间t ；B ．圆的面积S 与圆的半径r ；C ．正方体的体积V 与棱长a ；D ．正方形的周长C 与它的一边长a ． 4．假设22(1)m y m x -=-是正比例函数，那么m 的值为〔〕 A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．22-5．假设52y +与3x -成正比例，那么y 是x 的〔〕 A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．没有函数关系 D ．以上答案都不正确6．假设函数23y x b =+-是正比例函数，那么b ＝_______． 7．正方形的周长为L ，面积为S ，用L 表示S 的函数关系式为___________．8．某学生的家离学校2km ，他以16km/min 的速度骑车到学校，•写出他与学校的距离s 〔km 〕和骑车的时间t 〔min 〕的函数关系式为_________，s 是t 的________函数．9．从含盐5%的盐水y kg 中，蒸去x kg 水分，制成含盐20%的盐水，那么y 与x 之间的函数关系式为________．10．当3x =-时，函数y x k =+和1y kx =-的值相等，那么k 的值为_______． 11．设函数2(2)1my m m -=-++，当m ＝______时，它是一次函数；当m ＝______时，它是正比例函数．12．粮库有粮50吨，每天运走5吨，写出剩下的粮食P 〔吨〕与运粮的天数t 〔天〕的函数关系式，并指出自变量的取值范围．三、能力提升13．某汽车油箱中存油20kg ，油从管道匀速流出，经210min 流尽．〔1〕写出油箱中剩余油量y 〔kg 〕与流出的时间x 〔min 〕之间的函数关系式；〔2〕经过多少小时后，流出的油量是剩余油量的三分之二？14．某商店售货时，在进价的根底上加一定的利润，其数量x 与售价y 如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y 与数量x 的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价是多少元？15．弹簧挂上物体后会伸长，测得某弹簧的长度y 〔cm 〕与所挂物体的质量x 〔kg 〕有下面的关系，如表所示．那么弹簧的总长y 〔cm 〕与所挂物体质量x 〔kg 〕之间的函数关系式为16段到达节约用水目的，收费标准如下：每户每月用水未超过6m 3时，每平方米收费1.0元，超过6m 3时，超过局部每立方米收费1.8元，设某户月用水量为x 〔m 3〕，应交水费为y 〔元〕．〔1〕分别写出用水未超过6m 3和超过6m 3时，y 与x 的函数关系式；〔2〕假设某户6月份共交水费8.8元，求该户这个月用水多少立方米？17．在“保护母亲河行动──云南绿色希望工程〞活动中，发行了一种卡，目的在于新世纪之初建设万亩青少年新世纪林．此种卡面值12元，其中10•元为通话费，2元捐给“云南绿色希望工程〞基金，另附赠1元的通话费，•假设以发行的卡数为自变量x ，“云南绿色希望工程〞基金为函数y ．〔1〕写出y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；〔2〕购置一张这样的卡，实际可有多少元的通话费？•植树一亩需费用400元，假设今年我市九年级毕业生共有46 000人，每人购置一张卡，那么该项基金可植树多少亩？18．某公司推销一种产品，设x〔件〕是推销产品的数量，y〔元〕是推销费，以下图表示公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答以下问题：〔1〕求y1与y2的函数表达式；〔2〕解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？〔3〕如果你是推销员，应如何选择付费方案？19．某食品批发部准备用10 000•元从厂家购进一批出厂价分别为16元和20元的甲、乙两种酸奶，然后将甲、乙两种酸奶分别加价20%和25%向外销售．如果设购进甲种酸奶为x〔箱〕，全部售出这批酸奶所获销售利润为y〔元〕．〔1〕求所获销售利润y〔元〕与x〔箱〕之间的函数关系式；〔2〕根据市场调查，甲、乙两种酸奶在保质期内销售量都不超过300箱，那么食品批发部怎样进货获利最大，最大销售利润是多少？四、聚沙成塔20．中国移动通信已于2021年年3月21日开始在所属18个省、•市移动公司陆续推出“全球通〞移动资费“套餐〞，这个“套餐〞的最大特点是针对不同的用户采取了不同的收费方式，具体方案如表所示：方案代号根本月租〔元〕免费时间〔min〕超过免费时间话费〔元/min〕1 30 48 0.602 98 170 0.603 168 300 0.504 268 600 0.455 388 1 000 0.40 每月实际收入水平，选中上表中的方案3，请问：〔1〕“套餐〞中第3种收费方式的月话费y与月通话费t〔月通话量是指一个月内每次通话用时之和〕的关系式是什么？它是一次函数吗？〔2〕取第3种收费方式，通话量为多少时比原收费方式的月通话费省钱？2 一次函数1．C 2．C 3．D 4．B 5．B 7．S ＝116L 28．s ＝2－16t ，一次 9．y ＝43x 10．1211．±1，－1 12．P ＝50－5t 〔0≤t ≤10〕． 13．〔1〕y ＝20－221x ；〔2〕根据题意，得221x ＝23〔20－221x 〕，解得x ＝84〔m in 〕．14．y ＝8xxx ，∴y 是x 的正比例函数．当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21，即当数量是2.5千克时的售价是21元．15．由表中可知，弹簧原长为12cm ，每增加1kg 质量，弹簧伸长为0.5cm ，故yx ． 16．〔1〕当x ≤6时，y ＝x ，当x >6时，y ＝6×1＋〔x －6〕×1.8＝1．8x －4.8；〔2〕当水费为8.8元时，那么该户的月用水量超过了6m 3，把yyx －4.8，得x ＝759． 17．〔1〕y 与x 的函数关系式为：y ＝2x ，自变量x 的取值范围是：x ≥0的整数．〔2〕购置一张这种卡实际通话费为10＋1＝11〔元〕，当x ＝46 000时，y ＝2x ＝2×46 000＝92000，92 000÷400＝230〔亩〕． 18．〔1〕设y 1＝kx 1＋b 1，y 2＝kx 2＋b 2．12112212120,300,30600;30600.20,10,0;300.b b k b k b k k b b ==⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩则 ∴y 1＝20x ，y 2＝10x ＋300．〔2〕y 1是不推销产品没有推销费，每推销10件得推销费200元；y 2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．〔3〕假设业务能力强，平均每月能保证推销多于30件，就选择y 1的付费方案；•否那么选择y 2的付费方案．19．〔1〕解法一：根据题意，得y ＝16×20%·x ＋20×25%×100001620x-＝－0.8x ＋2 500，解法二：•y ＝16·x ·20%＋〔10 000－16x 〕·25%＝－0.8x ＋2 500．〔2〕解法一：由题意知300,1000016300.20x x ≤⎧⎪-⎨≤⎪⎩，解得250≤x ≤300．由〔1〕知y ＝－0.8x ＋2 500，∵k ＝－0.8<0，∴y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝250时，y 值最大，此时y ＝－0.8×250＋2 500＝2 300〔元〕， ∴100001620x -＝100001625020-⨯＝300〔箱〕．答：当购进甲种酸奶250箱，•乙种酸奶300箱时，所获销售利润最大，最大销售利润为2 300元． •解法二：•因为16•×20%<20×25%，即乙种酸奶每箱的销售利润大于甲种酸奶的销售利润，•因此最大限度的购进乙种酸奶时所获销售利润最大，即购进乙种酸奶300箱，那么x ＝100002030016-⨯＝250〔箱〕．由〔1〕知y ＝－0．8x ＋2 500，•∴x ＝250时，y 值最大，此时y ＝－0.8×250＋2 500＝2 300〔元〕．聚沙成塔：〔1〕当t ≤300m in 时，y ＝168，不是一次函数，当t >300m in 时，y ＝168＋〔tt ＋3是一次函数；〔2〕原收费方式的月话费为：50＋0.4t，由题意得50＋0.4t>168，得ttt＋3，得t<470．即当通话时间在295m in到470m in之间时，选用方案3比原收费方式要省钱．。

八年级数学上册《第一章探索勾股定理》练习题-带答案(北师大版)

八年级数学上册《第一章探索勾股定理》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.下列三角形中，可以构成直角三角形的有( )A.三边长分别为2，2，3B.三边长分别为3，3，5C.三边长分别为4，5，6D.三边长分别为1.5，2，2.52.如图，直角△ABC的周长为24，且AB：AC＝5：3，则BC＝( )A.6B.8C.10D.123.下列各组数为勾股数的是( )A.6，12，13B.3，4，7C.4，7.5，8.5D.8，15，164.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是( )A.a＝15，b＝8，c＝17B.a＝9，b＝12，c＝15C.a＝7，b＝24，c＝25D.a＝3，b＝5，c＝75.若直角三角形的三边长分别为6、10、m，则m2的值为( )A.8B.64C.136D.136或646.直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的13，斜边长为10，则它的面积为( )A.10B.15C.20D.307.如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是( )8.直角三角形的三边为a﹣b，a，a＋b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为( )A.61B.71C.81D.91二、填空题9.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积．10.在Rt△ABC中，∠C＝90o， AC＝6，BC＝8，则AB边的长是 .11.已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别4cm2和15cm2，则正方形③的面积为．12.如图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和12，则b的面积为____.13.若直角三角形的两小边为5、12，则第三边为．14.如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为______.三、解答题15.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…a，b，c根据你发现的规律，请写出(1)当a＝19时，求b、c的值；(2)当a＝2n＋1时，求b、c的值；(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由.16.如图，在△ABC中，AB＝AC＝26，边BC上的中线AD＝24．求BC的长度．17.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°.请完成以下任务.(1)尺规作图：①作∠A的平分线，交CB于点D；②过点D作AB的垂线，垂足为点E.请保留作图痕迹，不写作法，并标明字母.(2)若AC＝3，BC＝4，求CD的长.18.如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D为AB边上的一点(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若DE＝13，BD＝12，求线段AB的长．19.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边中点，过D点做DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE＝4，FC＝3，求EF长.参考答案1.D.2.B3.D4.D5.D.6.B7.A.8.C.9.答案为：24.10.答案为：10.11.答案为：19．12.答案为：1713.答案为：13.14.答案为：1515.解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1 ∵a＝19，a2＋b2＝c2∴192＋b2＝(b＋1)2∴b＝180∴c＝181；(2)通过观察知c﹣b＝1∵(2n＋1)2＋b2＝c2∴c2﹣b2＝(2n＋1)2(b＋c)(c﹣b)＝(2n＋1)2∴b＋c＝(2n＋1)2又c＝b＋1∴2b＋1＝(2n＋1)2∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1；16.解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线∴AD⊥BC，BD＝DC．∴AD2＋BD2＝AB2∵AD＝24，AB＝26∴BD2＝100∵BD＞0∴BD＝10∴DC＝10∴BC＝BD＋DC＝20．17.解：(1)如图所示：①AD是∠A的平分线；②DE是AB的垂线；(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝5由作图过程可知：DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°∵S△ACD ＋S△ABD＝S△ABC∴12AC•CD＋12AB•DE＝12AC•BC∴12×3×CD＋12×5×CD＝12×3×4，解得：CD＝32.18.证明：(1)∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形∴CE＝CD，AC＝BC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠B＝∠BAC＝45°∴∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD在△ACE和△BCD中∴△ACE≌△BCD；(2)解：∵△ACE≌△BCD∴AE＝BD，∠EAC＝∠B＝45°∵BD＝12∴∠EAD＝45°＋45°＝90°，AE＝12在Rt△EAD中，∠EAD＝90°，DE＝13，AE＝12 由勾股定理得：AD＝5∴AB＝BD＋AD＝12＋5＝17．19.解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB∴DE＝CD又∵CD＝3∴DE＝3；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10∴S△ADB ＝12AB·DE＝12×10×3＝15.20.解：连接BD．∵D是AC中点∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC ∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°∴∠EDB＝∠CDF在△BED和△CFD中∠EBD＝∠C,BD＝CD,∠EDB＝∠CDF∴△BED≌△CFD(ASA)∴BE＝CF；∵AB＝BC，BE＝CF＝3 ∴AE＝BF＝4在Rt△BEF中，EF＝ 5.。

八年级数学上册探索勾股定理同步练习1 北师大版.doc

第一章勾股定理参考例题［例1］如下图所示，中，A0=15 cm, AC=24 cm, Z/=60°,求BC的长.分析：是一般三角形，若要求出的长，只能将置于一个直角三角形中. 解：过点Q作少丄丽于点D在RtA^CZ?中，ZJ=60°ZACD=90° -60° =30°AD=-AC=12(cm)2Cl}=A(i-A0=^—122=43 2,DB=AB-AD=\^>-n=3.在R仏BCD中，5C!=Z^+CZ7!=32+432=441BC=21 cm.评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解. ［例2］如下图，A, B两点都与平面镜相距4米，且人B两点相距6米，一束光线由£射向平面镜反射之后恰巧经过B点.求B点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B点关于少的对称点B f ,^AB f,交CD于点、0,则0点就是光的入射点. 因为B，D=DB.所以B，D=AC.AB'〃乍ZOG4=90° ,AB' =ZCAO所以/XB' DO^/\ACO(,SSS)则O(=OD=-AB=- X6=3 米.连结仞，在 RtHODB 中，OI}+BD=OR 所以加=3'+4W,即曙5（米）. 所以点B 到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.1. 探索勾股定理（一）在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形的两条直角边的长分别为AC^7, BU4,请你研究这个直角三角形的斜边的长的平方是否等于42+72?% 、 f 、 / r /f 、 A / S i 、、 / L i E r、、 ,L r / f测验评价等级：A C ,我对测验结果（满意、一般、不满意）%1 图乙和图丙中 %1 图中（1）（2）%1 图中（1）（2）为什参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做止方形，如右图：AC=4, BC=3, S i|： Ijlf; i|： Ij If; KVH —4 5i« A.W = （3+4）J4X J_ x 3X4=7' —24=25 2即 /才=25,又 BC=3,/W=4»+3〔=25 :.Aff=A^+B （f（2）如图（图见题干中图）S 正方形观F S 正方吸0—4%△加（4+7）2—4X 丄x4X7=121 —56=65=4「7：!22. 探索勾股定理（二）下图甲是任意一个直角三角形它的两条直角边的边长分别为a 、〃，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形血疋全等的三角形，放在边长为的正方形内.（D （2）（3）是否为正方形？为什么？（3）的面积分别是多少？的面积之和是多少？的面积之和与止方形（3）的面积有什么关系？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？L G/、/ 、 A 丿-■ 、 / ■/ 7 r测验评价等级：A B C,我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案%1图乙、图内屮(1)(2) (3)都是止方形.易得(1)是以a为边长的止方形，(2)是以〃为边长的止方形，(3)的四条边长都是r,且每个角都是直角，所以(3)是以c为边长的正方形.%1图中(1)的面积为a2, (2)的面积为/ (3)的面积为c2.%1图屮(1) (2)面积之和为才+厌%1图中(1) (2)面积之和等于(3)的面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的止方形，它们面积相等，(1)(2 )的面积之和与(3) 的面积都等于(a+力*减去四个RtA^f的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.探索勾股定理(二)班级：________ 姓名：1.填空题(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图1：隔湖有两点/、B,为了测得/、B两点间的距离，从与方向成直角的仇?方向上任取一点G若测得必=50 ni,^40 m,那么/、B两点间的距离是_________________ .2.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm,求这个三角形的面积.3.在屮，ZU90° , AO2. 1 cm, BU2.8 cm(D求这个三角形的斜边的长和斜边上的高〃的长.(2)求斜边被分成的两部分/〃和劭的长.4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高力=1.8m,棚宽a=2.4m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5.如图3,已知长方形ABCD中AB=8 cm, BC=10 cm,在边仞上取一点E,将处折叠使点〃恰好落在边上的点F,求必'的长.测验评价结果: ;对自己想说的一句话是:参考答案1.(1)2. 5 (2)30 (3)30 米2.如图：等边屮B口2 cm, 〃伊W10 cm作ADLBC,垂足为〃，则〃为中点，BD=CD=6 cm在Rt 厶ABD中，A^A^-B^=10--6-=64AD=8 cm:.S^-BC' AD^ 1 X 12X8=48 (cm2)2 23.解：⑴•.•△/DC中，ZG90°, AO2. 1 cm, BC=2. 8 cm:.A^=A^+BC=2. f+2. 82=12. 25AB^i. 5 cmS®= -AC- BC^-AB - CD2 2:.AC - B(=AB- CD:.防AC BC = 21x2.8 = i. 68 (cm)AB 3.5(2)在中，由勾股定理得：AI7+CD=AC1:.AD=Ar-CD=2. f-l. 682= (2. 1+1.68) (2. 1-1. 68)=3. 78X0. 42=2XI. 89X2X0. 21=22X9X0. 21X0. 21.•.^J9=2X3X0, 21=1. 26(cm):.BD=AB—AD=3. 5-1. 26=2. 24(cm)4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3 X 12=36(m2)5.解：根据题意得：Rt△肋型Rt△屈FZAFE^90°，处HO cm, Ef^DE设CE=x cm,贝\\ DE=EF=CD— CE=8 — x 在Rt△/肿中由勾股定理得：Aff+Bf^AF,即肘=10',・・・稣10 —6二4 (cm)在RtAECF中由勾股定理可得: EP二C哄CP,即(8-^) W+42・：64 — 16x+x -x + 16/. JF3 (cm),即CE=3 cm。

北师大版八年级上册 1.1《探索勾股定理》【同步练习】(含解析)

《探索勾股定理》同步练习1. 下列说法正确的是（）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2； D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3．如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（）A.2kB.k+1C.k 2－1D.k 2+14. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 337.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）2d d C. 2d D.d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（）A.3B.4C.5D.79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对 10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是。

北师大版八年级数学：第一章勾股定理同步测试题三套

第一章勾股定理综合测试三套姓名勾股定理综合测试(一)一、选择题：（每小题4分，共32分）1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，122、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或253、以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（）A．9 cm2 B．13 cm2 C．18 cm2 D．24 cm24、如图，直角△ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（）A．6 B．8 C．10 D．125、如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米6、将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．5≤h≤12 B．5≤h≤24 C．11≤h≤12 D．12≤h≤247、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2 C．10cm2D．12cm28、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积为（）A、36，B、22C、18D、12二、填空题（每小题3分，共21分）9、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为64厘米2，则X的长为厘米。

10、如图，从电线杆离地面６米处向地面拉一条长１０米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为米。

11、如图，在等腰直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，AB=8，则AD2= 。

12、小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则________AB米。

北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》同步测试题带答案

北师大版八年级数学上册《1.1探索勾股定理》同步测试题带答案【基础达标】1.如图，在△ABC中，△B=90°，BC=3，AC=4，则AB的长度为（）A.1B.√7C.2√3D.52.在Rt△ABC中，△C=90°，AB=13，AC=12，则△ABC的面积为（）A.5B.60C.45D.303.(优秀传统文化)在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫作“斗拱”.斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的几何美感.如图1，我们选取斗拱模型的一部分，它由三个小木块组成，形状类似于一个直角三角形(图2).假设这个斗拱模型的直角边长度分别为a和b，斜边长度为c.根据工匠的记录，我们知道a=5尺(古代的长度单位)，b=12尺，则斜边c为尺.4.如图，在△ABC中，△ACB=90°，AB=5，BC=3，则图中阴影部分的正方形的面积为.5(新考法)如图，在△ABC中，AC=BC=5，P为AC上一动点，连接BP，BP的最小值为3，当BP取最小值时，AP= .【能力巩固】6(新考法)如图，在5×5的网格中，A，B，C都是网格点，则AC的长落在数轴上点（）A.M处B.N处C.P处D.Q处7对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD=1，BC=4，则AB2+CD2等于（）A.15B.16C.17D.208.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、10、7，则正方形D的面积为.【素养拓展】9(合作学习)在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.如图，作AD△BC于点D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积.10如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA△AB于点A，CB△AB于点B，已知DA=15 km，CB=10 km，现在要在铁路AB边上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少千米处?11(五育并举)为推行五育并举，结合当地特色，某校推出石板画课程，如图，这是小明制作的正方形石板画ABDE，为了方便展示小明又制作了两个直角三角形支架(△ABC和△BDF)，点C、B、F在同一直线上，在△ABC中，△ACB=90°，AC=8 cm，BC=7 cm，求C、E两点之间的距离.参考答案基础达标作业1.B2.D3.134.165.1能力巩固作业6.D7.C8.23素养拓展作业9.解:在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13 设BD=x ，则CD=14-x.由勾股定理得AD 2=AB 2-BD 2=152-x 2，AD 2=AC 2-CD 2=132-(14-x )2 ∴152-x 2=132-(14-x )2 解得x=9 ∴AD=12∴S △ABC =12BC ·AD=12×14×12=84.10.解:设AE=x ，在Rt△AED 中，x 2+152=DE 2. 在Rt△BCE 中，(25-x )2+102=CE 2.又DE=CE ，所以(25-x )2+102=x 2+152，解得x=10. 答:E 站应建在离A 站10 km 处.11.解:如图，连接CE ，过点E 作EG △AC ，交CA 的延长线于点G ∴△EGA=90° ∴△EAG+△AEG=90°. ∴△BAE=90° ∴△EAG+△BAC=90° ∴△AEG=△BAC. ∴AE=AB∴△AEG △△BAC (AAS)∴EG=AC=8 cm ，AG=BC=7 cm .在Rt△ECG 中，EG=8，GC=GA+AC=7+8=15(cm) 根据勾股定理得CE=√82+152=17(cm).。

北师大版八年级上册1.1探索勾股定理同步练习(不包含答案)

1.1探索勾股定理一、选择题1．用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形．则下列结论中正确的是( )A．c2＝a2＋b2B．c2＝a2＋2ab＋b2C．c2＝a2－2ab＋b2D．c2＝(a＋b)22. 为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5米的木梯，准备把梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离为( )A．0.7米 B．0.8米C．0.9米 D．1.0米3.在Rt△ABC中,斜边长BC=3,AB2+AC2+BC2的值为( )A.18B.9C.6D.无法计算.4.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC 的长为（）A．5B．6C．8D．105．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（）2A．（）6B．（）7C．（）6D．（）76.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，中间所夹三角形为直角三角形，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．647.直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为( )A．12 B．10C．8 D．68.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）A．13 B．13或C．13或15 D．159.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行（）．4米8米10米A．8米B．10米C．12米D．14米二、填空题10．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．11.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=5，BC=12，则AB 的长为_________.12.如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a ，较长的直角边长为b ，那么（a +b ）2的值为．13.如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为．14.已知ABC ∆的三个内角C B A ∠∠∠，，的对边分别是c ，，b a 满足0||)2222=-++-c b a b a （，则ABC ∆的形状是 .15.如图，△ABD 和△CED 均为等边三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ．若BE ＝，则CD＝．16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 同侧作正方形ABEF ，ACPQ ，BDMC ，记四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4＝．三、解答题17．如图，甲船以16海里/时的速度离开港口O，向东南方向航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B，A两点，且知30AB 海里，乙船每小时航行多少海里？AB南东西北O18.如图①所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B 与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图②，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下滑了多少米？19.如图，在钝角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于D，求AD的长20.如图、四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，∠ADC＝150°，已知四边形的周长为30，求四边形ABCD的面积．21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．22.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两条直角边长分别为a、b，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的图形；(2)证明勾股定理．。

北师大新版八年级上学期《1.1 探索勾股定理》同步练习卷

北师大新版八年级上学期《1.1 探索勾股定理》同步练习卷一．选择题（共19小题）1．图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）A．6B．C．D．3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．644．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（）A．+1B．﹣1C．﹣+1D．﹣﹣15．如图在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝3，BD＝2CD，则BC＝（）A．7B．8C．9D．106．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A．3B．2C．4D．7．如图，AC是四边形ABCD的对角线，AB＝BC＝CD＝1，∠B＝∠ACD＝90°，则四边形ABCD的面积等于（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且AD平分∠BAC，若AB＝10，CD ＝3，则三角形ABD的面积为（）A．10B．15C．20D．259．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（）A．1.6B．1.4C．1.5D．210．在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为24，斜边与一直角边之比为5：4，则这个直角三角形的面积是（）A．20B．24C．28D．3011．如图，直角三角形三边上的等边三角形的面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S1+S2＞S3B．S1+S2＜S3C．S1+S2＝S3D．S12+S22＞S3212．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM ＝3，则CE2+CF2的值为（）A．6B．9C．18D．3613．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D．若AC＝6，BC＝8，则BD的长是（）A．4B．5C．6D．714．如图，在面积为6的Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，BC边上有一动点P，当点P到AB边的距离等于PC的长时，那么点P到端点B的距离等于（）A．B．C．D．15．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为（）A．B．C．D．﹣116．如图，长方形ABCD的边AD长为2，边AB长为1，AD在数轴上，以原点D为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．B．C．2.3D．17．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④2xy+4＝49；其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④18．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．4，5，6B．5，7，12C．3，5，D．1，，19．如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方差，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断二．填空题（共18小题）20．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，设AD＝b，BD＝a，则DC＝．（用含a，b的代数式表示）21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA＝DB．若CD＝3，则BC＝．22．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为cm．23．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为．24．定义：如果△ABC内有一点P，满足∠P AC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果P A＝2，那么PC＝．25．如图是小章为学校举办的数学文化节没计的标志，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝6，空自部分面积为10.5，则阴影部分面积为．26．如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连结小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AB边上的高是．27．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，EG∥AB交AC于点G，则△GEF的周长为．28．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，点D是AC边的中点，点P是BC边上一点，若△BDP为等腰三角形，则线段BP的长度等于．29．一直角三角形两边分别为3和4，则斜边长为，斜边上的高为．30．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝6，S3＝10，则S1＝．31．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，垂足为点E，则DE 等于．32．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝32，AB＝40，且BD：DC＝5：3．则△ADB的面积为．33．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的斜边和较短的直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为．34．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为厘米/秒．35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．AD是△ABC的角平分线，若CD＝4，AC＝12，AB＝15，DE⊥AB于E，则△BDE的面积是．36．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，且AD⊥BC于点D，则AD＝．37．如图，图中的三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为7，另外两个正方形中的数字x，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是．三．解答题（共11小题）38．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P．（1）求PD的长度；（2）连结PC，求PC的长度．39．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．40．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，如果AB＝，求CD的长．41．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，CD＝2，AC＝2．（1）求∠B的度数；（2）求AB和BC的长．42．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，点P在线段AC上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，设运动时间为t（s）．（1）当t＝1时，判断△APQ的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，△APQ与△CQP全等？请写出证明过程．43．如图1，Rt△ABCAC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点．（1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD．44．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）当点P在AB上，求出t为何值时，△BCP为等腰三角形．45．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM ＝5，则CE2+CF2等于多少？46．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，若AB＝2，CD＝4，BC＝8，求四边形ABCD的面积．47．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，求当t为何值时，△APD和△QBE全等．48．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2．北师大新版八年级上学期《1.1 探索勾股定理》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm2【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：正方形A，B，C，D的面积之和等于正方形E，F的面积之和，正方形E，F的面积之和等于最大正方形G的面积．【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．∵G的面积是62＝36cm2，∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理，注意在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）A．6B．C．D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，解得，CD＝，故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．64【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．4．如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（）A．+1B．﹣1C．﹣+1D．﹣﹣1【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，∴AC＝，∵点A表示的数是﹣1，∴点C表示的数是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出AB的长是解题的关键．5．如图在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝3，BD＝2CD，则BC＝（）A．7B．8C．9D．10【分析】要求BC，因为BC＝BD+CD，且BD＝2CD，所以求CD即可，求证△ADE≌△ADC 即可得：CD＝DE，可得BC＝BD+DE．【解答】解：∵在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC，∴CD＝DE，∵BD＝2CD，∴BC＝BD+CD＝3DE＝9．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的证明，解本题的关键是求证△ADE≌△ADC，即CD＝DE．6．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A．3B．2C．4D．【分析】利用面积法求三角形的高即可．【解答】解：∵BC＝5，AC＝＝5，∴S△ABC＝×5×3＝×AC×BD，∴BD＝3，故选：A．【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．如图，AC是四边形ABCD的对角线，AB＝BC＝CD＝1，∠B＝∠ACD＝90°，则四边形ABCD的面积等于（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝，△ABC的面积＝×1×1＝，△ACD的面积＝×1×＝，则四边形ABCD的面积＝+＝，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且AD平分∠BAC，若AB＝10，CD ＝3，则三角形ABD的面积为（）A．10B．15C．20D．25【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝3，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×10×3＝15．故选：B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键．9．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（）A．1.6B．1.4C．1.5D．2【分析】根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵BC＝＝5，∵S△ABC＝4×4﹣×1×1﹣×3×4﹣×3×4＝，∴△ABC中BC边上的高＝＝，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为24，斜边与一直角边之比为5：4，则这个直角三角形的面积是（）A．20B．24C．28D．30【分析】由斜边与一直角边比是5：4，设斜边是5k，则直角边是4k，根据勾股定理，得另一条直角边是3k，根据题意，求得三边的长，进而得出三角形面积即可．【解答】解：设斜边是5k，直角边是4k，根据勾股定理，得另一条直角边是3k．∵周长为24，∴4k+5k+3k＝24，解得：k＝2．∴三边分别是8，6，10．所以三角形的面积公式＝，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，用一个未知数表示出三边，根据已知条件列方程即可，要求能熟练运用勾股定理．11．如图，直角三角形三边上的等边三角形的面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S1+S2＞S3B．S1+S2＜S3C．S1+S2＝S3D．S12+S22＞S32【分析】根据等边三角形的面积和勾股定理解答即可．【解答】解：设三个等边三角形的边长为a1、a2、a3，所以三个等边三角形的面积分别为：，∵，∴S1+S2＝S3，故选：C．【点评】本题主要考查运用勾股定理结合图形求面积之间的关系，关键在于根据题意找出直角三角形，运用勾股定理求出三个等边三角形的边长之间的关系．12．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM ＝3，则CE2+CF2的值为（）A．6B．9C．18D．36【分析】根据角平分线的定义、外角定理推知∠ECF＝90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可．【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝3，EF＝6，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝36，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质及平行线的性质，以及角平分线的定义，证明出△ECF是直角三角形是解决本题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D．若AC＝6，BC＝8，则BD的长是（）A．4B．5C．6D．7【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD＝AC，根据BD＝AB ﹣AD即可算出答案．【解答】解：∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，∴AD＝AC，∴AD＝6，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．故选：A．【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．14．如图，在面积为6的Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，BC边上有一动点P，当点P到AB边的距离等于PC的长时，那么点P到端点B的距离等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用全等三角形的判定和性质以及结合勾股定理得出PB的长．【解答】解：∵点P到AB边的距离等于PC的长，∴AP是∠CAB的平分线，∴∠CAP＝∠DAP，在△CAP和△DAP中，，∴△CAP≌△DAP（AAS），∴AC＝AD＝4，∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，BD＝1，设PB＝x，则PC＝PD＝3﹣x，在Rt△PDB中，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即点P到端点B的距离等于．故选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质，正确应用勾股定理是解题关键．15．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为（）A．B．C．D．﹣1【分析】直接利用勾股定理得出PC的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：PC＝2，BC＝1，则在Rt△PCB中，PC2+BC2＝PB2，故PB＝，则PD＝，故点D表示的数为：﹣1．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确得出PC的长是解题关键．16．如图，长方形ABCD的边AD长为2，边AB长为1，AD在数轴上，以原点D为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．B．C．2.3D．【分析】根据勾股定理求出DB，根据实数与数轴的关系解答．【解答】解：由勾股定理得，DB＝＝，∴这个点表示的实数是，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．17．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④2xy+4＝49；其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．【解答】解：①∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，故本选项正确；②由图可知，x﹣y＝CE＝＝2，故本选项正确；③由2xy+4＝49可得2xy＝45①，又∵x2+y2＝49②，∴①+②得，x2+2xy+y2＝49+45，整理得，（x+y）2＝94，x+y＝≠9，故本选项错误；④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为4××xy+4＝49，即2xy+4＝49；故本选项正确．∴正确结论有①②④．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．18．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．4，5，6B．5，7，12C．3，5，D．1，，【分析】如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．由此判定即可．【解答】解：A、∵52+42≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵52+72≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+（）2≠52，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；D、∵12+（）2＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；故选：D．【点评】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．19．如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方差，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断【分析】根据勾股定理的逆定理：两小边的平方和等于最长边的平方．【解答】解：该三角形的三边分别为a、b、c其中c是斜边，若b2＝c2﹣a2或a2＝c2﹣b2，则c2＝a2+b2，所以该三角形是直角三角形．故选：B．【点评】考查了勾股定理，平方差公式和三角形，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．二．填空题（共18小题）20．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，设AD＝b，BD＝a，则DC＝+a．（用含a，b的代数式表示）【分析】在CD上取点E，使DE＝DB，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝AB，根据三角形的外角的性质得到∠C＝∠EAC，根据等腰三角形的性质得到AE＝EC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：在CD上取点E，使DE＝DB，连接AE，则AD是线段BE的垂直平分线，∴AE＝AB，∴∠AEB＝∠B，∴∠AEB＝2∠C，∵∠AEB＝∠C+∠EAC，∴∠C＝∠EAC，∴AE＝EC，在Rt△ABD中，AB＝＝，∴CD＝CE+DE＝AE+DB＝+a，故答案为：+a．【点评】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，且DA＝DB．若CD＝3，则BC＝9．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝3，∵AD＝BD，∴AE＝BE，在Rt△AED与Rt△ACD中，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∴AB＝2AC，∴∠B＝30°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝BD＝2CD＝6，∴BC＝9．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．22．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为cm．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的长度，然后利用等面积法求得AC边上的高的长度，【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB＝4cm，BC＝4cm，由勾股定理知，AC＝＝＝4．设AC边上的高的长度为hcm，则AB•BC＝AC•h，∴h＝＝＝2（cm）．故答案是：2．【点评】考查了勾股定理，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．23．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为2．【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E 解得即可．【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9∴S正方形A+4＝9﹣3，∴S正方形A＝2故答案为2．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．24．定义：如果△ABC内有一点P，满足∠P AC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果P A＝2，那么PC＝．【分析】根据两角对应相等的两三角形相似得出△ACP∽△CBP，利用相似三角形对应边的比相等即可求出PC．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠ABC﹣∠PBA，即∠ACP＝∠CBP．在△ACP与△CBP中，，∴△ACP∽△CBP，∴＝，∵AC＝5，BC＝8，P A＝2，∴PC＝＝．故答案为．【点评】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△ACP∽△CBP，属于中考常考题型．25．如图是小章为学校举办的数学文化节没计的标志，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC＝6，空自部分面积为10.5，则阴影部分面积为17．【分析】根据余角的性质得到∠F AC＝∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△F AM＝S△ABN，推出S△ABC＝S四边形FNCM，根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，解方程组得到3AB2＝57，于是得到结论．【解答】解：如图∵四边形ABGF是正方形，∴∠F AB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠F AC+∠BAC＝∠F AC+∠ABC＝90°，∴∠F AC＝∠ABC，在△F AM与△ABN中，，∴△F AM≌△ABN（AAS），∴S△F AM＝S△ABN，∴S△ABC＝S四边形FNCM，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，∴AB2+2AC•BC＝36，∵AB2﹣2S△ABC＝10.5，∴AB2﹣AC•BC＝10.5，∴3AB2＝57，∴2AB2＝38，∴阴影部分面积为＝38﹣10.5×2＝17，故答案为：17．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．26．如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连结小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AB边上的高是．【分析】作CD⊥AB于D，根据图形求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作CD⊥AB于D，△ABC的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1＝4，由勾股定理得，AB＝＝，则×AB×CD＝4，即××CD＝4，解得，CD＝，故答案为：．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．27．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，EG∥AB交AC于点G，则△GEF的周长为10cm．【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到AG＝EG，EF＝CF，再根据△GEF的周长＝EG+GF+EF＝AG+GF+CF＝AC，即可得出结论．【解答】解：∵EG∥AB，∴∠BAE＝∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEG，∴AG＝EG，同理可得，EF＝CF，∴△GEF的周长＝EG+GF+EF＝AG+GF+CF＝AC＝10cm，故答案为：10cm．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及角平分线的综合运用，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段，解决问题的关键是判定等腰三角形．28．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，点D是AC边的中点，点P是BC边上一点，若△BDP为等腰三角形，则线段BP的长度等于3或．【分析】分两种情形：①当PD＝PB时．②当BD＝BP′时分别求解；【解答】解：如图，当PD＝PB时，连接P A交BD于点H，作PE⊥AC于E，PF⊥AB于F．∵AD＝DC＝3．AB＝3，∴AB＝AD，∵PB＝PD，∴P A垂直平分线段BD，∴∠P AB＝∠P AD，∴PE＝PF，∵•AB•PF+•AC•PE＝•AB•AC，∴PE＝PF＝2，在Rt△ABDA中，∵AB＝AD＝3，∴BD＝3，BH＝DH＝AH＝，∵∠P AE＝∠APE＝45°，∴PE＝AE＝2，∴P A＝2，PH＝P A﹣AH＝，在Rt△PBH中，PB＝＝＝．当BD＝BP′时，BP′＝3，综上所述，满足条件的BP的值为3或．故答案为3或．【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．29．一直角三角形两边分别为3和4，则斜边长为5或4，斜边上的高为或．【分析】分两种情形用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【解答】解：①当3，4为直角边时，由勾股定理可得：斜边长2＝32+42＝25，则斜边长＝5，直角三角形面积S＝×3×4＝×5×斜边的高，可得：斜边的高＝．②当4为斜边时，斜边上的高为故答案为：5或4，或．【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是学会利用面积法求直角三角形斜边上的高．30．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝6，S3＝10，则S1＝4．【分析】先根据勾股定理得出△ABC的三边关系，再根据正方形的性质即可得出S1的值．【解答】解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，∴BC2＝AC2﹣AB2，∵BC2＝S1、AB2＝S2＝6，AC2＝S3＝10，∴S1＝S3﹣S2＝10﹣6＝4．故答案为：4【点评】本题考查的是勾股定理及正方形的面积公式，先根据勾股定理得出AB、BC及AC 之间的关系是解答此题的关键．31．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，垂足为点E，则DE 等于．【分析】首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．【解答】解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝5，∴AD＝＝12，又∵DE⊥AB，∴BD•AD＝AB•ED，∴ED＝，故答案为：【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．32．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝32，AB＝40，且BD：DC＝5：3．则△ADB的面积为240．【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，再由BC＝32，BD：DC＝5：3，CD＝×32＝12，则DE＝12，然后根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝DC，∵BC＝32，BD：DC＝5：3，∴CD＝×32＝12，∴DE＝12，∴△ADB的面积＝AB•DE＝×40×12＝240．故答案为：240．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．33．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的斜边和较短的直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为1．【分析】直角三角形的斜边和较短的直角边长分别为5和3，得出3和4为两条直角边长时，求出小正方形的边长＝1，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．【解答】解：直角三角形的斜边和较短的直角边长分别为5和3，得出：3和4为两条直角边长时，小正方形的边长＝4﹣3＝1，∴小正方形的面积12＝1；故答案为：1【点评】本题考查了勾股定理的证明，理解直角三角形的边长与小正方形的边长之间的关系是关键．34．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为2或3厘米/秒．【分析】分两种情形讨论①当BD＝CM＝4，BM＝CN时，△DBM≌△MCN，②当BD＝CN，BM＝CM时，△DBM≌△NCM，再根据路程、时间、速度之间的关系求出点N的速度．。

北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理同步测试题

1.1 探索勾股定理同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 已知一个直角三角形的面积为96，并且两直角边的比为3:4，则这个三角形的斜边为（）A.10B.20C.5D.152. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A. B. C. D.3. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90∘，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是()A.3B.4C.5D.64. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A.72B.52C.80D.765. 已知直角三角形的两直角边之比是3:4，周长是36，则斜边是()A.5B.10C.15D.206. 如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB=4，则图中阴影部分的面积为（）A.4B.8C.10D.127. 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A.121B.120C.90D.不能确定8. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么(a−b)2的值是（）A.1B.2C.12D.139. 直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3:4，那么这个直角三角形的周长为（）A.27cmB.30cmC.40cmD.48cm10. 将一个正方体放在斜坡上，使其向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，∠B=90∘，AB=8米，BC=6米．当正方形DEFH运动到边AC的某一位置时，有DC2= AE2+BC2，此时CE的长度为()A.2米B.2.5米C.3.4米D.6.6米二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为________，斜边上的高为________．12. 如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积分别是为1、13，则直角三角形两直角边和a+b=________．13. 在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=________．14. 已知三角形ABC中∠C=90∘，AC=3，BC=4，则斜边AB上的高为________．15. 若Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，则AC=________．16. 如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是________．17. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，AB边上的高是________cm．18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，D为AC上的一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是________．19. Rt△ABC中，∠BAC＝90∘，AB＝AC＝2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为________．20. 如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积为225和144，则正方形A的面积为________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠B=90∘．（1）已知b=8，c=4，求a．（2）已知b=√5，a:c=1:2，求a、c．22. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，是一个“赵爽弦图”飞镖版，其直角三角形的两条直角边的长分别是3和4．分别求大正方形和小正方形的面积．23. 如图，Rt△ABC≅△CDE，∠B=∠D=90∘，且B、C、D三点在同一条直线上，试利用这个图形证明勾股定理公式．24. 如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9，求AB的长和∠ACB 的度数．25. 如图，把两个火柴盒放倒，在这个过程中能验证勾股定理．请你试一试．26. 如图，是用硬纸版作成的两个小直角三角形和一个大直角三角形，两个小直角三角形直角边长分别为a和b，斜边为c，大直角三角形直角边都为c，请你动动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出所拼图形的示意图，说出图形的名称．（2）用这个图形证明勾股定理．1、最困难的事就是认识自己。

北师大新版八年级数学上学期《1.1 探索勾股定理》同步练习卷

北师大新版八年级数学上册《1.1 探索勾股定理》同步练习卷
一、选择题。
1．（3 分）直角三角形的两直角边分别为 a，b，斜边为 c，则下列关于 a，b，c 三边的关系
式不正确的是（）
A．b2＝c2﹣a2
B．a2＝c2﹣b2
C．b2＝a2﹣c2
D．c2＝a2+b2
2．（3 分）一个直角三角形，两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是（）
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北师大新版八年级数学上册《1.1 探索勾股定理》同步练习卷
参考答案
一、选择题。
1．C； 2．A； 3．C； 4．A； 5．C； 6．B； 7．A； 8．A； 9．D；
二、填空题。
10．5； 11．50； 12．2； 13．54cm2； 14．100cm2； 15．15； 16．8； 17．1； 18BC 中，∠ABC＝90°，分别以 BC、AB、AC 为边向外作正方形，
面积分别记为 S1、S2、S3，若 S2＝4，S3＝6，则 S1＝
．
13．（3 分）如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是 15cm 和 12cm，那么这个直角三角
形的面积是
．
14．（3 分）如图，∠MCF＝∠FCD，∠MCE＝∠ECB，EF＝10cm，则 CE2+CF2＝
五、标题 21．（8 分）如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？
22．（8 分）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝24，CD⊥AB 于 D．（1）求 AB 的长；（2）求 CD 的长．
第3页（共5页）
23．（8 分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC＝18cm，BC＝24cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 BD 的长吗？

《1.1 探索勾股定理》同步练习 2022年北师大版数学八上练习

第一章勾股定理专题一有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，那么线段CN长是〔〕A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求∠DKG的度数．3． Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF 绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．〔1〕如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN 沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________；〔2〕如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．试证明你的猜测；〔3〕当扇形C EF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．〔不要求证明〕①②③专题二勾股定理的证明4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系〔如图1〕．问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系〔如图2〕．问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系〔如图3〕．5. 如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有假设干个，图①中两直角边长分别为a 和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．〔1〕请你画出一种图形，并验证勾股定理．〔2〕你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形〔无需证明〕．答案：1．A 【解析】设CN=x cm，那么DN=〔8-x〕cm. 由折叠的性质知EN=D N=〔8-x〕cm，而EC=12BC=4 cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即〔8-x〕2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．应选A．2．解：∵DF=12CD=12DG，∴∠DGF=30°．∵∠EKG+∠KGE=90°，∠KGE+∠DGF=90°，∴∠EKG=∠DG F=30°．∵2∠DKG+∠GK E=180°，∴∠DKG=75°．3．解：〔1〕根据折叠的性质知：△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP．∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN. ∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN.故△PMN是等腰直角三角形，AM2+B N2=MN2〔或AM=BN=22MN〕．〔2〕AM2+BN2=M N2.证明:如图,将△AC M沿CM折叠，得△DCM，连DN，那么△ACM≌△DCM，∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM. 同理可知∠DCN=∠BCN，△DCN≌△BCN，DN=BN，而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°，∴∠MDN=90°，∴DM2+DN2=MN2，故AM2+BN2=MN2．〔3〕AM2+BN2=MN2；解法同〔2〕．4．解：探究1：由等边三角形的性质知：S′=34a2，S″=34b2，S=34c2，那么S′+ S″=34〔a2+b2〕.因为a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．探究2：由等腰直角三角形的性质知：S′=14a2，S″=14b2，S=14c2．那么S′+S″=14〔a2+b2〕.因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．探究3：由圆的面积计算公式知：S′=18πa2，S″=18πb2，S=18πc2．那么S′+ S″=18π〔a2+b2〕，因为a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．5．解：〔1〕如下图，根据正方形的面积可得〔a+b〕2=4×12ab+c2，即a2+b2=c2．〔2〕如下图．3.3 整式专题一整式的概念1．单项式﹣3πxy2z3的系数和次数分别是〔〕A．﹣π，5 B．﹣1，6 C．﹣3π，6 D．﹣3，7 2．以下说法正确的选项是〔〕A．整式就是多项式 B．π是单项式C．x4+2x3是七次二项次 D．是单项式3．在代数式x2+5，﹣1，x2﹣3x+2，π，，x2+中，整式有〔〕A．3个B．4个C．5个D．6个4．多项式2x2y﹣是次项式，常数项是．5．关于x的多项式〔a﹣4〕x3﹣x b+x﹣b是二次三项式，那么a= ，b= ．6．〔a﹣1〕x2y a+1是关于x、y的五次单项式，试求以下代数式的值：〔1〕a2+2a+1；〔2〕〔a+1〕2．〔3〕由〔1〕、〔2〕两小题的结果，你有什么想法？7．多项式〔a﹣4〕x3﹣x b+x﹣b是关于x的二次三项式，〔1〕求a、b的值；〔2〕求a+b的值．8．试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且同时满足以下条件：〔1〕六次三项式；〔2〕每一项的系数均为1或﹣1；〔3〕不含常数项；〔4〕每一项必须同时含字母x、y，但不能含有其他字母．状元笔记：【知识要点】了解整式产生的背景和整式的概念，能求出整式的次数．【温馨提示】整式的特征如下：1．单项式的分母中不含字母，分子中不能出现加减运算．单项式主要有以下五种形式：①单独一个数；②单独一个字母；③数与数的积；④数与字母的积；⑤字母与字母的积．2．单项式的系数是指单项式中的数字因数〔应包括前面的符号〕；单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，这里应特别注意常数不是字母．3．对于多项式来说，没有系数的概念，只有次数的概念，多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．4．单项式和多项式统称为整式，对整式的判断从单项式和多项式入手判断即可．参考答案：1．C2．B3．B 解析：和的分母中含有未知数，那么不是整式，其余的都是整式．4．三四﹣15． 4 2 解析：因为多项式〔a﹣4〕x3﹣x b+x﹣b是二次三项式，所以多项式〔a﹣4〕x3﹣x b+x﹣b不含x3项，即a﹣4=0，a=4；因为其最高次项的次数为2，即b=2．6．解：∵〔a﹣1〕x2y a+1是关于x、y的五次单项式，∴a﹣1≠0，a+1=3，即a=2．〔1〕当a=2时，a2+2a+1 =22+2×2+1=4+4+1=9．〔2〕当a=2时〔a+1〕2=〔2+1〕2=9．〔3〕由〔1〕、〔2〕我们发现： a2+2a+1=〔a+1〕2．7．解：〔1〕∵多项式〔a﹣4〕x3﹣x b+x﹣b是关于x的二次三项式，∴a﹣4=0，b=2，∴a=4，b=2．〔2〕∵a=4，b=2，∴a+b=4+2=6．8．解：此题答案不唯一，如：x3y3﹣x2y4+xy5，﹣x2y4﹣xy﹣xy2．。

北师大版八年级上册 探索勾股定理同步练习题

2020年《暑假衔接》北师大版八年级上册：1.1 探索勾股定理 同步练习