五年级奥数题：图形的计数

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图形的计数
一、填空题
A 12
1．如下左图中一共有（ ）条线
段.
O
A 11 A 10
A 9
A 8
A 1
A 2
A 3 A 4
A 5
2. 如上右图,O 为三角形 A 1A 6A 12 的边 A 1A 12 上的一点,分别连结
OA 2,OA 3,…OA 11，这样图中共有_____个三角形. 3. 如下左图中有_____个三角形.
A
D
A 7 A 6
B
4. 如上右图中共有_____个梯形.
5. 数一数
(1)一共有( )个长方形. (2)一共有( )个三角形.
C
D C A
6. 如下左图中,所有正方形的个数是______.
B
(1) (2)
A P O N
M
B Q X W
L
C
R Y V
K
D
S T
U
J E
F
G H
I
7. 在一块画有 4 ⨯ 4 方格网木板上钉上了 25 颗铁钉(如上右图),如果用线绳围正方形,最多可 以围出_____个.
8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有 4 ⨯ 4 个钉(如下左图).以每个钉为顶点,你 能用皮筋套出正方形和长方形共_____个.
9. 如下左图,方格纸上放了 20 枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.
10. 数一数, 如上右图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的.
二、解答题
11. 如下左图中共有 7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比.
O
1
2
A B
4
3
C D
5
6 E F
7
M
N
12. 如上右图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？
13．现在都是由边长为 1 厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为 2 厘米、4 厘米、8 厘 米、9 厘米的大小不同的正方形、它们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色 的小正方形，除此以外，都是涂有白色的小正方形，要组成这样 4 个大小不同的正方形，总 共需要红色正方形多少个？白色正方形多少个？
14．将 ABC 的每一边 4 等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？
———————————————答 案——————————————————————
1． 30
由例 1 注可知图形中每边有 3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有 6 ⨯ 5=30 条线段. 2. 37
将 A 1A 6A 12 分解成以 OA 6 为公共边的两个三角形. OA 1A 6 中共有 5+4+3+2+1=15(个)三角形,
OA 6A 12 中共有 6+5+4+3+2+1=21(个)三角形,这样,图中共有 15+21+1=37(个)三角形.
3. 15
这样的问题应该通过分类计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点 C 的和不含顶点 C 的两大类.含
顶点 C 的又可分成另外两顶点在线段 AB 上的和在线段 BD 上的两小类.分类图解如下:
A A
A
D
B
C
D
B
B C
C
B
D
所以原图有
(3+2+1)+(3+2+1)+3 =15(个)三角形. 4. 18
梯形一共有三行,每行都有 3+2+1=6(个),所以一共有 6 ⨯ 3=18(个)梯形. 5. 108,36
(1)因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数.按照前面所介绍
的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将它们相乘就是所有长方形的个数.
因为 AB 边上有 8+7+6+…+2+1= 9 ⨯ 8
2
=36 条线段，AD 边上有 2+1=3 条线段，所以图中一共有 36 ⨯ 3=108
个长方形.
(2)三角形一共有 6 行,每行都有 3+2+1=6(个),所以一共有 6 ⨯ 6=36(个)三角形. 6. 30
由例 5 注可知整个图形中共有 12+22+32+42=30 个正方形. 7. 50
此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下:
边长为 AB 的正方形有 16 个； 边长为 AC 的正方形有 9 个； 边长为 AD 的正方形有 4 个； 边长为 AE 的正方形有 1 个； 边长为 DF 的正方形有 9 个； 边长为 CF 的正方形有 8 个； 边长为 BF 的正方形有 2 个； 边长为 CG 的正方形有 1 个. 所以,最多可围出 50 个正方形.
B
C
8. 44
因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分别求正方形和长方形的个
数,仍用分类计数的方法求解.
先考虑有一组对边平行于 BC 的长方形有多少个.这一类按其水平边的位置可分为 6 小类,即位置在
BF 、FE 、EC 、FC 、BE 、BC .同样,其竖直边也分为 6 类.所以这一类有 6 ⨯ 6=36 个长方形.
A
D
F
E
另一类是没有边平行于 BC 的.这一类又分类两小类,分解图如下页图所示,其中分别有 6
个和 2 个长方形.
所以，一共可套出正方形和长方形 36+6+2=44 个. 9． 21
以正方形的面积大小分类计数.
设相邻两点的距离为 1，则正方形面积为 1 的有 9 个； 面积为 2 的有 4 个； 面积为 5 的有 2 个； 面积为 8 的有 4 个； 面积为 13 的有 2 个；
所以，共有 9+4+2+4+2=21 个正方形. 10． 30
将原立体图形从左至右分类计算，共有 11+7+5+7=30 个.
11. 白色小三角形个数=1+2+3+…+6= (1 + 6) ⨯ 6
2
=21，
(1 + 7) ⨯ 7
黑色小三角形个数=1+2+3+…+7= =28，
2
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所以它们的比=21
=. 284
12.解法一
本图中三角形的个数为(1+2+3+4)⨯4=40(个).下面求梯形的个数.梯形由两底唯一确定.首先在AB,CD,EF,MN中,考虑两底所在的线段,共有(4⨯3)÷2=6(种)选法；对上述四条线段中确定的两条线段，共有10（10=4+3+2+1）个梯形.共60个梯形.故所求差为20.
解法二
在图中可数出4个三角形,6个梯形,梯形比三角图形图形多2个.而在题图中,这种恰有10个.故题图中,梯形个数与三角形的个数之差为2⨯10=20(个).
13.边长2厘米的正方形:
2⨯2=4(个)……红色
边长4厘米的正方形
(4-1)⨯4=12(个)……红色
(4-2)⨯(4-2)=4(个)……白色
边长8厘米的正方形
(8-1)⨯4=28(个)……红色
(8-2)⨯(8-2)=36(个)……白色
边长9厘米的正方形
(9-1)⨯4=32(个)……红色
(9-2)⨯(9-2)=49(个)……白色
所以,红色小正方形共有
4+12+28+32=76(个)
白色小正方形共有
4+36+49=89(个)
[注]本题的要求是由边长为1厘米的红色和白色两种正方形,分别组成边长是2厘米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形,可以看作方阵问题来解.四周的小正方形是涂红色的,可看成是空心方阵,因此,涂红色正方形的个数等于4⨯(n-1).其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵，所以，涂白色的正方形的个数等于(n-2)⨯(n-2).比如,由边长为1厘米的正方形组成边长为9厘米的正方形,涂红色的小正方形的个数是:4⨯(9-1)=32(个),涂白色的小正方形的个数是:(9-2)⨯(9-2)=49(个).
14.将平行四边形分为三类:①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方.
就第③类而言:型6个；型3个，与其对称的3个；
型1个，与其对称的1个；型1个；共15个.同理,第②、①类也分别含15个，故上述三类平行四边形共45个.
[注]这样数平行四边行,很麻烦,又易出错.我们试图找到一种对应关系:先考虑任一边不与BC平行的平行四边形,延长各边必与BC有4个交点,特殊情况下,第二个交点与第三个交点重合；反过来，BC上的任意四点或三点决定一个平行四边形，也就是说，边不与BC平行的平行四边形的个数与BC上的四交点组和三交点组的数目一样多。

由于BC上有5个交点，其中可构成5个4点组；10个3点组，即边不平行于BC的平行四边形有15个。

同理分别考虑边不平行AB、CD的平行四边行。

由此可知，共有45个平行四边形。

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