数列应用题专题训练

a5= ( 1 )5 1×0.2= ( 1 )4×0.2=0.0125 kg
2
2
2.由 1.得 { an} 是等比数列
a1 =0.2 ,
1
q=
2
1
S6
a1(1 q6 ) 1q
0.2(1 26 ) 11
0.39375 kg
2
0 . 4 0 .39375 0 .00625
0.0 0 6 2 52
0.0 0 3 1 2 5
即为这个月总的感染人数。
略解：由题意， 11 月 1 日到 n 日，每天新感染者人数构成一等差数列
an， a1=20,d1 =50,11 月 n
日新感染者人数 an=50n— 30；从 n+1 日到 30 日，每天新感染者人数构成等差数列 bn,b1=50n-60,d 2=
— 30， bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11 月 30 日新感染者人数为 b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.
数列应用题专题训练
高三数学备课组
以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型， 在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。
要正确快速地求解这类问题， 需要
一、储蓄问题
对于这类问题的求解，关键是要搞清： (1)是单利还是复利； (2) 存几年。
单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为
二、等差、等比数列问题
等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等
比数列的有关性质求解。 例 2、（分期付款问题） 用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为
1150 元。购买当天先付
150 元，以后每月这一天都交付 50 元，并加付欠款的利息，月利率为 1%。若交付 150 元以后的第
a ，上
3
2
3
82
3
82
3a
1
2
述等号成立，须 b
且 n 1 log 2 1 log 2 2 因此等号不能取到，
8
32
33
当b
3a
时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．
8
例 7．（等差等比综合问题） 银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即
将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：
P 元，每期利率为 r，经过 n 期，按
单利计算的本利和公式为 Sn=P(1+nr) 。
复利是一种计算利率的方法， 即把前一期的利息和本金加在一起做本金， 再计算下一期的利息。 设本金为 P，每期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x ，则复利函数式为 y=P(1+r) x。
例 1、（储蓄问题） 某家庭为准备孩子上大学的学费，每年
f(n) 本身
例 8、（广告问题） 某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广
告宣传且每件获利 a 元的前提下， 可卖出 b 件。若作广告宣传， 广告费为 n 千元时比广告费为 （ n-1）
千元时多卖出 b 件，（n∈ N*）。 2n
（ 1）试写出销售量 s 与 n 的函数关系式；
分析： 这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利， 但由于利率不同， 因此最后的本利也不同。
解：若不计复利， 5 年的零存整取本利是 2000(1+5×0.065)+2000(1+4 ×0.065)+ …+2000(1+0.065)=1195；0
若计复利，则 2000(1+5%) 5+2000(1+5%) 4+… +2000(1+5%) ≈ 1186元0 。 所以 ,第一种存款方式到期的全部本利较高。
例 3、（疾病控制问题） 流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某
市去年 11 月份曾发生流感，据资料记载， 11 月 1 日，该市新的流感病毒感染者有 20 人，以后，
每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加
50 人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的
传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少
30 人，到 11 月 30 日止，
该市在这 30 天内感染该病毒的患者共有 8670 人，问 11 月几日，该市感染此病毒的新患者人数最
多？并求这一天的新患者人数。
分析： 设 11 月 n 日这一天新感染者最多， 则由题意可知从 11 月 1 日到 n 日，每天新感染者人
数构成一等差数列；从 n+1 日到 30 日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和
一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第
10 个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这
件家电实际花了多少钱？
解：购买时付出 150 元，余欠款 1000 元，按题意应分 20 次付清。
设每次所付欠款顺次构成数列 {a n} ，则
a1=50+1000 ×0.01=60 元， a2=50+(1000-50) 0×.01=59.5 元， a3=50+(1000-50 2×) ×0.01=59 ， ……
第二年每人可获得 b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增
50％，如果某
人分流前工资的收入每年 a 元，分流后进入新经济实体，第 n 年的收入为 an 元，
（ 1）求 { an} 的通项公式；
（ 2）当 b （ 3）当 b
8a
时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
27 3a
时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年便可获得利润 1 万元，以后每年比上年增加 30％的利润；
乙方案：每年贷款 1 万元，第一年可获得利润 1 万元，以后每年比前一年多获利 5000 元．
两种方案的期限都是 10 年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息
10％的复利计算，
试 比较 两个方案 哪个获得存利润 更多 ？ （计 算精 确 到千 元，参考数 据：
Tn Tn 1
n5
欲使 T n 最大，则：
，得
，故 n=5, 此时 s=7875。
Tn Tn 1
n5
即该厂家应生产 7875 件产品，做 5 千元的广告，能使获利最大。
四、 an= C·an-1 +B，其中 B、C 为非零常数且 C≠ 1
6 月 30 日在银行中存入 2000 元，
连续 5 年，有以下两种存款的方式： (1)如果按五年期零存整取计，即每存入 a 元按 a(1+n·6.5%) 计本利 (n 为年数 )； (2)如果按每年转存计，即每存入 a 元，按 (1+5.7%) n·a 计算本利 (n 为年数 )。 问用哪种存款的方式在第六年的 7 月 1 日到期的全部本利较高？
∴ 2000 年底该城市人均住房面积为： 点评： 实际问题中提炼出等差、等比数列。
3270 5.98 m2 546.8
例 5 （浓度问题） 从盛有盐的质量分数为 20%的盐水 2 kg 的容器中倒出 1 kg 盐水，然后加入 1 kg
水，以后每次都倒出 1 kg 盐水，然后再加入 1 kg 水，
问： 1.第 5 次倒出的的 1 kg 盐水中含盐多少 g？
8a
( 3)n
1
2] 2
3
27 2
8a
要使得上式等号成立，
9
当且仅当 a ( 2 ) n 1
8a
(3)n
2
，即
( 2)2n
2
( 2 )4 ，解得 n 3 ，因此这个人第三年收入最少为
8a
3
27 2
3
3
9
元．
（ 3）当 n
2时， an
a
(
2 )
n
1
b(3)n 2
a(
2 )
n
1
3a
(
3 )
n
2
2 a( 2) n 1 3a ( 3)n 2
（ 2）当 a=10,b=4000 时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？
分析：对于 (1)中的函数关系， 设广告费为 n 千元时的销量为 sn,则 sn-1 表示广告费为 (n-1)元时的
b 销量，由题意， sn—— sn-1= 2 n ，可知数列 {s n} 不成等差也不成等比数列，但是两者的差
2.经 6 次倒出后，一共倒出多少 kg 盐？此时加 1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多
少？
解： 1.每次倒出的盐的质量所成的数列为 { an} ，则：
a1= 0.2 kg ,
1
a2= ×0.2 kg ,
2
a3 = ( 1 )2×0.2 kg 2
由此可见： an= ( 1 )n 1×0.2 kg , 2
10
10
1.1 2.594,1.3 13.796 ）
解：甲方案 10 年获利润是每年利润数组成的数列的前 10 项的和：
1 (1 30%) (1 30%) 2 到期时银行的本息和为 10 (1
(1 30%) 9
10
10%) 10
1.310 1 42.62 （万元）
1.3 1 2.594 25.94 （万元）
an=60-(n-1) 0.·5
所以 {a n} 是以 60 为首项， -0.5 为公差的等差数列，
故 a10=60-9 ×0.5=55.5 元
20 次分期付款总和
60 50.5
S20=
×20=1105 元，
2
实际付款 1105+150=1255( 元 )
答：第 10 个月该付 55.5 元，全部付清后实际共付额 1255 元。
故共感染者人数为：
( 20
50n
30)n
[ 50n
60
( 20n
570)]( 30
n)
=8670 ，化简得：
2
2
n2-61n+588=0, 解得 n=12 或 n=49( 舍 )，即 11 月 12 日这一天感染者人数最多，为 570 人。
例 4（住房问题） 某城市 1991 年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 m2，如果该城市每年人口 平均增长率为 1%，每年平均新增住房面积为 30 万 m2，求 2000 年底该城市人均住房面积为多 少 m2？ (精确到 0.01)
b
构成等比
2n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：
bb b
b
1
解法一、直接列式：由题， s=b+ 2 + 2 2 + 23 +… + 2 n =b(2- 2n )
b
bb
bb b
b
（广告费为 1 千元时，s=b+ 2 ；2 千元时，s=b+ 2 + 2 2 ；… n 千元时 s=b+ 2 + 2 2 + 23 +… + 2 n ）
解法二、（累差叠加法）设 s0 表示广告费为 0 千元时的销售量，
s1 s0 由题： s2 s1
b
2
b
22
bb b
b
，相加得 Sn-S0= 2 + 22 + 2 3 +…+ 2n ,
b sn sn 1 2n
bb b
b
1
即
s=b+
+
2
22
+
23
+…+
2n
=b(2-
2n
)。
1
1
（ 2） b=4000 时， s=4000(2- 2n ),设获利为 t,则有 t=s· 10-1000n=40000(2- 2 n )-1000n
解： 1991 年、 1992 年、 …… 2000 年住房面积总数成 AP
a1 = 6 ×500 = 3000 万 m2， d = 30 万 m2，
a10 = 3000 + 9 3×0 = 3270
1990 年、 1991 年、 …… 2000 年人口数成 GP
b1 = 500 , q = 1% , b10 500 1.019 500 1.0937 546.8
8
解：（ 1）由题意得，当 n 1 时， a1 a ，当 n 2 时， an a( 2 )n 1 b( 3 )n 2 ，
3
2
a
(n 1)
∴ an
a(
2 )
n
1
b(
3 )
n
2
(n
．
2)
3
2
（ 2）由已知 b
8a
，
27
当 n 2 时， an a( 2 )n 1 3
8a ( 3 )n 2 27 2
2[a( 2 )n 1
1
1.1 1
∴乙方案扣除本息后的净获利为： 32.50 17.53 15.0 （万元）
17.53 （万元）
所以，甲方案的获利较多．
三、 an- a n-1=f(n),f(n) 为等差或等比数列
有的应用题中的数列递推关系， an 与 an-1 的差（或商）不是一个常数，但是所得的差 构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。
∴甲方案扣除本息后的净获利为： 42.62 25.94 16.7 （万元）
乙方案：逐年获利成等差数列，前 10 年共获利：
1 (1 0.5) (1 2 0.5)
10(1 5.5)
(1 9 0.5)
32.50 （万元）
2
贷款的本利和为： 1.1[1 (1 10%)
(1 10%) 9 ]
1.110 1.1
点评： 掌握浓度问题中的数列知识。
例 6．（减员增效问题） 某工厂在 1999 年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第
一年可以到原单位领取工资的 100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的
2
领取工
3
资，该厂根据分流人员的技术特长， 计划创办新的经济实体， 该经济实体预计第一年属投资阶段，