常见不等式通用解法 (2)

常见不等式通用解法总结
一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式
①基础一元二次不等式
如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。

当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。

2260x x --<的解为3(,2)2
- 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。

2210x x -->
的解为(,1(1)-∞⋃+∞
当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。

②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）
如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围
又如2432x ax >+
，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集
③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结：
如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ∆=-的正负性即可。

此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ⎧⎪∆<⎪⎪∆=∈≠-⎨⎪⎪⎪∆>-∞⋃+∞⎩ 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所以只需要判定2a 和a 的大小即可。

此不等式的解集为2201,{|}01,(,)(,)01,(,)(,)
a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠⎧⎪<<-∞⋃+∞⎨⎪<>-∞⋃+∞⎩
又如不等式22(1)40ax a x -++>，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成
(2)(2)0ax x -->，然后开始判断两根
2a
和2的大小关系，这样做是有问题的。

事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a 是有可能为0的。

讨论完0a =的情况再讨论0a <和0a >的情况。

所以此不等式的解集应该是： 注意，0a >和0a <时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。

二、数轴标根法（又名穿针引线法）解不等式 这种问题的一般形式是123()()()...()0n x a x a x a x a ----<（或,,>≤≥）
步骤：
①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积（注意！系数为正）或二次不可约因式（二次项系数为正）。

②画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。

③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。

例如，求不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的解集，画出图如下，发现解集为(,1)(2,3)(4,)-∞⋃⋃+∞
为什么数轴标根法是正确的呢对于不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->来说，要满足四项相乘为正，说明①四项均正，解集为(4,)+∞②两正两负，只能是(1),(2)x x --正，(3),(4)x x --负，此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(,1)-∞。

综上，解集为这三种情况的并集。

当不等式左侧有奇数项的时候同理。

由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。

注意，这种方法要灵活使用，若不等式为2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->，使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样，因为2(1)x -是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。

2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的示意图见下。

三、解分式不等式
分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0，另
一边为含x 的多项式。

把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为()0()
f x
g x <（或,,>≤≥的形式）
，此时解()()0f x g x <就可以解出原不等式的解集。

特别地，若要解()0()f x g x ≤，则解()()0()0f x g x g x ≤⎧⎨≠⎩
即可。

例如22816
x x x -≤--，移项化简得223206x x x x -+≥--，使用穿针引线法得到解集为{|223}x x x x <-≤≤>或1或，一定要注意分母不为零，而分子可以为零。

例：一道比较复杂的题，求(1)1(1)2
a x a x ->≠-的解集，现写出此题的完整解题过程。

解：原不等式通过移项通分可化为
(1)(2)02
a x a x --->-，由于1a ≠，所以可以进一步化为
2(1)()102a a x a x ---->-，两根为21a a --和2。

当1a >时，解集为两根的两边，显然有221a a -<-，所以此时解集为2(,)(2,)1a a --∞⋃+∞-
当1a <时，解集为两根中间，此时必须根据a 的取值判断两根范围。

①当01a <<时，221a a ->-，此时解集为2(2,)1a a --
②当0a =时，221a a -=-，此时解集为∅
③当0a <时，221a a -<-，此时解集为2(,2)1a a --
至此，a 的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了
当然，如果这道题不给1a ≠的限制条件，只需要再讨论一下1a =时的解集情况即可。

补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题 ①求11x >的解集 ②求11x <的解集 ③求11x <-的解集 ④求11x >-的解集 ⑤求132x -<<的解集 解答：①(0,1)②(,0)(1,)-∞⋃+∞③(1,0)-④(,1)(0,)-∞-⋃+∞⑤11(,)(,)32-∞-⋃+∞，注意①②的区别
四、绝对值不等式
对于含有绝对值的不等式，解题思想为
①直接脱去绝对值符号
()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<，()()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><-或
②构造函数，数形结合
③在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（分类讨论思想随处可见） ④平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用）
例：图形法某经典问题，解不等式11a x -<，先画出1()1f x x
=-的图像如下，然后分类讨论a 的取值，通过观察()y f x =和y a =的图像，来确定不等式的解集情况。

①当0a ≤时，()y f x =的图像在y a =的图像上方，除了点(1,1)，此时显然不等式无解
②当1a =时，()y f x =的图像与y a =的图像交点为1(,1)2，此时的解集为1(,)2
+∞
③当01a <<时，()y f x =的图像与y a =的图像交点横坐标为11,11a a
-+，此时解集为11(,)11a a
+- ④当1a >时，()y f x =的图像与y a =的图像交点横坐标为11,11a a
-+，此时解集为11(,
),(,)11a a -∞+∞-+ 当然此题使用()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<也可以做，化成11a a x -<-
<，只是在讨论的时候需要细心，考虑到a 的所有取值。

绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧
例如125x x -++≥，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点分段讨论
①当1x ≥时，原不等式化为215x +≥，解得2x ≥
②当21x -≤<时，原不等式化为35≥，显然无解
③当2x <-时，原不等式化为125x --≥，解得3x ≤-
综上，原不等式的解集为三种情况下的并集（注意，为什么是并集而不是交集），(,3][2,)-∞-⋃+∞
技巧：可以将绝对值看成距离，也就是将1x -看成数轴上点x 到点1的距离，将2x +看成x 到-2的距离，若画出数轴，发现位于区间[2,1]-的点（绿色点）到区间端点的距离之和为3，位于区间[2,1]-之外的点到区间端点的距离之和大于3，特别地，在2处和-3处距离之和为5，所以令x 继续远离区间[2,1]-，发现距离之和大于5。

也就是说12x x -++的取值范围是[3,]+∞ 同理，遇到减号的情况，例如31x x +--，发现其取值范围是[4,4]-
此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集，又可以求参数的范围。

例1：若存在实数x 使得不等式11x x a ++-≤成立，则a 的取值范围是 （答案
[2,0]-）
例2：不等式212x x +--≤的解集是 （答案1(,]2
-∞） 五、无理不等式
无理不等式能出的考题较少，主要是要注意偶次根号下式子要非负。

（终于可以用平方法了，但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用）。

对于奇次根号，由于不需考虑根号下式子的正负性，直接打开根号即可。

()0()()0g x g x f x <⎧⇔⎨≥⎩或2()0()[()]g x f x g x ≥⎧⎨>⎩（注意这里为什么没有写()0f x ≥）。