常见不等式通用解法 (2)

常见不等式通用解法总结

一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式

①基础一元二次不等式

如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。

当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。

2260x x --<的解为3(,2)2

- 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x -->

的解为(,1(1)-∞⋃+∞

当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）

如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围

又如2432x ax >+

，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集

③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结：

如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ∆=-的正负性即可。

此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ⎧⎪∆<⎪⎪∆=∈≠-⎨⎪⎪⎪∆>-∞⋃+∞⎩ 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所以只需要判定2a 和a 的大小即可。

此不等式的解集为2201,{|}01,(,)(,)01,(,)(,)

a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠⎧⎪<<-∞⋃+∞⎨⎪<>-∞⋃+∞⎩

又如不等式22(1)40ax a x -++>，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成

(2)(2)0ax x -->，然后开始判断两根

2a

和2的大小关系，这样做是有问题的。 事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a 是有可能为0的。讨论完0a =的情况再讨论0a <和0a >的情况。所以此不等式的解集应该是： 注意，0a >和0a <时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。

二、数轴标根法（又名穿针引线法）解不等式 这种问题的一般形式是123()()()...()0n x a x a x a x a ----<（或,,>≤≥）

步骤：

①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积（注意！系数为正）或二次不可约因式（二次项系数为正）。

②画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。 ③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。

例如，求不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的解集，画出图如下，发现解集为(,1)(2,3)(4,)-∞⋃⋃+∞

为什么数轴标根法是正确的呢对于不等式(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->来说，要满足四项相乘为正，说明①四项均正，解集为(4,)+∞②两正两负，只能是(1),(2)x x --正，(3),(4)x x --负，此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(,1)-∞。综上，解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。

由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。

注意，这种方法要灵活使用，若不等式为2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->，使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样，因为2(1)x -是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。

2(1)(2)(3)(4)0x x x x ---->的示意图见下。

三、解分式不等式

分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0，另

一边为含x 的多项式。把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为()0()

f x

g x <（或,,>≤≥的形式）

，此时解()()0f x g x <就可以解出原不等式的解集。 特别地，若要解()0()f x g x ≤，则解()()0()0f x g x g x ≤⎧⎨≠⎩

即可。 例如22816

x x x -≤--，移项化简得223206x x x x -+≥--，使用穿针引线法得到解集为{|223}x x x x <-≤≤>或1或，一定要注意分母不为零，而分子可以为零。

例：一道比较复杂的题，求(1)1(1)2

a x a x ->≠-的解集，现写出此题的完整解题过程。

解：原不等式通过移项通分可化为

(1)(2)02

a x a x --->-，由于1a ≠，所以可以进一步化为

2(1)()102a a x a x ---->-，两根为21a a --和2。

当1a >时，解集为两根的两边，显然有221a a -<-，所以此时解集为2(,)(2,)1a a --∞⋃+∞-

当1a <时，解集为两根中间，此时必须根据a 的取值判断两根范围。

①当01a <<时，221a a ->-，此时解集为2(2,)1a a --

②当0a =时，221a a -=-，此时解集为∅

③当0a <时，221a a -<-，此时解集为2(,2)1a a --

至此，a 的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了

当然，如果这道题不给1a ≠的限制条件，只需要再讨论一下1a =时的解集情况即可。

补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题 ①求11x >的解集 ②求11x <的解集 ③求11x <-的解集 ④求11x >-的解集 ⑤求132x -<<的解集 解答：①(0,1)②(,0)(1,)-∞⋃+∞③(1,0)-④(,1)(0,)-∞-⋃+∞⑤11(,)(,)32-∞-⋃+∞，注意①②的区别

四、绝对值不等式

对于含有绝对值的不等式，解题思想为

①直接脱去绝对值符号

()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<，()()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><-或

②构造函数，数形结合

③在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（分类讨论思想随处可见） ④平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用）

例：图形法某经典问题，解不等式11a x -<，先画出1()1f x x

=-的图像如下，然后分类讨论a 的取值，通过观察()y f x =和y a =的图像，来确定不等式的解集情况。 ①当0a ≤时，()y f x =的图像在y a =的图像上方，除了点(1,1)，此时显然不等式无解

②当1a =时，()y f x =的图像与y a =的图像交点为1(,1)2，此时的解集为1(,)2

+∞