倍长中线法经典例题

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倍长中线法(经典例题)

倍长中线法例 1：△ ABC 中， AB=5， AC=3，求中线 AD 的取值范围知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，添加辅助线．在利用中线解决几何问题时，常常采用 “倍长中线法 ”所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用 SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线SAS 全等三角形模型的构造。

AA△ ABC 中 AD 是 BC 边中线BDC方式 1：延长 AD 到 E ，使 DE=AD ，连接 BEB DCE方式 2：间接倍长AAF 作 CF ⊥ AD 于 F ， MDB D C作 BE ⊥ AD 的延长线于连接 BEE BC 延长 MD 到 N ，使 DN=M ，D 连接 CNEN经典例题讲解：例2：已知在△ABC中，AB=AC，D 在AB上，E 在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CEADBFCE例3：已知在△ ABC中，AD是BC边上的中线， E 是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EFAFEBD C例4：已知：如图，在ABC 中，AB 交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC AC ，D、E 在BC上，且DE=EC，过D作DF // BAAFB D E C例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAEABCE D自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E 为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF 与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.ADBE CF3、如图，AD为ABC 的中线，DE平分BDA 交AB于E，DF平分ADC 交AC于F. 求证：BE CF EFAEFB CD第14 题图4、已知：如图，ABC中，C=90 ，CM AB于M，AT 平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB 交BC于E，求证：CT=BE.A MD BETCWelcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

初中几何辅助线——“倍长中线法”

初中几何辅助线——“倍长中线法”倍长中线【方法说明】遇到一个中点的时候，通常会延长过该中点的线段．倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等．如图所示，点D为△ABC 边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）．【方法归纳】1．如图，AD为△ABC边BC的中线．延长AD至点E，使得AD ＝DE．若连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）；若连接CE，则△ADB≌△EDC（SAS）．2．如图，点D为△ABC边BC的中点．延长ED至点F，使得DE ＝DF，并连接BF，则△EDC≌△FDB（SAS）．3．如图，AB∥CD，点E为线段AD的中点．延长CE交AB于点F，则△EDC≌△EAF（ASA）．【典型例题】1．（09莱芜）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG＝CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．【思路点拨】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG ＝EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF 的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF＝90°，在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG＝1/2FD，同理，在Rt△DEF中，EG＝1/2FD，∴CG＝EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．【方法一】连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG＝CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM 是矩形，在矩形AENM中，AM＝EN，在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG．【方法二】延长CG至M，使MG＝CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE，∴△MFE≌△CBE，∴∠MEF＝∠CEB．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG＝CG，∴EG＝1/2MC，∴EG＝CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F 作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM，又因为BE＝EF，易证∠EFM＝∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM＝∠BEC，EM＝EC，∵∠FEC＋∠BEC＝90°，∴∠FEC＋∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG．。

数学倍长中线法

数学倍长中线法集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]倍长中线法1.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF 的长2.如图，CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ．求证：①CE=2CD ．②CB 平分∠DCE ．3.如图已知△ABC，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD.4.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE ＝AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF=∠EAF5..如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG=CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线.6..如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.7.：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE9.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论10.已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.12.13.四边形ABCD 是矩形，将ABE 沿着直线AE 翻折，点A 落在点F 处，直线AF 与直线CD 交于点G,如图1，若E 为BC 的中点，请探究线段AB 、AG 、DG 之间的关系FEC A BD EA BC.。

倍长中线最全总结例题+练习(附答案)

倍长中线最全总结例题+练习(附答案)知识导航中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。

目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。

易错点睛倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

DAB C模块一有关倍长中线的全等模型【范例】（2014秋•江汉区校级月考）如图，在ABC ∆中，AD 为中线，求证：2AB AC AD +>．【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得 2AB AC AD +>。

【解答】证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；BB【核心考点1】倍长中线1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；（2）5AB =，3AC =，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．ABC2．如图，ABC ∆中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【分析】延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，由SAS 证明DEM CEA ∆≅∆，得出C MDE ∠=∠，DM AC =，证出DM BD =，ADM ADB ∠=∠，由SAS 证明ADB ADM ∆≅∆，得出BAD MAD ∠=∠即可．【解答】证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，如图所示：E 是DC 的中点，DE CE ∴=，在DEM ∆和CEA ∆中，EM AE DEM CEADE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEM CEA SAS ∴∆≅∆， C MDE ∴∠=∠，DM AC =，又BD DC AC ==，DM BD ∴=，ADC CAD ∠=∠，又ADB C CAD ∠=∠+∠，ADM MDE ADC ∠=∠+∠，ADM ADB ∴∠=∠，在ADB ∆和ADM ∆中，AD AD ADB ADMBD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB ADM SAS ∴∆≅∆，BAD MAD ∴∠=∠，即AD 平分BAE ∠。

倍长中线法(经典例题)

N作 BE! AD 的延长线于倍长中线法知识网络详解:中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时, 常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线△ ABC 中式1:延长AD 到E,B --------------- ■ ------------- CDAD 是E BC使 DE=AD接BE方式2:间接倍长 AB 延长MD 到N, CE连接CN 经典例题讲解：例〔：△ ABC 中，AB=5 AC=3求中线 AD 的取值范围例2:已知在△ ABC 中，AB=AC D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F ,且 DF=EF 求证：BD=CE例3：已知在△ ABC 中 , AD 是 BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE 二AC例4:已知：如图，在- ABC 中，AB = AC , DE 在 BC 上 ,且 DE 二EC 过 D 作 DF//BA 交 AE 于点 F , DF=AC.例 5：已知 CD=AB Z BDA M BAD AE 是A ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE自检自测:1、如图，△ ABC 中 , BD=DC=AC,是 DC 的中点，求证，AD 平分/ BAE.使 DN=M ,BE延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF求证：AE 平分.BACDEAECCFAC2、在四边形ABCD K AB// DC E 为BC 边的中点，/ BAE K EAF AF与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为 MBC 的中线，DE 平分.BDA 交AB 于E,DF 平分.AD 交 AC 于 F.求证：BE CF EF4、已知：如图， ABC 中， C=90，CM AB 于 M AT 平分 BAC 交 CM 于 D,交 BC 于 T ，过 D 作 DE//AB 交 BC 于 E ，求证：CT=BE.ADBF。

倍长中线最全总结。例题+练习(附答案)

倍长中线最全总结。

例题+练习(附答案)中线是三角形中的重要线段之一。

在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线指的是延长三角形中线，使得延长后的线段是原中线的2倍。

其目的是为了构造一对8字型全等三角形（SAS），从而实现边角的转移。

以三角形ABC为例，延长中线AD至点E，使得DE=AD，连接BE。

根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△ACD≌△BED，AC=BE，∠CAD=∠BED，AC∥BE。

同样地，延长中线CD至点F，使得DE=DF，连接CF。

根据三角形的SAS全等条件，可以得出结论：△BED≌△CFD，CF=BE，∠CFD=∠BED，CF∥BE。

在利用倍长中线法时，需要注意延长哪一条线段或者类中线。

倍长之后，需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。

举例来说，如图所示，在三角形ABC中，需要证明AB+AC>2AD。

延长中线AD至点E，使得DE=AD，构造△ADC和△EDB，根据三角形的三边关系可得AB+AC>2AD。

另外，还有一道题目是需要求解AD的取值范围。

在三角形ABC中，D为BC的中点。

根据三角形的三边关系可得5-3<2AD<5+3，即AD的取值范围为1<AD<4.证明：延长AD到F，使DF=AD，连接BF（如图）。

因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。

由三角形的三边关系，在三角形ABF中，有AB+BF>AF，即2AD<AB+AC，证毕。

2）因为AD是中线，所以BD=DC=AC，又因为DF=AD，所以BD=BF，所以AB>BF。

由相似三角形ADC和FDB，得到∠CAD=∠F，由边的大小关系可得到∠BAD>∠DAC，证毕。

3）同（2），由相似三角形ADC和FDB，得到AE/AD=BF/BD<1，即AE<AD，证毕。

倍长中线法经典例题

倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE第 14 题图DF CBEAB自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。

2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠F EAB C DABFDEC4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．5、如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

八年级数学全等三角形--倍长中线法经典例题

八年级数学全等三角形--倍长中线法经典例题中线是三角形中的重要线段之一。

为了解决几何问题，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线法的过程是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题。

倍长中线最重要的一点是延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

常用的辅助线添加方法有两种：一是将中线延长到某一点，使其等于另一条边，然后连接这两个点构造全等三角形；二是通过作垂线和延长线来间接倍长中线。

例1：在△ABC中，已知AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。

例2：在△ABC中，已知AB=AC，D在AB上，E在AC 的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证BD=CE。

例3：在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证AF=EF。

例4：在△ABC中，已知AB≠AC，D、E在BC上，且DE=EC。

过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC。

求证AE平分∠BAC。

例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证∠C=∠BAE。

自检自测：1、在△ABC中，已知BD=DC=AC，E是DC的中点，求证AD平分∠BAE。

2、在四边形ABCD中，已知AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。

3、在△ABC中，已知AD为中线，DE平分∠BDA交AB于E，DF平分∠ADC交AC于F。

求证BE+CF>EF。

4、在直角△ABC中，已知CM⊥XXX于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，XXX于E。

求证CT=BE。

倍长中线法(经典例题)

倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.ABFEAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.（范文素材和资料部分来自网络，供参考。

倍长中线法(经典例题)

精品文档倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，接BEDABCEDA BC精品文档方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于 E使DN=MD ，连接BE连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围FE DCBA NDCBAM精品文档例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EFFEAFEC AB D精品文档例4：已知：如图，在ABC∆中，ACAB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC∠ABFD E C例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.E DABC2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+FEABCD4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。

倍长中线最全总结例题+练习(附答案)

倍长中线知识导航中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。

倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。

目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。

【解答】证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DE ADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；BB【核心考点1】倍长中线1．（2016秋•五莲县期中）如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ∆≅∆，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D 为BC 的中点，DB CD ∴=，在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE DB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，在ABE ∆中，AB BE AE +>，2AB AC AD ∴+>；（2）5AB =，3AC =，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．DABC2．如图，ABC ∆中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠．【分析】延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，由SAS 证明DEM CEA ∆≅∆，得出C MDE ∠=∠，DM AC =，证出DM BD =，ADM ADB ∠=∠，由SAS 证明ADB ADM ∆≅∆，得出BAD MAD ∠=∠即可．【解答】证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连结DM ，如图所示：E 是DC 的中点，DE CE ∴=，在DEM ∆和CEA ∆中，EM AE DEM CEADE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEM CEA SAS ∴∆≅∆， C MDE ∴∠=∠，DM AC =，又BD DC AC ==，DM BD ∴=，ADC CAD ∠=∠，又ADB C CAD ∠=∠+∠，ADM MDE ADC ∠=∠+∠，ADM ADB ∴∠=∠，在ADB ∆和ADM ∆中，AD AD ADB ADMBD DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB ADM SAS ∴∆≅∆，BAD MAD ∴∠=∠，即AD 平分BAE ∠。

中考24题倍长中线(含答案)

针对演练1. 已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合)，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．(1)当点P与点O重合时如图①，求证OE＝OF；(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE＝30°时，如图②、图③的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图②、图③的猜想，并选择一种情况给予证明．第1题图2. 在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中，∠CDE ＝90°，DE＝DC，连接AD，F是线段AD的中点．(1)如图①，连接BF，当点D和点E分别在边BC和AC上时，若AB＝3，CE ＝22，求BF的长；(2)如图②，连接BE、BD、EF，当∠DBE＝45°时，求证：EF＝12ED.第2题图3. 在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CF⊥AB交AB于点F，点D 在AC上，连接BD，交CF于点G，过点C作BD的垂线交BD于点H，交AB 于点E；(1)如图①，∠ABD＝∠CBD，CG＝1，求AB的长；(2)如图②，连接AH、FH，∠AHF＝90°，求证：HB＝2AH.第3题图4. 已知，在▱ABCD中，连接对角线AC，∠CAD的平分线AF交CD于点F，∠ACD的平分线CG交AD于点G，AF、CG交于点O，点E为BC上一点，且∠BAE＝∠GCD.(1)如图①，若△ACD是等边三角形，OC＝2，求▱ABCD的面积；(2)如图②，若△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°，求证：CE＋2OF＝AC.第4题图5. (2017重庆江北区模拟)如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，BD＝ED，连接AE，点F是AE的中点，连接DF.(1)如图①，若B、C、D共线，且AC＝CD＝2，求BF的长度；(2)如图②，若A、C、F、E共线，连接CD，求证：DC＝2DF.第5题图6. (2017重庆南岸区模拟)在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是△ABC外一点，且∠AEB＝90°，过点C作CF⊥AF，垂足为F，连接DE，DF.(1)如图①，点D在AE上，D是BC中点，∠BAE＝30°，∠CAE＝45°，AB＝2，求AC的长；(2)如图②，点D不在AE上，连接AD，延长CF至点G，连接GD且GD＝AD，若BC平分∠ABE，∠G＝∠DAB.求证：DE＝DF.第6题图答案1. 解：(1)∵AE ⊥PB ，CF ⊥BP ，∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°，在△AEO 和△CFO 中，⎩⎨⎧∠AOE ＝∠COF ，∠AEO ＝∠CFO ，AO ＝OC∴△AOE ≌△COF (AAS )，∴OE ＝OF ；(2)图②中的结论为：CF ＝ OE ＋AE ；图③中的结论为：CF ＝OE －AE .选图②中的结论如下：如解图①，延长EO 交CF 于点G ，第1题解图①∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，∴AE ∥CF ，∴∠EAO ＝∠GCO ，在△EOA 和△GOC 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠GCOAO ＝CO ∠AOE ＝∠COG，∴△EOA ≌△GOC (ASA )，∴EO ＝GO ，AE ＝GC ，在Rt △EFG 中，∴EO ＝OG ，∴OE ＝OF ＝GO ，∵∠OFE ＝30°，∴∠OFG ＝90°－30°＝60°，∴△OFG 是等边三角形，∴OF ＝GF ，∵OE ＝OF ，∴OE ＝FG ，∵CF ＝FG ＋CG ，∴CF ＝OE ＋AE ；选图③的结论证明如下：如解图②，延长EO 交FC 的延长线于点G ，∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，第1题解图②∴AE ∥CF ，∴∠AEO ＝∠G ，在△AOE 和△COG 中，⎩⎨⎧∠AEO ＝∠G∠AOE ＝∠GOC OA ＝OC，∴△AOE ≌△COG (AAS )，∴OE ＝OG ，AE ＝CG ，在Rt △EFG 中，∵OE ＝OG ，∴OE ＝OF ＝OG ，∵∠OFE ＝30°，∴∠OFG ＝90°－30°＝60°，∴△OFG 是等边三角形，∴OF ＝FG ，∵OE ＝OF ，∴OE ＝FG ，∵CF ＝FG －CG ，∴CF ＝OE －AE .2. (1)解：在等腰Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，DE ＝DC ，CE ＝22，∴DE ＝DC ＝2.∵AB ＝BC ＝3，∴BD ＝1，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2＝32＋12＝10.∵AF ＝DF ，∴BF ＝12AD ＝102.(2)证明：如解图，延长EF 到点N ，使得FN ＝EF ，连接BN ，AN ，延长DE 交AB 于点M ，在△AFN 和△DFE 中⎩⎨⎧AF ＝DF∠AFN ＝∠DFE FN ＝EF，∴△AFN ≌△DFE (SAS )，∴AN ＝DE ＝DC ，∠F AN ＝∠FDE ，∴DM ∥AN ，∴∠OMB ＝∠BAN .∵∠MOB ＋∠OMB ＝90°，∠DOC ＋∠OCD ＝90°，∠MOB ＝∠DOC ， ∴∠OMB ＝∠OCD ，∴∠BAN ＝∠BCD .在△BAN 和△BCD 中，⎩⎨⎧BA ＝BC∠BAN ＝∠BCD AN ＝CD，∴△BAN ≌△BCD (SAS )，∴∠ABN ＝∠CBD ，BN ＝BD ，∴∠DBN ＝∠CBA ＝90°.∵∠DBE ＝45°，∴∠EBN ＝∠EBD .∵BE＝BE，BN＝BD，∴△BEN≌△BED(SAS)，∴DE＝EN＝2EF，∴EF＝12ED.第2题解图3.解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CF⊥AB，∴FC＝BF，又∵CE⊥BD，∴∠GCH＝∠GBF，∴△FCE≌△FBG(ASA)，∴GF＝EF，∵∠ABD＝∠CBD，BH＝BH，∠BHC＝∠BHE，∴△BHC≌△BHE(ASA)，∴BC＝BE，设GF＝x，则EF＝x，BF＝CF＝x＋1，∴BC＝EF＋BF＝2x＋1，∵CF2＋BF2＝BC2，∴2(x＋1)2＝(2x＋1)2，解得x1＝22，x2＝－22(舍去)．∴BC＝2x＋1＝2＋1，∴AB＝2BC＝2＋ 2.第3题解图(2)如解图，延长HF 至点M ，使HM ＝AH ，连接AM .∵∠AHF ＝90°，∴∠HAM ＝∠HMA ＝45°，AM ＝2AH .∵CE ⊥BD ，CF ⊥AB ，∠CGH ＝∠BGF ，∴∠CHG ＝∠BFG ，∴△CHG ∽△BFG ，∴GC BG ＝HG GF ，∵∠CGB ＝∠FGH ，∴△GBC ∽△GFH ，∴∠GHF ＝∠GCB ＝∠45°.∴∠GHF ＝∠FMA .∵AC ＝BC ，CF ⊥AB ，∴AF ＝BF ，∵∠HFB ＝∠AFM ，∴△HFB ≌△MF A (AAS )，∴BH ＝AM ，∴BH ＝2AH .4. 解：(1)∵△ACD 为等边三角形，∴∠CAD ＝∠ACD ＝60°.∵AF 、CG 分别平分∠CAD 、∠ACD ，∴∠CAF ＝12∠CAD ＝12×60°＝30°，∠ACG ＝∠DCG ＝12×60°＝30°，且AF⊥CD，CD＝2CF，∴∠CAO＝∠ACO＝30°，∴AO＝CO＝2.在Rt△OCF中，∵∠DCG＝30°，∴OF＝12OC＝12×2＝1，∴CF＝OC2－OF2＝22－12＝3，∴AF＝AO＋OF＝2＋1＝3，CD＝2×3＝23，∴S四边形ABCD＝CD·AF＝23×3＝63；(2)如解图，延长OF到H，使FH＝OF，连接HD，∴OH＝OF＋FH＝2OF.第4题解图∵△ACD为等腰直角三角形，AF平分∠CAD，∴CF＝DF，AF⊥CD，又∵∠CFO＝∠DFH，∴△CFO≌△DFH (SAS)，∴∠OCF＝∠HDF，∴CG∥HD，∴∠AOG＝∠H，∠AGO＝∠ADH.在Rt△OCF中，∠OCF＋∠COF＝90°，在Rt△ACG中，∠ACG＋∠AGC＝90°，∵CG平分∠ACD，∴∠ACG＝∠FCG，∴∠COF＝∠AGC，∴∠AOG＝∠AGC，∴AO＝AG，∠H＝∠ADH，∴AH＝AD，∴AH－AO＝AD－AG，即OH＝GD，∴2OF＝GD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC＝∠ACD.∵∠BAE＝∠DCG，∴∠BAC－∠BAE＝∠ACD－∠DCG，即∠EAC＝∠ACG，∴AE∥CG，∴四边形AECG为平行四边形，∴EC＝AG.在Rt△ACD中，AC＝AD，∵AG＋GD＝AD，∴CE＋2OF＝AC.5.解：(1)∵AC＝CD＝2，∴DB＝DE＝4.如解图①，过A点作AH⊥DE，垂足为H，则四边形AHDC是边长为2的正方形，∴AH＝2，HE＝2＋4＝6，在Rt△AHE中，AE2＝AH2＋HE2＝22＋62＝40，在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝22＋22＝8，在Rt△BDE中，BE2＝BD2＋DE2＝42＋42＝32，∴AB2＋BE2＝AE2，∴∠ABE＝90°，∵BF是斜边中线，∴BF＝12AE＝10.第5题解图①(2)如解图②，延长DF至M，使MF＝DF，连接AM，CM.第5题解图②∵F是AE中点，∴AF＝EF，∵∠AFM＝∠DFE，∴△AMF≌△EDF(SAS)，∴AM＝DE＝BD，∠MAF＝∠DEF.又∵∠BCE＝∠BDE＝90°，∴∠CBD＝∠DEF，∴∠MAC＝∠CBD，∵AC＝BC, AM＝BD，∴△MAC≌△DBC(SAS)，∴CM＝CD，∠ACM＝∠BCD，∴∠MCD＝∠ACB＝90°，∴△DCM是等腰直角三角形，又∵DF＝FM，∴CF⊥DM，∴DF＝CF，∴DC2＝2DF2，∴DC＝2DF.6.证明：(1)∵D是BC中点，∴BD＝CD.∵CF⊥AE，∴∠CF A＝∠CFD＝90°.∵∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠CFD.在△BDE和△CDF中，∵∠E＝∠CFD，∠EDB＝∠FDC，BD＝CD，∴△BDE≌CDF(AAS)．∴CF＝BE.∵∠AEB＝90°，∠BAE＝30°，AB＝2，∴BE＝1，∴CF＝1.∵∠CF A＝90°，∠CAE＝45°，∴AC＝2CF＝ 2.第6题解图(2)如解图，∵BC平分∠ABE，∴∠1＝∠2.∵∠CFE＝∠BEF＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3. 在△ABD和△GCD中，∵∠4＝∠G，GD＝AD，∠1＝∠3，∴△ABD≌△GCD(AAS)．∴BD＝CD.延长FD交BE于点H.在△BDH和△CDF中，∵∠2＝∠3，BD＝CD，∠HDB＝∠FDC，∴△BDH≌△CDF(ASA)，∴DH＝DF，∴DF＝12HF.∵∠HEF＝90°，∴DE＝12HF＝DF.即DE＝DF.。

专题02 倍长中线(解析版)

中点问题一--倍长中线E ，使DE ＝BD ，连接CE ，是斜边BC 的中线模型讲解1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC 的面积是 8　．【解答】解：∵DC ⊥BC ，∴∠BCD ＝90°，∵∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝30°，延长CD 到H 使DH ＝CD ，∵D 为AB 的中点，∴AD ＝BD ，在△ADH 与△BDC 中，，∴△ADH ≌△BDC （SAS ），∴AH ＝BC ＝4，∠H ＝∠BCD ＝90°，∵∠ACH ＝30°，∴CH ＝AH ＝4，∴△ABC 的面积＝S △ACH ＝×4×4＝8，故答案为：8．2．如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF ．（1）求证：CE ＝CF ；例题演练（2）若∠ABC＝120°，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG⊥GE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC．∵∠DAE＝∠BAF，∴∠BAE＝∠DAF．在△ABE与△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∴BC﹣BE＝DC﹣DF，即CE＝CF；（2）如图，延长EG到点H，使HG＝EG，连接HA、HD．∵点G是AF的中点，∴AG＝FG，在△HAG与△EFG中，，∴△HAG≌△EFG（SAS），∴EF＝AH，∠HAG＝∠EFG，∴AH∥EF．∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝BC＝AD．∵由（1）知，BE＝DF，且∠BAE＝∠DAF，EC＝FC．∵∠ABC＝120°，∴∠C＝60°，∴△EFC是等边三角形，∴∠FEC＝60°，∴EC＝FE．由上述知，FE＝HA，∴EC＝HA，∠HAG＝∠HAD+∠DAF＝∠EFG．∵AF＝AE，∴∠AFE＝∠AEF．∵∠BAD＝60°，∴∠EAF＝60°﹣∠BAE﹣∠DAF＝60°﹣2∠DAF．在△AEF中，∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠EFG＝180°﹣2∠EFG＝180°﹣2（∠HAD+∠DAF），∴∠HAD＝60°．在△HAD与△ECD中，，∴△HAD≌△ECD（SAS），∴DE＝DH，易证△DGH≌△DGE，故∠DGH＝∠DGE＝90°，即DG⊥GE．1．如图在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 是线段AD 上一点，且AE ＝BC ，BE 的延长线交AC 于F ，若AF ＝EF ．求证：（1）AC ＝BE（2）∠ADC ＝60°．【解答】证明：（1）倍长AD 至点T ，连BT ．在△ACD 和△TBD 中，∴△ACD ≌△TBD ，∴AC ＝BT ，∠CAD ＝∠T ，又∵AF ＝EF ，∴∠CAD ＝∠AEF ＝∠BET ，∴BT ＝BE ，∴BE ＝AC ．（2）在DT 上取DM ＝DC ，连接BM ．∴AE +ED ＝ED +DM即AD ＝EM∴△DAC ≌△MEB （SAS ），∴BM ＝CD ＝BD ，∴△BDM 为正三角形，∴∠ADC ＝∠BDM ＝60°．强化训练2．【证明体验】（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE．求证：△ACD≌△EBD．【迁移应用】（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为AB的中点，DC⊥AC．求△ABC面积．【拓展延伸】（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB 上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长．【解答】（1）证明：如图1中，在△ACD 和△EBD 中，，∴△ACD ≌△EBD （SAS ）；（2）解：如图2中，延长CD 到T ，使得DT ＝CD ，连接BT ．由（1）可知△ADC ≌△BDT ，∴AC ＝BT ＝5，∠ACD ＝∠T ＝90°，∴CT ＝＝＝12，∴CD ＝DT ＝6，∴S △ACB ＝S △ADC +S △CDB ＝•AC •DC +•BT •CD ＝×5×6+×5×6＝30；（3）解：如图3中，延长AC 到R ，使得CR ＝CA ，连接DR ．由（1）可知，△ACB ≌△RCD ，∴AB ＝DR ，∠A ＝∠R ，∵FE ＝FA ，∴∠A ＝∠AEF ，∵∠AEF ＝∠DER ，∴∠DER＝∠R，∴DE＝DR＝AB，设DE＝DR＝AB＝x，则BF＝x﹣2，DF＝x+2，在Rt△DBF中，BF2+BD2＝DF2，∴（x﹣2）2+62＝（x+2）2，∴x＝，∴DE＝．3．如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G．若BG＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线．【解答】解：延长FE，截取EH＝EG，连接CH，∵E是BC中点，∴BE＝CE，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（SAS），∴∠BGE＝∠H，BG＝CH，∴∠BGE＝∠FGA＝∠H，∵CF＝BG，∴CH＝CF，∴∠F＝∠H＝∠FGA，∵EF∥AD，∴∠F＝∠CAD，∠BAD＝∠FGA，∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC．4．已知：如图所示，AB＝BC，AD为△ABC中BC边的中线，延长BC至E点，使CE＝BC，连接AE．求证：∠DAC＝∠CAE．【解答】解：延长AD到F，使得DF＝AD，连接CF．∵AD＝DF，∠ADB＝∠FDC，BD＝DC，∴△ADB≌△FDC（SAS），∴AB＝CF，∠B＝∠DCF，∵BA＝BC，CE＝CB∴∠BAC＝∠BCA，CE＝CF，∵∠ACE＝∠B+∠BAC，∠ACF＝∠DCF+∠ACB，∴∠ACF＝∠ACE，∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠CAD＝∠CAE．5．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，若AB＝10，BF＝4，求PG的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明．（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，（2）问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．【解答】（1）解：如图1：延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE＝PG，DE＝FG，∵△BGF是等边三角形，∴FG＝BG，又∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴CE＝CG，∴CP是EG的中垂线，在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，∵AB＝10，BF＝4；∴CG＝6∴PG＝3（2）如图2，证明：延长GP交DA于点E，连接EC，GC，∵∠ABC＝60°，△BGF正三角形∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP＝∠GFP，在△DPE和△FPG中∴△DPE≌△FPG（ASA）∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，∵∠CDE＝∠CBG＝60°，CD＝CB，在△CDE和△CBG中，∴△CDE≌△CBG（SAS）∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，∴∠ECG＝∠DCB＝120°，∵PE＝PG，∴CP⊥PG，∠PCG＝∠ECG＝60°∴PG＝PC．（3）猜想：PG＝PC．证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，作FE∥DC∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A、B、G又在一条直线上，∴∠GBC＝120°，∵△BFG是等边三角形，∴GF＝GB，∴HD＝GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°∵CH＝CG，PH＝PG，∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，∴PG＝PC．6．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△ADE中，AD＝DE，连接EC，取EC的中点M，连接DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．【解答】解：（1）BM＝DM，BM⊥DM，在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，∴BM＝EC＝EM＝MC，∴∠EMB＝2∠ECB．在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，∴DM＝EC＝EM＝MC．∴∠EMD＝2∠ECD．∴BM＝DM，∠EMD+∠EMB＝2（∠ECD+∠ECB），∵∠ECD+∠ECB＝∠ACB＝45°，∴∠BMD＝2∠ACB＝90°，即BM⊥DM．（2）：（1）中的结论仍成立，延长DM至点F，使得DM＝MF，连接CD和EF，连接BD，连接BF、FC，延长ED 交AC于点H．∵DM＝MF，EM＝MC，∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，ED＝CF，∵ED＝AD，∴AD＝CF．∵DE∥CF，∴∠AHE＝∠ACF．∵∠BAD＝45°﹣∠DAH＝45°﹣（90°﹣∠AHE）＝∠AHE﹣45°，∠BCF＝∠ACF﹣45°，∴∠BAD＝∠BCF．又∵AB＝BC，∴△ABD≌△CBF，∴BD＝BF，∠ABD＝∠CBF，∵∠ABD+∠DBC＝∠CBF+∠DBC，∴∠DBF＝∠ABC＝90°．在Rt△DBF中，由BD＝BF，DM＝MF，得BM＝DM且BM⊥DM．7．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若点M为AC上的任意一点，过M作MN⊥BC于点N，连接BM，取BM的中点D，连接AD、DM，求证：AD＝DN．（2）如图2，若M为BC上的任意一点，以线段CM为底边作等腰Rt△MCN，此时，取BM的中点D，连接AD、DN，则AD与DN有怎样的数量关系？说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下将Rt△MNC绕C点旋转任意角度，连接BM，取BM的中点D，再连接AD、DN，则（2）中的结论仍然成立吗，它们之间又有怎样的位置关系？请说明理由．【解答】（1）证明：解法一：如图1中，延长AD到K，使得DK＝AD，连接AN、KN、KM．在△ADB和△KDM中，，∴△ADB≌△KDM，∴AB＝KM＝AC，∠BAD＝∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KMC＝∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°，∵MN⊥BC，∴∠MNC＝90°，∠NMC＝45°＝∠KMC＝∠C，∴MN＝NC，在△ANC和△KNM中，，∴△ANC≌△KNM，∴AN＝KN，∠ANC＝∠KNM，∴∠KNA＝∠MNC＝90°∵AD＝DK，∴DN＝AD＝DK，即AD＝DN．解法二：根据直角三角形斜边中线性质，可知AD＝BM，DN＝BM，由此即可证明．（2）如图2中，结论：AD＝DN．理由：延长AD到K，使得DK＝AD，连接AN、KN、KM．在△ADB和△KDM中，，∴△ADB≌△KDM，∴AB＝KM＝AC，∠BAD＝∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KMD＝∠B＝45°，∵∠NMC＝∠NCM＝∠ACB＝45°∴MN＝NC，∠KMN＝∠ACN＝90°在△ANC和△KNM中，，∴△ANC≌△KNM，∴AN＝KN，∠ANC＝∠KNM，∴∠KNA＝∠MNC＝90°∵AD＝DK，∴DN＝AD＝DK，即AD＝DN．（3）如图3中，结论：AD＝DN，AD⊥DN．理由：延长AD到K，使得DK＝AD，连接AN、KN、KM，延长KN交AC于G．在△ADB和△KDM中，，∴△ADB≌△KDM，∴AB＝KM＝AC，∠BAD＝∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KGC＝∠BAC＝90°，∴∠ACN+∠NMG＝180°，∵∠KMN+∠NMG＝180°，∴∠ACN＝∠NMK，在△ANC和△KNM中，，∴△ANC≌△KNM，∴AN＝KN，∠ANC＝∠KNM，∴∠KNA＝∠MNC＝90°∵AD＝DK，∴DN＝AD＝DK，DN⊥AK，即AD＝DN．AD⊥DN．8．△ABC中，点D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，BE，DE，已知BD＝DE，AD＝DC，∠ADB＝∠EDC．（1）如图1，若∠ACB＝40°，求∠BAC的度数；（2）如图2，F是BE的中点，过点F作AD的垂线，分别交AD、AC于点G、H．求证：AH＝CH．【解答】解：（1）如图1，∵AD＝DC，∠ACB＝40°，∴∠DAC＝∠ACB＝40°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°，在△ADB和△CDE中，∵，∴△ADB≌△CDE（SAS），∴∠BAD＝∠ACB＝40°，∴∠BAC＝40°+40°＝80°；（2）如图2，过B作BN∥AC，交HF的延长线于N，直线HF交AB于M，连接DH、DM，∴∠BNM＝∠EHF，∵BF＝EF，∠BFN＝∠EFH，∴△EFH≌△BFN（AAS），∴BN＝EH，由（1）得：∠BAD＝∠DAC，∵FH⊥AD，∴∠AGF＝∠AGH＝90°，∵AG＝AG，∴△AMG≌△AHG（ASA），∴AH＝AM，∠AHM＝∠AMH，∵∠AMH＝∠BMN，∴∠BNM＝∠BMN，∴BN＝BM，∵△ABD≌△CED，∴∠ABD＝∠CED，∵BD＝DE，∴△DEH≌△DBM，∴∠BMD＝∠AHD，∵AM＝AH，∠BAD＝∠DAH，AD＝AD，∴△AMD≌△AHD，∴∠AMD＝∠AHD，∴∠AMD＝∠BMD，∵∠AMD+∠BMD＝180°，∴∠AMD＝90°，∴∠AHD＝90°，∵AD＝CD，∴AH＝CH．9．直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB中点，则CD＝AD＝BD＝AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）求证：PM＝PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；（3）如图4，∠BAC＝90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE＝AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．【解答】（1）证明：如图2中，延长NP交BM的延长线于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BG∥CN，∴∠PCN＝∠PBG，在△PNC和△PGB中，，∴△PNC≌△PGB，∴PN＝PG，∵∠NMG＝90°，∴PM＝PN＝PG．（2）解：结论：PM＝PN．如图3中，延长NP交BM于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BM∥CN，∴∠PCN＝∠PBG，在△PNC和△PGB中，，∴△PNC≌△PGB，∴PN＝PG，∵∠NMG＝90°，∴PM＝PN＝PG．（3）如图4中，延长NP交BM于G．∵∠EAN+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，∴∠EAN＝∠ACM，在△EAN和△CAM中，，∴△EAN≌△CAM，∴EN＝AM，AN＝CM，∵EN∥CG，∴∠ENP＝∠CGP，在△ENP和△CGP中，，∴△ENP≌△CGP，∴EN＝CG＝AM，PN＝PG，∵AN＝CM，∴MG＝MN，∴PM⊥PN．1．（2017•唐河县四模真题）已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝，求此时线段CF的长（直接写出结果）．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，∴DF＝BE，CF＝BE，∴DF＝CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF，∵∠DFE＝∠ABE+∠BDF，∴∠DFE＝2∠DBF，同理得：∠CFE＝2∠CBF，∴∠EFD+∠EFC＝2∠DBF+2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF＝CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的结论仍然成立．证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC．∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．∵F为BE中点，∴EF＝BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE＝GB，DF＝GF．∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC＝BC，∴AC﹣AD＝BC﹣GB，∴DC＝GC．∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF＝GF．∴DF＝CF，DF⊥CF．（3）延长DF交BA于点H，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE．∴∠AED＝∠ABC＝45°，∵由旋转可以得出，∠CAE＝∠BAD＝90°，∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED＝HB，∵AC＝，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝4，∵AD＝1，∴ED＝BH＝1，∴AH＝3，在Rt△HAD中由勾股定理，得DH＝，∴DF＝，∴CF＝∴线段CF的长为．。

三角形全等之倍长中线(含问题详解和练习)

三角形全等之倍长中线1. 如图,AD 为△ABC 的中线．〔1〕求证：AB +AC >2AD ．〔2〕假如AB =5,AC =3,求AD 的取值X 围． 2. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图,CB 是△AEC 的中线,CD 是△ABC 的中线,且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ． 4. 如图,在△ABC 中,D 是BC 边的中点,E 是AD 上一点,BE =AC ,BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图,在△ABC 中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 的中点,EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ,交AB 于点G ,BG =CF ．求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,点E 在BC 上,点F 是CD 的中点,且AF ⊥AB ,AD =2.7,AE =BE =5,求CE 的长．7. 如图,在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取一点E ,△FEB 为等腰直角三角形,∠FEB =90°,连接FD ,取FD 的中点G ,连接EG ,CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．[参考答案]1. 〔1〕证明：如图,延长AD 至E ,使DE =AD ,连接BE , ∴AE =2AD ．∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中 ∴△BDE ≌△CDA 〔SAS 〕 ∴BE =AC在△ABE 中,AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD 〔2〕解：由①可知AE =2AD ,BE =AC 在△ABE 中,AB BE <AE <AB +BE ∵AC =3,AB =5 ∴53<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图,延长AD 到E ,使DE =AD ,连接BE ．在△ADC 和△EDB 中DC BAGF EDCB A∴△ADC≌△EDB〔SAS〕∴AC=EB,∠2=∠E∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC3.证明：如图,延长CD到F,使DF=CD,连接BF．∴CF=2CD∵CD是△ABC的中线∴BD=AD在△BDF和△ADC中∴△BDF≌△ADC〔SAS〕∴BF=AC,∠3=∠A∵CB是△AEC的中线∴BE=AB∵AC=AB∴BE=AC∴BE=BF∵∠CBE是△ABC的一个外角∴∠CBE=∠BCA+∠A=∠BCA+∠3∵AC=AB∴∠BCA=∠CBA∴∠CBE=∠CBA+∠3=∠CBF在△CBE和△CBF中∴△CBE≌△CBF〔SAS〕∴CE=CF,∠4=∠5∴CE=2CDCB平分∠DCE4.证明：如图,延长AD到M,使DM=AD,连接BM．∵D是BC边的中点∴BD=CD在△ADC和△MDB中∴△ADC≌△MDB〔SAS〕∴∠CAD=∠M,AC=MB∵BE=AC∴BE=MB∴∠M=∠BEM∴∠CAD=∠BEM∵∠AEF=∠BEM∴∠CAD=∠AEF即∠AEF=∠EAF5.证明：如图,延长FE到M,使EM=EF,连接BM．∵点E是BC的中点∴BE=CE在△CFE和△BME中∴△CFE≌△BME〔SAS〕∴CF=BM,∠F=∠M∵BG=CF∴BG=BM∴∠3=∠M∴∠3=∠F∵AD∥EF∴∠2=∠F,∠1=∠3∴∠1=∠2即AD为△ABC的角平分线．6.解：如图,延长AF交BC的延长线于点G．∵AD∥BC∴∠3=∠G∵点F是CD的中点∴DF=CF在△ADF和△GCF中∴△ADF≌△GCF〔AAS〕∴AD=CG∵AD=2.7∴CG=2.7∵AE=BE∴∠5=∠B∵AB⊥AF∴∠4+∠5=90°∠B+∠G=90°∴∠4=∠G∴EG=AE=5∴CE=EG CG=5 2.7=2.37. 证明：如图,延长EG ,交CD 的延长线于M ．由题意,∠FEB =90°,∠DCB =90° ∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中 ∴△FGE ≌△DGM 〔AAS 〕 ∴EF =MD ,EG =MG∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中,BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ,∠ECG =∠MCG =45° ∴EG =CG全等三角形之倍长中线每日一题1. 〔4月21日〕：如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD +BC ,E 是CD 的中点．求证：AE ⊥BE ．2. 〔4月22日〕：如图,△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形,BA⊥AC ,ED ⊥BD ,垂足分别为A ,D ,连接EC ,F 为EC 中点,连接AF ,DF ,猜想AF ,DF 的数量关系和位置关系,并说明理由． 3. 〔4月23日〕：如图,D 为线段AB 的中点,在AB 上任取一点C 〔不与点A ,B ,D 重合〕,分别以AC ,BC 为斜边在AB 同侧作等腰Rt △ACE 与等腰Rt △BCF ,∠AEC =∠CFB =90°,连接DE ,DF ,EF ．求证：△DEF 为等腰直角三角形． 4. 〔4月24日〕：如图,在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,E 为BC 边的中点,∠BAE =∠EAF ,AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ,CF 之间的数量关系,并说明理由．[参考答案]1. 证明：延长AE 交BC 的延长线于点F ．∵AD ∥BC∴∠D =∠DCF ,∠DAE =∠F ∵E 是CD 的中点EDCB AFE DCBA∴DE=CE在△ADE和△FCE中∴△ADE≌△FCE〔AAS〕∴AD=FC,AE=FE∵AB=AD+BC∴AB=CF+BC=BF在△ABE和△FBE中∴△ABE≌△FBE〔SSS〕∴∠AEB=∠FEB=90°即AE⊥BE2.解：AF⊥DF,AF=DF,理由如下：延长DF交AC于点P.∵BA⊥AC,ED⊥BD∴∠BAC=∠EDA=90°∴DE∥AC∴∠DEC=∠ECA∵F为EC中点∴EF=CF在△EDF和△CPF中∴△EDF≌△CPF〔ASA〕∴DE=CP,DF=PF∵△ABC与△BDE均为等腰直角三角形∴AB=AC,DE=BD∴AB BD=AC DE=AC CP即AD=AP在△DAF和△PAF中∴△DAF≌△PAF〔SSS〕∴∠DFA=∠PFA=90°,∠DAF=∠PAF=45°∴AF⊥DF,AF=DF3.证明：延长ED到点G,使DG=DE,连接BG,FG．∵D为线段AB的中点∴AD=BD在△EDA和△GDB中∴△EDA≌△GDB〔SAS〕∴EA=GB,∠A=∠GBD∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形∴AE=CE=BG,CF=FB,∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°∴∠ECF=90°,∠GBF=∠GBD+∠FBD=90°在△ECF和△GBF中∴△ECF≌△GBF〔SAS〕∴EF=GF,∠EFC=∠GFB∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°在△EFD和△GFD中∴△EFD≌△GFD〔SSS〕∴∠EDF=∠GDF=90°,∠EFD=∠GFD=45°∴DE=DF∴△DEF为等腰直角三角形4.解：AB=AF+CF,理由如下：延长AE交DF的延长线于点G．∵E为BC边的中点∴BE=CE∵AB∥DC∴∠B=∠BCG,∠BAG=∠G在△ABE和△GCE中∴△ABE≌△GCE〔AAS〕∴AB=GC∵∠BAE=∠EAF∴∠G=∠EAF∴AF=GF∵GC=GF+FC∴AB=AF+CF三角形全等之倍长中线〔随堂测试〕1.在△ABC中,AC=5,中线AD=4,如此边AB的取值X围是_______________．2.：如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥AB交AE于点F,DF=AC．求证：AE平分∠BAC．[参考答案]1.3<AB<132.证明略〔提示：延长AE到点G,使EG=EF,连接CG,证明△DEF≌△CEG〕．三角形全等之倍长中线〔作业〕1.：如图,在△ABC中,AB=4,AC=2,点D为BC边的中点,且AD是整数,如此AD=________．2.：如图,BD平分∠ABC交AC于D,点E为CD上一点,且AD=DE,EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.：如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形．求证：EF=2AD．4.如图,在△ABC中,AB >AC,E为BC边的中点,AD为∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G．求证：BF=CG．5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F是CD的中点,连接AF,假如∠DAF=∠EAF,求证：AF⊥EF．[参考答案]1. 22.证明略〔提示：延长FD到点G,使得DG=DF,连接AG,证明△ADG≌△EDF,转角证明AB=EF〕3.证明略〔提示：延长AD到点G,使得AD=GD,连接CG,证明△ABD≌△GCD,△EAF≌△GCA〕4.证明略〔提示：延长FE到点H,使得FE=EH,连接CH,证明△BFE≌△CHE,转角证明BF=CG〕5.证明略〔提示：延长AF交BC的延长线于点G,证明△ADF≌△GCF,转角证明AF⊥EF〕。

三角形全等之倍长中线(含答案和练习)

三角形全等之倍长中线1.如图， AD 为△ ABC 的中线．（1）求证： AB+AC >2AD．（2）若 AB=5，AC=3，求 AD 的取值范围．B2.如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC，且 BD=CD．求证： AB=AC．B3.如图， CB 是△ AEC 的中线， CD 是△ ABC 的中线，且 AB=AC．求证：① CE=2CD；② CB 平分∠ DCE．E4.如图，在△ ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是 AD 上一点，BE=AC， BE 的延长线交 AC 于点 F．AD CAD CCB D AAFE求证：∠ AEF=∠EAF．B D C5. 如图，在△ ABC 中， AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 的中点， EF ∥ AD 交 CA 的延长线于点F，交AB 于点 G， BG=CF ．求证： AD 为△ ABC 的角平分线．F FA AG GB E DC B ED C16. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在 BC 上，点 F 是 A DCD 的中点，且 AF⊥AB，已知 AD=2.7， AE=BE=5，求 CE 的长．FB E C7.如图，在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线上取一点 E，△FEB 为等腰直角三角形，∠ FEB=90°，连接 FD ，取 FD 的中点 G，连接 EG， CG．求证： EG=CG 且 EG⊥ CG．A DGFE B C2....【参考答案】1.（ 1）证明：如图，A2B 1 D CE延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，∴AE=2AD．∵AD 是△ ABC 的中线∴ BD=CD在△ BDE 和△ CDA 中BD CD1 2ED AD∴△ BDE≌△ CDA（SAS）∴BE=AC在△ ABE 中， AB+BE>AE∴AB+AC>2AD（ 2）解：由①可知AE=2AD，BE=AC在△ ABE 中，AB BE<AE<AB+BE∵AC=3，AB=5∴5 3<AE<5+3∴2<2AD<8∴1<AD<432. 证明：如图，延长AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE．A1 23B C4 DE在△ ADC 和△ EDB 中CD BD3 4AD ED∴△ ADC≌△ EDB（SAS）∴AC=EB，∠ 2=∠E∵AD 平分∠ BAC∴∠ 1=∠ 2∴∠ 1=∠ E∴AB=BE∴AB=AC3.证明：如图，C4 51E B 3 2 DAF延长 CD 到 F，使 DF=CD，连接 BF．∴CF=2CD∵CD 是△ ABC 的中线∴ BD=AD在△ BDF 和△ ADC 中4....BD AD2 1DF DC∴△ BDF ≌△ ADC（SAS）∴BF=AC，∠ 3=∠A∵CB 是△ AEC 的中线∴ BE=AB∵AC=AB∴BE=AC∴BE=BF∵∠ CBE 是△ ABC 的一个外角∴∠ CBE=∠ BCA+∠A=∠BCA+∠3∵AC=AB∴∠ BCA=∠ CBA∴∠ CBE=∠ CBA+∠3=∠ CBF在△ CBE 和△ CBF 中CB CBCBE CBFBE BF∴△ CBE≌△ CBF（SAS）∴CE=CF，∠ 4=∠5∴CE=2CDCB 平分∠ DCE4.证明：如图，延长 AD 到 M，使 DM=AD，连接 BM．AFEB CDM∵D 是 BC 边的中点∴ BD=CD.... 在△ ADC 和△ MDB 中5....CD BDADC MDBAD MD∴△ ADC≌△ MDB （SAS）∴∠ CAD=∠ M，AC=MB∵BE=AC∴BE=MB∴∠ M=∠BEM∴∠ CAD=∠ BEM∵∠ AEF=∠BEM∴∠ CAD=∠ AEF即∠ AEF=∠EAF5.证明：如图，延长 FE 到 M，使 EM=EF，连接 BM．FAG 123B E D CM∵点 E 是 BC 的中点∴BE=CE在△ CFE 和△ BME 中FE MECEF BEMCE BE∴△ CFE≌△ BME（SAS）∴CF=BM，∠ F=∠M∵BG=CF∴BG=BM∴∠ 3=∠ M∴∠ 3=∠ F∵AD∥ EF∴∠ 2=∠ F，∠ 1=∠3∴∠ 1=∠ 2....即 AD 为△ ABC 的角平分线．6.解：如图，延长 AF 交 BC 的延长线于点 G．6....A D35 41 F2B EC G∵AD∥ BC∴∠ 3=∠ G∵点 F 是 CD 的中点∴DF=CF在△ ADF 和△ GCF 中3G1 2DF CF∴△ADF≌△ GCF（AAS ）∴AD=CG∵AD=2.7∴CG=2.7∵AE=BE∴∠ 5=∠ B∵AB⊥ AF∴∠ 4+∠ 5=90°∠B+∠G=90°∴∠ 4=∠ G∴EG=AE=5∴CE=EG CG=5 2.7=2.37.证明：如图，延长 EG，交 CD 的延长线于 M．MA DGFE B C由题意，∠ FEB=90°，∠ DCB=90°7∴∠ DCB+∠ FEB=180°∴EF∥ CD∴∠ FEG=∠ M∵点 G 为 FD 中点∴FG=DG在△ FGE 和△ DGM 中FEG MFGE DGMFG DG∴△ FGE≌△ DGM （ AAS ）∴EF=MD ，EG=MG∵△ FEB 是等腰直角三角形∴EF=EB∴BE=MD在正方形 ABCD 中， BC=CD∴BE+BC=MD+CD即EC=MC∴△ ECM 是等腰直角三角形∵EG=MG∴EG⊥ CG，∠ ECG=∠MCG=45°∴EG=CG全等三角形之倍长中线每日一题1.（4 月 21 日）已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC，AB=AD+BC， E 是 CD 的中点．求证： AE⊥BE．A DEB CA8 ED FB C2.（4 月 22 日）已知：如图，△ ABC 与△ BDE 均为等腰直角三角形， BA⊥ AC， ED⊥ BD，垂足分别为 A，D，连接 EC， F 为 EC 中点，连接 AF，DF ，猜测 AF，DF 的数量关系和位置关系，并说明理由．3.（4 月 23 日）已知：如图， D 为线段 AB 的中点，在 AB 上任取一点 C（不与点 A，B，D 重合），分别以 AC，BC 为斜边在 AB 同侧作等腰 Rt△ ACE 与等腰 Rt△BCF，∠AEC=∠CFB=90°，连接DE，DF ，EF．F 求证：△ DEF 为等腰直角三角形．EA C D BA4. （4 月 24 日）已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥DC，E为 BC 边的中点，∠ BAE=∠EAF，AF 与 DC 的延长线相交于D点 F．试探究线段 AB 与 AF，CF 之间的数量关系，并说明理由．B E CF9....【参考答案】1.证明：延长 AE 交 BC 的延长线于点 F．ADEB C F∵AD∥ BC∴∠ D=∠DCF ，∠ DAE=∠F∵E 是 CD 的中点∴ DE=CE在△ ADE 和△ FCE 中∠D∠ FCEDAE FDE CE∴△ ADE≌△ FCE（AAS ）∴AD=FC，AE=FE∵AB=AD+BC∴AB=CF+BC=BF在△ ABE 和△ FBE 中AB FBBE BEAE FE....∴△ ABE≌△ FBE（ SSS）10....∴∠ AEB=∠FEB=90°即AE⊥BE2.解：AF⊥DF ，AF=DF ，理由如下：延长 DF 交 AC 于点 P.AEPD FB C∵BA⊥ AC， ED⊥ BD∴∠ BAC=∠ EDA= 90°∴DE∥ AC∴∠ DEC=∠ ECA∵F 为 EC 中点∴ EF=CF在△ EDF 和△ CPF 中DEF PCFEF CF∠E FD ∠ CFP∴△ EDF ≌△ CPF（ASA ）∴DE=CP，DF=PF∵△ ABC 与△ BDE 均为等腰直角三角形∴AB=AC，DE=BD∴AB BD=AC DE=AC CP即AD=AP在△ DAF 和△ PAF 中DF PFAF AFAD AP∴△ DAF ≌△ PAF（ SSS）∴∠ DFA=∠PFA=90°，∠ DAF=∠PAF=45°11∴AF⊥ DF， AF=DF3.证明：延长 ED 到点 G，使 DG=DE，连接 BG，FG．FEA C D BG∵D 为线段 AB 的中点∴ AD=BD在△ EDA 和△ GDB 中ED GD∠E DA ∠ GDBDA DB∴△ EDA≌△ GDB（SAS）∴EA=GB，∠ A=∠GBD∵△ ACE 与△ BCF 是等腰直角三角形∴AE=CE=BG， CF=FB，∠ A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°∴∠ ECF=90°，∠ GBF=∠GBD+∠FBD =90°在△ ECF 和△ GBF 中EC GB∠E CF ∠ GBFCF BF∴△ ECF≌△ GBF（SAS）∴EF=GF，∠ EFC=∠GFB∵∠ CFB=∠ CFG+∠GFB=90°∴∠ EFG=∠ EFC+∠CFG=90°在△ EFD 和△ GFD 中EF GFFD FDED GD∴△ EFD ≌△ GFD （SSS）∴∠ EDF=∠ GDF=90°，∠ EFD=∠GFD=45°∴DE=DF12∴△ DEF 为等腰直角三角形4.解： AB=AF+CF，理由如下：延长 AE 交 DF 的延长线于点 G．ADB E CFG∵E 为 BC 边的中点∴ BE=CE∵AB∥ DC∴∠ B=∠BCG，∠ BAG=∠ G在△ ABE 和△ GCE 中∠B∠ GCE∠B AE ∠ GBE CE∴△ ABE≌△ GCE（AAS ）∴AB=GC∵∠ BAE=∠EAF∴∠ G=∠EAF∴AF=GF∵GC=GF+FC∴AB=AF+CF三角形全等之倍长中线（随堂测试）1. 在△ ABC 中， AC=5，中线 AD=4，则边 AB 的取值范围是 _______________．2.已知：如图，在△ ABC 中， AB≠AC，D，E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作 DF∥ AB 交 AE 于点F，DF=AC．求证： AE 平分∠ BAC．13AFB D E C【参考答案】1.3<AB<132.证明略（提示：延长 AE 到点 G，使 EG=EF，连接 CG，证明△ DEF ≌△ CEG）．三角形全等之倍长中线（作业）1.已知：如图，在△ ABC 中，AB=4，AC=2，点 D 为 BC 边的中点，且 AD 是整数，则 AD=________．AB D C2.已知：如图， BD 平分∠ ABC 交 AC 于 D，点 E 为 CD 上一点，且 AD=DE， EF∥ BC 交 BD 于F．求证： AB=EF．14ADF EB C3.已知：如图，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB，AC 为直角边向外作等腰直角三角形．求证： EF=2AD．EA FB D C4.如图，在△ ABC 中， AB >AC， E 为 BC 边的中点， AD 为∠ BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB 于 F，交 CA 的延长线于 G．求证： BF=CG．GAFB E D C155.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 在 BC 上，点 F 是 CD 的中点，连接 AF，若∠ DAF= ∠EAF，求证： AF⊥EF．A DFB E C【参考答案】1. 22.证明略（提示：延长 FD 到点 G，使得 DG=DF ，连接 AG，证明△ ADG≌△ EDF，转角证明AB=EF）3.证明略（提示：延长 AD 到点 G，使得 AD=GD，连接 CG，证明△ ABD≌△ GCD，△ EAF≌△GCA）4.证明略（提示：延长 FE 到点 H，使得 FE=EH，连接 CH，证明△ BFE≌△ CHE，转角证明 BF=CG）5.证明略（提示：延长 AF 交 BC 的延长线于点 G，证明△ ADF ≌△ GCF，转角证明 AF⊥EF）16。

倍长中线法(含答案)

专题2：倍长中线法【典例引领】例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC 中，M 为BC 的中点，直线m 绕点A 旋转，过B 、M 、C 分别作BD ⊥m 于E ，CF ⊥m 于F 。

（1）当直线m 经过B 点时，如图1，易证EM=12CF 。

（不需证明）（2）当直线m 不经过B 点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD 、ME 、CF 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。

【强化训练】1、（2017黑龙江龙东地区）已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。

（1）如图1所示，易证OH=21AD 且OH ⊥AD （不需证明）（2）将ΔCOD绕点O旋转到图2，图3所示位置是，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。

2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2√3，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．3.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点。

（1）当点P与点O重合时，如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明。

4．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．专题2：倍长中线法【典例引领】例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于E，CF⊥m于F。

三角形全等之倍长中线习题及答案

三角形全等之倍长中线（习题）➢例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ．求证：AE 平分∠BAC ．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCE F？？G？？FECDBA （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中， ∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1.已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2.已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．3.已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，AB =AE ，AC =AF ，∠BAE =∠CAF =90°．求证：EF =2AD ．如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．4.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．F E DCBAG FEDCBA➢ 思考小结1.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中 ∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中 ∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E21ECDBA 21ECDBA∴AB=BE∴AB=AC相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB的中线．求证：CD 1AB．2【参考答案】➢巩固练习1.22.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）3.证明略（提示：延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）4.证明略（提示：延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）➢思考小结1.倍长中线SAS AAS 角2.证明略。

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