《激光原理》周炳琨第五版部分答案(第一二章)【khdaw_lxywyl】

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(2)对E4连续激发并达到稳态,则有:
Δn1 = Δn2 = Δn3 = Δn4 = 0
n1 1 = n4 A41 , n2 1
吸收过程，见图）
宏观上表现为各能级的粒子数没有变化 由题意可得:
ww
势。 证明如下：按照普朗克黑体辐射公式，在热平衡条件下，能量平均分配到每一个可以存
w.
n1
1
τ1
= n4 A41 ,则
8πhγ 3 × c3
又根据黑体辐射公式： ρ γ =
根据爱因斯坦辐射系数之间的关系式
n=
答
n=
ργ ργ B21 ρ γ W21 = = = 3 A21 A21 A21 8πhγ
c3 B21
如果模内的平均光子数（ n ）大于 1，即
课
后
即辐射光中受激辐射占优势。 证明完毕。
光强为入射光强的百分之几？
hν
6.626 × 10 −34 (J ⋅ s ) ×
c
λ = 6.26 × 10 3 K
案 网
+3
离子激发到激光上能级并产生激光
答
+3
离子浓度为 2 × 10 19 cm −3 ，巨脉冲宽
课
后
粒子数的一半（事实上红宝
总数为 N， C r
+3
粒子的浓度为 n，巨脉
离子总数为：
πd 2 L
4
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I (z ) I (z ) ⇒ g 0 z = ln ⇒ g0 = I0 I0
课
后
答
案 网
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《激光原理》习题解答 第二章习题解答 1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔， 即任意傍轴光线在其中可以往返无限次， 而且两次 往返即自行闭合. 证明如下： （共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为 实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共 焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射 镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。 ） 根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。
w.
因此， A21τ s = 1 ，即： 证明完毕。
课
按照能级寿命的定义，当
ww
用字母 τ s 表示。
后
A21 =
dn21 1 ⎛ dn ⎞ × ，把 ⎜ 21 ⎟ = A21 n2 代入①式， dt n2 ⎝ dt ⎠ sp
6 某一分子的能级 E4 到三个较低能级 E1 E2 和 E3 的自发跃迁几率分别为A43=5*10 s , 试求该分子E4能级的自发辐射寿命τ4。 若τ1=5*10 s， τ2=6*10 s， A42=1*10 s , A41=3*10 s ， τ3=1*10 s，在对E4连续激发且达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值n1/n4, n2/n4和
P= E
τ
=
πnLd 2 hν = 8τ
解答完毕。
5 试证明，由于自发辐射，原子在 E2 能级的平均寿命为 τ s =
1 。 A21
证明如下：根据自发辐射的定义可以知道，高能级上单位时间粒子数减少的量，等于低 能级在单位时间内粒子数的增加。即：
dn2 ⎛ dn ⎞ = −⎜ 21 ⎟ dt ⎝ dt ⎠ sp
(
)
(c) T = −
解答完毕。
4 在红宝石调 Q 激光器中，有可能将几乎全部 C r
巨脉冲。设红宝石棒直径为 1cm，长度为 7.5cm， C r 度为 10ns，求激光的最大能量输出和脉冲功率。
解答： 红宝石调 Q 激光器在反转能级间可产生两个频率的受激跃迁， 这两个跃迁几率分
别是 47%和 53%，其中几率占 53%的跃迁在竞争中可以形成 694.3nm 的激光，因此，我们可 以把激发到高能级上的粒子数看成是整个激发到高能级的 C r 石激光器只有一半的激发粒子对激光有贡献） 。 设红宝石棒长为 L，直径为 d，体积为 V， C r
7 证明，当每个模式内的平均光子数（光子简并度）大于 1 时，辐射光中受激辐射占优
课
（上述三个等式的物理意义是： 在只考虑高能级自发辐射和E1能级只与E4能级间有受激
n1 = A41τ 1 = 3 ×10 −7 × 5 ×10 −7 = 15 n4
后
τ1
kh da w. co m
A41 A42
结论:如果能级u发生跃迁的下能级不止 1 条,能级u向其中第i条自发跃迁的几率为Aui
n=
dE 功率 × dt = hν hν
每秒钟发射的光子数目为：N=n/dt,带入上式，得到：
每秒钟发射的光子数 = N =
根据题中给出的数据可知：ν 1 =
N 3 = 5.031 × 10 23
解答完毕。
数密度分别为 n2 和 n1，求
ww
w.
3 设一对激光能级为 E1 和 E2（f1=f2） ，相应的频率为 ν（波长为 λ） ，能级上的粒子
W21 > 1 ，则受激辐射跃迁几率大于自发辐射跃迁几率， A21
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则出射光强与入射光强的百分比为：
−1 I (z ) × 100% = (exp− αz ) × 100% = e − (0.01mm ×100 mm ) × 100% = 36.8% I0
kz =
1 为了使氦氖激光器的相干长度达到 1KM，它的单色性 Δλ
课
后
Lc = τ ⋅ c
答
解答：设相干时间为 τ ，则相干长度为光速与相干时间的乘积，即
根据相干时间和谱线宽度的关系 Δν =
又因为
Δλ
λ0
w.
单色性=
由以上各关系及数据可以得到如下形式：
Δλ
λ0
ww
解答完毕。
2 如果激光器和微波激射器分别在 10μｍ、 500nm 和 γ = 3000MH Z 输出 1 瓦连续功率，
根据小信号增益系数的概念： g =
0
dI ( z ) 1 × ，在小信号增益的情况下， dz I (z )
上式可通过积分得到
ln =
I (z ) I0 ln 2 = = 6.93 × 10 − 4 mm −1 z 1000
ww
w.
kh da w. co m
解答完毕。
I ( z ) = I 0 exp g 0 z ⇒ exp g 0 z =
子数的变化， 高能级粒子数随时间减少。 右边的表示低能级上单位时间内接纳的从高能级上 自发辐射下来的粒子数。 ）
再根据自发辐射跃迁几率公式：
得到：
dn2 = − A21 n2 dt
对时间进行积分，得到： n 2 = n 20 exp(− A21t ) （其中 n 2 随时间变化， n 20 为开始时候 的高能级具有的粒子数。 ）
同理：
n2 n = A42τ 2 = 1× 10 −7 × 6 × 10 −9 = 0.06 ， 3 = A43τ 3 = 5 × 10 −7 × 1× 10 −8 = 0.5 n4 n4 n1 n = 250 ， 2 = 0.12 n2 n3
进一步可求得:
由以上可知:在 E2和E4;E3和E4;E2和E3能级间发生了粒子数反转.
A4 = A41 + A42 + A43 = 5 × 10 7 + 1 × 10 7 + 3 × 10 7 = 9 × 10 7 s -1
则该分子E4能级的自发辐射寿命：
τ4 =
1 1 = = 1.1 × 10 −8 s 7 A4 9 × 10
则能级u的自发辐射寿命为:
τN =
1 ∑ Aui
i
案 网
课
把 三 个 数 据 带 入 ， 得 到 如 下 结 果 ： N 1 = 5.031 × 10
kh da w. co m
n 功率 1(J s ) = = s −1 dt hν 6.626 × 10 −34 ( J ⋅ s ) ×ν
c = 3 × 10 8 ms −1 = 3 × 1013 H z −6 10 × 10 m
τ
=
c Lc
=
Δν
γ0
，ν 0 =
c
λ0
， λ0 = 632.8nm
=
Δν
ν0
=
λ0
Lc
=
632.8nm = 6.328 × 10 −10 12 1 × 10 nm
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激光或微波激射器输出的能量就是电磁波与普朗克常数的乘积，即 d E = nhν ，其中 n 为 dt 时间内输出的光子数目，这些光子数就等于腔内处在高能级 的激发粒子在 dt 时间辐射跃迁到低能级的数目（能级间的频率为 ν） 。 由以上分析可以得到如下的形式：
ww
α =−
试求该物质的增益系数。
w.
I (z ) = I 0 exp(− αz )
8 一质地均匀的材料对光的吸收系数为 0.01mm −1 ，光通过 10cm 长的该材料后，出射
如果一束光通过长度为 1M 地均匀激励的工作物质， 如果出射光强是入射光强的两倍，
解答： 设进 入材料 前的 光强为 I 0 ，经 过 z 距离 后的 光强为 I ( z ) ，根 据损耗 系数
-8 7 -1 7 -1 -7 -9
kh da w. co m
---------------① （其中等式左边表示单位时间内高能级上粒
答
n2 = e −1 时，定义能量减少到这个程度的时间为能级寿命， n20
τs =
案 网
1 A21
7 -1
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n3/n4，并说明这时候在哪两个能级间实现了集居数 解: (1)由题意可知E4上的粒子向低能级自发跃迁几率A4 为:
n2 − hν − 6.626 × 10 −34 (J ⋅ s ) ×ν = exp = exp = 0.99 n1 k bT 1.38062 × 10 − 23 J ⋅ k −1 × T
(
)
c − 6.626 × 10 −34 ( J ⋅ s ) × n2 − hν λ = 1.38 × 10 − 21 (b) = exp = exp − 23 −1 n1 k bT 1.38062 × 10 J ⋅ k × T
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《激光原理》习题解答
作者：周炳琨等 国防工业出版社 第五版 解答人：广东海洋大学理学院光电科学系 石友彬（2008 年修正版） 习题解答说明：习题解答参考蓝信鉅的激光技术、陈家璧版激光原理及应用等，在此对上述作者表示 敬意！
应培养良好的习题解答习惯，特别是分析习题的过程必不可少。有些习题必须完全理解基础物理概念、定 义后才能合理、正确运用目前的知识完成习题解答，因此必须对解题中涉及的每一个物理量、字母、公式 进行必要的说明，讲清楚每个字母的含义是非常重要的一环。
(a)当 ν=3000 兆赫兹，T=300K 的时候，n2/n1=? (b)当 λ=1μm，T=300K 的时候，n2/n1=? (c)当 λ=1μm，n2/n1=0.1 时，温度 T=？
解答:在热平衡下，能级的粒子数按波尔兹曼统计分布，即：
− ( E 2 − E1 ) n2 f − hν = 2 exp = exp n1 f1 k bT K bT
A43
E4
E3
答
τ2
= n4 A42 , n3
1
E2
τ3
= n4 A43
E1
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在的模上，即 E =
hγ = n ⋅ hγ hλ exp −1 k bT E = hγ
（ n 为频率为 γ 的模式内的平均光子数）
由上式可以得到： n =
1 hγ exp −1 kb ⋅ T
( )
λ1
ν2 =
后
答
ν 3 = 3000 × 10 6 H z
案 网
c
λ2
=
3 × 10 8 ms −1 = 1.5 × 1015 H z −9 500 × 10 m
19
， N 2 = 2.5 × 10
18
，
（统计权重 f 1 = f 2 ）
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其中 k b = 1.38062 × 10 −23 JK −1 为波尔兹曼常数，T 为热力学温度。 (a)
+3 +3 +3
w.
N = n ×V = n ×
ww
冲的时间宽度为 τ ，则 C r
根据前面分析部分，只有 N/2 个粒子能发射激光，因此，整个发出的脉冲能量为：
N πnLd 2 E = × hν = × hν = 2 8
脉冲功率是单位时间内输出的能量，即
kh da w. co m
k b × ln n2 n1 =− k b × ln n2 n1
问每秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少。
解答：功率是单位时间内输出的能量，因此，我们设在 dt 时间内输出的能量为 dE，则 功率=dE/dt
kh da w. co m
案 网
1
第一章习题解答
大学理工类习题解答的过程是个学习掌握原理和练习应用原理技巧的过程，因此在习题解答过程中，
λ0 应为多少？
dI ( z ) 1 × 的定义，可以得到： dz I (z )
案 网
W21 = B21 ρ γ ，则可以推导出以下公式：
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8πhγ 3 A21 = 和受激辐射跃迁几率公式 B21 c3
ργ 1 1 ⇒ = =n hγ hγ 8πhγ 3 −1 −1 exp exp k bT k bT c3