河南省全国高中数学联赛高二预赛试题及答案
2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题答案
20120122年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题参考答案1.解:327766373636=××+++C C C .填:327.2.解:设其中两段长分别为y x ,,则第三段长为y x −−3,将长为3cm 的线段任意截成三段,可以用点(y x ,)来表示,实验的全部结果所构成的区域为}330,30,30),{(<−−<<<<<=Ωy x y x y x ,面积29=ΩS ,设三段能够组成三角形为事件A,则事件A 所构成的区域为:}3,3,3,330,30,30),{(x y x y y y x x y x y x y x y x y x A >−−+>−−+−−>+<−−<<<<<=面积89=A S ,所以这三段能够组成三角形的概率41)(==ΩS S A P A .填:41.3.解:2===MC MB MA ,所以M 在面ABC 上的射影O 为ABC 的外心,由32,2,22===BC AC AB 知,222BC AC AB =+,即ABC ∆是以A 直角顶点的直角三角形,所以O 是BC 的中点,MO 为所求,122=−=OC MC MO .填:1.4.解:原式可化为o 10tan 322tan2tan1=−αα,两边平方得o 10tan 3222cos2sin 2sin 2cos=−+αααα，o 10tan 322sin 2+=α,oo o o o o o oo o o 50sin 40cos 80sin 40cos 10cos 40sin 210cos 10sin 310cos 10cos 10tan 311sin ====+=+=α.填:o 50.5.解:不妨设d c b a <<<,由图像可知,当40≤<x 时,根据)()(b f a f =可得1=ab ,当4>x 时,根据)()(d f c f =可得12=+d c ,且54<<c ,所以abcd 36)6()12(2+−−=−==c c c cd ,当54<<c 时,3532<<abcd .填:)35,32(.6.解:设数列{}n a 的公比为q ()0>q ,8221234=−−+a a a a 可化为8)2(2122122=+−+a a q a q a ,8)1)(2(212=−+q a a ,182212−=+q a a ,且1>q ,令12−=q t ,则0,12>+=t t q .782a a +=61622q a q a +=t t q q q a a 326612)1(818)2(+=−=+=)133(82t t t +++.设)(t f =)133(82t t t +++,则=)(/t f ))12()1((8)132(8132(8222232tt t t t t t t −+=−+=−+.所以)(t f 在)21,0(上是减函数,在),21(+∞是增函数.54)21()(min ==f t f .填:54.7.解:设长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,且c b a ≤≤,则从A 出发沿长方体的表面到达顶点1C 的最短距离为22)(c b a ++=6,于是36)(22=++c b a ,因为322222222243222)(c b a c ab ab c ab b a c b a ≥++≥+++=++.所以3222124≤c b a ,因此长方体的体积V =312≤abc ,当22,c ab b a ==即32,6,6===c b a 时,等号成立.填:312.8.解:当122+<≤k kx 时,[]k x =2log ,因为204822012210241110=<<=,所以[]1024log 2+[]1025log 2+…+[]2012log 2=9890)10232012(10=−×.[]1log 2+[]2log 2+[]3log 2+…+[]1024log 2=32232221×+×+×+…+929×,设S =32232221×+×+×+…+929×，则2S =432232221×+×+×+…+1029×,32222++=−S +…+921029×−=81942282922101010−=−×−=×−−,8194=S .所以原式=8194+9890=18084.填:18084.二.解:(1)取AB 的中点O ,连接,EO CO .因为2AE EB AB ===∵，所以三角形AEB ∴△为等腰直角三角形,,1EO AB EO ∴⊥=.又,60AB BC ABC =∠=�∵,所以三角形ACB ∴△是等边三角形.CO ∴=,又2,EC =222EC EO CO ∴=+,EO CO ∴⊥EO ABCD ∴⊥平面,又EO EAB ⊂平面,∴平面EAB ⊥平面ABCD .…………………4分(2)以AB 中点O 为坐标原点,以OC 所在直线为x 轴,以OB 所在直线为y 轴,OE 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.则(0,1,0),2,0),(0,0,1)A C D E −−，)0,2,0(),1,0,3(),0,1,3(=−==,.………8分设平面DCE 的法向量),,(z y x =.⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，即⎩⎨⎧==−0203y z x ,令1=x ,则3=z ,所以)3,0,1(=n .设平面EAC 的法向量=),,(c b a .⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00,即⎩⎨⎧=−=+0303c a b a ,令1=a ,则3,3=−=c b ，m =)3,3,1(− (12)分772,cos ==〉〈n m .所以二面角A EC D −−的余弦值为7.………………………16分三.解:(1)令)(x h =22)1ln(+−+x x x ,22/)2)(1()(x x x x h ++=,…………………5分当0>x 时,0)(/>x h ,所以)(x h 在()+∞,0是增函数,0)0()(=>h x h ,022)1ln(>+−+x xx ,即22)1ln(+>+x x x ,因为0>x ,所以22)1ln(+>+x x x .因此22)(+>x x f .………………………10分(2)解法一:x kxx f ++<11)(可化为0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .令2)1ln()1()(kx x x x x g −−++=，则kx x x g 2)1ln()(/−+=，k xx g 211)(//−+=.当0>x 时,1110<+<x,令12≥k ,则0)(//<x g ,)(/x g 在),0(+∞是减函数,0)0()(//=<g x g ,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=<g x g ,…………………15分所以当21≥k 时,对于0>x ,有0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .当01<<−x 时,111>+x,令12≤k ,则0)(//>x g ,)(/x g 在)0,1(−是增函数,0)0()(//=<g x g ,所以)(x g 在)0,1(−是减函数,因此0)0()(=>g x g .所以当21≤k 时,对于01<<−x ,有0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .因此,当21=k 时,在1−>x 且0≠x 时,有xkx x f ++<11)(成立.………………20分解法二:x kxx f ++<11)(可化为01)1(ln(12<++−+xx kx x x .令=)(x g x x kx x ++−+1)1ln(2,则2/)1()12()(x k kx x x g +−+−=当⎩⎨⎧≥−≥0120k k ,即21≥k 时,在),0(+∞上有0)(/<x g 成立,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=<g x g ,所以xkxx f ++<11)(.………………………15分当⎩⎨⎧≤−≤−+−012012k k k ,即21≤k 时,在)0,1(−上有0)(/<x g 成立,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=>g x g ,所以xkxx f ++<11)(.因此,当21=k 时,在1−>x 且0≠x 时,有xkx x f ++<11)(成立.……………20分四.解:(1))21)(2()21()2(222121112111++−++=++++=+++=+=++n nn n n n n n x x x x x x x a =n n a x 2121211212121211+−++=++−++.…………………5分)221(21212211−+−=−+n n a a ,又44232212112211−=−+=−a .所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧−221n a 是以4423−为首项,2121+−为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式得:1)2121(4423221−+−−=−n n a ,即1)2121(4423221−+−−+=n n a .…………………………………10分(2)因为1211)12(2211−<+−=−−=++n n n n n x x x b b ,所以n n b )12(−<,……………………………………………………15分所以++=21b b S n …nb +()()+−+−<21212…()n12−+=()2222121212212=−−<⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−n .……………………………20分五.解:设点),(n m P ,),(11y x A ,),(22y x B ,则切线PA :1411=+y y x x ,PB :1422=+y y xx ,因为切线PB PA ,都过点P ,所以有1411=+n y m x 和1422=+n y mx 同时成立,于是直线AB 的方程:14=+ny mx..………………………………………………………5分联立直线AB 和椭圆组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+141422ny x my x ,消去y 得：0)1616(8)4(2222=−+−+n mx x m n 所以222148m n mx x +=+,2222141616mn n x x +−=,)44(64)1616)(4(4642222222−+=−+−=∆n m n n m n m .又根据14=+ny mx得:)4(444442222121m n m n mx n mx y y +−=−⋅−=,2222121484)(2)(m n n x x m n y y +=+−=+.………10分于是22121221212211)()(),(),(nn y y y y m m x x x x n y m x n y m x ++−+++−=−−⋅−−=⋅=6432022222−+++−n m mn m .………………………15分因为1622=+n m ,所以2216n m −=,代入上式得:⋅=11163442+−n ,又因为1602≤≤n ，所以16,022==m n ，即点)0,4(±P 时,⋅有最小值433,当0,1622==m n ,即点)4,0(±P 时,⋅有最大值16165.………………………20分。
2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛_高二试题
2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛（髙二）一.填空题(每小题8分,共64分)1.若实数,x y 满足22254x xy y -+=,则22x y +的取值范围是 .2.甲乙两人各自独立地抛掷一枚质地均匀的硬币,甲抛10次,乙抛11次则乙出现正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多的概率为 .3.在ABC △中,2,1,AB AC BC ===O 为ABC △的外心,且OA AB AC λμ=+.则λμ+= .4.已知函数()321132f x x bx cx d =+++在区间()0,2内既有极大值又有极小值.则224b c c c ++的取值范围是 .5.集合{}1,2,,2016的元素和为奇数的非空子集的个数为. 6定义数列{}:n n a a 为12n +++的末位数字,n S 为数列{}n a 的前n 项之和,则2016S = .7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,过点1F 作圆222x y a +=的切线,与双曲线的右支交于点P ,且1245F PF ∠=.则双曲线的离心率为 .8.过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面,且使截面与底面BCD 所成的角为75.这样的截面共可作出 个. 二,(16分)已知实数,x y 满足2349x y x y +=+.试求827x y U =+的取值范围. 三,(20分)如图所示,,AP AQ 为O 的切线,,P Q 为切点,M 为线段PQ 的中点,AKL 为一条割线,直线l AQ ,l 与,,QK QP QL 分别交于,,X Y Z 三点,证明：(1)2·PM KM ML =；(2)XY YZ =.四,(20分)如图所示,已知,A B 为椭圆22:1259x y Γ+=的左,右顶点,直线l 与椭圆Γ交于点,M N .设,AM BN 的斜率分别为12,k k ,且12:1:9k k =.(1)证明:直线l 过定点；(2)记,AMN BMN 的面积分别为12,S S ,求12S S -的最大值.五,(20分)定义数列{}n a :121,4a a ==,)2n a n =≥.证明:(1){}n a 为整数数列;(2)()1211n n a a n ++≥为完全平方数.。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)加试参考答案与评分标准(A卷)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。
2017年全国高中数学联赛河南赛区预赛(高二)
证明： （ １ ）
Ⅱｎ
一
一 ＜ ；
１ Ⅱｎ ｎ
的距离相等． 则 Ｍ 到点 ｃ 的距离 的最小 值为
５ ． 设 、 Ｂ为 椭 圆 ＋３ ｙ ＝１上 的两 个 动点 ， 且 Ｏ Ａ上 Ｏ Ｂ（ ０为坐标 原点 ） ． 则Ｉ Ａ Ｂ Ｉ
（ ２ ） 口 ＜ｎ （ ｎ∈ Ｚ＋ ） ；
对端点．
（ １ ） 证明： 线段 的 中点 为 双 曲线 的
中心 ；
（ ２ ） 求双 曲线 在 点 、 Ａ 处 的切 线 与直
线 的夹 角 的 大小 ．
四、 （ ２ ０分 ） 已知数列 ｛ ｝ 满足 ：
１ ｌ ，
ｎ
Ⅱ ０ Ｓ－ ， ｎｎ ｎｎ 一 １＋－ ｓａ 一 １ ・
１ ． 设 实数 、 Ｙ满 足 ４ ｘ 一５ ｘ ｙ＋４ ＝５ ．
二 、 （ １ ６ 分 ） 设一 詈 ≤ ≤ ， 且 方 程
Ｃ Ｏ Ｓ ２ ｘ 一４ ａｃ ｏ ｓ 一 ＋ ２ ＝０
若Ｓ ＝ ＋ ， 记 Ｓ的最大值 、 最小值分别 为 Ｐ 、
棚 ｕ ｐ ＋ 寺 ｇ ＝
２ ０ １ ８年第 ７期
２ ３
２ ０ １ ７年全 国高 中数学 联赛 河南赛 区预赛 （ 高二 ）
中图分类号 ： Ｇ ４ ２ ４ ． ７ ９ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ５—６ ４ １ ６ （ ２ ０ １ ８ ） ０ ７— ０ ０ ２ ３—０ ４
一
、
填空题 （ 每小题 ８分 ， 共６ ４分 ）
６ ． ９ ８１ ．
３ ． ２ 。 —１
该数列的项即 为∑ ３ ， 其中，
ｉ＝０
．
对 于集合 ｛ ２ ， ３ ， …， ２ ０ １ ７ ｝ ， 共 有 非 空真 子集 ２ 仇 一１个 ， 设 其 中平 凡 集 ｍ 个 ， 其 他 ２ ｍ 一 １ 一 ｍ个． 则集合 的所 有真子集 中平
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=πR3（R为球的半径）。
一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为。
则集合M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A． B． C．1 D．2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。
则四面体ABCD的体积等于A． B． C． D．3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。
若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90 B．100 C．110 D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8 B．9 C．10 D．116．设0<x<1, a,b为正常数。
则的最小值是A．4ab B．(a+b)2 C．(a-b)2 D．2(a2+b2)7．设a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。
则a2+b2的最大值是A．1 B．2 C．2006 D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。
2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛_高二
２
－
（
４
０
）
．
则
Ｓ
ＰＬＫ Ｃ＾ Ａ ＭＱ Ｋ
＞ ＰＬ
－
ＱＫ
＝
ＬＫ
－
ＭＱ Ｓ
．
－
－
ｌ
故
，
ＰＫ ＬＱ
．
＝
ＰＬ Ｑ Ｋ
．
＾
＾
，
ＰＫ ＰＬ
．
／ｔ ｎ
３
（
Ｈ
，
：
①
＝
Ｚ 、 Ｆ 、Ｚ 三 点
）
证明
；
：
中
，
（
ｌ
ＰＭ
２
＝
ＫＭ ＭＬ
－
．
在
４５
＝
２
，
４ Ｃ ＝ １
＝
，
５Ｃ
／
＝
Ｗ
，
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河南省2020年全国高中数学联合竞赛预赛试题(河南卷)
2020年全国高中数学联赛河南省预赛试题本试卷满分140分一、填空题（满分64分）1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被3整除，则不用的取法种数为_________________.2、将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________.3、在ABC ∆中，26CB ππ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的距离为22，则点M 到面ABC 的距离为_________________.4、若锐角α满足23tan10tan2tan2oαα=+，则角α的度数为_________________.5、函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是_________________.6、各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为_________________.7、一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D -顶点A 出发，沿着长方体的表面达到顶点1C 的最短距离为6，则长方体的体积最大值为______________. 8、[]x 表示不超过实数x的最大整数，则[][][][]2222log 1log 2log 3log 2012_________.++++=L二、（本题满分16分）如图，已知四棱锥E ABCD-的地面为菱形，且3ABC π∠=,2AB EC ==,2AE BE ==.（1）求证：平面EAB ABCD ⊥平面；（2）求二面角A EC D --的余弦值. 三、（本题满分20分）已知函数ln(1)()x f x x+=（1）当时0x >，求证：（2）当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kxf x x+<+成立，求实数的值.四、（本题满分20分）数列{}n x 中，11x =且1111n n x x +=++（1）设na =，求数列{}n a 的通项公式.（2）设n n b x =-，数列{}n b 的前n 项的和为n S，证明：2n S <.五、（本题满分20分） 已知椭圆2214x y +=，P 是圆2216x y +=上任意一点，过P 点作椭圆的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，求PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值和最小值.2020年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一、选择题(满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分)2+x x ＞01.｛5 x=0 则f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为2xx ＜0（A ） 8. （B ） 11. （C ）13·1/4 （D ）15·1/22. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax²+bx+c 的不同的两个根，则a 、b 、c 之间的关系是(A) b²=a²-4ac (B) b²=a²+4ac (C) b²=a²-2ac (D) b²=a²+2ac3.定义域为R 的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x ∈[0,2]时，f(x)=x ²-2x ，则f(x)在x ∈[-4,-2]上的最小值为（A）-1/9 （B）-1/3 （C）1/3 （D）1/94. 定义在正整数集Z+上的函数f,对于每一个n∈Z+和无理数π=3.14159265358...满足f(n)= { k²的末位数字, (π的小数点后第n位数字k≠0)3 (π的小数点后第n位数字k=0)若函数f(f(n)的值域记为M ，则A 1MB 5MC 6MD 9M5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，以C为圆心，CB为半径作圆交AB边于M，交AC边于N，P为CM与BN的交点，若AN=1，则S△CPN-S△BPM等于（A）1/8 （B）√3/8 (C)1/4 (D) √3/46.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当x∈(-1,0)时，f(x)＞0，若P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0)；则P，Q，R的大小关系为（A）R＞P＞Q. (B)R＞Q＞P. (C)P＞R＞Q. (D)Q＞P＞R.二、填空题(满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方)1、求log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值2. 已知f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值3.若[x]表示不超过x的最大整数，求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2020的自然数n的值4、如图,半径为1的两个等圆相交，在圆的公共部分作一内接正方形ABCD。
2006年全国高中数学联赛河南省预赛(高二)
（ ） 菱形 Ａ Ｃ） 积 的最 ｆ ． ２求 Ｂ１ ｌ ｌ ｆ 六 、２ （０分 ） 没 个 Ｉ 实数 、 、 试 求 Ｅ Ｙ ．
６ Ａ． ．
ｑ只能取 ４ ． Ｐ＝３ ０当 ｋ时 ＇Ｊ 『只能等＝ ， ｒ３ 符合要
求 ； Ｐ＝３ 当 ｋ＋ｌ ， 时 Ｐ＋ｌ 足质 数； ， ３ ４不 当 ｋ＋２
（ 柏 Ａ） （ ）４ Ｂ４ （ ７ Ｃ）４ （ ）６ Ｄ８
四 、２ ） （０分 已知椭 圆 ｃ： ＋ｙ ＝Ｉ及定
’
Ｉ
二、 填空题（ 每小题 ５ ， ３ 分） 分 共 ０
点 Ｐ ｔ ）ｔ ０ ， （。 （ ＞ ）斜率为 ０ ｛的直线 ｚ 经过点
‘
Ｂ。 １直线 ｊ ． 过抛物线 ｙ ＝ｎ ＋１（ ＞ ） Ｐ并与椭 圆 Ｃ交于不同的两点 Ａ、 且对于 （ ）ｔ ０ ｒ ／ 都存在 ∈［ ，， ， ０ ２ ］使得 ｃ 的焦点 ， 并且与 轴垂直 ． Ｚ 若 被抛物线截得 椭圆上任意一点 ， 的线段长为４ 则 ｎ — — ． ， ＝ Ｏ ＝ Ｏ ・ Ａ＋ ｉ ・ ８成立 ． Ｍ ＣＳ Ｏ ｓ ０ ｎ 试求出满
三 、２ （０分 ） 图 Ｉ 如 ， 在矩 形 Ａ Ｃ 中 ， Ｂ ＝ ＢＤ Ａ √ ， Ｃ＝ ｎ． ３Ｂ 又
面 Ａ Ｃ Ｐ ４ Ｂ Ｄ， Ａ ．
３ 数列 ｛ Ｉ１ 栩邻 两项 ｎ ｆ 是方 ． Ｉ， ｌ ｌ
程 ＋３ ＋ｂ ：０的两 根 ， 知 ⅡＩ 一１． 删 已 Ｉ ｌ ＝ ７
龊 ３ 已知数 列 ｛ 满 足 ： ． 仃｝
ｎ ＝３ ｎ ＋ ＝Ｅ ｎ＋Ｉ ｎ ＋Ｉ ｌ ， ｌ ｌ 一（ ２ ） ．
’
则数列 ｛ ｝ 的前 ｎ项和等于— — 一 ． ４边长为整数 且面积（ ． 的数值） 等于周长 的直角三角形的个数为… ．
年全国高中数学联赛河南省预赛高二
m n 10 x b ( a -2006 年全国高中数学联赛河南省预赛(高二)一、选择题(每小题 5 分 ,共 30 分)1. 已知关于 x 的方程| x | = ax + 1 有一 值是 .3. 已知数列{ a n }满足 :个负根而且没有正根. 则实数 a 的取值范围a 1 = 3 , an + 1 = a 2- ( n + 1) a n + 1.是() . (A ) { a | a ≥1}(B ) { a | a ≥1 或 a ≤- 1} (C ) { a | a < - 1 或 a > 1} 则数列{ a n }的前 n 项和等于 .4. 边长为整数且面积(的数值) 等于周长的直角三角形的个数为.x2y2(D ) { a | 0 < a < 1}5. 过椭圆62+ 22 = 1 的一个焦点 F 作弦 2. 当θ取遍全体实数时 ,直线 AB . 若| A F | = m , | B F | = n , 则 1 + 1 =n x cos θ+ y sin θ= 4 + 2sin θ+π4 ()1 x2 x 5 x所围成的图形的面积是 .6. 设 t = 2 + 3 + 6. 则关于(A )π (B ) 4π (C ) 9π(D ) 16π3. 数列{ a n } 中 , 相邻两项 a n 、a n + 1 是方程 x 2+ 3 nx + b = 0 的两根 ,已知 a = - 17. 则 b 51 的值等于( ) .(A ) 5 800 (B ) 5 840 (C ) 5 860 (D ) 6 000 4. 已知 a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数 , 且 ( a + c ) ( a + d ) = 1 , ( b + c ) ( b + d ) = 1. 则( a + c ) ( b + c ) 的值等于( ) .(A ) 2(B ) 1(C ) 0 (D ) - 15. 设函数 f ( x ) = x 2+ 6 x + 8. 如果 f ( bx + c ) = 4 x 2+ 16 x + 15 ,那么 , c - 2 b = () .(A ) 3(B ) 7(C ) - 3(D ) - 7x 的方程( t - 1) ( t - 2) ( t - 3) = 0 的所有实数解之和等于 .三、( 20 分) 如图 1 , 在矩形 ABCD 中 , AB =3 , BC = a . 又 PA ⊥ 平面 ABCD , PA = 4.(1) 若在边 BC 上存在一点 Q ,使 PQ ⊥QD ,图 1 求 a 的取值范围 ;(2) 当 BC 上存在唯一点 Q ,使 PQ ⊥QD 时 ,求异面直线 AQ 与 PD 所成的角 ;(3) 若 a = 4 ,且 PQ ⊥QD ,求二面角 A - PD - Q 的大小.6. 已知 p 、p + 14 、p + q 都是质数 ,并且p 有唯一的值和它对应. 则 q 只能取() . (A ) 40 (B ) 44 (C ) 74 (D ) 862四、(20 分) 已知椭圆 C : 4+ y 点 P ( t ,0) ( t > 0) , 1= 1 及定l 经过点二、填空题(每小题 5 分 ,共 30 分)1. 直线 l 过抛物线 y 2= a ( x + 1) ( a > 0) 的焦点 ,并且与 x 轴垂直. 若 l 被抛物线截得的线段长为 4 ,则 a = .斜率为 2的直线P 并与椭圆 C 交于不同的两点 A 、B ,且对于椭圆上任意一点 M ,都存在θ∈[ 0 ,2π] ,使得 OM = cos θ·OA + sin θ·OB 成立. 试求出满2. 设 a > b > 0. 则 a 4+32的最小 足条件的实数 t 的值.n . 2a 2 +b 2 x + 2 y + z2n2 2 2 2 n + 1 五、( 20 分) 已知菱形 ABCD 是椭圆 C :x 2y2a 2 + b2 = 1 ( a > b > 0) 的内接四边形. (1) 求证 :1 + 1 为定值 ; OA OB(2) 求菱形 ABCD 面积的最值. 六、(20 分) 设三个正实数 x 、y 、z . 试求3代数式16 x + 9 2 xy + 9 3 xyz 的最大值.参 考 答 案c - 2 b = - 3.6. A.q 只能取 40. 当 p = 3 k 时 , p 只能等于 3 ,符合要求 ;当 p = 3 k + 1 时 , p + 14 不是质数 ; 当 p = 3 k + 2 时 , p + 40 不是质数.二、1. 4.因抛物线 y 2 = a ( x + 1) 与抛物线 y 2 = ax 具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长 ,故可用标准方程y 2= ax 替换一般方程 y 2 = a ( x + 1) 求解 ,而 a 值不变.由通径长公式得 a = 4.2. 48.a 4 +32 ≥a 4 + 32 = a 4 + 128一、1. A.利用数形结合 ,易得实数 a 的取值范围.b ( a - b ) ( b + a - b ) 2a 242. D.直线方程可变为( x - 1) cos θ+ ( y - 1) sin θ= 4. 于是 ,点 A (1 ,1) 到直线的距离为d =4= 4. cos 2θ+ sin 2θ= a 4 + 64 + 64 ≥3 3 212= 48 ( a = 2 时取等号) .aa3.n ( n + 5) .2利用归纳可得 a n = n + 2. 则有a = ( n + 2) 2- ( n + 1) ( n + 2) + 1 = n + 3 ,所以 ,当θ∈R 时 ,直线x cos θ+ y sin θ= 4 + 2sin θ+π4并且 a 1 = 3 = 1 + 2 满足条件. 所以 , a n = n + 2.从而 ,数列{ a n }的前 n 项和为所围成的图形是以点 A 为圆心、4 为半径的圆.3. B.因为 a n + a n + 1 = - 3 n ,则a n + 2 - a n = ( a n + 2 + a n + 1 ) - ( a n + 1 + a n )= - 3 ( n + 1) - ( - 3 n ) = - 3.所以 , a 1 , a 3 , , a 2 n + 1 和 a 2 , a 4 , , a 2 n 都是公S = 3 + 4 ++ ( n + 2) = n ( n + 5).24. 2.设直角三角形的三边长分别为 a 、b 和 c =( a ≤b ) ,则有1ab = a + b + a 2 + b 2 .2差为 - 3 的等差数列. 故a 52 = a 10 + 21 ×( - 3) = - 80 , a 51 = a 11 + 20 ×( - 3) .又 a 10 + a 11 = - 30 , 所 以 , a 11 = - 13. 故 a 51 = - 73 , b 51 = a 51 a 52 = 5 840.4. D.由题意得a 2 + ( c + d ) a + cd - 1 = 0 ,b 2 + (c +d ) b + cd - 1 = 0.则 a 、b 是方程 x 2 + ( c + d ) x + cd - 1 = 0 的两根. 于是 ,有所 以 , 1 ab - a - b = a 2 + b 2 .两边平方并整理得ab - 4 a - 4 b + 8 = 0.则 ( a - 4) ( b - 4) = 8.因为 a 、b 都是正整数 ,所以 ,当 a = 5 时 , b = 12 ;当 a = 6 时 , b = 8.故满足题意的三角形有 2 个.5. 3.如图2 ,作 AA 1 垂直准线于点 A 1 ,AE ⊥x 轴于点 E .a +b = - (c +d ) , ab = cd - 1.所 以 , ( a + c ) ( b + c ) = ab + ( a + b ) c + c 2 .因为c= e = | FA || AA 1 |故 ( a + c ) ( b + c ) = - 1.5. C.取 x = - 2 , 有 f ( c - 2 b ) = 16 - 16 ×2 + 15 = - 1. 而当 x 2 + 6 x + 8 = - 1 时 ,有 x = - 3. 所以 ,= | FA | | DF | + | FE |=m,图 2b2m cos α+ ca36 SA 2 + AC 2 19 3 + (4 - t ) 2m n2. 5 7或 146 所以 , 1 同理 , 1 a - c cos α b2 . = a + c cos αbNQ =则 cos ∠MNQ = MN NQ.=4(4 - t ) . 19 + t 2 × 1 m6. 4.+1 n=2 a= 3. b2x2 x5 x由式 ①得 t = 1 或 t = 3.当 t = 1 时 ,cos ∠MNQ =15; 定义 : f ( x ) = +3 +6.xxx当 t = 3 时 ,cos ∠MNQ = 7 . 变形为 f ( x ) + 4 6+ 5 .6故二面角 A - PD - Q 的大小为易发现函数 f ( x ) = 3x 4 + 6x 5x+ 6arccos15arccos 57 .7 是定义在实数集上的减函数.又因为 f (3) = 1 , f (1) = 2 , f (0) = 3 ,从而 ,关于 x 的方程( t - 1) ( t - 2) ( t - 3) = 0 的解分别是 0 、1 、3.三、(1) 设 BQ = t ,则四、设点 M ( x , y ) 及点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) . 直线 AB 的方程为 x - 2 y - t = 0.联立方程可得2 x 2 - 2 tx + t 2 - 4 = 0 和 8 y 2 + 4 ty + t 2 - 4 = 0.PQ 2 = 19 + t 2 , QD 2 = 3 + ( a - t ) 2, PD 2 = 16 + a 2 .所以 , x 1 x 2 = t 2 - 42 和 y 1 y 2 = t 2 - 4 8. 由 PQ ⊥QD , 得 19 + t 2 + 3 + ( a - t ) 2= 16 + a 2 , 即 t 2 - at + 3 = 0.①由Δ = a 2 - 12 ≥0 ,解得 a ≥2 3 .(2) 因为 BC 上存在唯一点 Q ,使 PQ ⊥QD .由Δ = a 2 - 12 = 0 ,解得 a = 2 , t = 3 .由 OM = cos θ·OA + sin θ·OB ,可得 x = x 1 cos θ+ x 2 sin θ,y = y 1 cos θ+ y 2 sin θ.利用 4 = x 2 + 4 y 2= ( x 1 cos θ+ x 2 sin θ) 2 + 4 ( y 1 cos θ+ y 2 sin θ) 2 = ( x 2 + 4 y 2 ) cos 2θ+ ( x 2 + 4 y 2 ) sin 2θ+1122故 Q 是 BC 的中点.如图 1 ,取 AD 的中点 R , PA 的中点 S ,联结 RS 、RC . 有 RS ∥PD , RC ∥AQ . 则 ∠SRC 就是异面直线 AQ 与 PD 所成的角.2sin θ·cos θ·( x 1 x 2 + 4 y 1 y 2 ) = 4 (cos 2θ+ sin 2θ) + 2sin θ·cosθ· ( x 1 x 2 + 4 y 1 y 2 ) ,可得 2sin θ·cos θ·( x 1 x 2 + 4 y 1 y 2 ) = 0. RS = 12PD = , RC = AQ = ,又因为θ∈[ 0 ,2π]的任意性 ,知 t 2 - 4t 2 - 42SC == ,x 1 x 2 + 4 y 1 y 2 =2+ 4 ×8= t- 4 = 0.所以 ,cos ∠SRC =RS 2 + RC 2 - SC 22 RS ·RC= - 42. 14解得 t = 2.代入检验 ,满足条件.故异面直线 AQ 与 PD 所成角为 arccos42 . (3) 过点 Q 作 QM ∥CD 交 AD 于点 M ,则 QM ⊥AD , AM = t .因 PA ⊥平面 ABCD ,则 PA ⊥QM . 又 QM ⊥AD ,则 QM ⊥平面 PAD . 过点 M 作 MN ⊥PD 于点 N ,联结 NQ . 由三垂线定理知 QN ⊥PD .故 ∠MNQ 是二面角 A - PD - Q 的平面角.故满足条件的实数 t 的值是 2. 五、( 1 ) 如图 3 , 在菱形 ABCD 中 , 设OA = m , OB = n ,∠AOx = α. 则 点A ( m cos α, m sin α) , B ( - n sin α, n cos α) . 又因为点 A 和点 B 都在椭圆 C 上 ,则有 图 3m 2 cos 2α m 2 sin 2αMNMD 4 - ta2+b2= 1.在 Rt △PAD 中 ,由 PA = PD ,有 MN = 2.从而 , m 2 =1 .NQ DQcos 2α sin 2α12= 367 19 + t 2× 3 + (4 - t ) 2 4 2= 故又在 Rt △PQD 中 , 由PQ = PD,有a 2 +b 24x又 2 2 2第 17 届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第 一 试一、选择题(每小题 4 分 ,共 40 分)1. 设 S = { ( x , y ) | xy > 0} , T = { ( x , y ) |x > 0 且 y > 0} . 则() .( ) . (A ) b = 0 (B ) c = 0 (C ) d = 0(D ) b = d = 06. 若 △ABC 的三边长依次为 a = sin 3,(A ) S ∪T = S (B ) S ∪T = T b = cos 34, c = 1 ,则 ∠A 、∠B 、∠C 的大小顺 (C ) S ∩T = S (D ) S ∩T = Ø2. 若 f ( x ) =1的定义域为 A , g ( x ) = f ( x + 1) - f ( x ) 的定义域为 B ,则() . 序为( ) .(A ) ∠A < ∠B < ∠C (B ) ∠B < ∠A < ∠C (A ) A ∪B = R (B) A ‰ B (C) ∠C < ∠B < ∠A(D) ∠C < ∠A < ∠B(C ) A Α B (D ) A ∩B = Ø3. 已知 tan α> 1 ,且 sin α+ cos α< 0. 则() .(A ) c os α> 0 (B ) cos α< 0(C ) cos α= 0 (D ) cos α的符号不确定 4. 设 a > 0 , a ≠1. 若 y = a x的反函数的7. 若实数 x 满足 log 2 x = 3 + 2cos θ,则 | x - 2| + | x - 33| 等 于() .(A ) 35 - 2 x (B ) 31(C ) 2 x - 35(D ) 2 x - 35 或 35 - 2 x8. 区间[ 0 , m ]在映射 f : x →2 x + m 所得的像集区间为[ a , b ] . 若区间[ a , b ] 的长度图像经过点 2 , - 1, 则 a = () . 比区间[ 0 , m ]的长度大 5 ,则 m = () . 24(A ) 5 (B ) 10 (C ) 215 (D ) 1(A ) 16(B ) 4(C ) 2(D ) 25. 已知 a ≠0. 函数 f ( x ) = ax 3+ bx 2+ cx + d 的图像关于原点对称的充要条件是9. 设数列{ a n } ( a n > 0) 的前 n 项和是S n ,且 a n 与 2 的算术平均值等于 S n 与 2 的几何平均值. 则{ a n }的通项为( ) .同理 ,2= 1. 4 a 2 b 2n cos 2α b2 + sin 2αa 2a 2 + b2和 2 ab .故1 +1= 1 + 1 .六、因x + 2 y + zm 2 n2 1 1 a2 b 21 1 1 1216 x +9x ·18 y +3x ·18 y ·36 z(2) m2 + n2 = a2 + 2 ≥2bm 2 ×n 2 = mn . =3 2x + 2 y + z1m 2 n 2 cos 2αa2 + sin 2αb 2 cos 2α b2 + sin 2α a 2 16 x +3 ( x + 18 y ) + 2 x + 18 y + 36 z2≥ cos α+ sin α= 1 ,≤x + 2 y + z = 18 ,故当且仅当 x ∶y ∶z = 36∶2∶1 时 ,等号成立.ababa 2b 2(杨英辉 提供)316 x + 9 2 xy + 93 xyz 3。
2021年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题及答案
2021年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（）a、一个点到平面上一个固定点的距离等于到一条固定线的距离的点的轨迹是一条抛物线。
B.到平面上两个固定点的距离等于到固定长度的距离之和的点的轨迹是椭圆c．在平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线d．在平面内到一定点距离等于定长（不等于零）的点的轨迹是圆2.如果椭圆的中心位于原点，焦距为4，准直线为x=3，则双曲方程为（）a.b.c.d3．双曲线上的一点p到它一个焦点的距离为4，则点p到另一焦点的距离是（）a．2b.10c.10或2d.144．直线与圆的位置关系是（a．相交且过圆心）d.相离b、相交，但不是中心C切线5．如右图所示的不等式的区域为（）a．b。
c．d．6.椭圆，点m在椭圆上，等于-2，那么△ f1mf2等于（a.1b.C.2d7．已知对称中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线为，则此双曲线的离心率为（a．b.c.或d.8.如果直线与抛物线在两点相交，则△ （a）是直角三角形，C是钝角三角形)））b、这是一个锐角三角形D。
前三种形状是可能的二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．9.抛物线x2=-y的焦点是___，对齐是________10．过双曲线的右焦点，且倾斜角为45°的直线交双曲线于点a、b，则|ab|=______.11．过点（0,4）可作__________条直线与双曲线有且只有一个公共点.12.已知f是抛物线y2=4x的焦点，通过抛物线上的点m作为其准直线的垂直线，垂直底脚为n。
如果线段直径为NF的圆C刚好通过点m，则圆的标准方程式为________13．如图，过椭圆c：的左顶点a且斜率为k的直线交椭圆c于另一个点b，且点b在x轴上的射影恰好为右焦点f，若，则椭圆离心率的取值范围是____________.xkb1三、答：这个主要问题有三个小问题，总共35分。
2007年全国高中数学联赛河南省预赛高二
设点 P 离最小 . 则
b d=
2
2
, b 到直线 x + y + 1 = 0 的距
2
+ b+1 2
≥ 2. 4
显然 , AC 的中点为
M
8.
- 2,-
6+ 2 . 2
原式可变形为 sin x +
π M = , 利用其 3 2
1 3 . 可设 , 4 4 O (1 , y ) . 5 1 × 4 2
5. 直角三角形的三个内角的正弦值成等 ). 比 . 则该三角形的最小角等于 ( (A) arcsin ( C) arcsin 5- 1 2 5 +1 4 (B) arccos (D) arccos 5- 1 2 5 +1 4
6. 在正 2 008 边形中 , 与所有边均不平 ). 行的对角线的条数为 ( (A) 2 008 ( C) 1 0042 - 1 004 (B) 1 0042 (D) 1 0042 - 1 003
). f k + 1 ( n ) = f ( f k ( n) ) ( k = 1 ,2 , … ). 则 f 2 007 ( 2 007) = ( (A) 20 (B) 4 ( C) 145 (D) 42 3. 在 △ABC 中 , ∠A 、 ∠B 、 ∠C 的对边
二、 填空题 ( 每小题 5 分 ,共 30 分) 2 7. 抛物线 y = 2 x 上一点到直线 x + y + 1 = 0 的距离的最小值为 . π 8. 已知方程 sin x + 3cos x = M 在 ≤x 4 π 5 ≤ 上有两个不同的解 . 则 M 的取值范围是 4 . 9. 设 O ( 0 ,0 ) 、 A ( 1 ,0 ) 、 B ( 0 ,1) , P 是线 段 AB 上的一个动点 , AP = λAB . 若 OP・ AB ≥PA ・ PB , 则实数 λ的取值范围是 . 10. 已知 n 是整数 ,且方程 ( n + 1) 2 x2 - 5 n ( n + 1) x + (6 n2 - n - 1) = 0 ( n ≠- 1) 有两个整数根 . 则 n = .
高中数学联赛河南赛区预赛试卷 试题(共5页)
2021年全国高中数学联赛(liánsài)预赛试题本套试卷满分是140分一、填空题〔满分是64分〕1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和可以被3整除，那么不用的取法种数为_________________.2、将长为的线段任意截成三段，那么这三段可以组成三角形的概率为_________________.3、在中，，，为中点，将沿折起，使之间的间隔为，那么点M到面的间隔为_________________.4、假设锐角满足，那么角 的度数为_________________.5、函数，假设互不一样，且，那么的取值范围是_________________.6、各项均为正数的等比数列中，，那么的最小值为_________________.7、一只蚂蚁由长方体顶点出发，沿着长方体的外表到达顶点的最短间隔为6，那么长方体的体积最大值为______________.8、表示不超过实数的最大整数，那么二、〔此题满分(mǎn fēn)是16分〕如图，四棱锥的地面为菱形，且,,.〔1〕求证：平面平面；〔2〕求二面角的余弦值.三、〔此题满分是20分〕函数〔1〕当时，求证：〔2〕当且时，不等式成立，务实数的值.四、〔此题满分是20分〕数列中，且〔1〕设，求数列{}n a的通项公式.〔2〕设，数列的前项的和为，证明：. 五、〔此题满分是20分〕椭圆，是圆上任意一点，过P点作椭圆的切线，切点分别为,A B，求的最大值和最小值.2021年中学生数学竞赛高中(gāozhōng)一年级初赛试题一、选择题(满分是36分，每一小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或者不答均记0分)2+x x＞01.｛5 x=0 那么f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值是2x x＜0〔A〕 8. 〔B〕 11. 〔C〕13·1/4 〔D〕15·1/22. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax²+bx+c的不同的两个根，那么a、b、c之间的关系是(A) b²=a²-4ac (B) b²=a²+4ac (C) b²=a²-2ac (D) b²=a²+2ac3.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x²-2x，那么f(x)在x∈[-4,-2]上的最小值为〔A〕-1/9 〔B〕-1/3 〔C〕1/3 〔D〕1/94. 定义在正整数集Z+上的函数f,对于每一个n∈Z+f(n)= { k²的末位数字, (π的小数点后第n位数字k≠0)3 (π的小数点后第n位数字k=0)假设函数f(f(n)的值域记为M ，那么A 1MB 5MC 6MD 9M5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，以C为圆心，CB为半径作圆交AB边于M，交AC边于N，P为CM与BN的交点，假设AN=1，那么S△CPN-S△BPM等于〔A〕1/8 〔B〕√3/8 (C)1/4 (D) √3/46.定义在(-1,1)上的函数(hánshù)f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当x∈(-1,0)时，f(x)＞0，假设P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0)；那么P，Q，R的大小关系为〔A〕R＞P＞Q. (B)R＞Q＞P. (C)P＞R＞Q. (D)Q＞P＞R.二、填空题(满分是64分，每一小题8分，请将答案填入第1页指定地方)1、求log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值2. f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值3.假设[x]表示不超过x的最大整数，求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2021的自然数n的值4、如图,半径为1的两个等圆相交，在圆的公一共局部作一内接正方形ABCD。
高中数学联合竞赛预赛试题河南卷 试题
2021年全国高中数学联赛预赛试题本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
本套试卷满分是140分一、填空题〔满分是64分〕1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和可以被3整除，那么不用的取法种数为_________________.2、将长为的线段任意截成三段，那么这三段可以组成三角形的概率为_________________.3、在ABC ∆中，26CB ππ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B 之间的间隔 为22，那么点M 到面ABC 的间隔 为_________________.4、假设锐角α满足123tan10tan2tan2o αα=+，那么角α的度数为_________________.5、函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，假设,,,a b c d互不一样，且()()()()f a f b f c f d ===，那么abcd 的取值范围是_________________.6、各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，那么872a a +的最小值为_________________.7、一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D -顶点A 出发，沿着长方体的外表到达顶点1C 的最短间隔 为6，那么长方体的体积最大值为______________. 8、[]x 表示不超过实数x的最大整数，那么[][][][]2222log 1log 2log 3log 2012_________.++++=二、〔此题满分是16分〕如图，四棱锥E ABCD -的地面为菱形，且3ABCπ∠=,2AB EC ==,AE BE ==.〔1〕求证：平面EAB ABCD ⊥平面；〔2〕求二面角A EC D --的余弦值.三、〔此题满分是20分〕函数ln(1)()x f x x+=〔1〕当时0x >，求证：〔2〕当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kxf x x+<+成立，务实数的值.四、〔此题满分是20分〕数列{}n x 中，11x =且1111n n x x +=++〔1〕设na ={}n a 的通项公式.〔2〕设n n b x =-，数列{}n b 的前n 项的和为n S，证明：2n S <. 五、〔此题满分是20分〕 椭圆2214x y +=，P 是圆2216x y +=上任意一点，过P 点作椭圆的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，求PA PB ⋅的最大值和最小值.2021年中学生数学竞赛高中一年级初赛试题一、选择题(满分是36分，每一小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或者不答均记0分)2+x x＞01.｛5 x=0 那么f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值是2x x＜0〔A〕 8. 〔B〕 11. 〔C〕13·1/4 〔D〕15·1/22. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax²+bx+c的不同的两个根，那么a、b、c之间的关系是(A) b²=a²-4ac (B) b²=a²+4ac (C) b²=a²-2ac (D) b²=a²+2ac3.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x²-2x，那么f(x)在x∈[-4,-2]上的最小值为〔A〕-1/9 〔B〕-1/3 〔C〕1/3 〔D〕1/94. 定义在正整数集Z+上的函数f,对于每一个n∈Z+f(n)= { k²的末位数字, (π的小数点后第n位数字k≠0)3 (π的小数点后第n位数字k=0)假设函数f(f(n)的值域记为M ，那么A 1MB 5MC 6MD 9M5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，以C为圆心，CB为半径作圆交AB边于M，交AC边于N，P为CM与BN的交点，假设AN=1，那么S△CPN-S△BPM等于〔A〕1/8 〔B〕√3/8 (C)1/4 (D) √3/46.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当x∈(-1,0)时，f(x)＞0，假设P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0)；那么P，Q，R的大小关系为〔A〕R＞P＞Q. (B)R＞Q＞P. (C)P＞R＞Q. (D)Q＞P＞R.二、填空题(满分是64分，每一小题8分，请将答案填入第1页指定地方)1、求log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值2. f(x)是四次多项式,且满足f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求f(6)的值3.假设[x]表示不超过x的最大整数，求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2021的自然数n的值4、如图,半径为1的两个等圆相交，在圆的公一共局部作一内接正方形ABCD。