二值因变量回归模型
二值因变量模型
再进行原假设限制下的极大似然估计，得参数估计ˆ0(MH0L)
二值因变量模型极大似然估计
拟合优度、似然比和McFadden R2
例： 检验 H0 : 1 k 0 似然比（LR）统计量：
LR
2[l ( X
,Y,
ˆML)
8.2 二值因变量模型估计
8.2.2 用EViews7.2估计二值因变量模型
• EViews操作
• 还可以对参数估计方差的计算方法进行选择，在 Option窗口中的Covariance框下勾选Robust Covariances，可选Hubert/White或者GML方法。
• 对迭代控制（Iteration control）也可选选填最大迭 代次数（Max）和收敛公差（Convergence：）
二值因变量回归模型
8.1 二值因变量模型
8.1.1 效用理论和指标模型 8.1.2 probit模型和logit模型
8.2 二值因变量模型估计
8.2.1 二值因变量模型极大似然估计 8.2.2 用EViews7.2估计二值因变量模型
重要概念
8.1 二值因变量模型
8.1.1 效用理论和指标模型 8.1.2 probit模型和logit模型
F 称为连接函数（link function），线性函数 0 1X1 2 X 2 称为指标函数（index）。
8.1 二值因变量模型
8.1.1 效用理论和指标模型
➢ 定义1：设 Y 为二值因变量，X1, X 2, , Xk 为自变量， 称模型 p P(Y 1) F (0 1X1 2 X 2 k X k )
资产负债率流动比率总债务利税前收入净资产收益率销售营业利润率总资产周转率流动资产周转率销售营业增长率资本积累率82二值因变量模型估计822用eviews72估计二值因变量模型例子81银行贷款违约概率82二值因变量模型估计822用eviews72估计二值因变量模型例子81银行贷款违约概率若将所有自变量包括在内回归结果如上eviews提示有完全分离的情况
2第二节回归模型的参数估计
2第二节回归模型的参数估计回归模型的参数估计是通过对已知数据的分析和建模来确定模型参数的过程。
在回归分析中，参数估计通常是通过最小二乘法来实现的。
下面将对回归模型的参数估计过程进行详细介绍。
首先，回归模型通常表示为如下形式：Y=β_0+β_1X_1+β_2X_2+...+β_kX_k+ε其中，Y是因变量，X_1,X_2,...,X_k是自变量，β_0,β_1,β_2,...,β_k是参数，ε是误差项。
参数估计的目标是找到使得模型与实际观测值之间误差的平方和最小的参数。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化误差平方和来估计参数。
具体地说，假设我们有n个观测样本，表示为{(X_1i, X_2i, ..., X_ki, Yi)}_i=1,2,...,n。
其中，X_1i, X_2i, ..., X_ki是第i个观测样本的自变量，Yi是第i个观测样本的因变量。
利用最小二乘法进行参数估计的基本思路是，通过最小化实际观测值与模型预测值之间的误差平方和来估计参数。
首先，我们定义残差ei为第i个观测样本的实际观测值与模型预测值之间的差异，即：ei = Yi - (β_0 + β_1X_1i + β_2X_2i + ... + β_kX_ki)然后，我们定义误差平方和SSE为所有观测样本的残差平方和，即：SSE = Σ(ei^2)最小二乘法的目标是找到使得SSE最小化的参数估计值。
为了找到使SSE最小化的参数估计值，我们需要求解下面的正规方程组：X^T*X*β=X^T*Y其中，X是由所有观测样本的自变量构成的矩阵，X^T表示X的转置，Y是由所有观测样本的因变量构成的向量。
通过求解正规方程组，我们可以得到参数估计值为：β=(X^T*X)^(-1)*X^T*Y其中，(X^T*X)^(-1)表示矩阵(X^T*X)的逆矩阵。
需要注意的是，为了使用最小二乘法进行参数估计，我们要求矩阵(X^T*X)的逆矩阵存在，即要求矩阵(X^T*X)是可逆矩阵。
第二章 双变量回归分析(计量经济学,南开大学)
ˆ 和 ˆ 1 2
i
为Yi的线性函数
i 2 i
ˆ
2
xY x
(
xi )Yi 2 x i
k Y
i
i
其中k i
xi xi2 1 xi2
ki k i2
x
2
i
0
2 xi
1 xi2 1 xi2
i
1 xi2
6、样本回归函数（SRF） 由于在大多数情况下，我们只知道变量值得一个样本，要用样本信息的基础 上估计PRF。(表） 样本1
X（收入） Y（支出） 80 55 100 65 120 79 140 80 160 102 180 110 200 120 220 135 240 137 260 150
样本2
ˆ ) VAR( 2
x
2 i
2
2 i
x
ˆ： 对于 1
ˆ Y ˆ X 1 ˆ X Yi 1 2 2 n 1 ˆ X ( 1 2 X i ui ) 2 n u 1 i X k i ui n ˆ ) E[( ui X 方差：VAR( k i ui ) 2 ] 1 n
ˆ ) E( ki E (ui ) 2 2 2 ˆ Y ˆ X 1 2 ( 1 2 X i ui ) ( 1 k i u i ) X 1 u i X k i u i ˆ ) E( 1 1
1 1 2 21
估计量（Estimator）：一个估计量又称统计量(statistic)，是指一个规则、公式 或方法，以用来根据已知的样本所提供的信息去估计总体参数。在应用中，由估 计量算出的数值称为估计（值）（estimate)。 样本回归函数SRF的随机形式为：
二元因变量回归
1Yi
)
其中， Yi 1 或 Yi 0 。因为，各项观察相互独立，则 n 次观察所得的样本数据的 联合分布可表示为各边际分布的连乘积
Yi L( 1 , 2 ) P(Yi ) piYi (1 pi )( 1 i 1 i 1 n n )
pi 接近 1 的速度也越来越慢， 而当 X i 增加很快时，pi 的变化会比较快。 故 pi 与 X i
之间应呈非线性关系。 （2）并且由概率的属性， pi 的变化应始终在 0 和 1 之间。 因此，一个很自然的想法是采用随机变量的分布函数来表示 pi 与 X i 的这种 非线性关系。从几何图形看，所需要的模型有点像图 5.1 那样，概率位于 0 与 1 之间，并随着 X i 非线性地变化。
最大似然估计方法 MLE 在线性回归分析中最大似然估计法可以得到与最小二乘法一致的结果。但 是，与最小二乘法相比，最大似然估计法既可以用于线性模型，又可以用于非线 性模型，由于 Logit 回归模型是非线性模型，因此，最大似然估计法是估计 Logit 回归模型最常用的方法。 假设有 n 个样本观测数据 ( X i , Yi ), i 1, 2,, n ， 由于样本是随机抽取， 所以， 在给定 X i 条件下得到的 Yi 1 和 Yi 0 的概率分别是 pi 和 1 pi 。于是，一个观测 值的概率为
三、Logit 回归模型的评价和参数的统计检验
与一般线性回归模型一样，在得到 Logit 回归模型的参数估计后，还应对模 型进行评价和相应的统计检验。 1、模型的拟合优度检验。
8
模型估计完成以后，需要对模型是否有效地描述了模型与观测数据的匹配 程度进行评价。 如果模型的预测值能够与对应的观测值有较高的一致性，就认为 该模型能拟合数据，否则，将不接受这一模型。 （1）McFadden R 2 在前面的介绍中，已经提到对于离散选择模型，通常的拟合优度 R 2 没有多
二值因变量模型_14
对外经济贸易大学计量经济学I n t r o d u c t i o n t o E c o n o m e t r i c s导论二值因变量模型：Probit和Logit模型Probit和Logit回归在线性概率模型中，y=1 的概率是x 的线性函数:P (y= 1|x) = β0+ β1x在非线性概率模型中:对于β1>0，Pr(y= 1|x)是x的单增函数；010 ≤ P(y= 1|x) ≤ 1 对所有的x都成立。
02我们希望构造一个非线性函数来刻画此概率。
例如一个“S-curve”的函数。
Probit回归用标准正态分布的累积分布函数Φ(z)来建模y=1 的概率。
令z= β+ β1x，那么Probit回归模型的形式为P(y= 1|x) = Φ(β0+ β1x)其中Φ为标准正态分布的分布函数，z= β0+ β1x是probit模型的“z-value” or “z-index”.例如: 假设β= -2, β1= 3, x=0.4, 那么P(y= 1|x=0.4) = Φ(-2 + 3×0.4) = Φ(-0.8)Pr(z≤ -0.8) = 0.2119该函数的“S-shape”满足了我们的需要：对于β1>0，P(y = 1|x ) 是x 的单增函数010 ≤ P(y = 1|x ) ≤ 1 对于所有的x 都成立02为什么要使用标准正态分布的累积分布函数?便于使用–可以查正态分布表的到相关的概率值(在相关的软件中也很容易得到)相对直观的理解:β0+ β1x = z-value01β1对应于x变化一个单位时z-value 的变化02给定x，β0+β1x是预测的z-value 03. probit deny p_irat, r;Iteration 0: log likelihood = -872.0853Iteration 1: log likelihood = -835.6633Iteration 2: log likelihood = -831.80534Iteration 3: log likelihood = -831.79234Probit estimates Number of obs= 2380Wald chi2(1) = 40.68Prob> chi2 = 0.0000 Log likelihood = -831.79234 Pseudo R2 = 0.0462 ------------------------------------------------------------------------------| Robustdeny | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval] -------------+----------------------------------------------------------------p_irat| 2.967908 .4653114 6.38 0.000 2.055914 3.879901 _cons | -2.194159 .1649721 -13.30 0.000 -2.517499 -1.87082 ----------------------------------------------------------------------------P(deny=1|P Iratio)= Φ(-2.19 + 2.97×P/I ratio)(0.16) (0.47)还款收入比前面的系数是正的: 是否符合实际?01标准差的理解和普通的回归一样02 P(deny=1| P Iratio)= Φ(-2.19 + 2.97×P/I ratio )(0.16) (0.47)STATA Example: HMDA data 当P/I ratio 从0.3 增加到0.4:04 P(deny=1| P Iratio =0.4)= Φ (-2.19+2.97×0.4) = Φ (-1.00) =0.159被拒概率的预测值从0.097 升至0.15905概率预测值:03 P(deny=1| P Iratio =0.3)= Φ (-2.19+2.97×0.3) = Φ (-1.30) = 0.097多个自变量的Probit回归模型Pr(Y= 1|X1, X2) = Φ (β0+ β1X1+ β2X2)Φ 是正态分布的累积分布函数.01z= β0+ β1X1+ β2X2是此probit模型的“z-value”或者“z-index”.02β1是固定X2，X1变化一个单位对z-score 的效应。
3.2 双变量线性回归模型的参数估计
i
i
i
ˆ
X Y X
2 i
i i
样本回归线的性质
通过Y和X的样本均值点 估计的Yi的均值等于实际观测的Yi的 均值 残差的均值为0 残差与解释变量Xi不相关 残差与估计的Yi值不相关
高斯定理
结论：在古典假定条件下 ,OLS 估计式是最佳线 性无偏估计式（BLUE）
三、最大似然估计法(ML)
2
评价要素（高斯定理前奏）
1.无偏性，方法、样本一定，抽样不同 2.最小方差性，样本一定，方法不同 3.渐进性，大样本时，具有最小渐近方差 （渐近有效）
二、参数的普通最小二乘估计（OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要 求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。
普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：残差的平方和最小。
基本原理： 对于最大似然法，当从模型总体随机抽 取n组样本观测值后，最合理的参数估计量 应该使得从总体中抽取该n组样本观测值的 概率最大。
双变量线性回归模型： Yi 1 2 X i ui
在满足11条基本假定的条件下
Yi ~ i.i.n.(1 2 X i , )
2
Yi的概率密度函数为 （i=1,2,…n）
将该似然函数极大化，即可求得到模型参 数的最大似然估计量。
对lnLF求极大值:
解得模型的参数估计量为：
2
~ ( X X )(Y Y ) x y x (X X )
i i i 2 i 2 i i
1 Y 2 X
~
~
2 ~2 u ˆ i n
可见，在满足一系列基本假设的情况下， 模型结构参数的最大似然估计量与普通最小 二乘估计量是相同的。
二元logistic回归分 析
二元logistic回归分析二元Logistic回归分析是一种常见的统计方法，它被广泛应用于分类问题。
这种回归方法主要关注的是因变量为二分类的情况，通常将概率作为因变量，并使用Logistic函数将其映射到[0,1]范围内。
Logistic回归模型的公式如下:p = 1 / (1 + e^(- (β0 + β1x1 + β2x2 + . + βn*xn)))其中，p是预测为正类的概率，β0、β1、βn是模型参数，x1、x2、xn是特征。
在进行二元Logistic回归分析时，首先需要收集数据集，该数据集中应包含预测变量的值和目标变量的值。
预测变量可以是任何数值型的特征，而目标变量应该是二分类的标签，即0或1。
接下来，需要对数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等。
然后，利用二元Logistic回归模型对数据进行拟合，得到模型的参数。
在模型拟合完成后，可以使用模型进行预测。
对于一个新的样本，只需将样本的特征代入模型中，即可得到预测为0或1的概率。
根据这个概率，可以判断样本属于哪一类。
在实际应用中，二元Logistic回归分析可以应用于各种场景，如信用风险评估、疾病诊断等。
例如，在信用风险评估中，可以使用二元Logistic回归模型预测一个借款人是否会违约，从而帮助银行更好地管理风险。
此外，二元Logistic回归分析还可以进行特征选择。
在模型拟合过程中，如果发现某个特征对于模型的贡献很小，那么就可以将该特征剔除，从而降低模型的复杂度，提高模型的泛化能力。
在进行二元Logistic回归分析时，需要注意以下几点：1.数据的质量和数量对于模型的准确性和泛化能力都有重要影响。
因此，在进行数据分析前，需要对数据进行充分的质量控制和预处理。
2.在选择模型参数时，需要综合考虑模型的准确性和复杂度。
如果模型过于复杂，可能会导致过拟合；如果模型过于简单，可能会导致欠拟合。
3.在进行模型评估时，需要使用适当的评估指标，如准确率、召回率、F1值等。
二项式回归模型
二项式回归模型二项式回归模型是一种常用的统计学方法，用于分析两个变量之间的关系。
它是一种线性回归模型，适用于因变量为二元变量的情况。
在本文中，我们将介绍二项式回归模型的基本概念、应用场景、建模方法以及模型评估等方面的内容。
一、基本概念二项式回归模型是一种用于分析两个变量之间关系的统计学方法。
其中，因变量为二元变量，即只有两种取值，通常用0和1表示。
自变量可以是连续变量或分类变量。
二项式回归模型的目的是通过自变量来预测因变量的取值。
二、应用场景二项式回归模型在实际应用中有着广泛的应用场景。
例如，在医学研究中，可以使用二项式回归模型来分析某种疾病的发病率与年龄、性别、生活习惯等因素之间的关系；在市场营销中，可以使用二项式回归模型来预测某种产品的销售量与价格、广告投入、竞争对手等因素之间的关系。
三、建模方法建立二项式回归模型的方法与普通线性回归模型类似，主要包括以下几个步骤：1. 收集数据：收集自变量和因变量的数据，并进行数据清洗和预处理。
2. 确定自变量：根据实际情况，选择与因变量相关的自变量，并进行变量筛选和变量转换等操作。
3. 拟合模型：使用最大似然估计等方法，拟合二项式回归模型，并得到模型的参数估计值。
4. 模型诊断：对模型进行诊断，检验模型的拟合效果和假设检验等。
5. 模型预测：使用拟合好的模型，对新的自变量进行预测，并得到因变量的预测值。
四、模型评估在建立二项式回归模型时，需要对模型进行评估，以确定模型的拟合效果和预测能力。
常用的模型评估方法包括：1. 残差分析：通过分析模型的残差，来评估模型的拟合效果和误差分布情况。
2. 模型选择准则：使用AIC、BIC等模型选择准则，来选择最优的模型。
3. 假设检验：通过对模型参数进行假设检验，来评估模型的显著性和可靠性。
4. 预测准确度：通过对模型进行交叉验证等方法，来评估模型的预测准确度和泛化能力。
五、总结二项式回归模型是一种常用的统计学方法，适用于因变量为二元变量的情况。
logistic回归、probit回归与poission回归
单纯从数学上讲，与多元线性 回归分析中回归系数的解释并 无不同。
ห้องสมุดไป่ตู้第九页，共44页。
模型评估
（1）Ｈosmer-Lemeshowz指标
HL统计量的原假设Ho是预测值和观测值之间无显著差异 ，因此HL指标的P-Value的值越大，越不能拒绝原假设，即说明模
ln[exp(0 1X1 2 X 2 m X m )]
0 1X1 2 X 2 m X m
Logit与概率不同，它没有上下限。比数去除了概率的上限，比数的对 数去除了概率的下限；且是以0,5为中点对称的，概率大于0.5产生正的 logit,logit距离0的距离反映了概率距离0.5的距离；概率上相同的改变与
在logits上产生的改变是不同的，logit转化拉直了X与最初的概率之间的
非线性关系。
第八页，共44页。
问题2：
回归系数的意义：
• Logistic回归中的回归系数 i 表示，某一因素 改变一个单位时，效应指标发生与不发生事件 的概率之比的对数变化值，即OR的对数值。
• Logistic回归中的常数项 表 0 示，在不接触任何潜
上述三种方法中，似然比检验（与之前的类似） 最可靠，比分检验（logistic回归模型特有）一般 与它相一致，但两者均要求较大的计算量；而Wald 检验（相当于广义的t检验）未考虑各因素间的综 合作用，在因素间有共线性时结果不如其它两者可 靠。
第二十一页，共44页。
对所拟合模型的假设检验：
第二十二页，共44页。
型可表示为：
P
1
exp( 0 exp(
0
1 X1 1 X
2 X 2 1 2X
计量经济学术语
计量经济学术语A校正R2（Adjusted R-Squared）：多元回归分析中拟合优度的量度，在估计误差的方差时对添加的解释变量用一个自由度来调整。
对立假设（Alternative Hypothesis）：检验虚拟假设时的相对假设。
AR（1）序列相关（AR(1) Serial Correlation）：时间序列回归模型中的误差遵循AR（1）模型。
渐近置信区间（Asymptotic Confidence Interval）：大样本容量下近似成立的置信区间。
渐近正态性（Asymptotic Normality）：适当正态化后样本分布收敛到标准正态分布的估计量。
渐近性质（Asymptotic Properties）：当样本容量无限增长时适用的估计量和检验统计量性质。
渐近标准误（Asymptotic Standard Error）：大样本下生效的标准误。
渐近t 统计量（Asymptotic t Statistic）：大样本下近似服从标准正态分布的t统计量。
渐近方差（Asymptotic Variance）：为了获得渐近标准正态分布，我们必须用以除估计量的平方值。
渐近有效（Asymptotically Efficient）：对于服从渐近正态分布的一致性估计量，有最小渐近方差的估计量。
渐近不相关（Asymptotically Uncorrelated）：时间序列过程中，随着两个时点上的随机变量的时间间隔增加，它们之间的相关趋于零。
衰减偏误（Attenuation Bias）：总是朝向零的估计量偏误，因而有衰减偏误的估计量的期望值小于参数的绝对值。
自回归条件异方差性（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, ARCH）：动态异方差性模型，即给定过去信息，误差项的方差线性依赖于过去的误差的平方。
一阶自回归过程[AR（1）]（Autoregressive Process of Order One [AR(1)]）：一个时间序列模型，其当前值线性依赖于最近的值加上一个无法预测的扰动。
二分类Logistic回归模型
⼆分类Logistic回归模型 Logistic回归属于概率型的⾮线性回归，分为⼆分类和多分类的回归模型。
这⾥只讲⼆分类。
对于⼆分类的Logistic回归，因变量y只有“是、否”两个取值，记为1和0。
这种值为0/1的⼆值品质型变量，我们称其为⼆分类变量。
假设在⾃变量x1,x2,⋯,x p作⽤下，y取“是”的概率是p，则取“否”的概率是1-p，研究的是当y取“是”发⽣的模率p与⾃变量x1,x2,⋯,x p 的关系。
Logistic回归模型①Logit变换 Logit 变换以前⽤于⼈⼝学领域，1970年被Cox引⼊来解决曲线直线化问题。
通常把某种结果出现的概率与不出现的概率之⽐称为称为事件的优势⽐odds，即假设在p个独⽴⾃变量x1,x2,⋯,x p作⽤下，记y取1的概率是p=P(y=1|X)，取0概率是1−p，取1和取0的概率之⽐为p1−p。
Logit变换即取对数：λ=ln(odds)=lnp 1−p②Logistic函数 Logistic中⽂意思为“逻辑”，但是这⾥，并不是逻辑的意思，⽽是通过logit变换来命名的。
⼆元logistic回归是指因变量为⼆分类变量的回归分析，⽬标概率的取值会在0~1之间，但是回归⽅程的因变量取值却落在实数集当中，这个是不能够接受的，所以，可以先将⽬标概率做Logit变换，这样它的取值区间变成了整个实数集，采⽤这种处理⽅法的回归分析，就是Logistic回归。
Logistic函数为：Logit(p)=lnp1−p=Z，p=11+e−2 Logistic回归模型中的因变量只有1和0（如是和否、发⽣和不发⽣）两种取值。
对odds取⾃然对数即得Logistic变换Logit(p)=lnp1−p A。
当p在(0，1)之间变化时，odds的取值范围是(0，+oo)，则Logistic函数的取值范围是(-oo，+oo)。
③Logistic回归模型 Logistic 回归模型是建⽴lnp1−p与⾃然变量的线性回归模型。
二值模型回归系数解释
二值模型回归系数解释二值模型回归系数是一种用于解释二值数据的统计模型，并且可以提供关于不同自变量对因变量的影响程度的评估。
在本文中，我们将介绍二值模型回归系数的概念和解释方法。
一、什么是二值模型回归系数二值模型回归系数（Binary Model Regression Coefficients）是在二值数据分析中使用的一种参数，用于衡量不同自变量对二元因变量的影响程度。
它是通过回归方法对数据进行建模和分析得到的。
二、二值模型回归系数的解释方法在解释二值模型回归系数时，我们需要关注两个主要的部分：系数的正负和系数的大小。
1. 系数正负的解释系数的正负表示自变量对因变量的正向或负向影响。
如果系数为正数，说明自变量的增加将增加因变量的概率。
如果系数为负数，则自变量的增加将减少因变量的概率。
2. 系数大小的解释系数的大小表示自变量对因变量的影响程度。
绝对值较大的系数意味着自变量对因变量的影响更显著，而较小的系数则表示对因变量的影响相对较弱。
可以通过比较不同自变量的系数大小来确定各个自变量对因变量的重要程度。
三、如何解释二值模型回归系数解释二值模型回归系数的关键是要结合具体的背景知识和研究目的。
以下是两种常见的解释方法：1. 增加单位对因变量的影响可以解释一个单位的自变量增加对因变量的影响。
例如，对于一个二值模型，如果自变量A的系数为0.5，意味着每增加一个单位的自变量A，因变量的概率将增加0.5个单位。
2. 比较自变量对因变量影响的相对大小可以比较不同自变量对因变量影响的相对大小。
例如，对于一个二值模型，如果自变量A的系数为0.5，自变量B的系数为0.2，可以认为自变量A对因变量的影响大于自变量B，即自变量A对因变量的贡献较大。
通过以上解释方法，我们可以更好地理解二值模型回归系数，并对自变量对因变量的影响进行准确的评估和解释。
结论二值模型回归系数是一种用于解释二值数据的统计模型参数。
通过解释系数的正负和大小，我们可以评估和解释自变量对因变量的影响程度。
线性回归分析——双变量模型
线性回归分析——双变量模型在进行线性回归分析之前，我们首先需要明确我们要解决的问题，确定自变量和因变量。
比如，我们可以研究体重和身高之间的关系，其中体重是因变量，身高是自变量。
收集到数据后，我们可以进行描述性统计分析来对数据进行初步的了解。
我们可以计算出体重和身高的平均值、方差、最大值和最小值等统计指标。
此外，我们还可以绘制散点图来观察变量之间的关系。
在进行线性回归分析之前，我们需要满足一些假设条件。
首先，我们假设自变量和因变量之间存在线性关系。
其次，我们假设观测误差服从正态分布。
最后，我们假设观测误差的方差是常数。
接下来，我们可以通过最小二乘法来估计线性回归模型的参数。
最小二乘法的目标是最小化观测值与预测值之间的残差的平方和。
我们可以使用统计软件或者编程语言来进行计算。
线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X+ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0表示截距，β1表示斜率，ε表示观测误差。
在进行参数估计后，我们可以对模型进行拟合优度的评估。
拟合优度指标可以帮助我们判断模型的拟合程度。
常见的拟合优度指标有R方值、调整R方值和残差分析。
R方值表示因变量的变异程度可以由自变量解释的比例。
R方值的取值范围是0到1，越接近1表示模型的拟合效果越好。
调整R方值是在R方值的基础上考虑模型中自变量的个数进行修正。
残差分析可以用来评估模型中未解释的部分。
在进行结果解释时，我们需要注意解释截距和斜率的意义。
截距表示当自变量为0时，因变量的值。
斜率表示自变量的单位变化对因变量的影响。
最后，我们还可以对模型的统计显著性进行检验。
常见的方法有t检验和F检验。
t检验可以用来判断截距和斜率的显著性，F检验可以用来判断模型整体的显著性。
总结：线性回归分析是一种常用的数据分析方法，可以用于研究两个变量之间的线性关系。
通过收集数据，建立模型，估计参数和进行拟合优度评估，我们可以获得对变量之间关系的深入认识。
同时，我们还可以通过检验模型的显著性来判断模型的可靠性。
81二值因变量模型与一般线性回归模型的本质区别是什么？
8.1 二值因变量模型与一般线性回归模型的本质区别是什么？8.2 二值因变量模型的连接函数需要满足什么条件？8.3 probit 模型和logit 模型有什么区别，那个更好一些？8.4 为什么要采用数值方法求二值因变量模型对数似然函数的最大值点和最大值？8.5 为什么二值因变量模型中参数显著性检验采用的是z 统计量（z-Statistic ）而不是t统计量（t-Statistic ）?8.6 什么是完全分离？完全分离会给二值因变量模型的估计带来什么问题？如何处理？8.7 在分析二值因变量模型的估计结果时，需要注意什么问题？8.8 1973年密西根州Troy 市打算增加税收，用于公立学校的建设。
为此就是否同意该项加税计划进行公民投票①。
表8.1给出了95个家庭的投票数据。
表8.4y x 1 x 2 x 3x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 1 0 1001019.777.050 0 1 0 0 8 0 10.07.050 1 0 0 0 4 0 10.07.05… … … … … … … … …0 1 0 0 0 26 0 9.77 6.750 0 0 0 1 18 0 10.27.5 ，其中y 表示是否同意，1=y 表示同意，0=y 表示不同意；1x 表示是否有1到2个孩子在公立学校上学，1表示是，0表示否；2x 表示是否有3到4个孩子在公立学校上学，1表示是，0表示否；3x 表示是否有5个或更多孩子在公立学校上学，1表示是，0表示否；4x 表示是否有孩子在私立学校上学，1表示是，0表示否；5x 表示在该地区生活的年数；6x 表示该地区的学校数（包括私立和公立）；7x 表示家庭收入的自然对数；8x 表示每年缴纳财产税的自然对数。
（1）对公民投票选择建立logit 模型和probit 模型，并用EViews 进行估计。
（2）对估计结果进行分析；（3）比较logit 模型和probit 模型估计上的差别。
13.第十讲 二元因变量回归解析
为了深刻地理解二元选择模型，首先从最简单 的线性概率模型开始讨论。线性概率模型的回 归形式为：
yi 1 x1i 2 x2i
k xki ui
i 1, 2 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,N
其中：N是样本容量；k是解释变量个数；xj 为第j个个体特征的取值。例如，x1表示收入； x2表示汽车的价格；x3表示消费者的偏好等。 设 yi 表示取值为0和1的离散型随机变量。ui 为相互独立且均值为0的随机扰动项。
1 y 0
yes no
如果解释变量是离散的(比如，虚拟变量)， 这并不影响回归。但有时被解释变量是离散 的，而非连续的。比如，个体的如下选择行 为(人生充满了选择)： 二值选择(binary choices)：考研或不考研； 就业或待业；买房或不买房；买保险或不买 保险；贷款申请被批准或拒绝；出国或不出 国；回国或不回国。
下画出了数据集中2380个观测值中127个 deny对P/I ratio的数据散点图。 通过散点图可以看出deny和P/I ratio的关 系：即还款/收入比小于0. 3的申请者的申请 很少被拒，但还款/收入比超过0. 4的申请者 的大部分申请都被拒了。
由这127个观测值估计出的O15回归线。同 前，这条直线画出了用回归变量还款/收入比 表示的deny预测值的函数图。 例如，当P/I ratio=0.3时，deny的预测值 大约为0.2。可以理解为P/I ratio=0.3时， 被拒的概率为0.2，即如果有许多申请者的 P/I ratio=0.3 ，则其中有20%的申请会被 拒。
Probit和Logit回归是特别为二元因变量设 计的非线性回归模型。 由于二元因变量Y的回归建立了Y=1的概率 模型，因此采用使预测值落在0到1之间的 非线性形式才有意义。 由于累积概率分布函数产生的概率位于0到 1之间，因此我们把它们应用到Probit和 Logit回归中。其中Logit回归也称为 logistic回归。
logit回归模型的因变量 -回复
logit回归模型的因变量-回复Logistic回归模型的因变量是指在二分类问题中，用来预测观测数据所属类别的变量。
在Logistic回归模型中，因变量通常是二元变量，代表两个独立的类别，通常用0和1表示。
在此文章中，我们将详细解释Logistic 回归模型的因变量以及其背后的概念和方法。
首先，让我们来介绍一下二分类问题。
在统计学和机器学习中，二分类问题是指将数据划分为两个不同的类别或组。
例如，我们可以根据某人的性别、收入、年龄等特征来预测他们是否购买某个产品，这是一个典型的二分类问题。
在这种情况下，我们的因变量就是购买或不购买产品，用1和0来表示。
Logistic回归是一种常用的解决二分类问题的统计模型。
它基于Logistic 函数（又称为Sigmoid函数）来建立因变量和自变量之间的关系。
Logistic 函数的形式为：f(x) = 1 / (1 + e^(-x))其中，e表示自然对数的底数。
这个函数的特点是在x趋于正无穷时，f(x)趋于1，在x趋于负无穷时，f(x)趋于0。
这意味着Logistic函数的值域在0和1之间，非常适合用来表示概率。
在Logistic回归模型中，我们希望通过自变量（也称为特征变量）的线性组合来预测因变量。
回归方程的形式为：P(Y=1 X) = 1 / (1 + e^(-β*X))其中，P(Y=1 X)表示给定自变量X的条件下，因变量Y等于1的概率。
β是回归系数，用来表示自变量的影响程度。
当自变量的值增加1个单位时，回归系数β的变化量就是自变量对因变量的影响。
Logistic回归模型的目标是找到最佳的回归系数β，使得回归方程最好地拟合观测数据。
通常使用最大似然估计法来估计回归系数，即选择使得实际观测结果出现概率最大的系数。
回归系数的估计结果可以通过训练集的观测数据得到。
为了评估Logistic回归模型的预测能力，我们通常使用混淆矩阵来计算准确率、精确率、召回率和F1-score等指标。
Binary Logistic回归方法
（最大似然法是一种具有理论性的点估计法，此方法的基本思想是：当从模 型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中 抽取该n组样本观测值的概率最大，而不是像最小二乘估计法旨在得到使得 模型能最好地拟合样本数据的参数估计量。）
方程表达式
Pi 表示每个事物A可能出现事物类型 i 的概 率；X 表示各驱动因子；β是各驱动因子的回 归系数，表示各驱动因子与事物Ａ的相关关 系。
基本介绍
Binary Logistic回归是根据一个或多个连 续型或属性型的自变量,来分析和预测0/1二 值品质型因变量的多元量化分析方法,属于 概率型非线性回归“目前,该方法己广泛应用 于经济学、社会科学以及医学等诸多学科领 域
与多元线性回归比较
利用多元回归方法分析变量之间关系或进行预测时 的一个基本要求是因变量应是连续定距型变量"然而, 实际应用中这种要求未必能够得到较好的满足,尤其 是当因变量是0/1二值品质型变量时,就无法直接采 用一般的多元线性回归方法进行分析
在ＳＰＳＳ中的操作与应用
在菜单上选择Analyze==》Regression==》 Binary Logistic...，系统弹出Logistic回归对话框 如下：
线性回归分析——双变量模型
线性回归分析双变量模型回归分析的含义回归分析是研究一个叫做因变量的变量对另一个或多个叫做解释变量的变量的统计依赖关系。
其用意在于，通过解释变量的已知值或给定值去估计或预测因变量的总体均值。
双变量回归分析：只考虑一个解释变量。
（一元回归分析，简单回归分析）复回归分析：考虑两个以上解释变量。
（多元回归分析）统计关系与确定性关系统计（依赖）关系：非确定性的关系。
在统计依赖关系中，主要处理的是随机变量，也就是有着概率分布的变量。
特别地，因变量的内在随机性是注定存在的。
例如：农作物收成对气温、降雨、阳光以及施肥的依赖关系便是统计性质的。
这些解释变量固然重要，但是并不能使我们准确地预测农作物的收成。
确定性关系：函数关系。
例如物理学中的各种定律。
)/(221r m m k F回归与因果关系❑回归分析研究因变量对于解释变量的统计依赖关系，但并不一定意味着因果关系。
一个统计关系式，不管多强和多么具有启发性，都永远不能确立因果联系。
❑因果关系的确立必须来自于统计关系以外，最终来自于这种或那种理论（先验的或是理论上的）。
回归分析与相关分析（一）❑相关分析：用相关系数测度变量之间的线性关联程度。
例如：测度统计学成绩和高等数学成绩的的相关系数。
假设测得0.90，说明两者存在较强的线性相关。
❑回归分析：感兴趣的是，如何从给定的解释变量去预测因变量的平均取值。
例如：给定一个学生的高数成绩为80分，他的统计学成绩平均来说应该是多少分。
回归分析与相关分析（二）❑在相关分析中，对称地对待任何两个变量，没有因变量和解释变量的区分。
而且，两个变量都被当作随机变量来处理。
❑在回归分析中，因变量和解释变量的处理方法是不对称的。
因变量被当作是统计的，随机的。
而解释变量被当作是（在重复抽样中）取固定的数值，是非随机的。
（把解释变量假定为非随机，主要是为了研究的便利，在高级计量经济学中，一般不需要这个假定。
）双变量回归模型（一元线性回归模型）双变量回归模型（最简单的回归模型）模型特点因变量（Y）仅依赖于唯一的一个解释变量(X)。
二值模型回归系数解释
二值模型回归系数通常用于描述因变量和自变量之间的关系。
在二值模型中，因变量通常只有两个状态（例如，二值变量），而自变量则可能对因变量的状态产生影响。
因此，回归系数可以解释为自变量对因变量状态转换的影响程度。
具体来说，如果一个二值模型回归系数为正，这意味着当自变量增加时，因变量的状态转换概率也会增加。
例如，如果回归系数为0.5，这意味着当自变量增加1个单位时，因变量状态转换的概率也会增加约50%。
这意味着自变量对因变量的影响是积极的，可以解释为正效应或促进效应。
如果二值模型回归系数为负，这意味着当自变量增加时，因变量的状态转换概率会减少。
例如，如果回归系数为-0.5，这意味着当自变量增加1个单位时，因变量状态转换的概率会减少约50%。
这意味着自变量对因变量的影响是消极的，可以解释为负效应或抑制效应。
此外，二值模型回归系数的显著性也可以用来判断自变量是否对因变量有影响。
如果回归系数的P值小于显著性水平（例如，0.05或0.01），则可以拒绝零假设（即自变量与因变量无关），认为自变量对因变量有影响。
总之，二值模型回归系数可以用来解释因变量和自变量之间的关系，并判断自变量对因变量的影响是积极还是消极。
同时，回归系数的显著性也可以用来判断自变量是否对因变量有影响。
在应用二值模型回归系数时，需要注意模型的假设和适用范围，并进行适当的统计检验和解释。
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8.1 二值因变量模型
8.1.2 probit模型和logit模型 probit模型和logit模型的比较
大多数情况下二者估计结果相似 z 0 1 X1 k xk 值较大时，正态分布函数( z ) 对 z 的敏感性较低，logit模型可以缓解这种现象
proitt
1
0.5
F 称为连接函数（link function），线性函数
0 1 X1 2 X 2 称为指标函数（index）。
8.1 二值因变量模型
8.1.1 效用理论和指标模型
X1, X 2 ,, X k 为自变量， 定义1：设 Y 为二值因变量， 称模型 p P(Y 1) F (0 1 X1 2 X 2 k X k ) 为二值因变量模型，其中F 为分布函数，满足 1 F ( x) F ( x) 。
logit
0
8.1 二值因变量模型
8.1.2 probit模型和logit模型 probit模型和logit模型的比较
logit模型可变换为
log[ p /(1 p)] 0 1 X1 k X k
ˆ ，就能用OLS方法估计上 若能得到 p 的一致估计 p 述模型参数。
8.2 二值因变量模型估计
8.1 二值因变量模型
8.1.1 效用理论和指标模型
以投资决策为例， Y 1 表示购买股票，Y 0 表示银行存款 X 1 表示投资股票的收益， X 2 表示投资风险 * • 设 Y 表示投资者的效用函数，不可观测，其与自 变量关系式：
Y * 1 X1 2 X 2 u
8.2.1 二值因变量模型极大似然估计 8.2.2 用EViews7.2估计二值因变量模型
8.2 二值因变量模型估计
8.2.1 二值因变量模型极大似然估计
二值因变量模型极大似然估计
极大似然估计
pi P(Yi 1) F (0 1 X1i 2 X 2i )
P(Yi ) piYi (1 pi )1Yi , Yi 0,1
假定 Y *大于临界值C 时，投资者购买股票，则
{Y 1 } {Y * C} {u C 1 X1 2 X 2}
8.1 二值因变量模型
8.1.1 效用理论和指标模型
设 u 的分布函数为 F ，并且满足 1 F ( x) F ( x) P(Y 1) P{u C 1 X 1 2 X 2 } 1 F (C 1 X1 2 X 2 ) F (0 1 X1 2 X 2 )
假设连接函数为标准正态分布的分布函数
1 F ( x) ( x) 2
e
x
t 2 / 2
dt
p P( y 1) (0 1 X1 k X k )
实际上等价于假定了 u 服从标准正态分布；若 u 的方差未定，则参数不能被唯一估计。
8.1 二值因变量模型
第8 章
二值因变量回归模型
二值因变量回归模型
8.1 二值因变量模型
8.1.1 效用理论和指标模型 8.1.2 probit模型和logit模型
8.2 二值因变量模型估计
8.2.1 二值因变量模型极大似然估计 8.2.2 用EViews7.2估计二值因变量模型
重要概念
8.1 二值因变量模型
8.1.1 效用理论和指标模型 8.1.2 probit模型和logit模型
8.1.2 probit模型和logit模型 logit模型
假设连接函数为逻辑分布函数 x 1 e F ( x) ( x) x x 1 e 1 e p P( y 1) (0 1 X1 k X k ) logit模型中的连接函数( x) 是一种特殊的逻辑分 布，目的是保证模型中参数能够唯一确定。
二值因变量模型不是回归模型，没有误差项。内 生性异方差等问题需对原模型 Y * 1 X1 2 X 2 u 讨论。 二值因变量模型中的 p 不可观测，模型不能用最 小二乘估计。参数估计有赖于对 F 的假设。
8.1 二值因变量模型
8.1.2 probit模型和logit模型 probit模型
l i 1Yi ln F (0 1 X1i 2 X 2i )
N
i 1 (1 Yi ) ln[1 F (0 1 X1i 2 X 2i )
N
1 和 2 求导就可求得 • 对上述函数求分别关于0 、 参数估计；但是该函数通常太过复杂，一般用数 值方法求得参数估计。
8.1 二值因变量模型
8.1.1 效用理论和指标模型
以投资决策为例， Y 1 表示购买股票，Y 0 表示银行存款 X 1 表示投资股票的收益， X 2 表示投资风险 需要研究的是 X 1 的变化如何影响投资决策变化， 即投资倾向（或者意愿）的变化。X 1 可观测，但 观测不到投资者投资意愿的变化，只会观测到 Y 0 或者 Y 1 。
8.1 二值因变量模型
8.1.1 效用理论和指标模型
因变量只取0和1的模型称为二值因变量 （binary dependent variable）模型。模型因 变量没有明显的数量特征，往往对应研究 对象的不同属性，属于分类变量。
例：女性决定投入劳动力市场还是做家务的影响因 素、投资人决定是风险投资还是无风险投资的决 定因素、哪些财务指标决定着上市公司财务状况 （正常或恶化）、股票涨跌的影响因素。
二值因变量模型极大似然估计
参数估计的渐近分布
样本似然函数
L(Y1 ,, Yn ) piYi ( pi )1Yi
i 1 n
F ( 0 1 X 1i 2 X 2i ) 1 F ( 0 1 X 1i 2 X 2i )
Yi i 1
n
1Yi
二值因变量模型极大似然估计
对数似然函数