平行线分线段成比例
4.平行线分线段成比例.详解
相交的平行直线a、b、c.分别度量l1，l2被直线a、b、 A1 B1 AB 与 c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度. B1C1 BC 相等吗？任意平移直线c，再度量AB，BC，A1B1，B1C1 AB AB 与 1 1 还相等吗？ 的长度， B1C1 BC
AB BC
=
A1 B1 B1C1
AD AE DB EC
如图，过点A作直线MN，使MN∥DE.
∵ DE∥BC ， ∴ MN∥DE∥BC. 因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC 所截， 则由平行线分线段成比例可知， AD AE AD AE AB AC DB EC DB EC DB EC ， . 同时还可以得到 AD AE AB AC
由于 AD DB
1 1 ， AB BE EF FC BC . 2 3
因此 AD DB BE EF FC .
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1.
A1 B1 2 A1 D1 2 . 从而 B1C1 3 B1 E1 3B D NhomakorabeaA
4
E F
2
C
图1 12
8
解 因为 DE // BC, 所以 AD AE 4 2 1 . AB AC 6 3 AD CF 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
2
2 CF 16 16 8 由12式得 , 即CF .所以 BF 8 . 3 8 3 3 3
观察 下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知
道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC， 则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平 行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是 真的吗？
4.2平行线分线段成比例
下下 全 =全
平行线分线段成比例定理
b
D
l1
E
l2
l3
F
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
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两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
定理的符号语言 L4 L5
L1//L2//L3
AB BC
=
DE EF
A B
C
D E
L1
L2
F L3
(平行线分线段成比例定理)
例：如图：在△ABC中E,F分别是AB和CD上的两点且
EF//BC, （1）如果AE=7，EB=5，FC=4那么AF的长是多少？ （2）如果AB=10,AE=6,AF=5那么BE的长是多少？
解：（1）∵EF//BC
∴ AE AF
EB FC
∵AE=7,EB=5，FC=4
D
A E
∴AF= AE FC 7 4 28
？2 3
若
AB BC
3 ，那么,DE
4
EF
？3 4
你能否利用所学过的相关知识进行说明？
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思考题
如图，已知l1∥l2∥l3
A
求证：(1) AB DE BC EF
上上 下 =下
B
(2) AB DE AC DF
上上 全 =全
C
(3) BC EF AC DF
=
a b
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这节课要研究的问题
三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果？
我们将通过一些特殊的例子来研究：
如图：直线l1//l2//l3,l4、l5被l1、l2 、l3所截
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理【重点难点解析】 重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定 . 难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用 .【命题趋势分析】 利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作 图题出现，解题时要结合比例性质 .核心知识 【基础知识精讲】 本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定 .1. 平行线分线段成比例定理(1) 定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 (2) 定理的基本图形若 l 1∥l 2 ∥l 3，则3. 三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角的两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4. 相似三角形性质定理的预备定理 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边成比例 ( 如图 )) ，所得的对应线段成比例2. 平行线分线段成比例推论(1) 推论：平行于三角形一边的直线截( 或两边的延长线△ABC中，若DE∥BC，则＝＝上述基础知识①用来证明线段成比例；②证明直线平行；③证明两三角形相似；④已知三条线段，作第四比例项典型例题例 1 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于 F.求AF∶FC.例 2 如图， D 为△ABC的AC边上一点， E 为CB延长线上一点，且＝，求证：AD＝EB.例 3 已知：如图，△ ABC 中，DE∥BC，AC＝6，AD＝6，CE＝2，则BD的长为多少？例 4 如图，已知AD为△ ABC中∠ BAC 的平分线，求证：【课本难题解答】例 1 在△ABC（AB> AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP∶CP＝BD∶CE.（如图 5.2-11）（P 255 A.18）例 2 如图 5.2-12 ，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和 E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB例3 为了求出海岛上的山峰AB的高度、在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1 步等于6尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123 步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在同一直线上，从标杆FE退后127 步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上，求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少?（如图 5.2- 13）（P 256B.17）补充一些小问题1.怎样用三角形面积公式证明平行线分线段成比例定理？2.平行线分线段成比例定理有没有逆定理？3.如图，D为△ABC的AB 边上一点，过 D 点作DE∥BC，DF∥AC，4.如图，已知AC∥BD，BD⊥AB，AD、BC相交于E，EF⊥AB 于 F. 求证：- ＝5. 如图，D、F 分别是△ ABC的边AB、AC上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3连DF 交BC的延长线于E. 求EF∶FD.AF交DE于G，BE交DF于H，求证：GH∥AB.6.已知：如图，在□ ABCD 中， E 是AB 的中点，在 AD 上截取 AF ＝FD ，EF 交 AC 于 G.求证： ＝7. 如图，在△ ABC （AB > AC ）的边 AB 上取一点 D ，在边 AC 上取一点 E ，使 AD ＝AE ，线段 DE 和 BC 的延长线交于点 P. 求证： BP ∶CP ＝BD ∶CE8. 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 3，延长 AB 到点 E ，使 BE ＝2AB ，连结 EC 并延长交 AD 的延长线于点 F ，求 AF 的长.【典型例题】例 1 如图，在△ ABC 中， DE ∥BC ， EF ∥ CD.（ 1）求证： AF ：AD=AD ：AB （2）若 AF=4，FB=5，求 FD 的长 . （ 1）证明：∵ EF ∥DC ，∴ AF ： AD=AE ： AC∵ DE ∥ BC ，∴ AD ：AB=AE ：AC ∴AF ： AD=AD ： AB（2）AF=4，FB=5，∴AB=9，由 AD 2=AF ·AB ，∴ AD=6，FD=2.A例 2 如图， M 为 ABCD 一边 AD 的中点， BM 交 AC 于点 P ，若 AC=6cm ，求 PC 的值 .A MAD 2例 3 如图，若 DE ∥ AB ，FD ∥BC ， = ，AB=9cm ，BC=6cm ，求 BEDF 的周长 .AC 3例 4 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的角平分线交 AC 于 D 。
平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例的结论可以用以下两个定理来描述：
1. 三角形法则：如果在两条平行线上有两个相交线段，那么这两条线段被平行线切分的部分成比例。
具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，并且有两个交叉
线段EF和GH，那么EF/GH = AB/CD。
2. 价恩斯定理：两条平行线被一组相交线段切割所形成的任意两条线段之间的比值，等于这两条线段所在平行线之间的比值。
具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，其中EF和GH
是这两条平行线上的两个交叉线段，那么EF/GH = AB/CD。
这些定理指出，在平行线上切割的线段之间存在比例关系，这使得我们可以通过已知线段的比例来推导未知线段的长度。
平行线分线段成比例定理证明过程
平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。
在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。
一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。
形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。
二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。
1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。
其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。
2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。
我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。
3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。
我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。
4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。
我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。
5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。
6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。
三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。
平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。
总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。
通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。
平行线段分线段成比例证明
平行线段分线段成比例证明平行线段分线段成比例，这个听起来挺复杂的吧？咱们可以把它想象成一场友谊赛，参与者是两条平行线，还有一条小线段在中间起着分割的作用。
想象一下，两个好朋友在操场上玩耍，两个平行的线段就像这两个朋友，永远保持着同样的距离，绝不会走得太近，也不会远离彼此。
而那个小线段，就是他们之间的小桥梁，连接着这段友情。
这个道理特别简单。
就好比你跟朋友一起分享零食，你们每人分到的数量是一样的。
这时候，假设你们有两种零食，巧克力和薯片。
你把巧克力分给自己和朋友，结果每个人都有一份，而薯片也是如此。
这不就形成了一种比例吗？对了，平行线段之间的比例关系就像你们分享零食一样，永远保持着一致，谁都不会吃亏。
再想象一下，咱们画一条横线，把它放在两条平行线之间。
就像把一个巧克力棒横着放在两块巧克力之间，哈哈，想想就让人馋了。
这个横线就把两条平行线分成了几个小部分。
每个部分就像小朋友们分到的零食，分得公平，分得合理。
我们可以用简单的数学公式来表示这几个部分的关系，像是把一根长棍子折成几段，折得越整齐，比例就越好。
所以，当我们把这个概念再深入一点，可以发现，平行线段的比例关系不仅仅是数学题，它其实和我们生活中的很多事情都息息相关。
就像在一个团队里，大家分工合作，每个人的贡献都很重要。
如果某个人的工作量比另一个人多，那可能就不太公平了。
就像你吃巧克力的时候，朋友却只得到了几片薯片，这样的情况谁都不想看到，对吧？我们可以用一个简单的例子来说明这个原理。
假设我们有一条长长的公路，两旁都是平行的绿树。
你在公路中间跑步，想象一下，左边的树和右边的树永远保持着相同的距离。
然后，你在中间画一条线，标记一下你跑过的距离，结果你发现，无论你怎么跑，这两侧的树之间的距离始终都是一致的。
这就是平行线段分线段成比例的最佳体现，真的是让人感到神奇呢。
想想生活中那些有趣的事情吧！每当你看到平行线，就像看到朋友们齐心协力，分享快乐一样。
这种简单而又美好的关系，正是让我们的生活充满乐趣的源泉。
3.2 平行线分线段成比例
第三章 图形的相似
3.2 平行线分线段成比例
探究活动一
如图（1）小方格的边长都是1， 直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n于 A1，A2， A3，B1，B2，B3 。
（1）计算
A1A2 ，B1B2 A2 A3 B2B3
你有什么发现？
探究活动二： （2）在平面上任意作三条平行线，用它们 截两条直线，截得的线段成比例吗？
AD
l1
B
E
l2
C
F
l3
（1）
D
A
l1
E
B
l2
CF
l3
（2）
动脑筋：
如图，在ΔABC中，已知DE∕∕BC,则 AD AE 和 AD AE 成立
吗？为什么？
DB EC AB AC
演示：
推论：
B
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
，所得的对应线段成比例。
பைடு நூலகம்
熟悉该定理及推论的几种基本图形
A
D
DA
A
求BF的长
A
D
E
B F
C
思考探讨： 用所学新知将一条线段五等分？
1、两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上 截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相 等； 2、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 3、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对 应线段成比例。
布置作业
D
B
E
BE
B
E
C DA
FC
F A
B
E
D
B
C
FE
C
F
平行线分线段成比例定理
如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥 如图，有一块形状为直角梯形的草地， 直道，两个拐角A 处均为直角， 直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥 直道EF垂直于AB 垂足为E.已知AE EF垂直于AB， E.已知AE长 EB长 DF长 直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长 c米.求CF.
要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D B C A E F E D D E F C A B B C C E D B A E F A B E D
F D
C A
16 16 8 CF = DE = , BF = 8= . 3 3 3
B
F
C
例2:三角形内角平分线分对边成两线 三角形内角平分线分对边成两线 这两线段和相邻的两边成比例. 段,这两线段和相邻的两边成比例 这两线段和相邻的两边成比例
A
4 3
E
已知： 是 已知：AD是△ABC中∠A的平 中 的平 分线， 分线， BD AB 求证： 求证：DC
课 堂 小 结
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？ 定理有何联系？
A B D E
AB 当 =1 BC AB 当 ≠1 BC
A B
D E
C
F
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！ 结论：后者是前者的一种特殊情况！ 平行线分线段成比例定理： 平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 对应线段成比例 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
l4
l5
问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 如何不通过测量，运用所学知识， 子分成两部分，使这两部分之比是2:3? 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
平行线分线段成比例
A
D
M
l1
B
NE l2
C
O
F
l3
l4
l5
l6
思考：当平行线之间的距离相等时，对应
线段的比是多少？
实际应用
1.如何不通过测量，运用所学知识，快速 将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是 2:3?
A
CIFI
=
2 3
D E
DI EI
F
FI
例题解析
例1、如图，在△ABC中，E、
F分别是AB和AC上的点，且
EF∥BC,（1）如果AE=7, EB=5，
FC=4 ，那么AF的长是多少？
B
C
（2）如果AB = 10, AE=6，
AF=5，那么FC的长是多少？
(1) EF ∥ BC ∴AE = AF EB FC
∴AF = AE.FC = 7× 4 = 28
EB
55
(2) EF ∥ BC ∴AE = AF AB AC
∴AC = AB.AF = 10×5 = 25
AE
63
∴FC = AC - AF = 25 - 5 = 10
3
3
课堂练习
1、如图，已知l1//l2//l3, （1）在图（1）中AB=5,
BC=7，20
EF=4，求DE的长。
7
（2）在图（2）中DE=6, EF=7，
AB=5，求AC的长。
65
6
AD
D
段 成比例；
2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的对应线段成比例。
谢谢
（ 图 3）
( 图 4）
推论：
平行于三角形一边的直线与其他两边 相交，截得的对应线段成比例。
(完整版)平行线分线段成比例
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个 结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中 有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其 中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度 的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开， 难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
1----平行线分线段成比例
平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. *（2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则E F A FF C F D+ 的值为（ ）A.52B.1C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； E AO（3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
平行线分线段成比例常见应用的六种技巧
∵点D为AB的中点A，D 1.
DB
∴AD＝DB，即
∵CDEFFE∥BAEA，CE
AD DB
1.
∴
∴DE＝EF.
类型 3 证两个比的值的和为1
技巧6 同分母的中间比代换法
6.
如图，已知AC∥FE∥BD，求证：
AE AD
BE BC
1.
∵AC∥EF，
证明：∴
BE BF
①.
BC BA
又∵FE∥BD，
证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD， ∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD. ∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ACE≌△BCD， ∴∠BDC＝∠AEC. 又∵∠GCD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60° ＝∠FCE，CD＝CE， ∴△GCD≌△FCE(ASA)． ∴CG＝CF. ∴△CAFGG为A等F边. 三角形．
∴PD·PC＝PE·PBP. F
PD .
PC PA
∵DF∥AC，∴
∴PD·PC＝PF·PA.
PE PA . PF PB
∴PE·PB＝PF·PA. ∴
技巧3 等比代换法证比例式 3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.
AD AF .
证明：∵求E证F：∥CADB， AD
∴ AF AE .
第四章 图形的相似
平行线分线段成比例
第2课时
利用平行线证比例式或等积式的方法： 当比例式或等积式中线段不在平行线上，若平行
线为一组(两条以上)时，可直接利用平行线分线段成 比例的基本事实证明；若平行线只有两条时，则利用 平行线分线段成比例的基本事实的推论证明；当比例 式或等积式中的线段不是对应线段时，则利用转化思 想，用等线段、等比例、等积替换进行论证．
平行线分线段成比例定理推论
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
∵直线l1∥l2∥l3
l4
l5
AB DE BC EF
解： 在△ABC中，
A
DE // BC
AD AE AB AC
AD 10 14 18
AD 70 9
D
E
B
C
如图，已知DE∥BC,且AB=5,AC=7,AD=2.求AE的长
解： 在△ABC中，
DE // BC
AD AE AB AC
AE 14 5
2 AE 57
E
D
A
B
C
A D B
∴ AE AE` ∴
因此直线DE`与直线DE重合
同一法
∴DE∥BC
E E`
C
已知：△ABC中，D,E分别是BA, CA延长线上的
点，且有 AD AE ，则DE∥BC
AB AC
证明：过D点作直线DE`∥BC,交AC于点E`，则有
AD AE` AB AC
∵ AD AE AB AC
∴ AE AE` AC AC
数学语言：
因为在△ABC中，DE∥BC,
AD AE BD CE
AD
AE
AB AC
平行线等分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
逆命题是什么呢？ 是否是真命题呢？
如果三条直线截两条直线所得的对应线段成比例， 那么三条直线平行。
举反例
推论：
平行线分线段成比例及证明
D B
E C
l2
A B C
l2
l3
l3
a A B
b D E L1 L2 F
C 平行线等分线段定理： 两条直线被三条平行线所 截，如果在一直线上所截 得的线段相等，那么在另 一直线上所截得的线段也 相等。
L3
AB BE = BC EF
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？
A B D E
已知： 例1 已知：如图 EF=4。求BC。 。 。
A B C D E F
l1 // l2 // l3 ，AB=3 ，DE=2 ，
l1 l2
l3
练习：已知：如图， 练习：已知：如图， l // l // l ，AB= a, BC= b, 1 2 3 EF=c. 求DE。 。
A B C
D E F
l1 l2 l3
F
AD AE D AD AC 在∆ADC中∴EF//CD, , = AF AE B AB AD = AD AF
A
E C
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
AB BC AC = = 已知：如图， 求证： 。 已知：如图，1 // l2 // l3 ， 求证： l DE EF DF 证明： 证明：因为 l1 // l2 // l3 AB DE （平行线分线段成 A D = 比例定理）。 BC EF 比例定理）。 AB BC B E = DE EF F C BC EF （平行线分线段成 因为 = 比例定理）。 AC DF 比例定理）。 BC AC = EF DF 上 下 全
三 练习
∴ ∴
l1 l2 l3
∴
∴
AB BC AC = = DE EF DF
平行线分线段成比例八大题型
【变式】如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF：BF＝1：2，点 D 是 BC 延长线上一点，BC：CD ＝2：1，连接 FD 与 AC 交于点 M，则 FN：ND＝ ．
解：过点 F 作 FE∥BD，交 AC 于点 E，
∴=，
∵AF：BF＝1：2，
∴ = 1，
3
∴ = 1，
3
即 FE= 13BC， ∵BC：CD＝2：1，
C l3
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如 AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段
上上 上上 下下
合成的线段称为全，则可以形象的表示为 下 下 ， 全 全 ， 全 全 ．
【题型1 “井”字型】
【例 1】如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截，如果 AB＝2，BC＝3，EF ＝2，那么 DE 的长是（ ）
A．2
B
．4
3
C．1
D．34
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l3， ∴=，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴2 = ，
32
∴DE=
4，
3
故选：B．
【变式】如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F．已知 AB＝3，BC＝2，DE＝6，则 DF 等于（ ）
∵ = = 1，
2
∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴ = 1，
4
故 D 错误，符合题意； 故选：D．
【变式】已知，在△ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DE∥BC，DH∥AC 分别交 AC、 BC 于点 E、H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则下列结论中错误的 是（ ）
4.2平行线分线段成比例
课堂小结，归纳提炼
3、定理的变式图形。
4、定理的初步应用。
小试牛刀
已知：BE平分∠ABC，DE//BC.
AD=3, DE=2, AC=12, 求：AE的长度
D
A
3
2 2
B
3k
E
2k
C
自己活着，就是为了使别人过得更美好。
AE FC 7 4 28 ∴AF= EB 5 5
∵AE=7,EB=5，FC=4
EB
FC
E
F
B C (2)∵EF//BC AE AF ∴ AB AF 10 5 25 AB AC AC ∴ AE 6 3 25 10 ∵AB=10,AE=6,AF=5 FC AC AF 5 ∴ 3 3
行线分线段成比例
成比例线段问题有哪些相关定理
1、比例性质 基本性质 合比性质
等比性质
a c 若 b = d ,则ad=bc.
a c 若 b = d ,则 a+b = c+d b d
a c e m …… 若 = n b = d = f = a+c+e+…+m = a (b+d+f+…+n≠0),则 b+d+f+…+n b
1
D B
E C
l2
l2
l3
l3
平行于三角形一边的直线与其 他两边相交，截得的对应线段 成比例
数学符号语言
AD AE = AB AC
DE // BC
A
D E
B
C
思考
l1
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚 落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的 比会相等吗？依据是什么？
平行线分线段 成比例
5
5
A
9
C E
课堂小结：
1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 成比例； 2、平行于三角形一边的直线与其他两边相 交，截得的对应线段成比例。
当堂检测题: (A组)
DE
1、如图: 已知 DE∥BC,
A
AB = 5, AC = 7 ，
AD= 2， 求：AE的长。
B
C
C
(B组)
2、已知 ∠A =∠E=60°A
L3
BC EF
(平行线分线段成比例定理)
议一议：
1.如何理解“对应线段”？ 2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
L4 L5
A
D
L1
B
E
L2
C
F
L3
L4 L5 L1 L2 L3
L5L4 L1 L2 L3
L5 L4 L1 L2 L3
L5 L4 L1 L2
L3
L5 L4
A
L1
D
E
L2
B
C
L3
数学符号语言
DE // BC
D
AD AB
=AACE
B
A
E
C
L4 L5
A
D
L1
B
E
L2
C
F
L3
L4 L5 L1 L2 L3
L5L4 L1 L2 L3
L5 L4 L1 L2 L3
L5 L4 L1 L2
L3
L5 L4 L1 L2
L3
L5
L4
L1
L2
L3
L5
L4
E
D
L1
A
L2
B
C
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《平行线分线段成比例》教学设计
一、课标要求
掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”．
二、学习目标
1、探索并掌握基本事实“平行线分线段成比例”及其推论．
2、经历上述探究过程，体会由特殊到一般的归纳推理的思想与方法．
3、通过交流合作，体会到其重要性，感悟几何价值，培养良好的学习习惯．
三、教材分析
本节内容是鲁教版八年级下册第九章第二节，是2011版新课标新增内容，按照《标准》规定，将“平行线分线段成比例”内容作为基本事实，它是证明相似三角形判定定理的基础．在学习平行线分线段成比例时，教材呈现的顺序是：特殊→一般→特殊．具体来说，教材首先借助方格纸这一工具，引导学生通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确“平行线分线段成比例”的基本事实；然后把这一基本事实特殊化（应用在三角形中），得到它的一个推论，从而为后面证明相似三角形判定作准备．
由于基本事实不需要推理证明，所以本节内容在学生通过一系列的探索活动，直观归纳出结论即可，所以重点就是能找出对应线段，掌握“平行线分线段成比例”及推论，并能简单应用．
四、学情分析
由于学生通过对相交线、平行线、三角形、四边形（主要是平行四边形）等图形的学习，已经积累了一定的数学活动经验，几何直观与推理能力都得到了一定的培养，而通过对前面两课时的学习，对相似图形有了直观的印象，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系，从而认识了线段的比及成比例线段，通过方格纸的直观性，合作探究，了解了合比性质、等比性质，并通过对其进行证明，发展了学生的逻辑推理的能力，为后面相似的学习奠定了良好的基础，而“平行线分线段成比例”正好是建立在成比例线段基础上来学习的．所以本节课的难点就是如何理解对应线段成比例及其变式应用．
五、评价目标
通过环节一、二、三达成目标1、2；
通过环节二、三达成目标3
六、教学过程
【第一环节】复习导入
1、师生活动 复习：
（1）如果四条线段a ，b ，c ，d 成比例， 那么___________．
（2）如图，如果AB ，BC ，DE ，EF 四条线段 成比例，且AB =2，BC =3，DE =4，那么EF =_____． 问题：
（1）如图，如果a ∥b ∥c ，分别交直线 m ，n 于 A ，B ，C ，D ，E ，F ，且AB =2，BC =3， DE =4，那么EF =_____．
（2）不通过测量，你能不能利用所学快速 将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比为2:3呢？ 2、设计目的
复习（1）（2）为学习本节内容准备的，加深成比例线段的理解，问题（1）（2）为引起学生学习障碍（即设疑）而设置的，是为了引入新课程而设置的，其中问题（1）是为了与复习（2）对比，可以看出仅仅条件由“四条线段成比例”变为“a ∥b ∥c ”，学生猜想结果可能成比例，但根据不足.问题（2）是设置实际应用情境，可能学生根据生活经验能做出，但同样根据不足． 3、活动预期
复习（1）（2）学生能够顺利解决，但问题（1）（2）学生通过交流，能够猜想出结果，但讲不出理由，这为引入下一环节做铺垫． 【第二环节】自主探究 1、师生活动 如图，小方格的边长
均为1，直线l 1∥l 2∥l 3，分别交直线 m ，n 于A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3． (1)计算1223A A A A ，1223
B B
B B
么发现？
A D C
E
B
F
A D C
E
B
F
a b c
m n
(2)将l2
(1)中的结论还成立吗？
(3)
用它们来截两条直线，
上面结论成立吗？
2、设计目的
此环节为探究合作环节，让学生通过测量、计算等方法，求出对应线段的比，遵循有特殊到一般的顺序归纳出一般性结论，然后教师利用几何画板软件进行动态操作，认清在不同位置下的对应线段的位置，特别是通过运动方式让学生体会到各种图形位置的统一性．
3、活动预期
学生通过交流合作可以得出比值相等的结论，只是在求相关线段的长度时，涉及到根式的化简计算，部分学生有点难度；再就是对于不同位置的对应线段的统一性，认识不到，对结论的归纳不能用语言完整表述．
【第三环节】迁移应用
1、师生活动
例在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC．
（1）如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？
（2）如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？
巩固练习：
1．已知直线l1∥l2∥l3，DE=6，EF=7，AB=5，求AC的长．
A
D
C
E B
F
l1
l2
l3
A
B
F
C
E
2．在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 上的点， 且DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD :DB =2:3，BC =20， 求BF 的长．
问题解决
不通过测量，你能不能快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比为2:3呢？ 2、设计目的
例题的设计为所学知识的巩固应用，练习（1）为进一步巩固上面所学，练习（2）是变式练习，综合性较强，坡度有些陡，应用性强，主要是提高学生的综合应用能力．问题解决是为了呼应导入问题，让学生明白本节课内容在生活中的应用． 3、活动预期
例题及练习（1）能顺利解决，练习（2）有难度，但给予学生足够的时间交流，大部学生是可以解决的，问题解决仍然需要学生间的交流合作． 【第四环节】能力提升
1、师生活动
1．如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ， OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ． 求证：OD ∶OA ＝OE ∶OB ．
2．在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ， AB =8，AF =2，求AD 的长．
2、设计目的
通过更丰富的变式练习，既可以加深对本节知识的理解，又能加强与其它知识点的的链接，系统化所学，发展学生的逻辑推理能力 ． 3、活动预期
需要足够的时间交流，部分学生可能全部完成有难度，可以放到课后进行 ．
A
D
B F C
E
O
D
C F
B
A
E
F
A
D
C
B
E
【第五环节】课堂小结 1、师生活动
2、设计目的
利用几何画板优势，利用运动的观点加深理解各种图形之间的统一性，重点让学生到黑板操作，加深其印象． 3、活动预期
学生操作问题不大，可能图形不够全面． 【第六环节】作业布置 一、必做题
1．已知直线l 1∥l 2∥l 3，BC =7，EF =4，AB =5，求DF 的长．
2．在△ABC 中，D ， E 分别是AB 和AC 上的点，且ED
∥BC ． （1）如果AD =，DB =，AE =，那么EC 的长是多少？ （2）如果AB =5，AE =3，AF =4，那么EC 的长是多少？
二．选做题
在△ABC 中，D ， E 分别是AB 和BC 上的点，
A D C
E
B
F
A
D
C
E
B
F A D C
E
B
F
A
D C E
B F
A
C
D
E
B A
D C
E
B F l 1 l 2
l 3
A
D
B
C E
且ED∥AC，AB AC
BE EC
=，
5
3
AB
AC
=，求
AB
BD
．
2、设计目的
必做题针对大多数学生，加深他们对本节内容的进一步理解，巩固基本应用；选做题对学有余力的学生适当提高一下难度，提高这部分学生的能力，使每个人学生在自己的高度都有所收获，增强学习数学的信心．
3、活动预期
必做题应该能解决，也能加深对本节内容的理解，必做题有难度，有综合性，需要用到前一节的的合比性质（或设k法），估计完成的在40%上下．。