勾股定理的不同证法

勾股定理的不同证法

证法1：设三角形较短的两边长度分别为a和b，较长的边为c，

如果a的二次方与b的二次方的和等于c的二次方，最长边对

应的角为直角，则已证明勾股定理：a²+b²=c²

证法2：以三角形三边延伸做三个正方形，边长分别为a，b，

c，如果正方形（a边长）加正方形（b边长）面积和等于正方

形（c边长），则a²+b²=c²，已证明勾股定理。

证法3:以a，b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形，

则每个直角三角三角形的面积等于½ab，把这两个直角三

角形如图所示，使A，E，B三点在一条直线上。

∵Rt△EAD≌RT△CBE，

∴∠ADE＝∠BEC，

∵∠AED＋∠ADE＝90°

∴∠AED＋∠BEC＝90°

∴∠DEC＝180°—90°＝90°

∴△DEC是一个等腰直角三角形

它的面积等于½c²

又因为∠DAE＝90°，∠EBC＝90°，

∴AD∥BC

∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于½（a＋b）²

∴½（a＋b）²＝2·½ab＋½c²

∴a²+b²=c²

证法4：做8个全等的直角三角形设它们的两条直

角边长为a，b，斜边长为c，在做三个边长为a，b，

c的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形，从

左图可以看到，这两个正方形的边长都是a＋b，所

以面积相等，即：

a²+b²＋4·½ab等于c²＋4·½ab，整理便得a²+b²=c²

证法5：以a，b为直角边(b＞a)，以c为斜边做四

个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于½ab，把这

四个直角三角形拼成如图所示形状。

∵RtDAH≌Rt△ABE,

∴∠HDA＝∠EAB

∵∠HAD＋∠HAD＝90°

∴∠EAB＋∠HAD＝90°

∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c²

∵EF＝FG＝GH＝HE＝b—a

∠HEF＝90°

∴EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于（b—a）²

4·½ab＋（b—a）²等于c²

∴a²+b²=c²

证法6：从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：

b ( a + b )= 1/2

c ² + ab + 1/2(b + a)(b - a)

矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直

角三角形。

（简化） 2ab + 2b ²;= c ²; + b ²;- a ²;+ 2ab

2 b²- b² + a²= c²

：a²+b²=c²

证法 7：如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .

假设222c b a ≠+，即假设AC²＋BC²≠AB²，则由 AB ²＝AB ·AB ＝AB （AD ＋BD ）＝AB ·AD ＋AB ·BD

可知，AC²≠AB ·AD 或者BC²≠AB ·BD

. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .

在ΔADC 和ΔACB 中，

∵ ∠A = ∠A ，

∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB .

在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，

∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则

∠CDB ≠∠ACB .

又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.

这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.

∴ 222c b a =+.

证法 8：设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.

在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，

则 AD = c .

∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，

∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ，

∠AED = 90º， AE = b ，

∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .

∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c .

∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，

∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，

∴ ∠ADC = 90º.

∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形.

∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，

∴ ∠BAF=∠DAE .

连结FB ，在Δ

ABF 和ΔADE 中，

∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .

∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a .

∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上.

在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，

∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ，

∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .

∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=， 76451S S S S S +===，

∴

6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++

=5432S S S S +++

=2c

∴ 222c b a =+.