锐角三角比综合复习(教师版)

一、知识精要
序号 初中数学备课组 教师： 年级：初三 日期 上课时间
学生 学生情况：
授课类型
主课题：锐角三角比综合复习
教学目的：
1.理解正弦、余弦、正切、余切的概念，并能运用定义求直角三角形中锐角的三角比；
2.熟练掌握特殊锐角的三角比的值，并能运用特殊锐角的三角比值进行计算和化简；
3.掌握互为余角和同角三角比间的关系，并能运用它们进行计算或化简；
4.会构造直角三角形,解有关锐角三角比的问题。

教学重点：
1.正弦、余弦、正切、余切的定义；
2.特殊角的三角函数值。

教学难点：
正弦、余弦、正切、余切的定义的理解。

正弦和余弦
特殊角的正弦值和余弦值
正弦和余弦间关系与增减性
定义
3.特殊角的值
熟记特殊角的三角函数值。

规定：090cos ,10cos ;190sin ,00sin ====o o o o ；
,090cot ,00tan ==o
o 不存在与而o o 0cot 90tan 。

4.互为余角的正弦和余弦、正切和余切间的关系
设A 为锐角，)90sin(cos ),90cos(sin A A A A o o -=-= )90tan(cot ),90cot(tan A A A A o o -=-=。

即任意角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意角的余弦值等于余角的正弦值；任意角的正切值等于它的余角的余切值，任意角的余切值等于余角的正切值；如：o o o o 40cot 50tan ,52cos 38sin ==。

5.同角间三角函数的关系
根据正弦定义、余弦定义可知:c b A c a A ==cos ,sin ,则1cos sin 222
222
2==+=+c
c c b a A A A
A
A A A A A A sin cos cot ,cos sin tan ,1cos sin 2
2
==
=+ 利用这些关系，可以沟通四种锐角三角函数间的联系。

6.锐角的三角函数值随角度的变化规律
如上图，令c=1,锐角A 越小，则a 越小，b 就越接近于1，则a 越大，（a<c),b 就越小，所以，当角度在o 0--o
90间变化时，正弦值随角度的增大（或减少）而增大（或减少）；余弦值随角度的增大（或减少）而减少（或增大）。

由此可见，在o
0--o
90间角正弦值和余弦值在0--1之间，即1cos 0;1sin 0<<<<A A 。

可以应用o 0--o
90间的正弦值、余弦值的增减性来比较角的正弦值和余弦值的大小，其规律是：
（1）B A ∠∠,是锐角，若B A ∠>∠，则B A sin sin >；若B A ∠<∠，则B A sin sin <； （2）B A ∠∠,是锐角，若B A ∠>∠，则B A cos cos <；若B A ∠<∠，则B A cos cos >。

上述规律反过来也成立。

当角度从o 0增加到o 90时，它的正切值从0开始增大，而余切值减小到0；当角度从o 90减小到o 0时，
正切和余切
定义
特殊角的值
相互关系 增减性
它的正切值逐渐减小到0，而余切值从0开始逐渐增大。

即
（1） B A ∠∠,是锐角，若B A ∠>∠，则B A tan tan >；若B A ∠<∠，则B A tan tan <；
（2） B A ∠∠,是锐角，若B A ∠>∠，则B A cot cot <；若B A ∠<∠，则B A cot cot >。

由此变化规律可以比较角的正切值、余切值的大小，反过来也可以依据正切值、余切值的大小比较角的大小。

三、精解名题
例1.（1）已知a 为锐角，且13
5
sin =
a ， ( 3/5)求cos a 的值； （2）若a 为锐角，且22cos 7sin 50a a +-=，求a 的度数。

本题考查同名三角函数的相互关系，要善于应用22sin cos 1a a +=及变式进行转化。

解：（1）2
2
25144cos 1sin 1(
)13169
a a =-=-= 12cos 13a ∴=±，负值舍去，即12
cos 13
a =。

（2）原方程可化为22(1sin )7sin 50a a -+-=
0)1sin 2)(3(sin ,03sin 7sin 22=--=+-∴a a a
解得1
sin 2
a =
或sin 3a =（舍去） 30a ∴=︒ 与一元二次方程，完全平方式等结合的问题会出现两解，要结合三角函数的几何性质 （如0sin 1a <<）检验并排除多余的解。

例2. 求下列各式的值：
（1）tan 455cot 306tan 602cos60︒+︒-︒-︒；
（2）sin 30tan 451cos30cos 60︒︒
++︒︒
.
解： （1） 原式=1
15363232
+--⨯
=-.-13/3根号3 （2） 原式=
111223132312
2
+
=+=-++
.
例3. 在Rt ABC 中，∠C=90°，3
sin 3
A =
，求tan ,cot ,cot A A B 的值。

解： 在Rt ABC 中，3
sin 3
a A c
==，
设3,3(0)a k c k k ==>，则勾股定理，得226b c a k =
-=
212tan ,cot 2,cot tan 2tan 2
a A A B A
b A ∴=
=====. 例4. 在Rt ABC 中,90,3,C BC CD AB ∠=︒=⊥,垂足为,2D AD =,求AB 的长和tanA 的值。

解： ,B B B D C B C A R t ∠=∠∠=∠=∠， ,BDC
BCA ∴即
BC BD
AB BC
=. 232,2303
AB AB AB AB -∴
=--= 3AB ∴=或1AB =-(舍去），由勾股定理，得936AC =-=
32
tan 26
BC A AC ∴=
==. 例5. 已知：
ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒过BC 的中点D 作DE AB ⊥,垂足为E,连接CE,
求sin ACE ∠的值。

解：过点F 作,EF BD F ⊥为垂足，
ABC 为等腰直角三角形，
45,A B A C B C ∴∠=∠=︒=,又DE AB ⊥,
D E B ∴也是等腰直角三角形，
设1,BE =则2CD BD ==，2222,22
BD BC BD DF EF ====
=,
232222
CF CD DF =+=+
=
,
在Rt CEF ,由勾股定理得： 2222
232(
)()522CE EF CF =+=+=
在Rt CEF 中，由三角函数定义得：310cos 10
CF ECF CE ∠=
=,
90,ACE ECF ∠+∠=︒ 310s i n c o s 10
ACE ECF ∠=∠=
.
例6. 如图，某轮船沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30︒，船以20海里/时的速度航行2小时到达B 处后，测得灯塔C 在北偏西75︒，问当船到达C 的正东方向时，船距灯塔C 有多远（结果保留两位有效数字）？
解：如图，作CD AB ⊥于D,
30,75CAD CBD ∠=︒∠=︒
例7. 如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BC 宽为6m ，坝高为23m ，斜坡AB 的坡度3:1=i ，斜坡CD 的坡度1:1='i ，求斜坡AB 的长，坡角a 和坝底宽AD （结果保留根号）。

解：作AD BE ⊥于E ,作AD CF ⊥于F ,
33
3
1tan ==
a ，︒=∴30a 在BEA Rt ∆，23,30==︒=∠CF BE A ,
462==∴BE AB ,
323,3
1tan =∴==
AE AE BE a 23,1:1:=∴=FD FD CF
四边形BEFC 是矩形，6==∴BC EF ,
32329236323,+=++=∴++=AD FD EF AE AD
四、热身练习
1. 判断题
（1）A cos 表示角A 与符号cos 的乘积（ 错 ）
（2）已知a 为锐角，则a 的正弦值、余弦值均是固定值（ 对 ） （3）若A ∠为锐角，则A sin 是一个任意的正数（ 错 ） （4）若βα和互为余角，则βαsin sin =（ 错 ） 2. 填空题
（1）在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,若3,5==BC AB ,则=A cos ____
5
4
_____ （2）若A ∠是锐角，则=+-1sin 2sin 2A A ____A sin 1-_______ （3）=︒⋅︒+︒60sin 60tan 45cos 2
_____2_____ （4）=︒⋅︒⋅︒48tan 45tan 42tan _____1____ 3. 选择题
（1）在ABC ∆中，2
3sin ,90=
︒=∠A C ,
则B cos 的值为（ B ） A. 1 B.
23 C. 2
2 D. 21
（2）在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,如果︒=∠30A ,那么B A cos sin +的值等于（ A ）
A. 1
B.
231+ C. 2
21+ D. 41 （3）若︒
-︒︒
+︒=
30sin 30cos 60sin 60cos y ，则y 的值为（ D )
A. 1-
B. 32-
C. 0
D. 32+
（4）计算 的结果是（ D ) A. 321- B. 321-- C. 321+ D. 321+-
五、巩固练习
1.已知4
6sin =
A ,则
=-+++-A A A A A A A A sin cos sin cos sin cos sin cos ____8_____ 2.已知︒⋅︒-=-︒⋅︒=-30cos 45sin 85,45cos 60sin 85y x ，求代数式
)(222222222332
2y x y x y xy x x y x y y xy x y x -⋅-+-⋅-+÷+-+的值。

63
5- ︒ + ︒ + ︒ ⋅ ︒ - + ︒ - ︒ 50 cos 30 cot 2
3
36 cot 36 tan 50° sin 90 sin 30
cos 2 2
3.正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点， 点F 在CD 边上，且CD CF 4
1
=
, 求EAF ∠的正弦值和余弦值。

55 5
52 4.已知α为锐角，ααcos ,sin 是关于x 的方程02=++n mx x 的两个根，且15=+n m ，
求n m ,的值。

.
5.已知等腰三角形的一条腰长为20cm ，底边长为30cm ，求底角的正切值。

3
7
6.已知α为锐角，且22tan =α，则=-αααcos cos sin 21____2
21-_____
7.在ABC ∆中，BC AD ⊥,垂足为D ,5,22===BC AC AB ,求AD 的长。

55
2
=AD
8.如图，等腰直角三角形 ABC ∆中，AC AB A =︒=∠,90,D 为AC 上一点，
α=∠=
DBC AC AD ,31,则=αtan ___2
1
_______
9.如图，沿AC 方向开山修渠，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取
25
12 , 5 7 =
- = n m
米1200,135=︒=∠BD ABD ，︒=∠45D ,那么开挖点E 离D 多远（精确到0.1米）正好能使A 、C 、E 成
一条线？（取14.412=）
4.84845cos 1200cos ≈︒⋅=∠⋅=D BD DE
六、自我测试
1. 选择题
（1）如果A ∠是锐角，且4
3
sin =
A ,那么（ C ） A. ︒<<︒300A B.︒<<︒4530A C. ︒<<︒6045A D. ︒<<︒9060A （2）当锐角︒>30A 时， A cos 的值（ A ) A. 小于
23 B. 大于2
3 C.
小于21 D. 大于21
（3）已知5774.0cot ,8391
.0cot ==βα，那么锐角βα,的大小关系是（ C ） A. βα> B. βα= C. βα< D. βα≤
（4）在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，b a ,分别是B A ∠∠,的对边，如果3:2sin :sin =B A ,
那么b a :等于（ A ）
A. 3:2
B. 2:3
C. 9:4
D. 4:9 (5) 若1)10tan(3=︒+α，则锐角α的度数是_____20°___. 2. 填空题
（1）计算：=︒+︒︒-︒⋅︒60cot 645cos 30sin 445sin 45tan _____
2
2___
（2）在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,23,3==AB BC ,那么=∠A __︒45______ （3）在ABC ∆中，若︒=∠︒=∠45,30B A ,2
2=
AC ,
则=BC ____21_____
（4）在ABC ∆中, 已知82,8,90==-︒=∠c a b C ，则=A sin ___82
82_______ 3. 计算题
（1）已知C B A ∠∠∠,,是ABC ∆三个内角，且32+是关于x 的方程012
sin 52
=+⋅-A
x x 的一个根， 求2cos
C B +的值。

5
4
（2）已知 c b a ,, 分别是 ABC ∆中C B A ∠∠∠,,的对边，关于x 的方程 0)1(2)1(22=+++-x c bx x a 有两个相等的实数根，且 b a c 33+=，
（1） 判断ABC ∆的形状； （2）求B A sin sin +的值。

∆Rt
5
7
（3）如图，在ABC Rt ∆中，,90AB CD C ⊥︒=∠，2=BD ,AC=3， 求（1）AB 的长； （2）A sin 的值； （3）B tan 的值。

2
2t a n ,36s i n ,3===B A AB
（4）如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ,D 是BC 边上的一点，
AB DE ⊥与E ，︒=∠45ADC ,若3,5:1:==BE AE DE ,求ABD ∆的面积。

5:1:=AE DE ,设)0(>=k k DE ，则k AE 5= AB DE ⊥ ,则k k k ED AE AD 26)5(2222=+=+=
,45,90︒=∠︒=∠ADC C k AC DC 13==∴ 2229k DE BE BD +=+=
，
B B ∠=∠ R t D E B
R t A C
∴∆∆, D E B D A C B A ∴= , 2
93513k k k k
+∴=+ 整理，得225180k k +-=，解得，129
2,2
k k ==-（舍去） 2,k ∴= 11
1321322
ABD S AB DE ∆∴=
⋅=⨯⨯=. （5）海中有一个小岛A,它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30︒，如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，
有没有触礁的危险？
解: 过A 作AC BD ⊥交BD 的延长线于C, 在Rt ADC ∆中，tan(9030)DC AC =⋅︒-︒，
在Rt ABC ∆中，cot(9060)BC AC =⋅︒-︒，
(cot 30cot 60)12BD BC DC AC =-=︒-︒= 12
638cot 30cot 60AC =
=>︒-︒
故渔船没有触礁的危险。