向量共线坐标表示
第八讲 向量坐标表示共线
第八讲 用平面向量坐标表示向量共线条件[学习目标]1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法． [知识链接]1．平行向量基本定理的内容是什么？答 如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .2．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是同向还是反向吗？ 答 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3，6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等． [预习导引]1．两向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． (1)当a ∥b 时，有x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有x 1x 2＝y 1y 2.即两向量的相应坐标成比例． 2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈(0，＋∞)时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点；当λ∈(－∞，－1)时，P 位于线段P 1P 2的延长线上； 当λ∈(－1,0)时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上. 典型例题要点一 向量共线的判定例1 已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解 AB →＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)． CD →＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0， ∴AB →与CD →共线且方向相反．方法二 ∵CD →＝－2AB →，∴AB →与CD →共线且方向相反．规律方法 此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 跟踪演练1 已知A 、B 、C 三点坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →. 证明 设点E 、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．依题意有，AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．∵AE →＝13AC →，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23.同理点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，∴EF →∥AB →. 要点二 利用向量共线求参数例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一的实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )，即(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，∴⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13(a －3b )＝－13a ＋b .∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)． ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．规律方法 由向量共线求参数的值的方法跟踪演练2 设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解 方法一 若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线， 则存在实数λ，使得AB →＝λAC →. ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， ∴(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，∴⎩⎨⎧4－k ＝λ10－k－7＝λk －12解得k ＝－2，或k ＝11.方法二 若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， ∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， ∴k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2，或k ＝11. 要点三 向量共线的综合应用例3 如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标． 解 方法一 设OP →＝tOB →＝t (4,4)＝(4t,4t )， 则AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )， AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP →，AC →共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0， 解得t ＝34.∴OP →＝(4t,4t )＝(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)．方法二 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)． ∵OP →，OB →共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP →＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)， 且向量CP →、CA →共线， ∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．规律方法 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快． 跟踪演练3如图，在▱OABP 中，过点P 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若OM →＝xOA →，ON →＝yOB→(0＜x ＜1)． (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)令F (x )＝1f x＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明． 解 (1)OP →＝AB →＝OB →－OA →， 则NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →， MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA → ＝－(1＋x )OA →＋OB →，又NM →∥MP →，有x －y (1＋x )＝0， 即f (x )＝x x ＋1(0＜x ＜1)．(2)由(1)得F (x )＝x ＋1x ＋x ＝x ＋1x＋1(0＜x ＜1)， 设0＜x 1＜x 2＜1，则F (x 1)－F (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＋1＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2，由0＜x 1＜x 2＜1，得x 1－x 2＜0，x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，得F(x1)－F(x2)＞0，即F(x1)＞F(x2)．∴F(x)在(0,1)上为减函数.1．下列各组的两个向量共线的是( ) A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2)D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)答案 D解析∵－36＝2－4，∴a4∥b4，故选D.2．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是( )A．1 B．－1 C．4 D．－4答案 D解析∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.3．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)三点共线，则使AB→＝λBC→成立的实数λ的值为( )A．－2 B．0 C．1 D．2答案 D解析AB→＝(2,4)，BC→＝(x－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴AB→与BC→共线，∴2×2－4(x－1)＝0，∴x＝2，∴BC→＝(1,2)．∴AB→＝2BC→，∴λ＝2.故选D.4．给定两个向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若a＋2b与2a－2b共线，求λ的值．解∵a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，又a＋2b与2a－2b共线，∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，∴λ＝1 2 .1.两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)当b≠0时，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，x1x2＝y1y2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．。
平面向量共线的坐标表示解析
由平面几何知A识G得 2：AD
B
3
2(x1 x3 2x1 , y1 y3 2y1)
3
2
2
OGOA AG
D
A
G
(x1,
y1)
(
x2
x3 3
2x1
,
y2
y3 3
2y1
)
C
(x2 x3 x1 , y2 y3 y1 )
O
X
3
3
G (x1x2x3,y1y2y3)
3
3
rr a 2b
1.已知a (2,4),b (1,2),则a与b的关系是（.D...）.
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
法二：设Px, y
y P2
x P1 Px1,y 12 Py P1 2,1 2x2x,y2y
P1
P
有
x y
x1 y1
1 2 1 2
x2 y2
x y
O
解P 有 点坐 2x1标 x2,2y1y2
A.30...............B.60............C.45..............D.75
4.设向量a32、b不13平行s，in求证co：s向量a b和向量a b不平行。
4.向量a，b不平行，求证：向量 a – b 与a + b不平行。
证明：设向量 a – b 与a + b平行。
rr rr
设 ab r( ab )r r
( 1 ) a ( 1 ) b 0
1 1
0 0
显然，上述方程没有实数解。
∴ 向量 a – b 与a + b平行。
(完整版)向量共线的坐标表示
《平面向量共线的坐标表示》教案教学目标(1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；(2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；(3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.教学重点和难点(1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解；(2)难点：定比分点的理解和应用。
教学过程一、新知导入（一）、复习回顾1、向量共线充要条件:2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).λa =(λx 1,λy 1).（2）.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（二）、问题引入已知下列几组向量：(1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)；(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；(3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)；(4)a ＝⎝⎛⎭⎫12，1，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x AB --=则.,)0(//a b a a b λλ=⇔≠使存在唯一实数二、新知探究思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a 。
由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？ （不能。
平面向量共线的坐标表示
解：∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋3b＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)． 由两向量平行得 3(k－2)－7×(－1)＝0. 1 ∴k＝－3.
7 此时，ka－b＝－ ，－1 3
1 1 ＝－3(7,3)＝－3(a＋3b)． ∴它们是反向的．
• 2．3.4 平面向量共线的坐标表示
• 1．通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量，以及两直 线平行和两向量共线的判定的区别．(易混点) • 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件 ，并能会应 用．(重点) • 3．会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．(难点)
• 两向量平行的条件
•
如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ • 提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当 两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向． • 例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向； • 向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．
→ → → 【典例】 已知向量AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2， → → －3)，当BC∥DA时，求实数 x，y 应满足的关系．
→ → → → → 【错误解答】DA＝－AD＝－(AB＋BC＋CD) ＝－[(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)]＝(－x－4，－y＋2)． → → → BC＝(x，y)，当BC∥DA时，x(－x－4)－y(－y＋2)＝0 即 x2－y2＋4x＋2y＝0.
→ BC＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． → → 而AB、BC共线，∴1×m－1×(－2)＝0. ∴m＝－2，∴当 m＝－2 时， A、B、C 三点共线．
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。
向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
精心整理，仅供学习参考。
平面向量共线的坐标表示
向量共线的应用
向量共线可以用于解决一些实际问题，例如物理 学中的力合成、物理学中的速度合成等。
向量共线也可以用于解析几何中的图形变换、线 性变换等。
在向量研究中，向量共线还可以用于证明一些定 理和推导一些公式。
向量共线的坐标表示
向量共线定理
如果两个向量$\overrightarrow{AB}$和 $\overrightarrow{CD}$共线，那么存在实数 $\lambda$使得 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{C D}$。
坐标表示
设$\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1)$， $\overrightarrow{CD}=(x_2,y_2)$，如果 $\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{C D}$，则有$\left\{\begin{matrix} x_1=\lambda x_2 \\ y_1=\lambda y_2 \end{matrix}\right.$。
向量共线的代数表示
总结词
如果两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$共线，那么存在一个 非零实数$\lambda$，使得 $\overset{\longrightarrow}{b} = \lambda\overset{\longrightarrow}{a}$。
向量共线的性质
要点一
向量共线的性质包括
交换律、结合律、分配律等。这些性质可以用来简化向 量的运算，并用于解决实际问题。
2.3.4平面向量共线的坐标表示
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：课本P101习题2.3.4：6、7 B组1~4
《聚焦课堂》
再见!
聚焦作业手册P80: 8T
已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB＋λAC (λ∈R),试求λ为何值时,点P在第三象限内? 解:设P(x,y). AP =(x－2,y－3), AB =(3, 1), x－2=3＋5λ y－3=1＋7λ AC =(5, 7), (x－2, y－3) =(3, 1)＋λ(5, 7) =(3＋5λ, 1＋7λ) x=5＋5λ <0 y=4＋7λ <0
∴只能有:
(1)k 1 : ke1 e2 e 1 ke2 ,同向共线. (2)k 1 : ke1 e2 (e 1 ke2 ) ,反向共线.
{ k 1 0
k 0
λ 1 k 1.
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ).
B( x 2 , y 2 )
x1=x2,且y1=y2
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 )
探究：
向量平行的坐标表示
向量平行的向量表示
设a=(x1,y1), b=(x2,y2), 其中a≠0, b // a b = λa (x2,y2) =λ(x1,y1) = (λx1,λy1)
(x , y ) λa 3.两个结论 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) a b x1=x2,且y1=y2 4.共线向量的充要条件:(a≠0) x1y2-x2y1=0 向量a与b共线 b=λa
a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ), a b ( x 1 x 2 , y1 y2 ),
平面向量共线的坐标表示
2．3.4平面向量共线的坐标表示学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．知识点 平面向量共线的坐标表示1．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb . 2．如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线．注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2.( × )提示 当y 1y 2＝0时不成立．2．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .( × ) 3．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .( √ )4．向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线．(√)题型一向量共线的判定例1(1)下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)考点平面向量共线的坐标表示题点向量共线的判定答案 D解析A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故选D.(2)在下列向量组中，可以把向量a＝(－3,7)表示出来的是() A．e1＝(0,1)，e2＝(0，－2)B．e1＝(1,5)，e2＝(－2，－10)C．e1＝(－5,3)，e2＝(－2,1)D．e1＝(7,8)，e2＝(－7，－8)考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定 答案 C解析 平面内不共线的两个向量可以作基底，用它能表示此平面内的任何向量，因为A ，B ，D 都是两个共线向量，而C 不共线，故C 可以把向量a ＝(－3,7)表示出来．反思感悟 向量共线的判定题目应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标条件进行判断，特别是利用向量共线的坐标条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 跟踪训练1 下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 B解析 A 选项，∵e 1＝0，e 1∥e 2，∴不可以作为基底；B 选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e 1与e 2不共线，故可以作为基底；C 选项，3×10－5×6＝0，e 1∥e 2，故不可以作为基底；D 选项，2×⎝⎛⎭⎫－34－(－3)×12＝0， ∴e 1∥e 2，不可以作为基底． 故选B.题型二 三点共线问题例2 已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线． 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 三点共线的判定与证明 证明 AB →＝⎝⎛⎭⎫8－1，12＋3＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， ∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB ，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．反思感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行．②证明两个向量有公共点．(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．跟踪训练2 已知OA →＝(k ,2)，OB →＝(1,2k )，OC →＝(1－k ，－1)，且相异三点A ，B ，C 共线，则实数k ＝________.考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用三点共线求参数 答案 －14解析 AB →＝OB →－OA →＝(1－k,2k －2)， AC →＝OC →－OA →＝(1－2k ，－3)， 由题意可知AB →∥AC →，所以(－3)×(1－k )－(2k －2)(1－2k )＝0， 解得k ＝－14(k ＝1不合题意舍去)．由向量共线求参数的值典例 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用向量共线求参数解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )． 由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.引申探究1．若本例条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？ 解 由本例知当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？解 a ＋k b ＝(1,2)＋k (－3,2)＝(1－3k ,2＋2k )， 3a －b ＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)， ∵a ＋k b 与3a －b 平行， ∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0，解得k＝－13.[素养评析](1)由向量共线求参数的值的方法(2)本题利用向量共线的坐标表示得到有关参数的方程(组)，再解得参数的值，这正是数学核心素养数学运算的体现．1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为()A．2 B．－2 C．3 D．－3考点向量共线的坐标表示的应用题点利用向量共线求参数答案 D解析因为a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.2．与a ＝(12,5)平行的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫1213，－513 B.⎝⎛⎭⎫－1213，－513 C.⎝⎛⎭⎫1213，513或⎝⎛⎭⎫－1213，－513 D.⎝⎛⎭⎫±1213，±513 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知向量共线求向量的坐标 答案 C解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1213，y ＝513或⎩⎨⎧x ＝－1213，y ＝－513.3．若a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，且a ∥b ，则锐角α＝______. 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知向量共线求参数 答案 π3解析 ∵a ＝(3，cos α)，b ＝(3，sin α)，a ∥b ， ∴3sin α－3cos α＝0，即tan α＝3， 又α为锐角，故α＝π3.4．已知三点A (1,2)，B (2,4)，C (3，m )共线，则m 的值为________． 考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用三点共线求参数 答案 6解析 AB →＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)． AC →＝(3，m )－(1,2)＝(2，m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，即向量AB →，AC →共线， ∴1×(m －2)－2×2＝0，∴m ＝6.5．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数 答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x ,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.一、选择题1．下列向量中，与向量c ＝(2,3)不共线的一个向量p 等于( ) A ．(5,4) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫13，12考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 A解析 因为向量c ＝(2,3)，对于A,2×4－3×5＝－7≠0，所以A 中向量与c 不共线． 2．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(2,2)，e 2＝(1,1) B ．e 1＝(1，－2)，e 2＝(4，－8) C ．e 1＝(1,0)，e 2＝(0，－1) D ．e 1＝(1，－2)，e 2＝⎝⎛⎭⎫－12，1 考点 平面向量共线的坐标表示 题点 向量共线的判定与证明 答案 C解析 选项C 中，e 1，e 2不共线，可作为一组基底．3．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 D4．(2018·云南昆明联考)如果向量a ＝(k ,1)，b ＝(4，k )共线且方向相反，则k 等于( )A ．±2B ．－2C ．2D ．0 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 B解析 ∵a 与b 共线且方向相反，∴存在实数λ(λ<0)，使得b ＝λa ，即(4，k )＝λ(k ,1)＝(λk ，λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝4，k ＝λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－2，λ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λ＝2(舍去)． 5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m n等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 C解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12，故选C. 6．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则下列叙述中，正确的个数是( )①存在实数x ，使a ∥b ；②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ；③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ；④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b .A ．0B ．1C ．2D ．3考点 平面向量共线的坐标表示题点 向量共线的判定与证明答案 B解析 只有④正确，可令m ＝0，则m a ＋b ＝b ，无论x 为何值，都有b ∥b .7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 C解析 因为A ，B ，C 三点不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，又AB →＝OB →－OA →＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ，k ＋1)，所以2k －(k ＋1)＝0，即k ＝1.8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4) 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 B解析 由题意，得m ＋4＝0，所以m ＝－4.所以a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．二、填空题9．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝______.考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用向量共线求参数答案 －6解析 因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.10．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)．若A ，C ，D 三点共线，则k ＝________.考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 4解析 因为AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)．又A ，C ，D 三点共线，所以AC →∥CD →，所以10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4.11．已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 (3,3)解析 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34， 所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)． 12．设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m ,3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________．考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数答案 {m |m ∈R 且m ≠6}解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形，∴AB →，AC →不共线．又∵AB →＝(1,1)，AC →＝(m －2,4)，∴1×4－1×(m －2)≠0.解得m ≠6.∴m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠6}．三、解答题13．平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14|ED →|，求点E 的坐标． 解 ∵AC →＝12BC →，∴A 为BC 的中点，AC →＝BA →， 设C (x C ，y C )，则(x C －2，y C ＋1)＝(1，－5)，∴x C ＝3，y C ＝－6，∴C 点的坐标为(3，－6)，又|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上， ∴CE →＝－14ED →，设E (x ，y )， 则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )， 得⎩⎨⎧ x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7. 故点E 的坐标是⎝⎛⎭⎫83，－7.14.如图所示，已知在△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标．考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用向量共线求点的坐标解 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝⎛⎭⎫0，54， ∴C ⎝⎛⎭⎫0，54. ∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝⎛⎭⎫2，32，∴D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－72. ∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.① 又∵CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎫4，74，CM →∥CB →， ∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2， 故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.。
平面向量共线的坐标表示
向量$\overset{\longrightarrow}{AB}$的坐标是$(x_2 - x_1,y_2 - y_1)$，其中 $(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$分别是点A和点B的坐标。
坐标表示法的应用
向量加法
向量数乘
对于两个向量 $\overset{\longrightarrow}{AB}$和 $\overset{\longrightarrow}{CD}$
向量$\overset{\longrightarrow}{AB}$的长度称为向量的模，用符号 $|\overset{\longrightarrow}{AB}|$表示，其大小是线段$MN$的长度。
向量的方向
向量$\overset{\longrightarrow}{AB}$的方向是从点A指向点B，与线段AB的方向一致。
详细描述
设$\overset{\longrightarrow}{a} = (x_1, y_1)$和 $\overset{\longrightarrow}{b} = (x_2, y_2)$是同一 直线上的两个向量。$t$为任意实数
向量的分解与合成
总结词
平面向量的分解与合成是指将一个向量分解为若干个 向量的和，或将若干个向量的和合成一个向量。
03
向量共线定理的证明
向量共线的定义
两个向量共线
两个向量共线是指它们的方向相同或相反，即它们的角度为0 度或180度。
坐标表示
平面向量的坐标表示是利用两个实数来表示向量的起点和终 点，即$(x_{1}, y_{1})$和$(x_{2}, y_{2})$。
向量共线定理的证明方法
方法一
利用向量的坐标表示证明
对于一个实数$\lambda$和一个向量 $\overset{\longrightarrow}{AB}$
平面向量共线的坐标表示 课件
(1)
uuur AB
2,1
2①,3
4, 4
,
uuur CD
7,
4
1,①4
……8,…8… …, …………2分
∵4×(-8)-4×(-8)=0②,
∴
uuur AB
P
CuuDur，即AuuBur与CuuD…ur共…线…. ……………4分
(2)∵a∥b,∴6(x2-2x)-3m×2=0②, ……………………6分
由向量共线求参数的值
【技法点拨】
由向量共线求参数的值的方法
求
根据题意求出有关向量的坐标.
利用向量共线的坐标表示得到有 列
关参数的方程（组）.
解
解得参数的值.
【典例训练】
1.(2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，
c＝(3,4)．若λ为实数，(a+λb)∥c，则λ＝( )
(A)
【典例训练】 1.(2012·汕头高一检测)若A(-1，-2)，B(4，8)，C(5,x) 且A,B,C三点共线，则x=________. 2.若三点A(-2，-2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则 1 ＋1 的值为__________．
mn
3.已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)，求证: A，B，C三点 共线．
所以e1=(0,0)与e2=(1,-2)不能作为平面内所有向量的基底.
对于B，因为(-1)×7-5×2=-17≠0，所以e1与e2不共线，
所以e1=(-1,2)与e2=(5,7)能作为平面内所有向量的基底.
对于C，因为3×10-6×5=0，所以e1∥e2,
所以e1=(3,5)与e2=(6,10)不能作为平面内所有向量的基底.
平面向量共线的坐标表示
新知探究：
1. 平面向量共线定理：
b // a a 0 存在唯一实数，使得b a
2. 平面向量共线的坐标表示：
设a x1, y1 ,b x2, y2 ,且b // a a 0
存在唯一实数，使得b a
x2, y2 x1, y1
x2 y2
x1 y1
两向量共线 两向量对应坐标成比例
x1y2 x2 y1 0
类型一：利用向量共线求参数
例1、1已知a 4, 2，b 6, y,若a // b,则y __3_____；
2已知a 1, 2，b 3，2,当k为何值时，ka b // a 3b,
并判断平行时它们是同向还是反向.
解：ka b k 3, 2k 2, a 3b 10, 4,且ka b // a 3b
4k 3 102k 2 0 k 1
3
易知k
a
b
10 3
,
4 3
与a
3b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10,
4
反向.
当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；
当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
类型二：判断点、线位置关系
例2、1已知A1, 1, B 1,3,C 2,5, 试判断A, B,C三点
之间的位置关系； 解：AB 2, 4, AC 3,6
10 3
,1
或
14 3
,
1
课堂练习：
1、下列各组的两个向量不能作为基底的是( D )
A.a 2,3,b 4, 6 B.a 1, 2,b 7,14 C.a 2,3,b 3, 2 D.a 3, 2,b 6, 4
2、若三点P 1,1, A2, 4, B x, 9三点共线，则( B )
平面向量共线的坐标表示(汇报课)
详细描述
在平面直角坐标系中，如果两条 直线的方程中x或y的系数成比例 ，则它们共线。例如，直线方程 y=2x和y=4x共线，因为它们的y 系数成比例。
直线与点的共线
总结词
如果直线经过一个固定点，则该点与直线共线。
详细描述
在平面直角坐标系中，如果一条直线经过一个固定点，则该点与这条直线共线。 这是因为点的位置向量与直线的方向向量平行，即共线。
VS
详细描述
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1},y_{1})$和 $overset{longrightarrow}{b} = (x_{2},y_{2})$共线，则存在实数$k$使得 $overset{longrightarrow}{b} = koverset{longrightarrow}{a}$或 $overset{longrightarrow}{b} = koverset{longrightarrow}{a}$。由此可得 $x_{2} = kx_{1}$和$y_{2} = ky_{1}$或 $x_{2} = -kx_{1}$和$y_{2} = -ky_{1}$， 从而证明了平面向量共线的坐标表示。
定理
若向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)， 且存在实数λ，使得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=λb，则 x1y2=x2y1。
坐标表示法的推导
推导过程
根据向量的坐标表示和共线的定义， 我们可以得到向量a和向量b的坐标 关系，从而推导出平面向量共线的坐 标表示法。
具体推导
设向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，若 向量a与向量b共线，则存在实数λ，使 得a=λb，即(x1,y1)=λ(x2,y2)，由此可 得x1=λx2，y1=λy2，进一步得到 x1y2=x2y1。
6.2平面向量共线定理的坐标表示
授课主题平面向量共线的坐标表示 教学目标 1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．教学内容1．向量共线定理1）向量a 与非零向量b 共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a ＝λb2）为什么要规定b 为非零向量？答：若向量b ＝0，则由向量a ，b 共线得a ＝λb ＝0，但向量a 不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 等价于x 1y 2－x 2y 1＝02）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2要满足什么条件？ 答：a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2的适用范围是x 2≠0，y 2≠0，这与要求b 是非零向量是等价的．题型一 平面向量共线的坐标运算例1 若向量a ＝()2，－1，b ＝()x ，2 ，c ＝()－3，y ，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a ∥b ∥c ，由向量共线的坐标表示得∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x ＝0，2y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝32.点评：记住已知a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.巩 固 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量k a －b 与a ＋3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵ a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k ()1，0－()2，1＝()k －2，－1，a ＋3b ＝()1，0＋3()2，1＝()7，3.∵向量k a －b 与a ＋3b 平行，∴3()k －2＋7＝0，解得k ＝－13. ∵k ＝－13，k a －b ＝－13(a ＋3b )， 所以向量k a －b 与a ＋3b 反向．题型二 平面向量共线的证明例2 已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．分析：证向量AB →与AC →共线．证明：∵ A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，∴AB →＝()2，4，AC →＝()3，6.∴AB →＝23AC →. ∵AB →，AC →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评： 通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩 固 已知OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？分析：由A 、B 、C 三点共线，可得AB →与BC →共线．解析：∵OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，∴AB →＝()4－k ，－7，BC →＝()6，k －5.∵A 、B 、C 三点共线，∴()4－k ()k －5＋42＝0.解得k ＝11或k ＝－2.题型三 用共线向量的性质求坐标例3 若M ()3，－2，N ()－5，－1， 且 MP →＝12MN →，则P 点的坐标是________． 分析：设P ()x ，y ，由MP →＝12MN →可求解． 解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝12MN →，∴()x －3，y ＋2＝12()－8，1＝⎝⎛⎭⎫－4，12⇒x ＝－1，y ＝－32. ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩 固 若M ()3，－2，N ()－5，－1，且MP →＝－2MN → , 则P 点的坐标是________．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝－2MN →，∴()x －3，y ＋2＝－2()－8，1＝(16，－2)．解得P ()19，－4.答案：()19，－4题型四 共线向量的综合应用例4 如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．分析：把向量AB →＝i －2j 和BC →＝i ＋m j 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，∴AB →＝()1，－2，BC →＝()1，m .∵ A 、B 、C 三点共线，即向量AB →与BC →共线，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩 固 已知A ()1，1，B ()3，－1，C ()a ，b .(1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解析：(1)AB →＝()2，－2，AC →＝()a －1，b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线．∴2()b －1＋2()a －1＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴()a －1，b －1＝2()2，－2⇒a ＝5，b ＝－3.∴C ()5，－3.1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，PM →＝35P A →＋25PB →，若AM →＝λMB →，则λ等于( ) A.35 B.25 C.32 D.23解析：用P A →，PB →表示向量AM →，MB →.∵AM →＝AP →＋PM →＝AP →＋35P A →＋25PB →＝－25P A →＋25PB →，MB →＝MP →＋PB →＝－PM →＋PB →＝－35P A →＋25PB →＋PB →＝－35P A →＋35PB →，∴AM →＝23AB →. 答案：D3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：54．已知两点A (1,3)、B (4，－1)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A5．已知A ()－2，－3，B ()2，1，C ()1，4，D ()－7，－4，判断AB →与CD →是否共线．解析：∵AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，－8)，∴AB →＝－12CD →. ∴AB →与CD →共线．6．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (1,5) ，D (2,7) ，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解析：AB →＝()2，4，CD →＝()1，2，AB →＝2CD →，所以向量AB →与CD →平行，即直线AB 平行于直线CD .7．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线．解析：AB →＝()x ，1，CD →＝()4，x ，∵向量AB →与CD →共线，∴x 2－4＝0，解得x ＝±2.(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解析：x ＝2时，不在同一条直线上；x ＝－2时，在同一条直线x ＋2y ＋2＝0上．8．△AB C 的顶点A 、B 、C 分别对应向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，c ＝()x 3，y 3其重心为G ，对应的向量为g ＝()x 0，y 0.求证：x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 证明：设AD 为BC 边的中线，O 为坐标原点．则OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋13()AB →＋AC →＝OA →＋13()OB →－OA →＋OC →－OA →＝13()OA →＋OB →＋OC →. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，G (x 0，y 0)∴x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．分析：(1)只需证明a ·b ＝0即可；(2)由已知条件得到cos α＋cos β，sin α＋sin β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解析：因为a ＋b ＝(co s α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， sin α＋sin β＝1， 由此得，cos α＝cos ()π－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.。
平面向量共线的坐标表示(lianxi)
1 1 解析：∵ AC ＝ BC ，∴ OC － OA ＝ ( OC － OB )． 2 2 ∴ OC ＝2 OA － OB ＝(3，－6)． ∴点 C 的坐标为(3，－6)． 1 又|CE |＝ | ED |，且 E 在 DC 的延长线上， 4 1 ∴ CE ＝－ ED .设 E(x，y)， 4
9.错用两向量共线的条件致误
[典例]
已知 P1(2，－1)，P2(－1,3)，P 在直线 P1P2 上，且
2 | P1 P |＝ | PP2 |.则 P 点的坐标为________． 3
[解析] (1)当 P1 P 与 PP2 同向时，
2 则有 P1 P ＝ PP2 ，设 P 点坐标为(x，y)， 3
故
7 F3，0.
8 2 所以 EF ＝3，－3.
又因为
2 8 4×－3－ ×(－1)＝0， 3
所以 EF ∥ AB .
[课时达标检测]
[例 1]
(1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a ( 1 B. 3 D．2 )
－2b)，则 λ 的值等于 1 A. 2 C．1
(2)已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断 AB 与 CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
(1)[解析]
∵A，B，C 共线，∴ AB 与 AC 共线 7 ∴7×4－ (x－1)＝0，解得 x＝9. 2
[答案] 9
(2)[解] 法一：若 A，B，C 三点共线，则 AB ， AC 共线， 则存在实数 λ，使得 AB ＝λ AC ， ∵ AB ＝ OB － OA ＝(4－k，－7)，
AC ＝ OC － OA ＝(10－k，k－12)．
第14讲 向量共线定理和向量的坐标表示
第14讲 向量共线定理和向量的坐标表示 基本概念：1、共线向量定理：如果存在一个实数λ，使=b ，)0( ≠a ，那么 。
反之，如果b 与a )0( ≠a 是共线向量，那么 。
例1、设e 是非零向量，若e b a e b a 32,2-=-=+，试问：向量a 与b 是否共线？例2、已知非零向量1e 和2e 不共线，若21e e k +和21e k e +共线，求实数k 的值。
练习 1、点R 在线段PQ 上，且PQ PR 53=，设QR PR λ=，则=λ ____________2、已知)(3,82,5b a CD b a BC b a AB -=+-=+=，则 三点共线。
3、设F E D ,,分别是ABC ∆的边AB CA BC ,,上的点，且AB AF 21=，BC BD 31=， CA CE 41=。
若记n CA m AB ==,，试用n m ,表示FD EF DE ,,。
4、设b a ,是不共线向量，若b a 4-与b a k +共线，则实数________=k5、若21213,e e OB e e OA -=+=，215e e m OC -=，且C B A ,,三点共线，则实数=m _________________。
6、如图，平行四边形AOCB 中，点A 的坐标为()0,4，2=OC ，且60=∠AOC 。
（1）求点C B ,的坐标；（2）若D 是BC 的中点，OD 与AC 相交于点E ，求OE 的坐标。
y x O C D E A B基本概念：1、平面向量的坐标表示：2、平面向量的坐标运算。
已知),(11y x a = 、),(22y x b = 、实数λ，那么=+b a ；=-b a ；=a λ 。
3、已知向量AB ,),(11y x A ，),(22y x B ，则AB 的坐标为______________例3 已知四边形ABCD 的顶点分别为)1,2(A ，)3,1(-B ，)4,3(C ，)2,6(D ，求向量AB ，DC 的坐标，并证明四边形ABCD 是平行四边形。
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坐标是������
������1+������2 2
,
������1+������2 2
.
2.若 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且������1������ = ������������������2(������≠-1),则������
������1+������������2 1+������
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练2】 (1)若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A,B,C三点共线,则
x=
.
(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),求证:A,B,C三点共线.
题型一 题型二 题型三 题型四
(1)解析:∵A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),
b 共线;反之,若 a 与 b 共线,则它们的坐标满足 x1y2-x2y1=0.
(2)在讨论向量共线时,规定零向量可以与任一向量共线,故在
x2y2≠0
的条件下,a
与
b
共线的条件可化为
������1 ������2
=
������1 ������2
,
即两个向量共线的条件为相应坐标成比例.
2.三点共线问题 剖析:(1)若 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则 A,B,C 三点共线的条件为 (x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0. (2)若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法:
【变式训练1】 已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则
k=
.
解析:a-c=(3,1)-(k,7)=(3-k,-6).
∵(a-c)∥b,∴3(3-k)+6=0,∴k=5.
答案:5
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
三点共线问题
【例 2】
求证:A(1,5),������
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.能用向量的坐标表示判定两个向量共线,会用向量的坐标表示 证明三点共线.
平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当x1y2-x2y1=0时,a∥b.
知识拓展 1.线段中点坐标公式:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 中点的
分析:先由向量a,b求得向量ka+b与a-3b,再根据向量平行的条件 列方程组求得k的值,最后判断两个向量的方向.
题型一 题型二 题型三 题型四
解:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
当 ka+b 与 a-3b 平行时,-4(k-3)-10(2k+2)=0,
1 2
,4
, ������(0,3)三点共线.
分析:可转化为证明������������ ∥ ������������.
证明:由 A(1,5),������
1 2
,4
, ������(0,3),
1 得������������ = - 2 ,-1 , ������������ = (−1, −2).
1 又 − 2 × (−2) − (−1) × (−1) = 0,
解之,得 x=y=3,即点 P 的坐标为(3,3). 反思在求点或向量的坐标时,要充分利用两个向量共线的条件,要 注意方程思想的应用,建立方程的条件有向量共线、向量相等等.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 3】 已知点 A(3,5),B(6,9),且|������������| =
3|������������|, ������是直线������������上一点, 求点������的坐标.
分析:先设出点P的坐标,再利用向量共线的条件求解.
题型一 题型二 题型三 题型四
解法一:由题意知 P,B,O 三点共线,可设������������ = ������������������ = (4������, 4������), 则������������ = ������������ − ������������ = (4������ − 4,4������), ������������ = ������������ − ������������ = (−2,6).
反思设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a 与 b 共线的条件为 x1y2-x2y1=0.
要注意与条件
������1 ������2
=
������1 ������2
的区别,应用
������1 ������2
=
������1 ������2
时,分母应不为零.
解:设点 M 的坐标为(x,y),由于|������������| = 3|������������|,
则������������ = 3������������或������������ = −3������������.
由题意,得������������ = (������ − 3, ������ − 5), ������������ = (6 − ������, 9 − ������).
∴
������-3 ������-5
= =
-3(6-������), -3(9-������),
解得x=
15 2
,
������
=
11.
∴点 M 的坐标是
21 4
,8
或
15 2
,11
.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型四
易错辨析
易错点 用错向量共线的等价条件致错
【例 4】 已知 a=(3,2-m)与 b=(m,-m)平行,求 m 的值.
,
������1+������������2 1+������
.
【做一做】 下列各组向量共线的是( ) A.a=(-2,3),b=(4,6) B.a=(2,3),b=(3,2) C.a=(1,-2),b=(7,14) D.a=(-3,2),b=(6,-4) 答案:D
1.对向量共线条件的理解
剖析:(1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),由 x1y2-x2y1=0 成立,可判断 a 与
解得 k=− 13.
∴当
k=−
1 3
时,ka+b
与
a-3b
ห้องสมุดไป่ตู้
平行,
这时
ka+b=−
1 3
������
+b=−
1 3
(a-3b).
∵λ=−
1 3
<
0,
∴ka+b 与 a-3b 反向.
反思已知两个向量共线,求参数的问题,通常先求出每一个向量的 坐标,再根据两向量共线的坐标表示,列出方程求解参数.
题型一 题型二 题型三 题型四
由������������与������������共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0, 解之,得 λ= 34,
3 ∴ ������������ = 4 ������������ = (3,3),
∴P(3,3)即为所求.
题型一 题型二 题型三 题型四
解法二:设 P(x,y),则������������ = (������, ������).
当������������ = 3������������时,(x-3,y-5)=3(6-x,9-y),
∴
������-3 = 3(6-������), ������-5 = 3(9-������),
题型一 题型二 题型三 题型四
解得
x=
21 4
,
������
=
8.
当������������ = −3������������时,(x-3,y-5)=-3(6-x,9-y),
(1)当 b≠0 时,a=λb.这是几何运算,体现了向量 a 与 b 的长度及方
向之间的关系.
(2)x1y2-x2y1=0.这是代数运算,用它解决向量共线问题的优点在
于不需要引入参数“λ”,从而减少未知数个数,而且使问题的解决具
有代数化的特点、程序化的特征.
(3)当
x2y2≠0时,
������1 ������2
=
������1 ������2
,
即两个向量的相应坐标成比例.通过这
种形式较容易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 已知向量共线,求参数的值
【例1】 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平 行时它们是同向还是反向?
①直接利用上述条件,计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)是否为 0. ②任取两点构成向量,计算出两个向量如������������, ������������,
再通过两个向量共线的条件进行判断.
3.两个向量共线条件的表示方法
剖析:已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),
∴ ������������ = (2,4), ������������ = (3,6). 又 2×6-4×3=0, ∴ ������������与������������共线,且有一个公共点 A,
∴A,B,C 三点共线.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 向量共线条件的应用
【例3】 如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求AC与OB的交 点P的坐标.
∴ ������������ = (5,10), ������������ = (6, ������ + 2).