向量共线坐标表示

坐标是������
������1+������2 2
,
������1+������2 2
.
2.若 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且������1������ = ������������������2(������≠-1),则������
������1+������������2 1+������
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练2】 (1)若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A,B,C三点共线,则
x=
.
(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),求证:A,B,C三点共线.
题型一 题型二 题型三 题型四
(1)解析:∵A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),
b 共线;反之,若 a 与 b 共线,则它们的坐标满足 x1y2-x2y1=0.
(2)在讨论向量共线时,规定零向量可以与任一向量共线,故在
x2y2≠0
的条件下,a
与
b
共线的条件可化为
������1 ������2
=
������1 ������2
,
即两个向量共线的条件为相应坐标成比例.
2.三点共线问题 剖析:(1)若 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则 A,B,C 三点共线的条件为 (x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0. (2)若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法:
【变式训练1】 已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则
k=
.
解析:a-c=(3,1)-(k,7)=(3-k,-6).
∵(a-c)∥b,∴3(3-k)+6=0,∴k=5.
答案:5
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
三点共线问题
【例 2】
求证:A(1,5),������
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.能用向量的坐标表示判定两个向量共线,会用向量的坐标表示 证明三点共线.
平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当x1y2-x2y1=0时,a∥b.
知识拓展 1.线段中点坐标公式:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 中点的
分析:先由向量a,b求得向量ka+b与a-3b,再根据向量平行的条件 列方程组求得k的值,最后判断两个向量的方向.
题型一 题型二 题型三 题型四
解:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
当 ka+b 与 a-3b 平行时,-4(k-3)-10(2k+2)=0,
1 2
,4
, ������(0,3)三点共线.
分析:可转化为证明������������ ∥ ������������.
证明:由 A(1,5),������
1 2
,4
, ������(0,3),
1 得������������ = - 2 ,-1 , ������������ = (−1, −2).
1 又 − 2 × (−2) − (−1) × (−1) = 0,
解之,得 x=y=3,即点 P 的坐标为(3,3). 反思在求点或向量的坐标时,要充分利用两个向量共线的条件,要 注意方程思想的应用,建立方程的条件有向量共线、向量相等等.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 3】 已知点 A(3,5),B(6,9),且|������������| =
3|������������|, ������是直线������������上一点, 求点������的坐标.
分析:先设出点P的坐标,再利用向量共线的条件求解.
题型一 题型二 题型三 题型四
解法一:由题意知 P,B,O 三点共线,可设������������ = ������������������ = (4������, 4������), 则������������ = ������������ − ������������ = (4������ − 4,4������), ������������ = ������������ − ������������ = (−2,6).
反思设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a 与 b 共线的条件为 x1y2-x2y1=0.
要注意与条件
������1 ������2
=
������1 ������2
的区别,应用
������1 ������2
=
������1 ������2
时,分母应不为零.
解:设点 M 的坐标为(x,y),由于|������������| = 3|������������|,
则������������ = 3������������或������������ = −3������������.
由题意,得������������ = (������ − 3, ������ − 5), ������������ = (6 − ������, 9 − ������).
∴
������-3 ������-5
= =
-3(6-������), -3(9-������),
解得x=
15 2
,
������
=
11.
∴点 M 的坐标是
21 4
,8
或
15 2
,11
.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型四
易错辨析
易错点 用错向量共线的等价条件致错
【例 4】 已知 a=(3,2-m)与 b=(m,-m)平行,求 m 的值.
,
������1+������������2 1+������
.
【做一做】 下列各组向量共线的是( ) A.a=(-2,3),b=(4,6) B.a=(2,3),b=(3,2) C.a=(1,-2),b=(7,14) D.a=(-3,2),b=(6,-4) 答案:D
1.对向量共线条件的理解
剖析:(1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),由 x1y2-x2y1=0 成立,可判断 a 与
解得 k=− 13.
∴当
k=−
1 3
时,ka+b
与
a-3b
ห้องสมุดไป่ตู้
平行,
这时
ka+b=−
1 3
������
+b=−
1 3
(a-3b).
∵λ=−
1 3
<
0,
∴ka+b 与 a-3b 反向.
反思已知两个向量共线,求参数的问题,通常先求出每一个向量的 坐标,再根据两向量共线的坐标表示,列出方程求解参数.
题型一 题型二 题型三 题型四
由������������与������������共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0, 解之,得 λ= 34,
3 ∴ ������������ = 4 ������������ = (3,3),
∴P(3,3)即为所求.
题型一 题型二 题型三 题型四
解法二:设 P(x,y),则������������ = (������, ������).
当������������ = 3������������时,(x-3,y-5)=3(6-x,9-y),
∴
������-3 = 3(6-������), ������-5 = 3(9-������),
题型一 题型二 题型三 题型四
解得
x=
21 4
,
������
=
8.
当������������ = −3������������时,(x-3,y-5)=-3(6-x,9-y),
(1)当 b≠0 时,a=λb.这是几何运算,体现了向量 a 与 b 的长度及方
向之间的关系.
(2)x1y2-x2y1=0.这是代数运算,用它解决向量共线问题的优点在
于不需要引入参数“λ”,从而减少未知数个数,而且使问题的解决具
有代数化的特点、程序化的特征.
(3)当
x2y2≠0时,
������1 ������2
=
������1 ������2
,
即两个向量的相应坐标成比例.通过这
种形式较容易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 已知向量共线,求参数的值
【例1】 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平 行时它们是同向还是反向?
①直接利用上述条件,计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)是否为 0. ②任取两点构成向量,计算出两个向量如������������, ������������,
再通过两个向量共线的条件进行判断.
3.两个向量共线条件的表示方法
剖析:已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),
∴ ������������ = (2,4), ������������ = (3,6). 又 2×6-4×3=0, ∴ ������������与������������共线,且有一个公共点 A,
∴A,B,C 三点共线.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型三 向量共线条件的应用
【例3】 如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求AC与OB的交 点P的坐标.
∴ ������������ = (5,10), ������������ = (6, ������ + 2).
∵A,B,C 三点共线,∴ ������������ ∥ ������������, ∴5(x+2)-60=0,∴x=10.
答案:10
(2)证明:∵A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),
∵ ������������ = (4,4), 又������������与������������共线,∴x=y.
又������������ = (������ − 4, ������), ������������ = (−2,6), ������������与������������共线,
∴(x-4)×6-y×(-2)=0.
则������������与������������共线,且有一个公共点 A,
故 A,B,C 三点共线.
题型一 题型二 题型三 题型四
反思证明三点共线的常见方法有:(1)证得两条较短的线段长度之 和等于第三条线段的长度;(2)利用斜率;(3)利用直线方程即由其中 两点求出直线方程,再验证第三点在这条直线上;(4)利用向量共线 的条件,如本题.其中方法(4)是最优解法.
错解:由题意,得
3 ������
=
2-������ -������
,
解得m=5.
错因分析:本题中,当 m=0 时,b=0,显然 a∥b 成立.利用坐标比例
形式判断向量共线的前提是 m·(-m)≠0,错解由于疏忽了这一前提,造
成了转化不等价.
正解:∵a∥b,∴3(-m)-(2-m)m=0,解得 m=0 或 m=5.