波的叠加干涉和驻波.

rB
100
A 20m B


B
A

2
rB

rA




200
201
P点干涉减弱。
13
例2：两相干波源分别在 PQ 两点处，初相相同， 它们相距 3 / 2，由 P、Q 发出频率为 ，波长 为的两列相干波，R 为 PQ 连线上的一点。求： ①自P、Q 发出的两列波在 R 处的相位差。②两波
x

只与位置 有关，而与时间
无关。

2.振幅最大的点称为波腹，对应于 | cos 2 x k 的各点；振幅值最大为2A。
2
x | 1
即

波腹的位置为：
x

k

,
k 0,1,2,3,...
2
振幅为零的点称为波节，
对应于 | cos 2 x | 0 即

2
x (2k 1)
4
4

2

相邻的两个波节和波腹之间的距离都是
结论： 相邻波腹与波节间的距离为
2
4
3.驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是
一种特殊的振动。
19
3.驻波的相位
y 2Acos 2 x cost
时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而
空间变化带来的相位是不同的。
考查波节两边的振幅，如 x 4是波节，在范围
21 动状态，稳定态。
例题 ： 位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都 是100赫兹，相差为，其A、B 相距30米，波速为400米/ 秒，求: AB连线之间因相干涉而静止的各点的位置。
解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴
，取A点的振动方程 : yA Acos(t )
可见在A、B两点是波腹处。
23
4.半波损失
在绳与墙壁固定处，为波
节位置。
波节 波腹
这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在
该点各自引起的两个振动位相相反，两位相相差为， 相当于波程相差/2。
入射波在反射时反射波相位突变了，相当于波
程损失了半个波长的现象称为半波损失。
反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节
衍射现象是波动特征之一。
水波通过狭缝后的衍射图象。
3
2 .波的反射与折射
当波传播到两种介质的分界面 1
n c u
时，一部分反射形成反射波，另 一部分进入介质形成折射波。
（1）反射定律
u1 i i'
n1
①.入射线、反射线和界面的法
n2
线在同一平面上；
②.反射角等于入射角。 i' i
（2）折射定律
第二节
波的叠加原理 波的干涉、驻波
1
一、惠更斯原理
1.内容
介质中任一波阵面上的各点， 都是发射子波的新波 源，其后任意时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面
根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面， 就可以确定下一时刻的波阵面。
t 时刻波面 t+t时刻波面 t+ t
波传播方向
ut
平面波
球面波
2
位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变。称这
种稳定的叠加图样为干涉现象。
2.相干条件
源满 称足
1.两列波振动方向相同；
为相 相干
2.两列波频率相同；
干条 波件
3.两列波有稳定的相位差。
源的 。波
8
3.干涉加强、减弱条件
设有两个频率相同的波源 S1和 S2 ，其振动表达式为：
y10 A10 cos(t 1)
2.惠更斯原理的应用
利用惠更斯原理可解释波的衍射、反射和折射。 1、波的衍射
波在传播过程中，遇到障碍物 时其传播方向发生改变，绕过障碍 物的边缘继续传播的现象。
波达到狭缝处，缝上各点都可看 作子波源，作出子波包络，得到新的 波前。在缝的边缘处，波的传播方向发生改变。 当狭缝缩小，与波长相近时，衍射效果显著。
r2
p
y y1 y2 Acos(t )
S1
r1
A A12 A22 2A1A2 cos


(2
1 )

2
(r2

r1)
由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的
强度为：
I I1 I2 2 I1I2 cos
对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度
P
y20 A20 cos(t 2 )
r1
r2
两列波传播到 P 点引起的振动分别为：
y1

A1
cos(t
1

2
r1 )
S1 S2
y2

A2
cos(t
2

2
r2 )
A1、A2是S1、S2在P点引起的振动的振幅。
在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
9
下面讨论干涉现象中的强度分布 S2 在 P 点的合成振动为：
倍时合振幅最小，干涉相消。
干涉加强减弱条件：
12
2k 加强 (2k 1) 减弱
例：两相干波源 A、B 位置如图所示，频率 =100Hz， 波速 u =10 m/s，AB=，求：P 点振动情况。
解：rA 15m
P
rB 15 2 20 2
u 10 0.1m 15m
2
的各点。
波节的位置为： x (2k 1) ,
18
4
波节 波腹
k 0,1,2,3,...
相邻波腹间的距离为：
x k 1 x k
(k 1) k
22

2
波节 波腹
因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。
相邻波节间的距离为：
x k 1 x k
[2(k 1) 1] (2k 1)

1 u2
2y t 2
它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。
若 y1、y2分别是它的解，则( y1 y2 ) 也是它的解,
即上述波动方程遵从叠加原理。
7
三、波的干涉
1.波的干涉现象
频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两
列波（或多列波）相遇时，在介质中某些位置的点
振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它
在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。
10
A
A12

A22
2A1A2
cos ,

(2
1)
2
(r2
r1)
1.干涉加强条件
当 cos 1 时， 即 2k , (k 0,1,2,3,...)
A Amax A1 A2
干涉相长
I Imax I1 I2 2 I1I2
2x 2 (30 x) (2k 1) (k 1,2,3 )


相干相消的点需满足： 30 2x k
因为： u 4m / sec
x
X

A
30 x B
x 15 k 2 k 0,1,2,...
30m
x 1,3,5,7,9,.....2. 5,27,29m
y 2Acos 2 x cost
Ek

1 mV 2 2

2VA2 2
cos2 ( 2
x)sin2 t
Ep

1 YV ( y )2 2 x

2Vu2 A2( 2
)2 sin2
2
x cos2 t
• 由上式可知：各质点位移达到最大时,动能为零，势
能不为零。在波节处相对形变最大，势能最大；在波
i

BD AD

u1t
AD
sin r AC AD
u2t
AD
u2t r D
C
r
sin sin
i r

u1 u2

1 2
/ t / t

1 2

n 21
证毕
惠更斯原理不能说明子波的强度分布，也不能解释
波动为什么不会向后传播的问题。
5
二、波的叠加原理
1.内容 1.几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、 振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播 过程中没有遇到其它波一样。 ——波的独立性原理 2.在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存 在时在该点所引起的振动位移的矢量和。
2 r u 2
①.入射线、折射线和界面的法线在同一平面上；
②.
4
sin i sin r
u1 1 u 2 2
n2 n1
n 21
定理证明:
由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，A、B 点会发射子波，
经t后， B点发射的子波到达界面处iD
点， A点的到达C点，
A
B
i u1t
sin
2.干涉减弱条件
当 cos 1时，即 (2k 1) ,(k 0,1,2,3 )
A Amin | A1 A2 |
I Imin I1 I2 2 I1I2
11
干涉相消
当两相干波源为同相波源
时，有： 1 2


(2
1)

2
(r2
还是波腹与这分界处两边的介质性质有关。
当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射
时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。
当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射 时，无半波损失，界面处出现波腹。
24
例：如图所示，有一沿X轴正向传 播的平面简谐波，其波动方程为：
y1
y1

A c os [10
(t
在X轴上A点发出的行波方程：
yA

A c os (t


2x )
O
A
x
30 x 30m
X B
B点的振动方程 : yB Acos(t 0)
在X轴上B点发出的行波方程：
yB

A c os [t

0

2
(30

x)]
22
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为 静止的点满足：
x)
2Acos 2 x cost

简谐振动的振幅
简谐振动
它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率 相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不 同而不同。
驻波方程： y 2Acos 2 x cost
17
讨论：
y 2Acos 2 x cost
1.振幅项
2A
cos 2
源在 R 处干涉时的合振幅。
解：



2
(r1
r2 )

2
3
2
3
为 的奇数倍，
P
Q
R
合振幅最小，
3 /2
| A1 A2 |
14
四、驻波
1.驻波的产生 有两列相干波，它们不仅频率相同、位相差恒
定、振动方向相同，而且振幅也相等。当它们在同 一直线上沿相反方向传播时，在它们迭加的区域内 就会形成一种特殊的波。这种波称为驻波。

在
4x 4
4 x 3
内， 2Acos 2 x 0；
4
范围内，2
Acos
2

x

0
结论：
• 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大 或同时达到反向最小。速度方向相反。
• 两个波节之间的点其振动相位相同。 同时达到最 大或同时达到最小。速度方向相同。
20
4.驻波的能量
当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠 加可产生驻波。
驻波的特点：媒质中各质点都作稳定的振动。波形 并没有传播。
15
2.驻波的表达式
设有两列相干波，分别沿X轴 正、负方向传播，选初相位 均为零的表达式为：
入射波
y1

Acos(t

2
x)
反射波
y2

Acos(t

2
x)
其合成波称为驻波其表达式：

x) 20

](SI )
O
y2 7 x(m)
此波在x=7m处受到波密介质平面的反射（设反射
时波的强度不变）。求：（1）反射波的波动方程；
（2）在x=6m处介质质元的振动方程；（3）在区
间0<x<7m，干涉相消点的位置。
腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。当
各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。
动能集中在波腹。
• 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，
能量不被传播。这可从能流密度证明：因为能流密度等
于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和
为零。所以驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运

r1)
此时相干条件写为：
称

r1 r2 k, k 0,1,2,3,... 干涉相长


r1
r2

(2k
1)

2
,
k 0,1,2,3,... 干涉相消
为 波 程 差
初位相相同的两个相干波源，在两列波叠加的
区域内，当波程差为零或波长的整数倍时，合振动
的振幅最大，干涉相长；当波程差为半波长的奇数
y1 t 0
x
x0
y2 t 0
x
x0
y

y1

y2

Acos(t
wenku.baidu.com
2
x)
Acos(t

2
x)
16
利用三角函数关系 cos cos 2cos cos
求出驻波的表达式：
2
2
y

y1

y2

Acos(t

2
x)
Acos(t

2
—波的叠加原理。
6
叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解 为简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因；
波的叠加原理并不是普遍成立的，有些是不遵 守叠加原理的。
如果描述某种运动的微分方程是线性微分方程 ，这个运动就遵从叠加原理，如果不是线性微分方 程，它就不遵从叠加原理。
波动方程： 2 y x 2