不等式易错点分析

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使用“基本不等式”解题时易错点分析

使用 “基本不等式 ”解题时易错点分析
黄翠花
摘要:作者结合多年的教学实践,在阐述基本不等式内容的基础上,阐述了基本不等式解题的易错点,然后典型例题分析了基本不等式的正确解法 ,以期为学生提供些许指导 .
关键词 :基本不等式 ;易错点 ;解题方法
基本不等式是高中数学的重要内容,许多函数最值、较为复杂的不等式、数列极限等问题都能找到基本不等式的影
子,并通过使用基本不等式的性质来得到解答. 基本不等式
内容简单,但变式多样,而且在满足特定限制条件,即“一正,
３ x
)
≤
－２
－x��
３－x
＝－２３,
只
有
当
－x＝
－
３ x
时 ,也即 x＝－
３才能相等 .
所以函数的最大值是２３,最小值是－２３.
现场纠错 :１
函
数
y
＝８－
x ２
－
２ x
(x
＞０)的
最
大
值
是 .
(二 )忽视 “二定 ”条件
例２若正数 x,y 满足x＋３y＝５xy,则３x＋４y 的最
二定,三相等”时才能够使用,许多学生由于对基本不等式的
使用条件理解不透彻 ,导致做题过程中出现错误 .
一、基本不等式的内容
(一)基本不等式:a２＋b≥ ab 成立条件:a＞０,b＞０,当且仅当a＝b 时取等号. (二 )利用基本不等式求最值问题 :

不等式的解法

复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。

复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。

（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。

2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。

易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。

如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。

3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。

4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。

<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。

5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。

<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。

6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。

易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。

解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。

分析高中数学不等式易错题型及解题技巧

-081-2020年第27期（总第227期）摘要：文章以分析高中数学不等式易错题型及解题技巧为主要内容，以当下高中数学新课程标准需求为主要依据，从和线性规划结合问题、高次不等式的解答方法、不等式等价转化问题、含参不等式问题、绝对值不等式问题、不等式恒成立问题这几方面进行深入探讨和分析，其目的在于更好地解答高中数学不等式易错题，使得学生掌握一定技巧，旨在为相关研究提供参考资料。

关键词：高中数学知识；不等式问题；易错题；解题技巧中图分类号：G633.6文章编号：2095-624X（2020）27-0081-02一、逐渐引入不等式概念不等式概念中，包含了数学思考，但多数教师只是根据教学参考书以及大纲来安排教学，直接进入不等式的内容讲解。

笔者认为在引入不等式概念时一定要逐渐引进。

在接触不等式知识前，学生习惯用等号来连接式子两端，突然要用“＞”“＜”符号连接式子，学生一下难以适应。

这时可让学生体会世上的万物都有正、反两面，对于数学而言，数学中有等式，也有不等式，在学习时难免会有较为“别扭”的感觉，认为不等式就是数学内容中的不和谐因素。

实际上不等式也是数学的一种表达式，其以相似确定形式描述了一种无穷及不确定的数学状态。

故教师在对这部分内容讲解时，引入概念时要平缓，这样才能自然衔接，纠正学生对不等式的看法。

二、解题中所体现的数学思想为了更好地帮助学生掌握不等式的有关解题方法，很多教师都绞尽脑汁，总结了很多技巧。

例如，“解不等式的方法是利用函数性质，将无理不等式化成有理不等式。

高向低次代，转化步步等价……”对于这类技巧，学生如果可以掌握自然是好，但如果无法掌握也不能让学生死记，因此硬背的方式是不可取的。

只有真正掌握了不等式推导的起始过程，学生才能牢记于心里。

很多教师在讲解不等式内容时，容易把这一节的内容孤立起来。

事实上，不等式就是一个简单函数，需要学生快速联想起函数的定义域、值域等因素，特别要培养学生在遇到根号下整式、分式下分母、底数函数等不等式时，其脑中马上就要想到先求出这些数学因子的定义域，在此范围内再去寻求不等式的解。

均值不等式等号成立的常见错误及解决途径

均值不等式等号成立的常见错误及解决途径第一篇：均值不等式等号成立的常见错误及解决途径均值不等式等号成立的常见错误及解决途径湖北省郭松不等式的应用是高中数学的重难点，众所周知在均值不等式的应用中应该注意等号成立的条件。

由于对公式的理解不够透彻，会造成一些错误。

一、常见错误１.不能正确判断公式中的a,b例1：已知x∈(0,值？错解：y=x(1-2x)=当x=1-2x即x=1),求函数y=x(1-2x)的最大值，并判断当x为何值时函数取最大2112x+1-2x212x(1-2x)≤()= 22281时等号成立31时等号成4以上解答错误地判断了均值不等式中的a,b。

解答应为当2x=1-2x,当x=立2.错误理解a=b时等号成立例2：已知函数y=x+1(x∈R)求函数的值域错解：y=x+1≥2x,当x=1时等号成立，故y≥2显然解答错误，但许多同学对错误原因不了解。

首先y=x+1≥2x,当x=1时等号成立是正确的。

但并不代表函数的最小值为2，例如x=1时 y=2=2x,x=2222+15时y=>1=2x。

如右图，我们可以 24发现y=x+1≥2x，当x=1时等号成立。

但正确解答为y>1二、解决途径1.利用单调性例3：已知函数y=sinx+解：Θ函数y=x+24,求函数的值域sin2x42在x∈(0,2)函数单调递减，且044∴函数y=sin2x+2≥1+=5 1sinx∴ y∈[5,+∞)因为以上题型是高中常见题，所以我们不妨记一下。

函数y=x+a(a为正常x数,x>0)。

x∈（0，a函数单调递减，x∈]a,+∞函数单调递增。

利用函数的单调性证)明不等式是证明不等式的一种通法。

理论上说不等式都能用函数单调性解答。

2.通过配系数同例3：方法2：(略解)sinx+44222=4 sinx+-3 sinx8-3sinx≥5 ≥22sinxsinx413322方法3：（略解）sinx+= sinx++ 2+≥≥5 sin2xsin2xsin2xsin2x2充分利用，理解不等式等号成立的条件是配系数的关键3.利用换元法例4：已知a+b=1,m+n=9.求am+bn的最大值错解：10= a+b+m+n≥2（am+bn）得：am+bn≤5显然等号不能成立正解：设：a=sinα,b=cosα,m=3sinβ,n=3cosβ得am+bn=3cos(α-β)≤34.构造向量利用向量的性质z1z2≥z1z2同例4：设z1=(a,b),z2=(m,n)得z1z2=am+bn≤z1z2=a2+b222222222m2+n2=3 加强多种方法的解答，注意各部分知识的联系。

初一不等式经典易错题解析

初一不等式经典易错题解析初一不等式经典易错题解析初一学生在学习不等式时，难免会遇到一些经典易错题，这在一定程度上也给学习带来了一些困扰。

在本文中，我们将对初一不等式中一些经典易错题进行解析，希望对同学们的学习有所帮助。

一、乘方不等式易错点在不等式中，乘方往往是初一学生们考试时经常遇到的问题，其中特别容易发生的错误包括：1. 未进行“正负性”分析乘方在不等式中的作用是使变量的取值范围变广，但我们必须检查其“正负性”，否则就会出现错误的答案。

比如，当我们遇到以下不等式时：（1）x^2-6x+5>0（2）x^2+6x+5>0根据情况，我们可以把这两个不等式转化为因式分解的形式。

对于第一个式子，我们可以得到x在0到5之外或者在1到正无穷之间；而对于第二个式子，我们可以得到x在正无穷到-1或者在-5到正无穷之外。

在情况（1）中，我们需要特别注意的是，当x在1到5之间时，式子的取值就会变为负数，因此其“正负性”分析对于解题至关重要。

2. 公因数舍去的问题在乘方问题中，如果变量被约分后就会导致解题出现偏差。

例如：对于以下不等式而言：（3）2x^2+3x-2<0当我们对其进行因式分解，会得到2(x+1)(x-2)<0，但我们需要注意，当x=-1时，x+1=0，此时2(x+1)(x-2)的分子是0，不符合数学逻辑规律，我们需要忽略掉这种情况。

因此，正确的解题思路应该是用区间法将不等式的解空间分为三段，分别为x<-1、-1<x<2、2<x。

二、加减不等式易错点在初一不等式题型中，加减不等式也经常出现。

在处理这类问题中，需要注意以下问题：1. 未进行化简，直接求解很多时候，初一学生在解加减不等式时直接将式子简化，导致解题出现了较大偏差。

事实上，在处理不等式问题时，我们需要把含有常数的项先整合。

例如：对于以下不等式而言：（4）2x+1<3x-4如果我们直接拆方程，化简后得到x>5，但这种做法是错误的，因为我们在拆方程之前必须将常数加起来，然后再消元，即：（5）-x<-5x>5因此，式子的解空间是x>5。

不等式及其基本性质易错点剖析

a b a b 2 ；⑤ 2 c c c c
）
D. ①②④⑤
错解：因为 c2 是正数，所以③正确，故选 B．错解分析：本题的条件是 a＞b，变形是在不等式的两边同乘（或除以） c 或 c2，变形正确与否的关键是看 c 或 c2 的取值情况．而本题中 c 为不确定大小的
有理数，故很容易判断①②⑤变形错误．因为 c2 大于等于零，而其在分母中，故只能大于 0，所以④正确．故选 A．例 5．已知 am＞bm（m≠0），下面结论中，正确的是（ A. a＞b B. a＜b C.
2a－b＝7， a＝5，字母系数的取值范围，所以在解题时错误得出解得从而错 5b－a＝10， b＝3．
5
3 误得到 ax＞b 的解集是 x＞． 5 2a－b＜0， 10 正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0 的解集是 x＜，得5b－a 10 解 7 ＝， 2a－b 7
A. ①④
错解：5＜3 不成立，故选 B．错解分析：不等式是指用“＜” ， “＞” ， “≤” ， “≥”或“≠”来表示不等关系的式子，不受其是否成立的影响．5＜3 虽然不成立，但它仍然是不等式，故选 D．
6
二、性质类错误例 3．命题“若 a＜b，c＜d，则 ac＜bd”是否成立？错解：成立．因为两个较小数的积一定小于两个较大数的积，例如 2＜3， 4＜5，则有 2×4＜3×5．错解分析：此题的错误在于对概念的理解模糊不清，若 a，c 为负数，例如 -3＜2，-4＜1，显然（-3）×（-4）不小于 2×1，故该命题不成立．例 4．若 a＞b， c 为有理数，则下列式子中正确的是（ ①ac＞bc；②ac＜bc；③ac2＞bc2；④ A. ④ B. ③ C. ①②⑤

一元一次不等式易错点分析

不等式（组）常见错解剖析河南师大附中刘晨曦不等式（组）是初中数学的重要内容之一，是以后学习函数等知识的基础,因此学好这部分内容对以后的学习起着非常重要的作用. 但初学者，由于对其定义、性质、解法等理解不透，而导致许多错误．现就平时作业和检测中常出现的错误进行剖析，以提高同学们的解题能力.1 忽视因式为0例1 若a b >，则22____ac bc ．错解因为20c >，且a b >，所以22ac bc >，故填＞.剖析上面的解法错在忽视了0c =.当0c =时，22ac bc =.正解因为20c ≥，且a b >，所以22ac bc ≥,故应填≥.2 忽视系数0a ≠例2 若(1)20m m x ++>是关于x 的一元一次不等式，则m 的取值是．错解由题意，得1m =，∴1m =±.故填1±.剖析当1m =-时，10m +=，此时得到不等式2＞0. 一元一次不等式应满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是1；③是不等式. 一元一次不等式的一般形式是：000ax b ax b a +>+<≠或（），在解题时切不可忽视0a ≠的条件. 正解由题意，得1m =，且10m +≠，即1m =±且1m ≠-，∴1m =.故应填1. 3 忽视移项要变号例3 解不等式61431x x +>-．错解移项，得63114x x +>-+，合并同类项，得 913x >，系数化为1，得 139x >．剖析移项是解不等式时的常用步骤，可以说它是不等式性质1的直接推论.但要注意移项必须变号，而上面的解法就错在移项时忘记了变号.正解移项，得63114x x ->--，合并同类项，得 315x >-，系数化为1，得 5x >-．4 忽视括号前的负号例4 解不等式()53216x x -->-.错解去括号，得5636x x -->-，解得3x <.剖析错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号，忽视了括号前的负号.去括号时，当括号前面是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内的各项都要改变符号. 正解去括号，得5636x x -+>-，解得9x <.5 忽视分数线的括号作用例5 解不等式125164x x +--≥．错解去分母，得2261512x x +--≥，移项，得2612215x x -≥-+，合并同类项，得425x -≥，系数化为1，得 254x ≤-．剖析分数线具有“括号”的作用，故在去分母时，分数线上面的多项式应作为一个整体，加上括号．上面的解法就错在忽视分数线的括号作用.正解去分母，得2(1)3(25)12x x +--≥，去括号，得2261512x x +-+≥，移项，得 2612215x x -≥--，合并同类项，得45x -≥-，系数化为1，得54x ≤． 6 忽视分类讨论例6 代数式1x -与2x -的值符号相同，则x 的取值范围________．错解由题意，得1020x x ->⎧⎨->⎩，解之，得2x >，故填2x >. 剖析上面的解法错在忽视了对符号相同的分类讨论.由题意知，符号相同，两代数式可以均是正数，也可以均是负数，应分大于0和小于0进行探究.正解由题意，得10102020x x x x ->-<⎧⎧⎨⎨->-<⎩⎩或，解之，得21x x ><或，故应填21x x ><或.7 忽视隐含条件例7 关于x 的不等式组()()()233113224x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有四个整数解，求a 的取值范围. 错解由（1）得8x >,由（2）得24x a <-,因不等式组有四个整数解，故中的整数解有4个，即9、10、11、12，故2413a -≤，解得114a ≥-. 剖析上面的解法错在忽视隐含条件2412a ->而致错，当有多个限制条件时，对不等式关系的发掘不全面，会导致未知数范围扩大，因此解决这方面的问题时一定要细心留意隐含条件.正解由（1）得8x >,由（2）得24x a <-,因不等式组有四个整数解，故中的整数解有4个，即9、10、11、12，故122413a <-≤，解得11542a -≤<-. 8 用数轴表示解集时，忽视虚、实点例8 不等式组()()()523111317222x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把它的解集在数轴表示出来. 错解解不等式（1），得52x >，解不等式（2），得4x ≤，在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集，原不等式组的解集是如图1图1剖析本题的解集没有错，错在用数轴表示解集时，忽视了虚、实点.不等式的解集在数轴上表示时，没有等号的要画虚点，有等号的要画实点.正解解不等式（1），得52x >，解不等式（2），得4x ≤，在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集，如图2，原不等式组的解集是.图29 忽视题中条件例9 有学生若干人,住若干间宿舍,若每间住4人,则有20人无法安排住宿；若每间住8 人,则有一间宿舍不满也不空,问宿舍间数是多少?错解设宿舍间数为x ，学生人数为420x +，由题意，得()420818x x +--<，解得5x >，∵x 是正整数 ∴ x = 6，7,8……答：至少有6间宿舍.剖析错解的原因在于对题意不够理解，忽视题中的“一间宿舍不满也不空”这一条件.审清题意是解决这类问题的关键.正解设宿舍间数为x ，学生人数为420x +，由题意，得()0420818x x <+--<，解得57x <<，∵x 是正整数 ∴6x =.答：有6间宿舍.。

必学五基本不等式的题型与易错点

高考基本不等式专题典题精讲例1（1）已知0＜x ＜31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x ＜31,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)=31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121. 解法二：∵0＜x ＜31,∴31-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［231x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2xx 1•=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x1=-［(-x)+)(1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+)(1x -≥2,当且仅当-x=x-1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+11+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1⇒x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x＞-1,∴x+1＞0. ∴f(x)=x+11+x =x+1+11+x -1≥2)1(1)1(+•+x x -1=1. 当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min =1.变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x 2+1，则t≥1且x 2=t-1.∴y=133224+++x x x =1113)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t≥1,∴t+t 1≥2t t 1•=2,当且仅当t=t1,即t=1时，等号成立. ∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y 9=1，求x+y 的最小值.思路分析：要求x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”, ∵x 1+y 9=1, ∴x+y=(x+y)·(x 1+y 9)=10+yx x y 9+. ∵x＞0,y ＞0,∴y x x y 9+≥2y x x y 9•=6. 当且仅当y x x y 9=，即y=3x 时，取等号. 又x 1+y 9=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16. 解法二：由x 1+y 9=1，得x=9-y y . ∵x＞0,y ＞0,∴y＞9. x+y=9-y y +y=y+999-+-y y =y+99-y +1=(y-9)+99-y +10. ∵y＞9,∴y -9＞0. ∴999-+-y y ≥299)9(-•-y y =6. 当且仅当y-9=99-y ，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.解法三：由x 1+y 9=1，得y+9x=xy,∴(x -1)(y-9)=9. ∴x+y=10+(x -1)+(y-9)≥10+2)9)(1(--y x =16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又x 1+y 9=1, ∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的X 围对另外一个变量的X 围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：x 1+y 9≥2xy 9①,即xy 6≤1,∴xy ≥6. ∴x+y≥2xy ≥2×6=12②.∴x+y 的最小值是12. 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x 1=y 9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,y b x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)(yb x a +)=a+x ay y bx ++b=10+x ay y bx +. ∵x,y＞0,a,b ＞0， ∴x+y≥10+2ab =18，即ab =4. 又a+b=10，∴⎩⎨⎧==8,2b a 或⎩⎨⎧==.2,8b a 例3求f(x)=3+lgx+x lg 4的最小值（0＜x ＜1）. 思路分析：∵0＜x ＜1,∴lgx＜0,xlg 4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数. 解：∵0＜x ＜1,∴lgx＜0,x lg 4＜0.∴-x lg 4＞0. ∴(-lgx)+(-x lg 4)≥2)lg 4)(lg (xx --=4. ∴lgx+x lg 4≤-4.∴f(x)=3+lgx+xlg 4≤3-4=-1. 当且仅当lgx=x lg 4,即x=1001时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+x lg 4 (0＜x ＜1)的最小值为-1. 黑色陷阱：本题容易忽略0＜x ＜1这一个条件.变式训练1已知x ＜45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值. 思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x ＜45，则4x-5＜0. 解：∵x＜45,∴4x -5＜0. y=4x-5+541-x +3=-［(5-4x)+x451-］+3 ≤-2xx 451)45(-•-+3=-2+3=1. 当且仅当5-4x=x 451-,即x=1时等号成立. 所以当x=1时，函数的最大值是1.变式训练2当x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值. 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23=-（xx 238223-+-）+23,再求最值. 解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23，∵当x ＜23时，3-2x ＞0， ∴x x 238223-+-≥x x 2382232-•-=4，当且仅当xx 238223-=-，即x=-21时取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1 （1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy 的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y 的最小值.解：（1）设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S ，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥2y x 32⨯=2xy 6, ∴2xy 6≤18,得xy≤227，即S≤227. 当且仅当2x=3y 时等号成立.由⎩⎨⎧=+=,1832,22y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,5.4y x 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大. 方法二:由2x+3y=18，得x=9-23y. ∵x＞0,∴0＜y ＜6.S=xy=(9-23y)y=23 (6-y)y. ∵0＜y ＜6,∴6-y ＞0.∴S≤23［2)6(y y +-］2=227. 当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时，可使面积最大. (2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 方法一:∵2x+3y≥2y x 32•=2xy 6=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y 时,等号成立.由⎩⎨⎧==,24,32xy y x 解得⎩⎨⎧==.4,6y x 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24，得x=y 24.∴l=4x+6y=y 96+6y=6(y 16+y)≥6×2y y⨯16=48,当且仅当y 16=y ，即y=4时，等号成立，此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y 都是正数；（2）积xy （或x+y ）为定值；（3）x 与y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x 米,则宽为x 200米(0＜x≤16,0＜x200≤16),∴12.5≤x≤16. 于是总造价Q(x)=400(2x+2×x 200)+248×2×x200+80×200. =800(x+x 324)+16 000≥800×2xx 324•+16 000=44 800, 当且仅当x=x 324 (x ＞0),即x=18时等号成立,而18∉［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800. 下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意12.5≤x 1＜x 2≤16,则x 2-x 1＞0,x 1x 2＜162＜324.Q(x 2)-Q(x 1)=800［(x 2-x 1)+324(1211x x -)］ =800×212112)324)((x x x x x x --＜0, ∴Q(x 2)＞Q(x 1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.∴Q(x)≥Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n 层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n 层楼时,环境不满意程度为n8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思：本问题实际是求n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可. 探究：设此人应选第n 层楼,此时的不满意程度为y.由题意知y=n+n8. ∵n+n8≥2248=⨯n n , 当且仅当n=n 8,即n=22时取等号. 但考虑到n∈N *,∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选3楼,不满意度最低.。

备战2021年高考数学一轮复习易错题08不等式含解析

易错点08 不等式-备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知a >0，b 〉0，且a +b =1，则（） A 。

2212a b +≥B 。

122a b ->C 。

22log log 2a b +≥-D.≤【答案】ABD 【解析】【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A,()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确;对于B,211a b a -=->-，所以11222a b -->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立,故C 不正确；对于D,因为2112a b =+++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养。

【易错警示】易错点1．随意消项致误【例1】解不等式；22(1025)(43)0x x x x -+-+≥．【错解】原不等式可化为:2(5)(1)(3)0x x x ---≥，因为2(5)x -≥，所以(1)(3)0x x --≥，所以31x x ≥≤或，故原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或．【错因】错误是由于随意消项造成的，事实上，当2(5)0x -=时，原不等式亦成立．【正解】原不等式可化为：50(1)(3)0x x x -≠⎧⎨--≥⎩或50x -=，解得3x ≥或1x ≤或5x =．所以原不等式的解集为：{}315x x x ≥≤=x|或或易错点2．认为分式不等式与二次不等式等价致误【例2】解不等式；102x x -≤+．【错解】原不等式可化为：(1)(2)0x x -+≤，解得21x -≤≤，所以原不等式的解集为[2,1]-．【错因】没有考虑分母不能为0【正解】原不等式可化为：(1)(2)02x x x -+≤⎧⎨≠-⎩,解得21x -<≤, 所以原不等式的解集为(2,1]-．易错点3．不等式两边同乘一个符号不确定的数致误【例3】解不等式；122x x -≤+．【错解】不等式两边同乘以2x +得：12(2)x x -≤+，解得5x ≥-，所以原不等式的解集为[5,)-+∞．【错因】两边同乘以2x +，导致错误【正解】原不等式可化为:1520022x x x x -+-≤⇒≥++，解得5x ≤-或2x >-，所以原不等式的解集为(,5](2,)-∞--+∞．易错点4．漏端点致误【例4】集合{}{}2|20,|3A x x x B x a x a =--≤=<<+，且A B φ=，则实数的取值范围是______ 【错解】{}{}2|20|12A x xx x x =--≤=-≤≤ ，若使AB φ=，需满足231a a >+<-或．解得24a a ><-或,所以实数a 的取值范围是24a a ><-或．【错因】忽视了集合{}|12A x x =-≤≤的两个端点值-1和2，其实当2a =时{}|25B x x =<<,满足A B φ=;当31a +=-时,即4a =-时也满足AB φ=．【正解】{}{}2|20|12A x xx x x =--≤=-≤≤若使A B φ=，需满足231a a ≥+≤-或,解得24a a ≥≤-或,所以实数a 的取值范围是24a a ≥≤-或．易错点5．忽视基本不等式成立的前提“正数” 【例5】求函数1y x x=+的值域．【错解】因为12y x x=+≥=，所以函数 1y x x=+的值域为[2,)+∞．【错因】没有考虑为负数的情形．【正解】由题意，函数1y x x=+的定义域为{|0}x x ≠．当0x >时，12y x x=+≥=，当1x =时取得等号；当0x <时，11()2y x x x x=+=--+≤-=--，当1x =-时取得等号．综上，求函数1y x x=+的值域是(,2][2,)-∞-+∞．易错点6．忽视基本不等式取等的条件【例6】求函数2y =的最小值．【错解】函数222y ===≥,所以函数的最小值为2．【错因】使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件即a b a b+≥=才能取等号．上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的．【正解】22y ===令2t ≥,1y t t =+在2t ≥时是单调递增的，115222y t t ∴=+≥+=．故函数的最小值是52．易错点7．多次使用基本不等式，忽视等号是否同时成立【例7】已知两个正实数,x y ,满足4x y +=,求14x y+的最小值．【错解】由已知得44x y xy =+≥≤，142x y +≥=≥,所以14x y +最小值是2．【错因】两次使用基本不等式,其中4xy ≤等号成立必须满足x y =，而14x y+≥的等号成立时,必须有4x y =，因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的．【正解】141444()()()59x y x y x y x y y x +=++=++≥,当且仅当14x y=且4x y +=，即48,33x y ==时取等号，1494x y ∴+≥，即14x y +最小值为94．【变式练习】一、单选题1．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）已知0a b <<，则下列不等式正确的是（） A ．22a b <B ．11a b <C ．22ab < D ．2ab b<【答案】C 【解析】试题分析:取a =-2,b =—1，代入到各个选项中得到正确答案为C ．2．（2020·河北省高二开学考试）若正数a ，b 满足31a b +=，则13a b+的最小值为（） A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】因为31a b +=，所以()131333310b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭,因为a ,b 为正数，所以33b a a b +≥，当且仅当33b a a b =，即14a b ==时取等号，故13a b +的最小值为16，故选：C 。

高中数学不等式易错题型和解题教学

高中数学不等式易错题型和解题教学姜㊀辣(南京市建邺高级中学ꎬ江苏南京２１００００)摘㊀要:不等式在高中数学中占有重要的地位ꎬ其不仅仅是作为一个独立的知识体系存在ꎬ也贯穿整个高中数学的学习过程中.正确掌握不等式的解法ꎬ对于提高数学素养和解决实际问题有着重要的意义.本文通过研究高中数学不等式易错题型ꎬ探讨不等式在数学教学中的重要性ꎬ并提出一些可行的解题教学策略.关键词:高中数学ꎻ不等式ꎻ易错题目ꎻ解题教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０６－００３８－０３收稿日期:２０２３－１１－２５作者简介:姜辣(１９８１.２－)ꎬ男ꎬ江苏省南京人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀在高中数学中ꎬ不等式不仅仅是一个独立的知识点ꎬ还深深嵌入在代数㊁几何㊁函数ꎬ甚至是概率统计等多个数学分支之中.因此ꎬ正确应用不等式ꎬ是学生在整个高中数学学习过程中不可或缺的能力[１].然而ꎬ在实际教学中发现ꎬ许多学生会因为误解不等式性质㊁疏忽计算过程㊁选择不当的解题策略等原因ꎬ在处理不等式题目时陷入困境ꎬ甚至犯下错误.这些错误不仅直接影响了他们的答题正确率ꎬ还导致他们对整个不等式知识体系的理解出现偏差ꎬ进而影响到他们在其他相关数学知识点的学习和理解.因此ꎬ本文将重点针对这些常见的易错题型进行分析ꎬ通过探讨原因并提供相应的解题策略ꎬ帮助学生避免和纠正这些错误ꎬ从而更好地掌握和运用不等式知识ꎬ提高他们的数学解题能力.１易错题型分析１.１不等式组及其解题方法不等式的解集和不等式组的解集是不同的ꎬ常见的易错点包括对于不等式的联立方程和求解方法不理解ꎬ对于解的范围和形式的产生误解.对于单个不等式ꎬ解集通常由半开区间或闭区间构成ꎬ要注意考虑限制条件和特殊情况ꎬ正确求解不等式[２].而对于不等式组ꎬ解集通常由各个不等式解集的交集或并集构成ꎬ要注意联立的方式和解的数量ꎬ正确求解不等式组.例１㊀解不等式组６－２ｘɤｘ２－３ｘꎬｘ２－３ｘ<１８{解㊀原不等式组可化为ｘ２－ｘ－６ȡ０ꎬｘ２－３ｘ－１８<０ꎬ{因式分解得(ｘ－３)(ｘ＋２)ȡ０ꎬ(ｘ－６)(ｘ＋３)<０ꎬ{所以ｘɤ－２或ｘȡ３ꎬ－３<ｘ<６ꎬ{所以－３<ｘɤ－２或３ɤｘ<６.所以不等式的解集为{ｘ｜－３<ｘɤ－２或３ɤｘ<６}.点评㊀学生要加强对不等式的解法和解的表现形式的理解ꎬ多进行实战演练和推导计算ꎬ并注意题目中的一些特别提示和隐含条件ꎬ以便正确地求解不等式和不等式组ꎬ提高解题的准确度和效率.１.２绝对值不等式及解题方法在求解绝对值不等式时ꎬ我们需要根据符号的８３不同分类讨论ꎬ将不等式拆分成多个情况求解ꎬ并验证解是否符合原不等式.这类问题的易错点常常因学生不能正确理解绝对值符号含义而出现.学生在求解过程中ꎬ会忽略实际情况下的取值ꎬ导致在去绝对值符号求解时ꎬ出现细节性的错误.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝｜ｘ－ａ｜＋｜ｘ＋３｜. (１)当ａ＝１时ꎬ求不等式ｆ(ｘ)ȡ６的解集ꎻ(２)若ｆ(ｘ)>－ａꎬ求ａ的取值范围.解㊀(１)当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)＝｜ｘ－１｜＋｜ｘ＋３｜ꎬ即求｜ｘ－１｜＋｜ｘ＋３｜ȡ６的解集ꎬ当ｘȡ１时ꎬ原不等式可化为２ｘ＋２ȡ６ꎬ得ｘȡ２ꎻ㊀当－３<ｘ<１时ꎬ原不等式可化为４ȡ６ꎬ无解ꎻ当ｘɤ－３时ꎬ原不等式可化为－２ｘ－２ȡ６ꎬ得ｘɤ－４.综上ꎬ不等式ｆ(ｘ)ȡ６的解集为{ｘ｜ｘɤ－４或ｘȡ２}.(２)ｆ(ｘ)＝｜ｘ－ａ｜＋｜ｘ＋３｜ȡ｜(ｘ－ａ)－(ｘ＋３)｜＝｜ａ＋３｜ꎬ当且仅当(ｘ－ａ)(ｘ＋３)ɤ０时ꎬ等号成立.所以ｆ(ｘ)ｍｉｎ＝｜ａ＋３｜>－ａꎬ当ａ<－３时ꎬ原不等式可化为－ａ－３>－ａꎬ无解ꎻ㊀当ａȡ－３时ꎬ原不等式可化为ａ＋３>－ａꎬ解得ａ>－３２ꎬ综上所述ꎬａ的取值范围是(－３２ꎬ＋ɕ).点评㊀对于绝对值不等式ꎬ有三种求解方法: (１)利用分类讨论法去绝对值符号ꎬ将绝对值不等式问题变为普通的不等式问题ꎻ(２)当不等式两端均为正数时ꎬ可以对两边分别平方ꎬ将其转化为普通不等式求解ꎻ(３)根据绝对值的几何意义ꎬ结合数形结合思想进行求解.学生在解决绝对值不等式问题时ꎬ需要仔细理解符号含义㊁进行明确分析㊁加强细节注意.１.３一元二次不等式及解题方法一元二次不等式是不等式中的常见问题之一ꎬ常常涉及二元一次方程组㊁二次函数等概念ꎬ常见的易错点包括忽略不等式的限制条件.比如分母不能为零㊁公式运用错误㊁平方根法则ꎬ未充分了解不等式的形式和解的数量导致求解错误ꎬ等等.例３㊀已知一元二次不等式ｘ２＋ｐｘ＋ｑ<０的解集为{ｘ｜－１２<ｘ<１３}ꎬ求不等式ｑｘ２＋ｐｘ＋１>０的解集.解㊀因为ｘ２＋ｐｘ＋ｑ<０的解集为{ｘ｜－１２<ｘ<１３}ꎬ所以ｘ１＝－１２与ｘ２＝１３是方程ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的两个实数根ꎬ由根与系数的关系得１３－１２＝－ｐꎬ１３ˑ(－１２)＝ｑꎬìîíïïïï解得ｐ＝１６ꎬｑ＝－１６.{所以不等式ｑｘ２＋ｐｘ＋１>０即为－１６ｘ２＋１６ｘ＋１>０ꎬ整理得ｘ２－ｘ－６<０ꎬ解得－２<ｘ<３.即不等式ｑｘ２＋ｐｘ＋１>０的解集为{ｘ｜－２<ｘ<３}.点评㊀求解步骤:第一步:审结论明确解题方向如要解ｑｘ２＋ｐｘ＋１>０ꎬ最好能确定ｐꎬｑ的值.第二步:审条件挖掘题目信息利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于ｐꎬｑ的方程组.第三步:建联系找解题突破口由给定不等式的解集形式ң确定关于ｐꎬｑ的方程组ң求得ｐꎬｑң代入所求不等式ң求解ｑｘ２＋ｐｘ＋１>０的解集[３].１.４线性规划及其解题方法线性规划问题是高考数学考试中的热门考点ꎬ通常以选择题㊁填空题的题型呈现.这类问题的难度一般不大ꎬ但需要学生熟练掌握线性不等式的基本概念和解题方法.学生在求解该类题型时ꎬ常见的错误有:对约束条件的理解不准确㊁忽略约束条件的实９３际情况㊁利用代交点法直接求解㊁认为目标函数的最大值对应的情况是截距最大等.例４㊀若ｘꎬｙ满足约束条件２ｘ＋ｙ－２ɤ０ꎬｘ－ｙ－１ȡ０ꎬｙ＋１ȡ０ꎬìîíïïï则ｚ＝ｘ＋７ｙ的最大值为.解㊀不等式组表示的平面区域如图所示ꎬ目标函数ｚ＝ｘ＋７ｙ即:ｙ＝－１７ｘ＋１７ｚꎬ其中ｚ取得最大值时ꎬ其几何意义表示直线系在ｙ轴上的截距最大ꎬ据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点Ａ处取得最大值ꎬ联立直线方程:２ｘ＋ｙ－２＝０ｘ－ｙ－１＝０{ꎬ可得点Ａ的坐标为:Ａ(１ꎬ０)ꎬ据此可知目标函数的最大值为:ｚｍａｘ＝１＋７ˑ０＝１.故答案为１.图１㊀例４题解析示意图点评㊀线性规划问题有三种常见题型:一是求解目标函数的最值问题ꎻ二是求解所形成的区域面积ꎻ三是求解目标函数的取值范围.解决该类问题ꎬ数形结合思想必不可少.为了避免解题过程出现错误ꎬ要严格按照画移求答四个步骤进行. 画即画图确定可行域ꎻ 移即根据目标函数的几何意义ꎬ结合图象ꎬ找到目标函数的最值对应的点ꎻ求即将对应的点坐标代入目标函数中ꎻ 答即回答对应问题.２解题教学策略以下是一些解决高中数学中不等式易错题目的解题教学策略.一是建立完整的知识体系.不等式成立与否的判定和解题方法ꎬ本质上要依赖于运算规律和不等式性质.因此ꎬ在学习不等式的时候ꎬ需要先建立完整的不等式知识体系.包括理解不等式的含义㊁不等式的基本性质㊁不等式的基本运算及其法则等方面ꎬ以及需要熟练应用这些知识进行解题.二是掌握不等式的基本性质.不等式的基本性质包括加减同项㊁乘除同因㊁同向性等ꎬ是解决不等式问题的基础.学生需要熟练掌握这些不等式的基本性质ꎬ并且在解题过程中正确运用ꎬ从而避免因运算错误而导致的答案错误.三是学会使用变形和替换技巧.在解决不等式问题中ꎬ变形和替换是非常重要的技巧.学生需要掌握常见的变形和替换技巧ꎬ例如平方两边㊁提取公因数㊁配方等.在运用这些技巧的时候ꎬ学生需要注意是否改变了不等式的大小关系ꎬ避免由于运算错误而导致的答案错误.四是掌握一些常见的不等式套路题目.不等式套路题目包括均值不等式㊁柯西不等式等.学生需要熟悉这些不等式套路题目的应用场景ꎬ并且学会根据题目的要求选择合适的不等式套路ꎬ从而解决问题.五是要注重数学归纳法的运用.数学归纳法在解决不等式问题时是非常有效的方法.通过数学归纳法证明不等式的正确性可以增加学生解决不等式问题的信心ꎬ同时也有助于提高学生的系统性思考和证明能力[４].３结束语通过上面的讨论ꎬ可以发现不等式问题的常见错误类型ꎬ以及避免这些问题的相应教学策略ꎬ希望给一线教师提供参考.参考文献:[１]古智良.高中数学不等式易错题型及解题技巧分析[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２１(５２):７５－７６.[２]祝永华.高中数学不等式易错题型解题技巧分析[Ｊ].中学教学参考ꎬ２０２０(３５):２９－３０.[３]徐键.高中数学不等式易错题型及解题教学[Ｊ].数学大世界(中旬)ꎬ２０２０(０９):７３.[４]李静.分析高中数学不等式易错题型及解题技巧[Ｊ].求知导刊ꎬ２０２０(２７):８１－８２.[责任编辑:李㊀璟]０４。

2020年高考数学(理)之纠错笔记专题07 不等式(含解析)

专题07 不等式易错点1 忽视不等式隐含条件致误设2()f x ax bx =+，若1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，则(2)f -的取值范围是________．【错解】由1(1)22(1)4f f ≤-≤⎧⎨≤≤⎩得1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩①②，①＋②得：332a ≤≤， ②−①得：112b ≤≤.由此得4≤(2)f -=4a −2b ≤11，所以(2)f -的取值范围是[4,11]．【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了(2)f -的范围扩大．【试题解析】解法一：设(2)f -=m (1)f -＋n (1)f (m 、n 为待定系数)，则4a −2b =m (a −b )＋n (a ＋b )，即4a −2b =(m＋n )a ＋(n −m )b ，于是得42m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩.∴(2)f -=3(1)f -＋(1)f ．又∵1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，∴5≤3(1)f -＋(1)f ≤10，即5≤(2)f -≤10.解法二：由(1)(1)f a b f a b -=-⎧⎨=+⎩，得1[(1)(1)]21[(1)(1)]2a f fb f f ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∴(2)f -=4a −2b =3(1)f -＋(1)f ．又∵1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，∴5≤3(1)f -＋(1)f ≤10，即5≤(2)f -≤10.解法三：由题意，得1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当(2)f -=4a −2b 过点31(,)22A 时，取得最小值3142522⨯-⨯=；当(2)f -=4a −2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3−2×1=10，∴5≤(2)f -≤10. 【答案】[5,10]（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．1．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是 A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15]【答案】B【解析】解：令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩, 则855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤Q ，又884015333n n -≤≤∴-≤≤Q ，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故选B.【名师点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键.易错点2 忽略不等式性质成立的条件给出下列命题： ①若,0a b c <<,则c ca b<； ②若33acbc -->，则a b >；③若a b >且*k ∈N ,则kka b >；④若0c a b >>>,则a b c a c b>--. 其中正确命题的序号是 .【错解】①11a b a b <⇒>,又0c <,则c ca b<，故①正确；②当0c <时，a b <,故②不正确； ③正确；④由0c a b >>>知0c a c b ->->,∴110c a c b <<--，故a a b c a c b c b<<---,故④不正确.故填①③.【错因分析】①③忽略了不等式性质成立的条件；④中的推论显然不正确.【试题解析】①当ab <0时，c ca b<不成立，故①不正确； ②当c <0时，a >b 不成立,故②不正确；③当a =1,b =−2,k =2时，命题不成立，故③不正确； ④由a >b >0⇒−a <−b <0⇒0<c −a <c −b ,两边同乘以1()()c a c b --,得110c b c a<<--,又0a b >>,∴a a bc a c b c b>>---,故④正确.故填④. 【答案】④不等式的性质的几点注意事项(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a ≤b ，b <c ⇒a <c .(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．(3)“a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n >1)”成立的条件是“n 为大于1的自然数，a >b >0”，假如去掉“n 为大于1的自然数”这个条件，取n ＝－1，a ＝3，b ＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b >0”这个条件，取a ＝3，b ＝－4，n ＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论．2．若非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式成立的是A ．1a b <B ．2b aa b+≥C ．2211ab a b<D ．22a a b b +<+【答案】C【解析】A,1a a b b b--=不一定小于0，所以该选项不一定成立； B,如果a ＜0，b ＜0时， 2b aa b+≥不成立，所以该选项不一定成立；C, 2222110a bab a b a b --=<，所以2211ab a b<，所以该不等式成立； D, 22()()()()(1)a a b b a b a b a b a b a b +-=+-+-=-++-不一定小于0，所以该选项不一定成立. 故选：C【名师点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.错点3 忽略对二次项系数的讨论导致错误已知关于x 的不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0恒成立，则m 的取值范围为______________．【错解】由于不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0对一切实数x 都成立，所以m ＜0且Δ＝m 2－4m (m －1)＜0，解得m ＜0．故实数m 的取值范围为(－∞，0)．【错因分析】由于本题中x 2的系数含有参数，且当m ＝0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m 的值是否为0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解．【试题解析】由于不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0对一切实数x 都成立，当m ＝0时，－1＜0恒成立；当m ≠0时，易知m ＜0且Δ＝m 2－4m (m －1)＜0，解得m ＜0．综上，实数m 的取值范围为(－∞，0]．【答案】(－∞，0]解一元二次不等式的一般步骤一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．二判：计算对应方程的判别式．三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．3．若不等式2(1)0mx m x m +-+>对实数x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．1m <-或13m > B ．1m > C ．13m >D ．113m -<<【答案】C【解析】由题得0m =时，x ＜0，与已知不符，所以0m ≠. 当m ≠0时，220(1)40m m m ∆>=--<且，所以13m >. 综合得m 的取值范围为13m >. 故选C.【名师点睛】不等式20ax bx c >＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，0,0b c >＝或当0a ≠时，00a ∆>⎧⎨<⎩；不等式20ax bx c <＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，0,0b c <＝或当0a ≠时，00a ∆<⎧⎨<⎩．解不等式恒成立问题的技巧(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.易错点4 解含参不等式时不能正确分类导致错误解不等式(2)1()1a x a x ->∈-R ．【错解】原不等式可化为(2)101a x x -->-，即(2)(1)01a x x x --->-，等价于[(1)(21)](1)0a x a x ---->，即21()(1)01a x x a --->-，因为21111a aa a --=--，所以当01a a >-，即1a >或0a <时，2111a a ->-；当01a a =-，即0a =时，2111a a -=-；当01a a <-，即01a <<时，2111a a -<-．综上，当1a >或0a <时，原不等式的解集为{|1x x <或21}1a x a ->-；当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x ≠；当01a <<时，原不等式的解集为21{|1a x x a -<-或1}x >．【错因分析】显然当a ＝0时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的．实际上错解中的变形非同解变形，因为a －1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a －1＞0时的情况．【试题解析】显然当0a =时，原不等式是不成立的．当a ≠0时原不等式可化为(2)101a x x -->-，即(2)(1)01a x x x --->-，等价于[(1)(21)](1)0a x a x ---->(*)，当1a =时，(*)式可转化为(1)0x -->，即10x -<，即1x <．当1a >时，(*)式可转化为21()(1)01a x x a --->-．当1a <时，(*)式可转化为21()(1)01a x x a ---<-．又当1a ≠时，21111a aa a --=--，所以当1a >或0a <时，2111a a ->-；当01a <<时，2111a a -<-．综上，当1a >时，原不等式的解集为{|1x x <或21}1a x a ->-；当1a =时，原不等式的解集为{|1}x x <；当01a <<时，原不等式的解集为21{|1}1a x x a -<<-；当0a =时，原不等式的解集为∅；当0a <时，原不等式的解集为21{|1}1a x x a -<<-．在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小．在不等式转化的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错．4．已知函数()()2,1ax bf x a b x -=∈-R . （1）若关于x 的不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，求()0f x <解集；（2）若12a =，解不等式()0f x >的解集. 【答案】（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）见解析【解析】（1）()21ax bf x x -=-. ∵不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， ∴0a >，0a b =>，()()()()210021101a x f x a x x x -<⇔<⇔--<-，∴()0f x <的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）12a =时，不等式()()()()00101x bf x f x x b x x ->⇔=>⇔-->-， ①当1b >时，不等式的解集为()(),1,b -∞+∞U ； ②当1b =时，不等式的解集为{}1x x ≠；③当1b <时时，不等式的解集为()(),1,b -∞+∞U .易错点5 不能准确把握目标函数的几何意义致误设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z =3x −2y 的最小值为A ．−5B ．−4C ．−2D ．3【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线z =3x −2y 平移到过点(1,0)时取得最小值，即z min =3×1−2×0=3.故选D.【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有正确理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导致目标函数的最小值求解错误．【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线3x−2y=z平移到过点(0,2)时，z=3x−2y的值最小，最小值为−4，故选B.形如z=Ax＋By(B≠0)，即A zy xB B=-+，zB为该直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截距的B倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号．5．若实数x，y满足2303301x yx yy+-≤+-≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z x y=-的最大值是A．1-B．0 C．3 D．4【答案】C【解析】作出不等式组2303301x yx yy+-≤+-≥≤⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z =x −y ，得y =x −z ，平移直线y =x −z ，由图象可知当直线y =x −z 经过点B(3,0)时，直线y =x −z 的截距最小，此时z 最大．此时z 的最大值为z =3−0=3，故选C.易错点6 忽略等号成立的一致性导致错误若x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，则11x y+的最小值为_______________．【错解】因为x ＞0，y ＞0，所以1＝x ＋2y ≥22xy 8xy ≤1，即xy ≤18，故1xy ≥8．因为11x y +≥12xy11x y +≥2842=11x y +的最小值为42 【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x ＋2y ≥22xy 11x y +≥12xy“＝”需满足x ＝2y 与x ＝y ，互相矛盾，所以“＝”不能同时取到，从而导致错误．【试题解析】因为x ＋2y ＝1，x ＞0，y ＞0，所以1111(2)()x y x y x y +=++＝23322x yy x++≥+，当且仅当2x y y x =，即2x y =，即221,12x y ==-时取等号．故11x y +的最小值为322+连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．6．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13 B ．38C ．37D ．1【答案】A【解析】因为40x y xy +-=，化简可得4x y xy +=，左右两边同时除以xy 得141y x +=.求3x y+的最大值，可先求333x y x y+=+的最小值.因为1413333x y x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯=+⨯+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4143333x y y x =+++1433≥+3≥，当且仅当433x yy x=时取等号. 所以3x y +的最大值为13. 故选A.【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.一、不等关系与不等式 1．比较大小的常用方法（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.2．不等式的性质及应用（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.（2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 3．求代数式的取值范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用. 二、一元二次不等式及其解法 1．解一元二次不等式的一般步骤（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．（2）二判：计算对应方程的判别式．（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．（4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含有参数的一元二次不等式的步骤（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 3．解不等式恒成立问题的技巧（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥); ②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到. （2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.4．已知不等式的解集求参数的解题方法已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为:（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解. 5．简单分式不等式的解法若()f x 与()g x 是关于x 的多项式，则不等式()0()f xg x >(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧>⇒⇒⋅>⎨⎨><⎩⎩或;()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧<⇒⇒⋅<⎨⎨<>⎩⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇒⇒⋅>=⎨≠⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇒⇒⋅<=⎨≠⎩或.对于形如()()f xg x >a (或<a )的分式不等式，其中a ≠0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 6．简单高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：（1）将高次不等式()0(0)f x ><中的多项式()f x 分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集．（2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．三、简单的线性规划问题1．画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为：第一步，“直线定界”，即画出边界0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由00Ax By C ++的符号就可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域. 2．复杂不等式(组)表示的平面区域高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式(组)，从而画出这些不等式(组)表示的平面区域.对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法：先分情况讨论去掉绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为一般的二元一次不等式(组)，然后按照“直线定界，特殊点定域”的方法作出所求的平面区域. 3．求平面区域面积问题的步骤（1）画出不等式组表示的平面区域.（2）判断平面区域的形状(三角形区域是比较简单的情况)，求出各边界交点的坐标.（3）若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式. 4．简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by += (目标函数为z ax by =+)；（2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点；（3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值；（4）答：给出正确答案． 5．解答线性规划实际应用题的步骤（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 6．求线性目标函数最值的两种方法（1）平移直线法：作出可行域,正确理解z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.（2）顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数z ax by =+的值，经比较后得出z 的最大(小)值. 求解时需要注意以下几点：（ⅰ）在可行解中，只有一组(x ,y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.（ⅰ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.（ⅰ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解. 四、基本不等式1．利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形手段有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. （2）并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值.（3）配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 注意：①基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到．②分子、分母有一个一次，一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值.取倒数以应用基本不等式是对分式函数求最值的一种常见方法. 2．有关函数最值的实际问题的解题技巧（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<，则{|22}M N x x =-<<I ．故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分． 2．设全集()(){}130U x x x =∈+-≤Z ，集合{}0,1,2A =，则U A ð＝ A ．{}1,3- B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-【答案】A【解析】由()()130x x +-≤，解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U A =-ð，故选A. 3．已知1a b >>，01c <<，下列不等式成立的是 A ．a b c c > B ．ac bc < C ．log log c c a b > D ．c c ba ab <【答案】D【解析】由题意，对于A 中，由1a b >>，01c <<知，a b c c < ，故本选项错误．对于B 中，由1a b >>，01c <<知，ac bc >，故本选项错误．对于C 中，由1a b >>，01c <<知，log log c c a b <，故本选项错误．对于D 中，由1a b >>，01c <<知，-11c c a b -< ，则11c c ab a ab b --⋅<⋅，即c c ba ab ＜．故本选项正确．故选：D ．【名师点睛】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理准确推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．关于x 的不等式240ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】不等式240ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞，即x ∀∈R ，240ax x a -+≥恒成立，当0x =，0a ≥，当0x ≠时，14||||a x x ≥+，因为1144||||x x ≤+，当且仅当2x =等号成立，所以1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．故选：D ．5．任意正数x ，不等式21ax x ≤+恒成立，则实数a 的最大值为 A ．1BC ．2D．2【答案】C【解析】0x >Q ，211x a x x x+∴≤=+，又12x x +≥=Q （当且仅当11x x x =⇒=取到等号）， 2a ∴≤.【名师点睛】本题主要考查了含参数不等式恒成立时参数的取值范围，常用的方法有分离参数法，再结合基本不等式，转化成求最值的问题.6．【2019年高考天津卷理数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】C【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距，故目标函数在点A 处取得最大值.由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=. 故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． 7．【2019年高考全国II 卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 8．已知m,n ∈(0,+∞),若m =m n+2,则当m 22+2n 2−4m −2n 取得最小值时,m +n =A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】因为m =m n+2,所以mn =m +2n ,m 22+2n 2−4m −2n =m 22+2n 2−2,下面只需求解m 22+2n 2的最小值即可.因为mn =m +2n ≥2√2m n ,故mn ≥8,又m 22+2n 2≥mn =8,当且仅当m=2n =4时,等号成立,此时m+n =6.9．设实数x,y 满足{x −y −2≤0x +2y −4≥0x ≥0,则x 2+y 2的最小值为A ．4B ．165C ．689D ．0【答案】B【解析】画出可行域如图所示,则目标函数x 2+y 2的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方,所以x 2+y 2的最小值为165,故选B ．10．若存在实数x,y 使不等式组{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0与不等式x −2y +m ≤0都成立,则实数m 的取值范围是A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥1D ．m ≥3【答案】B【解析】由题意作出{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示,x −2y +m ≤0表示了直线上方的部分,故由{y =6−xx =y ,解得x =3,y =3,所以3-3×2+m ≤0,解得m ≤3. 故选B.11．已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b +的最小值为A ． B．32C ．D ．52【答案】B【解析】作出不等式组2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分）：由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点30A （，）时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大．代入目标函数2z x y =+得236z =⨯=，即6m =．则141146()()6a b a b a b a b +=∴+=++，1413145662b a a b =+++≥+=（）（，当且仅当24a b ==，时取等号，故选B ．【名师点睛】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．首先作出不等式组对应的平面区域，再利用目标函数的几何意义，求最大值m ，然后根据基本不等式的性质进行求解即可．12．已知关于x 的不等式x 2−4ax ＋6a 2<0(a >0)的解集为(x 1,x 2),则x 1＋x 2＋ax1x 2的最小值是A ．√63B ．23√3C ．23√6D ．43√3【答案】C【解析】由题意可知,x 1,x 2是方程x 2−4ax ＋6a 2=0两个根,则x 1+x 2=4a,x 1x 2=6a 2,所以x 1＋x 2＋ax 1x 2=4a +16a ≥23√6,当且仅当a =√612时,等号成立. 13．若函数y =R ，则实数k 的取值范围是______．【答案】[)1,+∞【解析】∵函数y =R ，∴2210kx x -+≥对任意x ∈R 恒成立，当0k =时，不等式化为210x -+≥，对任意x ∈R 不恒成立；当0k ≠时，则0440k k >⎧⎨∆=-≤⎩，解得1k ≥，综上，实数k 的取值范围是[)1,+∞．故答案为[)1,+∞.【名师点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．14．实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值是4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是__________．【答案】（2，2）（答案不唯一）【解析】实数x ，y 满足1 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，的可行域以及x +y =4的直线方程如图．能说明“若z =x +y 的最大值为4，则x =1，y =3”为假命题的一组（x ，y ）值是（2，2）（线段BC 上的点均符合题意）．故答案为：（2，2）（答案不唯一）．【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．15．已知a 是任意实数,则关于x 的不等式(a 2−a +2017)x 2<(a 2−a +2017)2x+3的解集为 .【答案】{x|−1<x <3}【解析】∵a 2−a +2017=(a −12)2+2017−14>1,∴(a 2−a +2017)x 2<(a 2−a +2017)2x+3,即x 2<2x +3,解得−1<x <3.16．【2019年高考天津卷理数】设0,0,25x y x y >>+=__________．【答案】方法二：0,0,25,x y x y >>+=Q0,xy ∴>===≥.当且仅当3xy =时等号成立，【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立. 17．已知m >0,n >0,若2m =1−2n ,则3m +27n的最小值为 .【答案】96【解析】因为2m +2n =1,m >0,n >0,所以3m +27n =(3m+27n)(2m +2n )=6(10+n m +9m n)≥6(10+2√nm ·9m n)=96,当且仅当n m =9mn ,即m =18,n =38时,等号成立.18．已知实数x ,y 满足不等式组{x −y +2≥0,x +y −4≥0,2x −y −5≤0,则z =x 2+y 2-10y+25的最大值为 .【答案】65【解析】作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,因为z =x 2+y 2-10y+25=(x -0)2+(y -5)2的几何意义表示可行域中的点(x ,y )到定点M (0,5)的距离的平方.结合图象易知点C 到点M 的距离最大, 由{x −y +2=0,2x −y −5=0,得C (7,9),则z max =(7-0)2+(9-5)2=65.19．设实数x ,y 满足{x −y −2≤0,x +2y −5≥0,y −2≤0,则u =y 2−x 2xy 的取值范围是 . 【答案】[-83,32]【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.其中A (3,1),B (1,2),C (4,2),yx 表示动点(x ,y )与原点连线的斜率,因为x ,y >0,所以当yx 取最大(小)值时,xy 取最小(大)值,由图可知当(x ,y )=(1,2)时,(yx )max =2,同时(xy )min =12,所以u max =(yx )max -(xy )min =32,当(x ,y )=(3,1)时,(yx )min =13,同时(xy )max =3,所以u min =(yx )min -(xy )max =-83,所以u 的取值范围是[-83,32].20．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin601sin60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此()11444559,c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.21．【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；。

中考数学常见易错知识点汇总(方程组与不等式组)

中考数学常见易错知识点汇总（方程组与不
等式组）
方程（组）与不等式（组）
易错点1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。

易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0 的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。

（消元降次）主要陷阱是消除了一个带X 公因式要回头检验！
易错点3：运用不等式的性质３时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。

易错点4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。

易错点5：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。

易错点6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括
号，易忘记根检验，导致运算结果出错。

易错点7：不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。

易错点8：利用函数图象求不等式的解集和方程的解。

高一数学必修5不等式易错题及错解分析

必修5不等式易错题及错解分析一、选择题：1．设()lg ,f x x =若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A (a-1)(c-1)>0B ac>1C ac=1D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x =的图象,由图可得出选D. 2．设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A 1x y +≥B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

3．不等式(0x -≥的解集是A {|1}x x >B {|1}x x ≥C {|21}x x x ≥-≠且D {|21}x x x =-≥或错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。

正确答案为D 。

4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则A 2a b x +=B 2a b x +≤C 2a b x +>D 2a bx +≥ 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。

正确答案为B 。

5．已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22- 错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。

正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D 。

6．若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（）A a ≤-21或a ≥21B a ＜21C -21≤a ≤21D a ≥ 21正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

高一数学不等式中的易错点(学生)

1，等式两边同时加上一个数或式子，不等号方向不变
2，等式两边同时乘以大于零的数，不等号方向不变
3，等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号的方向改变
例4，解不等式
随堂练习
1，解不等式
2，解不等式
四，基本不等式中等号的条件
基本不等式有几种形式，它们分别是：
（1）
（2），则
（3） ★（2）（3）（4）（5）中当且仅当a=b时取等号
学科教师辅导讲义
年级：高一辅导科目：数学课时数：
学生姓名：学科老师：
课题
集合、不等式中的易错点
教学目的
针对集合、不等式学习中的易错点，加强学习，提升学生解题能力
教学内容
一．集合关系理解不透彻
集合，这里即包括，也包括的可能。当时，一定要注意此时，中的每个元素都是中的元素。
例1，已知集合，集合 ,且 ,求的取值范围。
，则
6.若正数满足，则的取值范围是___________
7.已知，且，则的最小值是
8.已知正数、满足，则的最小值为
9.已知x>0，y>0且x+2y=1，求xy的最大值，及xy取最大值时的x、y的值．
10.已知，求函数的最小值。
（4），
其中常常用到的是（2），运用这个不等式可以求得最大值或者最小值。但一定要注意其条件
错误点一，忽视符号条件
例5，已知，求的取值范围
小明解法如下：，所以，的取值范围为
小明的解法对吗？如果不对，请找出错在哪里？
随堂练习
已知，求的最小值
错误点二，忽视等号条件
例6，求的最小值
随堂练习
已知，求的最大值。

不等式问题易错点分析

：
同解．
：Ｉ
若若
≥２即Ｏ＜ｌ，，￣ａ时原不等式无解；＜２即ａ，＜Ｏ或ａｌ于是ａ＞，＞ｌ时原不等
）（，Ｃ）Ｕ２＋ × ．。
式的解为（。，一ｃ
当日１时，ａ＜若＜Ｏ解集为（，），＿ “ ２；
≈ — ■ ，１、
．
例ｌ解关于ｚ的不等式三二＞１（ ≠ １ｎ）原不等式可化为：＞。目＇Ⅱ
式相加得一２ｎ＋ｂ２但说ａ＋ｂ的取值范围为 ≤ ≤ ，
［，］错误的．一２２是
因为由ａ＋ｂ一１知，ａ＝１时，可能再有。当＝＝不
ｒ３化数２理
— —
学者如取水，日取而不能逾其量，瓢者止ｉｇ，杯者止于杯，善学者不自溢其器终操ｆ，操－故
（）元臣明左
ｌ竺：：竺兰
ｌ一寺［（）Ｆ（），ｎ厂１－ｆ一１］
｛ｉ
则
（ ÷（的小为 — ．ｚ）十）最值 — ＋
２不等式性质记忆错误或应用不当致误
１忽视参变量的符号致误
不等式的几条性质是我们解决不等式问题的基石，由于它似乎很显然、简单，少同学易忽视这些很不性质，而在不等式问题上的致误根源往往又在这里．
＿１ ≤ ４则－一２的取值范围为（厂），厂（（）

不等式问题易错点分析佘维平

不等式问题易错点分析特级教师佘维平不等式是高中数学的重要内容，是一种主要的运算工具，也是解决生产实践和生活实际应用问题的常见数学方法，所以不等式是高考数学命题的重点，在高考中的直接、间接的考查量很大，不少同学在不等式内容上的高考失分很多！.下面结合同学们在不等式问题求解过程中常出现的一些典型错误,充分暴露错误的思维过程，使你认识到出错的原因，在比较中对正确的思路与方法留下深刻印象，从而有效地避免出错，提高解题准确率，这应是同学们在学习与复习时不可或缺的一个环节。

举例如下：一．忽视参变量的符号致误这是不等式问题上的最常见错误。

对于不等式xx -+11>0，解是x< -1或x>1吗？我们一些同学在这样很基础的题目上也会出错，错因就在于忽视了未知数x 前的符号！（xx -+11>0的解应为－1<x<1）. 又如不等式xx -+11>2，有同学不考虑分母的符号就去分母，解得x>31,这也是由于明显的符号问题而求解错误的例子（求解分式不等式()()()0≠>a a x g x f ，一般应移项通分，再用曲线标根法得到结果）。

那么，在含有字母参数的问题中，再不小心字母（或式子）中隐含的符号的话，错误会更多。

例1. 解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1).解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0. 当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解.若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞).当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.易错点分析：1. 对［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0.，未考虑a －1的值可正、可负、可为0三种情况；2.对12--a a ，未与2进行大小比较思维拓展：此题若去掉条件“(a ≠1).”，结果会有什么变化，请同学们思考。

易错02不等式(4个易错点+7个易错核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版)

易错02不等式（4个易错点错因分析与分类讲解+7个易错核心题型60题强化训练）易错点1 忽视不等式中的等号而致误1. [江苏镇江一中等三校2023质检]（多选）下列命题是真命题的为（）22.,A ac bc a b <<若则 ()22.,,21B a b R a b a b Î+>--若则.C a b >>则 22.0,b aD a b a ba b>>+>+若则易错点2 忽略基本不等式成立的条件致误2. [广东广州2023阶段练习]（多选）下列函数中最小值为 8 的是（）16.ln ln A y x x=+16.sin sin B y x x=+2.44xx C y -=+ .D y =3. [陕西咸阳2022二模]若0,0x y >>且2x y +=，则下列结论中正确的是（）22.1A x y +的最小值是1.4B xy 的最大值是21.C x y+的最小值是.2D +易错点3 忽视对二次项系数的分类讨论致误4. [安徽六安2023第五次质检]“10k -<<”是“关于x 的不等式()2220kx kx k +-+<恒成立”的（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件5. [河南中原名校2022第二次联考]已知命题2,10p x R ax ax $Î-+<：，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为。

易错点4 要注意反比例函数的定义域6.[山东2022第二次联合检测]已知非零实数,m n 满足mne e >，则下列关系式一定成立的是（）11.A m n< ()()22.ln 1ln 1B m n +>+ 11.C m n m n+>+ .D m m n n>【易错核心题型强化训练】一．不等关系与不等式（共4小题）1．（2023秋•揭西县期末）b 克糖水中含a 克糖(0)b a >>，若再加入m 克糖(0)m >，则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式( )A ．a a mb b m+<+B ．a a mb b m+>+C ．a a mb b m-<-D ．a ab b m<+2．（2023秋•兴文县校级期末）设a b c ……，且1是一元二次方程20ax bx c ++=的一个实根，则ca的取值范围为( )A ．[2-，0]B ．1[2-，0]C ．[2-，12-D ．[1-，1]2-3．（2023秋•绍兴期末）已知实数x ，y ，z 满足352x y y =-，532z y y =+，且x y <，则( )A ．z y>B ．01y <<C ．2x z y+>D ．2x z y+<4．（2023秋•阜宁县期末）已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是( )A ．4ab …B ．111a b+…C ．2216a b +…D ．228a b +>二．基本不等式及其应用（共12小题）5．（2024•博野县校级开学）若1x >，则函数91y x x =+-的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．96．（2023秋•五华区校级期末）若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式24yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,2)-B ．(-¥，2)(1-È，)+¥C ．(2,1)-D ．(-¥，1)(2-È，)+¥7．（2024•汕头二模）若实数a ，b 满足0a b <<，且1a b +=．则下列四个数中最大的是( )A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a8．（2024•扬中市校级开学）已知正数x ，y 满足4x y +=，则下列选项不正确的是( )A ．11x y+的最小值是4B ．xy 的最大值是4C ．22x y +的最小值是8D ．(1)x y +的最大值是2529．（2023秋•怀仁市期末）下列命题正确的是( )A ．若0a b >>，0m >，则a a mb b m+<+B ．若正数a 、b 满足1a b +=，则114113a b +++…C ．若0x >，则423x x--的最大值是2-D ．若(2)x x y =-，0x >，0y >，则2x y +的最小值是 910．（2024•丰城市校级开学）下列说法正确的为()A ．若0x >，则(2)x x -最大值为1B ．函数y 的最小值为4C ．1||2x x+…D ．已知3a >时，43a a +-…，当且仅当43a a =-即4a =时，43a a +-取得最小值811．（2024•岳麓区校级一模）设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为(,)2a bA a b +=，几何平均数为(,)G a b =(G a ，)(b A a …，)b ，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D ．H ．Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即11(,)p pp p p a b L a b a b --+=+，其中p 为有理数．下列关系正确的是( )A ．0.5(L a ，)(b A a …，)bB ．0(L a ，)(b G a …，)bC ．2(L a ，1)(,)b L a b …D ．1(n L a +，)(,)n b L a b …12．（2023秋•灌南县校级期末）已知a ，b 为正实数，且8ab a b ++=，则( )A ．ab 的最大值为4B ．22(1)(1)a b +++的最小值为18C ．a b +的最小值为4D ．1111a b +++13．（2024•金东区校级模拟）已知a ，b R Î，若222a b ab +-=，则ab 的取值范围是．14．（2024春•上城区校级期中）已知实数0a >，0b < ．15．（2023秋•金平区期末）在4´□9+´□60=的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上和．16．（2023秋•濠江区校级期末）若实数a ，b ，c 满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，则c 的最大值是．三．其他不等式的解法（共2小题）17．（2023秋•普陀区校级期末）不等式11x<的解集为．18．（2023秋•吉林期末）不等式2112x x ++…的解集是．四．指、对数不等式的解法（共6小题）19．（2024•宣城模拟）若3a x <<是不等式12log 1x >-成立的一个必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(,0)-¥B ．(-¥，0]C ．[0，2)D ．(2,3)20．（2024•开封一模）a ，b 为实数，则“1a b >>”是“a lnb b lna +>+”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．（2024•良庆区校级模拟）若集合2{|280}A x Z x x =Î--…，2{|log 1}B x x =>，则(A B =I )A ．{2，4}B ．{1，4}C ．{3，4}D ．{2，3，4}22．（2023秋•青浦区期末）用函数的观点：不等式24log 1x x +<的解集为．23．（2023秋•沙坪坝区校级期末）设集合1{|1}x A x e e -=……，若关于x 的不等式20x mx n ++…的解集为A ．（1）求函数2()f x x mx n =++的解析式．（2）求关于x 的不等式2()(32)2f x x l l +>-+的解集，其中R l Î．24．（2023秋•渝中区校级期末）已知函数21()21x xf x -=+，41()log (21)2x g x x =--．（1）解不等式211212x x->-+；（2）方程44()log ()log (21)(0)x g x af x a =-->在2[log 3，2]上有解，求a 的取值范围？五．二次函数的性质与图象（共3小题）25．（2024春•化州市期中）设函数22()f x x mx n =++，22()(4)24g x x m x n m =+++++，其中x R Î，若对任意的t R Î，()f t ，()g t 至少有一个为非负值，则实数m 的最大值是( )A ．1B C ．2D 26．（2023秋•厦门期末）已知函数2()2(0)f x x x c c =++>，若()0f t <，则( )A ．(1)0f t ->B ．(1)0f t +<C ．(2)0f t -<D ．(2)0f t +>27．（2023秋•厦门期末）已知函数2()f x x ax b =++．（1）若()0f x <的解集为(3,1)-，求a ，b ；（2）若f （1）2=，a ，(0,)b Î+¥，求14a b+的最小值．六．一元二次不等式及其应用（共32小题）28．（2023秋•牡丹区校级期末）不等式2(3)1x +<的解集是( )A ．{|2}x x >-B ．{|4}x x <-C ．{|42}x x -<<-D ．{|42}x x --……29．（2024•南海区校级模拟）已知a ，b ，c R Î且0a ¹，则“20ax bx c ++>的解集为{|1}x x ¹”是“0a b c ++=”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件30．（2023秋•涟源市期末）已知二次函数2y x bx c =-++的零点为2-和1，则关于x 的不等式20x bx c +->的解集为( )A ．(-¥，1)(2-È，)+¥B ．(1,2)-C ．(2,1)-D ．(-¥，2)(1-È，)+¥31．（2023秋•石嘴山期末）已知一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为(-¥，)(1m -È，)(1)m +¥<-，则4(1)b a m +-的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．432．（2023秋•长乐区校级月考）若不等式220ax x c ++<的解集是11(,)(,)32-¥-+¥U ，则不等式220cx x a -+…的解集是( )A ．11[,]23-B ．11[,32-C ．[2-，3]D ．[3-，2]33．（2024•龙凤区校级开学）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[2，4]上有解，则实数m 的取值范围为( )A ．(3,)-+¥B ．(0,)+¥C ．(,0)-¥D ．(,3)-¥-34．（2024•广丰区校级开学）不等式210(0)mx ax m -->>的解集不可能是( )A ．{|1x x <-或1}4x >B ．RC ．13{|}32x x -<<D ．{|3x x <-或5}x >35．（2023秋•梅州期末）已知不等式20ax bx c ++>的解集为(2,1)-，则下列结论正确的是( )A ．0a <B ．0b <C ．0c >D ．0a b c -+<36．（2023秋•吉林期末）下列说法正确的是( )A ．命题“0x $…，使得1x e x +…”的否定是“0x ">，都有1x e x >+”B ．“11a<”是“1a >”的必要不充分条件C ．若不等式220ax x c ++>的解集为{|12}x x -<<，则2a c +=D ．当1x >时，121x x +-的最小值为2+37．（2023秋•新化县期末）已知关于x 的不等式2(23)(3)10(0a m x b m x a +--->>，0)b >的解集为1(,1)(,)2-¥-+¥U ，则下列结论正确的是( )A ．21a b +=B ．ab 的最大值为18C ．12a b+的最小值为4D ．11a b+的最小值为3+38．（2023秋•宿州期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<，则下列说法正确的是( )A ．0a >B ．0a b c ++<C ．不等式20cx bx a -+<的解集为1{|2x x <-或1}3x >-D ．24c a b++的最小值为639．（2023秋•松山区期末）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|}x m x n <<，其中0m >，则以下选项正确的有( )A ．0a <B ．0c >C ．20cx bx a ++>的解集为11{|}x x n m<<D ．20cx bx a ++>的解集为1{|x x n <或1}x m>40．（2024春•浦东新区校级月考）设0a >，若关于x 的不等式20x ax -<的解集是区间(0,1)的真子集，则a 的取值范围是．41．（2023秋•清河区校级期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为1(3-，2)，那么关于x 的不等式20cx bx a ++<的解集为．42．（2024•重庆模拟）若关于x 的不等式202(0)ax bx c a ++>……的解集为{|13}x x -……，则32a b c ++的取值范围是．43．（2023秋•阜南县期末）解关于x 的不等式()(1)0()x a x a R --Î…．44．（2023秋•南充期末）已知函数2()1f x x mx =-+．（1）若关于x 的不等式()10f x n +-…的解集为[1-，2]，求实数m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()10()f x x m m R -+->Î的解集．45．（2023秋•阿勒泰地区期末）已知集合2{|340}A x x x =--<，{|131}B x a x a =+<<+．（1）当2a =时，求A B U ；（2）若A B B =I ，求a 的取值范围．46．（2023秋•金安区校级期末）已知集合{|30}A x x =-<…，集合2{|2}B x x x =->．（1）求A B I ；（2）若集合{|22}C x a x a =+……，且()C A B ÍI ，求实数a 的取值范围．47．（2023秋•沙坪坝区校级期末）若函数2()4f x ax bx =++，（1）若不等式()0f x <的解集为1(,4)2，求a ，b 的值；（2）当1a =时，求()0()f x b R >Î的解集．48．（2023秋•山西期末）已知关于x 的不等式230ax x b -+>的解集为{|1x x <或2}x >．（1）求a ，b 的值；（2）当0c >时，求关于x 的不等式2(1)10cx ac x -++<的解集（用c 表示）．49．（2023秋•阳江期末）已知不等式2(2)0x a x b -++…的解集为{|12}x x ……．（1）求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式：()(2)0(x c ax c -->为常数，且2)c ¹50．（2023秋•双塔区校级期末）已知关于x 的不等式2230ax bx +-<的解集为{|12}x x -<<．（1）求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式：(1)()0ax bx m +-+>，其中m 是实数．51．（2023秋•广州期末）设全集为R ，集合2{|560}A x x x =-->，{|121}B x a x a =+<<-．（1）若4a =，求A B U ，R A B I ð；（2）若()R A B =ÆI ð，求实数a 的取值范围．52．（2023秋•呼和浩特期末）（1）若关于x 的不等式2430ax ax +-<对x R "Î都成立，求a 的取值范围；（2）已知二次不等式2430ax ax +-<的解集为12{|}x x x x <<，且12||5x x -=，求a 的值．53．（2023秋•定西期末）已知集合2{|230}A x x x =--<，2{|(21)20}B x x m x m =---…．（1）当1m =时，求A B U ；（2）若x A Î是x B Î的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．54．（2023秋•西安区校级期末）已知关于x 的不等式222830ax x a --<的解集为{|1}x x b -<<．（1）求实数a ，b 的值；（2）当0x >，0y >，且满足1a b x y+=时，求32x y +的最小值．55．（2024春•湖北月考）已知函数2()(4)4f x x a x a =+-+-，()a R Î．（1）解关于x 的不等式：()1f x …；（2）命题“(1,)x "Î+¥，()0f x …”是真命题，求a 的最大值．56．（2023秋•天津期末）函数2()1(,)f x ax bx a b R =++Î．（1）若()0f x <的解集是{|2x x <-，或3}x >，求不等式2103ax bx ++>的解集；（2）当0a >时，求关于x 的不等式()(1)0f x a b x +-+>的解集．57．（2023秋•金安区校级期末）已知函数2()()f x x a b x a =-++．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为(1,2)，求a ，b 的值；（2）当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．58．（2023秋•三明期末）集合2{|340}A x ax x =--…，{|B x x b =…或1}x -…，且A B =．（1）求a ，b 的值；（2）若集合{|12}P x m x m =+<<，且“x P Î”是“R x A Îð”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．59．（2023秋•德庆县校级期末）已知函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f =．（1）若()0f x <的解集为{|28}x x <<，求函数()f x y x =的值域；（2）当0a >时，解不等式()0f x <．七．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共1小题）60．（2023秋•青羊区校级期末）方程2(2)50x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围是( )A ．(5-，4]-B ．(-¥，4]-C ．(-¥，2]-D ．(-¥，5)(5--È，4]-。

含参数的不等式的解法易错点

含参数的不等式的解法易错点
1、定义区域的不清楚：当求解一个参数不等式时，要清楚定义一个
参数的大小区域，一般定义参数的正负区域，负区域一般要用圆括号，正
区域用方括号，容易把大小因子搞反。

2、解析不当：解析不当也是求解参数不等式时经常出现的易错点。

在解析不等式的过程中，常常容易把乘法变成除法和把除法变成乘法，例
如0.03x2=0.06可以得到x=0.03/2，但是如果是1.5/2x=3的话，变成
2x=3乘以1.5，就错误了。

3、定义不当：当定义参数不等式的参数值时，要先仔细检查小数点
的位置，把大小数字把控住，如果定义的区域是小数，要把小数点确定好，不能把小数点当成整数的，尽量不要把小数点打成图像符号，否则容易出错。

4、运算不当：参数不等式的求解过程和普通的不等式一样，要按照
规则把非零项移到一边，然后求解，在求解的过程中，要注意计算的条件，考虑因子的大小，它们之间乘除有什么关系，再根据参数的定义区域作出
正确的结论。

5、关于参数的解：在求解参数不等式时，要注意参数是否有整数解，有时看上去可能有整数解，但实际上没有，所以要把其中可能的参数值都
列出来检查一下。

易错点18 不等式选讲(解析版)

易错点18 不等式选讲易错点1.绝对值不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a {x |－a <x <a } ∅ ∅ |x |>a{x |x >a 或x <－a }{x ∅R |x ≠0}R(2)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ∅|ax ＋b |≤c ∅－c ≤ax ＋b ≤c ； ∅|ax ＋b |≥c ∅ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ∅利用绝对值不等式的几何意义求解． ∅利用零点分段法求解．∅构造函数，利用函数的图象求解．易错点2.基本不等式定理1：如果a ，b ∅R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∅R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．易错点3.不等式证明1．比较法(1)比差法的依据是：a －b >0∅a >b ．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B >0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.2．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．易错点4.柯西不等式1、柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立)．2、柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β(α，β为非零向量)时，等号成立．3、柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∅R ，则x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥x 1－x 32＋y 1－y 32.4、柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．1．已知平面向量a ，b 是单位向量，且1a b -=，向量c 满足32c a b --=，则c 的最大值为（） A 33B ．23C 31D ．231【答案】A【详解】解：因为1a b -=，所以21a b -=，即2221a a b b -⋅+=，又1a b ==，所以21a b ⋅=．所以()22223+=+=+⋅+=a b a ba ab b ．因为c c a b a b =--++，所以333322c c a b a b ≤--++=+=．故选：A ．2．已知,a b ∈R ，则“1a b -<”是“1a b +<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件A ．254B ．C ．2D ．4A ．(]3,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),2-∞(1)当1a =时，解不等式()1f x >； (2)若()2f x x <+对于任意的13,42x恒成立，求实数a 的取值范围． 13,42x 恒成立，13,42x 恒成立，即||x a -<对任意的13,42x 恒成立即可，13,42x ，当且仅当1x x=时，即13,42x ， 1x-在13,42x上单调递增，1．已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（） A ．{1,2}- B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-{}1,2A B =【最优解】代入排除法}1≤，可得}1，可得3【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；A ．1,3a b ≤≥ B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D．1,3a b ≥≤33．已知a ，b ，c 都是正数，且2221a b c ++=，证明： (1)19abc ≤； (2)a b c b c a c a b ++≤+++；(1)23a b c ++≤；(2)若2b c =，则113a c+≥．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围． ][)2,+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法4][2,)+∞．：绝对值不等式的性质法求最小值恒成立，一、单选题1．如果不等式1-<x a 成立的充分不必要条件是1322x <<；则实数a 的取值范围是（）A ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,,22∞∞⎛⎫⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．13,,22∞∞⎛⎤⎡⎫-⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭2．设R x ∈，则“12x -<”是“111x >-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件A ．[]1,2-B ．][(),12,-∞-⋃+∞C ．[)1,-+∞D ．(],2∞-4．若正数满足4m n p ++=，且m n mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（） A ．(],6-∞ B ．(],4-∞ C ．(],12-∞ D ．(],8-∞故选：D5．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即a bc d=）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数()f x=的最大值及取得最大值时x的值分别为（）A215B215C6113D6113()22221+5x-即x的最大值及取得最大值时x的值分别为时，都有21x-为（）A．1B．32C．2D．52ABC ．D ．如图所示，则数组()123,,b b b 的一组值可以是（）A ．()3,1,1-B ．()1,2,1--C ．()1,2,2-D ．(),,-131【答案】A【详解】由于0k >，当x 足够大时，总有()1232f x x b kx b x b =-+--+，由图像可知，此时()f x 与x 无关，故当1k =时，得1230b b b --+<，二、填空题9．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b a b ==+=，且12a b c +-=，则c 的最大值为________．【答案】52##2.5 222()24a b a a b b +=+⋅+=，又2a b ==，故2a b ⋅=-，2222a b a a b b +=+⋅+=，由向量模长的三角不等式，a b c a b c a b c --≤+-≤++， 1222c c -≤≤+，解得：3522c ≤≤，则c 的最大值为52. 故答案为：5210．在直角坐标系中，定义两点11,A x y 与22,B x y 之间的“直角距离”为1212(,)d A B x x y y =-+-.若A ，B 是椭圆2214x y +=上任意两点，则(,)d A B 的最大值是___________11．已知：()1f x x x m =+--，0m >． (1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．(1)求124a b c++的最小值;(2)证明:222 ++≥+++++bc ac abb c a c a b.。