集合论总复习习题

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集合论总复习习题

• 解：a) 可构成2101个子集 b) 有2100个子集元素为奇数 c) 不能有102个元素的子集
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作业讲评 P86 3-1.(10)
(10)设S = {a1, a2, ..., a8}, 由B17 和B31所表示的S的子集各是什么? 应如何表示子集{a1, a8} ,{a2, a6 ,a7}和
• (1) Show that R is an equivalence relation.
• (2) Compute A/R
∵即⑴a证 +ab：, =bRb是+S，a自则反<∴，a,对<ba>称,b>，AR传<a递,b 的>
∴ R自反
⑵令<a, b>R <c, d>，即a+d=b+c
∴ c + b= d + a ∴<c, d>R<a, b> ∴ R对称
<<2,1>, <2,1>>, <<2,1>, <3,2>>, <<2,1>, <4,3>>,
<<3,1>, <3,1>>, <<3,1>, <4,2>>，
<<4,1>, <4,1>>}
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作业讲评
• Let S = {1,2,3,4} and let A = SS. Define the following relation R on A: <a,b>R<c,d> if and only if a+d=b+c.

北邮离散数学期末复习题

北邮离散数学期末复习题第一章集合论一、判断题（1）空集是任何集合的真子集．（错）（2）{}φ是空集．（错）（3）{}{}a a a },{∈ （对）（4）设集合{}{}{}{}AA 22,1,2,1,2,1⊆=则. ( 对）（5）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉．（错）解 B A a ⋃∉则B A B A a ⋂=⋃∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ∉且B a ∉（6）如果A ∪.,B A B B ⊆=则（对）（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （错）（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系．（对）解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =⨯A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><><A A φφ（9）关系的复合运算满足交换律．（错）（10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA =ο （错）（11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （错）（13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系( 对 )（14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时， ρρ][][b a = ( 对 )（15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 )二、单项选择题（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集（ A ）A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2C. {}R x x x x ∈+=且,1|D. {}R x x x ∈-=且,1|2（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有（ C ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇（3）下列各式中不正确的是（ C ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是（ B ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ （5）设{}2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A I ⨯为（ B ） A. {}><><c c ,2,1, B ．{}><><c c ,2,,1C. {}><><2,,,1c cD. {}><><2,,1,c c（6）设{}b A ,0=，{}3,,1b B =，则B A Y 的恒等关系为（ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0C. {}><><><3,3,,,0,0b bD. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b（7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为（ D ）A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ（8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为（ B ）A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈.（9）映射的复合运算满足（ B ）A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.A ．A 到B 的关系都是A 到B 的映射B ．A 到B 的映射都是可逆的C ．A 到B 的双射都是可逆的D ．B A ⊂时必不存在A 到B 的双射（11）设A 是集合，则（ B ）成立.A ．A A #22#=B ．A X X A⊆↔∈2 C ．{}A2∈φ D ．{}AA 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（B ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．n 个三、填空题1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A2____________.填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ=2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ=3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A .34.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A Y 中元素的个数为 .405.设 },{b a A =, ρ 是 A2 上的包含于关系，,则有ρ= .},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><A A A b b b A a a a A b a φφφφφ6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρο .~1~2ρρο7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是．ρρρ⊆ο8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><><><><四、解答题1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ（1）写出ρ的关系矩阵；（2）验证ρ是A 上的等价关系；（3）求出A 的各元素的等价类。

离散数学集合论练习题

集合论练习题一、选择题1.设B = { {2}, 3, 4, 2},那么下列命题中错误的就是( ).A.{2}∈BB.{2, {2}, 3, 4}⊂BC.{2}⊂BD.{2, {2}}⊂B2.若集合A ={a ,b ,{ 1,2 }},B ={ 1,2},则( ).A.B ⊂ A ,且B ∈AB.B ∈ A ,但B ⊄AC.B ⊂ A ,但B ∉AD.B ⊄ A ,且B ∉A3.设集合A = {1, a },则P (A ) = ( ).A.{{1}, {a }}B.{∅,{1}, {a }}C.{∅,{1}, {a }, {1, a }}D.{{1}, {a }, {1, a }}4、已知A ⊕B ={1,2,3}, A ⊕C ={2,3,4},若2∈ B,则( )A. 1∈CB.2∈CC.3∈CD.4∈C5、下列选项中错误的就是( )A. ∅⊆∅B. ∅∈∅C. {}∅⊆∅D.{}∅∈∅6、下列命题中不正确的就是( )A. x ∈{x }-{{x }}B.{}{}{{}}x x x ⊆-C.{}A x x =⋃,则x ∈A 且x A ⊆D. A B A B -=∅⇔=7、 A , B 就是集合,P (A ),P (B )为其幂集,且A B ⋂=∅,则()()P A P B ⋂=( )A. ∅B. {}∅C. {{}}∅D.{,{}}∅∅8、空集∅的幂集()P ∅的基数就是( )A. 0B.1C.3D.49.设集合A = {1,2,3,4,5,6 }上的二元关系R ={<a , b >⎢a , b ∈A , 且a +b = 8},则R 具有的性质为( ).A.自反的B.对称的C.对称与传递的D.反自反与传递的10、设集合A ={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R = {<1 , 1>,<2 , 2>,<2 , 3>,<4 , 4>},S = {<1 , 1>,<2 , 2>,<2 , 3>,<3 , 2>,<4 , 4>},则S就是R的( )闭包.A.自反B.传递C.对称D.以上都不对11、设A={1,2,3,4},下列关系中为等价关系。

高中数学高考复习集合专题练习(选择题+解答题)100题合集含答案详解

高中数学高考复习集合专题练习（选择题+解答题）100题合集一、单选题 1．已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．12D ．132．下列各式中关系符号运用正确的是（） A ．{}10,1,2⊆ B ．{}0,1,2∅⊄ C ．{}2,0,1∅⊆D ．{}{}10,1,2∈3．已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}4．已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（） A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,96．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}7．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（）A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1} 8．已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （）A ．∅B ．SC ．TD ．Z9．下列说法正确的是（）A ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1B ．∅与{}0是同一个集合C ．集合{}21x y x =-与集合{}21y y x =-是同一个集合D ．集合{}2560x x x ++=与集合{}2560x x ++=是同一个集合10．已知非空集合A 、B 、C 满足：A B C ⊆，A C B ⋂⊆．则（）． A ．B C = B ．()A B C ⊆⋃C ．()B C A ⋂⊆D ．A B A C ⋂=⋂11．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B ⋂中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．612．集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭13．已知集合11A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则RA =（）A ．{}1x x D ．{}1x x ≤14．若集合{}{}0,1,2,3,4,5,0,2,4U A ==，{}3,4B =，则()U A B =（）．A ．{}3B ．{}5C ．{}3,4,5D ．{}1,3,4,515．集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（） A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}16．已知集合{}1,0,1A =-，{},B a b a A b A =+∈∈，则集合B =（） A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--17．集合{1,0,1,2,3}A =-，{0,2,4}B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{0,2}B ．{1,1,3,4}-C ．{1,0,2,4}-D ．{1,0,1,2,3,4}-18．设集合{}22,2,1A a a a =-+-，若4A ∈，则a 的值为（）．A ．1-，2B ．3-C ．1-，3-，2D ．3-，219．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（） A ．16B ．8C ．7D ．420．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}21．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形22．已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=（） A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,323．设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（） A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,424．设集合A 、B 均为U 的子集，如图，()U A B ∩表示区域（）A ．△B ．IIC ．IIID ．IV25．若集合{}21,A m =，集合{}2,4B =，若{}1,2,4A B ⋃=，则实数m 的取值集合为（）A ．{B ．{C ．{}2,2-D ．{2,2,-26．集合{0,1,2}A =的非空真子集的个数为（） A ．5B ．6C ．7D ．827．设集合{}{}|2,|13A x x B x x =≥=-<<，则A B =（） A ．{}|2x x ≥B ．{}|2x x <C ．{}|2x x ≤<3D ．{}|12x x -≤<28．设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤29．下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1-∈NB ．*0∉NC QD ．25∉R30．已知{}1,,A x y =，{}21,,2B x y =，若A B =，则x y -=（）A ．2B ．1C ．14D ．2331．设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（） A ．{}0B ．{0,1,3,5}C ．{0,1,2,4}D ．{0,2,3,4}32．集合{}{}240,1,,2,.A a B a =-=-若{}2,1,0,4,16A B ⋃=--，则=a （）A ．1±B ．2±C ．3±D ．4±33．设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（） A ．{}0,1,2B ．{2,1,0}--C ．{0,1}D ．{1,2}34．已知集合满足{1,2}{1,2,3}A ⊆⊆，则集合A 可以是（） A ．{3}B ．{1,3}C ．{2,3}D ．{1,2}35．已知集合{}12M x a x a =-<<，(1,4)N =，且M N ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．1(,]3-∞D ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦36．已知集合{}21,P x x k k N *==-∈和集合{|}M x x a b a P b P ==⊕∈∈，，，若M P ⊆，则M 中的运算“△”是（） A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法37．集合{1A x x =<-或}1x ≥，{}20B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．[]22-,B ．[)2,2-C ．()[),22,-∞-+∞D ．[)()2,00,2-38．已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A △B ＝（） A ．{x |0≤x <1} B ．{x |－1<x ≤2} C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |0<x <1}39．已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则UA =（）A ．(2,1]-B ．(3,2)[1,3)--C ．[2,1)-D ．(3,2](1,3)--40．设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（） A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}41．已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（） A ．{}62,x x k k Z =+∈ B ．{}42,x x k k Z =+∈ C ．{}21,x x k k Z =+∈ D ．∅42．已知集合{1,0,1,2,3,4},{1,3,5},M N P M N =-==，则P 的真子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个43．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4B ．–2C ．2D ．444．已知集合5==,Z 6M x x m m ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭，1==,Z 23n N x x n ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭，1==+,Z 26p P x x p ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，则集合M ，N ，P 的关系为（） A ．M N P == B ．=M N P ⊆C ．M NP ⊆D ．M N ⊆，=N P ⋂∅45．已知集合{|S x N x =∈≤，{}22|T x R x a =∈=，且{}1S T ⋂=，则S T ⋃=（）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}46．定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．447．已知集合{}=1A x x ≤，{}=Z 04B x x ∈≤≤，则A B =（） A ．{}0<<1x xB ．{}01x x ≤≤C ．{}0<4x x ≤D ．{}0,1 48．已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则UM N =（）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤49．已知集合{}0,1,2A =，{},B ab a A b A =∈∈，则集合B 中元素个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．550．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UA B =（） A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---二、解答题51．设全集为R ，{|37}A x x =≤≤，{}2|14400B x x x =-+<．（△）求()R A B ⋃及()R A B ⋂；（△）若集合{|214}C x m x m =+≤≤+，且A C A ⋃=，求实数m 的取值范围． 52．已知集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，求：A B ⋂，()RA B ⋃，53．已知集合{}24A x x =<<，{}3B x a x a =<<. (1)若{}34A B x x ⋂=<<，求实数a 的值； (2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.54．设集合{|}R A x x x ∈+=240＝，R R {|()}B x x a x a a ∈=∈222110＝+＋+-， . (1)若0a =，试求A B ⋃；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围． 55．用列举法表示下列集合 (1)11以内非负偶数的集合；(2)方程()()2140x x +-=的所有实数根组成的集合；(3)一次函数2y x =与1y x =+的图象的交点组成的集合． 56．用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式235x ->的解集；(3)方程210x x ++=的所有实数解组成的集合； (4)抛物线236y x x =-+-上所有点组成的集合； (5)集合{}1,3,5,7,9.57．已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈ （1）若集合{}1,3A =，直接写出集合S ，T .（2）若集合{}1234,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+ （3）若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S ，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.58．已知集合{}23A x x =-<<，{}3B x x a =≤． (1)求集合RA ；(2)当1a =时，求A B ⋂；(3)若()R B A ⋃=R ，求a 的取值范围． 59．已知集合A ＝{a ﹣2，2a 2+5a }，且﹣3△A ． (1)求a ；(2)写出集合A 的所有真子集．60．已知集合{|25},{|121}A x x B x m x m =-<<=+≤≤- （1）当3m =时，求()R A B ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.61．已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈，若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值集合.62．已知集合{3A x x =≤-或}1x ≥-，{}21|B x m x m =<<-，且A B A ⋃=，求m 的取值范围．63．已知集合A ={y |y =x 2-2x }，B ={y |y =-x 2+2x +6}．（1）求A ∩B ．（2）若集合A ，B 中的元素都为整数，求A ∩B ．（3）若集合A 变为A ={x |y =x 2-2x }，其他条件不变，求A ∩B ．（4）若集合A ，B 分别变为A ={(x ，y )|y =x 2-2x }，B ={(x ，y )|y =-x 2+2x +6}，求A ∩B ．64．已知集合{}20,R,R A x x ax b a b =-+=∈∈.(1)若{}1A =，求a ，b 的值；(2)若{}Z 30B x x =∈-<<，且A B =，求a ，b 的值. 65．设{},56,{|6U R A x x B x x ==-<≤=≤-或2}x >，求：（1）A B ⋂；（2）()()U UA B66．已知集合2{|121},{|3100}A x a x a B x x x =+≤≤-=--≤. （1）当3a =时，求()R A B ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.67．已知﹣3是由x ﹣2，2x 2+5x ，12三个元素构成的集合中的元素，求x 的值． 68．已知集合A ={x |2a ＜x ＜a +1}，B ={|1x -＜x ＜5}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围.69．已知集合{}45A x x =<<，{}121B x m x m =+≤≤+，{0C x x =≤或}2x ≥． (1)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围； (2)若B C B =，求实数m 的取值范围．70．已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.71．已知{}321A x x =-≤-≤，{}12B x a x a =-≤≤+,R a ∈． (1)当a ＝1时，求A ∩B ；(2)若A △B ＝A ，求实数a 的取值范围．72．已知集合{}2|80,,{|10,}A x x x m m R B x ax a R =-+=∈=-=∈，且A B A ⋃=．（1）若{}3A B =，求m ，a 的值．（2）若12m =，求实数a 组成的集合．73．已知集合11{|}A x a x a =-≤≤+，5|03x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭． (1)若3a =-，求A B ⋃；(2)在△A B ⋂=∅，△()R B A R ⋃=，△A B B ⋃=，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．74．已知集合 {|05}A x x a =<-，{|6}2aB x x =-<．（1）若 A B ⊆，求 a 的取值范围；（2）若 B A ⊆，求 a 的取值范围；（3）集合 A 与 B 能够相等？若能，求出 a 的值，若不能，请说明理由． 75．定义：若任意,m n A ∈（m ，n 可以相等），都有10mn +≠，则集合,,1m n B x x m n A mn ⎧⎫+==∈⎨⎬+⎩⎭称为集合A 的生成集；(1)求集合{3,4}A =的生成集B ；(2)若集合{,2}A a =，A 的生成集为B ，B 的子集个数为4个，求实数a 的值； (3)若集合(1,1)A =-，A 的生成集为B ，求证A B =.76．已知集合{|25}A x x =-，{|121}B x m x m =+-，U =R ．(1)若UAB U =，求实数m 的取值范围；(2)若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．77．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集． (1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．78．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-. (1)若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素； (2)集合A 是否为双元素集合，并说明理由； (3)若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .79．设集合{}{}{}22,2,,,A x x a P y y x x A Q y y x x A =-≤≤==+∈==∈．（1）对a 分类讨论求集合Q ；（2）若QP Q =，求实数a 的取值范围．80．已知集合{}32A x x =-≤≤，{}213B x m x m =-≤≤+． (1)当0m =时，求()RA B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．81．已知集合{}02A x x =≤≤，{}B 32x a x a =≤≤-．（1）若()R A B ⋃=R ，求实数a 的取值范围；（2）若A B B ≠，求实数a 的取值范围．82．已知集合2{|280}A x x x =--=，集合22120{|}B x x ax a -+==+.若B A A ≠，求实数a 的取值范围.83．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或4}x ≥，U =R . (1)当3a =时，求A B ⋂，()U A B ⋃； (2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.84．已知集合{}|23A a a x a =≤≤+,{1B x x =<-或}5x >，若()R A B B =，求实数a的取值范围．85．集合1|22A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}22B x a x a =-<<+．(1)若{}23,4,23C a a =+-，0B C ∈⋂，求实数a 的值；(2)从△A B A =，△A B =∅R，△B A R ⋃=R 这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．86．在“△A B ⋂=∅，△A B ⋂≠∅”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合{|231}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<≤．（△）若0a =，求A B ⋃；（△）若________（在△，△这两个条件中任选一个），求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．87．已知集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，{}C x x a =<. (1)求A B ⋃，()A B R ；(2)若A C ⋂≠∅，求a 的取值范围.88．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,4A =，{}1,4,5,6B =. （1）求A B ⋂及A B ⋃；（2）求()U A B .89．试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程220x -=的所有实数根组成的集合A ；（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B .90．已知集合{|32}A x x =-≤≤，集合{|131}B x m x m =-≤≤-． (1)当3m =时，求A B ⋂； (2)若A B ⊆，求实数m 的取值范围91．已知集合{|,A x x m ==其中,}m n Q ∈．(1)试分别判断1x =2x =A 的关系； (2)若1x ，2x A ∈，则12x x 是否一定为集合A 的元素？请说明你的理由．92．已知集合{}22190A x x ax a =-+-=，集合{}2560B x x x =-+=，集合{}2280C x x x =+-=．(1)若{}2A B ⋂=，求实数a 的值；(2)若A B ⋂≠∅，A C ⋂=∅，求实数a 的值．93．已知集合{}2230A x x x =-->，{}20B x x px q =++≤．（1）若A B ⋃=R ，且[)2,1A B ⋂=--，求实数p 及q 的值；（2）在（1）的条件下，若关于x 的不等式组200x px q x a ⎧++≤⎨->⎩没有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若[]3,1B =--，且关于x 的不等式；21012kx kx pq ++≤的解集为∅，求实数k 的取值范围．94．已知集合A 中的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11aA a+∈-． (1)若3a =-，求出A 中其他所有元素．(2)0是不是集合A 中的元素？请你取一个实数()3a A a ∈≠-，再求出A 中的元素． (3)根据（1）（2），你能得出什么结论？95．已知{}(){}22240,2110A xx x B x x a x a =+==+++-=∣∣. (1)若A 是B 的子集，求实数a 的值； (2)若B 是A 的子集，求实数a 的取值范围.96．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，()U A B ⋃，()U A B ⋂.97．已知集合2{|210}A x R mx x =∈-+=，在下列条件下分别求实数m 的取值范围： (1)A =∅； (2)A 恰有一个元素.98．已知集合{}220A x x x a =+-=．（1）若∅是A 的真子集，求a 的范围；（2）若{}20B x x x =+=，且A 是B 的子集，求实数a 的取值范围．99．已知由实数组成的集合A ，1A ∉，又满足:若x A ∈，则11A x∈-．（1）设A 中含有3个元素，且2,A ∈求A ；（2）A 能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；（3） A 中含元素个数一定是*3()n n N ∈个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 100．设A ＝{x |x 2＋ax ＋12＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2b ＝0}，A ∩B ＝{2}，C ＝{2，－3}.（1）求a，b的值及A，B；（2）求(A△B)∩C．参考答案：1．D【分析】利用列举法列举出集合A 中所有的元素，即可得解.【详解】由题意可知，集合A 中的元素有：()2,0-、()1,1--、()1,0-、()1,1-、()0,2-、()0,1-、()0,0、()0,1、()0,2、1,1、()1,0、()1,1、()2,0，共13个.故选：D. 2．C【分析】根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可. 【详解】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A 错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D 错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B 错误，故选项C 正确. 故选：C. 3．D【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目. 4．B【分析】采用列举法列举出A B ⋂中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B ⋂中元素的个数为3. 故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 5．B【分析】求出集合N 后可求M N ⋂.【详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B. 6．D【分析】根据交集的定义写出A ∩B 即可．【详解】集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝{1，2}，故选：D 7．D【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果. 【详解】解：△当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；△当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a =-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ． 8．C【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T =. 故选：C. 9．A【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案【详解】集合中的元素具有无序性，故A 正确；∅是不含任何元素的集合，{}0是含有一个元素0的集合，故B 错误；集合{}21x y x R =-=，集合{}{}211y y x y y =-=≥-，故C 错误；集合{}()(){}2025630++==+=+x x x x x x 中有两个元素2,3--，集合{}2560x x ++=中只有一个元素，为方程2560x x ++=，故D 错误. 故选：A. 10．C【分析】作出符合题意的三个集合之间关系的venn 图即可判断.【详解】解：因为非空集合A 、B 、C 满足：A B C ⊆，A C B ⋂⊆，作出符合题意的三个集合之间关系的venn 图，如图所示，所以A B A C ⋂=⋂．故选：D ． 11．C【分析】采用列举法列举出A B ⋂中元素的即可.【详解】由题意，A B ⋂中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B ⋂中元素的个数为4. 故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 12．A【分析】根据B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a 的取值范围．【详解】解：B A ⊆，∴△当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．△当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1x a-，要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当a<0时，可得1x a-，要使B A ⊆，则需要013a a<⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．【点睛】易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为∅. 13．B【分析】先解不等式，求出集合A ，再求出集合A 的补集【详解】由11x>，得10x x ->，(1)0x x ->，解得01x <<，所以{}01A x x =<<，所以RA ={0x x ≤或}1x ≥故选：B 14．A【分析】根据补集的定义和运算求出UA ，结合交集的概念和运算即可得出结果.【详解】由题意知，{1,3,5}UA =，又{3,4}B =，所以(){3}U A B =. 故选：A 15．A【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N =．故选：A. 16．D【分析】根据{}1,0,1A =-求解{},B a b a A b A =+∈∈即可【详解】由题，当a A b A ∈∈,时a b +最小为()()112-+-=-，最大为112+=，且可得()101,000,011-+=-+=+=，故集合B ={}2,1,0,1,2--故选：D 17．B【分析】求()()A B A B 得解.【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为()(){1,1,3,4}A B AB =-.故选：B 18．D【分析】由集合中元素确定性得到：1a =-，2a =或3a =-，通过检验，排除掉1a =-. 【详解】由集合中元素的确定性知224a a -+=或14a -=．当224a a -+=时，1a =-或2a =；当14a -=时，3a =-．当1a =-时，{}2,4,2A =不满足集合中元素的互异性，故1a =-舍去；当2a =时，{}2,4,1A =-满足集合中元素的互异性，故2a =满足要求；当3a =-时，{}2,14,4A =满足集合中元素的互异性，故3a =-满足要求．综上，2a =或3a =-．故选：D ． 19．C【解析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可. 【详解】解：△141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个．故选：C ． 20．B【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂. 【详解】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B. 21．D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合{},,M a b c =中的元素是ABC 的三边长，则a b c ≠≠，所以ABC 一定不是等腰三角形．故选：D ． 22．B【分析】首先化简集合A ，再根据补集的运算得到RA ，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】因为20(2,4)4x A xx ⎧⎫+=<=-⎨⎬-⎩⎭，所以{R|2A x x =≤-或}4x ≥.所以(){}R 4,5A B = 故选：B. 23．B【分析】利用交集的定义可求A B ⋂. 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B . 24．B【分析】根据交集与补集的定义可得结果. 【详解】由题意可知，()U A B ∩表示区域II. 故选：B. 25．D【分析】由题中条件可得22m =或24m =，解方程即可.【详解】因为{}21,A m =，{}2,4B =，{}1,2,4A B ⋃=，所以22m =或24m =，解得m =2m =±，所以实数m 的取值集合为{2,2,-. 故选：D. 26．B【分析】根据真子集的定义即可求解.【详解】由题意可知，集合A 的非空真子集为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6个. 故选：B. 27．C【分析】根据交集的定义求解即可【详解】由题，{}|23A B x x =≤< 故选：C 28．B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 29．B【分析】由*,,,N N Q R 分别表示的数集，对选项逐一判断即可. 【详解】1-不属于自然数，故A 错误；0不属于正整数，故B 正确；C 错误；25属于实数，故D 错误. 故选:B. 30．C【分析】由两集合相等，其元素完全一样，则可求出=0,=0x y 或1,0x y ==或1124x y ==，，再利用集合中元素的互异性可知1124x y ==，，则可求出答案.【详解】若A B =，则22x x y y ⎧=⎨=⎩或22x y y x =⎧⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩或1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由集合中元素的互异性，得1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则111244x y -=-=，故选：C ． 31．C【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴. 故选：C. 32．B【分析】根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a 的值. 【详解】由{}2,1,0,4,16A B ⋃=--知，24416a a ⎧=⎨=⎩，解得2a =± 故选：B 33．A【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，502B xx ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣，所以{}0,1,2A B =．故选：A. 34．D【分析】由题可得集合A 可以是{}1,2，{}1,2,3. 【详解】{1,2}{1,2,3}A ⊆⊆， ∴集合A 可以是{}1,2，{}1,2,3.故选：D. 35．C【分析】按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解. 【详解】因M N ⊆，而N φ⊆，所以M φ=时，即21a a ≤-，则13a ≤，此时M φ≠时，M N ⊆，则1123110242a a a a a a a ⎧>⎪-<⎧⎪⎪-≥⇒≤⎨⎨⎪⎪≤≤⎩⎪⎩，无解，综上得13a ≤，即实数a 的取值范围是1(,]3-∞.36．C【分析】用特殊值，根据四则运算检验．【详解】若3,1a b ==，则4a b +=P ∉，2a b P -=∉，13b P a =∉，因此排除ABD ．故选：C ．37．B【分析】分B =∅与B ≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；【详解】解：△B A ⊆，△△当B =∅时，即20ax +≤无解，此时0a =，满足题意.△当B ≠∅时，即20ax +≤有解，当0a >时，可得2x a ≤-，要使B A ⊆，则需要021a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得02a <<. 当a<0时，可得2x a ≥-，要使B A ⊆，则需要021a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得20a -≤<，综上，实数a 的取值范围是[)2,2-.故选：B .38．B【分析】由集合并集的定义可得选项.【详解】解：由集合并集的定义可得A △B ＝{x |－1<x ≤2}，故选：B.39．D【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =--，故选：D ．40．D【分析】利用并集的定义可得正确的选项.【详解】{}1,2,4,6A B =，41．C【分析】通过对集合N 的化简即可判定出集合关系，得到结果. 【详解】因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ，因为x ∈N 时，x M ∈成立，所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z .故选：C.42．B【分析】根据交集运算得集合P ，再根据集合P 中的元素个数，确定其真子集个数即可.【详解】解：{1,0,1,2,3,4},{1,3,5}M N =-= {}13P ∴=，，P 的真子集是{}1,{3},∅共3个.故选：B.43．B【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.44．B【分析】对集合,,M N P 中的元素通项进行通分，注意32n -与31p +都是表示同一类数，65m -表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.【详解】对于集合5==,Z 6M x x m m -∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()611565666m m x m -+-=-==，对于集合1==,Z 23n N x x n -∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()3111322366n n n x -+-=-==，对于集合1==+,Z 26p P x x p ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，131266p p x +=+=，由于集合,,M N P 中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且,,m n p ∈Z ，注意到()311n -+与31p +表示的数都是3的倍数加1，()611m -+表示的数是6的倍数加1，所以()611m -+表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M N P ⊆=.故选：B.45．C【分析】先根据题意求出集合T ，然后根据并集的概念即可求出结果.【详解】{{}|0,1,2S x N x =∈≤=，而{}1S T ⋂=，所以1T ∈，则21a =，所以{}{}22|1,1T x R x a =∈==-，则{}1,0,1,2S T ⋃=- 故选：C.46．C【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，{}1,0A =-，{}1,2B =，所以{0,1,2}A B ⊗=--，故集合A B ⊗中的元素个数为3，故选：C.47．D【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】由{}=Z 04B x x ∈≤≤得{}0,1,=2,3,4B ，所以{}0,1A B =，故选：D48．A【分析】先求U N ，再求U M N 的值. 【详解】因为{1U N x x =<-或1}x >，所以{1U M C N x x ⋂=<-或12}x <≤.故选：A.49．C 【分析】由列举法列出集合B 的所有元素，即可判断；【详解】解：因为{}0,1,2A =，a A b A ∈∈,，所以0ab =或1ab =或2ab =或4ab =，故{}{},0,1,2,4B ab a A b A =∈∈=，即集合B 中含有4个元素；故选：C50．C【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--，则(){}U 1,1AB =-.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.51．（1）(){}|710R A B x x ⋂=<<；{()3R A B x x ⋃=<或}10x ≥；（2）{}|1m m ≥；【分析】（1）求解一元二次不等式，得集合B ，然后根据集合的交并补集的定义计算即可；（2）由A C A ⋃=，可得C A ⊆，然后分别讨论集合C φ=与C φ≠两种情况.【详解】（1）求解得集合{}{}2|14400|410B x x x x x =-+<=<<，所以{3R A x x =<或}7x >，所以(){}|710R A B x x ⋂=<<，{()3R A B x x ⋃=<或}10x ≥；（2）因为A C A ⋃=，所以C A ⊆.当集合C =∅时，214m m +>+，得3m >；当集合C ≠∅时，21421347m m m m +≤+⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，得13m ≤≤，综上，m 的取值范围为{}|1m m ≥.52．{}37x x ≤<；{2x x ≤或10}x ≥.【分析】由结合的交并补运算求解即可.【详解】因为集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，所以A B ⋂{}37x x =≤<.因为A B ⋃={}210x x <<，所以(){2R A B x x ⋃=≤或10}x ≥.53．(1)3 (2){23a a ≤或}4a ≥【分析】（1）根据交集结果直接判断即可.（2）按B =∅，B ≠∅讨论，简单计算即可得到结果.（1）因为{}34A B x x ⋂=<<，所以3a =.（2）因为A B ⋂=∅，所以可分两种情况讨论：B =∅，B ≠∅.当B =∅时，有3a a ≥，解得0a ≤；当B ≠∅时，有0432a a a >⎧⎨≥≤⎩或，解得4a ≥或203a <≤. 综上，实数a 的取值范围是{23a a ≤或}4a ≥.54．(1){0411---，， (2)}{a a a ≤-=11或.【分析】（1）利用一元二次方程的公式及集合的并集的定义即可求解.（2）利用子集的定义及一二次方程的根的情况即可求解.（1）由240x x +=，解得0x =或4x =-， }{,A =-40 .当0a =时，得x x -+2210＝，解得1x =-x =1-{11B =--；△{0411A B =---，，. （2）由（1）知，}{,A =-40，B A ⊆，于是可分为以下几种情况．当A B =时，}{,B =-40，此时方程()x a x a =222110+＋+-有两根为0，4-，则()()()a a a a ⎧∆=+⎪=⎨⎪-+=-⎩-->2224141010214-，解得1a =. 当B A ≠时，又可分为两种情况．当B ≠∅时，即{}0B =或{}B -4＝，当{}0B =时，此时方程()x a x a =222110+＋+-有且只有一个根为0，则22241410(0)()1a a a --⎧∆=+⎨-==⎩，解得1a =-，当{}B -4＝时，此时方程()x a x a =222110+＋+-有且只有一个根为4-，则 ()2222414104()()()8110a a a a ⎧∆=+⎪⎨-=--=-⎪⎩＋+-，此时方程组无解，当B =∅时，此时方程()x a x a =222110+＋+-无实数根，则2241410()()a a --∆+<=，解得1a <-.综上所述，实数a 的取值为}{a a a ≤-=11或. 55．(1){}0,246810，，，，； (2){}212--，， (3)(){}12，【分析】（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合.（1）11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10 ，所以构成的集合为{}0,2,4,6,8,10 ，（2）()()2140x x +-=的根为1231,2,2x x x =-==- ，所以所有实数根组成的集合为{}2,1,2-- ，（3）联立1y x =+和2y x =，解得12x y =⎧⎨=⎩ ，所以两个函数图象的交点为(1,2) ，构成的集合为(){}1,2 56．(1){|3,Z}x x k k =∈ (2){}4,R x x x ∈(3)2{|10,R}x x x x ++=∈(4)()2{,|36}x y y x x =-+-(5){|21,15x x n n =-≤≤且*N }n ∈【分析】根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解.（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：{|3,Z}x x k k =∈（2）解：不等式235x ->的解集，用描述法可表示为：{}4,R x x x ∈.（3）解：方程210x x ++=的所有实数解组成的集合，用描述法可表示为：2{|10,R}x x x x ++=∈.（4）解：抛物线236y x x =-+-上所有点组成的集合，用描述法可表示为：()2{,|36}x y y x x =-+-.（5）解：集合{}1,3,5,7,9，用描述法可表示为：{|21,15x x n n =-≤≤且*N }n ∈.57．（1）{}2,4,6S =，{}0,2T =；（2）证明见解析；（3）1347.【解析】（1）根据题目定义，直接计算集合S 及T ；（2）根据两集合相等即可找到1x ，2x ，3x ，4x 的关系；（3）通过假设A 集合{m ，1m +，2m +，⋯，2020}，2020m ，m N ∈，求出相应的S 及T ，通过S T ⋂=∅建立不等关系求出相应的值．【详解】（1）根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =；（2）由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含四个元素，即{}2131410,,,T x x x x x x =---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；（3）设{}12,,k A a a a =⋅⋅⋅满足题意，其中12k a a a <<⋅⋅⋅<，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<⋅⋅⋅<+<+<+<⋅⋅⋅<+<，21S k ∴≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<⋅⋅⋅<-，T k ∴≥，S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-，S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，21k S T a ∴⋃≤+，()*31214041k k a k N ∴-≤+≤∈，1347k ≤，实际上当{}674,675,676,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意，证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++⋅⋅⋅，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++⋅⋅⋅，{}0,1,2,,2020T m =⋅⋅⋅-，依题意有20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多，即{}674,675,676,,2020A =⋅⋅⋅时满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347.【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.58．(1){|3R A x x =≥或2}x (2)123A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭ (3)9a ≥【分析】（1）根据题干条件以及补集的定义可得解；（2）根据题干条件以及交集的定义可得解；（3）根据（1）可得{|3R A x x =≥或2}x ，结合()R B A ⋃=R ，分析即得解（1）由题意，{}23A x x =-<<故{|3R A x x =≥或2}x（2）当1a =时，{}131{|}3B x x x x =≤=≤ 故123A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭ （3）由（1）{|3R A x x =≥或2}x{}3{|}3a B x x a x x =≤=≤ 若()R B A ⋃=R ，则33a ≥ 解得9a ≥59．(1)a 32=- ； (2)△，72⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，{﹣3} ．【分析】（1）由题意知a ﹣2＝﹣3或2a 2+5a ＝﹣3，分类讨论并检验即可求得a 32=-；（2）由真子集的定义直接写出即可．（1）△A ＝{a ﹣2，2a 2+5a }，且﹣3△A ，△a ﹣2＝﹣3或2a 2+5a ＝﹣3，△若a ﹣2＝﹣3，a ＝﹣1，2a 2+5a ＝﹣3，故不成立，△若2a 2+5a ＝﹣3，a ＝﹣1或a 32=-，由△知a ＝﹣1不成立，若a 32=-，a ﹣272=-，2a 2+5a ＝﹣3，成立，故a 32=-；（2） △732A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，， △A 的真子集有∅，72⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，{﹣3}． 60．（1）(){}5R A B =；（2）3m <.【分析】（1）根据集合的运算法则计算；（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，然后分类B =∅和B ≠∅求解．【详解】（1）当3m =时，B 中不等式为45x ≤≤，即{}|45B x x =≤≤，△{|2R A x x =≤-或5}x ，则(){}5R A B =（2）△A B A ⋃=，△B A ⊆，△当B =∅时，121m m +>-，即2m <，此时B A ⊆；△当B ≠∅时，12112215m m m m +≤+⎧⎪+>-⎨⎪-<⎩，即23m ≤<，此时B A ⊆.综上m 的取值范围为3m <.61．}{1a a ≤.【分析】分类讨论集合中恰有一个元素和恰有两个元素的情况，即可得解.【详解】集合A 中至少有一个元素，即A 中只有一个元素，或A 中有两个元素. 当A 中有一个元素时，0a =，或0,440,a a ≠⎧⎨∆=-=⎩即1a =；当A 中有两个元素时，由0,440,a a ≠⎧⎨∆=->⎩解得1a <，且0a ≠. 综上，得1a ≤.即实数a 的取值集合为}{1a a ≤.62．2m ≤-或1m ≥-【分析】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，分别讨论B φ=和B φ≠两种情况然后求并集.【详解】解：因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，当B φ=时，21m m ≥-，解得：1m ≥-；当B φ≠时，2113m m m <-⎧⎨-≤-⎩或2121m m m <-⎧⎨≥-⎩解得：2m ≤-或m φ∈ 所以2m ≤-或1m ≥-.63．（1）A ∩B ={y |-1≤y ≤7}；（2）A ∩B ={y |-1≤y ≤7}；（3）A ∩B ={y |y ≤7}；（4）A ∩B ={(3，3)，(-1，3)}．【分析】首先根据集合A 与B 的定义，确定集合里面的元素，再根据题目要求去求解.【详解】（1）因为y =x 2-2x =(x -1)2-1≥-1，所以A ={y |y ≥-1}，因为y =-x 2+2x +6=-(x -1)2+7≤7，所以B ={y |y ≤7}，所以A ∩B ={y |-1≤y ≤7}．（2）由已知得A ={y △Z |y ≥-1}，B ={y △Z |y ≤7}，所以A ∩B ={-1，0，1，2，3，4，5，6，7}．（3）由已知得A ={x |y =x 2-2x }=R ，B ={y |y ≤7}，所以A ∩B ={y |y ≤7}．(4)由22-2-26y x x y x x ⎧=⎨=++⎩，，得x 2-2x -3=0，解得x =3，或x =-1，所以33x y =⎧⎨=⎩，，或-13x y =⎧⎨=⎩，，所以A ∩B ={(3，3)，(-1，3)}．【点睛】本题主要考查集合的交并补运算，在求解过程中注意是数集还是点集.64．(1)21a b =⎧⎨=⎩(2)32a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）根据题意可得10Δ0a b -+=⎧⎨=⎩，解方程组即可得出答案；（2）易得{}2,1B =--，再根据A B =，列出方程组，解之即可得解.（1）解：若{}1A =，则有210Δ40a b a b -+=⎧⎨=-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩；（2）解：{}{}Z 302,1B x x =∈-<<=--，因为A B =，所以42010a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩. 65．（1）{}26x x <≤；（2）{|2x x ≤或6}x >.【分析】（1）根据集合交集的概念及运算，即可求解；（2）根据补集的运算，求得,U U A B ，再结合集合并集的运算，即可求解.【详解】（1）由题意，集合{}56,{|6A x x B x x =-<≤=≤-或2}x >，根据集合交集的概念及运算，可得{}26A B x x ⋂=<≤.（2）由{},56,{|6U R A x x B x x ==-<≤=≤-或2}x >，可得{|5U A x =≤或6}x >，{|62}U B x x =-<≤，所以()()U U A B {|2x x =≤或6}x >.66．（1）4{|}2x x -≤<；（2）(,3]-∞.【分析】（1）分别求解集合,A B ，再求解()R A B 的值；（2）由条件可知A B ⊆，利用子集关系，分A =∅和A ≠∅列式求解实数a 的取值范围.【详解】解：（1）当3a =时，2{|45},{|3100}{|25}A x x B x x x x x =≤≤=--≤=-≤≤ {|4R A x x ∴=<或5}x >(){|24}R A B x x ∴=-≤<（2）A B B =，A B ∴⊆，△当A =∅时，121,2a a a +>-<即，此时满足A B ⊆；△当A ≠∅时，要使A B ⊆成立，则需满足12112215a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，23a ∴≤≤综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞67．x 的值为32-．【分析】由已知可得x ﹣2＝﹣3或2x 2+5x ＝﹣3，分别求出x 的值，验证可得结论．【详解】解：当x ﹣2＝﹣3时，x ＝﹣1，此时这三个元素构成的集合为{﹣3，﹣3，12}，不满足集合元素的互异性；当2x 2+5x ＝﹣3时．x 32=-或x ＝﹣1（舍），此时这三个元素构成的集合为{72-，﹣3，12}，满足集合元素的互异性，综上，x 的值为32-． 68．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据集合之间的关系，列出相应的不等式组，解不等式组即可求解.【详解】由题意，集合{|21}{|15}A x a x a B x x =<<+=-<<，，因为A B ⊆，若=A ∅，则21a a ≥+，解得1a ≥，符合题意；若A ≠∅，则212115a a a a <+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，解得112a -≤<，所求实数a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 69．(1)[]2,3(2)()[),01,-∞⋃+∞【分析】将集合的运算结果转化为集合间的关系，根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式（组）并求解，特别要注意端点值能否取到求解即可.（1）△A B B ⋃=，△A B ⊆．在数轴上标出集合A ，B ，如图1所示，则由图1可知21514m m +≥⎧⎨+≤⎩，解得23m ≤≤． △实数m 的取值范围为[]2,3．（2）△B C B =，△B C ⊆．当B =∅，即121m m +>+，即0m <时，满足B C ⊆．当B ≠∅，即0m ≥时，在数轴上标出集合B ，C ，若B C ⊆，则有两种情况，如图2、图3所示．由图2可知210m +≤，解得12m ≤-，又0m ≥， △无解；由图3可知12m +≥，解得m 1≥．综上，实数m 的取值范围是()[),01,-∞⋃+∞．70．（1）0a =或1a =；（2）1a ≤；（3）0a =或1a ≥.【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定a 的取值范围.【详解】解：（1）若A 中只有一个元素，则当0a =时，原方程变为210x +=，此时12x =-符合题意，当0a ≠时，方程2210ax x ++=为一元二次方程，440a ∆=-=，即1a =，故当0a =或1a =时，原方程只有一个解；（2）A 中至少有一个元素，即A 中有一个或两个元素，由0∆>得1a <综合（1）当1a ≤时A 中至少有一个元素；（3）A 中至多有一个元素，即A 中有一个或没有元素当44a 0∆=-<，即1a >时原方程无实数解，结合（1）知当0a =或1a ≥时A 中至多有一个元素.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解集合中的元素与方程的根之间的关系. 71．(1){}03A B x x ⋂=≤≤ (2){}01a a ≤≤【分析】（1）解不等式，求出,A B ，进而求出交集；（2）根据条件得到B A ⊆，比较端点，列出不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】（1）321x -≤-≤，解得13x -≤≤，故{}13A x x =-≤≤，当1a =时，{}03B x x =≤≤，所以{}03A B x x ⋂=≤≤；（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，因为12a a -<+，所以B ≠∅，所以1123a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得：01a ≤≤，所以实数a 的取值范围为{}01a a ≤≤72．（1）15m =，15a =；）（2）110,,26⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】（1）依题意可得3A ∈，3B ∉，即可求出m ，从而求出集合A ，则5∈B ，即可求出a ；（2）首先求出集合A ，依题意可得B A ⊆，对集合B 分类讨论，即可求出参数的取值；【详解】解：（1）因为{}2|80,,{|10,}A x x x m m R B x ax a R =-+=∈=-=∈，且A B A ⋃=．{}3A B =，所以3A ∈，3B ∉，所以23830m -⨯+=解得15m =，所以{}3,5A =，所以5∈B ，所以510a ，解得15a = （2）若12m =，所以{}2,6A =，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆当B =∅，则0a =；当{}2B =，则12a =；当{}6B =，则16a =；综上可得110,,26a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭73．(1){|45}A B x x ⋃=-≤≤(2)答案见解析【分析】（1）分别求出集合A 和集合B ，求并集即可；（2）选△，根据集合A 和集合B 的位置在数轴上确定端点的关系，列出不等式组即可求解，选△，先求出R A ，再根据条件在数轴确定端点位置关系列出不等式组即可求解，选△，得到A B ⊆，根据数轴端点位置关系列出不等式组即可求解.。

离散数学期末复习题

离散数学期末复习题第一章集合论一、判断题（1）空集是任何集合的真子集．（错）（2）{}φ是空集．（错）（3）{}{}a a a },{∈ （对）（4）设集合{}{}{}{}AA 22,1,2,1,2,1⊆=则. ( 对）（5）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉．（错）解 B A a ⋃∉则B A B A a ⋂=⋃∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ∉且B a ∉（6）如果A ∪.,B A B B ⊆=则（对）（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （错）（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系．（对）解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =⨯A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><><A A φφ（9）关系的复合运算满足交换律．（错）（10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA = （错）（11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （错）（13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系( 对 )（14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时， ρρ][][b a = ( 对 )（15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 )二、单项选择题（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集（ A ）A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2C. {}R x x x x ∈+=且,1|D. {}R x x x ∈-=且,1|2（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有（ C ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇（3）下列各式中不正确的是（ C ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是（ B ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ （5）设{}2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A ⨯为（ B ） A. {}><><c c ,2,1, B ．{}><><c c ,2,,1C. {}><><2,,,1c cD. {}><><2,,1,c c（6）设{}b A ,0=，{}3,,1b B =，则B A 的恒等关系为（ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0C. {}><><><3,3,,,0,0b bD. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b（7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为（ D ）A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ（8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为（ B ）A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈.（9）映射的复合运算满足（ B ）A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.A ．A 到B 的关系都是A 到B 的映射B ．A 到B 的映射都是可逆的C ．A 到B 的双射都是可逆的D ．B A ⊂时必不存在A 到B 的双射（11）设A 是集合，则（ B ）成立.A ．A A #22#=B ．A X X A⊆↔∈2 C ．{}A2∈φ D ．{}AA 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（B ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．n 个三、填空题1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A2____________.填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ=2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ=3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A .34.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A 中元素的个数为 .405.设 },{b a A =, ρ 是 A2 上的包含于关系，,则有ρ= .},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><A A A b b b A a a a A b a φφφφφ6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρ .~1~2ρρ7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是．ρρρ⊆8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><><><><四、解答题1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ（1）写出ρ的关系矩阵；（2）验证ρ是A 上的等价关系；（3）求出A 的各元素的等价类。

集合论、图论重要习题100

例：1、设A,B是两个集合,B≠¢,试证:若A×B=B×B, 则A=B。

2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)∀n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。

(2)S(1)=1,∀n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。

5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。

则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。

(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；∀y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}⋃{{0}×N}。

6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。

（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。

f2不是单射，满射。

（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。

（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。

7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。

集合练习题及答案

集合练习题及答案集合练习题及答案在学习过程中，练习题是一种非常重要的学习方式。

通过练习题，我们可以巩固所学的知识，培养解决问题的能力。

而集合练习题更是一种特殊的练习题，它能够帮助我们更好地理解和掌握集合论这一数学分支。

集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是元素的集合及其之间的关系。

在集合论中，我们会遇到各种各样的问题，而通过练习题的形式来学习和掌握这些问题的解决方法，可以帮助我们更好地理解集合论的概念和原理。

下面，我将给大家提供一些集合练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

1. 给定集合A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，求A和B的并集。

解答：两个集合的并集是包含两个集合中所有元素的集合。

所以A和B的并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

2. 给定集合C={a, b, c, d}，D={c, d, e, f}，求C和D的交集。

解答：两个集合的交集是包含两个集合中共有元素的集合。

所以C和D的交集为{c, d}。

3. 给定集合E={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，F={2, 4, 6, 8, 10}，求E和F的差集。

解答：两个集合的差集是包含第一个集合中有，但是第二个集合中没有的元素的集合。

所以E和F的差集为{1, 3, 5, 7, 9}。

4. 给定集合G={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，H={2, 4, 6, 8, 10}，求G和H的对称差。

解答：两个集合的对称差是包含两个集合中仅有的元素的集合。

所以G和H的对称差为{1, 3, 5, 7, 10}。

通过以上的练习题，我们可以看到集合的并集、交集、差集和对称差都是通过对集合中的元素进行操作得到的。

掌握了这些操作，我们就能够更好地理解集合的概念和性质。

除了以上的基本操作，集合论还有许多其他的重要概念和定理，比如幂集、子集、补集等。

通过练习题的形式来学习和掌握这些概念和定理，可以帮助我们更好地理解和应用集合论。

集合一轮复习综合带详细解答

对于B，当时，所以；当时，由得到，是“ ”成立的充要条件，错误；
对于C，当时，，得到；当时，由正弦定理得到，即，所以，由于，得到，所以是“ ”成立的充要条件，错误；
对于D，当时，，得到；当时，由正弦定理得，即，由于，所以或，即或者，所以是“ ”成立的必要不充分条件，正确.
两个集合中的元素不减少，并集中元素个数就是，两个集合中元素个数的和，
即CARD(A∪B)＝CARD(A)＋CARD(B)，反之若CARD(A∪B)＝CARD(A)＋CARD(B)，
则在求时，两个集合中的元素没有被去除，即没有公共元素，
所以，①正确；
②A⊆B时，中的元素都属于，但中可能有不属于元素，所以CARD(A)≤CARD(B)，
A．充分必要B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
11．已知S1，S2，S3为非空集合，且S1，S2，S3⊆Z，对于1，2，3的任意一个排列i，j，k，若x∈Si，y∈Sj，则x－y∈Sk，则下列说法正确的是（）
A．三个集合互不相等B．三个集合中至少有两个相等
C．三个集合全都相等D．以上说法均不对
二、填空题
12．若集合、、满足，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 中一定成立的有______.（填写你认为正确的命题序号）
13．已知非空集合满足，若存在非负实数，使得对任意，均有，则称集合具有性质 .那么具有性质的集合的个数为___________
14．已知，，则“ ”是“ ”的______条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

集合论习题答案

P3 习题1.11.1.1 解：⑴ {2,3,5,7,11,13,17,19}； ⑵ {e,v,n,i,g}； ⑶ {－3,2}；⑷ {－1}； ⑸ {2,271i +-,271i --}； ⑹ Φ ⑺ 共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式：{①x+1，②x -1，③x 2+x+1，④x 2-x+1，①②x 2-1，①③x 3+2x 2+2x+1，①④x 3+1， ②③x 3－1，②④x 3－2x 2+2x －1，③④x 4+x 2+1，①②③x 4+x 3-x+1，①②④x 4－x 3+x －1，①③④x 5+x 4+x 3+x 2+x+1，②③④x 5-x 4+x 3-x 2+x -1)}1.1.2 解 ⑴ {x | x ∈I + , x<80}； ⑵ {x | x ∈I 且∃n ∈I 使x=2n+1}； ⑶ {x | x ∈I 且∃n ∈I 使x=5n}；⑷ {(x,y)| x,y ∈R , x 2+y 2<1}； ⑸ {(ρ,θ)| ρ,θ∈R , ρ>1}； ⑹ {ax+b=0| a,b ∈R 且a ≠0}。

P5 习题1.21.2.1 答：为真的有：⑵、⑷、⑻、⑽，其余为假。

1.2.2 答：为真的有：⑴、⑷，其余为假。

1.2.3 解：A=Φ，B={0}，C={…,-4,-2,0,2,4…}，D={2,4}，E={…,-4,-2,0,2,4…}，F={2,4}， G=Φ，H={…,-4,-2,0,2,4…}。

∴ C=E=H ，D=F ，A=G 。

1.2.4 答：四个全为真。

证明：⑴ 例 A={a} , B={a,A}⑵ 例 B={A} , C={A , B}⑶ 例 A={Φ}⑷ 例 A={a} , B={a,A} , ∴ 2B ={Φ , {a} , {A} , B} ※1.2.5 解 ⑴ 幂集 {Φ} ；幂集的幂集 {Φ,{Φ}}⑵ 幂集 {Φ,{Φ},{a},{Φ,a}}；幂集的幂集零元素子集 {Φ,单元素子集 {Φ} , {{Φ}} , {{a}} , {{Φ,a}},双元素子集 {Φ,{Φ}} , {Φ,{a}} , {Φ,{Φ,a}} , {{Φ},{a}} , {{Φ},{Φ,a}} , {{a},{Φ,a}} , 三元素子集 {Φ,{Φ},{a}} , {Φ,{Φ},{Φ,a}} , {Φ,{a},{Φ,a}} , {{Φ},{a},{Φ,a}}}，四元素子集 {Φ,{Φ},{a},{Φ,a}} 。

高一数学集合知识点及练习题

高一数学集合知识点及练习题由一个或多个元素所构成的叫做集合，集合是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象。

这次小编给大家整理了高一数学集合知识点及练习题，供大家阅读参考。

(一)1、集合的含义：“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合” 。

数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。

所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。

比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。

2、集合的表示通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合 A={a，b，c}。

a、b、c 就是集合 A 中的元素，记作a∈A，相反，d 不属于集合 A，记作 d?A。

有一些特殊的集合需要记忆：非负整数集(即自然数集)N 正整数集 N_或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R集合的表示方法：列举法与描述法。

①列举法：{a,b,c……}②描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来。

如{x?R|x-3>2}, {x|x-3>2}， {(x,y) |y=x2+1}③语言描述法：例： {不是直角三角形的三角形}例：不等式 x-3>2 的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素A={(x,y) |y=x2+3x+2}与 B={y|y=x2+3x+2}不同。

集合 A 中是数组元素(x，y)，集合 B 中只有元素 y。

3、集合的三个特性(1)无序性指集合中的元素排列没有顺序，如集合 A={1,2}，集合 B={2,1}，则集合A=B。

例题：集合 A= {1,2}，B= {a,b}，若 A=B，求 a、b 的值。

解：，A=B注意：该题有两组解。

(2)互异性指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示为{2}(3)确定性集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确，不允许有模棱两可、含混不清的情况。

集合论习题解答

集合论习题解答1. 列出下述集合的全部元素：1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}2）B={x|x∈N∧4+x=3}3）C={x|x是十进制的数字}[解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14}2）B=∅3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用谓词法表示下列集合：1）{奇整数集合}2）{小于7的非负整数集合}3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解] 1）{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}；3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。

3. 确定下列各命题的真假性：1）∅⊆∅2）∅∈∅3）∅⊆{∅}4）∅∈{∅}5）{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7）{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}[解]1）真。

因为空集是任意集合的子集；2）假。

因为空集不含任何元素；3）真。

因为空集是任意集合的子集；4）真。

因为∅是集合{∅}的元素；5）真。

因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6）假。

因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7）真。

因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；8）假。

因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。

4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性：1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。

2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。

3）如果A⊂B∧B∈C，则A∈C。

[解] 1）假。

例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。

2）假。

例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A∈C。

高中数学高考总复习集合习题及详解

一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同注意：B一集合。

⊆/B或反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ⊇/AB2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集集合习题及详解一、选择题1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则∁U(M∪N)＝() A．{5,7} B．{2,4}C．{2,4,8} D．{1,3,5,6,7}2．已知集合M＝{y|y＝x2}，N＝{y|y2＝x，x≥0}，则M∩N＝()A．{(0,0)，(1,1)} B．{0,1}C．[0，＋∞) D．[0,1]3．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是() A．1B．2C．3D．44．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}5．集合M＝{x|x2－1＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋2＝0}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是()A．{－1,1} B．{－1}C．{1} D．∅6如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(∁I A∩B)∩C B．(∁I B∪A)∩C7．集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝cos x，x∈A}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{0,1} D．{－1,0,1}8．若集合M＝{0,1,2}，N＝{(x，y)|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x、y∈M}，则N中元素的个数为( )A ．9B ．6C ．4D ．29．函数y =的定义域为（） A 、(],2-∞ B 、(],1-∞ C 、11,,222⎛⎫⎛⎤-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D 、11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（）A ．1B ．—1C ．1或—1D ．1或—1或011．如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A 、 ()M P SB 、 ()M P SC 、 ()u MP C S D 、 ()u MP C S二、填空题1已知集合A ＝{0,2，a 2}，B ＝{1，a }，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________． 2．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 三、解答题1．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．。

高考专题复习1.1集合训练题(附答案)

<４} ꎬＢ＝ {２ꎬ３ꎬ４ꎬ５} ꎬ则Ａ∩Ｂ＝
Ａ.{２}
( )
Ｂ.{２ꎬ３}
Ｃ.{３ꎬ４}
Ｄ.{２ꎬ３ꎬ４}
答案Ｂ在数轴上表示出集合Ａꎬ如图ꎬ由
图知Ａ∩Ｂ＝ {２ꎬ３} .
７. (２０２２浙江ꎬ１ꎬ４分) 设集合Ａ＝ { １ꎬ２} ꎬＢ＝
{２ꎬ４ꎬ６} ꎬ则Ａ∪Ｂ＝
Ｄ.Ｂ⊆Ａ⊆Ｃ
⊆Ｂꎬ同理知Ｂ⊆Ｃꎬ故Ａ⊆Ｂ⊆Ｃꎬ故选Ａ.
４. (２０２２山东潍坊三模ꎬ１) 已知集合ＡꎬＢꎬ若Ａ＝
{ －１ꎬ１}ꎬＡ∪Ｂ＝ { －１ꎬ０ꎬ１}ꎬ则一定有
Ａ.Ａ⊆Ｂ
ＢꎬＢ⊈ＡꎬＡꎬＢ错误ꎻ
{ ( ｘꎬｙ) ｜ｙ＝ｘ２ } ꎬＢ＝ { ( ｘꎬｙ) ｜ｙ＝ｘ } ꎬ则Ａ∩Ｂ
３. (２０２０课标Ⅲ文ꎬ１ꎬ５分) 已知集合Ａ＝ {１ꎬ２ꎬ
３ꎬ５ꎬ７ꎬ１１} ꎬＢ＝ { ｘ｜３<ｘ<１５} ꎬ则Ａ∩Ｂ中元素
的个数为
Ａ.２
Ｂ.３
Ｃ.４
( )
Ｄ.５
答案Ｂ ∵ Ａ＝ {１ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ１１} ꎬＢ＝ { ｘ｜３<
ｘ<１５} ꎬ∴ Ａ∩Ｂ＝ { ５ꎬ７ꎬ１１} ꎬ∴ Ａ∩Ｂ中元素
Ｃ.Ａ∩Ｂ＝ ⌀
有４种情况ꎬ故选Ａ.
Ｃ.３
( )
３ꎬ４} ꎬ∵ Ａ⊆Ｃ⊆Ｂꎬ∴ 满足条件的集合Ｃ有
答案Ａ由题意得Ａ＝ {０ꎬ －１} ꎬ又∵ Ａ∪Ｂ
＝ {０ꎬ－１ꎬ１} ꎬ∴ 集合Ｂ中至少有一个元素１ꎬ
２
２＝０ꎬｘ∈Ｒ} ꎬＢ＝ { ｘ｜０<ｘ< ５ꎬｘ∈Ｎ} ꎬ则满足

集合复习知识要点及典型例题PPT文档共38页

制订一部永远适用的宪法，甚至一条永远适用的法律。 ——杰斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样一种的网，触犯法律的人，小的可以穿网而过，大的可以破网而出，只有中等的才会坠入网中。 ——申斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大夏，庇护着我们大家；它的每一块砖石都垒在另一块砖石上。 ——高尔斯华绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克

集合复习知识要点及典型例题38页PPT

Байду номын сангаас
集合复习知识要点及典型例题
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的，但是为了生存，我们不得不为自己编织一个笼子，然后把自己关在里面。 ——博莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时间再长，也还是没有制约力的。— —爱·科克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马克罗维乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类的状态中，哪里没有法律，那里就没有自由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除法律。 ——塞·约翰逊
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克

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5
作业讲评
(2) A∪(BC) = (A∪B)(A∪C) 不一定成立。证明: 设 A = {2, 3}, B = {1, 4, 7}, C = {3, 5},
则 BC = {1, 3, 4, 5, 7} 所以 A∪(BC) = {1, 2, 3, 4, 5, 7} 但 A∪B = {1, 2, 3, 4, 7}
(10)设S = {a1, a2, ..., a8}, 由B17 和B31所表示的S的子集各是什么? 应如何表示子集{a1, a8} ,{a2, a6 ,a7}和
{a3, a8, a7}?
解B：17S=有B20800=1002051 6=个{a不4, 同a8的} 子集, 可表示为B0, BB311,=BB20,001B11311, =…{a,4,Ba255,5a, 6二, 进a7 制, a下8} 标有8位.
∴Z = ，∴ Y=Z
2) Y≠ , 任意yY，令xX，
由已知有<x, y> X Y= X Z
∴yZ
∴ YZ
同理Y Z
∴ Y= Z
10
作业讲评
(5)证明若X Y = X Z，且X ≠
则Y=Z
证明：∵ X Y = X Z且X ≠
∴ X Y X Z 且X Z X Y
∴ YZ且Y Z
∴ Y= Z
(1)A B的充分必要条件是A C B C;
(2) A B的充分必要条件是C A C B
C是非空集合。
11
作业讲评补充题
• 90名学生，55人参加数学小组，44人参加语文小组，33人参加体育小组。36人参加数学和语文小组，29人参加数学和体育小组，25 人参加语文和体育小组。问多少人3个小组都没有参加？
任意元素a,b,c,若aRb, 若有aRb且bRc,
由自反性得有aRa, 由对称性得到 bRa,
于是有bRa,
于是有bRa 且bRc,
故R是对称的；
故有aRc,故R传递
14
作业讲评 P113 3-6. (6)
第二十一讲
集合论总复习习题
1
作业讲评 P86 3-1.(9)
• 设某集合有101个元素，试问： a) 可构成多少个子集？ b) 其中有多少个子集元素为奇数？ c) 是否有102个元素的子集？
• 解：a) 可构成2101个子集 b) 有2100个子集元素为奇数 c) 不能有102个元素的子集
2
作业讲评 P86 3-1.(10)
{a1, a8} = B10000001 = B129
{a3, a7 ,a8} = B00100011 = B35
{a2, a6 ,a7} = B01000110 = B70
3
作业讲评 P95 3-2.(11)
a)证明 (1) A∩(B C) = (A∩B) (A∩C) 证明: (A∩B) (A∩C) = ((A∩B)∩~ (A∩C))∪((A∩C)∩~(A∩B)) = ((A∩B)∩(~A∪~C))∪((A∩C)∩(~A∪~B)) = ((A∩B)∩~C))∪((A∩C)∩~B)) = A∩((B∩~C)∪(C∩~B))
= (A C) (B C) 注意：A (B * C) = (A B) * (A C)
(B * C) A = (B A) * (C A) *代表∪, ∩或–运算
9
作业讲评 P105 3-4. (5)
(5)证明若X Y = X Z，且X ≠
则Y=Z
证明：1) Y= , 则X Y= , 故 X Z =
∨ (< x,y> (A C)∧< x,y>(B C) )
< x,y>(AC)(B C) )
8
作业讲评 P105 3-4.(3)
e)证明 (1) ( AB ) C = (A C) (B C) 证明: ( AB ) C = ((A-B)∪(B-A)) C = ((A-B) C) ∪ (B-A)) C) = ( (A C) -(B C) ) ∪ ( (B C )- (A C) )
A∪C = {2, 3, 5} 故 (A∪B)(A∪C) = {1, 4, 5, 7} 因此A∪(BC) = (A∪B)(A∪C) 不一定成立。
6
作业讲评 P105 3-4.(3)
c) (AB) (CD) = (A C) (B D) 解: 不成立。
设A=B，C和D ≠ 则左边=，右边≠
1. |A∪B| ≤|A| + |B| 2. |A∩B| ≤ min(|A|, |B|) 3. |A – B| ≥|A| – |B| 4. |A B| = |A| + |B| – 2|A∩B|
12
作业讲评 P113 3-6.(3)
• 举出A={1,2,3}上的关系R的例子，使它有以下性质： a) 既是对称又是反对称的 b) 既不是对称又不是反对称的 c) R是可传递的
• 解: a) R IA ，如R = {< 1, 1 >} b) 部分对称, 如R={<1, 2>, <2, 1>, <1, 3>} c) R={<1, 2>, <2, 1>, <1, 1>, <2, 2>}
13
作业讲评 P113 3-6. (6)
• (6)设R是X上的自反关系。
• 证明R是对称和传递的,当且仅当＜a,b> 和<a,c>在R中时，则有<b,c>在R之中。
= A∩(B C)
4
作业讲评 P95 3-2.(11)
a)证明 (1) A∩(B C) = (A∩B) (A∩C) 证明: (A∩B) (A∩C) = ((A∩B) – (A∩C))∪((A∩C) – (A∩B)) = (A∩(B – C))∪(A∩(C – B)) = A∩((B – C)∪(C – B)) = A∩(B C) 注意： A∪(B―C)≠(A∪B)―(A∪C)
7
作业讲评 P105 3-4.(3)
e)证明 (1) ( AB ) C = (A C) (B C)
证明: 对于任意的<x,y> (AB) C x (AB) ∧ y C
(( xA ∧xB) ∨ (xA ∧xB) ∧ y C
(( xA∧xB)∧y C) ∨ ((xA∧x B)) ∧ y C) (< x,y>(AC)∧< x,y>(BC) )

集合论总复习习题