集合论总复习习题
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A∪C = {2, 3, 5} 故 (A∪B)(A∪C) = {1, 4, 5, 7} 因此A∪(BC) = (A∪B)(A∪C) 不一定成立。
6
作业讲评 P105 3-4.(3)
c) (AB) (CD) = (A C) (B D) 解: 不成立。
设A=B，C和D ≠ 则左边=，右边≠
任意元素a,b,c,若aRb, 若有aRb且bRc,
由自反性得有aRa, 由对称性得到 bRa,
于是有bRa,
于是有bRa 且bRc,
故R是对称的；
故有aRc,故R传递
14
作业讲评 P113 3-6. (6)
7
作业讲评 P105 3-4.(3)
e)证明 (1) ( AB ) C = (A C) (B C)
证明: 对于任意的<x,y> (AB) C x (AB) ∧ y C
(( xA ∧xB) ∨ (xA ∧xB)) ∧ y C
(( xA∧xB)∧y C) ∨ ((xA∧x B)) ∧ y C) (< x,y>(AC)∧< x,y>(BC) )
= (A C) (B C) 注意：A (B * C) = (A B) * (A C)
(B * C) A = (B A) * (C A) *代表∪, ∩或–运算
9
作业讲评 P105 3-4. (5)
(5)证明 若X Y = X Z，且X ≠
则Y=Z
证明：1) Y= , 则X Y= , 故 X Z =
5
作业讲评
(2) A∪(BC) = (A∪B)(A∪C) 不一定成立。 证明: 设 A = {2, 3}, B = {1, 4, 7}, C = {3, 5},
则 BC = {1, 3, 4, 5, 7} 所以 A∪(BC) = {1, 2, 3, 4, 5, 7} 但 A∪B = {1, 2, 3, 4, 7}
{a1, a8} = B10000001 = B129
{a3, a7 ,a8} = B00100011 = B35
{a2, a6 ,a7} = B01000110 = B70
3
作业讲评 P95 3-2.(11)
a)证明 (1) A∩(B C) = (A∩B) (A∩C) 证明: (A∩B) (A∩C) = ((A∩B)∩~ (A∩C))∪((A∩C)∩~(A∩B)) = ((A∩B)∩(~A∪~C))∪((A∩C)∩(~A∪~B)) = ((A∩B)∩~C))∪((A∩C)∩~B)) = A∩((B∩~C)∪(C∩~B))
∴Z = ，∴ Y=Z
2) Y≠ , 任意yY， 令xX，
由已知有<x, y> X Y= X Z
∴yZ
∴ YZ
同理Y Z
∴ Y源自文库 Z
10
作业讲评
(5)证明 若X Y = X Z，且X ≠
则Y=Z
证明：∵ X Y = X Z且X ≠
∴ X Y X Z 且X Z X Y
∴ YZ且Y Z
第二十一讲
集合论总复习 习题
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作业讲评 P86 3-1.(9)
• 设某集合有101个元素，试问： a) 可构成多少个子集？ b) 其中有多少个子集元素为奇数？ c) 是否有102个元素的子集？
• 解：a) 可构成2101个子集 b) 有2100个子集元素为奇数 c) 不能有102个元素的子集
2
作业讲评 P86 3-1.(10)
= A∩(B C)
4
作业讲评 P95 3-2.(11)
a)证明 (1) A∩(B C) = (A∩B) (A∩C) 证明: (A∩B) (A∩C) = ((A∩B) – (A∩C))∪((A∩C) – (A∩B)) = (A∩(B – C))∪(A∩(C – B)) = A∩((B – C)∪(C – B)) = A∩(B C) 注意： A∪(B―C)≠(A∪B)―(A∪C)
∴ Y= Z
(1)A B的充分必要条件是A C B C;
(2) A B的充分必要条件是C A C B
C是非空集合。
11
作业讲评 补充题
• 90名学生，55人参加数学小组，44人参加语 文小组，33人参加体育小组。36人参加数学 和语文小组，29人参加数学和体育小组，25 人参加语文和体育小组。问多少人3个小组都 没有参加？
1. |A∪B| ≤|A| + |B| 2. |A∩B| ≤ min(|A|, |B|) 3. |A – B| ≥|A| – |B| 4. |A B| = |A| + |B| – 2|A∩B|
12
作业讲评 P113 3-6.(3)
• 举出A={1,2,3}上的关系R的例子，使它有以下 性质： a) 既是对称又是反对称的 b) 既不是对称又不是反对称的 c) R是可传递的
(10)设S = {a1, a2, ..., a8}, 由B17 和B31所表示的S的子集 各是什么? 应如何表示子集{a1, a8} ,{a2, a6 ,a7}和
{a3, a8, a7}?
解B：17S=有B20800=1002051 6=个{a不4, 同a8的} 子集, 可表示为B0, BB311,=BB20,001B11311, =…{a,4,Ba255,5a, 6二, 进a7 制, a下8} 标有8位.
∨ (< x,y> (A C)∧< x,y>(B C) )
< x,y>(AC)(B C) )
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作业讲评 P105 3-4.(3)
e)证明 (1) ( AB ) C = (A C) (B C) 证明: ( AB ) C = ((A-B)∪(B-A)) C = ((A-B) C) ∪ (B-A)) C) = ( (A C) -(B C) ) ∪ ( (B C )- (A C) )
• 解: a) R IA ，如R = {< 1, 1 >} b) 部分对称, 如R={<1, 2>, <2, 1>, <1, 3>} c) R={<1, 2>, <2, 1>, <1, 1>, <2, 2>}
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作业讲评 P113 3-6. (6)
• (6)设R是X上的自反关系。
• 证明R是对称和传递的,当且仅当＜a,b> 和<a,c>在R中时，则有<b,c>在R之中。
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作业讲评 P105 3-4.(3)
c) (AB) (CD) = (A C) (B D) 解: 不成立。
设A=B，C和D ≠ 则左边=，右边≠
任意元素a,b,c,若aRb, 若有aRb且bRc,
由自反性得有aRa, 由对称性得到 bRa,
于是有bRa,
于是有bRa 且bRc,
故R是对称的；
故有aRc,故R传递
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作业讲评 P113 3-6. (6)
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作业讲评 P105 3-4.(3)
e)证明 (1) ( AB ) C = (A C) (B C)
证明: 对于任意的<x,y> (AB) C x (AB) ∧ y C
(( xA ∧xB) ∨ (xA ∧xB)) ∧ y C
(( xA∧xB)∧y C) ∨ ((xA∧x B)) ∧ y C) (< x,y>(AC)∧< x,y>(BC) )
= (A C) (B C) 注意：A (B * C) = (A B) * (A C)
(B * C) A = (B A) * (C A) *代表∪, ∩或–运算
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作业讲评 P105 3-4. (5)
(5)证明 若X Y = X Z，且X ≠
则Y=Z
证明：1) Y= , 则X Y= , 故 X Z =
5
作业讲评
(2) A∪(BC) = (A∪B)(A∪C) 不一定成立。 证明: 设 A = {2, 3}, B = {1, 4, 7}, C = {3, 5},
则 BC = {1, 3, 4, 5, 7} 所以 A∪(BC) = {1, 2, 3, 4, 5, 7} 但 A∪B = {1, 2, 3, 4, 7}
{a1, a8} = B10000001 = B129
{a3, a7 ,a8} = B00100011 = B35
{a2, a6 ,a7} = B01000110 = B70
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作业讲评 P95 3-2.(11)
a)证明 (1) A∩(B C) = (A∩B) (A∩C) 证明: (A∩B) (A∩C) = ((A∩B)∩~ (A∩C))∪((A∩C)∩~(A∩B)) = ((A∩B)∩(~A∪~C))∪((A∩C)∩(~A∪~B)) = ((A∩B)∩~C))∪((A∩C)∩~B)) = A∩((B∩~C)∪(C∩~B))
∴Z = ，∴ Y=Z
2) Y≠ , 任意yY， 令xX，
由已知有<x, y> X Y= X Z
∴yZ
∴ YZ
同理Y Z
∴ Y源自文库 Z
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作业讲评
(5)证明 若X Y = X Z，且X ≠
则Y=Z
证明：∵ X Y = X Z且X ≠
∴ X Y X Z 且X Z X Y
∴ YZ且Y Z
第二十一讲
集合论总复习 习题
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作业讲评 P86 3-1.(9)
• 设某集合有101个元素，试问： a) 可构成多少个子集？ b) 其中有多少个子集元素为奇数？ c) 是否有102个元素的子集？
• 解：a) 可构成2101个子集 b) 有2100个子集元素为奇数 c) 不能有102个元素的子集
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作业讲评 P86 3-1.(10)
= A∩(B C)
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作业讲评 P95 3-2.(11)
a)证明 (1) A∩(B C) = (A∩B) (A∩C) 证明: (A∩B) (A∩C) = ((A∩B) – (A∩C))∪((A∩C) – (A∩B)) = (A∩(B – C))∪(A∩(C – B)) = A∩((B – C)∪(C – B)) = A∩(B C) 注意： A∪(B―C)≠(A∪B)―(A∪C)
∴ Y= Z
(1)A B的充分必要条件是A C B C;
(2) A B的充分必要条件是C A C B
C是非空集合。
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作业讲评 补充题
• 90名学生，55人参加数学小组，44人参加语 文小组，33人参加体育小组。36人参加数学 和语文小组，29人参加数学和体育小组，25 人参加语文和体育小组。问多少人3个小组都 没有参加？
1. |A∪B| ≤|A| + |B| 2. |A∩B| ≤ min(|A|, |B|) 3. |A – B| ≥|A| – |B| 4. |A B| = |A| + |B| – 2|A∩B|
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作业讲评 P113 3-6.(3)
• 举出A={1,2,3}上的关系R的例子，使它有以下 性质： a) 既是对称又是反对称的 b) 既不是对称又不是反对称的 c) R是可传递的
(10)设S = {a1, a2, ..., a8}, 由B17 和B31所表示的S的子集 各是什么? 应如何表示子集{a1, a8} ,{a2, a6 ,a7}和
{a3, a8, a7}?
解B：17S=有B20800=1002051 6=个{a不4, 同a8的} 子集, 可表示为B0, BB311,=BB20,001B11311, =…{a,4,Ba255,5a, 6二, 进a7 制, a下8} 标有8位.
∨ (< x,y> (A C)∧< x,y>(B C) )
< x,y>(AC)(B C) )
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作业讲评 P105 3-4.(3)
e)证明 (1) ( AB ) C = (A C) (B C) 证明: ( AB ) C = ((A-B)∪(B-A)) C = ((A-B) C) ∪ (B-A)) C) = ( (A C) -(B C) ) ∪ ( (B C )- (A C) )
• 解: a) R IA ，如R = {< 1, 1 >} b) 部分对称, 如R={<1, 2>, <2, 1>, <1, 3>} c) R={<1, 2>, <2, 1>, <1, 1>, <2, 2>}
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作业讲评 P113 3-6. (6)
• (6)设R是X上的自反关系。
• 证明R是对称和传递的,当且仅当＜a,b> 和<a,c>在R中时，则有<b,c>在R之中。