高等数学-集合与映射
高数高等数学1.1映射与函数
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
高等数学上册1.1 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
大一高数知识点映射与函数
大一高数知识点映射与函数高等数学是大多数理工科专业大一必修的一门课程，其中包含了许多重要的数学知识点。
在这篇文章中，我们将重点讨论高数中的映射与函数。
一、映射的概念与性质映射是数学上非常重要的概念，它描述了元素之间的对应关系。
在集合论中，我们将一个元素从一个集合映射到另一个集合，这两个集合可以是相同的，也可以是不同的。
映射一般用函数符号f(x) 表示，其中 x 是原集合的元素，f(x) 是它在目标集合中的对应元素。
映射具有以下性质：1. 单射：若 f(x1) = f(x2)，则 x1 = x2。
即不同的元素在映射中有不同的对应元素。
2. 满射：若对于任意的 y ∈目标集合，都存在 x ∈原集合，使得 f(x) = y。
即每一个元素都有对应的映射元素。
3. 一一映射：即又是单射又是满射的映射。
二、函数的定义与性质函数是映射的一种特殊形式，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
函数的定义比较简洁，它是一种特殊的映射，其中原集合只能有一个元素对应到目标集合中的一个元素。
函数具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指输入变量的取值范围，值域是指函数输出的取值范围。
2. 奇偶性：函数 f(x) 的奇偶性取决于 f(-x) = f(x) 或 f(-x) = -f(x) 是否成立。
3. 单调性：函数在定义域上的增减状况，可以分为递增、递减或保持不变。
4. 极值与最值：函数在定义域的某一点或某一区间上取得的最大值或最小值。
5. 对称性：函数是否具有关于某个轴的对称性。
三、常见的函数类型在高数课程中，我们学习了许多常见的函数类型。
下面是其中一些重要的函数：1. 幂函数：y = x^n，其中 n 是正整数。
2. 指数函数：y = a^x，其中 a 是正实数且不等于 1。
3. 对数函数：y = log_a(x)，其中 a 是正实数且不等于 1。
4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
映射及映射法及例题
映射及映射法及例题知识、方法、技能1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.显然有（f —1）—1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f .事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的.任给b a f A a =∈)(,设，则a b f=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f—1下的原象，即f —1(b)=a ，所以， f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .赛题精讲Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a ff f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.【略解】由f 的定义和已知数据，得⎩⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u同理，由.9)(,3)(223,221]1127[,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=xy y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.集合A 为直线x y x y 333==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：},36,,0|)sin ,cos {(πθπρρθρθρ<<∈≠=R A图Ⅰ－1－2－1}.20,,0|)sin ,cos {(πϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23πθϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3,6(ππθ∈ ).2,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.Ⅱ映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠≠⊂∈-=''→⊂令 于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为.))()((21)(111∑∑=='+=ni i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接 B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:. 下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(42+==n C B card A card加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y card 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+<n f n f 格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖； （iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:ϕ，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有 )()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.【解法1】存在，首先有一条链.1→2→3→5→8→13→21→… ①链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足n n f n f f +=)())(( ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链.对于①中的数m>n ，由①递增易知有n m n f m f -≥-)()( ③我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1)()1(+=+k f k f ④这链中其余的数由②逐一确定.对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(([由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.若n 属于新链，在n=k+1时，.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。
集合中的元素无序，不重复。
2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。
(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。
(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。
(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。
(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。
3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。
(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。
(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。
5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。
(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。
(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。
(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。
(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。
总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。
理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。
在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
高等数学学习笔记.
《代数学》辅导纲要第一章代数运算与自然数主要内容：1、集合与映射的概念2、映射及其运算3、代数系统4、自然数及其他相关定义5、归纳法原理与反归纳法的运用重点掌握1、由A→B的单映射σ的定义为：设σ:A→B,若由a1∈A,a2∈A,a1≠a2，就推出σ（a1)≠σ(a2)，则称σ为从A到B的单映射。
2、由A→B的满映射σ的定义为：设σ:A→B,若ran(σ)=B，则称σ为从A到B的满映射。
3、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象4、若集合|A|=n，则集合A→A的映射共有nn种。
5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。
6、自然数a与b加法的定义中两个条件为①：a+1=a'②：a+b'=(a+b)'.7、自然数a与b相乘的定义中两个条件为: ①：a⨯1=a;②：a⨯b'=a⨯b+a8、自然数a>b的定义为:如果给定的两个自然数a与b存在一个数k,使得a=b+k，则称a大于b,b小于a,记为a>b或b<a.9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M若满足：(1)1∈M;(2)如果a属于M,则它后面的数a’也属于M.则集合M含有一切自然数，即M=N.10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。
11、若|A|=m，|B|=n，则A→B的所有不同映射的个数为nm。
12、若A是有限集合，则A→A的不同映射个数为：|A||A|。
13、从整数集合Z到自然数集合N存在一个单映射。
14、若A是有限集合，则不存在A到其真子集合的单映射。
15、若A为无限集合，则存在A的真子集合B使其与A等价。
16、存在从自然数集合N到整数集合Z的一个满映射，但不是单映射。
可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与(-1)n有关的映射17、存在从自然数N到整数集合Z的双射。
可考虑分段映射18、代数系统(R+,⨯)与代数系统(R,+)是同构的，其中R+表示正实数集合，R表示实数集合，⨯与+就是通常的实数乘法与加法。
大一高数第一章知识点笔记
大一高数第一章知识点笔记一、集合和映射1. 集合的定义和表示方法集合是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。
可以通过列举元素的方式表示集合，也可以使用描述性的方式表示集合。
2. 集合的运算(1) 并集：将两个或多个集合中的元素统一起来，去除重复元素后形成的集合。
(2) 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
(3) 差集：如果A、B是集合，差集A-B是指由属于A而不属于B的元素组成的新集合。
(4) 补集：设U是全集，A是U的一个子集，那么相对于全集U中的A的补集是U中那些不属于A的元素组成的集合。
二、数列和极限1. 数列的定义和表示方法数列是按照一定规律排列的一列数，可以按照顺序排列或者按照递推公式得到。
2. 数列的极限如果对于数列{an}，当n趋于无穷大时，数列中的数a_n（n 为正整数）趋于某个常数A，那么称数列{an}的极限为A。
3. 数列的极限存在性(1) 单调有界准则：如果数列{an}单调递增且有上界（或数列单调递减且有下界），那么{an}必定收敛。
(2) 夹逼准则：如果对于数列{an}，有两个数列{bn}和{cn}，其中{bn}≤{an}≤{cn}，且lim{bn}=lim{cn}=A，则数列{an}的极限也是A。
(3) 子数列收敛准则：如果数列{an}的任意子列都收敛于同一极限A，则数列{an}也收敛于A。
三、函数与极限1. 函数的定义和表示方法函数是一种映射关系，将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。
2. 函数的极限如果当自变量趋近某个特定值时，函数的值趋近于某个常数L，那么称函数在这个特定值处的极限为L。
3. 函数的连续性(1) 函数在某个点a处连续，当且仅当该点的极限值等于函数在该点的值，即lim{h→0} f(a+h) = f(a)。
(2) 若函数f(x)在[a,b]上连续，则在该区间上f(x)有界。
(3) 若函数g(x)在[a,b]上连续，且g(x)≠0，则在该区间上1/g(x)也连续。
课件：01-第1讲集合与映射
(
)
o
x0
x0
x0 +
x
x Û ( x0 , ) 0 < | x x0 | <
点 x0的某邻域，
记为 U(x0) .
点 x0的某去心邻域，
记为 Û (x0) .
例1
点 x0 = 3 的 = 0.1 邻域为 U ( 3, 0.1 ) = ( 3 0.1, 3 + 0.1 )
= ( 2.9, 3.1 )
高等院校非数学类本科数学课程
高 等 数 学 A（1）
—— 一元微积分学
第一讲 集合与映射
授课教师：彭亚新
第一章 集合与函数
本章学习要求： ▪ 正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。 ▪ 掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的
分析表示和图形特征。 ▪ 正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复
点 x0 = 3 的去心 = 0.1 邻域为
Û ( 3, 0.1 ) = ( 2.9, . 映射 设 A，B 是两个非空集合，若x A，按照某种
确定的法则 f 有唯一确定的 y B 与之对应，则称 f 为从 A 到 B 的一个映射，记为 f ：A B，或记为 f ：x y，x A，习惯上也记为 y f (x)，x A。 其中，y 称为 x 在映射 f 下的像， x 称为 y 在映射 f 下 的一个原像 , A 称为映射 f 的定义域 , 记为D( f ); A中 所有元素 x 的像 y 的全体所构成的集合称 为 f 的值域， 记为 R( f ) 或 f ( A)，即
x0 x x0
(
)
o
x0
x0
x0+
x
x U( x0 , ) | x x0 | <
高等数学---映射与函数
A {a1 , a2 ,, an }
描述法 M { x x所具有的特征}
N , N , Z , Q, R, R* , R
2
映射与函数
(6)关系 子集 ( 包含 ), A B : x A x B; 相等, A B : A B, 且 B A ;
不含任何元素的集合称为空集, 记作 , 规定空集为任何集合的子集. 2.集合的运算
对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有
(x1) < (x2) (或(x1) > (x2) )
则称函数 f ( x )在区间 I上是 单调增加(或单调减少).
y
y f ( x)
y
f ( x2 )
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
第一节 映射与函数
基本概念
函数概念 函数的特性 反函数 小结 作业 思考题
1
第一章 函数与极限
映射与函数
一、集合
1.集合概念
(1)定义 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
(2)有限集和无限集
(3)符号
a M , a M.
(4)表示 列举法 (5)常用集合
o
x1
x2
I
x
o
x1
x2
I
x
注意 函数的单调性是一个与自变量取值范围有关的相对 30 性概念．
映射与函数
(3)函数的奇偶性 定义 设D关于原点对称, 对于x D, 有
f (-x) = f (x) (或f (-x) = - f (x) )
则称 f (x) 为偶函数(或奇函数).
高等数学-第一章-第一节-映射与函数
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 为 f 的反函数 .
习惯上,
的反函数记成
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数
且也单调递增 (减) .
2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
例如 , 指数函数 对数函数
它们都单调递增, 其图形关于直线
互为反函数 , 对称 .
(2) 复合函数 — 复合映射的特例
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有
(满射)
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 名称. 例如,
X (≠ )
Y (数集) f 称为X 上的泛函
X (≠ )
X
f 称为X 上的变换
X (数集 或点集 )
R
f 称为定义在 X 上的为函数
当x= 0 当x< 0
例5. 求
解: 当 则
当 则
当 则
反函数
时, 时, 时,
的反函数及其定义域. 定义域为
课后小结
1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素
定义域 对应规律
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构
课后习题
1. 设
且
a, b, c 为常数, 且
2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 为 f 的逆映射 . 习惯上 ,
的逆映射记成
例如, 映射
其逆映射为
(2) 复合映射 引例.
高 等 数 学
高 等 数 学个人简介高等数学——研究变量间的关系及其变化趋势的数学学科。
怎样学高等数学1、学习内容——第一章至第七章(具体见书)2、教学安排——每两周12学时(即6次)讲课，2学时(即1次)习题课。
3、学习要求——专心听讲、做好笔记、预习复习、完成作业、遵守纪律。
4、参考资料——大连理工大学.陈小柱《高等数学》习题全解第一章 函数与极限第一节 映射与函数一、集合 1、 集合(1)集合——具有某种特定性质的事物组成的集体.用大写字母 C B A ,,表示.例如 ① 自然数集:},4,3,2,1,0{ =N ,而},4,3,2,1{ =+N ；② 整数集},3,2,1,0{ ±±±=Z ；有理数集:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p q p q p,,N Z Q ； ④ 实数集:R , 而},0|{R R ∈>=+x x x .2、元素——组成集合的各个事物, 用小写字母 c b a ,,表示.3、集合与元素的关系(1)a 属于A ——事物a 是集合A 的元素. 记作A a ∈； (2)a 不属于A ——事物a 不是集合A 的元素. 记作A a ∉.4、空集——不含有任何元素的集合. 记作φ.5、全集——所研究的所有事物组成的集合. 记作S .6、集合的表示方法(1) 列举法——用列举全体元素表示集合的方法. 即},,,{21n a a a A =.例如 }6,5,4,3,2,1{=A .(2) 描述法——用元素具有的特征表示集合的方法. 即}|{所具有的特征a a A =.例如 }1|),{(22=+=y x y x A .7、集合的关系与运算(1)A 是B 的子集——B x A x ∈⇒∈∀. 记作B A ⊂.A 是B 的真子集——B A ⊂,且B A ≠,记作 .例如： , , .规定：空集为任何集合的子集.B A ≠⊂Z Q≠⊂N Z ≠⊂Q R ≠⊂A B(2)A 与B 相等——若B A ⊂且A B ⊂.例如：设},2,1{=A },1,2{=B },023{2=+-=x x x C 则.C B A ==(3)交集——}|{B x A x x B A ∈∈=且 ,简记为AB ；(4)并集——}|{B x A x x B A ∈∈=或 ；(5)差集——}|{B x A x x B A ∉∈=-且,B A -有时写成B A \；(6)余集(补集)——A S A c-=，其中S 为全集。
大学高等数学第一节PPT
a a≥0 a = − a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
4.绝对值: 4.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a − b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
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(3)并集 并集 由属于A或属于 的所有元素组成的 由属于 或属于B的所有元素组成的 或属于 集称为A与 的并集记作A∪ ， 的并集记作 集称为 与B的并集记作 ∪B，即 A∪B={x|x∈A或x∈B} ∪ ∈ 或 ∈ (4)交集 交集 由同时属于A与 的元素组成的集称 由同时属于 与B的元素组成的集称 的交集， 为A与B的交集，记作 与 的交集 记作A∩B，即 ， A∩B={x|x∈A且x∈B} ∈ 且 ∈ 不相交， 若A∩B=∅，则称 与B不相交， ∅ 则称A与 不相交 相交。 若A∩B≠∅，则称 与B相交。 ∅ 则称A与 相交
f : A → B , 或 f : x |→ y , x ∈ A
称y为x在映射 下的像， x称为 在映射f下的原像,集 为 在映射f下的像 称为y在映射 下的原像 集 在映射 下的 称为 在映射 下的原像 称为映射f 定义域, 中所有元素 的像y的全体 中所有元素x的像 合A称为映射 的定义域,A中所有元素 的像 的全体 称为映射 记作f 所构成的集合称为f 值域,记作 即 所构成的集合称为 的值域 记作 (A).即
第一章 第二章 第七章
第三章
第八章
第四章
第九章 第十章
第五章
第六章
第十一章
Байду номын сангаас
大一高数映射知识点汇总
大一高数映射知识点汇总在大一的高等数学课程中，映射是一个重要的概念。
它在数学中有着广泛的应用，并且在不同的领域中都有着重要的作用。
本文将汇总大一高数中与映射相关的各个知识点，以帮助读者全面了解和掌握映射的概念和应用。
定义和基本概念在开始探讨映射的不同方面之前，我们需要了解一些基本的定义和概念。
在数学中，映射可以被定义为一个将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的规则。
其中，我们称映射的起始集合为定义域，映射的终止集合为值域。
映射通常用符号表示，如f: A → B，表示从集合 A 到集合 B 的映射 f。
映射的分类根据映射的性质和特点，可以将映射分为不同的类型。
以下是几种常见的映射分类：1. 单射：如果映射中的每一个元素都对应不同的元素，则称其为单射，也叫一一映射。
2. 满射：如果映射中的每一个元素都有至少一个元素与之对应，则称其为满射，也叫到上映射。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，则称其为双射，也叫一一对应。
4. 非单射：如果一个映射中存在不同的元素对应到相同的元素，则称其为非单射。
5. 非满射：如果一个映射中存在无元素与之对应的元素，则称其为非满射。
映射的性质映射具有一些重要的性质，其对于研究映射的特性和应用至关重要。
以下是映射的一些常见性质：1. 传递性：对于映射f: A → B 和g: B → C，如果 f 和 g 都是映射，那么 f ∘ g 也是映射。
2. 反函数：对于映射f: A → B，如果对于任意的 y ∈ B，存在唯一的 x ∈ A，使得 f(x) = y，则称g: B → A 为 f 的反函数。
3. 复合函数：对于映射f: A → B 和g: B → C，定义 f ∘ g(x) =f(g(x))，其中 x ∈ A，称 f ∘ g 为映射 f 和 g 的复合函数。
4. 逆映射：对于映射f: A → B，如果存在映射g: B → A 使得 f ∘ g = I_B 和 g ∘ f = I_A，其中 I_A 和 I_B 分别是集合 A 和集合 B 上的恒等映射，则称 g 为 f 的逆映射。
高等数学第一章PPT
几何表示
O
a
a
a
x
25
U ( a , ) 有时简记为 U (a ).
点a的 去心(空心) 的邻域,记作U (a , ), 即
U(a，） { x 0 x a }.
xa 开区间 ( a , a ) 称为a的 左 邻域, 开区间 ( a , a ) 称为a的 右 邻域 .
31
X中所有元素的像所组成的集合称为 值域,
或f 的 像集, 记作 R f 或f ( X ), 即
R f f ( X ) f ( x ) x X .
在中学数学中所接触的函数实际是: 实数集(或其子集) 到实数集的映射. 例如, 映射f : R R, y f ( x ) sin x , 正弦函数
2
6
对几个常用的数集规定记号如下 数集的字母的 右上角 标上: “” 数集内排除0的集. “ ” 数集内排除0与负数的集. 全体非负整数即自然数的集合 N, 即
N {0, 1, 2,, n,}; 全体正整数的集合为 N+ {1, 2,, n,};
注
7
全体整数的集合记作
Z {, n,, 2, 1 , 0, 1, 2,, n,}; 全体有理数的集合 记作Q, 即
、 . Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写 Exist(存在)的 字头E的倒写
“ ” 表示 “任取 ”, 或“任意给定 ”. “ ” 表示 “存在 ”,“至少存在一个或“能够找到 ”, ” 符号 “ 表示 “蕴含 ”,或 “推 ”. 出”. “ ” 表示 “等价 ”,或 “充分必 符号
A { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 列举法有很大的局限性.
同济高等数学1归纳
高等数学归纳(第一章~第三章)2010126137 彭伟奕第一章 函数与极限第一节 映射与函数一 、 集合●集合概念：集合（集）是指具有某种特定性质的事物的总体。
●元素（元）：组成某个集合的事物称为该集合的元素（元）。
(a 属于A,记作a ∈A ； a 不属于A ，记作a ∉A 。
) ●表示集合的方法：（1） 列举法：把集合的全体元素一一列举出来，例：A={}123n a a a a ，，（2） 描述法：集合M={}x x ︱具有性质P ，例：M={}210x -=︱x ●集合间关系：A 包含于B （A ⊂B ），A 不包含于B （A ⊄B ） A 是B 的真子集（A B ⊆），A 等于B （A=B ）,空集∅是任何非空集合的真子集。
●集合的运算：并，交，差{}A B |x x A x B =∈∈或 {}A B |x x A x B =∉∈且A\B={}|x x A x B ∈∉且 I\A 为A 的余集或补集，亦记cA●集合运算法则：交换律：A ∪B=B ∪A,A ∩B=B ∩A 结合律：（A ∪B ）∪C=A ∪(B ∪C) A ∩(B ∩C)=(A ∩B) ∩C 分配律：（A ∪B ）∩C=(A ∩C) ∪(B ∩C) (A ∩B) ∪C=(A ∪C) ∩(B ∪C) 对偶律：c c (AB)A B c = ｃｃｃ（ＡＢ）＝ＡＢ直积（笛卡尔乘积）：A ⨯B={（x,y ）|x ∈A 且x ∈B}，例：R ×R={(x,y)|x ∈R,y ∈B}为XOY 面上全体点的集合，R ×R 记作２Ｒ。
● 区间与邻域：（1）区间 开区间：（a,b ）,a,b 为开区间（a,b ）的端点。
闭区间：[a,b]半开区间：[a,b ﹚, ﹙a,b]（2）邻域：以a 为中心的任何开区间称以点a 为邻域，记作U （a ） 点a 的δ邻域，记U(a, δ)，其中δ为任一正数， U(a, δ)={x|a-δ＜x ＜a+δ}={x| |x-a|＜δ} 点a 为邻域的中心，δ为邻域半径。
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第一本在线课程配套教材，“十三五”普通高等教育本科国家级规划教材，国防科技大学朱健民、李建平主编，高等教育出版社出版的 《高等数学》教材课后习题解答.这些课后习题都是非常经典的，学习高数课程应知应会，必须熟练掌握的基本典型练习题，不管是对于课程学习、还是考研、竞赛等相关内容的学习、复习、备考，都应该逐题过关！参考习题解答列表第一章 映射与函数习题1.1 《集合与映射》部分练习参考解答习题1.2 《函数》部分练习参考解答习题1.3 《曲线的参数方程与极坐标方程》部分练习参考解答第二章 数列极限与数值级数习题2.1 《数列极限的概念与性质》部分练习参考解答习题2.2 《数列收敛的判定方法》部分练习参考解答习题2.3 《数值级数的基本概念与性质》部分练习参考解答习题2.4-《同号级数的敛散性判别方法》部分习题参考解答习题2.5-《变号级数收敛性判别方法》部分习题参考解答第三章 函数极限与连续习题3.1-《函数极限的概念》部分习题参考解答习题3.2-《函数极限运算法则及存在性的判定准则》部分习题及参考解答 习题3.3-《无穷小的比较与渐近线》练习题及参考解答习题3.4-《函数的连续性与间断点》练习题及参考解答第四章 导数与不定积分习题4.1 《导数的概念及基本性质》练习题及参考解答习题4.2-《导数的计算》专题练习及参考解答习题4.3-《一元函数的微分》专题练习与参考解答习题4.4-《变化率与相关变化率》专题练习与参考解答习题4.5-《不定积分基本概念、性质和基本计算》专题练习与参考解答 第五章 导数的应用习题5.1-《极值与最优化》专题练习专题练习与参考解答习题5.2-《微分中值定理及其应用》专题练习专题练习与参考解答习题5.3-《泰勒公式及其应用》专题练习与参考解答习题5.4-《函数单调性与凹凸性及其应用》专题练习及参考解答习题5.5-《曲率》专题练习及参考解答第六章 定积分及其应用习题6.1-《定积分基本概念与性质》专题练习及参考解答习题6.2-《变限积分及其应用》专题练习及参考解答习题6.3-《不定积分与定积分》专题练习及参考解析习题6.4 -《定积分的应用》专题练习及其参考解析习题6.5 -《反常积分》专题练习及其参考解析第七章 常微分方程习题7.1-《微分方程的基本概念》专题练习与参考解答习题7.2-《一阶微分方程》专题练习及参考解答习题7.3 -《可降阶微分方程》专题练习及参考解答习题7.4 -《线性微分方程》专题练习及参考解答第八章 空间解析几何习题08-01 《向量及其运算》专题练习与参考解答习题08-02 《空间平面与直线》专题练习与参考解答习题08-03-《空间曲面及其方程》专题练习与参考解答习题08-04-《空间曲线及其方程》专题练习与参考解答第九章 向量值函数的导数与积分习题09-123-《向量值函数》专题练习与参考解析第十章 多元函数的导数及其应用习题10-01-《多元函数基本概念与性质》专题练习与参考解答习题10-02《偏导数与全微分》专题练习与参考解答习题10-03 《多元复合函数和隐函数求偏导》专题练习与参考解答习题10-04 《方向导数与梯度、泰勒公式》专题练习与参考解析习题10-05《多元函数的极值与最值》专题练习，知识点与典型习题视频解析 第十一章 重积分习题11-01 《重积分基本概念与性质》专题练习与参考解答习题11-02 《重积分直角坐标计算法》专题练习及典型习题视频解析习题11-03 《重积分的柱坐标、球坐标、换元法》专题练习与参考解答 习题11-04 《重积分的应用》专题练习与参考解答第十二章 曲线积分与曲面积分习题12-01《曲线积分的基本概念与计算》专题练习及参考解答习题12-02《格林公式、积分与曲线无关》专题练习与参考解答习题12-03 《曲面积分的基本概念、基本计算》专题练习与参考解答习题12-04 《高斯公式与斯托克斯公式》专题练习与参考解答第十三章 幂级数与傅里叶级数习题13-01《幂级数及其展开》专题练习与参考解答习题13-02 《傅里叶级数及其收敛性》内容总结、视频解析与专题练习。
高等数学上教案 集合与映射
U (a, ) (a , a] 简记 U (a)
三、映射（幻灯片 P15）
1. 映射的概念
（1） 定义
设 X、Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则 f, 使得对 X 中每个元素 x, 按法则 f, 在
Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作
（板书）
教师：还有一个集合 Q，表示所有的有理数组成的集合，怎么表示呢，那 就是 q 分之 P，P 属于整数 Z，Q 属于 N+，并且 P、Q 互质，这样就表示所有的 有理数组成的集合。 3. 集合之间的关系
若 xA, 则必有 xB, 则称 A 是 B 的子集, 记为 A B 或 B A 如果集合 A 与集合 B 互为子集， A B 且 B A , 则称集合 A 与集合 B 相等, 记作 AB. 若 A B 且 AB, 则称 A 是 B 的真子集, 记作 A B .
教师：集合里面有有限集合还有无限集合，所谓有限集合指他的元素只 有有限个，无限集合呢，元素是无穷多个。
2. 表示方法
教师：描述一个集合由什么元素组成的，一般来说有这么两种表示方法。 一种叫做列举法。
（1） 列举法： A {a1, a2 ,, an}
（板书）
教师：A 呢，由哪些元素组成呢，我把他的全体元素，一个一个列出来，
若映射 f 既是单射, 又是满射, 则称 f 为一一映射(或双射).
教师：上述三例各是什么映射？
例 1 的映射，即非单射又非满射；例 2 的映射不是单射，是满射；例 3 的映射， 即是单射又是满射，因此是一一映射。 3. 逆映射与复合映射 （1） 逆映射
同济7版高等数学精品智能课件-第1章-第1节-集合、映射、函数
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
高等数学上知识点汇总
x x0
4、函数为无穷大则必定无界。
1
5、无穷大与无穷小的关系：在 x 的某趋限过程中，①若f(x )是无穷大，则
是无穷小。②若f(x )是
f（x）
1
无穷小，且f(x )不等于 0，则
是无穷大。
f（x）
6、无穷大的运算性质：①有界量加无穷大还是无穷大。②无界量乘无穷大是无穷大。③有界量乘无穷大未 必是无穷大。
≠0，那末在(a，b)内至少有一点 c，使
3.1.1 微分的应用
微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们 用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.
3.1.2 函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0 及 x0+△x 在这区间内，若函数的增量可表
示为
，其中 A 是不依赖于△x 的常数， 是△x 的高阶无穷小，则称函数
3.1.3 基本初等函数的微分公式
由于函数微分的表达式为：
，于是我们通过基本初等函数导数的公式可
得出基本初等函数微分的公式，下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式
对比一下：(部分公式)
导数公式
微分公式
6 / 27
微分运算法则
由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们用表格来把微
数是否为同一函数。 4、 函数的表示方法：解析法（常用），列表法、图形法。 5、 几 个 特 殊 的 分 段 函 数 ： 符 号 函 数 y=sgnx 、 取 整 函 数 y=[x] 、 最 值 函 数
y=max{F(x),G(x)},y=min{F(x),G(x)}。
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3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。
X
.x1 .x2 .x3
f
Y
.y1 .y2
Rf
精品
2. 映射的种类
满射 ：Y中的任意元素y都是X中的某元素的 像； 单射：如果 不相等x 1，x 2 X，存在唯一
的 y1 = f ( x 1)不等于y2= f ( x 2)
精品
一一对应（满射） 设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。 如果 x X，存在唯一的 y = f ( x ) Y 与之对应；
精品
三、பைடு நூலகம்射的基本概念
1. 映射
设 A， B是两个非 空 xA， 集按 合照 ，某 若 确定的 f 有 法 唯 则 一 y 确 B与 定 之 的 对f应， 为A 从 到 B的一个映 f： A 射 B ， ，记 或为 记为 f： x y， x A ，习惯y上 f(x)也 ， x A 记 。为 其 y 称 中 x 在 为 ， f映 下射 的 x 称 y 在 像 为 f映 下 ，射 的一 ,A 称 个 为 f的 原 映 定 ,像 记 D 射 (义 f) 为 A ;中 域 所有元 x的 素像 y的全体所构成 为的 f 的集 值合 域称 ， 记R 为 (f)或f(A)，即
高等数 学
第一讲 集合与映射
授课教师：陈艺华
精品
第一章 集合与映射
本章学习要求： ▪ 正确理解集合和映射概念。 ▪ 掌握集合和元素的关系，集合的表示方法；映射的种类。 ▪ 正确理解集合的运算法则，并能够正确使用。
精品
第一节 集合与映射
一、集合的基本概念 二、集合的基本运算 三、映射的基本概念
精品
反过来, 若 y Y, 存在唯一的 x X 使得 y = f ( x ), 则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。
精品
D (f) A ; R (f) f(A ) 精 品{ y |y f(x )x , A } 。
注意：
1) 映射是集合间的一种对应关系. 集合 X 、Y 中所含的元素不一定是数，可以是其它的一 些对象 ( 或事物 )。
2) 对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之 对应，这一点很重要，它说明集合间元素的 对应关系不一定就是映射。
精品
2. 集合的表示法
表示集合的方法有两种:
(1) 列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用
(2)
花括号括上。
(2) 描述将 法集 ： A中 合元 x所 素具有的 p(x)列 特出 性 来表示如下 A{x| x具有特 p(x)}性 。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。（唯一，互异，无序）
一、集合的基本概念 1. 集合
所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一 个整体来考虑的结果。
精品
简言之，把考察的对放象在一起就构成集合。 定义一个集合A，也就是规定哪些元属素于集合A, 哪些元素不属于集A合。
元素x 属于集合A，记为xA；元素x不属于 集合A，记为x A或xA。
精品
二、集合的基本运算
1. 集合运算的概念
为了研究和叙述 便上 ，我 的 们方 ，我们I常常 或U来表示所 虑考 表示所 象考 （元素）的全构体所 成的集合，为 称的 之。集
精品
设有A 集 ， B， 合则 A与 B的并：A B { x | x A 或 x B }； A与 B的交：A B { x | x A 且 x B }； A与 B的差：A－B A \ B { x | x A 且 x B }； A的补集（或余集）：A I A ( 或记为AC )。