《等差数列与函数的关系》研究性学习设计
数列教案集萃：数列与函数的关系
数列教案集萃：数列与函数的关系数列与函数的关系随着数学教育的发展，数学教育模式也日新月异。
以前的黑板白粉、重口味的数学教育模式已经不再适用于当今的学生。
面对新时代的学生，我们需要不断创新和完善教学模式，才能使学生更好地接受数学知识。
数列与函数是数学中非常重要的两个概念。
数列是指由有限或无限个数按照一定的规律排成的序列，函数是指具有输、输出、变量和函数值等要素的关系。
数列与函数之间存在着密切的联系，在数学教育中也是非常重要的。
针对数列与函数的关系，我们可以采取多种教学方法，如讲解、讨论、案例分析、拓展实践等。
以下是一些教学方案供参考：一、讲解教学法数列与函数是数学中两个重要的概念，在开始讲解这两个概念之前，教师要先让学生了解与这两个概念相关的一些基础知识，如集合、映射等。
然后可以采用题解或案例分析的方式讲解数列和函数的概念及其性质，引导学生发现二者之间的关系。
二、讨论教学法讨论是一种充满活力的教学方法，对于数列与函数的教学来说也非常适用。
教师可以让学生进行小组讨论，让学生自我发现并展示数列与函数之间的关系。
例如，教师可以给学生几个数列和函数的实例，让学生对其中每个数列和函数进行分类，从中发现它们的关系，如能否互相转化等。
三、案例分析教学法案例分析是一种富有感染力和启发性的教学方式，可通过具体例子让学生理解数列与函数之间的关系。
例如，教师可以让学生分析一些实际问题，如复利和等差数列的关系、物理运动的函数关系等。
学生可以通过分析这些实际问题，自我发现与函数和数列相关的知识。
四、拓展实践教学法拓展实践教学法有利于加强学生对所学知识的记忆和理解。
例如，在学生掌握数列和函数的概念和性质后，可以进行数列的计算、函数的图像绘制等实践活动，使学生更深刻地理解数列与函数之间的关系。
要让学生深入理解数列与函数之间的关系，需要我们运用多种教学方法，从不同角度出发，引导学生自我发现与理解数列和函数之间的关系，并将所学知识与实际问题相结合，让学生在实践中学习，从而提高他们的数学能力。
高中二年级数学教案：数列与函数的关系 (2)
高中二年级数学教案：数列与函数的关系一、引言数学是一门严谨而有趣的学科，为了更好地教授高中二年级的数学课程，本文将介绍一节关于数列与函数关系的教案。
通过这节课的教学，旨在帮助学生深入理解数列与函数之间的联系，并能够灵活应用所学知识。
二、背景知识概述在开始教授本节课的内容前，我们首先要对数列和函数进行简要回顾和概念解释。
数列是按照一定规律排列起来的一组数，常用公式表示为{a₁, a₂, a₃, ...}；而函数则是一个映射关系，将输入值映射到相应的输出值上。
本节课将重点讲解数列与函数之间的关系以及如何利用函数来表示和处理数列。
三、教学目标通过本节课的教学活动，学生将能够：1. 理解数列与函数之间的联系和区别；2. 学会利用函数来表达并计算给定数列中任意项；3. 掌握求等差数列和等比数列前n项和的方法。
四、教学步骤第一步：导入与激发兴趣（5分钟）首先，讲师可以通过提问的方式引导学生回忆数列和函数的概念，并与他们讨论数列与函数之间可能存在的关系。
通过这一步骤，激发学生对于本节课内容的兴趣，为后续学习做好铺垫。
第二步：探究数列与函数的关系（15分钟）在这一部分，教师可以通过具体例子来演示和解释数列与函数之间的联系。
首先选择一个简单的等差数列或等比数列，并引导学生观察数列中每一项之间是否存在某种规律。
随后，教师将展示如何利用函数来表达这个数列，并阐述函数与数列之间对应关系的特点。
第三步：应用实例解决问题（30分钟）本节课上半段主要为理论探究，接下来进入实际应用环节。
教师可以提供一些实际问题，要求学生运用所学知识解决问题。
例如，求某个等差数列或等比数列的第n项值、前n项和等。
通过实际问题的解答，学生将更好地理解并掌握如何将数列转化为函数进行计算。
第四步：拓展练习巩固知识（20分钟）为了确保学生对所学内容的理解和掌握程度，教师可以设计一些拓展练习题，要求学生灵活应用课上所学的方法来解决问题。
通过这一环节的练习，既能帮助学生巩固知识，也能提高他们应用数列与函数关系解决问题的能力。
高中数学_等差数列教学设计学情分析教材分析课后反思
高中数学_等差数列教学设计学情分析教材分析课后反思引言：等差数列是高中数学中的重要概念之一，对于学生的数学建模能力和逻辑思维能力的培养具有重要作用。
本文将结合学情分析、教材分析以及课后反思，设计一节关于等差数列的数学教学，以提高学生的学习效果。
一、学情分析学生年级：高一学生人数：40人学生背景：学生对等差数列的概念有一定了解，但在应用题上存在理解不到位的问题。
根据学情分析的结果，我们可以得出学生在等差数列方面的薄弱点，进而合理设计教学环节，帮助学生克服困难，提高学习效果。
二、教材分析本节课的教材主要是教材《高中数学》，根据教材内容，我们可以将本节课的教学内容分为以下几个部分：1. 等差数列的定义和性质2. 等差数列的通项公式3. 等差数列的前n项和公式4. 等差数列的应用：算术平均数的应用等三、教学设计1. 导入部分在导入部分，可以考虑通过一个生活中的实际例子引入等差数列的概念，如汽车进行匀速行驶，每过1分钟记录行驶的距离，并与学生一起探讨变化规律，引发学生对等差数列的认识。
2. 知识讲解与探究在这个部分，需要通过简洁明了的例子和概念讲解，引导学生理解等差数列的定义和性质。
可以为学生展示等差数列的图像，并引导学生总结出等差数列的特点。
3. 公式的引入与推导接下来，引入等差数列的通项公式和前n项和公式，通过简单的推导和实例的演示，让学生理解这两个公式的由来与应用情景。
4. 练习与巩固在这一环节，给学生提供一些练习题，让学生通过练习巩固所学内容。
可以设计一些基础习题和拓展习题，巩固学生的基本知识，并提供一些挑战性题目，激发学生的学习兴趣。
5. 拓展与应用在此部分，可以通过应用题目来引导学生将所学知识应用到实际生活中。
例如，让学生通过设计等差数列的问题，来解决实际生活中的一些计算问题。
四、课后反思本节教学中的一些问题和值得改进的地方如下：1. 教学内容的安排和教学环节的设计需要更加合理，使学生的学习过程更加连贯；2. 练习题的难易程度可以适当调整，以满足不同学生的学习需求；3. 在教学过程中，应该注重学生思维的引导和培养，激发学生的学习兴趣和动力。
高中数学教案：探究数列与函数的关系
高中数学教案：探究数列与函数的关系一、引言及背景数学是一门学科，也是一门艺术。
在高中数学课程中，数列和函数是基础而又重要的概念。
数列是有规律的数字序列，而函数则是一种特殊的关系。
学生通过探究数列与函数的关系，可以培养数学思维能力和逻辑推理能力，提高数学应用能力，为进一步学习和研究数学打下坚实基础。
本教案旨在通过探究数列与函数的关系，帮助学生深入理解和应用数学知识。
二、教学目标1. 知识目标：a. 理解数列与函数的定义及其关系。
b. 掌握数列的基本性质和运算规律。
c. 能够用函数的形式表示数列。
d. 熟练掌握求解函数值和数列项的方法。
2. 能力目标：a. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
b. 提高学生的数学运算和应用能力。
三、教学过程1. 引入活动：数列与函数的关系教师可以通过一个简单的问题引入：已知数列1，4，7，10，...，请问第n项是多少？学生通过观察，可以发现数列的通项公式为an=3n-2。
然后教师可以提问：这个数列与函数有何关系？2. 探究活动：数列的函数表示a. 教师引导学生思考，数列与函数之间的关系是什么？学生可以根据观察和推理得出结论：每个数列都可以表示为一个函数。
b. 学生们按照教师的指导，完成以下练习：i. 将给定的数列写成函数的形式。
ii. 给定一个函数，找出对应的数列。
c. 学生们互相交流思路，并向教师提问和讨论。
3. 拓展活动：数列和函数的性质a. 教师向学生介绍数列和函数的一些基本性质，如单调性、有界性、取值范围等，并引导学生思考这些性质与函数图像的关系。
b. 学生们通过实际计算和图像观察，验证各个性质与函数图像的关系，并总结归纳。
4. 实例分析：应用数列函数解决问题a. 教师给出一个实际问题，要求学生利用数列和函数的知识进行分析和求解。
b. 学生们按照问题要求，运用数列和函数的知识进行思考和计算，得出解答，并向教师和同学展示解题过程。
5. 综合讨论：数列与函数在实际问题中的应用a. 教师和学生一起讨论数列与函数在实际问题中的应用，比如金融、物理等领域。
《等差数列与一次函数》 学历案
《等差数列与一次函数》学历案一、学习目标1、理解等差数列的通项公式与一次函数的关系。
2、掌握通过一次函数的性质来研究等差数列的方法。
3、能够运用等差数列与一次函数的联系解决相关的数学问题。
二、学习重难点1、重点（1）等差数列通项公式的推导及其与一次函数的关系。
（2）利用一次函数的图象和性质来理解等差数列的增减性。
2、难点（1）从函数的角度理解等差数列的通项公式。
（2）灵活运用等差数列与一次函数的关系解决综合性问题。
三、知识回顾1、等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
2、等差数列的通项公式：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_n\）表示第 n 项，＼（a_1\）表示首项，＼（n\）表示项数，＼（d\）表示公差。
四、探究等差数列与一次函数的关系1、由等差数列的通项公式\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），变形可得\（a_n ＝ dn ＋（a_1 d)＼）。
当\（d ≠ 0\）时，＼（a_n\）是关于\（n\）的一次函数，其图象是一条直线上的孤立的点，其中斜率为公差\（d\），在\（y\）轴上的截距为\（a_1 d\）。
2、当\（d ＞0\）时，等差数列是递增数列，一次函数的斜率为正，图象从左到右上升。
例如，等差数列\（＼｛2n 1\｝＼），其通项公式为\（a_n ＝ 2n1\），变形为\（a_n ＝ 2n ＋（－1)＼），斜率\（d ＝ 2 ＞ 0\），该数列递增。
3、当\（d ＜0\）时，等差数列是递减数列，一次函数的斜率为负，图象从左到右下降。
比如，等差数列\（＼｛11 2n\｝＼），通项公式为\（a_n ＝ 112n\），变形为\（a_n ＝－2n ＋ 11\），斜率\（d ＝－2 ＜ 0\），该数列递减。
4、当\（d ＝ 0\）时，等差数列是常数列，通项公式为\（a_n ＝a_1\），其图象是平行于\（x\）轴的直线上的点。
大招5等差数列与函数的关系
大招5等差数列与函数的关系 大招总结1 等差数列中,()()111n a a n d dn a d =+-=+-,即n a 是关于n 的一次函数.所以,(),n n a 在一条直线上,而且斜率k d =.这个方法可以应用在求通项里面,只需要一个式子就可以搞定了,但是不得不说,此方法优点不是特别明显.2 ()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭,即n S 是关于n 的没有常数项的二次函数,所以2n S d n n =+12d a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,是关于n 的一次函数.所以,n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2d 为公差的等差数列.此结论在选择填空题中应用非常广泛,必须掌握.3 ()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭,即n S 是关于n 的无常数项的二次函数,其图象是过原点的抛物线.当遇到求前n 项和最值问题时,可以直接秒出来:当n 为二次函数对称轴或者对称轴最近的整数时,取得最值.笔者觉得,此方法求n 会很快,适合选择填空,但如果大题要求n S 的最值还是老老实实计算较好.典型例题例1.已知{}n a 是等差数列,324635,99a a a a =++=,则20(a =) A.1- B.1 C.3 D.7 解：方法1:设等差数列{}n a 的公差为324611,35,99,235,3999d a a a a a d a d =++=∴+=+=,联立解得:139,2a d ==-,则20392191a =-⨯=.故选B.方法2:3435,33a a ==,根据结论()()()34201,3,4,20,a a a 、、在同一直线上,所以4343a a -=-203203a a --,解得201a =,故选B. 例2.等差数列{}n a 中,,,(,p q a q a p p q ==∈N ,且)p q ≠,则p q a += 解：方法1:设等差数列{}n a 的公差为d ,则()()111,1p q a a p d q a a q d p =+-==+-=,两式联立可解得()111,1,10p q a q p d a a p q d +=+-=-∴=++-=.故答案为0. 方法2:,p q a q a p ==,根据结论1,等差数列的通项本质类似一次函数,p q p q a a a +、、分别对应点()()(),,,p q p q p a q a p q a ++、、,这三点在同一直线上,则有(),0p q p q pp q a a a a a p qp q p++--==-+-.例3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n a n =+，n S = 解：方法11:23,5n a n a =+∴=,()()12523422n n a a n n S n n+++===+方法2:题目本身不难,但是希望通过这道题让大家知道,已知等差数列的通项是可以秒算和的,同样,已知等差数列的和,也是可以秒算通项的.221123,2,5,422n n d d a n d a S n a n n n ⎛⎫=+==∴=+-=+ ⎪⎝⎭ 例4.已知数列{}n a 的前n 项和为223n S n n =+,则n a = 解：方法21:23n S n n =+,当2n 时()221232(1)3141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦,当1n =时,115a S ==也符合4141n n a n a n =+∴=+方法22:23n S n n =+是没有常数项的二次函数,所以数列{}n a 是等差数列112,4,52dd a S ====,()141n a dn a d n ∴=+-=+.例5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足32132S S -=,则数列{}n a 的公差是 解： 方法321132211:1,233263222S S a d a d ⨯⨯⎛⎫⎛⎫-=∴+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1166636,2a d a d d ∴+--=∴=.故答案为2.方法2:根据结论322,1,2322S S dd -===. 例6.已知等差数列{}n a 的前n 项和是36,9,36n S S S ==,则公差d 为() A.6 B.2- C.9 D.2 解：方法1：361132659,36,39,63622S S a d a d ⨯⨯==∴+=+=,解得公差2d =.故选D.方法2:根据结论632,33,2632S S dd -=⨯==.例7.(2021•新课标I )设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若112,0,3m m m S S S -+=-==,则m =A.3B.4C.5D.6 解：方法1111:2,3m m m m m m a S S a S S -++=-==-=,所以公差()111,0,10,12n m m m m a a d a a S m m ++=-===->>,因此m 不能为0,得12a =-,所以()2112m a m =-+-⋅=,解得5m =,方法2:等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,即有数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等差数列,则11,,11m m m S S S m m m -+-+等差数列,可得11211m m m S S S m m m -+⋅=+-+,即有23011m m -=+-+,解得5m =.例8. （2021 秋⋅济宁期末⋅ 多选） 已知递减的等差数列 {}n a 的前 n 项和为 n S ， 若711S S =， 则 （ ）A. 100a >B. 当 9n = 时， n S 最大C. 170S >D. 190S >解： 方法1：因为递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，711S S =，所以11076111071122d a d a d <⎧⎪⎨⨯⨯+=+⎪⎩所以10117199022a a d d d d =+=-+=<，故A 错误； 因为()()221117819222222n n n d d d d S na d n n n n d -=+=-+-=--，所以当9n =时，n S 最大，故B 正确；17117161717171368.5022S a d d d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+=-> ⎪⎝⎭，故C 正确；19119181719191719.5022S a d d d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+=< ⎪⎝⎭，故D 错误.故选BC. 方法2：因为()1n a dn a d =+-是递减的等差数列，所以0d <，所以2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 开口向下，由图可得，当9n =时，n S 最大，0180S S ==，170S >，1910190S a =<，故BC 正确，AD 错误.方法3：因为711S S =，所以()11789101191020S S a a a a a a -=+++=+=，所以90a >，100a <，当9n =时，n S 最大，179170S a =>，1910190S a =<，故BC 正确，AD 错误.例9.（2021⋅武汉三调⋅多选）两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ）A.若为等差数列，则112da =B.若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C.若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D.若*n b ∈N ，则{}bn a 也为等差数列，且公差为12d d +解：A.211122d d n a n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是完全平方式，1102da -=，112d a =，A 正确. B.因为{}n n S T +为等差数列，所以n n S T +一次函数2221122121211122222222n n d d d d d d d d S T n a n n b n n a a n ⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-++-=++-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦所以1202d d +=，120d d +=，B 正确. C.{}n n a b 为等差数列，()()111212121,0,0n n a b d n a d d n b d d d d =+-+-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或20d =，而不是10d =且20d =，C 错误.D.{}bn a 为等差数列，()()()()()1111212111211211bn n a d b a d d d n b d a d d d n d b d a d =+-=+-+-=+-+-⎡⎤⎣⎦公差为12d d ，D错误.例10.（2021⋅十四模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1516a a +=，13260S =，则2020201720202017S S -= . 解： 方法1：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1516a a +=，13260S =，所以()153113137216,1313260,2a a a a a S a +==⎧⎪+⎨===⎪⎩，解得38a =，720a =，所以732083734a a d --===-，所以()()3383331n a a n d n n ==-=+-⨯=-，()()()123131222n n n a a n n n n S ++-+===，所以3122n S n n =+，所以2020201731319202020172020201722222S S ⎛⎫⎛⎫-=⨯+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为92.方法2：153216a a a ===，38a =，13713260S a ==，720a =，732083734a a d --===-，根据结论2：20202017932020201722S S d -=⨯=.例11.等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为n S ，且512S S =，则当n 为何值时，n S 有最大值解： 方法1 ：因为等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为n S ，且512S S =，所以1154121151222a d a d ⨯⨯+=+，解得18a d =-， 所以()()2222111717289817222222228n n n n n d d d d dS na d nd d d n n n n n -⎛⎫=+=-+-=-=-=-- ⎪⎝⎭所以当8n =或9n =时，n S 有最大值.方法2：根据结论3，n S 是关于n 的没有常数项的二次函数，512S S =，对称轴为5128.52n +==，当8n =或9n =时，n S 有最大值.例12.已知等差数列{}n a ，129a =，1020S S =，（1）问这个数列的前多少项的和最大?（2）并求最大值. 解： 方法1：（1）由2010S S =得：12290a d +=，又129a =，所以2d =-，所以()()2921312n a n n =+--=-，所以()()21230152252n n n a a S n n n +==-+=--+，当15n =时，n S 最大，最大值为225. （2）由2010S S =得：1112200a a a +++=，即()151650a a +=，①因为1290a =>，所以150a >160a <，故当15n =时，n S 最大， 由①得：12290a d +=，所以2d =-，所以()()152921511a =+-⨯-=， 所以n S 的最大值为()151********S ⨯+==.方法2：第一问，根据结论3，1020S S =，1020152+=，当15n =时，n S 有最大值. 自我检测1.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，728S =，1166S =，则9S 的值为（ ） A.47 B.45 C.38 D.54解：方法1：设公差为d ，由71128,66S S ==得，1176728,211101166,2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩即1134,56,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,1,a d =⎧⎨=⎩所以9S =98911452⨯⨯+⨯=.故选B. 方法2：根据结论2，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2d为公差的等差数列，791127119S S S +=⨯，，，故选B.2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12288S =，9162S =，则6S =（ ）A.18B.36C.54D.72解：方法1：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得1211211122882S a d ⨯=+=，919891622S a d ⨯=+=，解得12a =，，所以，故选D. 94629S +=⨯945S =4d =61656722S a d ⨯=+=方法2：根据结论2,n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2d为公差的等差数列，691226129S S S +=，.3.（2021⋅渭南模拟）记Sn 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知223n S n n =+，则数列{}n a 的公差为（ ）A.4B.2C.1D.12解：设d 为数列{}n a 的公差，因为()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以22d=， 则4d =.故选A.4.（2021秋⋅南阳期末）已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且22n S n n a =++，则数列28n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭最大项与最小项的和是（ ）A.173-B.2-C.2D.245解：方法1：因为22n S n n a =++，①()()()211212n S n n a n -=-+-+②，①—②得()21,2n a n n =+所以25a =，，所以32752d a a =-=-=， 所以12523a a d =-=-=，满足21n a n =+，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，所以2216182727n n a n a n n --==+---，令()(6,127f x n n =-且)*n ∈N ， 所以()f x 在71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，72x =为渐近线，所以()()min 35f n f ==-，，所以()()min max 2f n f n +=，故选C.方法22:2n S n n a =++且{}n a 是等差数列，所以110,2,3,21n a d a S a n =====+，剩下的同法1.5.（2021秋⋅梧州期末）n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若150S >，，则使得n S 取得最大值的n =（ ） A.8 B.7 C.9 D.10解：方法1：由15160,0S S ><可得：()()11511615021602a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪>+⎩+<，即，，所以890a a ><⎧⎨⎩，当n S 得最大值时，8n =，故选A.方法2：因为2n S pn qn =+为没有常数项的二次函数，这个函数有两个零点，1516120,0,0,1516S S n n ><=<<，所以对称轴()127.5,82n n n +=∈，二次函数开口向下，越接近对称轴，二次函数值越大，所以8n =.6.（2021秋⋅南阳期中）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若12024a =，且20202019320202019S S -=，则2021S （ ） A.212021⨯ B.222021⨯C.232021⨯D.242021⨯672S =37a =()()max 47f n f ==160S <11511600a a a a +>+<88900a a a >⎧⎨+<⎩解：方法1：数列{}n a 为等差数列，n S 其前n 项和.若12024a =，且20202019320202019S S -=， 设公差为d ，则2024+201920182024322dd --=，解得6d =， 所以2202120212020202420216420212S ⨯=⨯+⨯=⨯.故选D.方法2：2202020192021202120203,6,202420216420212020201922S S d d S ⨯-====⨯+⨯=⨯，故选D.7.（2021春⋅潍坊月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为1572,11,8157n S SS a =-=-，则n S 取最大值时的n 为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9解：数列n S n ⎛⎫ ⎪⎝⎭是公差为2d 的等差数列，因为157881572S S d-=-=⨯，所以，又因为211a =，所以152n =-，令0n a ，解得152n ，所以取最大值时n 的为7.故选B.8.（2021秋⋅浙江月考）已知数列{}n a 是无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（ ）A.在3202021,,232020SS S S 中最大的数是1SB.在3202021,,232020SS S S 中最大的数是20202020S C.在1232020,,,,S S S S 中最大的数是1S D.在1232020,,,,S S S S 中最大的数是2020S解：由题设知数列{}n a 是等差数列，且前n 项和2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭存在最大值， 所以公差0,2n S d d n n <=+12da -在定义域上是单调递减的，所以1S 最大.故选A. 9.（2021⋅河北模拟）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和.若20202020S =，且2020202000202020S S -=，则1a 等于（ ） A.2021- B.2020- C.2019- D.2018-解：2020202000100020002020202S S dd -=⨯==，解得2d =.又因为20202020S =，所以()20201202012020120202020S a ===+-22⨯，所以12018a =-.故选D.10.（2021⋅丰台区二模）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=（ ） A.3 B.6 C.7 D.8解：方法1：因为2n S n n =-，所以2n 时，()()2211122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，则2322a a +=⨯22326-+⨯-=.故选B.方法2：因为2n S n n =-，所以11,0,222n da a n ===-，剩下同法12d =-()22n a a n d =+-n S方法3：23316a a S S +=-=11.（2021春⋅浙江期中）若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，记nn S b n=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，记nn T c n=，则（ ） A.数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差也为dB.数列{}n c 是等差数列，{}n c 的公差为12dC.数列{}n n a b +是等差数列，{}n n a b +的公差为2dD.数列{}n n a c +是等差数列，{}n n a c +的公差为54d解：方法1：设等差数列{}n a 的公差为()()1111,,22n n n n n d n d S d S na b a n --=+==+，可得11n n b b a --=+()()112222n d n d d a ----=，(常数).故nb 得的公差为2d ，故A 选项错误；由于()12n n n b b T +=，则n c =111111,22224n n n n n n n n T b b b b b b b b d c c n ++++++-=-=-==， 所以数列{}n c 是等差数列，{}n c 的公差为4d，故B 误；因为()()()()1111322n n n n n n n n d da b a b a a b b d +++++-+=-+-=+=，所以，数列{}n n a b +是等差数列，{}n n a b +的公差为32d，可得C 错误；因为()()()()1111n n n n n n n n a c a c a a c c d +++++-+=-+-=544d d+=，所以，数列{}n n a c +是等差数列，公差为54d，故D 选项正确.故选D.方法2：因为{}n a 的公差为,n n S d b n =，所以{}n b 的公差为2d，又n n T c n =，所以{}n c 的公差为4d ，所以{}n n a c +的公差为54d .12.（2021秋⋅枣庄期末⋅多选）已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59S S =则（ ）A.70a >B.7S 最大C.140S >D.130S >解：方法1：因为 递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59S S =， 所以11054985922d a d a d <⎧⎪⎨⨯⨯+=+⎪⎩，解得1132a =-d ，故10a >， 130S >，140S <， 所以()221(1)131114222222n n n n n S na d nd d d d n n d -=+=-+-=-=249(7)2n d --，所以当7n =时，n S 取最大值. 故选 ABD. 方法 2：因为是递减的等差数列, 所以 {}n a 的公差 0d <，59S S =，如图所示, 开口向下, 7S 最大,0140S S ==，137130S a =>，故选ABD .方法3：()9567897820S S a a a a a a -=+++=+=，70a >，80a <，所以7S 最大,137130S a =>，故选 ABD.13.（2021秋⋅中山市期末⋅多选）设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ）A.0d <B.6S 与7S 是n S 的最大值C.95S S >D.70a =解：方法1：设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>， 则由56S S <得123a a a +++51256a a a a a +<++++，即60a >，又因为67S S =，所以1261267a a a a a a a +++=++++，所以70a =，故 D 正确；同理由78S S >，得80a <，因为760d a a =-<，故A 正确；而 C 选项95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，由结论780,0a a =<，显然C 是错误的.因为56S S <，678S S S =>，因为6S 与7S 均 为n S 的最大值，故 B 正确；故选ABD . 方法 2：因为56S S <，678S S S =>，如图所示，开口向下，所以0d <，6S 与7S 是n S 的最大值，9S 相对于5S 距离对称 轴更远，950137,130S S S S a <===，故选 ABD.14.等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 .解：方法1：依题意，232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，即330,70,100m S -成等差数列.所以330100270m S +-=⨯，所以3210m S = .方法 2：根据结论 2，32232m m m S S Sm m m+=，所以3210m S =.15.（2021秋⋅天津期末）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若()2*n S n n =∈N ，则9a = ，n a = .解：方法1：2n S n =，所以229989817a S S =-=-=，当1n =时，11a =，2221213a S S =-=-=，所以等差数列{}n a 的公差312d =-=， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，故答案为：17,21n -.方法2：因为2n S n =，所以12d=，2d =，11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，故答案为: 17，21n -.16.已知等差数{}n a 列中129a =，1020S S =.（1）问这个数列的前多少项和最大?并求此最大值. （2）求数列{}n a 的前n 项和n T 公式.解：方法 1：（1）因为等差数列{}n a 中，129a =，1020S S =， 所以10920191029202922d d ⨯⨯⨯+=⨯+，解得2d =-，所以231n a n =-+. 设这个数列的前n 项和最大，则需23102(1)310n n -+⎧⎨-++⎩，解得14.515.5n ，因为*n ∈N ，所以15n =，所以当15n =时，n S 最大，最大值为1515141529(2)2252S ⨯=⨯+⨯-=.（2）因为129a =，2d =-，所以2(1)29(2)302n n n S n n n -=+⨯-=-.因为数列{}n a 的前n 项和n T ，所以15n 时，230n n T S n n ==-；16n 时，215230450n n T S S n n =-=-+，所以2230,1530450,16n n n n S n n n ⎧-=⎨-+⎩.方法2：此题第一问，根据结论3，因为1020S S =，所以 1020152n +==. 17.（2021秋⋅亭湖区校级月考）已知数列{}n a 的前n 项和n S满足()22,n n =∈N ，且14a =.（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 及通项公式n a ；（2）记11n n n b a a +=⋅，n T 为{}n b 的前n 项和，求n T .解：（12=，所以数列为等差数列，2=22(1)2n n =+-=，即24n S n =，（此处可以用大招判断{}n a 是等差数列，且84n a n =-，建议过程还是常规过程）当2n 时，22144(1)4(21)n n n a S S n n n -=-=--=-，又14a =也满足上式，所以4(21)n a n =-；（2）由 （1）知，111116(21)(21)322121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111111323352121322116(21)n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.18.（2021秋⋅泰州期末）已知数列{}n a 的前n 项和为()12n n n S -=，各项均为正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ， ，且34b =.在①23T =；②37T =；③4322b b b -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}{}n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n A ，求证：2n A <.解：（1）因为(1)2n n n S -=，（此处可以用大招判断{}n a 是等差数列，且1n a n =-）所以，当2n 时，有1(1)(1)(2)122n n n n n n n a S S n ----=-=-=-，又当1n =时，110a S ==也适合上式，所以1n a n =-，设等比数列{}n b 的公比为(0)q q >， 若选条件①：由题设可得2114(1)3b q b q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得112b q =⎧⎨=⎩，所以12n n b -=； 若选条件②：由题设可得()2121417b q b q q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，解得112b q =⎧⎨=⎩，所以12n n b -= 若选条件③：由题设可得 ()21321142b q b q q b q⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得112b q =⎧⎨=⎩，所以12n n b -=； 综上，1n a n =-，12n n b -=；（2）由（1）可得112n n n a n b --=，所以012101212222n n n A --=++++，又1211012122222n n n n n A ---=++++， 两式相减得：211111122222n n n nA --=++++11112211112212n nn n n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-+⎝⎭=+=--， 所以11222n n n A -+=-<. 19.（2021春⋅海珠区校级期末）已知数列{}n a 的前项和248n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大或最小值及相应的n . 解：当1n =时，1114847a S ==-=-，当2n 时，22148(1)48(1)2n n n a S S n n n n n -=-=---+-=49-， 当1n =时也成立，则 249n a n =-；（2）2248(24)576n S n n n =-=--，当24n =时，有最小值，最小值为576-，无最大值.20.（2021春⋅镇海区校级期中）等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足32132S S-=.（1）求等差数列{}n a 的公差；（2）若存在正整数n ，使得72n S =-，求等差数列{}n a 的首项1a 的最大值. 解：（1）等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足32132S S -=，所以11332132a d a d++-=， 解得2d =；（2）因为n S 72=-，所以1(1)2722n n na -+⨯=-， 所以1721a n n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以当 8n = 或 9 时, 1a 取得最大值16-.。
高中数学教案：函数与数列
高中数学教案：函数与数列一、引言函数与数列是高中数学中的重要概念，对于培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力具有重要作用。
本文将以函数与数列为主题，介绍相关的概念、性质和应用，并提供一些教学实例来帮助学生更好地理解和掌握这些内容。
二、函数的基本概念1. 函数的定义•函数的定义及符号表示•自变量和因变量2. 函数的性质•定义域和值域•奇偶性和两个特殊函数：常值函数和单位阶跃函数•函数的可导性及其图像3. 基本初等函数家族•线性函数•平方函数•绝对值函数•三角函数（正弦、余弦、正切）•指数函数和对数函数4. 函数之间的关系与运算•复合函数•反函数•四则运算与复合运算三、数列与数列极限1. 数列的定义及符号表示•数列元素之间的关系及通项公式2. 数列的性质•数列的有界性和单调性•等差数列•等比数列3. 数列极限及收敛性•数列极值和极限定义•收敛数列与发散数列的区分•数列收敛定理四、函数与数列的应用案例1. 函数在生活中的应用•增长量和速率问题（人口增长、物体下落等）•最值问题（利润最大化、距离最短等）•几何问题（图形面积、方程解析等）2. 数列在实际问题中的应用•级数问题（复利计算、无穷等差数列求和等）•经典概率问题（点球大战胜算等）五、教学实例1. 函数相关实例1.1 实例一：画出指定函数的图像，并分析其性质。
1.2 实例二：探究复合函数中自变量和因变量的关系。
2. 数列相关实例2.1 实例一：给出一个递归式，让学生根据规律求出前n项，并判断其特征。
2.2 实例二：通过观察发现公式，求出一个给定数列的通项公式。
六、总结函数与数列是高中数学中的重要概念，理解和掌握它们对于学生进一步深入数学学习和应用非常关键。
通过本文的介绍，相信学生能够加深对函数与数列的理解，并能够在实际问题中应用这些知识进行解决。
希望本文能为教师提供一些有益的教学参考和教案设计思路。
高中数学数列教案：等差数列精选4篇
高中数学数列教案：等差数列精选4篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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用函数的观点研究等差数列
为等差数列可知
Sn n
c
必是
n
的一次函数形式.
即
Sn nc2n2 8n nc源自2n(n nc4)
.
由题意可知当
c=0
或
c=－4
时，
Sn n
c
为一次函数形式.
即
Sn nc
2n
8或
Sn nc
2n
，显然
Sn n
c
为等差数列
阅读材料（二）：
已知等差数列{an}前 n 项和 Sn，Sp=Sq (p≠q)，求 Sp+q。
线，而这三点的意义恰好是 ap=q，aq =p，ap+q=0.
归纳总结：
等差数列{an}中： an= a1+(n－1)d.即：an =d·n+( a1－d)
an
a1 , d=0 ……常函数. d·n+( a1－d), d≠0……一次函数.即: an= dn+b.
斜率k＝d＝
an am(nm). nm
d>0 时，函数是增函数，对应的数列是递增数列； d=0 时，函数是常函数，对应的数列是常数列； d<0 时，函数是减函数，对应的数列是递减数列.
范例分析：
例 1：已知等差数列{an}中, a1=6, d=－4,前 n 项和为 Sn . (1) 求 an，Sn；
(2)
证明：
Sn n
为等差数列；
Sn
na1
1 2
n(n 1)d
即： Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
na1 , d=0
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n
,
等差数列的性质教学设计与反思
2.2.2等差数列的性质教学设计教学目标1．知识与技能：理解和掌握等差数列的性质，能选择更方便快捷的解题方法，了解等差数列与一次函数的关系。
2．过程方法及能力：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中体会类比思想，数形结合思想，特殊到一般的思想并加深认识。
3．情感态度价值观：通过师生，生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，并引导学生从不同角度看问题，解决问题教学重点：理解等差中项的概念，等差数列的性质，并用性质解决一些相关问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
教学难点：加深对等差数列性质的理解，学生在以后的学习过程能从不同角度看问题，解决问题，学会研究问题的方法。
授课类型：新授课 课时安排：1课时教学方法：启发引导，讲练结合 学法：观察，分析，猜想，归纳 教具：多媒体 教学过程： 一、复习引入首先回忆一下上节课所学主要内容：1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+)3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a m n --二、讲解新课：问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？由定义得A-a =b -A ，即：2ba A+=反之，若2ba A +=，则A-a =b -A 由此可可得：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 也就是说，A =2ba +是a ,A ,b 成等差数列的充要条件 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项9是7和11的等差中项，5和13的等差中项看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+即 m+n=p+q ⇒q p n ma a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )三．例题讲解。
初中数学教案：数列与函数的关系 (2)
初中数学教案：数列与函数的关系一、引言数学是一门抽象而又普遍存在于我们生活中的学科，它贯穿于各个学段的教学中，为学生提供了丰富的思维锻炼和问题解决的能力培养。
数列与函数是初中数学中重要的概念和内容之一，它们之间有着紧密的关系。
本教案旨在帮助初中数学教师更好地教学数列与函数的关系，提高学生对数学的理解和应用能力。
二、数列的概念及性质1. 数列的定义及示例数列是按一定规律排列的数字集合，每一个数字叫做数列的项。
常见的数列有等差数列、等比数列等。
例如，{1，2，3，4，5}是一个简单的等差数列。
2. 数列的通项公式数列的通项公式是根据数列的规律得出的，它可以用来表示数列中任意一项的值。
对于等差数列而言，通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n 为项数。
3. 数列的性质数列具有许多重要的性质，例如：（1）等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。
（2）等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，当q≠1时成立。
三、函数的概念及表示法1. 函数的定义及示例函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。
函数常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为函数值。
例如，f(x)=2x表示一个简单的线性函数。
2. 函数的表示法函数可以通过图像、显式表达式和隐式表达式等方式来表示。
其中，图像是最直观的表示方法，可以用来观察函数的性质和特点；显式表达式是最常见的表示方法，通过给出f(x)的具体计算式来定义函数；隐式表达式则是通过方程或不等式来定义函数。
3. 常见的函数类型常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
学生可以通过观察函数图像和计算函数值来研究它们的性质和特点。
四、数列与函数的关系1. 数列与函数的相互转换数列可以看作是定义在自然数集上的函数，函数可以看作是定义在实数集上的数列。
教师可以通过数列与函数的相互转换来帮助学生更好地理解它们之间的关系。
高中二年级数学教案：数列与函数的关系
高中二年级数学教案：数列与函数的关系一、引言数学是一门综合性的学科，它涉及到多个分支和概念。
在高中数学课程中，数列与函数是重要的内容之一。
数列与函数之间存在着密切的关系，在数学教案中很有必要将二者进行结合教授，以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
二、概述1. 数列的定义和性质数列是指由一定规律生成的一组数字的有序排列。
在教学中，可以通过让学生观察和找出规律来引入数列的概念，并讨论其常见性质如公差等。
2. 函数的定义和性质函数是指一个或多个自变量与因变量之间存在依赖关系的规则。
在教学中，可以通过给予具体例子来引入函数的概念，并强调其常见性质如定义域、值域等。
3. 数列与函数的联系数列可以看作是函数特殊情况下的表现形式，即自变量只能取正整数值时，函数实际上就成了数列。
这样一来，在教学过程中就可以通过讲解函数与数列之间相互转化的方法来加深对二者联系的理解。
三、教学目标1. 知识目标a) 理解数列和函数的定义及性质；b) 掌握数列与函数之间的关系；c) 熟练运用数列与函数的相关知识解决问题。
2. 能力目标a) 培养学生观察、归纳和抽象问题的能力；b) 训练学生利用数学方法解决实际问题的能力；c) 培养学生进行逻辑推理和数学论证的能力。
四、教学重点与难点1. 教学重点a) 引导学生正确理解并掌握数列与函数的概念；b) 培养学生独立观察分析问题的能力。
2. 教学难点a) 帮助学生准确把握数列与函数之间的联系；b) 引导学生通过例题提取规律，从而形成深刻认识。
五、教学过程1. 比较数列和函数通过给出一组数字并让同学们观察其变化特点，引导他们思考它是一个数列还是一个函数，并对此进行讨论，从而引入数列和函数的概念。
2. 数列与映射关系通过具体示例，引导学生将数列与函数的概念进行联系，并介绍数列可以看作是函数中自变量取正整数时的一种特殊情况。
3. 函数与递推关系通过给出一个函数的表达式和相关变量之间的递推关系式，让学生找到其中的规律，并与数列形式进行对比，进一步加深对二者之间联系的认识。
6、等差数列与一次函数的关系
第一届中小学青年教师教学竞赛教学片段设计表教学标题：等差数列与一次函数的关系学情分析：1、知识点分析：本节内容选自数学必修5第二章数列第二节等差数列第二课时，主要内容是让学生了解函数与数列的区别与联系，特别是等差数列与一次函数的关系。
2、学生的知识储备：已掌握了等差数列的通项公式以及等差数列的相关性质等。
3、学生在学习方面可能遇到的困难和问题：数列是一个特殊的函数，对“特殊”二字的理解。
4、课堂生成期望值：探索等差数列与一次函数之间的关系，体会函数、方程思想在数列中的应用。
教学目标：知识与技能：理解等差数列的通项公式就是一个定义域为全体正整数的一次函数。
过程与方法:培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识；通过函数的引入增强运用等差数列公式解决问题的能力。
情感态度与价值观：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
教学重难点：重点：理解等差数列的通项公式就是一个定义域为全体正整数的一次函数。
难点：运用一次函数解决数列相关问题。
教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图探究问题引入课题探究：（1）在直角坐标系中，画出通项公式53-=nan的数列的图象。
这个图象有什么特点？（2）在同一个直角坐标系中，画出函数53-=xy的图象，你发现了什么？（3）请据此说一说等差数列qpnan+=的图象与一次函数qpxy+=的图象之间有什么关系？师：用课前准备好的坐标纸发给每位同学，让同学们独自完成前两个问题。
再自由讨论问题三。
学生：之间动手发现问题、解决问题。
数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。
深层思索探寻新知提问：等差数列的通项公式是一个特殊的一次函数，反之，通项公式符合一次函数形式的数列是否一定是等差数列？学生自主思考使学生养成多方面思考的习惯，培养逆向思维、发散思维。
高中数学_等差数列教学设计学情分析教材分析课后反思
复习课: 等差数列电话：一、【考纲展示】教学目标：重点：1.掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式. 2.掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．.难点：理解等差数列与一次函数的关系，前n 项和最值问题 能力点：结合等差数列性质考查分类讨论，化归与方程思想. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：公式性质的探究及运算能力的培养.易错点：在研究等差数列前n 项和最值问题时，序号的确定.学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：多媒体.二、【考点梳理】1.等差数列： （1）．等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．符号表示：a n ＋1－a n ＝d(常数)(n ∈N *) （2）．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a ，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d. （3）．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝2)(1n a a n +，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋2)1(-n n d. （4）.等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫做a 与b 的等差中项．2．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m)d(n ，m ∈N*)． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N*)．三、【范例导航】考点一：等差数列的判定与证明例1、已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列；【分析】: 要证明数列是等差数列可根据定义证明1()n n b b d d +-=为常数根据数列地推公式可以写出112n n a a +=-,1111n n b a ++=-,代入即可验证。
初中数学教案：数列与函数的关系
初中数学教案：数列与函数的关系一、引言数学是一门抽象而又有实际应用的学科，在初中阶段，数列与函数是数学学习的重要内容之一。
通过研究数列与函数的关系，可以帮助学生更好地理解数字规律和数值之间的关系，培养其逻辑思维能力和问题解决能力。
本教案旨在通过富有趣味性的活动和清晰的演示，帮助学生理解数列与函数的关系，并培养他们的数学思维能力。
二、数列的概念与特征1. 什么是数列数列是按照一定的规则或模式排列生成的一组数的集合。
它是数学中研究数值排列规律的重要工具。
在数列中，每个数被称为项，用字母表示为an。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
2. 数列的特征数列可以用以下几个方面来描述和理解：(1) 首项：数列中排在第一位的数，用a1表示。
(2) 公差：数列中相邻两项之间的差值，用d表示。
(3) 通项公式：数列中第n项与n的关系式，用an表示。
三、函数的概念与性质1. 什么是函数函数是两个集合之间的对应关系。
在数学中，我们通常将自变量x的集合称为定义域，将对应的函数值y的集合称为值域。
符号上，函数可以用f(x)表示，其中x表示自变量，f表示函数。
2. 函数的性质函数具有以下几个基本性质：(1) 唯一性：对于定义域内的每个x值，函数f(x)有唯一的函数值y。
(2) 定义域：函数的自变量的取值范围。
(3) 值域：函数所有可能函数值的取值范围。
(4) 递增和递减性：函数在定义域内的取值是否随着自变量的增大而增大或减小。
四、数列与函数的关系1. 数列可以看作函数数列是函数的一种特殊形式，可以将数列看作输入为自然数集合的函数。
例如，数列{1, 2, 3, 4, 5, ...}可以看作是自然数集合到正整数集合的一个函数。
2. 数列与函数的对应关系数列与函数之间有着密切的对应关系，通过对数列的研究，我们可以找到数列与函数之间的规律。
例如，等差数列可以看作是一个线性函数的图像，等比数列则和指数函数相关。
这样的对应关系可以帮助我们更好地理解数列与函数之间的联系。
高中数学《等差数列》教案设计
教案设计 高中数学《等差数列》●教学目标知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
●教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用●教学难点灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上节课所学主要内容：1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有几种方法可以计算公差d①d=n a －1-n a ②d =11--n a a n ③d =mn a a m n --Ⅱ.讲授新课问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由定义得A-a =b -A ，即：2b a A +=反之，若2b a A +=，则A-a =b -A 由此可可得：,,2b a b a A ⇔+=成等差数列 [补充例题]例 在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {a n }是等差数列∴ 1a +6a =4a +3a =9⇒3a =9－4a =9－7=2∴ d=4a －3a =7－2=5∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32∴ 3a =2, 9a =32[范例讲解]课本P44的例2 解略课本P45练习5已知数列{n a }是等差数列 （1）7532a a a =+是否成立？9512a a a =+呢？为什么？（2）112(1)n n n a a a n +-=+>是否成立？据此你能得到什么结论？（3）2(0)n k n n k a a a n k +-=+>>是否成立？？你又能得到什么结论？结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则，qp n m a a a a +=+即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+(m, n, p, q ∈N )但通常 ①由q p n m a a a a +=+推不出m+n=p+q ，②nm n m a a a +=+探究：等差数列与一次函数的关系Ⅲ.课堂练习1.在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 与公差d2.在等差数列{}n a 中, 若 65=a 158=a 求14a Ⅳ.课时小结节课学习了以下内容：1．,,,2a b A a A b +=⇔成等差数列 2．在等差数列中，m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+(m, n, p, q ∈N )Ⅴ.课后作业 ●板书设计。
数的等差关系教案
数的等差关系教案
等差数列教案等差数列三年19考高考指数:
1.理解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点；
2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点；
3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主.
1.等差数列的定义
(1)条件：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数.
(2)公差：是指常数，通常用字母d表示.
(3)定义表达式：an+11）d公差d与数列an的单调性有什么关系提示：当d0时，an为递增数列；当d0时，an为递减数列；当d=0时，an 为常数列.2）在等差数列an中，a5=10,a12=31,则数列的通项公式为.an=3n
7.3等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，引导学生根据等差数列的定义进行归纳：和公差d，它的通项公式是什么。
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《等差数列与函数的关系》研究性学习设计
一、创设情境，引入课题
问题1：由数列的概念，我们知道了数列是一种特殊的函数，即数列可以看成以正整数集或它的有限子集为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应一列函数值，那么等差数列与我们所学习的基本初等函数到底有何关系呢？
二、小组讨论，作图并自主探究，汇总各自的研究成果
成果1：通过作图得出，数列的图像是对应的一次函数的图像；
成果2：数列的图像是对应的一次函数图像当自变量取正整数时的孤立的点；
成果3：由等差数列的通项公式变形后得出，等差数列即为自变量为正整数时的相应一次函数的函数值。
三、各小组汇报研究成果，相互补充，形成进一步的研究成果
结论1：成果1不够准确，成果2，成果3较好
四、适度引导，丰富命题
问题2：结合我们学习的等差数列的相关知识，等差数列还和其他函数有关系吗？
五、继续分组讨论，深入探究，汇总研究成果
成果4：没有；
成果5：可以从前n项和出发考虑
六、再度归纳交流，思维提升，形成结论，并相互评价
结论2：等差数列的前n项和是关于项数n的二次函数
七、教师再次引导
问题3：既然得出以上结论，那么我们可以用函数的哪些性质来研究数列问题？
八、各小组再次深入思考，总结交流，并相互评价
结论3：（1）可以利用函数的单调性研究数列的单调性问题；（2）可以用二次函数的最值问题来研究等差数列前n项和的最值，进而得出数列的项的符号问题。
九、教师指导学生总结归纳，升华主题。
1、等差数列即为自变量为正整数时的相应一次函数的函数值。
2、等差数列的前n项和是关于项数n的二次函数
3、（1）可以利用函数的单调性研究数列的单调性问题；（2）可以用二次函数的最值问题来研究等差数列前n项和的最值，进而得出数列的项的符号问题。
十、课下利用网络资源，继续探究等比数列与函数的关系，并写出学习心得。