高考数学专题突破：外接球问题【精编】

高考数学专题突破：外接球模型

模板一：

422

r h R += 一、题型描述

几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说成球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。

二、模法讲解

以下这幅图，大家应该都能看明白吧！一个底面半径为，高为的圆柱，求它的外接球半径。

那么问题来了？

422r h R +=这个式子怎么来的。那么这个式子有何妙用？

1、如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图所示：

我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。

在这里棱柱的高就是公式中h的，而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r（至于怎么求外接圆半径可以用正弦定理。

2、我们再继续进行，如果我把刚刚那个三棱柱上面的两点去掉，我将得到三棱锥，如图：

这个三棱锥的特点是AA1⊥底面ABC，即有一根侧棱⊥底面的锥体，依然符合这个模型。

那条竖直棱AA1就是公式中的h，而底面ABC的外接圆半径是公式中的

r。

3、题目还喜欢这么干：

面PAD垂直面ABCD。它非常符合圆柱外接球模型！

我们知道，这里的r为PAD的外接圆半径，h为AB或者CD为的长。

接着看，当我对第二幅图中的三棱柱 ABC-A1B1C1只去掉C1这个点，会得到什么呢？

没错！这就是刚刚那个四棱锥放倒了！它的特点是：底面A1B1AB⊥CAB侧面，出题的时候则不会这么仁慈，就会像上一幅图那样，有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥！

圆柱外接球模型——适用于：

①圆柱-------r,h自带

②直棱柱-------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高

③一根侧棱⊥底面的锥体-------r:底面外接圆半径；h:垂直于底面的那条侧棱

④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r:垂直底面的侧面的外接圆半径；h:垂直于那个侧面的底边长

那么接下来第二步就是找到，求出，而又怎么求呢？用正弦定理。

可以说正弦定理求外接圆半径这种方法咱们基本上就在高一学的时候提及过，根本就没用过它！告诉你，几乎整个高考也就此处求外接球题型可以用它来求求那个了。讲解如图：

模板二：R 2=（R-h ）2+r 2

先看以下这幅图：一个底面半径为r ，高为h 的圆锥，求它的外接球半径。

所以，你该明白今天讲解的模型公式就是：h

R h 222r +=

当然，有同学会问圆锥要是“矮胖”一些，即扁一些怎么办？这时候外接球球心不会在圆锥外部吗？——是的，矮胖的圆锥，外接球球心确实在圆锥外部，但是推导后的外接球半径公式依然是这个。

1、我们在上述圆锥底面边缘等距离取若干个点，与上顶点构成——正棱锥（高考常考正三、正四棱锥）。

（图示举例为正三棱锥，等距离取n 个点情况是一样的）

这时，我们知道，这个正棱锥的外接球就是这个圆锥的外接球！所以，

求正棱锥的外接球半径等，符合这个模型。 在这里正棱锥的高就是公式中的，

而正棱锥底面外接圆的半径则是公式中的（至于怎么求外接圆半径？我们继续。

你会问，那在圆锥底面边缘随便取几个点，不等距不是也可以吗？——是的，也可以！也符合这个模型。关键是，随便取点得到的也叫普通锥体，我们是很难判断这个锥体是取自圆锥，或者说能补成一个圆锥的。

2、这里面我们看看，什么样的棱锥符合圆锥外接球模型。

其实，不难发现，只要锥体的上顶点在底面外接圆圆心正上方或者说垂线上，就可以。那么，我们怎么知道普通锥体，上顶点是否在底面外心正上方呢？ 所以说，考试考的往往不是随便编出来的，往往是这样的：

【例题1】（2012·唐山统考）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）

A. 38

B.43

C.3

16 D.23

看俯视图，我们可以了解，这个三棱锥上顶点在底面的投影正好是底面直角三角形的斜边中点上。我们知道直角三角形的外接圆心就是斜边中点！

换句话说，本题三棱锥上顶点就是在底面外接圆圆心正上方。它符合圆锥外接球模型！

所以，上顶点在直角三角形底面投影为斜边中点的三棱锥，也符合这个模型 如图——三棱锥S-ABC ，S 在底面投影恰好为直角三角形ABC 斜边中点：

在这里三棱锥的高是公式中的h ，底面斜边长的一半是公式中的r 。

让我们总结一下：圆锥外接球模型——适用于：

h

R h 222r +=

①圆锥-------r,h 自带

②正棱锥-------r:底面外接圆半径；h:正棱锥的高

③“底面为直角三角形+上顶点在底面投影为斜边中点”的三棱锥-------r:底面斜边长的；h:三棱锥的高

一、单选题

1.（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，

AA1=12，则球O的半径为（）

A. B. C. D.

2.（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）

A. B. 16π C. 9π D.

4.已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（）

A. B. C. D.

5.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，则三棱锥C﹣ABD的外接球表面积为（）

A. 16π

B. 12π

C. 8π

D. 4π

6.已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）

A. 25π

B. 26π

C. 27π

D. 28π

7.如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为的正方形，矩形ADD1A1所在的平面垂直于平面ABCD，且AA1=2，则该几何体ABCD﹣A1D1的外接球的体积是（）

A. B. C. D.

8.三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（）

A. B. C. D. ﹣

9.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）

A. 4π

B. π

C. π

D. 20π