基于归结原理的自动推理及其应用

基于归结原理的自动推理及其应用

[摘要]归结原理使用较广，是定理机器证明的理论基础。既可以用来证明一些目标公式和逻辑结论的成立，又可以用来求解应用问题的答案。比如一个目标公式xW（x），有时我们不但要求证明它成立，而且希望知道变元x的一个例，即如果回答x=A，W是否为真？可直接用归结反演证明，但要回答x=? W为真时，就需要问题的答案。本文给出了归结原理在这两方面的应用，最后指出了使用水平浸透法证明不可满足性所带来的子句冗余，以及避免子句冗余的一个方法。

[关键词]归结原理；人工智能；机器证明；水平浸透法

自动定理证明是人工智能科学中的一个重要的研究领域，许多数学问题甚至是非数学问题（如医疗诊断，机器人行动规划）都可以归结为一个定理证明的问题。在定理机器证明中，已知一公式集F1，F2…Fn，要证明一个公式W是否成立，即要证明W是公式集的逻辑推论时，一种方法是要证明F1∧F2∧…∧Fn→W 为永真，如果直接运用推理规则进行推导，由于演绎技巧等因素，给建立机器证明系统带来困难。另一种证明方法是采用间接法（反证法），即不去证明F1∧F2∧…∧Fn→W为真，而是去证明F=F1∧F2∧…∧Fn∧~W为永假，这就等价于证明F对应的子句集S=S0∨｛~W｝为不可满足的。这时候如果用归结作为推理规则使用时，就可以使机器证明简化了。

归结原理的思想是设法检验扩充的子句集S1是否有空子句。若S中有空子句，则S为不可满足的，若没有空子句，就进一步用归结法从S导出S1，然后再检验S1是否有空子句，可以证明用归结法导出的扩大子句集S1，其不可满足性是不变的，所以S1中有空子句，也就证明了S的不可满足性。归结过程可以一直进行下去，就是要通过归结过程演绎出S的不可满足性来，从而使定理得到证明。

一、基本原理

对于子句集S中的任意两个子句C1，C2，若在C1中有一个文字L1，它是子句C2中文字L2的补，那么从C1，C2中分别消去L1和L2，并将剩下的子句构成析取，这样的新子句称为C1，C2的归结式。

定理：设两个子句C1，C2，它们的归结式是C12，则C12是C1和C2的有效逻辑推论。

推论：子句集S=｛C1，C2，…，Cn｝与子句集S1=｛C，C1，C2…，Cn｝的不可满足性是相同的S1中的C是C1，C2的归结式，即S1是对S应用归结法后导出的子句集。

二、归结过程

对于公理集F和命题P，则归结过程如下：

（1）把F转化为子句集形式，得到子句集S0。

（2）把命题的否定也转化为子句集表示，并加入到S0中，得S=S0∨｛S~p｝。

（3）对子句集反复使用归结规则，直到导出含有空子句的子句集为止。即出现归结式为空子句情况是，表明矛盾产生，证明结束。

（4）对有需要的地方分别使用替换或合一替换规则。

下面以例子来说明上述思想。

例：（1）会朗读的人是识字的（2）海豚都不识字（3）有些还豚是很机灵的

求证：有些机灵的东西不会朗读。

证明：首先把上述知识用谓词逻辑对应表示如下：

（1）x（R（x）→L（x））

（2）x（D（x）→~ L（x））

（3）x（D（x）∧I（x））

目标公式表示为：x（I（x）∧~ R（x））

然后将（1）（2）（3）化为如下的子句集：

1. ~R（x）∨L（x）

2. ~D（y）∨~ L（y）

3.D（A）

4.I（A）

目标公式的否定化为子句集

5.~I（w）∨R（w）

归结过程如下：

6. R（A）4、5

7.L（A）6、1

8. ~D（A）7、2

9. NIL 8、3

故得证。

上述的反演一般可以用来证明目标公式的成立，但如果含有存在量词量化变元的目标公式，如xW（x），有时我们不但要求证明它成立，而且希望知道变元X的一个例，可以直接用反演法证明，但要回答X=？W为真，就需要问题的答案。这种问题的解答步骤如下：

（1）把已知前提的谓词公式化为相应的子句集，设为S

（2）把待求解的问题也用谓词公式表示出来，然后把它否定

（3）设一个ANSWER谓词，其变元与问题公式的变元完全相同，把它与（2）析取，并化为子句集，然后把它并入S中。

（4）对S应用归结原理进行归结。

（5）若得到的归结式是ANSWER，则答案就在ANSWER中。

例已知：王先生是小李的老师，小李是小张的同班同学，如果X与Y是同班同学，则X的老师也是Y 的老师。

求：小张的老师是谁？

解：T（x，y）:x 是y的老师

C（x，y）x 是y的同学

则根据上述条件有：（1）T（wang ，li）；

（2） C （li ，zhang）；

（3）x y z（C（x，y）∧T（z，x）→T（z，y））

（4）~ xT（x，zhang）∨ANSWER（x）

把上述化为子句S有：

（1）T （wang ，li）

（2） C （li ，zhang）；

（3）~C（x，y）∨~ T（z，x）∨T（z，y）

（4）~T（u，zhang）∨ANSWER（wang）

对上述子句集进行归结有：

（5）~C（li，y）∨T（wang，y）（1）（3）

（6）~C（li，zhang）∨ANSWER（wang）（4）（5）

（7）ANSWER（wang）（2）（6）

所以得出结论：小张的老师是王老师。

上述例子都是基于水平浸透法的归结证明，会产生大量不相干的和多余的子句，再如下例：

令S=｛~P∨~Q∨R，P∨R，Q∨R，~R｝。用水平浸透法证明S的不可满足性，过程如下：S0：（1）~P∨~Q∨R

（2）P∨R

（3）Q∨R

（4）~R

S1：（5）~Q∨R（1），（2）

（6）~P∨R（1），（3）

（7）~P∨~Q （1），（4）

（8）P（2），（4）

（9）Q（3），（4）

S2：（10）~Q∨R（删除）（1），（8）

（11）~P∨R（删除）（1），（9）