抛物线压轴题
(已整理)中考数学必刷压轴题专题:抛物线之角度关系处理(含解析)

中考数学抛物线压轴题之角度关系处理(1)求抛物线解析式;(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.2.如图,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P,连接PB,得△PCB≌△BOA(O为坐标原点).若抛物线与x轴正半轴交点为点F,设M是点C,F间抛物线上的一点(包括端点),其横坐标为m.(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式;(2)当m为何值时,△MAB面积S取得最小值和最大值?请说明理由;(3)求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标.3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为(1,﹣),且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C 点,A点的坐标为(4,0).P点是抛物线上的一个动点,且横坐标为m.(l)求抛物线所对应的二次函数的表达式;(2)若动点P满足∠PAO不大于45°,求P点的横坐标m的取值范围;(3)当P点的横坐标m<0时,过P点作y轴的垂线PQ,垂足为Q.问:是否存在P点,使∠QPO=∠BCO?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.4.如图,抛物线y=ax2+bx﹣5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点,当S△ABE=S△ABC时,求点E的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使∠BAP=∠CAE?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.5.如图,抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A(﹣1,0)、C(0,﹣3)两点,与x轴交于另一点B.(1)求此抛物线的解析式;(2)已知点D(m,﹣m﹣1)在第四象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点D'的坐标.(3)在(2)的条件下,连接BD,问在x轴上是否存在点P,使∠PCB=∠CBD?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C(0,2),交x轴于点A、B(A点在B点左侧),顶点为D.(1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标;(2)将△ABC沿直线BC对折,点A的对称点为A′,试求A′的坐标;(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B,与直线AC:y=﹣x﹣6交y轴于点C,点D是抛物线的顶点,且横坐标为﹣2.(1)求出抛物线的解析式.(2)判断△ACD的形状,并说明理由.(3)直线AD交y轴于点F,在线段AD上是否存在一点P,使∠ADC=∠PCF?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,说明理由.8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A(,0)和点B(1,),与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)点D在对称轴的右侧,x轴上方的抛物线上,且∠BDA=∠DAC,求点D的坐标;(3)在(2)的条件下,连接BD,交抛物线对称轴于点E,连接AE.①判断四边形OAEB的形状,并说明理由;②点F是OB的中点,点M是直线BD的一个动点,且点M与点B不重合,当∠BMF=∠MFO时,请直接写出线段BM的长.9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx与x轴交于点A,顶点B的坐标为(﹣2,﹣2).(1)求a,b的值;(2)在y轴正半轴上取点C(0,4),在点A左侧抛物线上有一点P,连接PB交x轴于点D,连接CB交x 轴于点F,当CB平分∠DCO时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,连接PC,在PB上有一点E,连接EC,若∠ECB=∠PDC,求点E的坐标.10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B,抛物线y=x2+bx+c 经过点A、B,点P为第四象限内抛物线上的一个动点.(1)求此抛物线对应的函数表达式;(2)如图1所示,过点P作PM∥y轴,分别交直线AB、x轴于点C、D,若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似,求点P的坐标;(3)如图2所示,过点P作PQ⊥AB于点Q,连接PB,当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时,请直接写出点P的横坐标.11.如图,直线y=x+c与x轴交于点B(4,0),与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c经过点B,C,与x轴的另一个交点为点A.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点,求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标;(3)若点M是抛物线上一点,请直接写出使∠MBC=∠ABC的点M的坐标.12.如图,二次函数y=ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C直线y=﹣x+4经过点B、C.(1)求抛物线的表达式;(2)过点A的直线交抛物线于点M,交直线BC于点N.①点N位于x轴上方时,是否存在这样的点M,使得AM:NM=5:3?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时,请求出点M的横坐标.13.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;(3)在直线x=﹣2上是否存在点M,使得∠MAC=2∠MCA,若存在,求出M点坐标.若不存在,说明理由.14.在平面直角坐标系中,直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.(1)求二次函数的表达式;(2)如图1,连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值;(3)如图2,过点D作DM⊥BC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍?若存在,直接写出点D的横坐标;若不存在,请说明理由.15.如图,抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=3.(1)求该抛物线的函数解析式.(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD.OD交BC于点F,当S△COF:S△CDF=3:2时,求点D的坐标.(3)如图2,点E的坐标为(0,),点P是抛物线上的点,连接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在点P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.16.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式;(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点,①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S1,△BCE的面积为S2,求的最大值;②过点D作DF⊥AC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.17.二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒.(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;(2)连接BD,当t=时,求△DNB的面积;(3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标;(4)当t=时,在直线MN上存在一点Q,使得∠AQC+∠OAC=90°,求点Q的坐标.18.如图,抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=3.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD,OD交BC于点F,当S△COF:S△CDF=3:2时,求点D的坐标.(3)如图2,点E的坐标为(0,),在抛物线上是否存在点P,使∠OBP=2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.19.如图1,抛物线y=x2﹣(m﹣1)x﹣m(m>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=3OA.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)动点D在线段BC下方的抛物线上.①连接AC、BC,过点D作x轴的垂线,垂足为E,交BC于点F.过点F作FG⊥AC,垂足为G.设点D的横坐标为t,线段FG的长为d,用含t的代数式表示d;②过点D作DH⊥BC,垂足为H,连接CD.是否存在点D,使得△CDH中的一个角恰好等于∠ABC的2倍?如果存在,求出点D的横坐标;如果不存在,请说明理由.1.如图,已知点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(1)求抛物线解析式;(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将C(0,1)代入求得a的值即可;(2)过点P作PD⊥x,交BC与点D,先求得直线BC的解析式为y=﹣x+1,设点P(x,﹣x2+x+1),则D(x,﹣x+1),然后可得到PD与x之间的关系式,接下来,依据△PBC的面积为1列方程求解即可;(3)首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°,设△ABC外接圆圆心为M,则∠CMB=90°,设⊙M的半径为x,则Rt△CMB中,依据勾股定理可求得⊙M的半径,然后依据外心的性质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点,从而可求得点M的坐标,然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标.【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣3),将C(0,1)代入得﹣3a=1,解得:a=﹣,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1.(2)过点P作PD⊥x,交BC与点D.设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得:k=﹣,∴直线BC的解析式为y=﹣x+1.设点P(x,﹣x2+x+1),则D(x,﹣x+1)∴PD=(﹣x2+x+1)﹣(﹣x+1)=﹣x2+x,∴S△PBC=OB•DP=×3×(﹣x2+x)=﹣x2+x.又∵S△PBC=1,∴﹣x2+x=1,整理得:x2﹣3x+2=0,解得:x=1或x=2,∴点P的坐标为(1,)或(2,1).(3)存在.∵A(﹣1,0),C(0,1),∴OC=OA=1∴∠BAC=45°.∵∠BQC=∠BAC=45°,∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点.设△ABC外接圆圆心为M,则∠CMB=90°.设⊙M的半径为x,则Rt△CMB中,由勾股定理可知CM2+BM2=BC2,即2x2=10,解得:x=(负值已舍去),∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x,AB的垂直平分线为直线x=1,∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点,即M(1,﹣1),∴Q的坐标为(1,﹣1﹣).【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质,求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键.2.如图,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P,连接PB,得△PCB≌△BOA(O为坐标原点).若抛物线与x轴正半轴交点为点F,设M是点C,F间抛物线上的一点(包括端点),其横坐标为m.(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式;(2)当m为何值时,△MAB面积S取得最小值和最大值?请说明理由;(3)求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标.【分析】(1)代入y=c可求出点C、P的坐标,利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标,再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值,进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式;(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标,过点M作ME∥y轴,交直线AB于点E,由点M的横坐标可得出点M、E的坐标,进而可得出ME的长度,再利用三角形的面积公式可找出S=﹣(m﹣3)2+5,由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S的最大值及最小值;(3)分两种情况考虑:①当点M在线段OP上方时,由CP∥x轴利用平行线的性质可得出:当点C、M重合时,∠MPO=∠POA,由此可找出点M的坐标;②当点M在线段OP下方时,在x正半轴取点D,连接DP,使得DO=DP,此时∠DPO=∠POA,设点D的坐标为(n,0),则DO=n,DP=,由DO=DP 可求出n的值,进而可得出点D的坐标,由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式,再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组,通过解方程组求出点M的坐标.综上此题得解.【解答】解:(1)当y=c时,有c=﹣x2+bx+c,解得:x1=0,x2=b,∴点C的坐标为(0,c),点P的坐标为(b,c).∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,3),∴OB=3,OA=1,BC=c﹣3,CP=b.∵△PCB≌△BOA,∴BC=OA,CP=OB,∴b=3,c=4,∴点P的坐标为(3,4),抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4.(2)当y=0时,有﹣x2+3x+4=0,解得:x1=﹣1,x2=4,∴点F的坐标为(4,0).过点M作ME∥y轴,交直线AB于点E,如图1所示.∵点M的横坐标为m(0≤m≤4),∴点M的坐标为(m,﹣m2+3m+4),点E的坐标为(m,﹣3m+3),∴ME=﹣m2+3m+4﹣(﹣3m+3)=﹣m2+6m+1,∴S=S梯形OEMB﹣S△OEB﹣S△AEM=OA•ME=﹣m2+3m+=﹣(m﹣3)2+5.∵﹣<0,0≤m≤4,∴当m=0时,S取最小值,最小值为;当m=3时,S取最大值,最大值为5.(3)①当点M在线段OP上方时,∵CP∥x轴,∴当点C、M重合时,∠MPO=∠POA,∴点M的坐标为(0,4);②当点M在线段OP下方时,在x正半轴取点D,连接DP,使得DO=DP,此时∠DPO=∠POA.设点D的坐标为(n,0),则DO=n,DP=,∴n2=(n﹣3)2+16,解得:n=,∴点D的坐标为(,0).设直线PD的解析式为y=kx+a(k≠0),将P(3,4)、D(,0)代入y=kx+a,,解得:,∴直线PD的解析式为y=﹣x+.联立直线PD及抛物线的解析式成方程组,得:,解得:,.∴点M的坐标为(,).综上所述:满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为(0,4)或(,).【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次(二次)函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质,解题的关键是:(1)利用全等三角形的性质求出b、c的值;(2)利用三角形的面积公式找出S=﹣(m﹣3)2+5;(3)分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种情况求出点M的坐标.3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为(1,﹣),且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C 点,A点的坐标为(4,0).P点是抛物线上的一个动点,且横坐标为m.(l)求抛物线所对应的二次函数的表达式;(2)若动点P满足∠PAO不大于45°,求P点的横坐标m的取值范围;(3)当P点的横坐标m<0时,过P点作y轴的垂线PQ,垂足为Q.问:是否存在P点,使∠QPO=∠BCO?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)根据函数值相等的点关于对称轴对称,可得B点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式;。
中考数学与抛物线有关的中考压轴题
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与抛物线有关的中考压轴题一、(2009江津市)如图,抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3,0)两点, (1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y 轴与C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得△QAC 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ,使△PBC 的面积最大?,若存在,求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有,请说明理由.解析:(1)将A(1,0),B(-3,0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩=……………………(2分) ∴23b c =-⎧⎨=⎩……………………(3分)∴抛物线解析式为:223y x x =--+…………………… (4分)(2)存在…………………………………………………………………………(5分) 理由如下:由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点, 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+ ∴C 的坐标为:(0,3)直线BC 解析式为:3y x =+……………………………………(6分)Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩ABC∴Q(-1,2)…………………………………………………………………(7分)(3)答:存在。
…………………………………………………………………(8分)理由如下:设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<,∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形若BPCO S 四边形有最大值,则BPC S ∆就最大,∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形=……………………………………………(9分)11()22BE PE OE PE OC =⋅++ =2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++=233927()2228x -+++当32x =-时,BPCO S 四边形最大值=92728+∴BPC S ∆最大=9279272828+-=………………………………………(10分) 当32x =-时,215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-,………………………………………(11分)二、(2009某某)如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB .(1)求点B 的坐标;(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由.解析:(1)B (1(2)设抛物线的解析式为y =ax (x+a ),代入点B (,得a =,因此2y =+ (3)如图,抛物线的对称轴是直线x =—1,当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时,△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得因此直线AB 为y x =, 当x =-1时,y =, 因此点C 的坐标为(-1.(4)如图,过P 作y 轴的平行线交AB 于D . 2221()()213212PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎫=+⎪⎝⎭当x =-12时,△PAB ,此时1,2P ⎛- ⎝⎭. 三 、(2007某某某某).已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中点B 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,线段OB 、OC 的长(OB <OC )是方程x 2-10x +16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x =-2. (1)求A 、B 、C 三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式;(3)连接AC 、BC ,若点E 是线段AB 上的一个动点 (与点A 、点B 不重合),过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ,连接CE ,设AE 的长为m ,△CEF 的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式,并写出自变量m 的取值X 围;(4)在(3)的基础上试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出S 的最大值,并求出此时点E 的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由. 解析(1)点B (2,0),点C (0,8),点A (-6,0),(2)抛物线的表达式为y =-23x 2-83x +8 ,(3)由EF AC =BE AB ,因为AC=2268+=10,BE=8-m ,AB=8.所以EF =40-5m4.作FG ⊥AB ,垂足为G ,则sin ∠FEG=sin ∠CAB=54108=.所以在Rt △EGF 中, FG =EF ·sin ∠FEG=45·40-5m4=8-m ,所以S =BFE BCE S S ∆∆-=()8821⨯-m -()()m m --8821=-12m 2+4m , m 的取值X 围是0<m <8 (4)存在.因为S =-12m 2+4m ,又a=21-<0,当m=ab2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-2124=4时,a4b ac 42-=最大S =8.因为m=4,所以点E 的坐标为(-2,0),△BCE 为等腰三角形.四(2006·某某市)施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM 为12米.现以O 点为原点,OM 所在直线为X 轴建立直角坐标系(如图所示). (1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标; (2)求出这条抛物线的函数解析式;(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ,使A 、D 点在抛物线上,B 、C 点在地面OM 上.为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和....的最大值是多少?请你帮施工队计算一下.解:⑴()()12,0,6,6M P⑵(法1)设这条抛物线的函数解析式 为:()266y a x =-+ ∵抛物线过O(0,0) ∴06)60(2=+-a 解得16a =-∴这条抛物线的函数解析式为:()21666y x =--+ 即2126y x x =-+. (法2)设这条抛物线的函数解析式 为:c bx ax y ++=2∵抛物线过O(0,0),()()12,0,6,6M P 三点,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=+⋅+⋅=01212666022c b a c b a c 解得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=0261c b a ∴这条抛物线的函数解析式为:2126y x x =-+.⑶设点A 的坐标为21,26m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴OB=m ,AB=DC=m m 2612+-根据抛物线的轴对称,可得:OB CM m == ∴122BC m =- 即AD=12-2m ∴l =AB+AD+DC=m m m m m 26121226122+--++-=122312++-m m =15)3(312+--m∴当m=3,即OB=3米时,三根木杆长度之和l的最大值为15米.。
(已整理)中考数学必刷压轴题专题:抛物线之矩形(含解析)
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中考数学抛物线压轴题之矩形(1)如图1,点P为抛物线上位于x轴下方一点,连接PB,PD,当S△PBD最大时,连接AP,以PB为边向上作正△BPQ,连接AQ,点M与点N为直线AQ上的两点,MN=2且点N位于M点下方,连接DN,求DN+MN+AM的最小值(2)如图2,在第(1)问的条件下,点C关于x轴的对称点为E,将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′,将抛物线y=沿着射线PA方向平移,使得平移后的抛物线C′经过点E,此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F,连接E′F,B′F,R为线段E’F上的一点,连接B′R,将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT,在平面内找一个点S,使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形,求点S的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=2OA.(1)试求抛物线的解析式;(2)直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m=,试求m 的最大值及此时点P的坐标;(3)在(2)的条件下,点Q是x轴上的一个动点,点N是坐标平面内的一点,是否存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形?如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.3.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,抛物线y=a(x+3)(x﹣1)(a>0)与x轴交于A,B 两点(点A在点B的左侧).(1)求点A与点B的坐标;(2)若a=,点M是抛物线上一动点,若满足∠MAO不大于45°,求点M的横坐标m的取值范围.(3)经过点B的直线l:y=kx+b与y轴正半轴交于点C.与抛物线的另一个交点为点D,且CD=4BC.若点P在抛物线对称轴上,点Q在抛物线上,以点B,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.4.如图,一次函数y=x+3与坐标轴交于A、C两点,过A、C两点的抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于另一点B抛物线顶点为E,连接AE.(1)求该抛物线的函数表达式及顶点E坐标;(2)点P是线段AE上的一动点,过点P作PF平行于y轴交AC于点F,连接EF,求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标;(3)若点M为坐标轴上一点,点N为平面内任意一点,是否存在这样的点,使A、E、M、N为顶点的四边形是以AE为对角线的矩形?如果存在,请直接写出N点坐标;若不存在,请说明理由.5.如图1,抛物线y=﹣x2+x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线AE:y=x﹣与抛物线相交于另一点E,点D为抛物线的顶点.(1)求直线BC的解析式及点E的坐标;(2)如图2,直线AE上方的抛物线上有一点P,过点P作PF⊥BC于点F,过点P作平行于y轴的直线交直线BC于点G,当△PFG周长最大时,在y轴上找一点M,在AE上找一点N,使得PM+MN+NE值最小,请求出此时N点的坐标及PM+MN+NE的最小值;(3)在第(2)问的条件下,点R为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点N,E,R,S为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点S的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图:在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣与x轴交于点A,经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=.(1)求抛物线的解析式;(2)平移直线l经过原点O,得到直线m,点P是直线m上任意一点,PB⊥x轴于点B,PC⊥y轴于点C,若点E在线段OB上,点F在线段OC的延长线上,连接PE,PF,且PF=3PE.求证:PE⊥PF;(3)若(2)中的点P坐标为(6,2),点E是x轴上的点,点F是y轴上的点,当PE⊥PF时,抛物线上是否存在点Q,使四边形PEQF是矩形?如果存在,请求出点Q的坐标,如果不存在,请说明理由.7.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB:y=﹣x+相交于点A(1,0)和B(t,),直线AB交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)点D是x轴上的一个动点,连接BD、CD,请问△BCD的周长是否存在最小值?若存在,请求出点D的坐标,并求出周长最小值;若不存在,请说明理由.(3)设点M是抛物线对称轴上一点,点N在抛物线上,以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形?若能,请求出点M的坐标,若不能,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=kx+h与x轴相交于点A(﹣1,0),与y轴相交于点C,与抛物线y=﹣x2+bx+3的一交点为点D,抛物线过x轴上的AB两点,且CD=4AC.(1)求直线l和抛物线的解析式;(2)点E是直线l上方抛物线上的一动点,求当△ADE面积最大时,点E的坐标;(3)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,四边形APDQ能否为矩形?若能,请直接写出点P 的坐标;若不能,请说明理由.9.如图,抛物线y=x2+hx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;(2)点P是线段BD上一点,当PE=PC时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,过点P作PF⊥x轴于点F,G为抛物上点,M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,当以F、M、N、G为顶点的四边形是矩形,且MG=2FM时,请求出点M的坐标.10.如图,已知二次函数y=m2x2﹣2mx﹣3(m是常数,m>0)的图象与x轴分别相交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴为直线l.点C关于l的对称点为D,连接AD.点E为该函数图象上一点,AB平分∠DAE.(1)①线段AB的长为.②求点E的坐标;(①、②中的结论均用含m的代数式表示)(2)设M是该函数图象上一点,点N在l上.探索:是否存在点M.使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形?如果存在,求出点M坐标;如果不存在,说明理由.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点B 的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示);(2)点E是直线l上方的抛物线上的一点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;(3)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.12.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D和点C 关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴交于点E.(1)求直线AD的解析式;(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求△FGH周长的最大值;(3)点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,以A,M,P,Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形.若点T和点Q关于AM所在直线对称,求点T的坐标.13.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y 轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC=AC,连接OA,OB,BD 和AD.(1)若点A的坐标是(﹣4,4).①求b,c的值;②试判断四边形AOBD的形状,并说明理由;(2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形?若存在,请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在,请说明理由.14.如图,已知二次函数的图象过点A(0,﹣3),B(,),对称轴为直线x=﹣,点P是抛物线上的一动点,过点P分别作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,在四边形PMON上分别截取PC=MP,MD=OM,OE=ON,NF=NP.(1)求此二次函数的解析式;(2)求证:以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形;(3)在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形?若存在,请求出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.15.如图,已知抛物线经过A(1,0),B(0,3)两点,对称轴是x=﹣1.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)动点Q从点O出发,以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动,同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.①当t为何值时,四边形OMPQ为矩形;②△AON能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=2OA.(1)试求抛物线的解析式;(2)直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m=,试求m 的最大值及此时点P的坐标;(3)在(2)的条件下,点Q是x轴上的一个动点,点N是坐标平面内的一点,是否存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形?如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.17.如图,在平面直角标系中,抛物线C:y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D为y轴正半轴上一点.且满足OD=OC,连接BD,(1)如图1,点P为抛物线上位于x轴下方一点,连接PB,PD,当S△PBD最大时,连接AP,以PB为边向上作正△BPQ,连接AQ,点M与点N为直线AQ上的两点,MN=2且点N位于M点下方,连接DN,求DN+MN+AM的最小值(2)如图2,在第(1)问的条件下,点C关于x轴的对称点为E,将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′,将抛物线y=沿着射线PA方向平移,使得平移后的抛物线C′经过点E,此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F,连接E′F,B′F,R为线段E’F上的一点,连接B′R,将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT,在平面内找一个点S,使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形,求点S的坐标.1.【解答】解:(1)如图1,过点D作DD'∥MN,且DD'=MN=2,连接D'M;过点D'作D'J⊥y轴于点J;作直线AP,过点M作MH⊥AP于点H,过点D'作D'K⊥AP于点K∵y==0解得:x1=﹣3,x2=1∴A(﹣3,0),B(1,0)∵x=0时,y==﹣∴C(0,﹣),OC=∴OD=OC=,D(0,)设P(t,t2+t﹣)(﹣3<t<1)设直线PB解析式为y=kx+b,与y轴交于点G∴解得:∴直线PB:y=(t+)x﹣t﹣,G(0,﹣t﹣)∴DG=﹣(﹣t﹣)=t+∴S△BPD=S△BDG+S△PDG=DG•x B+DG•|x P|=DG•(x B﹣x P)=(t+)(1﹣t)=﹣(t2+4t﹣5)∴t=﹣=﹣2时,S△BPD最大∴P(﹣2,﹣),直线PB解析式为y=x﹣,直线AP解析式为y=﹣x﹣3∴tan∠ABP==∴∠ABP=30°∵△BPQ为等边三角形∴∠PBQ=60°,BP=PQ=BQ∴BA平分∠PBQ∴PQ⊥x轴,PQ与x轴交点I为PQ中点∴Q(﹣2,)∴Rt△AQI中,tan∠QAI=∴∠QAI=∠PAI=60°∴∠MAH=180°﹣∠PAI﹣∠QAI=60°∵MH⊥AP于点H∴Rt△AHM=90°,sin∠MAH=∴MH=AM∵DD'∥MN,DD'=MN=2∴四边形MNDD'是平行四边形∴D'M=DN∴DN+MN+AM=2+D'M+MH∵D'K⊥AP于点K∴当点D'、M、H在同一直线上时,DN+MN+AM=2+D'M+MH=2+D'K最短∵DD'∥MN,D(0,)∴∠D'DJ=30°∴D'J=DD'=1,DJ=DD'=∴D'(1,)∵∠PAI=60°,∠ABP=30°∴∠APB=180°﹣∠PAI﹣∠ABP=90°∴PB∥D'K设直线D'K解析式为y=x+d,把点D'代入得:+d=解得:d=∴直线D'K:y=x+把直线AP与直线D'K解析式联立得:解得:∴K(﹣,)∴D'K=∴DN+MN+AM的最小值为(2)连接B'A、BB'、EA、E'A、EE',如图2∵点C(0,﹣)关于x轴的对称点为E∴E(0,)∴tan∠EAB=∴∠EAB=30°∵抛物线C'由抛物线C平移得到,且经过点E∴设抛物线C'解析式为:y=x2+mx+,∵A(﹣3,0),P(﹣2,﹣),E(0,),B(1,0),∴BE∥PA,BE=PA,∴抛物线C'经过点A(﹣3,0),∴×9﹣3m+=0解得:m=∴抛物线C'解析式为:y=x2+x+∵x2+x+=0,解得:x1=﹣3,x2=﹣1∴F(﹣1,0)∵将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′∴∠BAB'=∠EAE'=60°,AB'=AB=1﹣(﹣3)=4,AE'=AE=∴△ABB'、△AEE'是等边三角形∴∠E'AB=∠E'AE+∠EAB=90°,点B'在AB的垂直平分线上∴E'(﹣3,2),B'(﹣1,2)∴B'E'=2,∠FB'E'=90°,E'F=∴∠B'FE'=30°,∠B'E'F=60°①如图3,点T在E'F上,∠B'TR=90°过点S作SW⊥B'E'于点W,设翻折后点E'的对应点为E'' ∴∠E'B'T=30°,B'T=B'E'=∵△B′E′R翻折得△B'E''R∴∠B'E''R=∠B'E'R=60°,B'E''=B'E'=2∴E''T=B'E''﹣B'T=2﹣∴Rt△RTE''中,RT=E''T=2﹣3∵四边形RTB'S是矩形∴∠SB'T=90°,SB'=RT=2﹣3∴∠SB'W=∠SB'T﹣∠E'B'T=60°∴B'W=SB'=﹣,SW=SB'=3﹣∴x S=x B'﹣B'W=,y S=y B'+SW=3+∴S(,3+)②如图4,点T在E'F上,∠B'RT=90°过点S作SX⊥B'F于点X∴E'R=B'E'=1,点E'翻折后落在E'F上即为点T∴B'S=RT=E'R=1∵∠SB'X=90°﹣∠RB'F=30°∴XS=B'S=,B'X=B'S=∴x S=x B'+XS=﹣,y S=y B'﹣B'X=∴S(﹣,)③如图5,点T在B'F上,∠B'TR=90°∴RE''∥E'B',∠E''=∠B'E'R=60°∴∠E'BE''=∠E'RE''=120°∴四边形B'E'RE''是平行四边形∵E'R=E''R∴▱B'E'RE''是菱形∴B'E'=E'R∴△B'E'R是等边三角形∵∠B'SR=90°,即RS⊥B'E'∴点S为B'E'中点∴S(﹣2,2)综上所述,使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为(,3+)或(﹣,)或(﹣2,2).2.【解答】解:(1)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2,0)、B(4,0)两点,所以可以假设y=a(x+2)(x﹣4),∵OC=2OA,OA=2,∴C(0,4),代入抛物线的解析式得到a=﹣,∴y=﹣(x+2)(x﹣4)或y=﹣x2+x+4或y=﹣(x﹣1)2+.(2)如图1中,由题意,点P在y轴的右侧,作PE⊥x轴于E,交BC于F.∵CD∥PE,∴△CMD∽△FMP,∴m==,∵直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,则D(0,1),∵BC的解析式为y=﹣x+4,设P(n,﹣n2+n+4),则F(n,﹣n+4),∴PF=﹣n2+n+4﹣(﹣n+4)=﹣(n﹣2)2+2,∴m==﹣(n﹣2)2+,∵﹣<0,∴当n=2时,m有最大值,最大值为,此时P(2,4).(3)存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形.①当DP是矩形的边时,有两种情形,a、如图2﹣1中,四边形DQNP是矩形时,有(2)可知P(2,4),代入y=kx+1中,得到k=,∴直线DP的解析式为y=x+1,可得D(0,1),E(﹣,0),由△DOE∽△QOD可得=,∴OD2=OE•OQ,∴1=•OQ,∴OQ=,∴Q(,0).根据矩形的性质,将点P向右平移个单位,向下平移1个单位得到点N,∴N(2+,4﹣1),即N(,3)b、如图2﹣2中,四边形PDNQ是矩形时,∵直线PD的解析式为y=x+1,PQ⊥PD,∴直线PQ的解析式为y=﹣x+,∴Q(8,0),根据矩形的性质可知,将点D向右平移6个单位,向下平移4个单位得到点N,∴N(0+6,1﹣4),即N(6,﹣3).②当DP是对角线时,设Q(x,0),则QD2=x2+1,QP2=(x﹣2)2+42,PD2=13,∵Q是直角顶点,∴QD2+QP2=PD2,∴x2+1+(x﹣2)2+16=13,整理得x2﹣2x+4=0,方程无解,此种情形不存在,综上所述,满足条件的点N坐标为(,3)或(6,﹣3).3.【解答】解:(1)y=a(x+3)(x﹣1),令y=0,则x=1或﹣3,故点A、B的坐标分别为:(﹣3,0)、(1,0);(2)抛物线的表达式为:y=(x+3)(x﹣1)…①,当∠MAO=45°时,如图所示,则直线AM的表达式为:y=x…②,联立①②并解得:m=x=4或﹣3(舍去﹣3),故点M(4,7);②∠M′AO=45°时同理可得:点M(﹣2,﹣1);故:﹣2≤m≤4;(3)①当BD是矩形的对角线时,如图2所示,过点Q作x轴的平行线EF,过点B作BE⊥EF,过点D作DF⊥EF,抛物线的表达式为:y=ax2+2ax﹣3a,函数的对称轴为:x=﹣1,抛物线点A、B的坐标分别为:(﹣3,0)、(1,0),则点P的横坐标为:﹣1,OB=1,而CD=4BC,则点D的横坐标为:﹣4,故点D(﹣4,5a),即HD=5a,线段BD的中点K的横坐标为:=﹣,则点Q的横坐标为:﹣2,则点Q(﹣2,﹣3a),则HF=BE =3a,∵∠DQF+∠BQE=90°,∠BQE+∠QBE=90°,∴∠QBE=∠DQF,∴△DFQ∽△QEB,则,,解得:a=(舍去负值),同理△PGB≌△DFQ(AAS),∴PG=DF=8a=4,故点P(﹣1,4);②如图3,当BD是矩形的边时,作DI⊥x轴,QN⊥x轴,过点P作PL⊥DI于点L,同理△PLD≌△BNQ(AAS),∴BN=PL=3,∴点Q的横坐标为4,则点Q(4,21a),则QN=DL=21a,同理△PLD∽△DIB,∴,即,解得:a=(舍去负值),LI=26a=,故点P(﹣1,),;综上,点P的坐标为:P(﹣1,4)或(﹣1,).4.【解答】解:(1)一次函数y=x+3与坐标轴交于A、C两点,则点A、C的坐标为(﹣3,0)、(0,3),将点A、C的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3,顶点E(﹣1,4);(2)将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得:直线AE的表达式为:y=2x+6,设点P(x,2x+6),则点F(x,x+3),S△PEF=PF×(x E﹣x)=×(2x+6﹣x﹣3)(﹣1﹣x)=﹣(x+3)(x+1),当x=﹣2时,S△PEF有最大值为,此时点P(﹣2,2);(3)点A、E的坐标分别为(﹣3,0)、(﹣1,4),AE2=20,①当点M(m,0)在x轴上时,设点N(s,t),则AE=MN,且AE中点坐标为MN中点坐标,即:,解得:,故点N(﹣3,4);②当点M在y轴上时,同理可得:点N(﹣4,3)或(﹣4,1);综上,点N坐标为:N(﹣3,4)或(﹣4,3)或(﹣4,1).5.【解答】解:(1)当y=0时,,解得x1=1,x2=4 所以点A(1,0),B(4,0)设BC直线解析式为y=kx+b,将B、C坐标代入得,解得所以直线BC的解析式为联立方程,解得,∴点E坐标为()(2)设P(),G()PG=()﹣()=﹣当△PFG周长最大时,线段PG最长<0,所以PG有最大值当m=2时,PG最大,P点坐标为(2,)如图,作P点关于y轴的对称点P',在AE下方作∠AEQ=30°,过点p'作P'Q⊥EQ,垂足为Q,P'Q交x轴于S,交AE于N,作P'T⊥x轴,垂足为T,ER⊥x轴,垂足为R则P'Q=PM+MN+NE由题意可知,P'(﹣2,),∠P'ST=60°在Rt△P'ST中,tan∠p'ST==∴TS=3∴S点坐标为(1,0)设P'S直线解析式为y=kx+b将P'、S坐标代入得,解得所以P'S直线解析式y=+在Rt△EHR中tan∠EHR==∴HR=∴H(,0)∴SH=∴SQ=∵P'S=∴P'Q=所以PM+MN+NE的最小值为.点N坐标为(1,0)(3)如图所示,设R1的纵坐标长度为m当NE为矩形对角线时可证△NA1R1∽△R1ZE,∴=∴=解得m1=﹣,m2=﹣﹣(舍去)∴R1的坐标为(,﹣+)可证△NB1S1≌△EZR1∴S1坐标为(,+)同理S2坐标为(,﹣)当NE为矩形的一边时,如图可证△S3HN≌△R3FE≌△R3GE在Rt△R3GE中,GE=,由三角函数可得EF=∴HN=,S3H=∴S3坐标为(,)同理可得S4坐标为(,﹣)6.【解答】解:(1)当y=0时,x﹣=0,解得x=4,即A(4,0),抛物线过点A,对称轴是x=,得,解得,抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4;(2)∵平移直线l经过原点O,得到直线m,∴直线m的解析式为y=x.∵点P是直线m上任意一点,∴设P(3a,a),则PC=|3a|,PB=|a|.又∵PF=3PE,设PB=n,PC=3n,PE=m,PF=3m,则CF==3,BE=,∴===3,∵∠PCF=∠PBE=90°,∴△PCF∽△PBE,∴∠FPC=∠EPB.∵∠CPE+∠EPB=90°,∴∠FPC+∠CPE=90°,∴FP⊥PE.(3)如图所示,点E在点B的左侧时,设E(a,0),则BE=6﹣a.∵CF=3BE=18﹣3a,∴OF=20﹣3a.∴F(0,20﹣3a).∵PEQF为矩形,∴=,=,∴Q x+6=0+a,Q y+2=20﹣3a+0,∴Q x=a﹣6,Q y=18﹣3a.将点Q的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=4或a=8(舍去).∴Q(﹣2,6).如下图所示:当点E在点B的右侧时,设E(a,0),则BE=a﹣6.∵CF=3BE=3a﹣18,∴OF=3a﹣20.∴F(0,20﹣3a).∵PEQF为矩形,∴=,=,∴Q x+6=0+a,Q y+2=20﹣3a+0,∴Q x=a﹣6,Q y=18﹣3a.将点Q的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=8或a=4(舍去).∴Q(2,﹣6).综上所述,点Q的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6).7.【解答】解:(1)对于y=﹣x+,令y=得x=﹣4,∴B(﹣4,).分别把A(1,0)和B(﹣4,)代入y=x2+bx+c,得解得,则该抛物线解析式为:y=x2+x﹣,∵﹣=﹣1,∴对称轴为直线x=﹣1;(2)直线AB:y=﹣x+相交于点C(0,),作点C关于x轴的对称点C′,则C′(0,﹣),连接BC′交x轴于点D,根据“两点之间线段最短”可得BD+CD的和最小,从而△BCD的周长也最小,∵B(﹣4,),C′(0,﹣),∴直线BC′的解析式为y=﹣x﹣.令y=0,可得x=﹣,∴D(﹣,0),∴当△BCD的周长最小时,点D的坐标为(﹣,0),最小周长=BC+BC′=+=5+2;(3)①若AB为四边形的边长,作AE⊥AB,交y轴于点E,又OA⊥CE,∴△AOC∽△EOA,∴OE=2OA=2,∴E(0,﹣2)∴直线AE为y=2x﹣2,令2x﹣2=x2+x﹣,解得x1=x2=1,∴直线AE与抛物线只有一个交点为A,∴不存在满足题意的矩形;②若AB为四边形的对角线,当四边形是平行四边形时,对角线互相平分,有x A+x B=x M+x N,即:1+(﹣4)=﹣1+x N,解得x N=﹣2.把x N=﹣2代入y=x2+x﹣,得y N=﹣,由y A+y B=y M+y N得:y M=4,∴M(﹣1,4),N(﹣2,﹣),此时MN==,AB==,∴MN=AB,∴平行四边形AMBN为矩形,综上,能为矩形,M(﹣1,4).8.【解答】解:(1)将A(﹣1,0)代入y=﹣x2+bx+3,得b=2,所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,过点D作DF⊥x轴于点F,如图1易证△AOC∽△AFD,∴,∵CD=4AC,∴=,∴点D横坐标为4,把x=4代入y=﹣x2+2x+3,得y=﹣5,∴D(4,﹣5),把x=4,y=﹣5;x=﹣1,y=0代入y=kx+h,解得,k=﹣1,h=﹣1,∴直线l的解析式为y=﹣x﹣1.(2)过点E作EM⊥x轴,交AD于点M,如图2设点E(m,﹣m2+2m+3),则M(m,﹣m﹣1),∴EM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m﹣1)═﹣m2+3m+4,∴S△ADE=(﹣m2+3m+4)=,当m=时,△ADE的面积最大,此时,E(,).(3)不存在理由如下:∵抛物线的对称轴为直线x=1,设P(1,m),如图4,则易得Q(2,3),m=﹣5a﹣3=﹣8,则P(1,﹣8),PQ2=12+112=122,PD2=32+32=18QD2=22+82=68,∴PD2+QD2≠PQ2,∴∠PDQ≠90°,此时平行四边形ADPQ不是矩形,9.【解答】解:(1)抛物线y=x2+hx+c,即:a=1,抛物线过A(﹣1,0),B(3,0)两点,则抛物线的表达式为:y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3;(2)点C(0,﹣3),函数的对称轴为:x=1,故点E(1,0),点D(1,﹣4),将点BD代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线BD的表达式为:y=2x﹣6,设点P(m,2m﹣6),PE=PC时,则:m2+(2m﹣6+3)2=(m﹣1)2+(2m﹣6)2,解得:m=2,故点P(2,﹣2);(3)设点M的坐标为(a,0),则点G的坐标为(a,﹣a2+2a+3),∵以F、M、N、G为顶点的四边形是矩形,∴MG=2FM时,|a2﹣2a﹣3|=2|a﹣2|,解得:a=或2,故点M的坐标为:(2,0)或(2﹣,0)或(,0)或(﹣,0).10.【解答】解:(1)①令y=0,则(mx﹣3)(mx+1)=0,∴x=﹣或x=,∴A(﹣,0),B(,0),∴AB=,。
(已整理)中考数学必刷压轴题专题:抛物线之基础面积问题(含解析)
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中考数学抛物线压轴题之面积问题(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为抛物线上第四象限内一动点,顺次连接AC,CM,MB,是否存在点M,使四边形MBAC的面积为9,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.(3)将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点,过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E,且D在N的上方,将A点绕O顺时针旋转90°得M,若∠NBD=∠MBO,试求E的的坐标.2.已知:如图,直线y=﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点,抛物线y=x2+bx+c过A、C两点,(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为抛物线位于第三象限上一动点,连接PA,PC,试问△PAC的面积是否存在最大值,若存在,请求出△APC面积的最大值,以及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点M为抛物线上一点,点N为抛物线对称轴上一点,若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形,请直接写出点M的坐标.3.如图1,二次函数y=﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C点,连结AC,过点C作CD⊥AC交AB于点D.(1)求点D的坐标;(2)如图2,已知点E是该二次函数图象的顶点,在线段AO上取一点F,过点F作FH⊥CD,交该二次函数的图象于点H(点H在点E的右侧),当五边形FCEHB的面积最大时,求点H的横坐标;(3)如图3,在直线BC上取一点M(不与点B重合),在直线CD的右上方是否存在这样的点N,使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.4.如图,在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c经过原点,且与直线y=﹣kx+6交于则A(6,3)、B(﹣4,8)两点.(1)求直线和抛物线的解析式;(2)点P在抛物线上,解决下列问题:①在直线AB下方的抛物线上求点P,使得△PAB的面积等于20;②连接OA,OB,OP,作PC⊥x轴于点C,若△POC和△ABO相似,请直接写出点P的坐标.5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(4,0),B两点,与y轴交于点C(0,2),对称轴x=1,与x轴交于点H.(1)求抛物线的函数表达式;(2)直线y=kx+1(k≠0)与y轴交于点E,与抛物线交于点P,Q(点P在y轴左侧,点Q在y轴右侧),连接CP,CQ,若△CPQ的面积为,求点P,Q的坐标;(3)在(2)的条件下,连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将线段GK绕点G顺时针旋转90°,使点K恰好落在抛物线上?若存在,请直接写出点K的坐标;若不存在,请说明理由.6.在平面直角坐标系中,直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A、B.(1)求c的值及a、b满足的关系式;(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围;(3)如图,当a=﹣1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为?若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(4,0),B两点,与y轴交于点C(0,2),对称轴x=与x轴交于点H.(1)求抛物线的函数表达式;(2)直线y=kx+1(k≠0)与y轴交于点E,与抛物线交于点 P,Q(点P在y轴左侧,点Q在y轴右侧),连接CP,CQ,若△CPQ的面积为,求点P,Q的坐标;(3)在(2)的条件下,连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将线段GK绕点G逆时针旋转90°,使点K恰好落在抛物线上,若存在,请直接写出点K的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C(0,3),点B在x轴的负半轴上,且OA=3OB.(1)求抛物线的函数关系式;(2)若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点,求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标;(3)在线段OC上是否存在一点M,使BM+CM的值最小?若存在,请求出这个最小值及对应的M点的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求此抛物线的解析式;(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一动点(不点B,C重合),过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PD的长.②连接PB,PC,求△PBC的面积最大时点P的坐标.(3)设抛物线的对称轴与BC交于点E,点M是抛物线的对称轴上一点,N为y轴上一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形?如果存在,请直接写出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.10.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B 三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.①求△BOD面积的最大值,并写出此时点D的坐标;②当△OPC为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.11.如图抛物线y=ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A(﹣6,0)和点B(2,0),与y轴交于点C,点P 是抛物线上一个动点(不与点C重合)(1)求抛物线的解析式;(2)当点P是抛物线上一个动点,若△PCA的面积为12,求点P的坐标;(3)如图2,抛物线的顶点为D,在抛物线上是否存在点E,使得∠EAB=2∠DAC,若存在请直接写出点E 的坐标;若不存在请说明理由.12.如图,直线y=x+c与x轴交于点B(4,0),与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c经过点B,C,与x轴的另一个交点为点A.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点,求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标;(3)若点M是抛物线上一点,请直接写出使∠MBC=∠ABC的点M的坐标.13.综合与探究如图1,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)点N是抛物线上异于点C的动点,若△NAB的面积与△CAB的面积相等,求出点N的坐标;(3)如图2,当P为OB的中点时,过点P作PD⊥x轴,交抛物线于点D.连接BD,将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度(0<m≤2),将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S,求S与m的函数关系式.14.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.(1)抛物线及直线AC的函数关系式;(2)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.15.如图,已知关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c(c>0)的图象与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.(1)求出二次函数的关系式;(2)点P为线段MB上的一个动点,过点P作x轴的垂线PD,垂足为D.若OD=m,△PCD的面积为S,求S关于m的函数关系式,并写出m的取值范围;(3)探索线段MB上是否存在点P,使得△PCD为直角三角形?如果存在,求出P的坐标;如果不存在,请说明理由.16.如图,Rt△AOB中,∠A=90°,以O为坐标原点建立直角坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA=2,AB =8,点C为AB边的中点,抛物线的顶点是原点O,且经过C点.(1)填空:直线OC的解析式为;抛物线的解析式为;(2)现将该抛物线沿着线段OC移动,使其顶点M始终在线段OC上(包括端点O、C),抛物线与y轴的交点为D,与AB边的交点为E;①是否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行四边形?如存在,求出此时抛物线的解析式;如不存在,说明理由;②设△BOE的面积为S,求S的取值范围.17.已知抛物线y=﹣x2+bx和直线l:y=x﹣b.(1)求证:抛物线与直线l至少有一个公共点;(2)若抛物线与直线l交于A,B两点,当线段AB上恰有2个纵坐标是整数的点时,求b的取值范围;(3)当b>0时,将直线l向上平移b+1个单位长度得直线l',若抛物线y=﹣x2+bx的顶点P在直线l'上,且与直线l'的另一个交点为Q,当点C在直线l'上方的抛物线上时,求四边形OPCQ面积的最大值.18.如图,在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣2,0)、B(4,0),交y轴于点C(0,﹣3).(1)求抛物线的解析式;(2)动点D在第四象限且在抛物线上,当△BCD面积最大时,求点D坐标,并求△BCD面积的最大值;(3)抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得∠QBC=45°,如果存在,直接写出点Q坐标,不存在,请说明理由.19.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标:(3)在抛物线上存在点P,使得△APB的面积与△ACB的面积相等,求点P的坐标.20.如图,对称轴x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(2,0),B两点,与y轴交于点C(0,﹣2),(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P是直线BC下方的抛物线上的动点,求△BPC的面积的最大值;(3)若点P在抛物线对称轴的左侧运动,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,且PE=OD,求点P的坐标;(4)在对称轴上是否存在一点M,使△AMC的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值;若不存在,请说明理由.21.如图,已知抛物线y=﹣x2+4x+5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)直接写出点A、B、C的坐标;(2)在抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小,求此时点P的坐标;(3)点D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E,连接BD,直线BC把△BDF的面积分成两部分,使S△BDE:S△BEF=2:3,请求出点D的坐标;(4)若M为抛物线对称轴上一动点,使得△MBC为直角三角形,请直接写出点M的坐标.22.如图,抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0)、C(0,3)两点,点B是抛物线与x轴的另一个交点.作直线BC.点P是抛物线上的一个动点.过点P作PQ⊥x轴,交直线BC于点Q.设点P的横坐标为m(m>0).PQ 的长为d.(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标;(2)求d与m之间的函数关系式;(3)当点P在直线BC下方,且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1:2时,求m的值;(4)连接AC,作直线AP,直线AP交直线BC于点M,当△PCM、△ACM的面积相等时,直接写出m的值.23.已知:如图,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A点,与y轴交于C点,且A(1,0)、B(3,0),点D 是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式(2)在y轴上是否存在M点,使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点P为抛物线上的动点,且在对称轴右侧,若△ADP面积为3,求点P的坐标.24.如图,开口向下的抛物线y=ax2﹣5ax+4a(a为常数)与x轴交于A、B两点(A在B点左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,横坐标设为t,连接DC、DB.(1)求A、B的坐标.(2)当点D为抛物线的顶点时,△BCD的面积为15,求抛物线的解析式.(3)若a=﹣1,过点D作x轴的垂线,垂足为H,当1≤t≤4时,DH+mHO的最大值为.求正实数m的值.25.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的关系解析式,x满足什么值时y<0?(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;(3)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.26.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(﹣4,0)和点B(1,0),与y轴交于点C,过点A 的直线y=mx+n交抛物线的另一个点为点E,点E的横坐标为2.(1)求b和c的值;(2)点P在直线AE下方的抛物线上任一点,点P的横坐标为t,过点P作PF∥y轴,交AE于点F,设PF =d,求出d与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围;(3)在(2)问的条件下,过点P作PK⊥AE,垂足为点K,连接PE,若PF把△PKE分成面积比为11:12的两个三角形,求出此时t的值.27.若抛物线上y1=ax2+bx+c,它与y轴交于C(0,4),与x轴交于A(﹣1,0)、B(k,0),P是抛物线上B、C之间的一点.(1)当k=4时,求抛物线的方程,并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标;(2)当a=1时,求抛物线的方程及B的坐标,并求当△BPC面积最大时P的横坐标;(3)根据(1)、(2)推断P的横坐标与B的横坐标有何关系?28.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C,连接AC,BC,将△OBC沿BC所在的直线翻折,得到△DBC,连接OD.(1)用含a的代数式表示点C的坐标.(2)如图1,若点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方,求抛物线的解析式.(3)设△OBD的面积为S1,△OAC的面积为S2,若=,求a的值.29.如图,抛物线y=ax2﹣x﹣2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).(1)求抛物线的解析式;(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.30.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,顶点A、C、D均在坐标轴上,且AB=5,sinB=.(1)求过A、C、D三点的抛物线的解析式;(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c,求当y1<y2时,自变量x的取值范围;(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点,当P点在何处时,△PAE的面积最大?并求出面积的最大值.31.如图,在平面直角坐标系xOy中,AB⊥x轴于点B,AB=3,tan∠AOB=,将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°,得到△OA1B1;再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°,得到△OA2B1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2.(1)求抛物线的解析式.(2)在第三象限内,抛物线上的点P在什么位置时,△PBB1的面积最大?求出这时点P的坐标.(3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB1的距离为?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.32.在平面直角坐标系中,直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A、B.(1)求c的值及a、b满足的关系式;(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围;(3)如图,当a=﹣1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为?若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.33.如图①,在平面直角坐标中,点A的坐标为(1,﹣2),点B的坐标为(3,﹣1),二次函数y=﹣x2的图象为l1.(1)平移抛物线l1,使平移后的抛物线经过点A,但不过点B.①满足此条件的函数解析式有个.②写出向下平移且经点A的解析式.(2)平移抛物线l1,使平移后的抛物线经过A,B两点,所得的抛物线l2,如图②,求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标,并求△ABC的面积.(3)在y轴上是否存在点P,使S△ABC=S△ABP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.34.如图1,关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等?若存在求出点P,若不存在请说明理由;(3)如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2S△FBC=3S△EBC?若存在求出点F的坐标,若不存在请说明理由.35.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O 开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.(1)直接写出抛物线的解析式:;(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大?最大面积是多少?(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.36.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,∠AOC的平分线交AB于点D,E为BC的中点,已知A(0,4)、C(5,0),二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A,C两点.(1)求该二次函数的表达式;(2)F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG,求四边形DEFG周长的最小值;(3)抛物线上是否在点P,使△ODP的面积为12?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.37.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ 存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK:S△PBQ=5:2,求K点坐标.38.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B点重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.(1)求a、b及sin∠ACP的值;(2)设点P的横坐标为m;①用含有m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在,直接写出m的值;若不存在,说明理由.39.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2与直线y=x﹣2交于点A(m,0)和点B(﹣2,n),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)若向下平移抛物线,使顶点D落在x轴上,原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′,若OP′=OP,求点P的坐标;(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB的面积是△ABC面积的一半?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.1.【解答】解:(1)∵A(﹣1,0),∴OA=1,OC=3OA=3,∴C(0,﹣3),将A(﹣1,0)、C(0,﹣3)代入y=x2+mx+n中,得,解得,∴y=x2﹣2x﹣3;(2)存在,理由:令y=0,则x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,∴B(3,0),∴直线BC的解析式为y=x﹣3,设M(m,m2﹣2m﹣3),过点M作MN∥y轴交BC于N,如图1,∴N(m,m﹣3),∴MN=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m,∴S四边形MBAC=S△ABC+S△BCM=AB×OC+MN×OB=×4×3×(﹣m2+3m)×3=9,解得:m=1或2,故点M的坐标为(1,﹣4)或(2,﹣3);(3)∵OB=OC=ON,∴△BON为等腰直角三角形,∵∠OBM+∠NBM=45°,∴∠NBD+∠NBM=∠DBM=45°,∴MB=MF,过点M作MF⊥BM交BE于F,过点F作FH⊥y轴于点H,如图2,∴∠HFM+∠BMO=90°,∵∠BMO+∠OMB=90°,∴∠OMB=∠HFM,∵∠BOM=∠MHF=90°,∴△BOM≌△MHF(AAS),∴FH=OM=1,MH=OB=3,故点F(1,4),由点B、F的坐标得,直线BF的解析式为y=﹣2x+6,联立,解得,∴E(﹣3,12).2.【解答】解:(1)y=﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点,则点A、C的坐标分别为:(﹣3,0)、(0,﹣3);将点A、C的坐标代入抛物线表达式得:,解得,故抛物线的表达式为:y=x2+2x﹣3;(2)存在,理由:如图1,过点P作y轴的平行线交AC于点H,设点P(x,x2+2x﹣3),则点H(x,﹣x﹣3),△APC面积S=S△PHA+S△PHC=×PH×OA=(﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3)×3=﹣x2﹣x,∵﹣<0,故S有最大值,当x=﹣时,S的最大值为,此时点P(﹣,﹣);(3)如图2,设点N(﹣1,s),点M(m,n),n=m2+2m﹣3,过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H,交过点N与x轴的平行线于点G,∵∠GMN+∠GNM=90°,∠GMN+∠HMC=90°,∴∠HMC=∠GNM,∵∠MGN=∠CHM=90°,MN=MC,∴△MGN≌△CHM(AAS),∴GN=MH,即GN=|﹣1﹣m|=MH=|n+3|,①当﹣1﹣m=n+3时,即m+n+4=0,即m2+3m+1=0,解得:m=,故点M(,);②当﹣1﹣m=﹣(n+3)时,即m=n+2,同理可得:点M(,);故点M的坐标为:(,)或(,)或(,)或(,).3.【解答】解:(1)令x=0,则y=3,∴C(0,3),∴OC=3.令y=0,则﹣x2+x+3=0,解得:x1=﹣4,x2=6,∴A(﹣4,0),B(6,0),∴OA=4,OB=6.∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°,∵CO⊥AD,∴OC2=OA•OD,∴OD=,∴D(,0).(2)∵y=﹣x2+x+3=﹣(x﹣1)2+,∴E(1,).如图2,连接OE、BE,作HG⊥x轴于点G,交BE于点P.由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为:y=﹣x+.设H(m,﹣m2+m+3),则P(m,﹣m+).∴HG=﹣m2+m+3,HP=y H﹣y P=﹣m2+m﹣.∴S△BHE=(x B﹣x E)•HP=(﹣m2+m﹣)=﹣m2+m﹣.∵FH⊥CD,AC⊥CD,∴AC∥FH,∴∠HFG=∠CAO,∵∠AOC=∠FGH=90°,∴△ACO∼△FHG,∴==,∴FG=HG=﹣m2+m+4,∴AF=AG﹣FG=m+4+m2﹣m﹣4=m2+m,∴S△AFC=AF•OC=(m2+m)=m2+m,∵S四边形ACEB=S△ACO+S△OCE+S△OEB=×4×3+×3×1+6×=,∴S五边形FCEHB=S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC=+(﹣m2+m﹣)﹣(m2+m)=﹣m2+m+15=﹣(m ﹣)2+,∴当m=时,S五边形FCEHB取得最大值.此时,H的横坐标为.(3)∵B(6,0),C(0,3),D(,0),∴CD=BD=,BC=3,∴∠DCB=∠DBC.①如图3﹣1,△CMN≌△DCB,MN交y轴于K,则CM=CN=DC=DB=,MN=BC=3,∠CMN=∠CNM=∠DBC=∠DCB,∴MN∥AB,∴MN⊥y轴,∴∠CKN=∠COB=90°,MK=NK=MN=,∴△CKN∼△COB,∴==,∴CK=,∴OK=OC+CK=,∴N(,).②如图3﹣2,△MCN≌△DBC,则CN=CB=3,∠MCN=∠DBC,∴CN∥AB,∴N(3,3).③如图3﹣3,△CMN≌△DBC,则∠CMN=∠DCB,CM=CN=DC=DB=,MN=BC=3,∴MN∥CD,作MR⊥y轴于R,则===,∴CR=,RM=,∴OR=3﹣,作MQ∥y轴,NQ⊥MQ于点Q,则∠NMQ=∠DCO,∠NQM=∠DOC=90°,∴△COD∼△MQN,∴==,∴MQ=MN=,NQ=MN=,∴NQ﹣RM=,OR+MQ=,∴N(﹣,).综上所述,满足要标的N点坐标有:(,)、(3,3)、(﹣,).4.【解答】解:(1)把A(6,3)代入y=﹣kx+6,得3=﹣6x+6.解得k=﹣.故直线的解析式是:y=﹣x+6.把O(0,0)、A(6,3)、B(﹣4,8)分别代入y=ax2+bx+c,得.解得.故该抛物线解析式是:y=x2﹣x;(2)①如图1,作PQ∥y轴,交AB于点Q,设P(x,x2﹣x),则Q(x,﹣x+6),则PQ=(﹣x+6)﹣(x2﹣x)=﹣(x﹣1)2+,∴S△PAB=(6+4)×PQ=﹣(x﹣1)2+=20,解得x1=﹣2,x2=4,∴点P的坐标为(4,0)或(﹣2,3);②设P(x,x2﹣x),如图2,由题意得:AO=3,BO=4,AB=5,∵AB2=AO2+BO2,∴∠AOB=90°,∵∠AOB=∠PCO,∴当=时,△CPO∽△OAB,即=.整理,得4|x2﹣x|=3|x|.解方程4(x2﹣x)=3x,得x1=0(舍去),x2=7,此时P点坐标为(7,);解方程4(x2﹣x)=﹣3x,得x1=0(舍去),x2=1,此时P点坐标为(1,﹣);当=时,△CPO∽△OBA,即=,整理,得3|x2﹣x|=4|x|,解方程3(x2﹣x)=4x,得x1=0(舍去),x2=,此时P点坐标为(,).解方程3(x2﹣x)=﹣4x,得x1=0(舍去),x2=﹣,此时P点坐标为(﹣,).综上所述,点P的坐标为:(7,)或(1,﹣)或(﹣,)或(,).5.【解答】解:(1)对称轴x=1,则点B(﹣2,0),则抛物线的表达式为:y=a(x+2)(x﹣4)=a(x2﹣2x﹣8),即﹣8a=2,解得:a=,故抛物线的表达式为:y=;(2)设直线PQ交y轴于点E(0,1),点P、Q横坐标分别为m,n,△CPQ的面积=×CE×(n﹣m)=,即n﹣m=2,联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得:…①,m+n=2﹣4k,mn=﹣4,n﹣m=2==,解得:k=0(舍去)或1;将k=1代入①式并解得:x=,故点P、Q的坐标分别为:(,﹣)、(,).(3)设点K(1,m),联立PQ和AC的表达式并解得:x=,故点G(,)过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M,交过点R与y轴的平行线于点N,则△KMG≌△GNR(AAS),GM=1﹣==NR,MK=,故点R的纵坐标为:,则点R(m﹣1,)将该坐标代入抛物线表达式解得:x=,故m=,故点K(1,).6.【解答】解:(1)y=x+3,令x=0,则y=3,令y=0,则x=﹣3,故点A、B的坐标分别为(﹣3,0)、(0,3),则c=3,则函数表达式为:y=ax2+bx+3,将点A坐标代入上式并整理得:b=3a+1;(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,则函数对称轴x=﹣≥0,而b=3a+1,即:﹣≥0,解得:a≥﹣,故:a的取值范围为:﹣≤a<0;(3)当a=﹣1时,b=3a+1=﹣2二次函数表达式为:y=﹣x2﹣2x+3,过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H,∵OA=OB,∴∠BAO=∠PQH=45°,S△PAB=×AB×PH=×3×PQ×=,则PQ=|y P﹣y Q|=1,在直线AB下方作直线m,使直线m和l与直线AB等距离,则直线m与抛物线两个交点,分别与点AB组成的三角形的面积也为1,故:|y P﹣y Q|=1,设点P(x,﹣x2﹣2x+3),则点Q(x,x+3),即:﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3=±1,解得:x=或,故点P(,)或(,)或(,)或(,).7.【解答】解:(1)对称轴x=,则点B(﹣1,0),则抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣4)=a(x2﹣3x﹣4),即﹣4a=2,解得:a=﹣,故抛物线的表达式为:y=x2+x+2;(2)设直线PQ交y轴于点E(0,1),点P、Q横坐标分别为m,n,△CPQ的面积=×CE×(n﹣m)=,即n﹣m=,联立抛物线于直线PQ的表达式并整理得:x2+(﹣k)x+1=0…①,m+n=3﹣2k,mn=﹣2,n﹣m===解得:k=0(舍去)或3;故y=3x+1,则x2+x+2=3x+1,解得:x=,故点P、Q的坐标分别为:(,)、(,);(3)设点K(,m),联立PQ和AC的表达式并解得:x=,故点G(,),过点G作y轴的平行线交过点K′与x轴的平行线于点M,交过点K与x轴的平行线于点N,则△GNK≌△K′MG(AAS),NK=﹣==MG,NG=﹣m,则点K′(﹣m,)将该坐标代入抛物线表达式并解得:m=,故点K(,)或(,).8.【解答】解:(1)OA=3OB=3,则点B(﹣1,0),抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即﹣3a=3,解得:a=﹣1,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3;(2)过点P作y轴的平行线交CA于点H,由点A、C的坐标得,直线AC的表达式为:y=﹣x+3△ACP的面积=PH×OA=3×(x2﹣2x+3+x﹣3)=(﹣x2+3x),当x=时,△ACP的面积的最大,最大值为:,此时点P(,);(3)过点M作MN⊥AC,则MN=CM,故当B、M、N三点共线时,BM+CM=BN最小,直线CA的倾斜角为45°,BN⊥AC,则∠NBA=45°,即BN=AB=2=AN,则点N(1,2),由点B、N的坐标得,直线BN的表达式为:y=x+1,故点M(0,1).9.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,∴,解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;(2)如图:①设P(m,m2﹣4m+3),将点B(3,0)、C(0,3)代入得直线BC解析式为y BC=﹣x+3.∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,∴D(m,﹣m+3),∴PD=(﹣m+3)﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m.答:用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m.②S△PBC=S△CPD+S△BPD=OB•PD=﹣m2+m=﹣(m﹣)2+.∴当m=时,S有最大值.当m=时,m2﹣4m+3=﹣.∴P(,﹣).答:△PBC的面积最大时点P的坐标为(,﹣).(3)存在这样的点M和点N,使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形.根据题意,点E(2,1),∴EF=CF=2,∴EC=2,根据菱形的四条边相等,∴ME=EC=2,∴M(2,1﹣2)或(2,1+2)当EM=EF=2时,M(2,3)答:点M的坐标为M1(2,3),M2(2,1﹣2),M3(2,1+2).10.【解答】解:(1)x2﹣2x﹣3=0,则x=3或﹣1,故点A、B的坐标分别为(﹣1,﹣1)、(3,﹣3),设抛物线的表达式为:y=ax2+bx,将点A、B的坐标代入上式得:,解得:,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x;(2)将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得:直线AB的表达式为:y=﹣x﹣,故点C(0,﹣),同理可得:直线OP的表达式为:y=﹣x;①过点D作y轴的平行线交AB于点H,设点D(x,﹣x2+x),则点H(x,﹣x),△BOD面积=×DH×x B=×3(﹣x2+x+x)=﹣x2+x,∵,故△BOD面积有最大值为:,此时x=,故点D(,﹣);②当OP=PC时,则点P在OC的中垂线上,故y P=﹣,则点P(,﹣);②当OP=OC时,t2+t2=()2,解得:t=(舍去负值),故点P(,﹣);③当PC=OC时,同理可得:点P(,﹣);综上,点P(,﹣)或(,﹣)或(,﹣).11.【解答】解:(1)函数的表达式为:y=a(x+6)(x﹣2)=a(x2+4x﹣12),﹣12a=6,解得:a=﹣,函数的表达式为:y=﹣x2﹣2x+6…①,顶点D坐标为(﹣2,8);(2)如图1所示,过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′,在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″,过点P作PH∥y轴交AC于点H,作PG⊥AC于点G,∵OA=OC,∴∠PHG=∠CAB=45°,则HP=PG,S△PCA=PG×AC=PG×6=12,解得:PH=4,直线AC的表达式为:y=x+6,则直线m的表达式为:y=x+10…②,联立①②并解得:x=﹣2或﹣4,则点P坐标为(﹣2,8)或(﹣4,6);直线n的表达式为:y=x+2…③同理可得点P(P″、P′″)的坐标为(﹣3﹣,﹣﹣1)或(﹣3,﹣1),综上,点P的坐标为(﹣2,8)或(﹣4,6)或(﹣3﹣,﹣﹣1)或(﹣3,﹣1).(3)点A、B、C、D的坐标为(﹣6,0)、(2,0)、(0,6)、(﹣2,8),则AC=,CD=,AD=,则∠ACD=90°,sin∠DAC==,延长DC至D′使CD=CD′,连接AD′,过点D作DH⊥AD′,则DD′=2,AD=AD′=,S△ADD′=DD′×AC=DH×AD′,即:2×=DH×,解得:DH=,sin2∠DAC=sin∠DAD′====sin∠EAB,则tan∠EAB=,①当点E在AB上方时,则直线AE的表达式为:y=x+b,将点A坐标代入上式并解得:直线AE的表达式为:y=x+…④,联立①④并解得:x=(不合题意值已舍去),即点E(,);②当点E在AB下方时,同理可得:点E(,﹣),综上,点E(,)或(,﹣).12.【解答】解:(1)将点B坐标代入y=x+c并解得:c=﹣3,故抛物线的表达式为:y=x2+bx﹣3,将点B坐标代入上式并解得:b=﹣,故抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣3;(2)过点P作PH∥y轴交BC于点H,设点P(x,x2﹣x﹣3),则点H(x,x﹣3),S四边形ACPB=S△AOC+S△PCB,∵S△AOC是常数,故四边形面积最大,只需要S△PCB最大即可,S△PCB=×OB×PH=×2(x﹣3﹣x2+x+3)=﹣x2+3x,∵﹣<0,∴S△PCB有最大值,此时,点P(2,﹣);(3)过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G,交抛物线于M′,设∠MBC=∠ABC=2α,过点B在BC之下作角度数为α的角,交抛物线于点M,过点G作GK⊥BC交BC于点K,延长GK交BM于点H,则GH=GN,BC是GH的中垂线,OB=4,OC=3,则BC=5,设:OG=GK=m,则CK=CB﹣HB=5﹣4=1,由勾股定理得:(3﹣m)2=m2+1,解得:m=,则OG=ON=,GH=GN=2OG=,点G(0,﹣),在Rt△GCK中,GK=OG=,GC=OC﹣OG=3﹣=,则cos∠CGK==,sin∠CGK=,则点K(,﹣),点K是点GH的中点,则点H(,﹣),则直线BH的表达式为:y=x﹣…②,同理直线BG的表达式为:y=x﹣…③联立①②并整理得:27x2﹣135x+100=0,解得:x=或4(舍去4),则点M(,﹣);联立①③并解得:x=﹣,故点M′(﹣,﹣);故点M(,﹣)或(﹣,﹣).13.【解答】解:(1)如图1,把点A(﹣2,0)、B(4,0)分别代入y=ax2+bx﹣3(a≠0),得,解得,所以该抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣3;(2)将x=0代入y=x2﹣x﹣3,得y=﹣3,∴点C的坐标为(0,﹣3),∴OC=3.设N(x,y),∵S△NAB=S△CAB,∴|y|=OC=3,∴y=±3.当y=3时,x2﹣x﹣3=3,解得x=+1.当y=﹣3时,x2﹣x﹣3=﹣3,解得x1=2,x2=0(舍去).综上所述,点N的坐标是(+1,3)或(﹣+1,3)或(2,﹣3);(3)如图2,由已知得,BB′=m,PB′=2,设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0).∵直线y=kx+b经过点B(4,0),C(0,﹣3),∴,解得,∴直线BC的表达式为y=x﹣3.当0<m≤2时,由已知得P′B=2+m.∵OP′=2﹣m,∴E(2﹣m,﹣m﹣).由OB=4得OP=2,把x=2代入y=x2﹣x﹣3中,得y=﹣3,∴D(2,﹣3),∴直线CD∥x轴.∵EP′=m+,D′P=3,∴ED′=DP′﹣EP′=3﹣m﹣=﹣m+.过点F作FH⊥PD′于点H,则∠D′HF=∠D′P′B′=90°.∵∠HD′F=∠P′D′B′,∴△D′HF∽△D′P′B′,∴=.∵∠FCD′=∠FBB′,∠FD′C=∠FB′B,∴△CD′F∽△BB′F,∴=.又∵CD′=2﹣m,∴=.设D′F=k(2﹣m),B′F=km,∴D′B′=2k,∴=.∴=.∵P′B′=2,∴HF=2﹣m.∴S△ED′F=ED′•HF=×(﹣m+)×(2﹣m).∵S△PB′D′=PB′•PD′=×3×2=3,∴S=S△PB′D′﹣S△ED′F=3﹣×(﹣m+)×(2﹣m)=﹣m2+m+.14.【解答】解:(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,,解得,故抛物线为y=﹣x2+2x+3;又设直线为y=kx+n过点A(﹣1,0)及C(2,3),得,解得,故直线AC为y=x+1;(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴D(1,4),当x=1时,y=x+1=2,∴B(1,2),∵点E在直线AC上,设E(x,x+1).①如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3),∵F在抛物线上,∴x+3=﹣x2+2x+3,解得,x=0或x=1(舍去),∴E(0,1);②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x﹣1),∵F在抛物线上,∴x﹣1=﹣x2+2x+3,解得x=或x=,。
中考数学抛物线压轴题
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在中考数学中,抛物线是一个常见的考点,经常以压轴题的形式出现。
以下是一个关于抛物线的中考压轴题的示例:题目:已知抛物线y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)经过点(-1,-1),(0,1),当x=-2时,与其对应的函数值y>1。
1. 请你求出abc的值,并判断抛物线的开口方向。
2. 设直线y=kx+d(k≠0)经过点(1,-1),且与抛物线的对称轴平行。
请你求出该直线的解析式。
3. 设E(m,n)是抛物线y=ax^2+bx+c上的一个动点,且满足∠APE=90°,请你求出m的值。
解析:1. 根据题目条件,抛物线经过点(-1,-1),(0,1),可得到方程:$a-b+c=-1$ ①$c=1$ ②将x=-2,y>1代入解析式得:$4a-2b+1>1$化简得:$2a-b>0$ ③由①②③解得:$a>0$$b>0$$c=1$所以,abc=1。
由于a>0,抛物线开口向上。
2. 由题意知:直线y=kx+d经过点(1,-1),则有:k+d=-1 ④又因为直线与对称轴平行,所以其斜率等于对称轴的斜率,即:k=-b/2a=-1/2 ⑤由④⑤解得:d=-3/2所以,直线的解析式为:y=-x/2-3/2。
3. 根据题意知:E(m,n)在抛物线上,则有:$n=am^2+bm+c$ ⑥由于∠APE=90°,所以AE与PE垂直。
根据两直线垂直的条件:斜率之积等于-1。
即:$(m-1)/(n+1)=-1$ ⑦由⑥⑦解得:m=0或m=-2综上所述,m的值为0或-2。
初三数学压轴题
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初三数学压轴题一、题目示例在平面直角坐标系中,抛物线y = ax^2+bx + c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0, - 3)三点。
(1)求抛物线的解析式;(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥ y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用含m的代数式表示MN的长;(3)在(2)的条件下,连接NB,NC,是否存在点m,使△ BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由。
二、题目解析1. 求抛物线的解析式- 已知抛物线y = ax^2+bx + c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0, - 3)三点。
- 把A(-1,0),B(3,0),C(0, - 3)分别代入y = ax^2+bx + c中,得到方程组:- a - b + c = 0 9a+3b + c = 0 c=-3- 将c = - 3代入前两个方程,得到a - b-3 = 0 9a + 3b-3 = 0- 由a - b-3 = 0可得a=b + 3,将其代入9a + 3b-3 = 0中:- 9(b + 3)+3b-3 = 0- 9b+27 + 3b-3 = 0- 12b=-24,解得b=-2- 把b = - 2代入a=b + 3,得a = 1- 所以抛物线的解析式为y=x^2-2x - 3。
2. 求MN的长(用含m的代数式表示)- 设直线BC的解析式为y=kx + d,把B(3,0),C(0, - 3)代入可得3k + d = 0 d=-3- 解得k = 1,所以直线BC的解析式为y=x - 3。
- 因为点M在直线BC上,且横坐标为m,所以M(m,m - 3)。
- 又因为N在抛物线上,且N的横坐标为m,所以N(m,m^2-2m - 3)。
- 则MN=(m^2-2m - 3)-(m - 3)=m^2-3m。
3. 判断是否存在点m使△ BNC的面积最大并求m的值- 过N作NH⊥ x轴交BC于H。
抛物线压轴题专题
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抛物线压轴题专题011、(09安徽芜湖)如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为(10)A -,,(0B ,(00)O ,,将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°,得到A B O ''△. (1)如图,一抛物线经过点A B B '、、,求该抛物线解析式;(2)设点P 是在第一象限内抛物线上一动点,求使四边形PBAB '的面积达到最大时点P 的坐标及面积的最大值.6、(09广东深圳)如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB . (1)求点B 的坐标;(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么△P AB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积;若没有,请说明理由。
x3、(09广东广州)如图13,二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,-1),ΔABC 的面积为45。
(1)求该二次函数的关系式;(2)过y 轴上的一点M (0,m )作y 轴上午垂线,若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点,求m 的取值范围;(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形ABCD 为直角梯形?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由。
4、(09广西贵港)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 的交x 轴于点A 和点B (-2,0),与y 轴的负半轴交于点C ,且线段OC 的长度是线段OA 的2倍,抛物线的对称轴是直线x =1. (1)求抛物线的解析式;(2)若过点(0,-5)且平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点,以线段MN 为一边抛物线上与M 、N 不重合的任意一点P (x ,y )为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S ,请你求出S 关于点P 的纵坐标y 的函数解析式; (3)当0<x ≤ 10 3时,(2)中的平行四边形的面积是否存在最大值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.5、(09广西柳州)如图,已知抛物线b ax ax y --=22(0>a )与x 轴的一个交点为(10)B -,,与y 轴的负半轴交于点C ,顶点为D .(1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标; (2)以AD 为直径的圆经过点C . ①求抛物线的解析式;②点E 在抛物线的对称轴上,点F 在抛物线上,且以E F A B ,,,四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F 的坐标.6、(09湖北荆州)一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m -2,0),B (m +2,0)两点,记抛物线顶点为C ,且AC ⊥BC . (1)若m 为常数,求抛物线的解析式;(2)若m 为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?(3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点,问是否存在实数m ,使得△BCD 为等腰三角形?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.7、 (09湖北武汉) 如图,抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -,、(04)C ,两点,与x 轴交于另一点B .(1)求抛物线的解析式;(2)已知点(1)D m m +,在第一象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点的坐标; (3)在(2)的条件下,连接BD ,点P 为抛物线上一点,且45DBP ∠=°,求点P 的坐标.8、(09山东济南)已知:抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-,与x 轴交于A B ,两点,与y 轴交于点C 其中()30A -,、()02C -,. (1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点P ,使得PBC △的周长最小.请求出点P 的坐标.(3)若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、点C 重合).过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E .连接PD 、PE .设CD 的长为m ,PDE △的面积为S .求S 与m 之间的函数关系式.试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.。
专题21 抛物线(学生版)-【挑战压轴题】备战2022年高考数学高分必刷必过题(全国通用版)
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专题21抛物线(解答题压轴题)1.(2021·全国高三模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中,抛物线E :()220y px p =>上一点00(4,)(0)S y y >到焦点F 的距离5SF =.不经过点S 的直线l 与E 交于A ,B .(1)求抛物线E 的标准方程;(2)若直线AS ,BS 的斜率之和为2,证明:直线l 过定点.2.(2021·全国高三月考(理))已知直线l 过原点O ,且与圆A 交于M ,N 两点,4MN =,圆A 与直线2y =-相切,OA 与直线l 垂直,记圆心A 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)过直线1y =-上任一点P 作C 的两条切线,切点分别为1Q ,2Q ,证明:①直线12Q Q 过定点;②12PQ PQ ⊥.3.(2021·安徽高三开学考试(理))已知中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,离心率为2的椭圆C 过点1)2.(1)求C 的标准方程;(2)是否存在不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点,使得直线OP 、PQ 、OQ 的斜率成等比数列、若存在,求k 的值及m 的取值范围;若不存在,请说明理由.4.(2021·全国高三专题练习)如图,已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ,D 为x 轴上位于F 右侧的点,点A 为抛物线C 在第一象限上的一点,且AF DF =,分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .(1)若AM MN ⊥,求直线AF 的斜率;(2)求三角形AMN 面积的最小值.5.(2021·全国高三月考(理))已知抛物线()220x py p =>上一点()02,P y 到其焦点F 的距离为2,过点(),0T t ()0t >作两条斜率为1k ,2k 的直线1l ,2l 分别与该抛物线交于A ,B 与C ,D 两点,且120k k +=,FAB FCD S S =△△.(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)求实数t 的取值范围.6.(2021·浙江瑞安中学高三模拟预测)已知抛物线()21:20C y px p =>和右焦点为F 的椭圆222:143x y C +=.如图,过椭圆2C 左顶点T 的直线交抛物线1C 于,A B 两点,且2AB TA =.连接AF 交2C 于两点,M N ,交1C 于另一点C ,连BC ,Q 为BC 的中点,TQ交AC 于D .(1)证明:点A 的横坐标为定值;(2)记CDT ∆,QMN ∆的面积分别为1S ,2S ,若12512S S =,求抛物线的方程.7.(2021·全国高三专题练习(理))已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.(1)求p ;(2)若点P 在M 上,,PA PB 是C 的两条切线,,A B 是切点,求PAB ∆面积的最大值.8.(2021·浙江省杭州第二中学高三模拟预测)已知抛物线()2:20C y px p =>经过点(2,,P 是圆()22:11M x y ++=上一点,PA 、PB 都是C 的切线.(1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)求PAB ∆的面积的最大值.9.(2021·广东汕头·高三三模)已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;(2)已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证:直线AB 过定点;②求证:PCA PCB ∠=∠.10.(2021·河南郑州·高三三模(理))已知抛物线2:4C x y =和圆()22:11E x y ++=,过抛物线上一点()00,P x y ,作圆E 的两条切线,分别与x 轴交于,A B 两点.(1)若切线PB 与抛物线C 也相切,求直线PB 的斜率;(2)若02y ≥,求PAB ∆面积的最小值.11.(2021·浙江高三三模)如图,已知抛物线C :214y x =,点()()000,1A x y y ≥为抛物线上一点,过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ,且与抛物线C 在点A 处有相同切线,8OM NO =,过点N 的直线l 交抛物线于点E ,F ,直线AE ,AF 的斜率分别为1k ,2k ,满足120k k +=.(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;(2)求点A 到直线l 的距离的最小值.12.(2021·四川泸州·高三三模(理))从抛物线24y x =上各点向x 轴作垂线段,记垂线段中点的轨迹为曲线P .(1)求曲线P 的方程,并说明曲线P 是什么曲线;(2)过点()2,0M 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ,线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ,探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆?若能,请求出圆的方程;若不能,请说明理由.13.(2021·浙江高三期末)如图,已知抛物线21:C x y =在点A 处的切线l 与椭圆222:12x C y +=相交,过点A 作l 的垂线交抛物线1C 于另一点B ,直线OB (O 为直角坐标原点)与l 相交于点D ,记()11,A x y 、()22,B x y ,且1>0x .(1)求12x x -的最小值;(2)求DODB的取值范围.14.(2021·河北沧州·高三二模)已知(2,0)M -,(2,0)N ,动点P 满足:直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数14-,设动点P 的轨迹为曲线1C .抛物线22:2(0)C x py p =>与1C 在第一象限的交点为A ,过点A 作直线l 交曲线1C 于点B 交抛物线2C 于点E (点,B E 不同于点A ).(1)求曲线1C 的方程.(2)是否存在不过原点的直线l ,使点E 为线段AB 的中点?若存在,求出p 的最大值;若不存在,请说明理由.15.(2021·湖南长沙·高三模拟预测)已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,点(),1m 在抛物线C 上,该点到原点的距离与到C 的准线的距离相等.(1)求抛物线C 的方程;(2)过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,且与以焦点F 为圆心2为半径的圆交于M ,N 两点,点B ,N 在y 轴右侧.①证明:当直线l 与x 轴不平行时,AM BN≠②过点A ,B 分别作抛物线C 的切线1l ,2l ,1l 与2l 相交于点D ,求DAM △与DBN 的面积之积的取值范围.16.(2021·浙江高三专题练习)已知椭圆22:14x T y +=,抛物线2:2M y px =的焦点是F ,且动点()1,G t -在其准线上.(1)当点G 在椭圆T 上时,求GF 的值;(2)如图,过点G 的直线1l 与椭圆T 交于,P Q 两点,与抛物线M 交于,A B 两点,且G 是线段PQ 的中点,过点F 的直线2l 交抛物线M 于,C D 两点.若//AC BD ,求2l 的斜率k 的取值范围.17.(2021·河南高三月考(理))已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,且点F 与圆()22:41M x y ++=171.(1)求p ;(2)已知直线:4l y kx =+与C 相交于A ,B 两点,过点B 作平行于y 轴的直线BD 交直线:4l y '=-于点D .问:直线AD 是否过y 轴上的一定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,试说明理由.18.(2021·上海市实验学校高三月考)已知直线2y x =与抛物线:Γ()220y px p =>交于1G ,2G 两点,且125G G ,过椭圆221:143x y C +=的右顶点Q 的直线l 交于抛物线Γ于A ,B 两点.(1)求抛物线Γ的方程;(2)若射线OA ,OB 分别与椭圆1C 交于点D ,E ,点O 为原点,ODE ,OAB 的面积分别为1S ,2S ,问是否存在直线l 使213S S =?若存在求出直线l 的方程,若不存在,请说明理由;(3)若P 为2x =-上一点,PA ,PB 与x 轴相交于M ,N 两点,问M ,N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值?如果是定值,求出该定值,否则说明理由.19.(2021·全国高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中,原点为O ,抛物线C 的方程为24x y =,线段AB 是抛物线C 的一条动弦.(1)求抛物线C 的准线方程;(2)求=4OA OB ⋅-,求证:直线AB 恒过定点;(3)过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ,1l 与抛物线交于P 、Q 两点,2l 与抛物线交于C 、D 两点,M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点,求FMN 面积的最小值.20.(2021·浙江高三模拟预测)已知点F 为抛物线C :214y x =的焦点,点()0,4D ,点A 为抛物线C 上的动点,直线l :y t =截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值.(1)求t 的值;(2)如图,直线l 交y 轴于点E ,抛物线C 上的点B 满足AB 的中垂线过点D 且直线AB 不与x 轴平行,求ABE 的面积的最大值.。
中考数学压轴题抛物线与动点精选
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动点与抛物线专题复习一、平行四边形与抛物线1、(2012•钦州)如图甲,在平面直角坐标系中,A、B的坐标分别为(4,0)、(0,3),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且对称轴是直线x=﹣.(1)求抛物线对应的函数解析式;(2)将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE(如图乙),当四边形ABCD是菱形时,请说明点C和点D都在该抛物线上;(3)在(2)中,若点M是抛物线上的一个动点(点M不与点C、D重合),经过点M作MN∥y轴交直线CD于N,设点M的横坐标为t,MN的长度为l,求l与t之间的函数解析式,并求当t为何值时,以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.(参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,),对称轴是直线x=﹣.)2、(2012•鸡西)如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根(OA<OB),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.(1)求A、B两点的坐标.(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似,并直接写出此时点Q的坐标.(3)当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由.3.(2012•恩施州)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.(1)抛物线及直线AC的函数关系式;(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD 交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.二、梯形与抛物线1、已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.(1)求点C的坐标;(2)若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式;(3)若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M,问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.2、(2012•泉州)如图,O为坐标原点,直线l绕着点A(0,2)旋转,与经过点C(0,1)的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q.(1)求h的值;(2)通过操作、观察,算出△POQ的面积的最小值(不必说理);(3)过点P、C作直线,与x轴交于点B,试问:在直线l的旋转过程中,四边形AOBQ是否为梯形?若是,请说明理由;若不是,请指出四边形的形状.3.(2012•玉林)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P,Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动,点Q从点C出发沿线段CD(不包括端点C,D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P,Q同时出发,同时停止,设运动时间为t(秒),当t=2(秒)时,PQ=2.(1)求点D的坐标,并直接写出t的取值范围.(2)连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF,则△AEF的面积S是否随t的变化而变化?若变化,求出S与t的函数关系式;若不变化,求出S的值.(3)在(2)的条件下,t为何值时,四边形APQF是梯形?三、等腰三角形、菱形与抛物线1、(2012•龙岩)在平面直角坐标系xOy中,一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(﹣1,0).(1)请直接写出点B、C的坐标:B、C;并求经过A、B、C三点的抛物线解析式;(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C.此时,EF所在直线与(1)中的抛物线交于点M.①设AE=x,当x为何值时,△OCE∽△OBC;②在①的条件下探究:抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.3、(2012•湛江)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;(2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;(3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形?4、如图,直线l 1经过点A(﹣1,0),直线l2经过点B(3,0),l1、l2均为与y轴交于点C(0,),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G.求证:DE=EF=FG;(3)若l1⊥l2于y轴上的C点处,点P为抛物线上一动点,要使△PCG为等腰三角形,请写出符合条件的点P的坐标,并简述理由.5、如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=12,点C的坐标为(﹣18,0).(1)求点B的坐标;(2)若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,OD=2BD,求直线DE 的解析式;(3)若点P是(2)中直线DE上的一个动点,在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.6、(2012•铁岭)如图,已知抛物线经过原点O和x轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D.直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B(﹣2,m)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.(1)求m的值及该抛物线对应的解析式;(2)P(x,y)是抛物线上的一点,若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标;(3)点Q是平面内任意一点,点M从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设点M的运动时间为t秒,是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形?若能,请直接写出点M的运动时间t的值;若不能,请说明理由.四、直角三角形与抛物线1、(2012•广州)如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.2、(2012•河池)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点.(1)写出点A、点B的坐标;(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连接P A、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使得△P AM是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.3.(2012•海南)如图,顶点为P(4,﹣4)的二次函数图象经过原点(0,0),点A在该图象上,OA交其对称轴l于点M,点M、N关于点P对称,连接AN、ON,(1)求该二次函数的关系式;(2)若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时,请解答下面问题:①证明:∠ANM=∠ONM;②△ANO能否为直角三角形?如果能,请求出所有符合条件的点A的坐标;如果不能,请说明理由.4、(2012•云南)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2交x轴于点P,交y轴于点A.抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(﹣1,0),并与直线相交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式(关系式);(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C,求点C的坐标;(3)除点C外,在坐标轴上是否存在点M,使得△MAB是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.五、相似三角形与抛物线1、(2012•福州)如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m 的值及点D的坐标;(3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).3、(2012•遵义)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,﹣).(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;(2)在抛物线上求点P,使S△POA=2S△AOB;(3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似?如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.4.(2012•黄冈)如图,已知抛物线的方程C1:y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;(3)在(1)条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标;(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.5、(2012•常德)如图,已知二次函数的图象过点A(﹣4,3),B(4,4).(1)求二次函数的解析式:(2)求证:△ACB是直角三角形;(3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.6(2012•鞍山)如图,直线AB交x轴于点B(4,0),交y轴于点A(0,4),直线DM⊥x 轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°.(1)直接写出直线AB的解析式;(2)求点D的坐标;(3)若点P是线段MB上的动点,过点P作x轴的垂线,交AB于点F,交过O、D、B三点的抛物线于点E,连接CE.是否存在点P,使△BPF与△FCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.7.(2012•阜新)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的关系解析式;(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;考生注意:下面的(3)、(4)、(5)题为三选一的选做题,即只能选做其中一个题目,多答时只按作答的首题评分,切记啊!(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;(4)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于x轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;(5)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.六、抛物线中的翻折问题1、(2012•天门)如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线解析式及点D坐标;(2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标;(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在点P,使Q′恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.2、(2010•恩施州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.动点与抛物线专题复习答案一、平行四边形与抛物线1、解:(1)由于抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点B(0,4),则c=4;∵抛物线的对称轴x=﹣=﹣,∴b=5a=;即抛物线的解析式:y=x2+x+4.(2)∵A(4,0)、B(3,0)∴OA=4,OB=3,AB==5;若四边形ABCD是菱形,则BC=AD=AB=5,∴C(﹣5,3)、D(﹣1,0).将C(﹣5,3)代入y=x2+x+4中,得:×(﹣5)2+×(﹣5)+4=3,所以点C在抛物线上;同理可证:点D也在抛物线上.(3)设直线CD的解析式为:y=kx+b,依题意,有:,解得∴直线CD:y=﹣x﹣.由于MN∥y轴,设M(t,t2+t+4),则N(t,﹣t﹣);①t<﹣5或t>﹣1时,l=MN=(t2+t+4)﹣(﹣t﹣)=t2+t+;②﹣5<t<﹣1时,l=MN=(﹣t﹣)﹣(t2+t+4)=﹣t2﹣t﹣;若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形,由于MN∥CE,则MN=CE=3,则有:t2+t+=3,解得:t=﹣3±2;﹣t2﹣t﹣=3,解得:t=﹣3;综上,l=且当t=﹣3±2或﹣3时,以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.2、解:(1)解方程x2﹣7x+12=0,得x1=3,x2=4,∵OA<OB,∴OA=3,OB=4.∴A(0,3),B(4,0).(2)在Rt△AOB中,OA=3,OB=4,∴AB=5,∴AP=t,QB=2t,AQ=5﹣2t.△APQ与△AOB相似,可能有两种情况:(I)△APQ∽△AOB,如图(2)a所示.则有,即,解得t=.此时OP=OA﹣AP=,PQ=AP•tanA=,∴Q(,);(II)△APQ∽△ABO,如图(2)b所示.则有,即,解得t=.此时AQ=,AH=AQ•cosA=,HQ=AQ•sinA=,OH=OA﹣AH=,∴Q(,).综上所述,当t=秒或t=秒时,△APQ与△AOB相似,所对应的Q点坐标分别为(,)或(,).(3)结论:存在.如图(3)所示.∵t=2,∴AP=2,AQ=1,OP=1.过Q点作QE⊥y轴于点E,则QE=AQ•sin∠QAP=,AE=AQ•cos∠QAP=,∴OE=OA﹣AE=,∴Q(,).∵▱APQM1,∴QM1⊥x轴,且QM1=AP=2,∴M1(,);∵▱APQM2,∴QM2⊥x轴,且QM2=AP=2,∴M2(,);如图(3),过M3点作M3F⊥y轴于点F,∵▱AQPM3,∴M3P=AQ,∠QAE=∠M3PF,∴∠PM3F=∠AQE;在△M3PF与△QAE中,∵∠QAE=∠M3PF,M3P=AQ,∠PM3F=∠AQE,∴△M3PF≌△QAE,∴M3F=QE=,PF=AE=,∴OF=OP+PF=,∴M3(﹣,).∴当t=2时,在坐标平面内,存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形.点M的坐标为:M1(,),M2(,),M3(﹣,).3.解:(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,,解得,故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,解得故直线AC为y=x+1;(2)作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4),故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+,当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,则m=﹣×=;(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2)∵点E在直线AC上,设E(x,x+1),①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3),∵F在抛物线上,∴x+3=﹣x2+2x+3,解得,x=0或x=1(舍去)∴E(0,1);②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x﹣1)由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E(,)或(,)综上,满足条件的点E为E(0,1)、(,)或(,);(4)过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图2,设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=(x+1)(﹣x2+2x+3)+(﹣x2+2x+3+3)(2﹣x)﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣(x﹣)2+∴△APC的面积的最大值为.二、梯形与抛物线1、解:(1)过点C作CH⊥x轴,垂足为H;∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,∴OB=4,OA=2;由折叠的性质知:∠COB=30°,OC=AO=2,∴∠COH=60°,OH=,CH=3;∴C点坐标为(,3).(2)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C(,3)、A(2,0)两点,∴,解得;∴此抛物线的函数关系式为:y=﹣x2+2x.(3)存在.因为y=﹣x2+2x的顶点坐标为(,3),即为点C,MP⊥x轴,垂足为N,设PN=t;因为∠BOA=30°,所以ON=t,∴P(t,t);作PQ⊥CD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E;把x=t代入y=﹣x2+2x,得y=﹣3t2+6t,∴M(t,﹣3t2+6t),E(,﹣3t2+6t),同理:Q(,t),D(,1);要使四边形CDPM为等腰梯形,只需CE=QD,即3﹣(﹣3t2+6t)=t﹣1,解得t=,t=1(舍),∴P点坐标为(,),∴存在满足条件的P点,使得四边形CDPM为等腰梯形,此时P点坐标为(,).2、解:(1)∵抛物线y=x2+h经过点C(0,1),∴+h=1,解得h=1.(2)依题意,设抛物线y=x2+1上的点,P(a,a2+1)、Q(b,b2+1)(a<0<b)过点A的直线l:y=kx+2经过点P、Q,∴a2+1=ak+2…①b2+1=bk+2…②①×b﹣②×a得:(a2b﹣b2a)+b﹣a=2(b﹣a),化简得:b=﹣;∴S△POQ=OA•|x Q﹣x P|=•OA•|﹣﹣a|=(﹣)+(﹣a)≥2•=4 由上式知:当﹣=﹣a,即|a|=|b|(P、Q关于y轴对称)时,△POQ的面积最小;即PQ∥x轴时,△POQ的面积最小,且POQ的面积最小为4.(3)连接BQ,若l与x轴不平行(如图),即PQ与x轴不平行,依题意,设抛物线y=x2+1上的点,P(a,a2+1)、Q(b,b2+1)(a<0<b)直线BC:y=k1x+1过点P,∴a2+1=ak1+1,得k1=﹣a,即y=ax+1.令y=0得:x B=﹣,同理,由(2)得:b=﹣∴点B与Q的横坐标相同,∴BQ∥y轴,即BQ∥OA,又∵AQ与OB不平行,∴四边形AOBQ是梯形,据抛物线的对称性可得(a>0>b)结论相同.故在直线l旋转的过程中:当l与x轴不平行时,四边形AOBQ是梯形;当l与x轴平行时,四边形AOBQ是正方形.3.解:(1)由题意可知,当t=2(秒)时,OP=4,CQ=2,在Rt△PCQ中,由勾股定理得:PC===4,∴OC=OP+PC=4+4=8,又∵矩形AOCD,A(0,4),∴D(8,4).点P到达终点所需时间为=4秒,点Q到达终点所需时间为=4秒,由题意可知,t的取值范围为:0<t<4.(2)结论:△AEF的面积S不变化.∵AOCD是矩形,∴AD∥OE,∴△AQD∽△EQC,∴,即,解得CE=.由翻折变换的性质可知:DF=DQ=4﹣t,则CF=CD+DF=8﹣t.S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE=(OA+CF)•OC+CF•CE﹣OA•OE=[4+(8﹣t)]×8+(8﹣t)•﹣×4×(8+)化简得:S=32为定值.所以△AEF的面积S不变化,S=32.(3)若四边形APQF是梯形,因为AP与CF不平行,所以只有PQ∥AF.由PQ∥AF可得:△CPQ∽△DAF,∴,即,化简得t2﹣12t+16=0,解得:t1=6+2,t2=6﹣2,由(1)可知,0<t<4,∴t1=6+2不符合题意,舍去.∴当t=(6﹣2)秒时,四边形APQF是梯形.三、等腰三角形、菱形与抛物线1、解:(1)∵点A(﹣1,0),∴OA=1,由图可知,∠BAC是三角板的60°角,∠ABC是30°角,所以,OC=OA•tan60°=1×=,OB=OC•cot30°=×=3,所以,点B(3,0),C(0,),设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则,解得,所以,抛物线的解析式为y=﹣x2+x+;(2)①∵△OCE∽△OBC,∴=,即=,解得OE=1,所以,AE=OA+OE=1+1=2,即x=2时,△OCE∽△OBC;②存在.理由如下:抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=1,所以,点E为抛物线的对称轴与x轴的交点,∵OA=OE,OC⊥x轴,∠BAC=60°,∴△ACE是等边三角形,∴∠AEC=60°,又∠DEF=60°,∴∠FEB=60°,∴∠BAC=∠FEB,∴EF∥AC,由A(﹣1,0),C(0,)可得直线AC的解析式为y=x+,∵点E(1,0),∴直线EF的解析式为y=x﹣,联立,解得,(舍去),∴点M的坐标为(2,),EM==2,分三种情况讨论△PEM是等腰三角形,当PE=EM时,PE=2,所以,点P的坐标为(1,2)或(1,﹣2),当PE=PM时,∵∠FEB=60°,∴∠PEF=90°﹣60°=30°,PE=EM÷cos30°=×2÷=,所以,点P的坐标为(1,),当PM=EM时,PE=2EM•cos30°=2×2×=2,所以,点P的坐标为(1,2),综上所述,抛物线对称轴上存在点P(1,2)或(1,﹣2)或(1,)或(1,2),使△PEM是等腰三角形.3、解:(1)由题意,A(6,0)、B(0,8),则OA=6,OB=8,AB=10;当t=3时,AN=t=5=AB,即N是线段AB的中点;∴N(3,4).设抛物线的解析式为:y=ax(x﹣6),则:4=3a(3﹣6),a=﹣;∴抛物线的解析式:y=﹣x(x﹣6)=﹣x2+x.(2)过点N作NC⊥OA于C;由题意,AN=t,AM=OA﹣OM=6﹣t,NC=NA•sin∠BAO=t•=t;则:S△MNA=AM•NC=×(6﹣t)×t=﹣(t﹣3)2+6.∴△MNA的面积有最大值,且最大值为6.(3)Rt△NCA中,AN=t,NC=AN•sin∠BAO=t,AC=AN•cos∠BAO=t;∴OC=OA﹣AC=6﹣t,∴N(6﹣t,t).∴NM==;又:AM=6﹣t,AN=t(0<t<6);①当MN=AN时,=t,即:t2﹣8t+12=0,t1=2,t2=6(舍去);②当MN=MA时,=6﹣t,即:t2﹣12t=0,t1=0(舍去),t2=;③当AM=AN时,6﹣t=t,即t=;综上,当t的值取2或或时,△MAN是等腰三角形.4、解:(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(3,0),C(0,)三点,∴,解得a=,b=,c=,∴抛物线的解析式为:y=x2x.(2)设直线l1的解析式为y=kx+b,由题意可知,直线l1经过A(﹣1,0),C(0,)两点,∴,解得k=,b=,∴直线l1的解析式为:y=x;直线l2经过B(3,0),C(0,)两点,同理可求得直线l2解析式为:y=x.∵抛物线y=x2x=(x﹣1)2,∴对称轴为x=1,D(1,0),顶点坐标为F(1,);点E为x=1与直线l2:y=x的交点,令x=1,得y=,∴E(1,);点G为x=1与直线l1:y=x的交点,令x=1,得y=,∴G(1,).∴各点坐标为:D(1,0),E(1,),F(1,),G(1,),它们均位于对称轴x=1上,∴DE=EF=FG=.(3)如右图,过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1,CP1交对称轴于H点,连接CF.△PCG为等腰三角形,有三种情况:①当CG=PG时,如右图,由抛物线的对称性可知,此时P1满足P1G=CG.∵C(0,),对称轴x=1,∴P1(2,).②当CG=PC时,此时P点在抛物线上,且CP的长度等于CG.如右图,C(1,),H点在x=1上,∴H(1,),在Rt△CHG中,CH=1,HG=|y G﹣y H|=|﹣()|=,∴由勾股定理得:CG==2.∴PC=2.如右图,CP1=2,此时与①中情形重合;又Rt△OAC中,AC==2,∴点A满足PC=2的条件,但点A、C、G在同一条直线上,所以不能构成等腰三角形.③当PC=PG时,此时P点位于线段CG的垂直平分线上.∵l1⊥l2,∴△ECG为直角三角形,由(2)可知,EF=FG,即F为斜边EG的中点,∴CF=FG,∴F为满足条件的P点,∴P2(1,);又cos∠CGE==,∴∠CGE=30°,∴∠HCG=60°,又P1C=CG,∴△P1CG为等边三角形,∴P1点也在CG的垂直平分线上,此种情形与①重合.综上所述,P点的坐标为P1(2,)或P2(1,).5、解:(1)过点B作BF⊥x轴于F在Rt△BCF中∵∠BCO=45°,BC=6∴CF=BF=12∵C的坐标为(﹣18,0)∴AB=OF=6∴点B的坐标为(﹣6,12).(2)过点D作DG⊥y轴于点G∵AB∥DG∴△ODG∽△OBA∵===,AB=6,OA=12∴DG=4,OG=8∴D(﹣4,8),E(0,4)设直线DE解析式为y=kx+b(k≠0)∴∴∴直线DE解析式为y=﹣x+4.(3)结论:存在.设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F,则E(0,4),F(4,0),OE=OF=4,EF=4.如答图2所示,有四个菱形满足题意.①菱形OEP1Q1,此时OE为菱形一边.则有P1E=P1Q1=OE=4,P1F=EF﹣P1E=4﹣4.易知△P1NF为等腰直角三角形,∴P1N=NF=P1F=4﹣2;设P1Q1交x轴于点N,则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣(4﹣2)=2,又ON=OF﹣NF=2,∴Q1(2,﹣2);②菱形OEP2Q2,此时OE为菱形一边.此时Q2与Q1关于原点对称,∴Q2(﹣2,2);③菱形OEQ3P3,此时OE为菱形一边.此时P3与点F重合,菱形OEQ3P3为正方形,∴Q3(4,4);④菱形OP4EQ4,此时OE为菱形对角线.由菱形性质可知,P4Q4为OE的垂直平分线,由OE=4,得P4纵坐标为2,代入直线解析式y=﹣x+4得横坐标为2,则P4(2,2),由菱形性质可知,P4、Q4关于OE或x轴对称,∴Q4(﹣2,2).综上所述,存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形;点Q的坐标为:Q1(2,﹣2),Q2(﹣2,2),Q3(4,4),Q4(﹣2,2).6、解:(1)∵点B(﹣2,m)在直线y=﹣2x﹣1上∴m=3 即B(﹣2,3)又∵抛物线经过原点O∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx∵点B(﹣2,3),A(4,0)在抛物线上∴,解得:.∴设抛物线的解析式为.(2)∵P(x,y)是抛物线上的一点,∴,若S△ADP=S△ADC,∵,,又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点,∴C(0,1),∴OC=1,∴,即或,解得:.∴点P的坐标为.(3)结论:存在.∵抛物线的解析式为,∴顶点E(2,﹣1),对称轴为x=2;点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点,∴F(2,﹣5),DF=5.又∵A(4,0),∴AE=.如右图所示,在点M的运动过程中,依次出现四个菱形:①菱形AEM1Q1.∵此时DM1=AE=,∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣,∴t1=4﹣;②菱形AEOM2.∵此时DM2=DE=1,∴M2F=DF+DM2=6,∴t2=6;③菱形AEM3Q3.∵此时EM3=AE=,∴DM3=EM3﹣DE=﹣1,∴M3F=DM3+DF=(﹣1)+5=4+,∴t3=4+;④菱形AM4EQ4.此时AE为菱形的对角线,设对角线AE与M4Q4交于点H,则AE⊥M4Q4,∵易知△AED∽△M4EH,∴,即,得M4E=,∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=,∴M4F=DM4+DF=+5=,∴t4=.综上所述,存在点M、点Q,使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形;时间t的值为:t1=4﹣,t2=6,t3=4+,t4=.四、直角三角形与抛物线1、解:(1)令y=0,即=0,解得x1=﹣4,x2=2,∴A、B点的坐标为A(﹣4,0)、B(2,0).(2)S△ACB=AB•OC=9,在Rt△AOC中,AC===5,设△ACD中AC边上的高为h,则有AC•h=9,解得h=.如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=,这样的直线有2条,分别是l1和l2,则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D.设l1交y轴于E,过C作CF⊥l1于F,则CF=h=,∴CE==.设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(﹣4,0),B(0,3)坐标代入,得到,解得,∴直线AC解析式为y=x+3.直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(个长度单位)而形成的,∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣.则D1的纵坐标为×(﹣1)﹣=,∴D1(﹣4,).同理,直线AC向上平移个长度单位得到l2,可求得D2(﹣1,)综上所述,D点坐标为:D1(﹣4,),D2(﹣1,).(3)如答图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.连接FM,过M作MN⊥x轴于点N.∵A(﹣4,0),B(2,0),∴F(﹣1,0),⊙F半径FM=FB=3.又FE=5,则在Rt△MEF中,ME==4,sin∠MFE=,cos∠MFE=.在Rt△FMN中,MN=MN•sin∠MFE=3×=,FN=MN•cos∠MFE=3×=,则ON=,∴M点坐标为(,)直线l过M(,),E(4,0),设直线l的解析式为y=kx+b,则有,解得,所以直线l的解析式为y=x+3.同理,可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3.综上所述,直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3.2、解:(1)抛物线y=﹣x2+x+4中:令x=0,y=4,则B(0,4);令y=0,0=﹣x2+x+4,解得x1=﹣1、x2=8,则A(8,0);∴A(8,0)、B(0,4).(2)△ABC中,AB=AC,AO⊥BC,则OB=OC=4,∴C(0,﹣4).由A(8,0)、B(0,4),得:直线AC:y=﹣x+4;依题意,知:OE=2t,即E(2t,0);∴P(2t,﹣2t2+7t+4)、Q(2t,﹣t+4),PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;S=S△ABC+S△P AB=×8×8+×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;∴当t=2时,S有最大值,且最大值为64.(3)∵PM∥y轴,∴∠AMP=∠ACO<90°;而∠APM是锐角,所以△P AM若是直角三角形,只能是∠P AM=90°;由A(8,0)、C(0,﹣4),得:直线AC:y=x﹣4;所以,直线AP可设为:y=﹣2x+h,代入A(8,0),得:﹣16+h=0,h=16∴直线AP:y=﹣2x+16,联立抛物线的解析式,得:,解得、∴存在符合条件的点P,且坐标为(3,10).3.解:(1)∵二次函数的顶点坐标为(4,﹣4),∴设二次函数的解析式为y=a(x﹣4)2﹣4,又二次函数过(0,0),∴0=a(0﹣4)2﹣4,解得:a=,∴二次函数解析式为y=(x﹣4)2﹣4=x2﹣2x;(2)①证明:过A作AH⊥l于H,l与x轴交于点D,如图所示:设A(m,m2﹣2m),又O(0,0),∴直线AO的解析式为y=x=(m﹣2)x,则M(4,m﹣8),N(4,﹣m),H(4,m2﹣2m),∴OD=4,ND=m,HA=m﹣4,NH=ND﹣HD=m2﹣m,在Rt△OND中,tan∠ONM==,在Rt△ANH中,tan∠ANM====,∴tan∠ONM=tan∠ANM,则∠ANM=∠ONM;②△ANO不能为直角三角形,理由如下:分三种情况考虑:(i)若∠ONA为直角,由①得:∠ANM=∠ONM=45°,∴△AHN为等腰直角三角形,∴HA=NH,即m﹣4=m2﹣m,整理得:m2﹣8m+16=0,即(m﹣4)2=0,解得:m=4,此时点A与点P重合,故不存在A点使△ONA为直角三角形;(ii)若∠AON为直角,根据勾股定理得:OA2+ON2=AN2,∵OA2=m2+(m2﹣2m)2,ON2=42+m2,AN2=(m﹣4)2+(m2﹣2m+m)2,∴m2+(m2﹣2m)2+42+m2=(m﹣4)2+(m2﹣2m+m)2,整理得:m(m﹣4)2=0,解得:m=0或m=4,此时A点与P点重合或与原点重合,故∠AON不能为直角;(iii)若∠NAO为直角,可得∠NAM=∠ODM=90°,且∠AMN=∠DMO,∴△AMN∽△DMO,又∠MAN=∠ODN=90°,且∠ANM=∠OND,∴△AMN∽△DON,∴△AMN∽△DMO∽△DON,∴=,即=,整理得:(m﹣4)2=0,解得:m=4,此时A与P重合,故∠NAO不能为直角,综上,点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时,△ANO不能为直角三角形4、解:(1)直线解析式为y=x+2,令x=0,则y=2,∴A(0,2),∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A(0,2),E(﹣1,0),∴,解得.∴抛物线的解析式为:y=x2+x+2.(2)∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A,∴P(6,0),A(0,2),∴OP=6,OA=2.∵AC⊥AB,OA⊥OP,∴Rt△OCA∽Rt△OP A,∴,∴OC=,又C点在x轴负半轴上,∴点C的坐标为C(,0).(3)抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点,令x2+x+2=x+2,解得x1=0,x2=,∴B(,).如答图①所示,过点B作BD⊥x轴于点D,则D(,0),BD=,DP=6﹣=.点M在坐标轴上,且△MAB是直角三角形,有以下几种情况:①当点M在x轴上,且BM⊥AB,如答图①所示.设M(m,0),则MD=﹣m.∵BM⊥AB,BD⊥x轴,∴,即,解得m=,∴此时M点坐标为(,0);②当点M在x轴上,且BM⊥AM,如答图①所示.设M(m,0),则MD=﹣m.∵BM⊥AM,易知Rt△AOM∽Rt△MDB,∴,即,化简得:m2﹣m+=0,解得:x1=,x2=,∴此时M点坐标为(,0),(,0);(说明:此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点)③当点M在y轴上,且BM⊥AM,如答图②所示.此时M点坐标为(0,);④当点M在y轴上,且BM′⊥AB,如答图②所示.设M′(0,m),则AM=2﹣=,BM=,MM′=﹣m.易知Rt△ABM∽Rt△MBM′,∴,即,解得m=,∴此时M点坐标为(0,).综上所述,除点C外,在坐标轴上存在点M,使得△MAB是直角三角形.符合条件的点M有5个,其坐标分别为:(,0)、(,0)、(,0)、(0,)或(0,).五、相似三角形与抛物线1、解:(1)∵抛物线y=y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)∴,解得:∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x.(2)设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),得:4=4k1,解得:k1=1∴直线OB的解析式为y=x,∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x﹣m,∵点D在抛物线y=x2﹣3x上,∴可设D(x,x2﹣3x),又点D在直线y=x﹣m上,∴x2﹣3x=x﹣m,即x2﹣4x+m=0,∵抛物线与直线只有一个公共点,∴△=16﹣4m=0,解得:m=4,此时x1=x2=2,y=x2﹣3x=﹣2,∴D点的坐标为(2,﹣2).(3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是(0,3),设直线A′B的解析式为y=k2x+3,过点(4,4),∴4k2+3=4,解得:k2=,∴直线A′B的解析式是y=,∵∠NBO=∠ABO,∴点N在直线A′B上,∴设点N(n,),又点N在抛物线y=x2﹣3x上,∴=n2﹣3n,解得:n1=﹣,n2=4(不合题意,舍去)∴N点的坐标为(﹣,).方法一:如图1,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,则N1(,),B1(4,﹣4),∴O、D、B1都在直线y=﹣x上.∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N1OB1,∴,∴点P1的坐标为(,).将△OP1D沿直线y=﹣x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,),综上所述,点P的坐标是(,)或(,).2、解:(1)设函数解析式为:y=ax2+bx+c,由函数经过点A(﹣4,0)、B(1,0)、C(﹣2,6),可得,解得:,故经过A、B、C三点的抛物线解析式为:y=﹣x2﹣3x+4;(2)设直线BC的函数解析式为y=kx+b,由题意得:,解得:,即直线BC的解析式为y=﹣2x+2.故可得点E的坐标为(0,2),从而可得:AE==2,CE==2,故可得出AE=CE;(3)相似.理由如下:设直线AD的解析式为y=kx+b,则,解得:,即直线AD的解析式为y=x+4.联立直线AD与直线BC的函数解析式可得:,解得:,即点F的坐标为(﹣,),则BF==,AF==,又∵AB=5,BC==3,∴=,=,∴=,又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA.故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似.3、解:(1)由函数图象经过原点得,函数解析式为y=ax2+bx(a≠0),又∵函数的顶点坐标为(3,﹣),∴,解得:,故函数解析式为:y=x2﹣x,由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为(6,0);(2)∵S△POA=2S△AOB,∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍,即点P的纵坐标为2,代入函数解析式得:2=x2﹣x,解得:x1=3+,x2=3﹣,即可得满足条件的有两个,P1(3+,2),P2(3﹣,2).(3)存在.过点B作BP⊥OA,则tan∠BAP==,故可得∠BOA=60°,设Q1坐标为(x,x2﹣x),过点Q1作Q1F⊥x轴,∵△OAB∽△OQ1A,∴∠Q1OA=30°,故可得OF=Q1F,即x=(x2﹣x),解得:x=9或x=0(舍去),即可得Q1坐标为(9,3),根据函数的对称性可得Q2坐标为(﹣3,3).4.解:(1)依题意,将M(2,2)代入抛物线解析式得:2=﹣(2+2)(2﹣m),解得m=4.(2)令y=0,即(x+2)(x﹣4)=0,解得x1=﹣2,x2=4,∴B(﹣2,0),C(4,0)在C1中,令x=0,得y=2,∴E(0,2).∴S△BCE=BC•OE=6.(3)当m=4时,易得对称轴为x=1,又点B、C关于x=1对称.如答图1,连接BC,交x=1于H点,此时BH+CH最小(最小值为线段CE的长度).设直线EC:y=kx+b,将E(0,2)、C(4,0)代入得:y=x+2,当x=1时,y=,∴H(1,).(4)分两种情形讨论:①当△BEC∽△BCF时,如答图2所示.则,∴BC2=BE•BF.由(2)知B(﹣2,0),E(0,2),即OB=OB,∴∠EBC=45°,∴∠CBF=45°,作FT⊥x轴于点F,则BT=TF.∴可令F(x,﹣x﹣2)(x>0),又点F在抛物线上,∴﹣x﹣2=﹣(x+2)(x﹣m),∵x+2>0(∵x>0),∴x=2m,F(2m,﹣2m﹣2).。
抛物线中考压轴题(精选)
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1.(08福建莆田)如图:抛物线经过A (-3,0)、B (0,4)、C (4,0)三点. (1) 求抛物线的解析式.(2)已知AD = AB (D 在线段AC 上),有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动,经过t 秒的移动,线段PQ 被BD 垂直平分,求t 的值;(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ+MC 的值最小?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由。
(注:抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a=-)4.(08广东深圳)如图9,在平面直角坐标系中,二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点,与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0),OB =OC ,tan∠ACO=31. (1)求这个二次函数的表达式.(2)经过C 、D 两点的直线,与x 轴交于点E ,在该抛物线上是否存在这样的点F ,使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点,且以MN 为直径的圆与x 轴相切,求该圆半径的长度.(4)如图10,若点G (2,y )是该抛物线上一点,点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点,当点P 运动到什么位置时,△APG 的面积最大?求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.y x O E D CB A GA BCD O xy7.(08湖北荆门)已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 在x 轴上,与y 轴的交点为B (0,1),且b =-4ac . (1) 求抛物线的解析式;(2) 在抛物线上是否存在一点C ,使以BC 为直径的圆经过抛物线的顶点A ?若不存在说明理由;若存在,求出点C 的坐标,并求出此时圆的圆心点P 的坐标;(3) 根据(2)小题的结论,你发现B 、P 、C 三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?10.(08湖北武汉)如图 1,抛物线y=ax2-3ax+b 经过A (-1,0),C (3,2)两点,与y 轴交于点D ,与x 轴交于另一点B.(1)求此抛物线的解析式;(2)若直线y=kx-1(k≠0)将 四 边 形ABCD 面积二等分,求k 的值;(3)如图2,过点 E (1,-1)作EF ⊥x 轴于点F ,将△AEF 绕平面内某点旋转 180°后得△MNQ (点M ,N ,Q 分别与 点 A ,E ,F 对应),使点M ,N 在抛物线上,求点M ,N 的坐标.3(08湖南益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D 的坐标为(0,-3),AB 为半圆的直径,半圆圆心M 的坐标为(1,0),半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围; (2)你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;O x y ABO x y A C B P P 1 D P 2 PAOBMDCyx(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式.14.(08江苏常州)如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.(1) 求点A 的坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+,求x 的取值范围.15、(08江苏淮安)如图所示,在平面直角坐标系中.二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ,与x 轴交点为 A 、B ,与y 轴交点为C .连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标;(2)连结AP ,如果△APB 为等腰直角三角形,求a 的值及点C 、D 的坐标; (3)在(2)的条件下,连结BC 、AC 、AD ,点E(0,b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°,得到一个新三角形.设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ,根据不同情况,分别用含b 的代数式表示S .选择其中一种情况给出解答过程,其它情况直接写出结果;判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值.27、(08江西南昌)如图,抛物211y ax ax =--+经过点19(,)28P -,且与抛物线221y ax ax =--相交于A 、B 两点(1)求a 值;(2)设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ,两点(点M 在点N 的左边),221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ,两点(点E 在点F 的左边),观察M N E F ,,,四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明;(3)设A B ,两点的横坐标分别记为A B x x ,,若在x 轴上有一动点(0)Q x ,,且A B x x x ≤≤,过Q 作一条垂直于x 轴的直线,与两条抛物线分别交于C ,D 两点,试问当x为何值时,线段CD 有最大值?其最大值为多少?33、(08山东临沂)如图,已知抛物线与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,3)。
中考数学必刷题压轴题专题:抛物线之新定义之整点专题
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中考数学抛物线压轴题之新定义(整点问题)1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣4ax+3a(a>0)与y轴交于点A.(1)求点A和抛物线顶点的坐标(用含a的式子表示);(2)直线y=﹣ax+3a与抛物线y=ax2﹣4ax+3a围成的区域(不包括边界)记作G.横、纵坐标都为整数的点叫做整点.①当a=1时,结合函数图象,求区域G中整点的个数;②当区域G中恰有6个整点时,直接写出a的取值范围.2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)①直接写出抛物线的对称轴是;②用含a的代数式表示b;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线与x轴交于P、Q两点,该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域(不包括边界)恰有七个整点,结合函数图象,求a的取值范围.3.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+a+1(a<0)的对称轴为直线x=1.(1)用含有a的代数式表示b;(2)求抛物线顶点M的坐标;(3)横、纵坐标都是整数的点叫整点.过点P(0,a)作x轴的平行线交抛物线于A,B两点.记抛物线在点A,B之间的部分与线段AB围成的区域(不含边界)为W.①当a=﹣1时,直接写出区域W内整点的个数;②若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,求a的取值范围.4.如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t(t>0)秒,抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,﹣5),D(4,0).(1)求c、b(用含t的代数式表示);(2)嘉琪认为:“当这条抛物线经过点B时,一定不会经过点C”请你通过计算说明他的说法对吗?(3)当4<t<5时,设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.①在点P的运动过程中,你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求出∠AMP的值;②在矩形ABCD的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接写出t的取值范围.5.在平面直角坐标系中,y=ax2﹣bx﹣c与y轴交于点A,将点A向右平移两个单位长度,得到点B,点B 在抛物线上.(1)①直接写出抛物线的对称轴是;②用含a的代数式表示b;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.点A恰好为整点,若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内(不含边界)恰有两个整点,结合函数图象,求a的取值范围.6.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的各边与坐标轴平行,其中A(﹣4,2),B(2,2),反比例函数y=的图象过B点,抛物线y=﹣(x+m)2+2顶点在线段AB上.(1)若该抛物线与反比例函数y=的交点在正方形的边AD上,求m的值.(2)若抛物线过原点O,判断抛物线与双曲线的交点能否在正方形的边上,试通过计算说明.(3)我们把横纵坐标都是整数的点称为整点(如A点),已知正方形,二次函数下方和反比例函数图象所形成的封闭区域(如图中阴影区域,包括边界)中的整点恰好有13个,求m的取值范围.7.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+2mx﹣3m+2.(1)求抛物线的对称轴;(2)①过点P(0,2)作与x轴平行的直线,交抛物线于点M,N.求点M,N的坐标;②横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如果抛物线和线段MN围成的封闭区域内(不包括边界)恰有3个整点,求m的取值范围.8.已知点P(2,﹣3)在抛物线L:y=ax2﹣2ax+a+k(a,k均为常数,且a≠0)上,L交y轴于点C,连接CP.(1)用a表示k,并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标;(2)当L经过(3,3)时,求此时L的表达式及其顶点坐标;(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图,当a<0时,若L在点C,P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,求a的取值范围;(4)点M(x1,y1),N(x2,y2)是L上的两点,若t≤x1≤t+1,当x2≥3时,均有y1≥y2,直接写出t的取值范围.9.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣2ax+a2的顶点为A,直线y=x+3与抛物线交于点B,C(点B 在点C的左侧).(1)求点A坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段BC及抛物线在B,C两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为W.①当a=0时,结合函数图象,直接写出区域W内的整点个数;②如果区域W内有2个整点,请求出a的取值范围.10.定义:关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”.例如:y=(x﹣1)2﹣2的“同轴对称抛物线”为y=﹣(x﹣1)2+2.(1)满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合:.(2)求抛物线y=﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”.(3)如图,在平面直角坐标系中,点B是抛物线L:y=ax2﹣4ax+1上一点,点B的横坐标为1,过点B作x轴的垂线,交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C,分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′,连接BC、CC′、B′C′、BB′.①当四边形BB′C′C为正方形时,求a的值.②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时,直接写出a的取值范围.11.如图,直线l:y=﹣m与y轴交于点A,直线a:y=x+m与y轴交于点B,抛物线y=x2+mx的顶点为C,且与x轴左交点为D(其中m>0).(1)当AB=12时,在抛物线的对称轴上求一点P使得△BOP的周长最小;(2)当点C在直线l上方时,求点C到直线l距离的最大值;(3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”.当m=2020时,求出在抛物线和直线a所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数.12.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=(x﹣1)2﹣1与x轴的交点为A,B(点A在点B的左侧).(1)求点A,B的坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫整点.①直接写出线段AB上整点的个数;②将抛物线y=(x﹣1)2﹣1沿x翻折,得到新抛物线,直接写出新抛物线在x轴上方的部分与线段AB 所围成的区域内(包括边界)整点的个数.13.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=mx2+2mx+m﹣1沿x轴翻折得到抛物线C2.(1)求抛物线C2的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当m=1时,求抛物线C1和C2围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数;②如果抛物线C1和C2围成的封闭区域内(包括边界)恰有7个整点,求出m的取值范围.14.如图,已知二次函数y=x2+2x﹣1的图象经过点P(1,m).(1)求m的值和图象的顶点A的坐标;(2)点Q(n,t)在该二次函数图象上.①将点Q向左平移6单位得点Q′,若Q′恰好也在抛物线上,求n,t的值.②将横、纵坐标均为整数的点称为整点,在直线y=t下方的抛物线上(包括边界)恰好存在7个整点,则t的取值范围是.15.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣4ax+m(a≠0)与x轴的交点为A、B,(点A在点B的左侧),且AB=2.(1)求抛物线的对称轴及m的值(用含字母a的代数式表示);(2)当a>0时,抛物线a=aa2﹣4aa+a的顶点为C,若△ABC为等边三角形,则求抛物线的解析式;(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有5个整点,结合函数的图象,直接写出a的取值范围.16.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)的顶点为D,与x轴交于A,B两点(A在B的左侧).(1)当a=1时,求点A,B,D的坐标;(2)横,纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(不含边界)恰有7个整点,结合函数图象,求a的取值范围.17.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2﹣4ax+3a的对称轴交于点A(m,﹣1),点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点.(1)求抛物线的对称轴及a的值;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线y=kx+b(k≠0)与抛物线围成的封闭区域(不含边界)为W.①当k=1时,直接写出区域W内的整点个数;②若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,求b的取值范围.18.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣4ax+m(a≠0)与x轴的交点为A、B,(点A在点B的左侧),且AB=2.(1)求抛物线的对称轴及m的值(用含字母a的代数式表示);(2)若抛物线y=ax2﹣4ax+m(a≠0)与y轴的交点在(0,﹣1)和(0,0)之间,求a的取值范围;(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有5个整点,结合函数的图象,直接写出a的取值范围.19.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣4mx+4m﹣2的顶点为M.(1)顶点M的坐标为.(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若MN∥y轴且MN=2.①点N的坐标为;②过点N作y轴的垂线l,若直线l与抛物线交于P、Q两点,该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,结合函数图象,求m的取值范围.20.如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒(t>0),抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,﹣5),D(4,0).(1)求c,b(用含t的代数式表示)(2)当4<t<5时,设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N设△MPN的面积S,求S的取值范围;(3)在矩形ABCD的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点,称为“整点”若抛物线将这些“整点”分成数量相等的两部分,请直接写出t的取值范围.。
抛物线压轴题答案
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综合题答案1.如图,平面直角坐标系中,直线l分别交x轴、y轴于A、B两点(OA<OB)且OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根,点C在x轴负半轴上,且AB:AC=1:2(1)求A、C两点的坐标;(2)若点M从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AM,设△ABM的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(3)点P是y轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.1答案:2.如图,二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A、B两点,且A点坐标为(-2,0),与y轴交于点C(0,3).(1)求出这个二次函数的解析式;(2)直接写出点B的坐标为______;(3)在x轴是否存在一点P,使△ACP是等腰三角形若存在,求出满足条件的P点坐标;若不存在,请说明理由;(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大若存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;若不存在,请说明理由.解答:解:(1)∵y=ax2+x+c的图象经过A(-2,0),C(0,3),∴c=3,a=-,∴所求解析式为:y=-x2+x+3;(2)(6,0);(3)在Rt△AOC中,∵AO=2,OC=3,∴AC=,①当P1A=AC时(P1在x轴的负半轴),P1(-2-,0);②当P2A=AC时(P2在x轴的正半轴),P2(-2,0);③当P3C=AC时(P3在x轴的正半轴),P3(2,0);④当P4C=P4A时(P4在x轴的正半轴),在Rt△P4OC中,设P4O=x,则(x+2)2=x2+32解得:x=,∴P4(,0);(4)解:如图,设Q点坐标为(x,y),因为点Q在y=-x2+x+3上,即:Q点坐标为(x,-x2+x+3),连接OQ,S四边形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ=3+x+3(-x2+x+3)=-x2+x+12,∵a<0,∴S四边形ABQC最大值=,Q点坐标为(3,)。
初三数学抛物线线段最值压轴题
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初三数学抛物线线段最值压轴题在初三数学学习中,抛物线是一个非常重要的概念。
抛物线线段最值问题,则是抛物线的一个经典题型,这也是初三数学学习的一个难点。
今天我们就来深入探讨初三数学抛物线线段最值压轴题,希望通过本文的学习,能够让大家更深入地理解这个问题。
我们来了解一下什么是抛物线线段最值。
在数学中,抛物线是一种二次曲线,具有很多重要的性质。
在抛物线上取一段线段,我们希望找到这段线段的最值,即这段线段的最大值或最小值。
这就是抛物线线段最值问题。
接下来,我们来看一道经典的抛物线线段最值压轴题:题目:已知抛物线y = ax² + bx + c(a ≠ 0) 的顶点为 (-2, 3),且经过点 (1, 2),求抛物线上线段 [1, 3] 的最小值。
这道题目涉及到了抛物线的顶点、经过特定点和线段最值的求解。
我们可以利用一些数学知识来进行解题。
我们可以利用顶点坐标的性质,得到抛物线的一般式方程 y = a(x - h)² + k,其中顶点为 (h, k)。
代入题目给出的顶点坐标 (-2, 3),得到抛物线一般式方程 y = a(x + 2)² + 3。
由题目给出的条件,抛物线经过点 (1, 2),代入得到方程 2 = a(1 + 2)² + 3,解得 a = -1。
再次,利用所求线段 [1, 3] 的长度为 3-1 = 2,可以得到线段所对应的抛物线上的点为 (1, 2),代入抛物线方程,得到纵坐标 y = -1。
经过以上计算,得知抛物线上线段 [1, 3] 的最小值为 y = -1。
通过以上题目的解析,我们可以清晰地看到抛物线线段最值问题的解题思路。
首先要利用抛物线的基本性质和条件,得到抛物线的一般式方程,并根据具体条件解出抛物线的参数。
然后结合线段的特点,求出所对应抛物线上的点和其纵坐标,最终得出线段的最值。
接下来,我们来总结一下抛物线线段最值问题的解题思路。
首先要得到抛物线的一般式方程,然后根据题目给定的条件,解出抛物线的参数。
专题23--抛物线(解答题压轴题)(解析版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
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(1)若1l 过抛物线C 的焦点,且垂直于(2)若直线1l 的斜率k ∈2MN MQ =,且MNQ △【答案】(1)22y x =1(1)若B为线段AC的中点,求直线(2)若正方形DFMN的边长为实数λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求出【答案】(1)22;λ=,理由见解析(2)存在2(1)由已知可得DN为抛物线的准线.(2)λ=,使得k1+k2=λk3,理由如下:存在2(1)若抛物线2C的焦点正好为椭圆1C的上顶点,求(2)椭圆1C与抛物线2C在第一象限的交点为于点Q,交抛物线2C于点M(Q,M值,并求当p取最大时直线l的斜率.(1)证明:以DE为直径的圆经过点(1)求点P的纵坐标的取值范围;(2)设D是抛物线2Γ上一点,且位于椭圆PCD的面积存在最大值.【答案】(1)3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭;32⎛⎫(1)当k 取不同数值时,求直线l 与抛物线公共点的个数;(2)若直线l 与抛物线相交于A 、B (3)在x 轴上是否存在这样的定点均能使得MA MB k k ⋅为定值,若有,找出满足条件的点【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)存在,()0,0M (1)420240x y x y -+-=+-=(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程;(2)求证:1x 、0x 、2x 成等差数列,(3)若A ,F ,B 三点共线,求出动点【答案】(1)焦点坐标为()0,1F ,准线方程为(2)证明见解析(3)1y =-,4(1)(1)抛物线的标准方程为24x y =,于是焦点坐标为(1)若抛物线2C 的焦点恰为椭圆1C (2)若椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为交抛物线2C 于M ,且AM MB =,求【答案】(1)28y x =(2)p 的最大值为3540,此时直线(1)求抛物线的方程;(2)若||||AB CD =,求凹四边形OEBC 面积的最小值.【答案】(1)24y x =(2)324+①若0m ≤,2(22)S m =++②若0m >,((21)2S m ⎡=+⎢⎣综上所述,凹四边形OEBC 面积的最小值是。
(已整理)中考数学必刷压轴题专题:抛物线之取值范围
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中考数学抛物线压轴题之取值范围(1)当k=3时,求抛物线与x轴的两个交点坐标;(2)无论k取任何实数,抛物线过x轴上一定点,求定点坐标;(3)当k=5时,设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A,B(点A在点B的左边)两点,连接AC,在线段AC上是否存在点D,使△ABD是直角三角形,若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由.(4)点E(﹣1,1),点F(﹣2,2),抛物线与线段EF只有一个交点,求k的取值范围2.定义:若函数y=x2+bx+c(c≠0)与x轴的交点A,B的横坐标为x A,x B,与y轴交点的纵坐标为y C,若x A,x B中至少存在一个值,满足x A=y C(或x B=y C),则称该函数为友好函数.如图,函数y=x2+2x﹣3与x 轴的一个交点A的横坐标为3,与y轴交点C的纵坐标为﹣3,满足x A=y C,称y=x2+2x﹣3为友好函数.(1)判断y=x2﹣4x+3是否为友好函数,并说明理由;(2)请探究友好函数y=x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系;(3)若y=x2+bx+c是友好函数,且∠ACB为锐角,求c的取值范围.3.已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3,0),B(﹣1,0)两点(如图1),顶点为M.(1)a、b的值;(2)设抛物线与y轴的交点为Q(如图1),直线y=﹣2x+9与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时,Q点移至N点,求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线扫过的区域的面积;(3)设直线y=﹣2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时,试探求其顶点的横坐标的取值范围.4.已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣2与y轴交于点C.(1)抛物线的顶点坐标为,点C坐标为;(用含m的代数式表示)(2)当m=1时,抛物线上有一动点P,设P点横坐标为n,且n>0.①若点P到x轴的距离为2时,求点P的坐标;②设抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点纵坐标之差为h,求h与n之间的函数关系式,并写出自变量n的取值范围;(3)若点A(﹣3,2)、B(2,2),连结AB,当抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣2与线段AB只有一个交点时,直接写出m的取值范围.5.如图1,二次函数y=ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点c直线y=﹣x+4经过点B、C.(1)求抛物线的表达式;(2)过点A的直线y=kx+k交抛物线于点M,交直线BC于点N,连接AC,当直线y=kx+k平分△ABC的面积,求点M的坐标;(3)如图2,把抛物线位于x轴上方的图象沿x轴翻折,当直线y=kx+k与翻折后的整个图象只有三个交点时,求k的取值范围.6.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,A(﹣5,0),与y轴交于C(0,﹣5),并且对称轴x=﹣3.(1)求抛物线的解析式;(2)P在x轴上方的抛物线上,过P的直线y=x+m与直线AC交于点M,与y轴交于点N,求PM+MN的最大值;(3)点D为抛物线对称轴上一点,①当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时,求D点坐标;②若△ACD是锐角三角形,求点D的纵坐标的取值范围.7.在平面直角坐标系中,给出如下定义:已知两个函数,如果对于任意的自变量x,这两个函数对应的函数值记为y1、y2,恒有点(x,y1)和点(x,y2)关于点(x,x)成中心对称(此三个点可以重合),由于对称中心(x,x)都在直线y=x上,所以称这两个函数为关于直线y=x的“相依函数”.例如:y=x和y=x为关于直线y=x的“相依函数”(1)已知点M(1,m)是直线y=2x+4上一点,请求出点M(1,m)关于点(1,1)成中心对称的点N的坐标;(2)若直线y=3x+n和它关于直线y=x的“相依函数”的图象与y轴围成的三角形的面积为8,求n的值;(3)若二次函数y=ax2+bx+c和y=x2+d为关于直线y=x的“相依函数”.①请求出a、b的值;②已知点P(﹣3,2)、点Q(2,2),连接PQ,直接写出y=ax2+bx+c和y=x2+d两条抛物线与线段PQ有且只有两个交点时对应的d的取值范围.1.【解答】(1)解:∵y=x2+kx+k﹣1,∴当k=3时,y=x2+3x+3,令y=0,得x2+5x+2=0,解得x3=﹣1,x2=﹣5,∴抛物线与x轴的交点坐标是(﹣1,0),5).(2)证明:∵y=x2+kx+k﹣1,∴当y=2时,x2+kx+k﹣1=8,解得x1=﹣1,x8=1﹣k,∴无论k取任何实数,抛物线过x轴上一定点(﹣1.(3)解:k=5时,抛物线的解析式为y=x2+5x+5,令y=0,可得x2+5x+4=0,解得x=﹣2或﹣4,∴A(﹣4,5),﹣1),令x=0,得到y=3,4),如图1中,∵OA=OC=6,∠AOC=90°,∴∠CAO=45°,当∠ABD′=90°时,AB=BD′=3,∴D′(﹣1,3),当∠ADB=90°时,AD=BD,1.5).综上所述,满足条件的点D的坐标为(﹣7,1.5).(4)如图8中,观察图象可知,当x=﹣2时,∴4﹣6k+k﹣1≥2,∴k≤2,∴k≤1时,抛物线与线段EF只有一个交点.2.【解答】解:(1)y=x2﹣4x+6是友好函数,理由如下:当x=0时,y=3,x=4或3,∴y=x2﹣5x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3,∴y=x6﹣4x+3是友好函数;(2)当x=2时,y=c,∵y=x2+bx+c是友好函数,∴x=c时,y=0,2)在y=x2+bx+c上,代入得:0=c6+bc+c,∴0=c(c+b+1),而c≠4,∴b+c=﹣1;(3)①如图1,当C在y轴负半轴上时,由(2)可得:c=﹣b﹣6,即y=x2+bx﹣b﹣1,显然当x=8时,y=0,即与x轴的一个交点为(1,2),则∠ACO=45°,∴只需满足∠BCO<45°,即BO<CO∴c<﹣1;②如图2,当C在y轴正半轴上,∴显然都满足∠ACB为锐角,∴c>8,且c≠1;③当C与原点重合时,不符合题意,综上所述,c<﹣1或c>2.3.【解答】解:(1)将A(﹣3,0),3)代入抛物线y=ax2+bx+3中,得:,解得:a=7、b=4.(2)连接MQ、QD,由图形平移的性质知:QN,即四边形MQND是平行四边形;由(1)知,抛物线的解析式:y=x2+4x+3=(x+2)4﹣1,则点M(﹣2、Q(2;则,直线OM:y=x,得:,解得.则D(,);曲线扫过的区域的面积:S=S▱MQND=2S△MQD=2××OQ×|x M﹣x D|=3×|﹣5﹣|=.(3)由于抛物线的顶点始终在y=x上,h)2+h;①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C(0,9)时h3+h=4(依题意②当平移后的抛物线与直线y=﹣2x+9只有一个交点时,依题意:,消去y,得:x2﹣(2h﹣7)x+h2+h﹣9=0,则:△=(6h﹣2)2﹣2(h2+h﹣9)=﹣10h+40=0结合图形,当平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时或h>4.4.【解答】解:(1)y=x2﹣2mx+m5﹣2=(x﹣m)2﹣3,∴顶点坐标为(m,﹣2),在y=x2﹣5mx+m2﹣2中,当x=5时,y=m2﹣2,∴点C坐标为(6,m2﹣2),。
中考数学复习《抛物线压轴题中的动点问题》(五大必考题型汇编)专题练习
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中考数学复习高频考点提升《抛物线压轴题中的动点问题》(五大必考题型汇编)专题练习考型一:平移型动点问题1. 如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A,B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标.(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的表达式.2.如图,抛物线y=x2+(m+2)x+4的顶点C在x轴正半轴上,直线y=x+2与抛物线交于A,B两点(点A在点B的左侧).(1)求抛物线的函数表达式;(2)将直线AB上下平移,平移后的直线y=x+t与抛物线交于A′、B′两点(A′在B′的左侧),当以点A′、B′、(2)中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时,求t的值.3. 如图,二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(-1.0),B(4.0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E.垂直于x 轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,动直线l在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点.(1)求出二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式;(2)连接CP,CD,在移动直线l移动的过程中,抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点的三角形与△DCE相似,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.考型二:动点与面积问题1. 如图,抛物线经过A(-2,0),B,C(0,2)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求点D的坐标.CA O EFBPDlxy2.如图,在平面直角坐标系中,直线y=mx+3与抛物线交于点A(9,-6),与y 轴交于点B,抛物线的顶点C的坐标是(4,-11).(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式;(2)D是抛物线上位于对称轴左侧的点,若△ABD的面积为812,求点D的坐标;3.如图,抛物线y=x2+(m+2)x+4的顶点C在x轴正半轴上,直线y=x+2与抛物线交于A,B两点(点A在点B的左侧).(1)求抛物线的函数表达式;(2)点P是抛物线上一点,若S△PAB=2S△ABC,求点P的坐标;4. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的表达式.(2)如图1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标.考型三:动点与角度变换问题1. 如图,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上.(1)求抛物线解析式;(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.2. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+6经过两点A(﹣1,0),B(3,0),C是抛物线与y轴的点.(1)求抛物线的解析式;(2)点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设△PBC的面积为S,求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值;(3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M、点N使得∠CMN=90°,且△CMN与△OBC相似,如果存在,请求出点M和点N的坐标.3. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=mx+3与抛物线交于点A(9,-6),与y轴交于点B,抛物线的顶点C的坐标是(4,-11).(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式;(2)在y轴上是否存在一点P,使∠APC=45°?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.考型四:动点与图形周长问题1. 如图,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.(1)求抛物线的表达式.(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2. 如图,抛物线y=x2+(m+2)x+4的顶点C在x轴正半轴上,直线y=x+2与抛物线交于A,B两点(点A在点B的左侧).(1)求抛物线的函数表达式;(2)点P是抛物线上一点,若S△PAB=2S△ABC,求点P的坐标;3. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的解析式;(2)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.4. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的表达式.(2)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.考型五:动点与图形存在问题1. 如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,-2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=-1.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在第二象限内,且PE=2OD,求△PBE的面积;(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM 是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.2. 如图1所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;(3)如图2所示,M是线段OA上的一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC 和抛物线分别交于点P,N.若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上的一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.3. 如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C.过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧),点B在AC的延长线上,连结OA,OB,DA和DB.(1)如图1,当AC∥x轴时,①已知点A的坐标是(﹣2,1),求抛物线的解析式;②若四边形AOBD是平行四边形,求证:b2=4c.(2)如图2,若b=﹣2,BCAC =35,是否存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.4. 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A,B 两点,经过A,B两点的抛物线y=-x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C (1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若P为线段AB上一点,∠APO=∠ACB,求AP的长;(3)在(2)的条件下,设M是y轴上一点,试问:抛物线上是否存在点N,使得以A,P,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.。
抛物线压轴题考点及解决技巧
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抛物线压轴题考点及解决技巧摘要:1.抛物线压轴题概述2.抛物线压轴题的考点a.抛物线的性质b.抛物线与直线的关系c.抛物线与坐标轴的关系d.抛物线的顶点3.解决抛物线压轴题的技巧a.利用抛物线的性质b.利用抛物线与直线的关系c.利用抛物线与坐标轴的关系d.利用抛物线的顶点4.例题解析5.总结与建议正文:抛物线是中学数学中的重要内容,其在压轴题中的出现频率相当高。
对于许多学生来说,抛物线压轴题往往显得难度较大,因此掌握一定的解决技巧显得尤为重要。
本文将为大家介绍抛物线压轴题的考点及解决技巧,希望能为大家带来帮助。
首先,我们来了解一下抛物线压轴题的概述。
抛物线压轴题通常涉及抛物线的性质、抛物线与直线的关系、抛物线与坐标轴的关系以及抛物线的顶点等多个方面。
要解决这类问题,关键是熟练掌握抛物线的各种性质和公式。
接下来,我们来详细了解一下抛物线压轴题的考点。
1.抛物线的性质:包括抛物线的开口方向、对称轴、焦距等。
这些性质在解决抛物线与直线的关系时尤为重要。
2.抛物线与直线的关系:掌握抛物线与直线的交点、切线等知识点,能够帮助我们解决抛物线与直线相交、相切等问题。
3.抛物线与坐标轴的关系:了解抛物线与坐标轴的交点、对称性等知识点,能够帮助我们解决抛物线与坐标轴的位置关系问题。
4.抛物线的顶点:掌握顶点的求法及顶点坐标,能够帮助我们快速找到抛物线的最值、对称轴等信息。
在了解了抛物线压轴题的考点后,我们来看看解决抛物线压轴题的技巧。
1.利用抛物线的性质:在解决抛物线问题时,可以充分利用抛物线的性质,例如对称性、单调性等,简化问题。
2.利用抛物线与直线的关系:当抛物线与直线相交时,可以利用解析几何知识求解交点坐标;当抛物线与直线相切时,可以利用导数求解切线方程。
3.利用抛物线与坐标轴的关系:解决抛物线与坐标轴的位置关系问题时,可以利用对称性快速求解。
4.利用抛物线的顶点:在解决抛物线问题时,可以尝试寻找顶点,从而找到最值、对称轴等信息。
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抛物线压轴题————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:绝密★启用前xxx学校2014-2015学年度2月月考卷试卷副标题考试范围:xxx;考试时间:100分钟;命题人:xxx题号一总分得分注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分一、解答题(题型注释)1.为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担,李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯,已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数:y=-10x+500.⑴李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?⑵设李明获得的利润为W(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?⑶物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元,如果李明想要每月获得的利润不低于3000元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?2.如图所示,直线l:y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,抛物线过点B、C和D(3,0).(1)求直线BD和抛物线的解析式.(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上,以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似,求所有满足条件的点N的坐标.(3)在抛物线上是否存在点P,使S△PBD=6?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.根据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能销售500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x之间的函数关系式;(3)商店想在月销售成本不超过10 000元的情况下,使得月销售利润达到5 000元,销售单价应定为多少?4.如图,抛物线y=-x2+4x+5交x轴于A、B(以A左B右)两点,交y轴于点C.(1)求直线BC的解析式;(2)点P为抛物线第一象限函数图象上一点,设P点的横坐标为m,△PBC的面积为S,求S与m的函数关系式;(3)在(2)的条件下,连接AP,抛物线上是否存在这样的点P,使得线段PA被BC平分,如果不存在,请说明理由;如果存在,求点P的坐标.5.某商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件;如果每件商品的售价每上涨1元.则每个月少卖10件。
设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.(1) 求y与x的函数关系式(2) 每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3) 若每个月的利润不低于2160元,售价应在什么范围?6.如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标.(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与∆PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.7.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w (千克)与销售价x (元/千克)有如下关系:w=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).(1)求y与x之间的函数关系式,自变量x的取值范围;(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?(参考关系:销售额=售价×销量,利润=销售额﹣成本)参数答案1.(1)600;(2)30;(3)500.【解析】试题分析:(1)根据销售额=销售量×销售单价,列出函数关系式;(2)用配方法将(2)的函数关系式变形,利用二次函数的性质求最大值;(3)把y=3000代入(2)的函数关系式中,解一元二次方程求x,根据x的取值范围求x的值.试题解析:⑴当x=20时,y=-10x+500=-10×20+500=300,300×(12-10)=300×2=600,即政府这个月为他承担的总差价为600元.⑵依题意得,W=(x-10)(-10x+500)=-10x2+600x-5000=-10(x-30)2+4000∵a=-10<0,∴当x=30时,W有最大值4000.即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元.⑶由题意得:-10x2+600x-5000=3000,解得:x1=20,x2=40.∵a=-10<0,抛物线开口向下,∴结合图象可知:当20≤x≤40时,W≥3000.又∵x≤25,∴当20≤x≤25时,W≥3000.设政府每个月为他承担的总差价为p元,∴p=(12-10)×(-10x+500)=-20x+1000.∵k=-20<0.∴p随x的增大而减小,∴当x=25时,p有最小值500.即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元.考点: 二次函数的应用.2.(1)直线BD的解析式为:y=﹣x+3,抛物线的解析式为:y=x2﹣4x+3;(2)满足条件的点N坐标为:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3);(3)在抛物线上存在点P,使S△PBD=6,点P的坐标为(4,3)或(﹣1,8).【解析】试题分析:(1)由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式;(2)首先确定△MCD为等腰直角三角形,因为△BND与△MCD相似,所以△BND也是等腰直角三角形.如答图1所示,符合条件的点N有3个;(3)如答图2、答图3所示,解题关键是求出△PBD面积的表达式,然后根据S△PBD=6的已知条件,列出一元二次方程求解.试题解析:(1)∵直线l:y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,∴A(﹣1,0),B(0,3);∵把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,∴C(1,0).设直线BD的解析式为:y=kx+b,∵点B(0,3),D(3,0)在直线BD上,∴330bk b=⎧⎨+=⎩,解得k=﹣1,b=3,∴直线BD的解析式为:y=﹣x+3.设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)(x﹣3),∵点B(0,3)在抛物线上,∴3=a×(﹣1)×(﹣3),解得:a=1,∴抛物线的解析式为:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3;(2)抛物线的解析式为:y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,﹣1).直线BD:y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M,令x=2,得y=1,∴M(2,1).设对称轴与x轴交点为点F,则CF=FD=MF=1,∴△MCD为等腰直角三角形.∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似,∴△BND为等腰直角三角形.如答图1所示:(I)若BD为斜边,则易知此时直角顶点为原点O,∴N1(0,0);(II)若BD为直角边,B为直角顶点,则点N在x轴负半轴上,∵OB=OD=ON2=3,∴N2(﹣3,0);(III)若BD为直角边,D为直角顶点,则点N在y轴负半轴上,∵OB=OD=ON3=3,∴N3(0,﹣3).∴满足条件的点N坐标为:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3);(3)假设存在点P,使S△PBD=6,设点P坐标为(m,n).(I)当点P位于直线BD上方时,如答图2所示:过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=n,DE=m﹣3.S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=12(3+n)•m﹣12×3×3﹣12(m﹣3)•n=6,化简得:m+n=7①,∵P(m,n)在抛物线上,∴n=m2﹣4m+3,代入①式整理得:m2﹣3m﹣4=0,解得:m1=4,m2=﹣1,∴n1=3,n2=8,∴P1(4,3),P2(﹣1,8);(II)当点P位于直线BD下方时,如答图3所示:过点P作PE⊥y轴于点E,则PE=m,OE=﹣n,BE=3﹣n.S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=12(3+m)•(﹣n)+12×3×3﹣12(3﹣n)•m=6,化简得:m+n=﹣1②,∵P(m,n)在抛物线上,∴n=m2﹣4m+3,代入②式整理得:m2﹣3m+4=0,△=﹣7<0,此方程无解.故此时点P不存在.综上所述,在抛物线上存在点P,使S△PBD=6,点P的坐标为(4,3)或(﹣1,8).考点:二次函数综合题.3.(1)450(千克) 6750(元) (2)y =(x-40)[500-(x-50)×10] (3)90元【解析】解:(1)月销售量:500-10×(55-50)=450(千克),月销售利润:(55-40)×450=6750(元).(2)y =(x -40)[500-(x-50)×10].(3)当y =5000元时,(x-40)[500-(x-50)×10]=5000.解得x 1=50(舍去),x2=90.当x=50时,40×500=20000>10000.不符合题意舍去.当x=90时,500-(90-50)×10=100,40×100=4000.销售单价应定为90元.4.(1) y =5x -+ (2) S=252522m m -+ (3)存在,P (2,9)或P(3,8) 【解析】试题分析:(1)令y=0,解关于x 的一元二次方程即可得到点A、B 的坐标,再令x=0求出点C 的坐标,设直线BC 解析式为y=kx+b(k≠0),利用待定系数法求一次函数解析式解答;(2)过点P 作PH⊥x 轴于H,交B C于F,根据抛物线和直线BC 的解析式表示出PF ,再根据S △PBC =S △PCF +S △PB F整理即可得解;(3)设A P、BC 的交点为E ,过点E 作EG ⊥x 轴于G ,根据垂直于同一直线的两直线平行可得E G∥P H,然后判断出△AG E和△AH P相似,根据相似三角形对应边成比例可表示出EG 、HG,然后表示出B G,根据OB =O C可得∠OCB=∠OB C=45°,再根据等角对等边可得EG=BG ,然后列出方程求出m的值,再根据抛物线解析式求出点P 的纵坐标,即可得解.试题解析:(1)当y=0时,x 1=5,x 2=-1,∵A 左B右,∴A(-1,0),B(5,O)当x=0时,y=5,∴C(0,5),设直线BC 解析式为y=kx+b , ∴5005k b k b +=⎧⎨⨯+=⎩∴15k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 解析式为:y=5x -+;(2)作P H⊥x 轴于H,交BC 于点F,P(m ,-m 2+4m+5),F(m ,-m+5)B A xCPy O H FP F=-m 2+5m ,S △PBC =S △PCF +S △PB F S=2211(5)(5)(5)22m m m m m m -+⨯+-+⨯- ∴S=252522m m -+; (3)存在点P,作EG ⊥AB 于G,PH ⊥AB 于H ,∴EG ∥PH ,∴△A GE ∽△AHP ,∴12AE EG AG AP PH AH ===, ∵P(m ,-m 2+4m +5),EG=214522m m PH -++=, AH=m-(-1)=m+1, GH=1122m AH +=, H B=5-m ,GB=152m m ++-, ∵OC=OB =5,∴∠OCB=∠OBC =45°,∴EG =BG,∴2452m m -++=152m m ++-, ∴m 1=2 m 2=3,当m =2时,P(2,9),当m=3时,P(3,8),∴存在这样的点P , 使得线段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8). 考点:二次函数综合题.5.(1)y=-10x2+100x+2000;(2)65,2250;(3)不低于62元且不高于68元且为整数. B A xCPy O H G E【解析】试题分析:(1)根据题意,得出每件商品的利润以及商品总的销量,即可得出y与x的函数关系式.(2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式,进而得出当x=5时得出y的最大值.(3)设y=2160,解得x的值.然后分情况讨论解.试题解析:(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),则每件商品的利润为:(60-50+x)元,总销量为:(200-10x)件,商品利润为:y=(60-50+x)(200-10x),=(10+x)(200-10x),=-10x2+100x+2000.∵原售价为每件60元,每件售价不能高于72元,∴0<x≤12且x为正整数;(2)y=-10x2+100x+2000,=-10(x2-10x)+2000,=-10(x-5)2+2250.故当x=5时,最大月利润y=2250元.这时售价为60+5=65(元).(3)当y=2160时,-10x2+100x+2000=2160,解得:x1=2,x2=8.∴当x=2时,60+x=62,当x=8时,60+x=68.∴当售价定为每件62或68元,每个月的利润为2160元.当售价不低于62元且不高于68元且为整数时,每个月的利润不低于2160元.考点: 二次函数的应用.6.(1) A(-1,0),B(1,0),C(0,-1);(2)4;(3)(-2,3),(43,79),(4,15).【解析】试题分析:(1)抛物线与x轴的交点,即当y=0,C点坐标即当x=0,分别令y以及x为0求出A,B,C坐标的值;(2)四边形ACBP的面积=△ABC+△ABP,由A,B,C三点的坐标,可知△ABC是直角三角形,且AC=BC,则可求出△ABC的面积,根据已知可求出P点坐标,可知AP的长度,以及点B到直线的距离,从而求出△ABP的面积,则就求出四边形ACBP的面积;(3)假设存在这样的点M,两个三角形相似,根据题意以及上两题可知,∠PAC∠和∠MGA是直角,只需证明AG MGCA CA=或AG MGCA PA=即可.设M点坐标,根据题中所给条件可求出线段AG,CA,MG,CA的长度,然后列等式,分情况讨论,求解.试题解析: (1)令y=0,得x2-1=0解得x=±1,令x=0,得y=-1∴A(-1,0),B(1,0),C(0,-1);(2)∵OA=OB=OC=1,∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°.∵AP∥CB,∴∠PAB=45°.过点P作PE⊥x轴于E,则△APE为等腰直角三角形,令OE=A,则PE=A+1,∴P(A,A+1).∵点P在抛物线y=x2-1上,∴A+1=A2-1.解得A1=2,A2=-1(不合题意,舍去).∴PE=3.∴四边形ACBP的面积S=12AB•O C+12AB•PE=12×2×1+12×2×3=4;(3)假设存在∵∠PAB=∠BAC=45°,∴PA⊥AC∵MG⊥x轴于点G,∴∠MGA=∠PAC=90°在Rt△AOC中,OA=OC=1,∴AC=2在Rt△PAE中,AE=PE=3,∴AP=32设M点的横坐标为m,则M(m,m2-1)①点M在y轴左侧时,则m<-1.(ⅰ)当△AMG∽△PCA时,有AG MG PA CA.∵AG=-m-1,MG=m2-1.即2112 32m m---=解得m1=-1(舍去)m2=23(舍去).(ⅱ)当△MAG∽△PCA时有AG MG CA PA=,即211232m m---=.解得:m=-1(舍去)m2=-2.∴M(-2,3)(10分).②点M在y轴右侧时,则m>1(ⅰ)当△AMG∽△PCA时有AG MG PA CA=∵AG=m+1,MG=m2-1∴211 322 m m+-=解得m1=-1(舍去)m2=4 3 .∴M(43,79).(ⅱ)当△MAG∽△PCA时有AG MG CA PA=,即211 232m m+-=.解得:m1=-1(舍去)m2=4,∴M(4,15).∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似M点的坐标为(-2,3),(43,79),(4,15).考点: 二次函数综合题.7.(1) y=﹣2x2+120x﹣1600,20≤x≤40;(2) 30元/千克, 200元;(3)25.【解析】试题分析:(1)根据销售利润y=(每千克销售价﹣每千克成本价)×销售量w,即可列出y与x之间的函数关系式;(2)先利用配方法将(1)的函数关系式变形,再利用二次函数的性质即可求解;(3)先把y=150代入(1)的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据x的取值范围即可确定x的值.试题解析:(1)y=w(x﹣20)=(x﹣20)(﹣2x+80)=﹣2x2+120x﹣1600,则y=﹣2x2+120x﹣1600.由题意,有202800xx≥⎧⎨-+≥⎩,解得20≤x≤40.故y与x的函数关系式为:y=﹣2x2+120x﹣1600,自变量x的取值范围是20≤x≤40;(2)∵y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2(x﹣30)2+200,∴当x=30时,y有最大值200.故当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元;(3)当y=150时,可得方程﹣2x2+120x﹣1600=150,整理,得x2﹣60x+875=0,解得x1=25,x2=35.∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,∴x2=35不合题意,应舍去.故当销售价定为25元/千克时,该农户每天可获得销售利润150元.考点: 1.二次函数的应用;2.一元二次方程的应用.。