第二讲 绪论 (计量经济学)

分布2 分布2： χ （卡方）分布 卡方）
2
相互独立, 若 X1, X2,⋯, Xn相互独立 都服从标准正态分布 N(0,1), 则称随机变量： 则称随机变量：
χ = X + X +⋯+ X
2 2 1 2 2
所服从的分布为自由度为 n 的 记为
χ 分布 分布.
2
2 n
χ ~ χ (n)
σ
~ N (0,1)
3、相互独立、 3、相互独立、服从正态分布的随机变量的和仍然服 从正态分布；相互独立、 从正态分布；相互独立、服从正态分布的随机变量的 线性组合仍然服从正态分布。 线性组合仍然服从正态分布。 4、若两变量都服从正态分布时，它们不相关与独 、若两变量都服从正态分布时， 立是等价的。 立是等价的。
相互独立 则称 X 和 Y 相互独立 .
协方差和相关系数
（1）定义 称E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 为随机变量X和Y的 ） 协方差,记为 协方差 记为Cov(X,Y) ，即
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) E(X)E(Y)
课后习题：P14(1.3、1.7，1.8） 课后习题：P14(1.3、1.7，1.8）
数学准备知识
1、求和记号
x1 + x2 + ... + xn
记作 n
=
∑x ∑cx
k =1 k k =1
n
k
= c∑ xk
k =1
n
∑( x
k=1
n
k
+ yk ) = ∑ xk + ∑ yk
k=1 k=1
n
n
多元函数的偏导数及最值。 2、多元函数的偏导数及最值。 （1）多元函数 z = f ( x , y ,...) 求偏导数： （2）求偏导数：
离散型随机变量： 离散型随机变量：分布列
设离散型随机变量X，其所有可能取值为x 设离散型随机变量 ，其所有可能取值为 1, x2, …, 取值为 xk, …, 且取这些值的概率依次为 1, p2, …, pk, …, 且取这些值的概率依次为p 即P(X=xk)=pk, (k=1, 2, … )则称 则称
分布1：正态分布(Normal distribution) 正态分布(Normal 正态分布 若随机变量X的概率密度函数为 若随机变量 的概率密度函数为
− 1 e 2π σ ( x − µ )2 2σ 2
f ( x) =
,
x ∈ ( −∞ ,+∞ )
为实数， （其中µ ，σ为实数，σ>0） ） 则称X服从参数为 正态分布,记为 记为X～ 则称 服从参数为µ ,σ2的正态分布 记为 ～N(µ, σ2)。 。
第一讲内容回顾 计量经济学是什么？ 1、计量经济学是什么？ 计量经济学能干什么？ 2、计量经济学能干什么？ 计量经济学如何解决问题？ 3、计量经济学如何解决问题？
计量经济学研究问题的流程
一、建立计量经济学模型 ⑴ 确定模型包含的变量 ⑵ 确定模型的数学形式 解模型：通过数据来估计模型中的参数. 二、解模型：通过数据来估计模型中的参数.
rX ,Y =
∑(X
i=1 n i=1
n
i
− X )(Yi −Y)
− n −
−
−
(Xi − X )2 ∑( i −Y)2 Y ∑
i=1
相关性分析：分析变量间的相关性。 相关性分析：分析变量间的相关性。
例：X:学生的数学成绩。 Y:学生的物理成绩。 X:学生的数学成绩。 Y:学生的物理成绩 学生的数学成绩 学生的物理成绩。
问题:X与 之间相关性如何？ 问题:X与Y之间相关性如何？ :X
X 84 54 60 20 95 78 80 55 73 78 样本相关系数 Y 79 70 70 40 88 60 91 70 82 90 0.82620824
结论： 结论：X与 Y之间高度 正相关。 正相关。
（5）、常见的分布： ）、常见的分布： 常见的分布
E (Y | X 1 , X 2 )
条件期望是条件的函数
随机变量之间的关系： 4、随机变量之间的关系： 随机变量之间相互独立： 随机变量之间相互独立：
是两个随机变量， 设 X,Y是两个随机变量，若对任意的 有 是两个随机变量 若对任意的x,y,有
P(X≤ x,Y ≤ y) = P( X ≤ x)P(Y ≤ y)
∞
E( X) = ∑xk pk
k=1
是连续型随机变量， 若X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x) 是连续型随机变量 则X的数学期望为
E( X) = ∫ x f ( x)dx
−∞
∞
期望的性质： 期望的性质：
性质1. 是常数， 性质 设C是常数，则E(C)=C; 是常数 性质2. 是常数， 性质 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 是常数 性质3. E(X+Y) = E(X)+E(Y); 性质
为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .
ρXY > 0, ρXY < 0, ρXY = 0,
X与Y正相关 与 正相关 X与Y负相关 与 负相关 X与Y不相关 与 不相关
随机变量独立与相关的关系。 随机变量独立与相关的关系。 由于当X和 独立时 独立时， 由于当 和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.
1、收集数据
2、模型估计
三、模型的检验 ⑴ 经济学意义的检验
由经济学规律来决定， 由经济学规律来决定，根据模型中参数
的符号、大小、关系， 的符号、大小、关系，对参数估计结果的可 靠性进行检验。 靠性进行检验。 例如： 例如：
食品需求量计量经济学模型： 收入)+4.5 食品需求量计量经济学模型： -2.0-0.5 (收入 收入 (食品价格 +0.8 (其它商品均价 食品价格) 其它商品均价) 食品价格 其它商品均价
P(X=xk)=pk(k=1, 2, … ) 为随机变量 的分 为随机变量X 布列。
X P x1 p1 x2 p2 x3 p3 … … xk pk … …
连续型随机变量： 连续型随机变量：密度函数 的分布函数， 设F(X)是随机变量 的分布函数，若存在非负可积函 是随机变量X的分布函数 数f(x)，(-∞<x<+∞)，使对一切实数 ，均有 ， ∞ ∞ ，使对一切实数x，
3、条件分布
如：离散型随机变量的条件分布：Y = yj条件 离散型随机变量的条件分布： 下随机变量X的条件分布律 的条件分布律： 下随机变量 的条件分布律： P{X= xi |Y= yj }=
P X = xi ,Y = yj P Y = yj
{
{
}
}= p
ij
p• j
条件期望： 条件期望： E (Y | X )
正态分布密度函数f(x)的图像 的图像 正态分布密度函数
µ
标准正态分布： 标准正态分布： 当参数µ＝0，σ2＝1时，称随机变 ， 时 服从标准正态分布 量X服从标准正态分布，记作 服从标准正态分布，记作X~N(0, 1)。 。 密度函数表示为 其密度函数表示为
ϕ ( x) =
1 2π
x2 − e 2
当两个随机变量相互独立时，方差 当两个随机变量相互独立时， 和的计算： 和的计算：
D(X+Y)= D(X)+D(Y) D(X-Y)= ？
）、随机变量间的相关系数 （3）、随机变量间的相关系数 ）、
定义: 定义 设D(X)>0, D(Y)>0, 称
ρXY
Cov( X,Y ) = D( X)D(Y )
z 多元函数的极值。 3、多元函数的极值。 = f ( x , y ,...)
∂z =0 ∂x ∂z =0 ∂y ∂y
求方程组的 解（x0,y0,…) )
则多元函数在 （x0,y0,…)处取极值。 )处取极值。
…
统计学准备知识
随机变量及其刻划。 1、随机变量及其刻划。
分布函数：设X是一随机变量，x是任意实数 分布函数： 是一随机变量， 是任意实数 是一随机变量 ，则实值函数 F(x)＝P {X≤x}， x∈(-∞，+∞) ∈(＝ ≤ ， ∈( 称为随机变量X的分布函数。 称为随机变量 的分布函数。
, −∞ < x < +∞ .
其他与正态分布有关的性质： 其他与正态分布有关的性质： 1、随机变量X～N(µ, 、随机变量 ～
σ2)，则 ，
E ( X ) = µ , D( X ) = σ
Y = aX + b
2
Z=
X −µ
2、随机变量X～N(µ, σ2)，则 、随机变量 ～ ， 也服从正态分布。 也服从正态分布。
分布函数与密度函数关系的几何表示 分布函数与密度函数关系的几何表示 密度函数
x F(x)
随机变量的数字特征： 2、随机变量的数字特征：期望与方差 期望： 期望：
是离散型随机变量， 若X是离散型随机变量，它的分布律为 是离散型随机变量 它的分布律为: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 则X的数学期望为
F ( x )＝ P ( X ≤ x )＝ ∫
x
−∞
f ( t ) dt
则称X为连续型随机变量，且称f(x)为随机变量 则称X为连续型随机变量，且称f(x)为随机变量 为连续型随机变量 X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。 的概率密度函数， 的概率密度函数 简称概率密度或密度函数。 常记为X～ f(x) , (-∞<x<+∞) ～ ∞
推广
E[∑(Ci Xi )] = ∑[Ci E( Xi )]
i =1 i=1
n
n
D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2 方差定义： 方差定义：
方差计算： 方差计算： 1. 是常数, 方差性质： 方差性质： 设C 是常数 则 D(C)=0 ;
D(X)=E(X2)-[E(X)]2 2. 若 C 是常数 则 D(CX)=C2 D(X) ; 是常数, 3. 设 X 与 Y 是两个随机变量，则 是两个随机变量， D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
（2）简单性质 ）
Cov(X,Y)= Cov(Y,X) Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数 Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
Cov( X , X ) = E( X ) −[E( X )] = D( X )
2 2
随机变量和的方差与协方差的关系 随机变量和的方差与协方差的关系 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y) D(X-Y)= D(X)+D(Y)- 2Cov(X,Y)
⑶ 计量经济学检验
由计量经济学理论决定，包括： 由计量经济学理论决定，包括： 异方差性检验(Heteroskedasticity) 异方差性检验 序列相关性检验(Serial Correlation) 序列相关性检验 共线性检验(Multi-collinearity) 共线性检验
⑷ 模型预测检验
由模型的应用要求决定。包括： 由模型的应用要求决定。包括： 稳定性检验： 稳定性检验：扩大样本重新估计 预测性能检验： 预测性能检验：对样本外一点进行实际预测 注意：通过了这些检验后，模型求解完成， 注意：通过了这些检验后，模型求解完成， 方可应用。 方可应用。
错！wenku.baidu.com为什么？ 为什么？
⑵ 统计检验
由统计学理论决定，包括： 由统计学理论决定，包括： 拟合优度检验(Coefficient of Determination) 拟合优度检验 方程显著性检验(Overall Significance of Regression) 方程显著性检验 变量显著性检验(Significance of Variables) 变量显著性检验
ρX ,Y
但由
Cov( X ,Y) = =0 D( X )D(Y)
并不一定能推出X和 独立. 并不一定能推出 和Y 独立.
ρ =0
两随机变量独立必然不相关； 两随机变量独立必然不相关； 但是不相关未必独立。 但是不相关未必独立。
设随机变量X,Y样本值为 设随机变量X,Y样本值为 X,Y ),i=1,2, =1,2,…,n （Xi，Yi), =1,2, ,n 样本相关系数： （4）样本相关系数：
4、计量经济学功能的评价与决 定计量经济学模型成功的要素。 定计量经济学模型成功的要素。
）：四大功能中 四大功能中， （1）：四大功能中，检验经济理论与结构分 析功能的可靠性强， 析功能的可靠性强，而政策分析与经济预测功 能的可靠性较弱。 能的可靠性较弱。 ）：建立模型的理论 建立模型的理论、 （2）：建立模型的理论、估计模型的方法 与数据的质量是决定模型能否成功完成的 三要素。 三要素。