数列专题复习教案设计

年级 数学 科辅导讲义（第 讲）
学生 授课教师： 授课时间：
数列专题复习
题型一：等差、等比数列的基本运算
例1、已知数列}{n a 是等比数列，且4622a a a =，则=53a a ( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
例2、在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= ( ) A.58 B.88 C.143 D.176
变式 1、等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
2、若等比数列{}n a 满足2412
a a =
，则2
135a a a = . 3、已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。

题型二：求数列的通项公式
⑴.已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法（累加法）
例1：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；
变式 已知数列{}n a 满足122a =，12n n a a n +-=，求数列{}n a 的通项公式．
(2).已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+，可利用迭乘法（累积法）
例2、已知数列{}n a 满足：111
(2),21
n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式；
变式 已知数列{}n a 满足n n a n a 2
1=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。

(3).构造新数列
1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解
例、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.
变式 已知数列{}n a 中，54,211+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式。

2°递推关系形如“n
n n q pa a +=+1”两边同除1
n p
+或待定系数法求解
例、已知n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.
变式 已知数列{}n a ，n n n a a 631+=+，31=a ，求数列{}n a 的通项公式。

3°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a -
例1、已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.
变式 数列{}n a 中，)(42,211++∈+==N n a a a a n
n
n ，求数列{}n a 的通项公式.
d 、给出关于n S 和m a 的关系（1--=n n n S S a ）
例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ，设n
n n S b 3-=，
求数列{}n b 的通项公式．
变式 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212
≥⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项； ⑵设1
2+=n S b n
n ，求数列{}n b 的前n 项和n T .
题型三：数列求和
一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
前n 个正整数的和 2
)
1(321+=
++++n n n 前n 个正整数的平方和 6)
12)(1(3212
2
2
2
++=
++++n n n n
前n 个正整数的立方和 23
333]2
)1([321+=++++n n n
例1、在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .
二、错位相减法求和（重点）
这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时
一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，
转化为同倍数的等比数列求和。

例2、求和：1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
变式 已知等差数列{}n a 的通项公式n a n =，等比数列{}1
2,+=n n n b b ，设n n n b a C •=，n S 是数列n C 的
前n 项和，求n S 。

三、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例3、求数列的前n 项和：231
,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，…
变式 求数列{n(n+1)}的前n 项和.
四、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(6) n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 例4 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
变式 1、在数列{an}中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{bn}的前n 项的和.
2、已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.
题型四：等差、等比数列的判定
例1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n n
S b n
n .求证：数列{}n b 是等差数列.
变式：已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*
,3N n b n a
n ∈=，且11=a ，证明{}n a 是等差数列。

例2、设{a n }是等差数列，b n ＝n
a ⎪⎭
⎫
⎝⎛21，求证：数列{b n }是等比数列；
变式1、数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，若a n +S n =n .设c n =a n －1，求证：数列{c n }是等比数列；
2、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，24+=n n a S ，
数列{}n b ，n n n a a b 21-=+，求证：{}n b 是
等比数列；
课后作业：
1、已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *
)．
(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式。

2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．
(1)证明：数列{a n }是等比数列；
(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．
3、已知等差数列{a n }的前n 项和为
S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫1a n a n ＋1的前
n 项和n T 。

4、已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ；
(3)若c n ＝a n ·b n
n ，求数列{c n }的前n 项和T n .。