概率论与数理统计考研回忆(纯手写不保证正确)

概率论

古典概率

古典概率：概率五公式：加、减、乘、全概、贝叶斯 1. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

2. P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A-B)≡P(A B

̅)=P(A)-P(AB) P(A)=P(AB)+P(A B ̅) 3. P(AB)=P(A|B)P(B)

4. 若事件A 由几个互不相容的事件B i 构成，则有 P(A)= ∑P(A|B i )P(B i ) = ∑P(AB i )

用于已知B i 发生的概率求A 发生的概率

5. 若事件A 由几个互不相容的事件B i 构成，则有 P(B i |A)=

P(AB i )P(A)

关于互斥、独立与不相关的区别： 1. AB 互斥（不相容）：P(AB)=0 2. AB 两两独立：P(AB)=P(A)P(B)

AB 独立：等价于AB 两两独立：P(AB)=P(A)P(B)

ABC 两两独立：P(AB)=P(A)P(B)且P(AC)=P(A) P(C)且P(BC)= P(B)P(C) ABC 三三独立：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

ABC 独立：ABC 两两独立、ABC 三三独立同时成立：P(AB)=P(A)P(B)且P(AC)=P(A) P(C)且P(BC)= P(B)P(C)

且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

ABC …独立：从2到n 的nn 独立同时成立

3. AB 不相关：Cov(A,B)=0或P(AB)=P(A)P(B)或ρAB =0 通用概率模型：

古典概率：等可能事件

几何概率：面积作比，或用第一型曲线曲面积分计算 投球入盒问题与盒中抽球问题：

事件总体个数表

现代概率

现代概率：随机事件数字化，连续化：概率→概率密度

基础内容

最主要的：

概率密度 分布函数

4个数字特征重要公式：

DX =EX 2−(EX)2 DX ≡E(X −EX)2 D (X +Y )=DX +DY +2Cov(X,Y)

Cov (X,Y )=EXY −EXEY Cov (X,Y )≡E[(X −EX )(Y −EY )]

ρ=

√DXDY

基本概率模型：

最大值最小值分布：max(X,Y) F M X Y max(X,Y) F m (z )=1−[1−F X (z )][1−F Y (z )] 二维正态分布：f(x,y)

=

2πσ1σ2√1−ρ2

{−

12(1−ρ2)

[

(x−μ1)2σ12

−2ρ

(x−μ1)(y−μ2)

σ1σ2

+

(y−μ2)2σ22

]}

多维随机变量

概率分布表

随机变量的函数的分布

已知随机变量的分布，求随机变量的函数的分布：已知X 的分布求f(X)的分布，已知X,Y 的分布求f(x,y)的分布等 方法：分布函数法和公式法

概率密度 分布函数 特征函数 数字特征

期望 方差 原点矩 中心矩 协方差 互协方差 相关时间 自相关函数 互相关函数 自相关系数 相关系数 功率谱密度 互功率谱密度

联合分布

边缘分布 条件分布

联合密度 f(x,y)

边缘密度 f X (x,y ) = ∫f(x,y)dy +∞

−∞ 条件密度 f X|Y (x,y ) = f(x,y)f Y (y)

列概率分布列 一维连续

1. 公式法：f Y (y) = f X [h (y )]·|h ′(y)| 要求y=g(x)严格单调，若不单调则须分段求解然后作和。

2. 分布函数法：F Y (y )=P (Y ≤y )=P [g (X )≤y ]=P [X ≤h (y )]=F X [h (y )] 二维离散

列概率分布表 二维连续

1. 公式法：

和型 Z=kX+Y f Z (z )=∫f(x,z −kx)dx +∞

−∞

有个规律就是，将y 代入f(x,y)，再乘以|∂y

∂z |

Z=aX+bY+c f Z (z )=∫f(x,

z−ax−c b )dx

|b|+∞−∞ 积型 Z=XY f Z (z )=∫f(x,z x )dx

|x|+∞−∞ f Z (z )=∫f(z

y ,y)dy

|y|+∞−∞

商型

Z=X/Y

f Z (z )=∫

f (zy,y )|y|dy +∞−∞

2. 分布函数法： 然后分三步：①画出z 区域

②确定z 的积分区间 ③分区间进行区域积分 最后注意分段函数讨论自变量范围 二维离散连续混合

综合运用分布函数法和全概率公式： F Z (z )=P (Z ≤z )=P [g (X,Y )≤z ]=P (X =a )P [g (a,y )≤z ]+P (X =b )P[g (b,y )≤z]

数理统计

基础内容

总体，样本，样本均值X ，样本方差S 2，抽样分布 统计量： X = 1

n ∑X i n i=1

S 2=

1n−1

∑(X i −X )2n i=1= 1n−1∑X i 2−X 2n i=1

对于正态总体， EX =μ，DX =σ2

n

，ES 2=σ2，DS 2=2σ4

n−1

抽样分布：

χ2=x 12+x 22+⋯+x n 2

t =X √Y/n

F =Y 1/n 1Y 2/n 2

大写变小写

F Z (z )=P (Z ≤z )=P [g (X,Y )≤z ]=

∬f (x,y )dxdy g (x,y )≤z