人教高一数学指数函数讲义
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第四节、指数函数
一、初中根式的概念；
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念
一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示。
． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）。
由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 思考：n n a =a 一定成立吗？
结论：当n 是奇数时，a a n n =
当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)
0()0(||a a a a a a n n
例1、（1）=-+125.0833-4
1633
（2）7722)(2y x y xy x -+
+-=
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义 规定：
)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m
)1,,,0(11
*>∈>==-n N n m a a a a n m n m
n m
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
3．有理指数幂的运算性质
（1）r a ·s r r a a +=
),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>；
（3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．
无理指数幂：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。
例2、化简（1）=÷•----32
11321
32)(a b b a b a b a
（2）=•÷•363342b ab a
例3、已知函数）（R a x x a x f x x ∈⎪⎩⎪⎨⎧<≥•=-,0
,20,2)(,若,1)]1([=-f f 则a=（ ）
例4、已知==x x -2102510，则（ ）
二、指数函数及其性质
（一）指数函数的概念
一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 。
注意：（1）指数函数x a y =中x a 的系数为1；
（2）底数a 是大于0且不等于1的常数。
（3）指数就是自变量x ，是变量。
例5、函数x a a a y )232(2+-=为指数函数，求a 的取值范围。
（二）指数函数的图象和性质
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）x )
31(y = （2）x )2
1(y = （3）x 2y =
（4）x 3y =
（5）x 5y =
2．从画出的图象中你能发现函数
x 2y =的图象和函数x )2
1(y =的图象有什么关系？可否利用x 2y =的图象画出x )2
1(y =的图象？ 3．从画出的图象（x 2y =、x 3y =和x 5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？