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英才高三数学月考试题目

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炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(三)数学试卷

炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(三)数学试卷

时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷（三）数学）1.若复数z 满足1i34i z +=-，则z =（）B.252.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则345a a a ++等于（）A.12B.15C.18D.213.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.(1,0)B.(1,0)-C.1(0,)16-D.1(0,)164.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）A.πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.5πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A.10km /sB.20km /sC.80km /s 3D.40km /s 6.若83cos 5αβ=，63sin 5αβ-=，则()cos αβ+的值为（）A.4-B.54C.4-D.47.如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）A.427B.827C.29D.498.设n S 为数列的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（）A.{}20,21-B.{}20,20-C.{}29,11-D.{}20,19-二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线EF 与11D B 为异面直线B.直线1D E 与1DC 所成的角为60oC.1D F AD⊥ D.//EF 平面11CDD C 10.已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）A.12l l ⊥ B.直线1l 与圆O 相切C.直线2l 与圆O 截得弦长为 D.OQ 11.已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（）A.23b ac>B.若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23bx a=-C.1313x x t t +<+D.222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.13.已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上的投影向量为14a - ，则ab + 为______.14.如图，已知四面体ABCD 的体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A =.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且△ABC ，求a 的值.16.设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．18.已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.19.已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.。

高三数学-10月月考数学试题参考答案

高三数学-10月月考数学试题参考答案

2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。

湖南省长沙市2024届高三月考试卷数学(六)含答案

湖南省长沙市2024届高三月考试卷数学(六)含答案

英才大联考2024届高三月考试卷（六）数学（答案在最后）命题人：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{A x y ==，{|0}4xB x x =≤-，则A B = （）A.()2,4 B.[)2,4 C.(]2,4 D.φ【答案】B 【解析】【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得.【详解】在y =20x -≥得2x ≥，即[)2,A ∞=+，又由04xx ≤-可得：(4)040x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得：04x ≤<，即[)0,4B =，故[)2,4A B ⋂=.故选:B.2.已知20231i(R)1ia z a +=∈+，若z 为纯虚数，则z =（）A.B.1C.2D.【答案】B 【解析】【分析】结合虚数单位的性质以及复数的除法运算，化简z ，根据z 为纯虚数求出a 的值，即可求得答案.【详解】由题意得20231i 1i (1i)(1i)1i 1i (1i)(1i)a a a z ++++====+--+(1)(1)i2a a -++，因为z 为纯虚数，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，故1a =，所以i z =，故1z =，故选：B ．3.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14B.12C.6D.3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.故选：D .4.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且ˆˆ0.8yx a =+，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为（）色差x 21232527色度y15181920A .0.96- B.0.8- C.0.8 D.0.96【答案】C 【解析】【分析】根据表中的数据求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出ˆa，从而得到回归直线方程，再将30x =代入回归方程，求出预测值，从而求出残差.【详解】由题意可知，21232527244x +++==，15181920184y +++==，将()24,18代入ˆˆ0.8yx a =+，即ˆ180.824a =⨯+，解得ˆ 1.2a =-，所以ˆ0.8 1.2yx =-，当30x =时，ˆ0.830 1.222.8y=⨯-=，所以该数据的残差为23.622.80.8-=.故选：C.5.81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（）A.28- B.28C.84- D.84【答案】A 【解析】【分析】求出8()x y +展开式的通项，进而多项式的展开运算可得展开式中26x y 的系数.【详解】8()x y +展开式的通项为88C r rr x y -，则81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 项为6265352688C C 28y x y x y x y x-=-，即26x y 的系数为28-.故选：A.6.“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（）A.74kgB.114kgC.76kgD.112kg【答案】D 【解析】【分析】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，利用台体的体积公式计算出棱台1111ABCD A B C D -与棱台11112222A B C D A B C D -的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量.【详解】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D，如下图所示：易知四边形11AA B B 为等腰梯形，因为线段1AA 、1BB 的中点分别为2A 、2B ，则112242322AB A B A B ++===，设棱台11112222A B C D A B C D -的高为h ，体积为1V ，则棱台1111ABCD A B C D -的高为2h ，设其体积为V ，则()221119232333V h h =++⨯=，则()221564224233V h h =++⨯⋅=，所以，152********h V h V ==，所以，该“方斗”可盛米的总质量为5638112kg 19⨯=.故选：D.7.学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（）A.45B.34C.35 D.1225【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数的计算公式，即可求解【详解】记“选派4人中至少有2名男老师”为事件A ，“选派4人中有2名女老师”为事件B ，则()223133334645C C C C P A C +==，()22334635C C P B C ==，显然()()35P AB P B ==，所以()()()()()3|4P AB P B P B A P A P A ===.故选：B.8.已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是A.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()x f x g x e=，求导利用已知条件，得出()(21)xf x x e =-，求导，得出函数()f x 的单调性，令()(1)h x a x =-，利用()h x 过定点(1,0)以及函数()f x 的图像，数形结合列出不等式组，求解即可.【详解】令()()xf xg x e =()()2()()()2x x xf x f x e f x f xg x e e'-+-'===，即()2g x x c =+，(c 为常数)则()(2)xf x x c e =+因为(0)1f =-，所以1c =-，即()(21)xf x x e =-()(21)x f x x e '=+ 1()02f x x '>⇒>-，1()02f x x '<⇒<-()f x ∴在区间1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增令()(1)h x a x =-，由于()h x 过定点(1,0)，则函数()f x 和()h x 图像如下图所示要使得()()f x h x <的解集中恰有两个整数，则有253(2)(2)(1)(1)322af eh f h ae⎧-≥-⎪-≥-⎧⎪⎨⎨-<-⎩⎪-<⇒-⎪⎩解得：25332a e e≤<故选C【点睛】本题主要考查了利用导数构造函数以及求参数范围，关键是看出()h x 过定点(1,0)，结合函数()f x 的图像，数形结合来分析问题，属于难题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若1,a b c >>∈R ，则下列说法一定正确的是（）A.ac bc > B.log 1b a >C.114a b+≤ D.若4a b +=，则228a b +>【答案】BCD 【解析】【分析】举例说明判断A ；利用对数函数单调性判断B ；利用不等式性质判断C ；利用基本不等式判断D.【详解】对于A ，当0c =时，0ac bc ==，A 错误；对于B ，由1a b >>，得log log 1b b a b >=，B 正确；对于C ，由1a b >>，得1101a b<<<，则1124a b +<≤，C 正确；对于D ，由1a b >>，4a b +=，得222a b >>，228a b +>==，D 正确.故选：BCD10.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点（点A 在x 轴的下方），则下列结论正确的是（）A.若8AB =，则AB 中点到y 轴的距离为4B.弦AB 的中点的轨迹为抛物线C.若3BF FA =，则直线AB的斜率k =D.4AF BF +的最小值等于9【答案】BCD 【解析】【分析】根据焦半径公式及中点坐标公式判断A ，设直线l 方程为1x ty =+并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去t 可得轨迹判断B ，结合向量的坐标运算求出点,A B 的坐标，然后利用两点式斜率公式求解判断C ，由题可得111AF BF+=，然后根据基本不等式求解判断D.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -，设()()1122,,,A x y B x y ，对于A ，依题意，1228=++==+x A x B AF BF ，解得126x x +=，线段AB 中点的横坐标1232x x +=，该点到y 轴的距离为1232x x+=，A 错误；对于B ，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l ：1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=，()2Δ4160t =-+>，则124y y t +=，124y y =-，()21212242x x t y y t +=++=+，设线段AB 中点坐标为(),M x y ，则2121221222x x x t y y y t +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，消去t 可得222y x =-，因此弦AB 中点的轨迹为抛物线，B 正确；对于C ，显然2211),)(1,(1,BF x y FA x y =--=- ，由3BF FA =，得()21131x x -=-，213y y -=，由选项B 知124y y =-，有()21212144y y x x ==⨯，又10y <，则1(,33A -，(3,B ，因此直线AB的斜率12123133y y k x x -===--C 正确；对于D ，由选项B 知124y y =-，121=x x ，则12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++，因此4114(4)()559BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF +=++=++≥+=，当且仅当4AFBFBF AF =，即23BF AF ==时取得等号，D 正确.故选：BCD11.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠===为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦，则下列结论正确的是（）A.若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B.若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2C.若1AQ =，则点Q的轨迹长度为4D.若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到,,W Q F 三点共线，得到//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到11114A B A O A B AT ⋅=⋅=；C 选项，建立空间直角坐标系，设()0,2,2Q λμ，表达出()()2221222λμ++-=，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，结合弧长公式求出答案；D 选项，求出()0,2,1Q ，)2,2Ea a -，得到AE EQ +=，画出图形，数形结合得到其最小值.【详解】A 选项，在1,CD DD 上分别取,F W ，使得13DF DC =，113DW DD =，因为1DQ DC DD λμ=+ ，所以33DQ DF DW λμ=+ ，因为13λμ+=，所以331λμ+=，即()313DQ DF DW λλ=+- ，故33DQ DW DF DW λλ--= ，即3WQ WF λ= ，所以,,W Q F 三点共线，因为1//WF CD ，11//A B CD ，所以1//WF AB ，故//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，又1PA B S 为定值，故四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，取1A B 的中点T ，因为1A BQ △的外心为O ，所以OT ⊥1A B ，又题意得1A B ==则11114A B A O A B AT ⋅=⋅=，B 错误；C 选项，取AB 的中点R ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故DR ⊥DC ，以D 为坐标原点，以DR ，1,DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，故)11,2A -，设()0,2,2Q λμ，则1AQ ==，化简得()()2221222λμ++-=，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦，即点Q 在正方形11CDD C 内，包括边界，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，如图所示：因为SH =，11SD =，故11D H ==，故1SD H 为等腰直角三角形，π4S ∠=，故点Q 的轨迹长度为π2π44=，C 正确；D 选项，若1λ=且12μ=，112DQ DC DD =+，即()()()10,2,00,0,20,2,12DQ =+= ，即()0,2,1Q ，又)11,2A -，)B，设()111,,E x y z ，设()[]10,2,2,0,1EB a A B a a a ==-∈，即)()111,1,0,2,2x y z a a ---=-，解得11112,2x y a z a ==-=，即)2,2Ea a -，AE EQ +=+=+=，如图所示，设1101,,242KJ GV JG ===，且KJ ⊥JG ，JG ⊥GV ，在线段JG 上取一点L ，设GL a =，则12LJ a =-，故KL VL +=，显然，直接连接KV ，此时KL VL +取得最小值，最小值即为KV ，由勾股定理得KV ==，故AE EQ +=的最小值为=D 正确.故选：ACD【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12.已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ()//2a b - ，则实数m 的值为__________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算即可.【详解】因为()()1,,2,1a m b ==-，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+.又()2a b + ()//2a b -，所以()()423210m m ++-=，解得12m =-.故答案为：12-.13.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α＝__________．【答案】1515【解析】【分析】由商数关系，二倍角公式变形后求得sin α，再由同角关系式求得cos α，tan α．【详解】因为cos tan 22sin ααα=-，所以2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα===--，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，所以22sin 112sin 2sin ααα=--，解得1sin 4α=，所以cos4α==，所以sintancos15ααα==．故答案为：1515．14.已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>，F为右焦点，过点F作FA x⊥轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当ABF∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．【答案】2【解析】【分析】由条件求tan ABF∠，结合基本不等式求其取最大值的条件，由此可得,a c的齐次方程，化简可得双曲线的离心率.【详解】解：如图，根据题意(),0F c，2,bA ca⎛⎫⎪⎝⎭，2,bB ca⎛⎫--⎪⎝⎭，∴212BFbk kac==，2212BAbk k kac===，设直线,BA BF的倾斜角为αβ，，∴()1121112tan tan12tan tan11tan tan1242k kABFk kkαβαβαβ--∠=-===≤-++，当且仅当2122bkac==时等号成立，即2b=，22c a-=，210e-=，又1e>∴2e +=，故答案为：2+．四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3cos sin 3a b C c B =-．（1）求角B ；（2）过B 作BD BA ⊥，交线段AC 于D ，且2AD DC =，求角C ．【答案】（1）2π3（2）π6【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；（2）根据平面向量基本定理可得2133BD BC BA =+，再根据BD BA ⊥数量积为0求解得c a =即可.【小问1详解】由正弦定理得：sin cos sin sin sin 3A CBC B =-．∵()πA B C =-+，∴()sin sin A B C =+，∴()sin sin cos cos sin cos sin sin sin 3B C B C B C C B C B +=+=-∴cos sin sin sin 3B C C B =-，又sin 0C ≠，∴tan B =，又B 为三角形内角，∴2π3B =．【小问2详解】因为D 在AC 边上，且2AD DC =，所以2133BD BC BA =+．因为BD BA ⊥，所以120033BD BA BA BC BA ⎛⎫⋅=⇒+⋅= ⎪⎝⎭220BA BC BA ⇒+⋅= ，所以2c ac c a =⇒=．在ABC 中，c a =，2π3B =，∴π6C =．16.在三棱锥S ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==，,M N 分别为,AB SB 的中点.（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）取AC 得中点O ，得SO AC ⊥，BO AC ⊥，可知AC ⊥平面SBO ，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN 与平面MBC 的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC 得中点O ，连接,SO BO ，SA SC = ，AB BC =，SO AC ∴⊥，BO AC ⊥，又SO BO O ⋂=，SO ⊂平面SBO ，BO ⊂平面SBO ，所以AC ⊥平面SBO ，又SB ⊂平面SBO ，AC SB ∴⊥；【小问2详解】∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ，SO AC ⊥，∴SO ⊥平面ABC ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(2,0,0),(0,3,0),(2,0,0),(0,0,2),3,0),3,2)A B C S M N -，∴(330),(102)CM MN ==-,,,,，设(),,n x y z = 为平面CMN 的一个法向量，则330=20CM n x MN n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅-+=⎪⎩，取1z =，则2,6==x y (26n =,,，又(0,0,22)OS =为平面MBC 的一个法向量，221cos ,326122n OS n OS n OS⋅∴==++⨯，22sin ,3n OS ∴= ，故二面角N CM B --的正弦值为223.17.为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？（2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为(01)p p <<.①记小李以3：1取胜的概率为()f p .若当0p p =时，()f p 取最大值.求0p 的值；②若以①中0p 的值作为p 的值，这轮比赛小李所得积分为X ，求X 分布列及均值，【答案】（1）4766（2）①034p =；②分布列见解析，()1323512E X =【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）由题可得()()331f p p p =-，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，期望.【小问1详解】比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是111111344535212C C C C C C 47C 66p ++==；【小问2详解】①由题可知()()()2333C 131f p p p p p =-=-，()()()()2323311334f p p p p p p '⎡⎤=-+⨯-=-⎣⎦，令()0f p '=，得34p =，当30,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当3,14p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在3,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()fp 的最大值点034p =；②X 的可能取值为0,1,2,3，()()()333311333331301C 11C 1444256P X p p p ⎛⎫⎛⎫==-+-=-+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2332224433271C 1C 144512P X p p ⎛⎫⎛⎫==-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()222242243332812C 1C 144451P p X p p ⎛⎫⎛⎫ ⨯==-=⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3232223333331893C 1C 14444256P X p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以X 的分布列为X0123P132562751281512189256X 的期望为()13278118913230123256512512256512E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.18.已知()()2,0,2,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过C 作不平行于坐标轴的直线交Γ于D ，E 两点，若DM x ⊥轴于点M ，EN x ⊥轴于点N ，直线DN 与EM 交于点Q .①求证：点Q 在一条定直线上，并求此定直线；②求DEQ 面积的最大值.【答案】（1）(22162x y x +=≠（2）①证明见解析，3x =；②4【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；（2）①求出直线DN 与EM 方程，得到Q 点坐标，即可判定；②将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值.【小问1详解】因为P 为ABC 的重心，且边,AC AB上的两条中线长度之和为所以23PB PC BC +=⨯=>，故由椭圆的定义可知P 的轨迹Γ是以()()2,0,2,0B C -为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且2a c ==，所以b =，所以P 的轨迹Γ的方程为(22162x y x +=≠.【小问2详解】①依题意，设直线DE 方程为()20x my m =+≠.联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420m y my ++-=，易知()()222Δ16832410m m m =++=+>设()11,D x y ，()22,E x y ，则12243my y m +=-+，12223y y m ⋅=-+.因为DM x ⊥轴，EN x ⊥轴，所以()1,0M x ，()2,0N x .所以直线DN ：()1212y y x x x x =--，直线EM ：()2121y y x x x x =--，联立解得()()122112211212121222223Q my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++===+=+++.从而点Q 在定直线3x =上.②因为1212121113222DEQ Q S EN x x y x y my y =⋅-=⋅-=- ，又121212my y y y =+，则1211221122423DEQ y y S y y y m +=-=-==+，1t =>，则2661322224DEQ t S t t t==≤++ ，当且仅当2t t=，即1m =±时，等号成立，故DEQ面积的最大值为4.19.给出下列两个定义：I.对于函数()y f x =，定义域为D ，且其在D 上是可导的，若其导函数定义域也为D ，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”()y f x =，若有以下性质：①()()()f xg f x '=；②()()()f x h f x ='，其中()(),yg x yh x ==为两个新的函数，()y f x '=是()y f x =的导函数.我们将具有其中一个性质的函数()y f x =称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数()y f x =称之为“双向导函数”，将()y g x =称之为“自导函数”.（1）判断函数tan y x =和ln y x =是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题():p y f x =是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题():(,0,1)x q f x k a k a a =⋅∈>≠R .判断命题p 是q 的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数()()e axf x x b =-.①若()f x 的“自导函数”是y x =，试求a 的取值范围；②若1a b ==，且定义()()34e 3xI x f x kx kx =-+，若对任意][1,2,0,k x k ⎡⎤∈∈⎣⎦，不等式()I x c ≤恒成立，求c 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）既不充分也不必要条件；证明见解析（3）452[e ,)3-+∞【解析】【分析】（1）由()tan f x x =和()ln f x x =，结合题设中函数的定义，即可得到答案；（2）由q 成立，得到()ln xf x ka a '=，设()lng x x a =，得出()f x 为“单向导函数”，再设()ln xh x a=，得到()f x 为“双向导函数”，结合()g x 不是常值函数，求得p 不是q 的必要条件；再由p 成立，得到()(())f x g f x m '==，进而得出结论；（3）①由题意得到10a ax -=，求得0a =；②由题意求得()22(21)e 4x I x x kx k '=--+且1()02I '=，令()22(21)e 4x p x x kx k =--+，求得()24(e 2)x p x x k '=-，得到存在0x 使得02e 20x k -=，进而得到()p x 单调性，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：对于函数()tan f x x =，则()21tan '=+f x x ，这两个函数的定义域都是π{|π,Z}2x x k k ≠+∈，所以函数()f x 为“同定义域函数”，此时，()21g x x =+，由函数的定义，对于4πx =±，()(())f x h f x '=无法同时成立，所以()f x 为“单向导函数”，其“自导函数”为()21g x x =+，对于函数()ln f x x =，则()1f x x'=，因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.【小问2详解】解：若q 成立，()x f x ka =，则()ln x f x ka a '=，设()ln g x x a =，则()(())f x g f x '=，所以()f x 为“单向导函数”，又设()ln x h x a=，则()(())f x h f x '=，所以()f x 为“双向导函数”，但()g x 不是常值函数，所以p 不是q 的必要条件；若p 成立，则()g x m =，所以()(())f x g f x m '==，所以()f x mx n =+，所以q 不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.【小问3详解】解：①由题意，()1()e a a x f x ax x b -'=+-，且1()e ()e a a x a x ax x b x b -+-=-，所以10a ax -=，所以0a =；②由题意()234(1)e 3xI x x kx kx =--+，所以()22(21)e 4x I x x kx k '=--+且1()02I '=，令()[][]22(21)e 4,0,,1,2x p x x kx k x k k =--+∈∈，可得()21e 30p k =->，且()224e 84(e 2)x xp x x kx x k '=-=-，因为2e 2x y k =-为单调递增函数，且20|120,|e 20k x x k y k y k ===-<=->，所以存在01ln 2(0,)2x k k =∈使得02e 20x k -=，且当0[0,]x x ∈时，()0p x '≤，()p x 单调递减；当0[,]x x k ∈时，()0p x '≥，()p x 单调递增，（i ）当011ln 222x k ==时，即e 2k =，所以2min 0000()()(21)24(21)0p x p x x k kx k k x ==-⋅-+=--=，此时()0I x '≥，()I x 在[0,]x k ∈上单调递增，可得()()max I x I k =；（ii ）当1k =时，(0)110p =-+=，此时()200min 1ln 2,(21)02x p x k x ==--<，所以当1[0,]2x ∈时，()0I x '≤，()I x 单调递减；当1[,1]2x ∈时，()0I x '≥，()I x 单调递增，又由()()()10I k I I =>，所以()()max I x I k =；（iii ）当(1,2]k ∈且e 2k ≠时，()20min (21)0,(0)0p x k x p =--<>，所以函数()I x 在(0,1)上存在两个极值点，若011ln 222x k =>，即e 22k <≤时，极大值点为12；若011ln 222x k =<，即e 12k <<时，极大值点为11x 2<，则()max I x 为函数的极大值或()I k ，由当102x ≤≤时，()()23242414(1)e 10,(1)e 323x k I x x kx kx k I k k k k =--+≤-+≤=--+，令()[]2424(1)e ,1,23k t k k k k k =--+∈，则()[]2316(21)e 2,1,23k t k k k k k '=--+∈，设()[]2316(21)e 2,1,23k s k k k k k =--+∈，则()2224e 1624(e 4)20k ks k k k k k '=-+=-+>，所以()s k ，即()t k '单调递增，所以()()2161e 203t k t ''≥=-+>，所以()t k 单调递增，所以()()4522e 03t k t ≤=->，综上可得，()4max 52e 3I x c =-≤，所以实数c 的取值范围为452[e ,)3-+∞.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

炎德英才大联考2025届高三上学期月考数学试卷(三)

炎德英才大联考2025届高三上学期月考数学试卷(三)

大联考长郡中学2025届高三月考试卷（三）数学本试卷共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{1,2}A =，{2,3}B =，{1,2,3,4}C =，则（ ） A ．A B =∅B ．A BC =C ．A C C =D ．A C B =2．在复平面内，复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，则12z z =（ ）A ．5B C ．34i −−D ．34i −+3．已知向量a ，b满足3a = ，b = ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a 方向上的投影向量为（ ）A ．3B ．3−C ． 3a −D ．a −4．已知函数()f x 的定义域为()(),54,3f f x =+R 是偶函数，12,x x ∀∈[3,)+∞，有()()12120f x f x x x −>−，则（ ） A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <5．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A ．24B ．32C ．96D ．1286．已知曲线e x y =在1x =处的切线l 恰好与曲线ln y a x =+相切，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π02αα<<交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ42ββ <<交单位圆于B 点，若A 点的纵坐标为1213，且OAB △，则B 点的纵坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左顶点为(),,0A F c 是双曲线C 的右焦点，点P 在直线2x c =上，且tan APF ∠，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．B ．C ．4+D ．2二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则下列匀选项中正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．2π3f是()f x 的最小值 C ．()f x 在区间π0,2上的值域为33,22−D ．把函数()y f x =的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象 10．在长方体1111ABCD A B C D −中，1222AB AA AD ===，点P 满足AP AB AD λµ=+，其中[][]0,1,0,1λµ∈∈，则（ ）A ．若1B P 与平面ABCD 所成的角为π4，则点P 的轨迹长度为π4B ．当λµ=时，1B P ∥平面11ACD C ．当12λ=时，有且仅有一个点，使得1A P BP ⊥D ．当2µλ=时，1A P DP +11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线()2:20C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90,180,270°°°后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（ ）A ．开口向上的抛物线的方程为212y x = B ．4AB =C ．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长的最大值为34D ．阴影区域的面积大于4三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．若()523450123451x a a x a x a x a x a x −=+++++，则2a =_____．13．已知函数()24,1,ln 1,1,x x a x f x x x ++<=+≥ 若函数()2y f x =−有3个零点，则实数a 的取值范围是_____． 14．设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >，数列1n T为等差数列，则m =_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）记ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +−++=． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠=∠=sin B ． 16．（本小题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C −中，11160,,,1,2A AC AC BC A C AB AC AA ∠=°⊥⊥==．（1）求证：1A C ⊥平面ABC ；（2）若直线1BA 与平面11BCC B ，求平面11A BB 与平面11BCC B 夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战．若开始基础分值为()*m m ∈N 分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得－1分．若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当0X =时，答题也结束，机器人挑战失败．（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望； （2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率． 18．（本小题满分17分）．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3．,A B 是椭圆的左、右顶点，过,A B 分别做椭圆的切线，取椭圆上x 轴上方任意两点,P Q （P 在Q 的左侧），并过P ，Q 两点分别作椭圆的切线交于R 点，直线RP 交点A 的切线于I ，直线RQ 交点B 的切线于J ，过R 作AB 的垂线交IJ 于K ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若()1,2R ，直线RP 与RQ 的斜率分别为1k 与2k ，求12k k 的值； （3）求证：IK IA JKJB=．19．（本小题满分17分）对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 为()f x 的不动点．已知0a ≥，且()21ln 12f x x ax a =++−的不动点的集合为A ．以min M 和max M 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素．（1）若0a =，求A 的元素个数及max A ； （2）当A 恰有一个元素时，a 的取值集合记为B ． （i ）求B ；（ii ）若min a B =，数列{}n a 满足()112,n n nf a a a a +==，集合n C =*141,,3nk k a n = −∈∑N ．求证：*4,max 3n n C ∀∈=N ．长郡中学2025届高三月考试卷（三）数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 91011答案CADBCBBDBD BCD ABD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．C 【解析】由题意，{2},{1,2,3},{1,2,3,4},{1,2}A B A B A C C A C ===== ，对比选项可知只有C 选项符合题意．2．A 【解析】因为复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，所以112i z =−，所以()()1212i 12i 5z z =−+=． 3．D 【解析】因为()a ab ⊥+，则()290a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅= ，故9a b ⋅=− ，所以b 在a 方向上的投影向量为299a b a a a a⋅−⋅=⋅=−．4．B 【解析】因为12,[3,)x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x −>−，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增，又()3f x +是偶函数，则()3f x+的图象关于0x =对称，所以()f x 的图象关于3x =对称，则()()()0654f f f =>=，A 错误；()()154f f ==，故选项B 正确；()()()2454f f f =<=，故选项C 错误；()3f的正负不能确定，故选项D 错误．5．C 【解析】如图，设P 在底面的投影为G ，易知正四棱锥P ABCD −的外接球球心在PG 上， 由题意，球O 的半径5,853PO AO OG ====−=，所以4,8AG PA AB === 故PAB △中，边AB所以该正四棱锥的侧面积为14962××=．6．B 【解析】由e x y =得e xy ′=，又切点为（1，e ），故e k =，切线l 为e y x =， 设l 与曲线ln y a x =+的切点为()001,e ,x x y x ′=，所以01e x =，解得切点为1,1e， 所以1ln11ea a +=−=，解得2a =． 7．B 【解析】由A 点的纵坐标为1213，得125sin ,cos 1313αα==，显然ππ42α<<， 而()111sin 2AOB S αβ=×××+=△()sin αβ+，又ππ42β<<， 因此ππ2αβ<+<，3π4αβ+=，有3π4βα=−，)3π512sin sin cos sin 41313βααα=−=+=+=显然B 点在第四象限，所以B 点的纵坐标为 8．D 【解析】如图，设直线2x c =与x 轴交于点,H PH m =， 则tan ,tan 2m mPFH PAH c a c∠=∠=+． 因为APF PFH PAH ∠=∠−∠，所以()tan tan tan tan 1tan tan PFH PAHAPF PFH PAH PFH PAH∠−∠∠=∠−∠=+∠⋅∠()22222212m m m a c a c c a c m m ac c ac c m m c a c m−+++==++++⋅++．因为22ac c m m++≥m =时，等号成立，所以tan APF ∠≤，整理得22430c ac a −−=，则2430e e −−=，解得2e =+．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）9．BD 【解析】∵()()3sin f x x ωϕ=+，由题图知33π44T =，∴πT =，2ω=，故A 错误； ∵π2π623T +=，∴可得2π3f是()f x 的最小值，故B 正确； ∵ππ3sin 2366f ϕ=×+=，∴πsin 13ϕ+=，∴π2π6k ϕ=+，k ∈Z ， 又π2ϕ<，∴π6ϕ=，∴()π3sin 26f x x =+，∵π0,2x∈ ，∴ππ7π2,666x +∈ ， ∴()π33sin 2,362f x x=+∈−，故C 错误； 将()f x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象为πππ3sin 23sin 212126f x x x−=−+=，故D 正确．10．BCD 【解析】对于A 中，连接BP ，在长方体1111ABCD A B C D −中，可得1BB ⊥平面ABCD ，所以1B PB ∠即为1B P 与平面ABCD 所成的角，即1π4B PB ∠=，在直角1BB P △中，可得11BP BB ==，所以点P 的轨迹为以B 为圆心，半径为1的14圆，其周长为1π2π142××=，所以A 错误；对于B 中，当λµ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λµ=+，所以点P 在线段AC 上，连接11,,AC AB B C ，在长方体1111ABCD A B C D −中，可得1111,AC A C B C A D ∥∥，因为AC ⊄平面11AC D ，且11A C ⊂平面11A C D ，所以AC ∥平面11AC D ，同理可证1B C ∥平面11A C D ，又因为1AC B C C = ，且1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ∥平面11A C D ，因为1B P ⊂平面1AB C ，所以1B P ∥平面11A C D ，所以B 正确；对于C 中．当12λ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λµ=+ ，取,AB CD 的中点,E F ，过接,,EF AF BF ，可得点P 在线段EF 上运动，若1A P BP ⊥，因为1AA ⊥平面ABCD 且BP ⊂平面ABCD ，所以111111,,,AA BP A P A A A A P A A ⊥=⊂ 平面1A AP 、故BP ⊥平面1A AP ，又AP ⊂平面1A AP ，故BP AP ⊥，所以点P 在以AB 为直径的圆上，又因为22AB AD ==，可得线段EF 与以AB 为直径的圆只有一个交点F ，所以当点P 与F 重合时，即当且仅当P 为CD 的中点时，能使得1A P BP ⊥，所以C 正确；对于D 中，当2µλ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λµ=+ ，取,AB CD 的中点,E F ，连接,AF EF ，可得点P 在线段AF 上运动，沿着AF 将直角1AA F △和平面ADF △展开在一个平面上，如图所示，在1AA D △中，113π1,1,4AA AD A AD ==∠=，由余弦定理得2221113π2cos24A D AA AD AA AD =+−⋅=+，所以1A D =1A P DP +的最小值为，所以D 正确．11．ABD 【解析】由题意，开口向右的抛物线方程为2:2C y x =，顶点在原点，焦点为11,02F，将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为210,2F，则其方程为22x y =，即212y x =，故A 正确； 对于B ，根据A 项分析，由222,2y x x y = =可解得0x =或2x =，即2A x =，代入可得2A y =， 由图象对称性，可得()()2,2,2,2A B −，故4AB =，即B 正确； 对于C ，如图，设直线x y t +=与第一象限花瓣分别交于点,M N ，由2,2,y x t y x =−+ =解得11,M M x t y =+− =− 由2,2,y x t x y =−+ =解得1,1N N x y t = =+− ，即得()11,1,1M t N t +−−+， 则弦长为2MN =−由图知，直线x y t +=经过点A 时t 取最大值4，经过点O 时t 取最小值0，即在第一象限部分满足04t <<， 不妨设u=13u <<，且212u t −=，代入得，)()222113MNu =+−−−<<， 由此函数的图象知，当2u =时，MN取得最大值为，即C 错误；对于D ，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求18部分面积的近似值．如图：在抛物线()2102yx x ≥上取一点P ，使过点P 的切线与直线OA 平行，由1y x ′==可得切点坐标为11,2P，因为:0OA l x y −=，则点P 到直线OA的距离为d =于是1122OPA S ==△，由图知，半个花瓣的面积必大于12，故原图中的阴影部分面积必大于1842×=，故D 正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．10−【解析】()51x −的展开式通项是：()55C 1kk k x −−，依题意，得52k −=，即3k =，所以()3325C 110a =−=−． 13．（－3，6）【解析】函数()24,1,ln 1,1,x x a x f x x x ++<=+≥ 当1x ≥时，方程ln 12x +=，解得e x =，函数()2y f x =−有一个零点，则当1x <时，函数()2y f x =−须有两个零点，即242x x a ++=在1x <时有两个解．设()242g x x x a =++−，对称轴为()2,x g x =−在(),2−∞−上单调递减，在()2,−+∞上单调递增，∴()10g >，且()20g −<，即1420,4820,a a ++−> −+−< 解得36a −<<，所以a 的取值范围是（－3，6）．14．1或2【解析】当2n ≥时，111,11n n n n n n n n m mT a T a a m a T m a −−−+=+===++−， 所以()1211111111111121n n n n n n n n a n m T T m a m a m a m ma m m a −−−−−−−−=−=−=≥−−−−−+−．由数列1n T为等差数列，则1211n n a m ma −−−−为常数d ，①若0d =，则()112n a n −=≥恒成立，即()11n a n =≥恒成立，∴2m =；②若0d ≠，则2111n n a dm dma −−−=−，∴21,1,dm dm = = 解得1,1,m d = =综上所述，1m =或2m =．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1）()()()222222b c a b c a b c a b bc c a bc +−++=+−=++−=，则222b c a bc +−=−，所以2221cos 22b c a A bc +−==−，因为0πA <<，所以2π3A =． （2）由（1）得，2π3A =，因为3BAD CAD ∠=∠，所以π6CAD ∠=，如图，在ACD △中，由余弦定理，得2222cos 31647CD AD AC AD AC DAC =+−⋅∠=+−=，即CD =，在ACD △中，由正弦定理sin sin CD AD DAC C =∠=，所以sin C =，因为π03C <<，故cos C ，在ABC △中，()1sin sin sin cos cos sin 2B A C A C A C =+=+=−．16．【解析】（1）在1A AC △中，由余弦定理可得2221111cos 2AC A A A C A AC AC A A +−∠=⋅⋅，则222112cos 60212A C +−°=××，解得213A C =， 由22211A C AC A A +=，则在1A AC △中，1A C AC ⊥，因为1,,A C AB AC AB ⊥⊂平面,ABC AC AB A = ，所以1A C ⊥平面ABC ．（2）易知1,,A C AC BC 两两相互垂直，分别以1,,CA CB CA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设BC k =，则(()()(11,0,,0,0,0,0,,A B k C C −(()(110,,0,,0,,BA k CB k CC −=−设平面11BCC B 的法向量(),,n x y z = ，则10,0,n CB n CC ⋅= ⋅=可得0,0,ky x = −+=令x =0,1y z ==，所以平面11BCC B的一个法向量)n =， 设直线1BA 与平面11BCC B 所成的角为θ，则11sin BA n BA n θ⋅=⋅，可得=1k =，易知(11BB CC ==−，设平面11A BB 的法向量()000,,m x y z = ，则110,0m BA m BB ⋅=⋅=可得00000,0,y x −+= −+=令01z =，则00x y =， 所以平面11A BB的一个法向量)m =，设平面11A BB 与平面11BCC B 的夹角为α，则cos n m n mα⋅==⋅17．【解析】（1）当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，()()()1111111114,32,2,224222224P X P X P X ==×===××===×=所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：所以()1114323424E X =×+×+×=． （2）当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为： 情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分； 情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得—1分的有1轮，第5、6轮都得1分，所以()3232335411111111C C 4244441024P A =××+××= ． 18．【解析】（1）由题意：22222,2,3, 1.a b a a c bc a b c ==+=⇒= = =+ 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．4分（2）设过点R 的切线方程为()21y k x −=−，即()2y kx k =+−， 由()222,1,43y kx k x y =+− += 消去y ，整理得()()()222438242120k x k k x k ++−+−−=， 由()()()222206424434212kk k k ∆=⇒−=+−− ，整理得23410k k +−=，所以1213k k =−．（3）设()()000,0,R x y y RK >的延长线交x 轴于K ′点，如图：因为AI K K JB ′∥∥，则022IKAK x JKBK x ′+==′−． 设P ，Q 两点处切线斜率分别为12,k k ，过R 点的椭圆的切线方程为()00y y k x x −=−，即()00y kx y kx =+−，由()0022,143y kx y kx x y =+−+= 消去y ，化简整理，得()()()22200004384120kx k kx y x kx y +−−+−−=，由0∆=，得()()()2222000064443412kkx y k kx y −=+−−，化简整理，得()22200004230x k x y k y −−+−=， 由韦达定理，得20001212220023,44x y y k k k k x x −+==−−，所以()()1002002,2l J y k x y y k x y =−−+=−+， 所以要证明IK IA JKJB=，只需证明()()100002002222k x y x x k x y −−++=−−+，即()()()()()()()()22222000100012001201200042424242,k x y x k x y x k k x y k k x k k x x y −++=−+−⇔++=+⇔+−=因为00122024x y k k x +=−，所以上式成立，即IK IA JK JB =成立． 19．【解析】（1）当0a =时，()1ln 12f x x =+，其定义域为()0,+∞． 由()f x x =得1ln 102x x −+=． 设()1ln 12g x x x =−+，则()122xg x x −′=， 当10,2x∈ 时，()0g x ′>；当1,2x ∈+∞ 时，()0g x ′<， 所以()g x 在10,2上单调递增；在1,2 +∞上单调递减， 注意到()10g =，所以()g x 在 +∞上恰有一个零点1x =，且()1102g g>=， 又()22e e 0g −−=−<，所以()21e 02g g −<，所以()g x 在10,2 上恰有一个零点0x ， 即()f x 在1,2 +∞上恰有一个不动点1,x =在10,2上恰有一个不动点0x x =， 所以{}0,1A x =，所以A 的元素个数为2，又因为01x <，所以max 1A =． （2）（i ）当0a =时，由（1）知，A 有两个元素，不符合题意； 当0a >时，()21ln 12f x x ax a =++−，其定义域为()0,+∞， 由()f x x =得21ln 102x ax x a +−+−=． 设()()21ln 1,0,2h x x ax x a x =+−+−∈+∞，则()214212122ax x h x ax x x −+′=+−=， 设()2421F x ax x =−+，则416a ∆=−，①当14a ≥时，()()0,0,0F x h x ′∆≤≥≥，所以()h x 在()0,+∞上单调递增， 又()10h =，所以()h x 在()0,+∞上恰有一个零点1x =， 即()f x 在()0,+∞上恰有一个不动点1x =，符合题意； ②当104a <<时，0∆>，故()F x 恰有两个零点()1212,x x x x <． 又因为()()010,1410F F a =>=−<，所以1201x x <<<， 当()10,x x ∈时，()()0,0F x h x ′>>； 当()12,x x x ∈时，()()0,0F x h x ′<<； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0F x h x ′>>，所以()h x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，注意到()10h =，所以()h x 在()12,x x 上恰有一个零点1x =，且()()()()1210,10h x h h x h >=<=， 又0x →时，()h x →−∞，所以()h x 在()10,x 上恰有一个零点0x ′，从而()f x 至少有两个不动点，不符合题意；所以a 的取值范围为1,4 +∞ ，即集合1,4B=+∞ ．（ii ）由（i ）知，1,4B=+∞ ，所以1min 4aB =， 此时，()()22113113ln ,ln 244244f x x x h x x x x +++−+， 由（i ）知，()h x 在()0,+∞上单调递增，所以，当1x >时，()()10h x h >=，所以()f x x >，即()1f x x>，故若1n a >，则11n a +>，因为，若存在正整数N 使得1N a ≤，则11N a −≤，从而21N a −≤，重复这一过程有限次后可得11a ≤，与12a =矛盾，从而，*,1n n a ∀∈>N ， 下面我们先证明当1x >时，()3ln 12x x <−， 设()()33ln ,1,22G x x x x =−+∈+∞，所以()1323022x G x x x ′−=−=<， 所以()G x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10G x G <=，即当1x >时，()3ln 12x x <−，从而当1x >时，2211311ln 24444x x x x x ++−<−， 从而()2113ln 1244114xx x x x ++−<−，即()()1114f x x x −<−，故()()1114n nn f a a a −<−， 即()11114n n a a +−<−，由于11,1n n a a +>>， 所以110,10n n a a +−>−>，故11114n n a a +−<−，故2n ≥时，121211111111114444n n n n n a a a a −−−−−<−<−<<−= ，所以*1111114144,111434314n n nk k n k k n a −==− ∀∈−≤==−< −∑∑N ，故4max 3n C =．。

炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(三)数学答案

炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(三)数学答案

时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的炎德英才大联考长沙市一中2025届高三月考试卷（三）数学）1.若复数z 满足1i34i z +=-，则z =（）A.5B.25C.5D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，计算其模，即得答案.【详解】由1i34i z+=-可得()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z +++-+===--+，则25z =,故选：C2.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则345a a a ++等于（）A.12B.15C.18D.21【答案】B 【解析】【分析】利用52S S -即可求得345a a a ++的值.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，所以34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=.故选：B.3.抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.(1,0)B.(1,0)-C.1(0,16-D.1(0,)16【答案】D 【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标【详解】解：由24y x =，得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且124p =，所以18p =，1216p =，所以焦点坐标为1(0,16，故选：D4.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）A.πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.5πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】观察图象，确定函数()sin y x ωϕ=+的周期，排除B ，由图象可得当5π12x =时，函数取最小值，求ϕ由此判断AC ，结合诱导公式判断D.【详解】观察图象可得函数()sin y x ωϕ=+的最小正周期为2ππ2π36T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ππω=，故2ω=或2ω=-，排除B ；观察图象可得当π2π5π63212x +==时，函数取最小值，当2ω=时，可得5π3π22π+122k ϕ⨯+=，Z k ∈，所以2π2π+3k ϕ=，Z k ∈，排除C ；当2ω=-时，可得5ππ22π122k ϕ-⨯+=-，Z k ∈，所以π2π+3k ϕ=，Z k ∈，取0k =可得，π3ϕ=，故函数的解析式可能为πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，A 正确；5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误故选：A.5.1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A.10km /sB.20km /sC.80km /s 3D.40km /s【答案】B 【解析】【分析】根据实际问题，运用对数运算可得.【详解】由题意122m m =，122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===，得03ln 82v =，故0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--，故选：B6.若83cos 5αβ=，63sin 5αβ=，则()cos αβ+的值为（）A.4-B.4C.4-D.4【答案】C 【解析】【分析】已知两式平方相加，再由两角和的余弦公式变形可得．【详解】因为83cos 5αβ+=，63sin 5αβ-=，所以25(3cos 4)62αβ=，2(3sin )2536αβ=，即所以2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin 2536ααββ-=，两式相加得9)104αβ+++=，所以10cos()4αβ+=-，故选：C ．7.如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）A.427B.827C.29D.49【答案】A 【解析】【分析】根据该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以求解.【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以，所以该质点共两次到达1的位置的概率为211124333332713⨯⨯+⨯⨯=.故选：A.8.设n S 为数列的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（）A.{}20,21-B.{}20,20-C.{}29,11- D.{}20,19-【答案】A 【解析】【分析】利用121++=+n n a a n 可证明得数列{}21n a -和{}2n a 都是公差为2的等差数列，再可求得()2=21n S n n +，有了这些信息，就可以从k 的取值分析并求解出结果.【详解】因为121++=+n n a a n ，所以()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n nS a a a a a a n n n --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+，假设()2=21=210n S n n +，解得=10n 或21=2n -（舍去），由存在*N k ∈，1210k k S S +==，所以有19k =或20k =，由121++=+n n a a n 可得，+1223n n a a n ++=+，两式相减得：22n n a a +-=，当20k =时，有2021210S S ==，即210a =，根据22n n a a +-=可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，所以()211+11120a a =-⨯=，解得120a =-，当19k =时，有1920210S S ==，即200a =，根据22n n a a +-=可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，所以()202+10120a a =-⨯=，解得218a =-，由已知得123a a +=，所以121a =.故选：A.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线EF 与11D B 为异面直线B.直线1D E 与1DC 所成的角为60oC.1D F AD ⊥D.//EF 平面11CDD C 【答案】ABD 【解析】【分析】直接根据异面直线及其所成角的概念可判断AB ，利用反证法可判断C ，利用线面平行判定定理可判断D.【详解】如图所示，连接AC ，1CD ，EF ，由于E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，即F 为AC 的中点，所以1//EF CD ，EF ⊄面11CDD C ，1CD ⊆面11CDD C ，所以//EF 平面11CDD C ，即D 正确；所以EF 与1CD 共面，而1B ∉1CD ，所以直线EF 与11D B 为异面直线，即A 正确；连接1BC ，易得11//D E BC ，所以1DC B ∠即为直线1D E 与1DC 所成的角或其补角，由于1BDC 为等边三角形，即160DC B ∠=，所以B 正确；假设1D F AD ⊥，由于1AD DD ⊥，1DF DD D = ，所以AD ⊥面1D DF ，而AD ⊥面1D DF 显然不成立，故C 错误；故选：ABD.10.已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）A.12l l ⊥ B.直线1l 与圆O 相切C.直线2l 与圆O 截得弦长为23 D.OQ 17【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 根据12l l ⊥，12120A A B B +=可判断正确；选项B 由圆心O 到1l 的距离不等半径可判断错误；选项C 根据垂直定理可得；选项D 先求出()4sin cos ,4cos sin Q θθθθ-+，根据两点间的距离公式可得.【详解】选项A ：因()cos sin sin cos 0θθθθ+-=，故12l l ⊥，A 正确；选项B ：圆O 的圆心O 的坐标为()0,0，半径为2r =，圆心O 到1l 的距离为12244cos sin d r θθ-==>+，故直线1l 与圆O 相离，故B 错误；选项C ：圆心O 到1l 的距离为()22211sin cos d θθ-==+-，故弦长为222223l r d =-=，故C 正确；选项D ：由cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩，故()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-，故OQ ==，故D 正确故选：ACD11.已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（）A.23b ac>B.若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23bx a=-C.1313x x t t +<+D.222222123123x x x t t t ++=++【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由题意可得()0f x '=有两个不同实根，则由0∆>即可判断；对于B ，若123,,x x x 成等差数列，则()()22,x f x 为()f x 的对称中心，即可判断；对于C ，结合图象，当0a >和0a <时，分类讨论即可判断；对于D ，由三次函数有三个不同的零点，结合韦达定理，即可判断.【详解】因为()32f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，0a ≠，对称中心为,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，因为()f x 有三个不同零点，所以()f x 必有两个极值点，即()2320f x ax bx c '=++=有两个不同的实根，所以2Δ4120b ac =->，即23b ac >，故A 正确；对于B ，由123,,x x x 成等差数列，及三次函数的中心对称性，可知()()22,x f x 为()f x 的对称中心，所以23bx a=-，故B 正确；对于C ，函数()()1g x f x =-，当()0g x =时，()1f x =，则1y =与()y f x =的交点的横坐标即为1t ，2t ，3t ，当0a >时，画出()f x 与1y =的图象，由图可知，11x t <，33x t <，则1313x x t t +<+，当0a <时，则1313x x t t +>+，故C 错误；对D ，由题意，得()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx da x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩，整理，得123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩，得()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++，即222222123123x x x t t t ++=++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用交点式得到三次方程的韦达定理式再计算即可.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.【答案】9【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，()3E X =，()2D X =，则()3,12np np p =-=，即得1,93p n ==，故答案为：913.已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上的投影向量为14a - ，则ab + 为______.【答案】【解析】【分析】由条件结合投影向量公式可求a b ⋅ ，根据向量模的性质及数量积运算律求a b +.【详解】因为b 在a上的投影向量为14a - ，所以14b a a a aa ⋅⋅=- ，又2a = ，所以1a b ⋅=-，又1= b ，所以a b +==14.如图，已知四面体ABCD 的体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.【答案】11【解析】【分析】连接,EG ED ，将多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -，利用题设条件找到小棱锥底面面积与四面体底面面积的数量关系，以及小棱锥的高与四面体的高的数量关系，结合四面体的体积即可求得多面体EFGHBD 的体积.【详解】如图，连接,EG ED ，则多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -.因H 是AD 上靠近D 点的四等分点，则14DHE AED S S = ，又E 是AB 的中点，故11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= ，因G 是CD 上靠近D 点的四等分点，则点G 到平面ABD 的距离是点C 到平面ABD 的距离的14，故三棱锥G EDH -的体积1113218432G EDH C ABD V --=⨯=⨯=；又因点F 是BC 的中点，则133248CFG BCD BCD S S S =⨯= ，故58BFGD BCD S S = ，又由E 是AB 的中点知，点E 到平面BCD 的距离是点A 到平面BCD 的距离的12，故四棱锥E BFGD -的体积51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=，故多面体EFGHBD 的体积为11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.【点睛】方法点睛：本题主要考查多面体的体积求法，属于较难题.一般的求法有两种：（1）分割法：即将多面体通过连线，作面的垂线等途径，将其分成若干可以用公式求解；（2）补形法：即将多面体通过辅助线段构造柱体，锥体或台体，利用整体体积减去个体体积等间接方法求解.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A -=.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且ABC V 的面积为a 的值.【答案】（1）π3A =（2）2a =【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan A =，从而得解；（2）利用正弦定理的边角变换，余弦定理与三角形面积公式得到关于a 的方程，解之即可得解.【小问1详解】因为sin cos 0a B A -=,即sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A ⋅=⋅，因为sin 0B ≠，所以sin A A =,则tan A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，因为π3A =，所以113sin 222ABC S bc A bc ==⨯= 4bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得224b c bc +-=，所以()234b c bc +-=，则()22344a -⨯=，解得2a =.16.设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.【答案】（1）4230--=x y （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由函数式和导函数式求出(1)f 和(1)f '，利用导数的几何意义即可写出切线方程；（2）对函数()f x 求导并分解因式，根据参数a 的取值进行分类讨论，由导函数的正负推得原函数的增减，即得()f x 的单调性.【小问1详解】当0a =时，()221ln 2f x x x x =+，()2(ln 1)f x x x =+'，因1(1),(1)22f f '==，故()f x 在1x =处的切线方程为12(1)2y x -=-，即4230--=x y ；【小问2详解】因函数()()221ln 2f x x ax x x =++的定义域为(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x =+++=++'，①当2a e ≤-时，若10e x <<，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在1(0,)e上单调递增；若1e x >，由20x a +=可得2a x =-.则当1e 2a x <<-时，20x a +<，ln 10x +>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)e 2a -上单调递减；当2a x >-时，ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在(,)2a -+∞上单调递增；②当2e a >-时，若1e x >，则ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在1(,)e +∞上单调递增；若12e a x -<<，则ln 10,20x x a +<+>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)2e a -上单调递减；若02a x <<-，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在(0,)2a -上单调递增，当2e a =-时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，综上，当2e a <-时，函数()f x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e 2a -上单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增；当2e a =-时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2e a >-时，函数()f x 在(0,2a -上单调递增，在1(,2e a -上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增.17.已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3913【解析】【分析】（1）根据线面垂直可证BD ⊥平面PAC ，则BD PC ⊥，再根据线面平行的性质定理可证BD ∥MN ，进而可得结果；（2）根据题意可证⊥PO 平面ABCD ，根据线面夹角可知PAC 为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】设AC BD O = ，则O 为,AC BD 的中点，连接PO ，因为ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，又因为PD PB =，且O 为BD 的中点，则PO BD ⊥，AC PO O = ，,AC PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，且PC ⊂平面PAC ，则BD PC ⊥，又因为BD ∥平面AMHN ，BD ⊂平面PBD ，平面AMHN 平面PBD MN =，可得BD ∥MN ，所以MN PC ⊥.【小问2详解】因为PA PC =，且O 为AC 的中点，则PO AC ⊥，且PO BD ⊥，AC BD O = ，,AC BD ⊂平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD ，可知PA 与平面ABCD 所成的角为60PAC ∠=︒，即PAC 为等边三角形，设AH PO G =I ，则,G AH G PO ∈∈，且AH⊂平面AMHN ，PO ⊂平面PBD ，可得∈G 平面AMHN ，∈G 平面PBD ，且平面AMHN 平面PBD MN =，所以G MN ∈，即,,AH PO MN 交于一点G ，因为H 为PC 的中点，则G 为PAC 的重心，且BD ∥MN ，则23PM PN PG PB PD PO ===，设2AB =，则11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========，如图，以,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则)()22,0,0,3,0,,1,0,,133A P M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uuur uuu r ，设平面AMN 的法向量()111,,x n y z =，则1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，令11x =，则110,y z ==，可得(n = ，设平面PAM 的法向量()222,,m x y z =，则2222220330m AM y z m AP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2x =，则123,1y z ==，可得)m =u r，可得39cos ,13n m n m n m ⋅===⋅r u r r u r r u r ，所以平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值3913.18.已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB （2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）线段AB 的长为6；（2）（i ）直线l的方程为221x y =±+；（ii ）直线l的斜率的取值范围为33(,)(,7447-- .【解析】【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出的值；（2）（i ）（ii ）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可.【小问1详解】由双曲线22:13y x Γ-=的方程，可得221,3a b ==，所以1,2a b c ===，所以1(2,0)F -，2(2,0)F ，若AB x ⊥轴，则直线AB 的方程为2x =，代入双曲线方程可得(2,3),(2,3)A B -，所以线段AB 的长为6；【小问2详解】（i）如图所示，若直线l 的斜率为0，此时l 为x 轴，,A B 为左右顶点，此时1,,F A B 不构成三角形，矛盾，所以直线l 的斜率不为0，设:2l x ty =+，1122()A x y B x y ,,(,)，联立22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(31)1290t y ty ++=，t 应满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，由根与系数关系可得121222129,3131t y y y y t t +=-=--，直线1AF 的方程为110(2)2y y x x -=++，令0x =，得1122y y x =+，点112(0,2y M x +，直线1BF 的方程为220(2)2y y x x -=++，令0x =，得2222y y x =+，点222(0,2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==- ，111212221||||||222F M N M F MNN S y y x y y y y x x =-=-=-++ 12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++，由11F AB F MN S S = ，可得1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++，所以21212|4()16|4t y y t y y +++=，所以222912|4(16|43131t t t t t ⨯+-+=--，解得22229484816||431t t t t -+-=-，22916||431t t -=-，解得22021t =，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以t =所以直线l 的方程为221x y =±+；（ii ）由1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，可得2190F MF >︒∠，所以110F F N M < ，又112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+ ，所以1212224022y y x x +⨯<++，所以121210(2)(2)y y x x +<++，所以1221212104()16y y t y y t y y +<+++，所以2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--，所以22970916t t -<-，解得271699t <<，解得433t <<或433t -<<-，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以直线l的斜率的取值范围为33(,(,7447-- .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积；（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为12211||||2F F y y ⨯-或121||||2AB x x ⨯-.19.已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）12170,1,4b b b ===（2）1(1)22n n +-⨯+（3）n a n=【解析】【分析】（1）根据集合新定义，利用列举法依次求得对应值即可得解；（2）根据集合新定义，求得12,b b ，121222i i i b b b i +++==== ，从而利用分组求和法与裂项相消法即可得解.（3）通过集合新定义结合等差数列性质求出11a =，然后利用反证法结合数列{}n a 的单调性求得11n n a a +-=，利用等差数列定义求解通项公式即可；【小问1详解】因为2n a n =，则123451,4,9,16,25a a a a a =====，所以{}*11i B i a =∈<=∅N ∣，{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,i B i a =∈<=N ∣，故12170,1,4b b b ===.【小问2详解】因为2n n a =，所以123452,4,8,16,32a a a a a =====，则**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N ，所以10b =，20b =，当122i i k +<≤时，则满足i a k <的元素个数为i ，故121222i i i b b b i +++==== ，所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ 1212222n n =⨯+⨯++⨯ ，注意到12(1)2(2)2n n n n n n +⨯=-⨯--⨯，所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ 1(1)22n n +=-⨯+.【小问3详解】由题可知11a ≥，所以1B =∅，所以10b =，若12a m =≥，则2B =∅，1{1}m B +=，所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾，所以11a =，设()*1n n n d a a n +=-∈N ，因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以*n d ∈N ，假设存在*k ∈N 使得2k d ≥，设k a t =，由12k k a a +-≥得12k a t ++≥，由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾，所以对任意*n ∈N 都有1n d =，所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+-=.【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和。

英才高三数学月考试题.doc

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D、①④D. V2D、(-2,1) u(l,+8)(B ),1D、a W —2D、[-1, 0]的是(D )/(%)□/(-%) ^0 D、4^T =TA- f(一兀)> f⑶ >/X—2) B- /(-^) > /(-2) > f ⑶英才学校2011年9月份月考高三数学试题(文)第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各组函数是同一函数的是(C )① /(x) = V-2x3与g(x) = x』-2x；② /(x) = |x| 与g(x) = (J^)；③ /(x) = x°与g(x) = -；④f (x) = x~ — lx一1 与g(7)=7~ — 2f — 1。

xA、①②B、①③C、③④2.设函数 = ，则/(2)= ( B )1(x < 1)A. 0B. 1C. 23.函数y = V^+2 + (x-l)°的定义域为(C )A、(-8,-2］B、(-8,1］ c、［-2,1)D(L+8)4.设函数/(x) = (2a-X)x + b是A上的减函数，则有1 1 、1A、。

>—B、。

<—C、。

少一2 2 25.函数y = x~ -2x, xe ［0, 3］的值域是(B )A、［—1,+8)B、［-1, 3］C、［0, 3］6. f (x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不.砌A> /(-x) +/(x) = O B, /(-x) -/(x) =-2/(x) C、7.设了(x)为定义域在R上的偶函数，且/'3)在［0 + 8)为增函数，则/(-2),/(-^),/⑶的大小顺序为(A )A 、B 、C 、 D、A 、（一8,0]B 、（一8,1]C 、[0, +oo)D 、 [l,+8)10.已知 2lg(x-2y) = lgx+lgy ,则三的值为A. 1B. 4 C . D .A. 10个9个 8个 1个9.函数、=后歹的定义域是（A11.已知/（x ） =|log.xl ，其中0<。

山西省太原市英才学校高三数学理月考试卷含解析

山西省太原市英才学校高三数学理月考试卷含解析

山西省太原市英才学校高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则不等式f(x)＜f(-1)的解集是（）A.(-3,-1)∪(3,+∞)B.（-3，-1）∪（2，+∞）C.（-3，+∞）D.（-∞，-3）∪（-1，3）参考答案：A2. 将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是（）A．函数在区间上单调递增B．图像关于直线对称C．函数在区间上单调递减D．图像关于点对称参考答案：C由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，对于A中，由，则，则函数在区间上单调递增是正确的；对于B中，令，则，∴函数图像关于直线对称是正确的；对于C中，，则，则函数在区间上先减后增，∴不正确；对于D中，令，则，∴图像关于点对称是正确的，故选C．3. 已知是等差数列的前项和，下列选项中不可能是关于的图像的是参考答案：【知识点】等差数列的前项和 D2【答案解析】D 解析：∵是等差数列的前项和，∴可设，它表示过原点的一条曲线，当时，是直线，如选项C，当时，是抛物线，如选项A、B；选项D的曲线不过原点，不合题意．故选：D．【思路点拨】根据等差数列的前n项和是，它表示过原点的一条曲线，对每一个选项进行判定即可4. 已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是 ( )．参考答案：D略5. “直线垂直于平面α内的无数条直线”是“⊥α”的 ( ）A．充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件参考答案：B6. 已知函数，则的值等于（）A. B. C. D.0参考答案：C 略7. 有5组（x,y）数据如下表：去掉其中一组后，剩下的4组数据的线性相关性最强，则应去掉的一组数据所对就的点是A. (1,2)B. (3,10)C. (4,8)D. (10,12)参考答案：D8. （6）在，内角所对的边长分别为A．B．C．D．参考答案：A9. 命题的否定是A． B．C． D．参考答案：D略10. 设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＞2}，则A∩B=（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（﹣2，0）参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x|x2﹣3x＜0}=（0，3），B={x||x|＞2}={x|x＞2或x＜﹣2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），则A∩B=（2，3） 故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若a>3，则函数f （x ）=x 2-ax+1在区间（0，2）上恰好有 个零点 参考答案： 112.，则的值等于 __________.参考答案：试题分析:因,故应填答案.考点：定积分及计算公式的运用. 13. 在中，，，，为的外心，且，则参考答案：14. 曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为________________。

英才大联考长郡中学2024届高三上学期月考(五)数学试题(解析版)

英才大联考长郡中学2024届高三上学期月考(五)数学试题(解析版)

英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}2|60Ax xx =−−<，集合{}2|lo 1g Bx x =<，则A B ∪=A. ()2,3−B. (),3−∞C. ()2,2−D. ()0,2【答案】A 【解析】【分析】先由二次不等式的解法得{}|23Ax x =−<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x −−<,解得23x −<<,则{}|23A x x =−<<,解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<,即A B ∪=()2,3− 故选:A.. （2022.广州二模）2. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A. 12xy =B. 2yx x =−C. 1y x =−D. 1y x x=−【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】对A ：容易知12xy =是偶函数，且在()0,+∞单调递减，故错误；对B ：容易知2yx x =−是偶函数，当0x >时，2y x x =−，,其在10,2 单调递增，在1,2 +∞单调递减，故错误； 对C ：容易知1y x =−是偶函数，当0x >时，1y x =−是单调增函数，故正确；对D ：容易知1y x x=−是奇函数，故错误； 故选：C.3. 已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A. 1086 B. 1229C. 980D. 1060【答案】A 【解析】【分析】由题中的定义，可知是计算ln1100000000，再根据对数的运算法则及性质求解即可.【详解】由题意，可知100002500(10000)2500lg e 25000.43431086ln100004ln10l 00100n 10π≈===≈×≈. 故选:A4. 2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0ktP P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ） A. 5% B. 3%C. 2%D. 1%【答案】B 【解析】【分析】根据前4小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，求出1ln104k =，再计算经过6小时，空气中剩余污染物的残留量，可得答案.【详解】由题可得，前4小时，废气中的污染物恰好被过滤掉90%，故由0e ktPP −=⋅得()400190%e kP P −−=，所以40.1e k −=，即1ln104k =， 由再过滤2小时，即共6小时，空气中剩余污染物为321336ln10ln106ln10422000000e e e e 10kP P P P P P − −−−−======， ()3,3.5，故污染物所剩比率约为03%P ,故选：B（2022.苏北七市三模） 5. 函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】取0,0,0a c b >>=，此时()2axf x x c=+，可排除A 、C 、D. 【详解】因为,,R a b c ∈，所以取0,0,0a c b >>=，此时()2axf x x c=+，0x >时，()0f x >，0x <时，()0f x <，故只有B 符合题意. 故选：B.6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8 B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】【分析】不构成三角形的条件就是任选三条线段较小两条之和不超过最长线段，因n 段之和为定值，欲n 尽可能的大，按从小到大排序后，必须每段的长度尽可能小，即：保证前两段最短的情况下，使得第三项等于前两项之和便不能构成三角形.【详解】截成的铁丝最小为1，因此第一段为1，因n 段之和为定值，欲n 尽可能的大，则必须每段的长度尽可能小， 所以第二段为1，又因为任意三条线段都不能构成三角形， 所以三条线段中较小两条之和不超过最长线段， 又因为每段的长度尽可能小， 所以第三段为2，为了使得n 最大，因此要使剩下的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻两段之和， 依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34，以上各数之和为88，与89相差1，因此可以取最后一段为35， 这时n 达到最大为9. 故选：B.7. 已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是A. 10,8B. 150,,148 ∪C. 50,8D. 1150,,848 ∪【答案】D 【解析】【分析】先把()f x化成()4f x x πω=−，求出()f x 的零点的一般形式为+4,k x k Z ππω∈，根据()f x 在区间(,2)ππ内没有零点可得关于k 的不等式组，结合k 为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.【详解】由题设有1cos 11()sin 2224f x x x x πωωω−=+−=−， 令()0f x =，则有,4x k k Z πωπ−=∈即+4,k xk Z ππω∈.因为()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，故存在整数k ，使得5++442k k ππππππωω≤<<，即14528k k ωω ≥+ ≤+，因为0ω>，所以1k ≥−且15428k k +≤+，故1k =−或0k =，所以108ω<≤或1548ω≤≤， 故选：D.【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.8. 已知函数22()42af x x x x =−−−在区间(),2−∞−，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <≤B. 04a <≤C. 0a <≤D. 0a <≤【答案】D 【解析】【分析】设2()42ag x x x =−−的零点为1x ，2x 且12x x <，讨论区间范围写出()f x 的分段函数形式，讨论参数a 结合()f x 各区间的函数性质判断单调性，根据已知区间的单调性求参数范围即可.【详解】设2()42a g x x x =−−，其判别式21604a ∆=+>，∴函数()g x 一定有两个零点，设()g x 的两个零点为1x ，2x 且12x x <，由2402a x x −−=，得1x =2x =， ∴121224,2()24,24,2ax x x a f x x x x x x ax x x +<=−−≤≤ +>，①当0a ≤时，()f x 在()1,x −∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(),2−∞−不可能单调递增，故0a >；②当0a >时，()20g a −=>，故12x >−，则120x −<<， ∵()f x 在()1,x −∞上单调递增，∴()f x 在(),2−∞−上也单调递增，10g =−<2x <，由()f x 在2,8ax和()2,x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，∴()f x 在,8a +∞上单调递增，欲使()f x 在)+∞上单调递增，只需8a≤a ≤，综上：实数a 的范围是0a <≤. 故选：D.【点睛】关键点点睛：先研究绝对值部分的零点，进而写出()f x 的分段函数表达式，再讨论参数a ，根据函数性质及已知区间单调性求参数的范围.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是（ ）A. 如果a=b ，那么()f x 为奇函数B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质逐一分析即可得到选项. 【详解】解：对于A ：当a b =时，函数()xx f x ae ae −=+，此时()()x x f x ae ae f x −−=+=为偶函数，故A 错误.对于B ：当0ab <时，令0,0a b ><，函数x y ae =在其定义域上单调递增函数，函数xby e =在其定为义域上也为单调递增函数，故函数()xx bf x ae e=+在其定义域上为单调递增函数； 当0,0a b <>，函数x y ae =在其定义域上为单调递减函数，函数x by e=在其定义域上也为单调递减函数，故函数()x x bf x ae e =+在其定义域上为单调递减函数； 综上，如果0ab <，那么()f x 为单调函数；故B 正确.对于C ：当0,0a b >>时，函数()0x x f x ae be −=+≥=>， 当0,0a b <<时，函数()()0x x f x ae be −=−−−≤−=−<；综上，如果0ab >，那么函数()f x 没有零点；故C 正确. 对于D ：由1ab =，则1b a=， 当0,0a b <<时，函数()12x x f x ae e a −=−−−≤−=− ； 当0,0a b >>时，函数()12x x f x ae e a −=+≥=； 故1ab =时，函数()f x 没有最小值，故D 错误 故选：BC.10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）A. 1BB =B. //FG ACC. BD ⊥平面1BFB GD. 几何体2的表面积为8【答案】ABC.【解析】【分析】对于A ，先证得四形边1B FBG 是边长为2菱形，再利用中位线定理求得FG ，从而得解；对于B ，利用面面平行的性质定理证得//AC EH ，从而得证；对于C ，利用勾股定理证得PQ BK ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；对于D ，将几何体2拆分成4个正方形与8个菱形即可得得解.【详解】将几何体1与几何体2合并在一起，连接1,,,,,BB FG PQ EH AC BD ，记FG PQ K = ，易得1K BB ∈，对于A ，因为在正四棱台ABCD EPHQ −中，//AB EP ， F 是EP 的中点， 所以//AB EF ，又N 是EQ 的中点，2EN =，所以4EQ =，则4EP =，2EF =， 又2AB =，所以AB EF =，所以四边形ABFE 2BF AE ==，同理：112B F B GBG ===， 所以四形边1B FBG 是边长为2菱形，在边长为4的正方形EPHQ 中，HE =因为,F G 是,EP PH 的中点，所以//FG EH ，12FG EH ==，所以1BB ，故A 正确；对于B ，因为在正四棱台ABCD EPHQ −中，面//ABCD 面EPHQ ， 又面AEHC 面ABCD AC =，面AEHC 面EPHQ EH =， 所以//AC EH ，又//FG EH ，所以//FG AC ，故B 正确；对于C ，在四边形EPHQ 中，由比例易得14PK PQ ==，由对称性可知112BK B B ==2PB =，所以222PK BK PB +=，则PK BK ⊥，即PQ BK ⊥， 而由选项B 同理可证//BD PQ ，所以BD BK ⊥，因为在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，而//FG AC ，所以BD FG ⊥，因为,,BK FG K BK FG =⊂ 面1BFB G ，所以BD ⊥面1BFB G ， 对于D ，由选项A 易知四边形1BGB F 是边长为2的正方形，上下底面也是边长为2的正方形，四边形ABFE 是边长为2 所以几何体2是由4个边长为2正方形和8个上述菱形组合而成，所以其表面积为2428216×+×+，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得四形边1B FBG 是边长为2菱形，从而解决选项A ，再利用面面平行的性质定理推得//AC EH ，//BD PQ ，从而解决选项BC ，将几何体2各个面分解成基本图形即可解决D.11. 已知函数e x y x =+的零点为1ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A. 120x x +> B. 120x x < C. 12ln 0xe x += D. 12121x x x x −+<【答案】BCD 【解析】【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可. 【详解】12,x x 分别为直线y x =−与e x y =和ln y x =的交点的横坐标，因为函数e x y =与函数ln y x =互为反函数， 所们这两个函数的图象关于直线y x =， 而直线y x =−、y x =的交点是坐标原点，故120x x +=，120x x <，()11,0x ∈−，()20,1x ∈， 1212ln 0e x x x x +=−−=，()()1212121110x x x x x x −+−=+−<，故12121x x x x −+<故选：BCD.【点睛】关键点睛：利用反函数的性质是解题的关键. 12. 已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，则（ ）A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点D. 当0a b +>时，()f x 的最小值为1【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，确定函数极值点；对于B ，设切点为2e (,),am m n n bm m =++，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；对于C ，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于D ，由于()f x 为偶函数，故先判断0x >时函数的单调性，结合偶函数性质，即可判断0x <的单调性，进而求得函数最值.【详解】对于A ，由已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，可得()e 2axf x a x b ′=++，令()()2e 2,e 20axaxg x a x b g x a ′=++∴=+>，则()g x 即()e 2axf x a x b ′=++在R 上单调递增，令()e 20axf x a x b ′=++=，则e 2ax a x b =−−，当0a >时，作出函数e ,2ax y a y x b ==−−的大致图象如图：当a<0时，作出函数e ,2ax y a y x b ==−−的大致图象如图：可知e ,2ax y a y x b ==−−的图象总有一个交点，即()e 20axf x a x b ′=++=总有一个根0x ， 当0x x <时，()0f x ′<；当0x x >时，()0f x '>， 此时()f x 存在唯一极小值点，A 正确；对于B ，由于()01f =，故原点不在曲线()2e axf x x bx =++上，且()e 2axf x a x b ′=++，设切点为2e(,),amm n n bm m =++，则()2e e2am amn m bmf m a m b m m++′=++==， 即e eamama m m+=，即2e (1)0am am m −+=， 令2()e (1)am h m am m =−+，2()e (1)e 2(e 2)am am am h m a am a m m a ′=−++=+， 当0m <时，()0h m ′<，()h m 在(,0)−∞上单调递减， 当0m >时，()0h m ′>，()h m 在(0,)+∞上单调递增， 故min ()(0)1h m h ==−，当m →−∞时，e (1)am am −的值趋近于0，2m 趋近于无穷大，故()h m 趋近于正无穷大， 当m →+∞时，e (1)am am −的值趋近于正无穷大，2m 趋近于无穷大，故()h m 趋近于正无穷大， 故()h m 在(,0)−∞和(0,)+∞上各有一个零点，即2e (1)0am am m −+=有两个解， 故对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条，B 正确； 对于C ，当2a b +=−时，2=−−b a ，()2e (2)axf x x a x =+−+，故()e 22axf x a x a ′=+−−，该函数为R 上单调增函数，()()020,1e (e 1)0a a f f a a a ′′=−<=−=−>，故(0,1)s ∃∈，使得()0f s ′=，即22e 1ass a a=−++， 结合A 的分析可知，()f x 的极小值也即最小值为2222e (2)1(2())asf s a s s s a s a as +−+=−+++−+=，令2221)2)((s s a s a a m s −+++−+=，则()22(2)m s s a a′=−++，且为增函数，当a<0时，2(2)2)0(0a am −++≥−=>′ ，当且仅当a =故当0s >时，()()00m s m ′′>>，则()f s 在(0,1)上单调递增，故2()(0)1f s f a >=+，令3a =−，则21(0)10,()(0)03f f s f a =+=>∴>>， 此时()f x 的最小值为()0f s >，()f x 无零点，C 错误； 对于D ，当0a b +>时，()fx 为偶函数，考虑0x >视情况；此时()2e ,)(()0ax f x f x x bx x ++>==，e ()2ax x a b f x +=+′，结合A 的分析可知e ()2ax x a b f x +=+′在R 上单调递增，)0(0b f a ′=+>， 故0x >时，()(0)0f x f ′′>>，则()f x 在(0,)+∞上单调递增， 故()f x 在(,0)−∞上单调递减，()f x 为偶函数，故()min(0)1fx f ==，D 正确，故选：ABD【点睛】难点点睛：本题综合新较强，综合考查了导数的几何意义以及极值点、零点、最值问题，计算量较大；难点在于利用导数解决函数的零点问题时，要能构造恰当的函数，结合零点存在定理判断导数值的情况，从而判断函数的单调性，求得最值，解决零点问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 【答案】115##2.2##125【解析】【分析】由倍角公式结合商数关系求解即可.【详解】因为tan 3α=，则22222222cos sin 1tan 4cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα−−=−===−++，所以411cos 2tan 355αα+=−=． 故答案为：11514. 函数()1293xxf x −=+的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】先化简为()399xx f x =+，再结合基本不等式求出最小值即可.【详解】()12233939939x x x x x x f x −=+=+=+≥=，当且仅当399x x =，即14x =时取等.所以最小值为故答案为：15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =.【答案】π2sin 2x（答案不唯一） 【解析】.【详解】由条件①②③可知函数对称轴为1x =，定义域为R 的奇函数，可写出满足条件的函数π()2sin2f x x =. 故答案为：π2sin 2x （答案不唯一）16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________． 【答案】9 【解析】【分析】根据给定条件，构造函数sin y x =π，ln 23y x −，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=−，令sin y x =π，ln 23y x −，显然sin y x =π与ln 23y x −的图象都关于直线32x =对称，在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x −的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x −的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为9. 故答案为：9四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.【答案】（1）3B π=或23π；（2）当3B π=时，存在3A π=，使得2;a c b +=当23B π=时，不存在()0,A π∈，使得2.a c b += 【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cos B ，进而求得B . （2）利用正弦定理化简已知条件，对B 进行分类讨论，进而求得A .【详解】（1）因为()222(sin sin sin )1cos2a A c C b B a C +−=−， 所以222(sin sin sin )sin a A c C b B a C +−=，可得sin sin sin sin a A c C b B a C +−=或sin sin sin sin a A c C b B a C +−=−， 即222a c b ac +−=或222a c b ac +−=−， 所以2221cos 22a b c B ac +−==±，又因为()0,B π∈，所以3B π=或23π.（2）因为2a c b +=，所以sin sin 2sin A C B +=. 当3B π=时，sin sin 2sin 33A A ππ++=，可得3sin 2A A +， 所以sin 16A π+=， 又因为203A π<<，所以.3A π= 当23B π=时，22sin sin 2sin 33A A ππ++=，可得1sin 2A A +，所以sin 3A π+综上，当3B π=时，存在3A π=，使得2;a c b +=当23B π=时，不存在()0,A π∈，使得2.a c b += 18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？ 【答案】（1）证明见解析；（2）当12B D =时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大．【解析】【分析】（1）连接AF ，易知1CF =，BF =，由11BF A B ⊥，BF AB ⊥，再利用勾股定理求得AF和AC 的长，从而证明BA BC ⊥，然后以B 为原点建立空间直角坐标系，证得0BF DE ⋅=，即可；（2）易知平面11BB C C 的一个法向量为(1p = ，0，0)，求得平面DEF 的法向量n，再由空间向量的数量积可得cos ,p n <>=2m =时，得解． 【小问1详解】 证明：连接AF ，E ，F 分别为直三棱柱111ABC A B C 的棱AC 和1CC 的中点，且2ABBC ==， 1CF ∴=，BF =，11BF A B ⊥ ，11//AB A B ，BF AB ∴⊥3AF ∴===，AC =，222AC AB BC ∴=+，即BA BC ⊥，故以B 为原点，BA ，BC ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A ， (0,0,0)B ， (0,2,0)C ， (1,1,0)E ， (0,2,1)F ， 设1B D m =，且[0,2]m ∈，则(,0,2)D m ，∴(0,2,1)BF = ， (1,1,2)DE m =−− ，∴0BF DE ⋅=，即BF DE ⊥．【小问2详解】解：AB ⊥ 平面11BB C C ，∴平面11BB C C 的一个法向量为(1,0,0)p =，由（1）知，(1,1,2)DE m =−− ， (1,1,1)EF − ，设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DE n EF ⋅= ⋅=，即(1)200m x y z x y z −+−= −++= ，令3x =，则1y m =+，2z m =−，∴(3,1,2)n m m =+−，cos ,||||p n p n p n ⋅∴<>==⋅， 又[0,2]m ∈∴当2m =时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最小，此时正弦值最大，故当12B D =时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大．19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 的最大值. 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，再因式分解，讨论每个因式的正负，再判断()f x ′的正负，进而判断()f x 的单调性；（2）代入1a =−，将不等式()()f x g x >中的x 和m 分离在不等号两边，然后讨论不等号含有x 一边的函数的单调性，进而判断最值，再计算m 的取值范围，由m 是正整数的条件可求出m 的最大值.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()21,a x x af x x x x−++=−+=′①当18a ≤−时，因为(0,)x ∈+∞，故有2111()0248x a f x x −−++′ =≤.此时函数()f x 在区间(0,)+∞单调递减. ②当108a −<<，有180a +>，方程220x x a −++=的两根分别是：120,0x x =>=>1(0,)()0,x x f x ′∴∈<当，函数()f x 在1(0,)x 上单调递减；当12(,)()0,x x x f x ′∈>，函数()f x 在12(,)x x 上单调递增； 当2(,)()0,x x f x ′∈+∞<，函数()f x 在2(,)x +∞上单调递减.③当0a =时，易知()f x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减. 综上所述，当18a ≤−时，()f x (0,)+∞上单调递减； 当108a −<<时，()f x在上单调递减，在)+∞ 上单调递增； 当0a =时，()f x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞单调递减. （2）当1(0,1],()(),(2)ln ,x a x f x g x m x e x x =−∈><−+−+， 设1()(2)ln ,(0,1],()(1)(),xxh x x e x x x h x x e x=−+−+∈∴=−−′∴当01x <≤时，有10x −≥，设211(),()0,xx u x e u x e x x′=−=+> ()u x ∴在(]0,1上单调递增，又()u x 在(0,1]上的函数图像是一条不间断的曲线，且1()202u ，(1)10u e =−>存在唯一01,12x ∈，使得0()0u x =，即001xe x =.在的当0(0,),()0,()0x x u x h x ′∈<<； 当0(,1),()0,()0x x u x h x ′∈>≥，()h x ∴在0(0,)x 上单调递减，在0(,1]x 上单调递增，0min 00000000012()()(2)ln (2)212,x h x h x x e x x x x x x x ∴==−+−+=−+⋅+=−++ 212y x x=−++ 在(0,1)上单调递减， 01(,1)2x ∈ ，0()(3,4).h x ∴∈3m ∴≤时，不等式(2)ln x m x e x x <−+−+对任意(0,1]x ∈恒成立，∴正整数m 的最大值是3.【点睛】本题是典型的导数和不等式的综合题，这种题需要分情况讨论函数单调性再进行判断，属于较难题.20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()2e af x a <．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出函数导数，分类讨论求出函数单调区间；（2）先证明引理：0a ∀>，恒有ln 1a a ≤−且1e a a +<，构造函数()ln 1g a a a =−−，()e 1ah a a =−−，利用导数求证即可，再由引理原命题得证. 【小问1详解】因为()()ln f xa x a x =+−，定义域为()0,∞+，所以()1af x x′=−． 当0a ≤时，由于0x >，所以()0f x ′<恒成立，此时()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，()()x a f x x−′=−，令()0f x ′=，得x a =，则当()0,x a ∈时，()0f x '>，有()f x 在()0,a 上单调递增；当(),x a ∈+∞时，()0f x ′<，有()f x 在(),a +∞上单调递减； 综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递增，()f x 在(),a +∞上单调递减． 【小问2详解】我们先证明引理：0a ∀>，恒有ln 1a a ≤−且1e a a +<． 引理的证明：设()ln 1g a a a =−−，()e 1ah a a =−−． 故只需证明0a ∀>，恒有()0g a ≥，()0h a >． 由于()11g a a′=−，知当()0,1a ∈时，()0g a ′<；当()1,a ∈+∞时，()0g a ′>； 则()g a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 10g a g ==， 所以0a ∀>，恒有()0g a ≥．由于()e 1ah a ′=−，知当0a >，均有0e 1e 10a −>−=，所以恒有()0h a ′>，故()h a 在()0,∞+上单调递增，则()0e 010h a >−−=． 所以0a ∀>，恒有()0h a >． 综上，引理得证．回到原题：由（1）得()()2maxln f x f a a a a a ==+−，故只需证明：对0a ∀>，恒有2ln 2e a a a a a a +−<，即ln 12e a a a +−<． 由引理得()()ln 111212e aa a a a a +−≤−+−<+<．命题得证．【点睛】关键点点睛：根据需要证明不等式，进行恰当转化可得ln 12e a a a +−<，根据此式，证明0a ∀>，恒有ln 1a a ≤−且1e a a +<是解题的关键. 21. 已知函数()ln 1f x x x x =−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）求导分析函数的单调性与最大值证明即可；（2）构造函数()e 1xg x ax =−−，求导分析单调性可得当0a >时()min ()ln ln 10g x g a a a a ==−−≥，结合（1）中的结论求解即可【小问1详解】证明：()ln 1f x x x x =−−的定义域为()0+∞，，且()11ln ln .f x x x x x ′=−+⋅=− 令()0f x '=，得1x =． 当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增; 当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()max ()10f x f ==，所以()0.f x ≤【小问2详解】令()e 1x g x ax =−−，则()e xg x a ′=−． 当0a ≤时，有()11e 10g a −−=+−<，与题设矛盾，故舍去． 当0a >时，令()0g x '=，得ln .x a = 当ln x a <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当ln x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()min ()ln ln 10.g x g a a a a ==−−≥由()1知，ln 10(a a a −−≤当且仅当1a =时，取等号)，所以ln 10a a a −−=，所以1a =．22. 设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+. （1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在R 上单调递增，求a .【答案】（1）在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增（2）12【解析】【分析】（1）求得()()e cos 21x f x a x ax a =+−−+′，设()()g x f x ′=，得到()()e 2sin x g x a x +′=−，得到()y g x =在R 上单调递增，得到()y f x ′=在R 上单调递增，结合()00f ′=，即可求解；（2）令()e 1xh x x =−−，利用导数求得()()00h x h ≥=，得到e 10x x −−≥和e 1x x −≥−， 令()sin x x x ϕ=−，得出0x ≥时，sin x x ≥；0x ≤，得到sin x x ≤，分0a ≤，102a <<，12a >和12a =，四种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【小问1详解】解：因为()()2e sin 1x f x a x ax a x =+−−+，可得()()e cos 21x f x a x ax a =+−−+′， 设()()g x f x ′=，则()()e 2sin x g x a x +′=−所以当0a ≤时，()0g x ′>，函数()y g x =在R 上单调递增， 即函数()y f x ′=在R 上单调递增，又由()00f ′=，所以当0x <时，()0f x ′<；当0x >时，()0f x '>， 所以当0a ≤时，()f x 在(,0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增.【小问2详解】解：令()e 1x h x x =−−，可得()e 1x h x ′=−，当0x >时，()0h x ′>，()h x 单调递增；当0x <时，()0h x ′<，()h x 单调递减，又由()00h =，所以()()00h x h ≥=，即e 10x x −−≥，所以e 1x x ≥+，所以e 1x x −≥−；令()sin x x x ϕ=−，可得()1cos 0x x ϕ′=−≥，所以函数()x ϕ单调递增， 因为()00ϕ=，当0x ≥，可得()()00x ϕϕ≥=，即sin 0x x −≥，即sin x x ≥； 当0x ≤，可得()()00x ϕϕ≤=，即sin 0x x −≤，即sin x x ≤，（2.1）当0a ≤时，由（1）知不合题意；（2.2）当102a <<时，若(),0x ∈−∞， ()()e cos 21x f x a x ax a =+−−+′()1cos 211a x ax a x≤+−−+− 121212111ax x a a ax a x x−− ≤+−−−=−−； 当1102x a−<<时，()0f x ′<，()f x 单调递减，不合题意； （2.3）当12a >时，若()0,1x ∈，同理可得()12121ax x a f x x−− ′ ≤−， 当1012x a<<−时，()0f x ′<，()f x 单调递减，不合题意； （2.4）当12a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+−−，可得()13e cos 22x f x x x =+−−′， 设()()g x f x ′=，则()1e sin 12x g x x ′=−−， ①当0x >时，()111e sin 11sin 10222x g x x x x x x =−′−≥+−−≥−>， 所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()f x ′在()0,∞+上单调递增， ②当0x >时，若[)1,0x ∈−，()()()1111e sin 11021221xx x g x x x x x +−−≤−−≤−−′， 若(],1x ∈−∞−，()111e sin 1102e 2x g x x −≤+′−−<， 所以()g x 在(),0∞−上单调递增，()f x ′在(),0∞−上单调递增，由①②可知，()()00f x f ′′≥=，所以()f x 在R 上单调递增， 综上所述，12a =.。

山西省吕梁市英才中学高三数学文月考试卷含解析

山西省吕梁市英才中学高三数学文月考试卷含解析

山西省吕梁市英才中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点所在区间是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略2. 已知双曲线满足条件：（1）焦点为；（2）离心率为，求得双曲线的方程为．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线的方程仍为，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（）①双曲线上的任意点都满足；②双曲线的—条准线为③双曲线上的点到左焦点的距离与到右准线的距离比为④双曲线的渐近线方程为A．1个 B．2个 C．3个D．4个参考答案：答案：B3. 已知各项为正数的等比数列{a n}满足，，则（）A. 64B. 32C. 16D. 4参考答案：B【分析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求【详解】由得选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.4. △ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2csinA，则C为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，求出sinC的值，即可确定出C的度数．【解答】解：已知等式a=2csinA，利用正弦定理化简得：sinA=2sinAsinC，∵sinA≠0，∴sinC=，则C=30°或150°．故选：C．5. 已知f（x）=x2（1nx﹣a）+a，则下列结论中错误的是（）A．?a＞0，?x＞0，f（x）≥0B．?a＞0，?x＞0，f（x）≤0C．?a＞0，?x＞0，f（x）≥0D．?a＞0，?x＞0，f（x）≤0参考答案：C【考点】全称命题．【专题】导数的综合应用；简易逻辑．【分析】先利用导数求出函数f（x）的最小值，再转化为函数f（x）≥0恒成立，构造函数设g（a）=e2a﹣1+a，再利用导数求出a的值，问题的得以解决【解答】解：∵f（x）=x2（1nx﹣a）+a，x＞0，∴f′（x）=x（21nx﹣2a+1），令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x=，函数有最小值，最小值为f（）=e2a﹣1+a∴f（x）≥f（）=e2a﹣1+a，若f（x）≥0恒成立，只要e2a﹣1+a≥0，设g（a）=e2a﹣1+a，∴g′（a）=1﹣e2a﹣1，令g′（a）=0，解得a=当a∈（，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，当x∈（0，）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增∴g（a）＜g（）=0，∴e2a﹣1+a≤0，当且仅当a=时取等号，存在唯一的实数a=，使得对任意x∈（0，+∞），f （x）≥0，故A，B，D正确，当a≠时，f（x）＜0，故C错误故选：C【点评】本题考查了利用导数函数恒成立的问题，关键构造函数g（a），属于中档题6. 若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣参考答案：D考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x 轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7. 在等差数列中，已知与是方程的两个根，若，则=（）（A）2012 （B）2013 （C）2014 （D）2015参考答案：C由题意知，，。

山西省忻州市原平英才中学高三数学理月考试题含解析

山西省忻州市原平英才中学高三数学理月考试题含解析

山西省忻州市原平英才中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量， =（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由?﹣1×（2+m）﹣2×2=0，即可得出．【解答】解： =（﹣1，2）+（3，m）=（2，2+m）．由?﹣1×（2+m）﹣2×2=0，?m=﹣6．因此“m=﹣6”是“”的充要条件．故选：A．2. 设函数的定义域为D，如果对于任意的，存在唯一的，使（C为常数）成立，则称函数在D上的均值为C.下列五个函数：①②③④⑤，则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号参考答案：(2)(3)(5)3. 设全集U ＝R ，A ＝{x |－x 2－3x >0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x>0}B．{x|－3<x<－1}C．{x|－3<x<0}D．{x|x<－1}参考答案：B4. 已知集合，，则( )（A）（B）（C）（D）参考答案：D5. 已知函数则下列判断正确的是A.当时，的最小值为；B.当时，的最小值为；C.当时，的最小值为；ks5uvD.对任意的时，的最小值均为．参考答案：A略6. 已知正方形的面积为，向正方形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（）A. B. C. D.参考答案：C略7. 若不等式组表示的区域，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻约为（）A．114 B．10 C．150 D．50参考答案：A试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域内的概率为，所以落在区域中芝麻约为,故选A.考点：1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.8. 在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间内的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C略9. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是A．B．参考答案：A略10. 定义在，其中M是内一点，、、分别是、、的面积，已知中，，则的最小值是A.8B.9C.16D.18参考答案：D由定义可知,由，得，即，所以，所以，即。

山东省日照市莒县英才中学高三数学文月考试题含解析

山东省日照市莒县英才中学高三数学文月考试题含解析

山东省日照市莒县英才中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5参考答案：C略2. 某人向一个边长为2的正方形盘面上均匀地撒了400粒大米，其中落在该正方形的内切圆里有314粒，据此可估计圆周率的值约为（）A. 2B. 3C. 3.14D. 4参考答案：C3. 建立从集合A=﹛1,2,3,4﹜到集合B=﹛5,6,7﹜的所有函数，从中随机抽取一个函数，则其值域是B 的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C4. 已知函数，则下列结论中正确的是（）A．B．C. D．参考答案：D5. 一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是（）A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末参考答案：D6. 曲线与双曲线（，）的四个交点与的两个虚轴顶点构成一个正六边形，则双曲线的离心率为（）A． B． C．D．参考答案：B7. 已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若；②若；③若；④若.其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3参考答案：D【知识点】平行关系与垂直关系解析：①若；由线面垂直的性质可知正确；②若；由平行平面的性质可知正确；③若，则n⊥α,又，所以正确；④若.因为m与n还可以异面，所以错误,综上可知选D.【思路点拨】判断平行于垂直位置关系，可用已有的定理或性质直接判断，或用反例法进行排除. 8. 若条件：，条件：，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件参考答案：B略9. 已知锐角α满足sinα+cosα=，则tan（）=( )A．﹣B．C．D．参考答案：B考点：两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由两角和与差的三角函数公式可得sin（），再由同角三角函数的基本关系可得cos （），相除可得答案．解答：解：∵锐角α满足sinα+cosα=，α∴sinα+cosα=，∴sin（）=＜，∴0＜，∴cos（）==，∴tan（）==．故选：B．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．10. 已知F1，F2是双曲线的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交，一个交点为P，则｜PF2｜＝A．6 B．4 C．2 D．1参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为，则___________.参考答案：2求导得，所以在点处的切线方程为.令得，令得，所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积，（舍去负值），.12. 如图所示的“数阵”的特点是：毎行每列都成等差数列，则数字37在图中出现的次数为．参考答案：9【考点】F1：归纳推理．【分析】第1行数组成的数列A1j（j=1，2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列Aij（i=1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果【解答】解：第i行第j列的数记为Aij．那么每一组i与j的组合就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j=1，2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+（j﹣1）×1=j+1，所以第j列数组成的数列Aij（i=1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以Aij=（j+1）+（i﹣1）×j=ij+1．令Aij=ij+1=37，则ij=36=22×32，∴37出现的次数为（2+1）（2+1）=9，故答案为：9．13. 设等比数列的公比为，前项和为．若，则，．参考答案：14. 当为正整数时，函数表示的最大奇因数,如,设,则．参考答案：15. 某超市经营的某种包装优质东北大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4kg的概率为．（附：若，则，，）参考答案：0.818516.在正三棱锥P—ABC中，PC垂直于面PAB，PC=，则过点P、A、B、C的球的体积为．参考答案：答案：17. 已知，，若直线与直线互相垂直，则ab的最大值是__________．参考答案：.分析：根据两直线垂直的条件，求出满足的关系式，再利用基本不等式求出的最大值。

2021年山东省济南市英才中学高三数学理月考试卷含解析

2021年山东省济南市英才中学高三数学理月考试卷含解析

2021年山东省济南市英才中学高三数学理月考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 按照如右图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M 处的条件可为 （ ）A.B.C.D.参考答案： D 略2. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E ，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：CB略4. 设m ，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，能得到的是A ．，B ．m ⊥，C ．m⊥n, D ．m ∥n ，参考答案：D根据线面垂直的判断和性质可知，D 正确，选 D. 5. 设，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.B.C.D.参考答案：C；6. 《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细．在这个问题中的中间两节容量和是（ ）A. 升B. 升C.升 D. 升参考答案：C设竹九节由上往下的容量分别为，由题意可知：，所以问题中的中间两节容量和为．故答案选C．7. 已知集合,,则A∩B= ( )A. {0,1,2,3,4}B.{0,1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2}参考答案：C因为集合,集合,所以.故选C.8. 已知复数z在复平面上对应的点为(－1,1)，则( )A. 是实数B. 是纯虚数C. 是实数D. 是纯虚数参考答案：B【分析】由已知求得，然后逐一核对四个选项得答案.【详解】由题意，则，为纯虚数，故A错误，B正确；，故C,D错误，故选：B【点睛】本题考查复数的分类判断，属于基础题.9. 已知函数，若，则实数m的取值范围是（）A．(－1,0)∪(1,+∞)B．(－∞,－1)∪(1,+∞)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞,－1)∪(0,1) 参考答案：A由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式，即，即，观察函数图像可得实数的取值范围是．故选A．10. 已知,函数在上单调递减.则的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数满足，则的范围是▲．参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3∵实数x，y满足，∴（2x+）2+（y+）2= ,即2（2x+）2+2（y+）2=1，令（2x+）=cosθ，（y+）=sinθ，∴x=cosθ-，y=sinθ-2x+y=cosθ+sinθ-1=sin（θ+）-1∈[-2，0]，故x+y的范围是[-2，0]，【思路点拨】将圆，化为参数方程，进而根据正弦型函数的图象和性质，可得x+y的范围．12. 在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= ．参考答案：1【考点】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】利用余弦定理求出cosC ，cosA ，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．13. 若以连续两次骰子得到的点数m，n分别作为点P的横坐标和纵坐标，则点P在圆内的概率是参考答案：略14. 已知，则从小到大用“﹤”号排列为_______________.参考答案：略15. 已知满足约束条件,则目标函数的取值范围参考答案：略16. 已知双曲线的一条渐近线通过点, 则其离心率为参考答案：【考点】双曲线【试题解析】由题知：双曲线的渐近线为因为过点，所以所以17. 曲线y=x3在点（1,1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_ _。

山西省太原市英才学校2020年高三数学理月考试卷含解析

山西省太原市英才学校2020年高三数学理月考试卷含解析

山西省太原市英才学校2020年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某仪器显示屏上的每个指示灯均以红光或蓝光来表示不同的信号，已知一排有个指示灯，每次显示其中的个，且恰有个相邻的。

则一共显示的不同信号数是参考答案：答案:D2.是成立的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：答案:C3. 已知，则A．B．C．D．参考答案：B由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，，于是可得到：.4. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B5. 若集合，则（）A．B．或C． D．参考答案：C6. 已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB得方程，由PF1⊥PF2，得?=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为：椭圆+=1整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y）则bx=ay﹣ab，∴x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，∴?=（﹣c﹣x，﹣y）?（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得： =c2，又b2=a2﹣c2，e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选D．7. 函数y=3|log3x|的图象是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】作图题；转化思想．【分析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的．【解答】解：y=3|log3x|=，即y=由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线y=x的一部分，考察四个选项，只有A选项符合题意，故选A．【点评】本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点，而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的．8. 已知向量，，则=（）A．1 B．C．2 D．4参考答案：C【考点】向量的模．【分析】根据向量的加法算出再求模．【解答】解：∵，，∴ =（﹣1，）∴||==2故选C．【点评】本题主要考查向量的加法和模的运算．9. 已知集合，，则（）A．B．C．D．R参考答案：D10. 已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，B，再根据函数值得变化趋势得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，∴f′（x）=x2cosx+cosx，∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为．．参考答案：．试题分析：由，得原函数的定义域为．．考点：函数的定义域．12. 过双曲线的焦点且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率为．参考答案：由焦点到渐近线距离等于得因此，再由角平分线性质得，因此点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.13. 已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是．参考答案：略14. 下列命题中：（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一确定，则0＜b≤4．（2）若点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则m的取值范围是（﹣5，+∞）；（3）若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x的图象．（5）已知双曲线方程为x2﹣=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．正确的是（填序号）参考答案：（2），（5）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由正弦定理求得sinB，举例说明（1）错误；把点的坐标代入圆的方程说明（2）正确；由双曲线的方程可得关于k的不等式，求得k值说明（3）错误；由函数图形的平移可得（4）错误；利用点差法求出直线l的方程说明（5）正确．【解答】解：对于（1），由，得sinB=．当b=8时，sinB=1，B=90°，C=60°，△ABC唯一确定，故（1）错误；对于（2），点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则12+12+m﹣1+4＞0，即m＞﹣5，故（2）正确；对于（3），若曲线+=1表示双曲线，则（4+k）（1﹣k）＜0，解得k＞1或k＜﹣4，即k的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣4），故（3）错误；对于（4），将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数图象的解析式为y=cos[2（x+）]=cos（2x+），故（4）错误；对于（5），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式作差得：，∴，∴k AB=2，此时直线方程为y﹣1=2（x﹣2），即y=2x﹣3，联立，得2x2﹣12x+11=0，△=144﹣88=56＞0，故（5）正确．∴正确命题的序号是（2），（5）．故答案为：（2），（5）．15. 如果直线AB与平面相交于B，且与内过点B的三条直线BC,BD,BE所成的角相同，则直线AB 与CD所成的角=_________.参考答案：16. 已知A，B，C，D四点在球O的表面上，且，，若四面体ABCD的体积的最大值为，则球，的表面积为__________．参考答案：9π17. 已知函数，若，则函数的单调增区间为＿＿参考答案：【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】由题知：所以所以由得：故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021-2022学年河南省商丘市英才学校高三数学理月考试卷含解析

2021-2022学年河南省商丘市英才学校高三数学理月考试卷含解析

2021-2022学年河南省商丘市英才学校高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由双曲线，求得，再由离心率的公式，即可求解．【详解】由双曲线，可得，则，所以双曲线的离心率为，故选D．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质求解，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 设集合，，，则的取值范围为（）A．或B． C. D．或参考答案：B3. （5分）（2015?淄博一模）集合A={x|y=}，B={y|y=log2x，x＞0}，则A∩B等于（）A． R B．? C． [0，+∞） D．（0，+∞）参考答案：C 【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A和B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．解：集合A={x|y=}={x|x≥0}，集合B={y|y=log2x，x＞0}=R，因为A?B，所以A∩B=A={x|x≥0}，故选：C．【点评】：本题考查函数的定义域及值域、两个集合的交集的定义和求法，属基础题．4. 把一根长度为7的铁丝截成3段，如果三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为参考答案：A【知识点】几何概型．K3解析：所有的“三段铁丝的长度”的情况共有：“1，1，5”、“1，2，4”、“1，3，3”、“2，2，3”，共计4种．其中能构成三角形的情况有2种情况：“1，3，3”；“2，2，3”则所求的概率是p（A）==．故选：A.【思路点拨】设构成三角形的事件为A，先求出基本事件数有4种，其中能构成三角形的情况有2种情况，从而可求能构成三角形的概率.5. 函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：A略6. 对a、b∈R，记函数的最小值是（）A．0 B． C．D．3参考答案：C7. 函数的最小正周期为（）A．4π B．2π C．π D．参考答案：C8. 设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是A． B． C． D．参考答案：A9. 执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0+1=1，k=1+1=2；判断k＞10不成立，执行S=1+，k=2+1=3；判断k＞10不成立，执行S=1++，k=3+1=4；判断k＞10不成立，执行S=1+++，k=4+1=5；…判断i＞10不成立，执行S=，k=10+1=11；判断i ＞10成立，输出S=．算法结束． 故选B ． 10. 已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值为( )A ．B ．C ．D ．参考答案：B由题设可得,令,则.令.则函数的零点就是函数的极值点.设并记极值点为,则,由于,故,而且不难验证当时,,单调递减；当时,,单调递增,所以,因此,由于且,所以,故应选B.知识点：导数与最值，恒成立问题 难度：5二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，向量，且，则;参考答案：612. 集合M={x|lgx ＞0}，N={2}，则M ∩N= ． 参考答案：{2}略13. 在平面直角坐标系中，直线x ﹣=0被圆x 2+y 2=4截得的弦长为 ．参考答案：2考点： 圆的切线方程． 专题： 计算题；直线与圆．分析： 求出圆心到直线x ﹣=0的距离，利用勾股定理，可得结论．解答： 解：圆x 2+y 2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2∵圆心到直线x ﹣=0的距离为d==，∴弦AB 的长等于2=2故答案为：2．点评： 本题考查圆心到直线的距离，考查垂径定理，考查学生的计算能力，属于基础题．14. 曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用；定积分．【分析】求出曲线y=x 2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，），由此用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：∵曲线y=x 2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）∴曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为S=（）dx+dx=（x ﹣x 3）+（x 3﹣x ）=．故答案为：．15. △ABC中，角A，B的对边分别为a，b，则“A＞B”是“a＞b”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．参考答案：充要略16. 已知双曲线的渐近线过点，则该双曲线的离心率为. 参考答案：17. 已知分别为双曲线的左右焦点，为双曲线左支上的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围是．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年广西壮族自治区贵港市英才实验中学高三数学理月考试卷含解析

2020年广西壮族自治区贵港市英才实验中学高三数学理月考试卷含解析

2020年广西壮族自治区贵港市英才实验中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（）A、 B、 C、 D、参考答案：C2. 设A1，A2分别为双曲线的左右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．（0，3）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），设M（m，n），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式，化简整理可得b2＜2a2，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），设M（m，n），可得﹣=1，即有=，由题意，即为?＜2，即有＜2，即b2＜2a2，c2﹣a2＜2a2，即c2＜3a2，c＜a，即有e=＜，由e＞1，可得1＜e＜．故选：B．3. 设a∈R ，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件参考答案：A当，解得或.所以，当a＝1是，两直线平行成立，因此是充分条件；当两直线平行时，或，不是必要条件，故选A.4. 设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。

若，则的方程为（）（A）或（B）或（C）或（D）或参考答案：C抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，当x1=3时，，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。

若，则,此时,此时直线方程为。

所以的方程是或，选C.5. 设x，y满足约束条件，若目标函数z=的最大值为2，则z的最小值为( )A．B．C．D．1参考答案：C考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：作出约束条件，从而得z1=﹣，z2=﹣，z3=﹣；z4=﹣；故最大值为﹣=2，从而求得．解答：解：作出约束条件，表示的可行域如右图的阴影部分所示，阴影部分四边形四顶点为（0，0），（1，0），（2，3），（0，1）；则z1=﹣，z2=﹣，z3=﹣；z4=﹣；由条件知m＜0，故﹣=2，则m=﹣6；故z的最小值为．故选C．点评：本题考查了简单线性规划的应用，属于中档题．6. 已知双曲线（m>0，n>0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2 =16x的焦点重合，则mn的值为A．4 B．12 C．16 D．48参考答案：D略7. 给出下列命题：①命题“的否定是：；②命题“若，则或”的否命题是“若，则且”；③、，；④向量，均是单位向量，其夹角为，则命题“”是命题“”的充要条件.其中正确的命题的个数是（）A. 4B.3 C.2 D.1参考答案：C试题分析：，的否定应为，，故①错；②正确；③正确；，从而，反之不成立，故④错．考点：全程命题，特称命题，充要条件.8. 某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2015届高三年级抽取的学生人数为( )A．15 B．20 C．25 D．30参考答案：B考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义即可得到结论．解答：解：三个年级的学生人数比例为3：3：4，按分层抽样方法，在2015届高三年级应该抽取人数为人，故选：B．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件确定抽取比例是解决本题的关键，比较基础．9. 已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则实数2 D．－2参考答案：A10. 已知函数在[0，2）上的最大值为a，在（2，4]上的最小值为b，则a+b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：D【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由函数g（x）=在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减，函数h（x）=cos在[0，4]单调递减，可得函数在[0，2），（2，4]上单调性，即可求得a，b即可．【解答】解：函数g（x）=，函数g（x）是函数y=向右平移2个单位，向上平移1个单位，故函数g（x）在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减；对于函数h（x）=cos，由2k（k∈Z），得8k≤x≤8k+4，故函数h（x）在[0，4]单调递减．∴函数在[0，2）上单调递减，故其最大值为f（0）=a，∴a=1，函数在（2，4]上单调递减，其最小值为f（4）=b，∴b=1．所以a+b=2，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将一个长宽分别a，b（0＜a＜b）的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】设出减去的正方形边长为x，表示出外接球的直径，对直径的平方的表示式求导，使得导函数等于0，得到最小值，根据自变量的范围求出结论．【解答】解：设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2=（a﹣2x）2+（b﹣2x）2+x2求导得（R2）'=18x﹣4（a+b）=0∴x=（a+b）因为a＜b有x属于（0，）所以0＜（a+b）＜∴1＜＜故答案为：（1，）．【点评】本题考查函数的模型的选择与应用，本题解题的关键是写出直径的平方的表示式，并且对解析式求导做出直径的最小值．12. 双曲线（p>0）的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则该双曲线的离心率（）A．1 B． C．D． 2参考答案：B略13. 设是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号 ___▲____．参考答案：或14. 等差数列{}中，a6＜0，a7＞0，且｜a6｜＜｜a7｜，是前n 项和，则下列判断正确的有_____________.①数列{}的最小项是a1；②S11＜0, S13＞0, S12＞0；③先单调递减后单调递增；④当n＝6时，最小；⑤S8＜S4．参考答案：略15. 已知：的值为。

炎德英才大联考雅礼中学2025届高三月考试卷(三)数学

炎德英才大联考雅礼中学2025届高三月考试卷(三)数学

炎德英才大联考雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在x ∈Z ，220x x m ++”的否定是()A.存在x ∈Z ，220x x m ++> B.不存在x ∈Z ，220x x m ++>C.任意x ∈Z ，220x x m ++ D.任意x ∈Z ，220x x m ++>2.若集合{}2341,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B ⋂等于()A.{}1- B.{}1 C.{}1,1- D.∅3.已知奇函数()()22cos x x f x m x -=+⋅，则m =()A.-1B.0C.1D.124.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是()A.m l ⊥，m β⊂，l α⊥B.m l ⊥，l αβ⋂=，m α⊂C.m l ，m α⊥，l β⊥ D.l α⊥，m l ，m β5.已知函数()()4cos (0)f x x ωϕω=+>图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭()A.0B.2ϕC.4D.2ϕ6.已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线2:30l nx my m n +--=（m ，n ∈R ，220m n +≠）相交于点P ，则PM 的取值范围为()A.1,1⎤-⎦B.1⎤⎦C.1,1⎤-⎦D.1⎤-+⎦7.P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，120PF PF ⋅= ，点Q 在12F PF ∠的角平分线上，O 为原点，1OQ PF ，且OQ b =.则C 的离心率为()A.12B.33C.63D.328.设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是()A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数()f x 满足()()22f x f x ππ+=-，()()0f x f x ππ++-=，并且当()0,x π∈时，()cos f x x =，则下列关于函数()f x 说法正确的是()A.302f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B.最小正周期2T π=C.()f x 的图象关于直线x π=对称D.()f x 的图象关于(),0π-对称11.若双曲线22:145x y C -=，1F ，2F 分别为左、右焦点，设点P 是在双曲线上且在第一象限的动点，点I为12PF F △的内心，()0,4A ，则下列说法不正确的是()A.双曲线C 的渐近线方程为045x y±=B.点I 的运动轨迹为双曲线的一部分C.若122PF PF =，12PI xPF yPF =+，则29y x -=D.不存在点P ，使得1PA PF +取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________.13.ABC△各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足1b ca c a b+++，则角A 的取值范围为________.14.对任意的*n ∈N ，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则a 的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21332S a a =+，416a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b =，1222log log n nn n b a b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -，BC AD ，1AB BC ==，3AD =，点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2DE PE ==.（1）若F 为线段PE 的中点，求证：BF平面PCD ；（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()21ln 2f x x x ax =+-有两个极值点为1x ，()212x x x <，a ∈R .（1）当52a =时，求()()21f x f x -的值；（2）若x 2≥ex 1（e 为自然对数的底数），求()()21f x f x -的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，H 为E 上任意一点，且HF 的最小值为1.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知P 为平面上一动点，且过P 能向E 作两条切线，切点为M ，N ，记直线PM ，PN ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足123112k k k +=.①求点P 的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为()0,(0)Q λλ>，半径为1的圆，使得过P 可以作圆Q 的两条切线1l ，2l ，切线1l ，2l 分别交抛物线E 于不同的两点()11,A s t ，()22,B s t 和点()33,C s t ，()44,D s t ，且1234s s s s 为定值？若存在，求圆Q 的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量1a ，2a ，3a ，…，n a （N n ∈且3n ），令123n n S a a a a =++++，如果存在{}()1,2,3,,p a p n ∈，使得pn p a S a - ，那么称p a是该向量组的“长向量”.（1）设(),2n a n x n =+，n ∈N 且0n >，若3a是向量组1a，2a，3a的“长向量”，求实数x 的取值范围；（2）若sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ∈N 且0n >，向量组1a ，2a ，3a ，…，7a 是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a 均是向量组1a ，2a ，3a 的“长向量”，其中()1sin ,cos a x x = ，()22cos ,2sin a x x =.设在平面直角坐标系中有一点列1P ，2P ，3P ，…，n P ，满足1P 为坐标原点，2P 为3a的位置向量的终点，且21k P +与2k P 关于点1P 对称，22k P +与21k P +（k ∈N 且0k >）关于点2P 对称，求10151016P P的最小值.。

2021-2022学年浙江省温州市英才中学高三数学理月考试题含解析

2021-2022学年浙江省温州市英才中学高三数学理月考试题含解析

2021-2022学年浙江省温州市英才中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z|=( )A．B．C．2 D．参考答案：B考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：复数z满足（1+i）z=2﹣i，∴==，则|z|==．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．2. 已知函数（，）的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数为,则函数的图像（）A. 有一个对称中心B. 有一条对称轴C.有一个对称中心D. 有一条对称轴来源:学|科|网] 参考答案：B3. 如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的a，b分别为595，245，则输出的a=（）A．490 B．210 C．105 D．35参考答案：D【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，可得答案．【解答】解：辗转相除法是求两个正整数之最大公约数的算法，595=245×2+105，245=105×2+35，105=35×3，所以a=35，故选D．4. 已知集合M={x|16﹣x2≥0}，集合N={y|y=|x|+1}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4}B．{x|x≥1}C．{x|1≤x≤4}D．{x|x≥﹣2}参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中16﹣x2≥0，即即（x﹣4）（x+4）≤0，解得﹣4≤x≤4，即M={x|﹣4≤x≤4}，集合N={y|y=|x|+1}=[1，+∞），则M∩N={x|1≤x≤4}故选：C5. 已知全集{1，2，3，4，5，6}，{2，3，5}，{4，5}，则集合∪=（）A．{1，4，6} B．{1，2，3，6} C．{1，6} D．{2，3，4，5，6} 参考答案：C∪={2，3，4，5}，所以∪={1，6}，选择C。

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15．函数 是定义域为R的奇函数，当 时， ，则当 时， 的表达式为__ _______。
16.直线 与曲线 有四个 交点，则 的取值范围是__（1，1.25）______。
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
用单调性定义证明：函数 在 上为减函数。
证明：设 且 ，
英才高三数学月考试题目
英才学校2011年9月份月考高三数学试题（文）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各组函数是同一函数的是 （C）
① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 。
A、①②B、①③C、③④D、①④
2．设函数 ，则 =（B）
A． B．
C． D．
12．已知函数 的周期为2，当 时 ，那么函数 的图象与函数 的图象的交点共有（A）
A．10个B．9个C．8个D．1个
第Ⅱ卷
二、填空题 ：本大题共4小题， 每小题5分。
13．二次函数 的对称轴为 ，则当 时， 的值为__25_______。
14．设函数 ，则 的图像恒过点__（-1，-1）______。
A．0B．1C．2D．
3．函数 的定义域为（C）
A、 B、 C、 D、
4．设函数 是 上的减函数，则有 （B）
A、 B、 C、 D、
5．函数 ， [0，3]的值域是（B）
A、 B、[－1，3]C、[0，3]D、[－1，0]
6． 是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是(D)
A、 B、 C、 D、
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以
所以 是奇函数。（12分）
20．（本小题满分12分）
已知函数 ， 。
（1）求函数 的解析式；
（2）做出函数 的图像；
（3）根据图像指出 的单调递减区间；
（4）根据图像写出不等式 的解集；
（5）求当时 函数的值域。
21．（本小题满分12分）设函数 是定义在 上的减函数，并且满足 ， ，
（1）求 的值，（2）如果 ，求 的取值范围。
（1）令 ，则 ，∴ （4分）
（2）∵ ∴ （6分）
∴ ，（8分）又由 是定义在R＋上的减函数，得：
解之得： （12分）
22．（本小题满分10分）设 为奇函数， 为常数．
（1）求 的值；（2）证明 在区间（1，＋∞）内单调递增；
（3）若对于区间[3,4]上的每一个 的值，不等式 > 恒成立，求实数 的取值范围．
7．设 为定义域在R上的偶函数，且 在 为增函数，则 的大小顺序为（A）
A． B．
C． D．
8．函数 的图象是下图中的（B）
A、B、C、D、
9．函数 的定义域是（A）
A、 B、 C、 D、
10．已知 ，则 的值为（B）
A．1B．4C．1或4D．4 或-1
11．已知 ，其中 ，则下列不等式成立的是（C）
则 = （2分）
=
= （4分）
因为 ，所以 ， ， 。
又因为 ，所以 ，所以 ，（8分）
所以 即 ，所以函数 在 上为减函数。（10分）
18．（本小题满分12分）
（1）已知函数 ，求函数 的解析式。
（2）已知 是二次函数，且 ，求 的解析式。
解：（1）
（5分）
（2）设 ，由 ，知 ，（7分）
又由 ，得 ，即
解：（1）∵f(-x)＝－f(x)，∴ ．
∴ ，即 ，∴a＝－1．（4分）
（2）由（1）可知f(x)＝ （x>1）记u(x)＝1＋ ，
由定义可证明u(x)在（1，＋∞）上为减函数，∴f(x)＝ 在（1，＋∞）上为增函数．（8分）
（3）设g(x)＝ － ．则g(x)在[3,4]上为增函数．∴g(x)>m对x∈[3,4]恒成立，∴m<g(3)=－ ．（12分）
，（9分）
解得
（12分）
19．（本小题满分12分）
判断下列函数的奇偶性，并说明理由。
（1） [－1，4]
(2) (-1,1)
(3)
（1）因为 [－1，4]的定义域不关于原点对称，因此， 是非奇非偶函数。（4分）
（2）函数 (-1,1)的定义域关于原点对称，并且
=
所以 是奇函数。（8分）
（3）因为 的定义域关于原点对称。
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