2.2.2用配方法求解较复杂的一元二次方程.ppt

解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3
当x =1时有最小值3
（2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4
归纳总结
类别
配方法的应用 解题策略
1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时， 可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
第二章 一元二次方程 2.2 用配方法求解一元二次方程(2)
感悟导入
问题：用配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤是
什么？
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 3.变形:方程左边配方，右边合并同类项; 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
2.完全平方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以
式中的配方 一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，
m对=于±含4.有多个未知数的二次式的等式，求未知数
3.利用配方 的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式
构成非负数 得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，
和的形式
从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,
开平方, 得
x + 3 = ±1.
解得
x1 = -2 , x2= -4.
想一想怎么来解 3x2 +18x +24 = 0.
例1：用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0. 解：方程两边同时除以3,得
x2 + 6x + 8 = 0 .
移项，得
x2 + 6x = -8 ,
配方, 得 （x + 3）2 = 1.
2
4
两边开平方,得 x - 5 = ± 15 .
2
2
即
x - 5 = 15 或 x - 5 = 15 .
22
22
所以
x1 = 5 15
x2 = 5 15 .
2
2
2.用配方法解方程：3x2 - 4x + 1 = 0. 解：方程两边同时除以 3 ,得
移项，得 配方, 得
x2 - 4 x + 1 = 0 . 33
解：对原式配方，得 x 22 y 32 z 2 0
由代数式的性质可知
x 22 0, y 32 0, z 2 0
x 2, y 3, z 2.
xyz 2 32 62 36.
课堂小结
方法
在方程两边都配上（二次项系数）2.
2
配方法
步骤
一移常数项； 二配方[配上 （二次项系数）2 ]；
x2 - 4 x = - 1 ,
3
3
x2 - 4 x + （ 2 ）2= （ 2 ）2 - 1 .
3
3
3
3
即
（x - 2 ）2 = 1
3
9
两边开平方,得 x - 2 = ± 1
3
3
即
x- 2= 1
或x- 2 =1
33
33
所以
x1 = 1
x2 = 1 3
3.若 x2 4x y2 6 y z 2 13 0 ，求(xy)z 的值.
开平方, 得
x + 3 = ±1.
解得
x1 = -2 , x2= -4 .
结论 在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系 数化为1后，再根据配方法步骤进行求解.
例2：解方程： 3x2 + 8x -3 = 0.
解：两边同除以3,得
x2 + 8 x - 1=0. 3
配方,得
x2 + 8 x + ( 4 ) 2 - ( 4 )2 - 1 = 0,
自主探究
一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +18x +24 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8 ,
配方，得 （x + 3）2 = 1.
2
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
应用
求代数式的最值或证明
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
3
3
3
（x + 4 ）2 - 25 =0.
移项,得
3
9
即 所以
x + 4 =± 5 ,
33
x+ 4 = 5 或 x+ 4 = 5.
33
33
1
x1= 3 , x2 = -3 .
合作竞学
例3：一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它
在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：
h=15t - 5t2. 小球何时能达到10m高？
解：将 h = 10代入方程式中.
15t - 5t2 = 10.
两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2,
配方,得
t2 - 3t + ( 3 )2= ( 3 )2 - 2,
2
2
（t - 3 ）2 = 1 . 24
移项,得
（t - 3 ）2 = 1 ,
2
2
即
t - 3 = 1 ,或 t - 3 = 1 .
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
巩固训练
1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则m的值为（ ） C
A. 1
B.1
C.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ或2
D.1或-2
2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.
即a=0，b=2.
达标测试
1.用配方法解方程： 1 x2 + 5 x 5 = 0. 224
解：方程两边同时除以 1 ,得 2
x2 - 5x + 5 = 0 . 2
移项，得
x2 - 5x = - 5 , 2
配方, 得
x2 - 5x + （ 5 ）2= （ 5 ）2 - 5
.
2
2
2
即
（x + 5 ）2 = 15 .
22
22
所以
t1= 2 , t2 = 1 .
即在1s或2s时，小球可达10m高.
注意 ①二次项系数要化为1；②在二次项系数化为1时，常数项也要 除以二次项系数；③配方时，两边同时加上一次项系数一半的平方.
二 配方法的应用
典例精析
例4.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必 定大于零.