集合是数学中最为基本的概念,又是数学各分支、自然科学及社会科汇总
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定义6.4 不含任何元素的集合叫做空集，记作。
空集可以符号化表示为 ＝{x|x≠x}。 定理6.1 空集是一切集合的子集。 证：任何集合A，由子集定义有 Ax(x∈→x∈A) 右边的蕴涵式因前件假而为真命题，所以A也为真。
推论 空集是唯一的。 证：假设存在空集1和2，由定理6.1有 12 ，21。 根据集合相等的定义，有1＝2。
定义6.2 设A，B为集合，如果AB且BA，则称A与B相等，记 作A＝B。 A与B不相等，则记作A≠B。 相等的符号化表示为 A＝BAB∧BA 定义6.3 设A，B为集合，如果BA且B≠A，则称B是A的真 子集，记作BA。 B不是A的真子集，则记作BA。 真子集的符号化表示为 BABA∧B≠A
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元素的 子集叫做它的m元子集 如A＝{1,2,3}，将A的子集分类： 0元子集，也就是空集，只有一个：； 1元子集，即单元集：{1}，{2}，{3}； 2元子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}； 3元子集：{1,2,3}。 一般地说，对于n元集A，它的0元子集有 个，1元子集 有 个，…，m元子集有 个，…，n元子集有 个。 子集总数为 + + …+ ＝2n 个。
定义6.5 设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的 幂集，记作P(A)(或PA，2A)。 幂集的符号化表示为 P(A)＝{x|xA} 不难看出，若A是n元集，则P(A)有2n个元素。 定义6.6 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个 集合的子集，则称这个集合为全集，记作E。
定义6.7 设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B， B对A的相对补集A－B分别定义如下： A∪B＝{x|x∈A∨x∈B } A∩B＝{x|x∈A∧x∈B } A－B＝{x|x∈A∧xB } 由定义可以看出，A∪B是由A或B中的元素构成，A∩B由 A和B中的公共元素构成，A－B由属于A但不属于B的元素 构成。 如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。
集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次 出现应该认为是一个元素，如 {1，1，2，2，3}＝{1，2，3} 集合的元素是无序的，如 {1，2，3}＝{3，1，2}
在本书所采用的体系中规定集合的元素都是集合。
元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于， 属于记作∈，不属于记作，例如 A＝{a，{b，c}，d，{{d}}} 这里a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，但bA， {d}A. 为了体系上的严谨性，我们规定：对任何集合A都有AA。
表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法， 前一种方法是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔 开，并把它们用花括号括起来。例如 A={a，b，c，…，z} Z={0，±1，±2，…} 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如集合 B＝{x|x∈R∧x2－1＝0} 许多集合可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-1，1}。 但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。
集合是数学中最为基本的概念，又是数学各分支、自然 科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。集合 论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特 地位的一个分支。 G.康托尔是作为数学分支的集合论的奠基人。1870年前后， 他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。1874年他发 表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的 证明。1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。 然而，朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利-福 尔蒂的最大序数悖论。1901年罗素发现了有名的罗素悖论。 1932年康托尔也发表了关于最大基数的悖论。 集合论的现代 公理化开始于1908年E.策梅罗所发表的一组公理，经过A.弗 兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论 （ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。另外一种 系统是冯.诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。
定义6.8 设A，B为集合，A与B的对称差集AB定义为： AB＝(A－B)∪(B－A) 对称差运算的另一种定义是 AB＝(A∪B)－(A∩B) 在给定全集E以后，AE，A的绝对补集～A定义如下： 定义6.9 ～A＝E－A＝{x|x∈E∧xA} 问：～A可不可以定义为 ～A＝{x|xA } ？
例定义6.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的 元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包 含，或A包含B，记作BA。 B不被A包含，则记作B A。 显然对任何集合A都有AA。 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些 集合可以同时成立这两种关系。例如 A＝{a，{a}}和{a} 既有{a}∈A，又有{a}A。
集合是不能精确定义的基本概念。直观地说，把一些事 物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是 这个集合的元素或成员。例如： x2－1＝0的实数解集合； 26个英文字母的集合；
集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合 N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理 数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
以上集合之间的关系和运算可以用文氏图(Venn Diagram) 给予形象的描述。文氏图的构造方法如下：
首先画一个大矩形表示全集E(有时为简单起见可将全集省 略)，其次在矩形内画一些圆(或任何其它的适当的闭曲线)， 用圆的内部表示集合。不同的圆代表不同的集合。如果没 有关于集合不交的说明，任何两个圆彼此相交。图中阴影 的区域表示新组成的集合。
使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。
以上定义的并和交运算称为初级并和初级交。下面考虑推 广的并和交运算，即广义并和广义交。 定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的 广义并，记为∪A。符号化表示为 ∪A＝{x|z(z∈A∧x∈z)}。 定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成 的集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为 ∩A＝{x|z(z∈A→x∈z)} 对于空集可以进行广义并，即∪＝。但空集不可以进 行广义交，因为∩不是集合，在集合论中是没有意义的。
定义6.4 不含任何元素的集合叫做空集，记作。
空集可以符号化表示为 ＝{x|x≠x}。 定理6.1 空集是一切集合的子集。 证：任何集合A，由子集定义有 Ax(x∈→x∈A) 右边的蕴涵式因前件假而为真命题，所以A也为真。
推论 空集是唯一的。 证：假设存在空集1和2，由定理6.1有 12 ，21。 根据集合相等的定义，有1＝2。
定义6.2 设A，B为集合，如果AB且BA，则称A与B相等，记 作A＝B。 A与B不相等，则记作A≠B。 相等的符号化表示为 A＝BAB∧BA 定义6.3 设A，B为集合，如果BA且B≠A，则称B是A的真 子集，记作BA。 B不是A的真子集，则记作BA。 真子集的符号化表示为 BABA∧B≠A
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m(m≤n)个元素的 子集叫做它的m元子集 如A＝{1,2,3}，将A的子集分类： 0元子集，也就是空集，只有一个：； 1元子集，即单元集：{1}，{2}，{3}； 2元子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}； 3元子集：{1,2,3}。 一般地说，对于n元集A，它的0元子集有 个，1元子集 有 个，…，m元子集有 个，…，n元子集有 个。 子集总数为 + + …+ ＝2n 个。
定义6.5 设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的 幂集，记作P(A)(或PA，2A)。 幂集的符号化表示为 P(A)＝{x|xA} 不难看出，若A是n元集，则P(A)有2n个元素。 定义6.6 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个 集合的子集，则称这个集合为全集，记作E。
定义6.7 设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B， B对A的相对补集A－B分别定义如下： A∪B＝{x|x∈A∨x∈B } A∩B＝{x|x∈A∧x∈B } A－B＝{x|x∈A∧xB } 由定义可以看出，A∪B是由A或B中的元素构成，A∩B由 A和B中的公共元素构成，A－B由属于A但不属于B的元素 构成。 如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。
集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次 出现应该认为是一个元素，如 {1，1，2，2，3}＝{1，2，3} 集合的元素是无序的，如 {1，2，3}＝{3，1，2}
在本书所采用的体系中规定集合的元素都是集合。
元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于， 属于记作∈，不属于记作，例如 A＝{a，{b，c}，d，{{d}}} 这里a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，但bA， {d}A. 为了体系上的严谨性，我们规定：对任何集合A都有AA。
表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法， 前一种方法是列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔 开，并把它们用花括号括起来。例如 A={a，b，c，…，z} Z={0，±1，±2，…} 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性，例如集合 B＝{x|x∈R∧x2－1＝0} 许多集合可以用两种方法来表示，如B也可以写成{-1，1}。 但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。
集合是数学中最为基本的概念，又是数学各分支、自然 科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。集合 论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特 地位的一个分支。 G.康托尔是作为数学分支的集合论的奠基人。1870年前后， 他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。1874年他发 表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的 证明。1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。 然而，朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利-福 尔蒂的最大序数悖论。1901年罗素发现了有名的罗素悖论。 1932年康托尔也发表了关于最大基数的悖论。 集合论的现代 公理化开始于1908年E.策梅罗所发表的一组公理，经过A.弗 兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论 （ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。另外一种 系统是冯.诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。
定义6.8 设A，B为集合，A与B的对称差集AB定义为： AB＝(A－B)∪(B－A) 对称差运算的另一种定义是 AB＝(A∪B)－(A∩B) 在给定全集E以后，AE，A的绝对补集～A定义如下： 定义6.9 ～A＝E－A＝{x|x∈E∧xA} 问：～A可不可以定义为 ～A＝{x|xA } ？
例定义6.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的 元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包 含，或A包含B，记作BA。 B不被A包含，则记作B A。 显然对任何集合A都有AA。 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些 集合可以同时成立这两种关系。例如 A＝{a，{a}}和{a} 既有{a}∈A，又有{a}A。
集合是不能精确定义的基本概念。直观地说，把一些事 物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是 这个集合的元素或成员。例如： x2－1＝0的实数解集合； 26个英文字母的集合；
集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合 N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理 数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
以上集合之间的关系和运算可以用文氏图(Venn Diagram) 给予形象的描述。文氏图的构造方法如下：
首先画一个大矩形表示全集E(有时为简单起见可将全集省 略)，其次在矩形内画一些圆(或任何其它的适当的闭曲线)， 用圆的内部表示集合。不同的圆代表不同的集合。如果没 有关于集合不交的说明，任何两个圆彼此相交。图中阴影 的区域表示新组成的集合。
使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。
以上定义的并和交运算称为初级并和初级交。下面考虑推 广的并和交运算，即广义并和广义交。 定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的 广义并，记为∪A。符号化表示为 ∪A＝{x|z(z∈A∧x∈z)}。 定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成 的集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为 ∩A＝{x|z(z∈A→x∈z)} 对于空集可以进行广义并，即∪＝。但空集不可以进 行广义交，因为∩不是集合，在集合论中是没有意义的。