控制系统CAD案例

【例1】已知单位反馈系统的被控对象为

试设计串联校正器，使得：①在单位斜坡信号t t r )(的作用下，系统的速度误差系数Kv ≥30sec-1；②系统校正后的截止频率ωc≥2.3rad/sec ；③系统校正后的相位稳定裕度Pm>40°。

采用Bode 图设计方法。

（1）确定K 0 根据控制理论，给定被控对象为I 型系统，单位斜坡响应的速度误差系数Kv =K = K 0≥30sec-1，其中K 0是系统的开环增益。取K 0=30sec -1，则被控对象的传递函数为

（2）作原系统的Bode 图和阶跃响应曲线，检查是否满足要求

编写M 脚本文件exam1_1.m 如下： % exam1_1

clear

k0=30; z=[]; p=[0;-10;-5]; sys0=zpk(z,p,k0*10*5);

figure(1); margin(sys0) % 函数figure 用来创建图形窗口 figure(2); step(feedback(sys0,1)), grid

运行exam1_1.m 后，得到如图1所示未校正系统的Bode 图和阶跃响应曲线。

(a) 未校正系统的Bode 图和频域性能

(b) 未校正系统的单位阶跃响应

图1 未校正系统的频域性能和时域响应根据计算可知未校正系统的频域性能指标为：

对数幅值稳定裕度G m0=-6.02dB

-180°穿越频率ωg0=7.07 rad/sec

相位稳定裕度P m0=-17.2°

截止频率ωc0=9.77 rad/sec

由计算所得数据知：对数幅值稳定裕度和相位稳定裕度均为负值，这样的系统根本无法工作。这一点也可从如图1(b)所示发散振荡的阶跃响应曲线看出，系统必须进行校正。

（3）求校正器的传递函数

由于给定的开环截止频率ωc≥2.3rad/sec，远小于ωc0=9.77 rad/sec，可以通过压缩频带宽度来改善相位裕度，因此采用串联滞后校正是合理的。令校正器的传递函数为

显然，应有β>1。

①确定新的开环截止频率ωc

希望的相位稳定裕度Pm>40°，所以根据滞后校正的设计方法，应有

其中，（2°~5°）是附加相位补偿角。取其等于5°，则有

于是，有

从图1（a ）的对数相频特性图上可以取得对应于-135°的ω为2.77rad/sec ，即有

② 计算高频衰减率β 从图1（a ）的对数幅频特性图上可以取得对应于sec /77.2rad c =ω的L 为19.2dB 。于是，有

从而

③ 计算两个转折频率ω1和ω2 所以，校正器的传递函数为

校正后的开环传递函数为

（4）校验系统校正后的频域性能是否满足要求

编写M 脚本文件exam1_2.m 如下： % exam1_2

clear,clc

k0=30; z=[]; p=[0,-10,-5]; sys0=zpk(z,p,k0*10*5);

n=[3.6,1]; d=[32.9,1]; sys1=tf(n,d);

sys=tf(sys0)*sys1;

figure(1); margin(sys); hold on

figure(2); step(feedback(sys,1)), grid

运行exam1_2.m 后，得到如图2所示校正后系统的Bode 图和阶跃响应曲线。

(a) 校正后系统的Bode 图和频域性能

(b) 校正后系统的单位阶跃响应

图2 校正后系统的频域性能和时域响应根据计算可知校正后系统的频率性能指标为：

对数幅值稳定裕度Gm=12.5dB

-180°穿越频率ωg=6.8 rad/sec

相位稳定裕度Pm=40.3°

截止频率ωc=2.78 rad/sec

显然，系统校正后的相位稳定裕度和截止频率均满足给定要求。

补充控制系统工具箱中的实用工具—SISO

系统设计工具

经典控制理论设计系统基本上是“分析+画图”的试探方法，既繁琐又可能得不到预期的效果。利用MATLAB的控制系统工具箱通过简单的编程，可以完成系统的设计。但对于不太熟悉MATLAB的用户，使用起来有一定的难度。而利用MATLAB控制系统工具箱中提供的SISO系统设计工具（SISO Design Tool），可以直观地在图中进行设计，从而使用户快速方便地完成系统校正的工作。

SISO系统设计工具可以完成的功能如下：

•利用根轨迹方法计算系统闭环特性。

• 针对开环系统的Bode 图进行系统设计。

• 添加补偿器的零极点。

• 设计超前、滞后补偿器和滤波器。

• 分析闭环系统响应。

• 调整系统幅值或相位稳定裕度。

• 系统在连续和离散状态下的互换。 下面以一个例子说明如何利用SISO 系统设计工具设计系统补偿器。

【例2】 已知单位反馈系统的被控对象为

试设计串联补偿器，使得：①在单位斜坡信号t t r =)(的作用下，系统的速度误差系数K v ≥30sec -1；②系统校正后的截止频率ωc ≥2.3sec -1；③系统校正后的相位稳定裕度Pm> 40°。 说明

• 本例即为【例1】，这里介绍如何用SISO 系统设计工具进行系统设计。

（1）确定K 0

根据控制理论，给定被控对象为I 型系统，单位斜坡响应的速度误差系数K v =K =K 0≥30sec -1，其中K 0是系统的开环增益。取K 0 =30sec -1，则被控对象的传递函数为

（2）输入被控对象并打开SISO 系统设计工具