培优有理数重难题解析

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初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析

初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析一．选择题共12小题1．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示,头发丝的半径是A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米2．足球循环赛中,红队胜黄队4：1,黄队胜蓝队2：1,蓝队胜红队1：0,则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是A．红队2,黄队﹣2,蓝队0 B．红队2,黄队﹣1,蓝队1C．红队3,黄队﹣3,蓝队1 D．红队3,黄队﹣2,蓝队03．要使为整数,a只需为A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数4．体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于18秒,“﹣”表示成绩小于18秒,“0”表示刚好达标,这个小组的达标率是﹣1+0.80﹣1.2﹣0.10+0.5﹣0.6A．25% B．37.5% C．50% D．75%5．有一列数a1,a2,a3,a4,…,a n,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差,若a1=2,则a2008值为A．2 B．﹣1 C ．D．20086．有理数a,b,c都不为零,且a+b+c=0,则++=A．1 B．±1 C．﹣1 D．07．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789A B C D E F10进制0123456789101112131415例如,用十六进制表示5+A=F,3+F=12,E+D=1B,那么A+C=A．16 B．1C C．1A D．228．若ab＞0,且a+b＜0,那么A．a＞0,b＞0 B．a＞0,b＜0 C．a＜0,b＜0 D．a＜0,b＞09．如图,在日历中任意圈出一个3×3的正方形,则里面九个数不满足的关系式是A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2a4+a5+a6B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2a2+a5+a8C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．a3+a6+a9﹣a1+a4+a7=a2+a5+a810．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文加密,接收方由密文明文解密,已知有一种密码,将英文26个小写字母a,b,c,…,z依次对应0,1,2,…,25这26个自然数见表格,当明文中的字母对应的序号为β时,将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12字母n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 1920212223 24 25按上述规定,将明文“maths”译成密文后是A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc11．设y=|x﹣1|+|x+1|,则下面四个结论中正确的是A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x不止一个y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值12．若“”是一种数学运算符号,并且1=1,2=2×1=2,3=3×2×1=6,4=4×3×2×1,…且公式,则C125+C126=A．C135B．C136C．C1311D．C127二．填空题共10小题13．2.40万精确到位,有效数字有个．14．如图M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且MN=NP=PR=1,数a对应的点在M与N之间,数b对应的点在P与R之间,若|a|+|b|=2,则原点是填入M、N、P、R中的一个或几个．15．为了求1+3+32+33+...+3100的值,可令M=1+3+32+33+...+3100,则3M=3+32+33+34+ (3101)因此,3M﹣M=3101﹣1,所以M=,即1+3+32+33+…+3100=,仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．16．我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数只有数码0和1,它们两者之间可以互相换算,如将1012,10112换算成十进制数应为：；按此方式,将二进制11012换算成十进制数的结果是．17．请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3,﹣3⊕﹣4=﹣4⊕﹣3=﹣,﹣3⊕5=5⊕﹣3=﹣,…你规定的新运算a⊕b=用a,b的一个代数式表示．18．我们定义=ad﹣bc,例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数,且满足1＜＜3,则x+y的值．19．符号“G”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下：1G1=1,G2=3,G3=5,G4=7,…2G=2,G=4,G=6,G=8,…利用以上规律计算：G2010﹣G﹣2010=．20．a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示,下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是．只填序号,答案格式如：“①②③④”．21．若|x|=2,|y|=3,且＜0,则x+y=．22．王老师为调动学生参加班级活动的积极性,给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片,若在活动中表现优胜者,可依次用色彩纸片覆盖圆面积的,,…．请你根据数形结合的思想,依据图形的变化,推断当n为整数时,+++…+=．三．解答题共18小题23．计算：++++…+．24．请你仔细阅读下列材料：计算：﹣÷﹣+﹣解法1：按常规方法计算原式=﹣÷+﹣+=﹣÷﹣=﹣×3=﹣解法2：简便计算,先求其倒数原式的倒数为：﹣+﹣÷﹣=﹣+﹣×﹣30=﹣20+3﹣5+12=﹣10故﹣÷﹣+﹣=﹣再根据你对所提供材料的理解,模仿以上两种方法分别进行计算：﹣÷﹣+﹣．25．已知x、y为有理数,现规定一种新运算※,满足x※y=xy+1．1求2※4的值；2求1※4※﹣2的值；3任意选择两个有理数至少有一个是负数,分别填入下列□和○中,并比较它们的运算结果：□※○和○※□；4探索a※b+c与a※b+a※c的关系,并用等式把它们表达出来．26．若a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=2,求+m2﹣3cd的值．27．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：1判断正负,用“＞”或“＜”填空：b﹣c0,a+b0,c﹣a0．2化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．28．1阅读下面材料：点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|．当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A,B两点都不在原点时,①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣﹣a=|a﹣b|；③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+﹣b=|a﹣b|；综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．2回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是．④当x=时,|x+1|+|x﹣2|=5．29．请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算：1999×﹣152999×118+999×﹣﹣999×18．30．同学们都知道：|5﹣﹣2|表示5与﹣2之差的绝对值,实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：1数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是,2数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．3如果|x﹣2|=5,则x=．4同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得|x+3|+|x﹣1|=4,这样的整数是．5由以上探索猜想对于任何有理数x,|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值如果有,直接写出最小值；如果没有,说明理由．31．阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①,将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+22014+22015②将②﹣①得：S=22015﹣1,即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1请你仿照此法计算：11+2+22+23+24+…+21021+3+32+33+34+…+3n其中n为正整数32．小红和小明在研究绝对值的问题时,碰到了下面的问题：“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x＜﹣1,﹣1≤x≤2和x＞2,经研究发现,当﹣1≤x≤2时,值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：1当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是．2已知y=|2x+8|﹣4|x+2|,求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．33．1阅读下面材料：点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|．当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A,B两点都不在原点时,①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣﹣a=|a﹣b|；③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+﹣b=|a﹣b|；综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．2回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．34．计算：××××××…××××．35．小明早晨跑步,他从自家向东跑了2千米到达小彬家,继续向东跑了1.5千米到达小红家,然后向西跑了4.5千米到达中心广场,最后回到家．1以小明家为原点,以向东的方向为正方向,用1 个单位长度表示1千米,你能在数轴上表示出中心广场,小彬家和小红家的位置吗2小彬家距中心广场多远3小明一共跑了多少千米36．已知：b是最小的正整数,且a、b满足c﹣52+|a+b|=0,请回答问题1请直接写出a、b、c的值．a=,b=,c=2a、b、c所对应的点分别为A、B、C,点P为易动点,其对应的数为x,点P在0到2之间运动时即0≤x≤2时,请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|请写出化简过程3在12的条件下,点A、B、C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动,假设t 秒钟过后,若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变若变化,请说明理由；若不变,请求其值．37．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014,将下式减去上式得：2S﹣S=22014﹣1,即S=22014﹣1,即1+2+22+23+24+…22013=﹣1请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．38．计算：1；2﹣24+3﹣16﹣5；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12﹣47.65×2+﹣37.15×﹣2+10.5×﹣7．39．1+2+3+…+100= 经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=,其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…nn+1=观察下面三个特殊的等式1×2=1×2×3﹣0×1×22×3=2×3×4﹣1×2×33×4=3×4×5﹣2×3×4将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=3×4×5=20读完这段材料,请你思考后回答：1直接写出下列各式的计算结果：①1×2+2×3+3×4+…10×11=②1×2+2×3+3×4+…nn+1=2探究并计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+nn+1n+2=3请利用2的探究结果,直接写出下式的计算结果：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=．40．如图所示,一个点从数轴上的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,可以看到终点表示的数是﹣2,已知点A、B是数轴上的点,请参照图并思考,完成下列各题．1如果点A表示数﹣3,将点A向右移动7个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B 两点间的距离是；2如果点A表示数3,将A点向左移动7个单位长度,再向右移动5个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B两点间的距离为；3如果点A表示数﹣4,将A点向右移动16个单位长度,再向左移动25个单位长度,那么终点B表示的数是,A、B两点间的距离是；4一般地,如果A点表示的数为m,将A点向右移动n个单位长度,再向左移动p个单位长度,那么请你猜想终点B表示什么数A、B两点间的距离为多少初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题含解析参考答案与试题解析一．选择题共12小题1．2016春碑林区校级期末1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示,头发丝的半径是A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米分析首先根据题意求出头发丝的半径是60 000÷2纳米,然后根据1纳米=10﹣9米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径．解答解：头发丝的半径是60 000÷2×10﹣9=3×10﹣5米．故选D．点评此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．2014秋赛罕区校级期末足球循环赛中,红队胜黄队4：1,黄队胜蓝队2：1,蓝队胜红队1：0,则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是A．红队2,黄队﹣2,蓝队0 B．红队2,黄队﹣1,蓝队1C．红队3,黄队﹣3,蓝队1 D．红队3,黄队﹣2,蓝队0分析每个队的进球总数记为正数,失球总数记为负数,这两数的和为这队的净胜球数．依此列出算式进行计算．解答解：由题意知,红队共进4球,失2球,净胜球数为：4+﹣2=2,黄队共进3球,失5球,净胜球数为3+﹣5=﹣2,蓝队共进2球,失2球,净胜球数为2+﹣2=0．故选A．点评每个队的进球总数记为正数,失球总数记为负数,这两数的和为这队的净胜球数．3．2010春佛山期末要使为整数,a只需为A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数分析如果为整数,则a﹣52为4的倍数,可确定a的取值．解答解：∵为整数,∴a﹣52为4的倍数,∴a﹣5是偶数,则a可取任意奇数．故选A．点评本题考查了奇数、偶数、乘方的有关知识．注意：奇数±奇数=偶数,任何一个偶数必定能够被2整除,偶数的平方能够被4整除．4．2013秋郑州期末体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+”表示成绩大于18秒,“﹣”表示成绩小于18秒,“0”表示刚好达标,这个小组的达标率是﹣1+0.80﹣1.2﹣0.10+0.5﹣0.6A．25% B．37.5% C．50% D．75%分析根据正数是大于标准的数,非负数是达标成绩,可得达标人数,达标人数除以总人数,可的达标率．解答解：﹣1＜0,0=0,﹣1.2＜0,﹣0.1＜0,0=0,﹣0.6＜0,达标人数为6人,达标率为6÷8=75%,故选：D．点评本题考查拉正数和负数,注意非负数是达标人数,达标人数除以总人数的达标率．5．2014 新华区模拟有一列数a1,a2,a3,a4,…,a n,从第二个数开始,每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差,若a1=2,则a2008值为A．2 B．﹣1 C ．D．2008分析从所给出的资料中,可得到若a1=2,a2=,a3=﹣1,a4=2…则这列数的周期为3,据此解题即可．解答解：根据题意可知：若a1=2,则a2=1﹣=,a3=1﹣2=﹣1,a4=1﹣﹣1=2,…,这列数的周期为3,∵2008=3×669+1∴a2008=2．故选：A．点评考查有理数的运算方法和数学的综合能力．解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律,并直接利用规律求出得数,代入后面的算式求解．6．2016春沭阳县期末有理数a,b,c都不为零,且a+b+c=0,则++= A．1 B．±1 C．﹣1 D．0分析根据a、b、c是非零有理数,且a+b+c=0,可知a,b,c为两正一负或两负一正,按两种情况分别讨论,求得代数式的可能的取值即可．解答解解：∵a、b、c是非零有理数,且a+b+c=0,∴a,b,c为两正一负或两负一正,且b+c=﹣a,a+c=﹣b,a+b=﹣c,①当a＞b＞0＞c时：++=++=1+1﹣1=1；②当a＞0＞b＞c时：++=++=1﹣1﹣1=﹣1；综上,++的所有可能的值为±1．故选B点评本题主要考查了代数式求值,关键是掌握绝对值的性质等知识点,注意分情况讨论字母的符号,不要漏解．7．2013 天桥区一模计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789A B C D E F10进制0123456789101112131415例如,用十六进制表示5+A=F,3+F=12,E+D=1B,那么A+C=A．16 B．1C C．1A D．22分析首先把A+C利用十进制表示,然后化成16进制即可．解答解：A+C=10+12=22=16+6,则用16进制表示是16．故选A．点评本题考查了有理数的运算,理解十六进制的含义是关键．8．2012秋祁阳县校级期中若ab＞0,且a+b＜0,那么A．a＞0,b＞0 B．a＞0,b＜0 C．a＜0,b＜0 D．a＜0,b＞0分析两数之积大于0,说明两数同号,两数之和小于0,说明两数都是负数．解答解：∵ab＞0,∴a,b同号；又∵a+b＜0,∴a,b同为负数．故本题选C．点评本题考查的知识点为：两数相乘,同号得正；同号两数相加为负数,则这两个数都为负数．9．2011秋南海区期末如图,在日历中任意圈出一个3×3的正方形,则里面九个数不满足的关系式是A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2a4+a5+a6B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2a2+a5+a8C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．a3+a6+a9﹣a1+a4+a7=a2+a5+a8分析从表格中可看出a5在中间,上下相邻的数为依次大7,左右相邻的数为依次大1,所以可得到代数式．解答解：A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=a4+a5+a6﹣21+a4+a5+a6+21=2a4+a5+a6,正确,不符合题意；B、a1+a4+a7+a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6+a7+a9=2a2+a5+a8,正确,不符合题意；C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5,正确,不符合题意D、a3+a6+a9﹣a1+a4+a7=6,错误,符合题意．故选D．点评本题考查有理数的加减混合运算,关键是从表格中看出各个数与a5的关系,从而得出结果．10．2010 广州为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文加密,接收方由密文明文解密,已知有一种密码,将英文26个小写字母a,b,c,…,z依次对应0,1,2,…,25这26个自然数见表格,当明文中的字母对应的序号为β时,将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12字母n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 1920212223 24 25按上述规定,将明文“maths”译成密文后是A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc分析m对应的数字是12,12+10=22,除以26的余数仍然是22,因此对应的字母是w；a对应的数字是0,0+10=10,除以26的余数仍然是10,因此对应的字母是k；t对应的数字是19,19+10=29,除以26的余数仍然是3,因此对应的字母是d；…,所以本题译成密文后是wkdrc．解答解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18,它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2,所对应的密文为wkdrc．故选：A．点评本题是阅读理解题,解决本题的关键是读懂题意,理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则,然后套用题目提供的对应关系解决问题,具有一定的区分度．11．2009秋和平区校级期中设y=|x﹣1|+|x+1|,则下面四个结论中正确的是A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x不止一个y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值分析根据非负数的性质,分别讨论x的取值范围,再判断y的最值问题．解答解：方法一：由题意得：当x＜﹣1时,y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x；当﹣1≤x≤1时,y=﹣x+1+1+x=2；当x＞1时,y=x﹣1+1+x=2x；故由上得当﹣1≤x≤1时,y有最小值为2；故选D．方法二：由题意,y表示数轴上一点x,到﹣1,1的距离和,这个距离和的最小值为2,此时x 的范围为﹣1≤x≤1,故选D．点评本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题,注意按未知数的取值分情况讨论．12．若“”是一种数学运算符号,并且1=1,2=2×1=2,3=3×2×1=6,4=4×3×2×1,…且公式,则C125+C126=A．C135B．C136C．C1311D．C127分析根据题目信息,表示出C125与C126,然后通分整理计算即可．解答解：根据题意,有C125=,C126=,∴C125+C126=+,=,=,=C136．故选B．点评本题是信息给予题,读懂题目信息是解题的关键．二．填空题共10小题13．2009秋绥中县期末2.40万精确到百位,有效数字有3个．分析根据24 000确定精确度,从左边第一个不是0的数开始数起,到精确到的数位为止共有3个有效数字．解答解：2.40万=24 000,精确到百位,有效数字有3个,分别是2,4,0．点评从左边第一个不是0的数开始数起,到精确到的数位为止,所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．14．2016秋余杭区期末如图M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点,其中有一点是原点,并且MN=NP=PR=1,数a对应的点在M与N之间,数b对应的点在P与R之间,若|a|+|b|=2,则原点是N或P填入M、N、P、R中的一个或几个．分析根据数轴判断出a、b之间的距离小于3,且大于1,然后根据绝对值的性质解答即可．解答解：∵MN=NP=PR=1,∴|MN|=|NP|=|PR|=1,∴|MR|=3；①当原点在N或P点时,1＜|a|+|b|＜3,又因为|a|+|b|=2,所以原点可能在N或P点；②当原点在M或R点时,|a|+|b|＞2,所以原点不可能在M或R点；综上所述,原点应是在N或P点．故答案为：N或P．点评此题考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性,再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉,把式子化简后根据整点的特点求解．15．2015 茂名为了求1+3+32+33+…+3100的值,可令M=1+3+32+33+…+3100,则3M=3+32+33+34+...+3101,因此,3M﹣M=3101﹣1,所以M=,即1+3+32+33+ (3100),仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．分析根据题目信息,设M=1+5+52+53+…+52015,求出5M,然后相减计算即可得解．解答解：设M=1+5+52+53+ (52015)则5M=5+52+53+54 (52016)两式相减得：4M=52016﹣1,则M=．故答案为．点评本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解求和的运算方法是解题的关键．16．2013 天河区一模我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数只有数码0和1,它们两者之间可以互相换算,如将1012,10112换算成十进制数应为：；按此方式,将二进制11012换算成十进制数的结果是13．分析根据题目信息,利用有理数的乘方列式进行计算即可得解．解答解：11012=1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13．故答案为：13．点评本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解二进制与十进制的数的转化方法是解题的关键．17．2012 台州请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3,﹣3⊕﹣4=﹣4⊕﹣3=﹣,﹣3⊕5=5⊕﹣3=﹣,…你规定的新运算a⊕b=用a,b的一个代数式表示．分析由题中的新定义,将已知的等式结果变形后,总结出一般性的规律,即可用a与b表示出新运算a⊕b．解答解：根据题意可得：1⊕2=2⊕1=3=+,﹣3⊕﹣4=﹣4⊕﹣3=﹣=+,﹣3⊕5=5⊕﹣3=﹣=+,则a⊕b=+=．故答案为：．点评此题考查了有理数的混合运算,属于新定义的题型,其中弄清题意,找出一般性的规律是解本题得关键．18．2011 越秀区校级模拟我们定义=ad﹣bc,例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数,且满足1＜＜3,则x+y的值±15或±9．分析首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式,然后根据x,y是整数即可确定x,y的值,从而求解．解答解：根据题意得：1＜xy﹣12＜3,则13＜xy＜15,因为x、y是整数,则x=±1时,y=±14；当x=±2时,y=±7,当x=±3时,y的值不存在；当x=±4,±5,±6,±8,±9,±10,±11,±12,±13时,y的值不存在；当x=±14时,y=±1；当x=±7时,y=±2．则x+y=1+14=15,或x+y=﹣1﹣14=﹣15,或x+y=2+7=9,或x+y=﹣2﹣7=﹣9．故x+y=±15或±9．故答案是：±15或±9．点评本题考查了不等式的整数解,正确确定x,y的值是关键．19．2011春宿迁校级期末符号“G”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下：1G1=1,G2=3,G3=5,G4=7,…2G=2,G=4,G=6,G=8,…利用以上规律计算：G2010﹣G﹣2010=﹣2009．分析此题是一道找规律的题目,通过观察可发现1中等号后面的数为前面括号中的数的2倍减1,2中等号后面的数为分母减去1再乘2,计算即可．解答解：G2010﹣G﹣2010=2010×2﹣1﹣2010﹣1×2﹣2010=﹣2009．点评找到正确的规律是解答本题的关键．20．2006 连云港a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示,下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是①②④．只填序号,答案格式如：“①②③④”．分析首先能够根据数轴得到a,b之间的关系的正确信息,然后结合数的运算法则进行分析．解答解：根据数轴得a＜﹣1＜b,|a|＞|b|．①中,a﹣b＜0,故①正确；②中,a+b＜0,故②正确；③中,由于b的符号无法确定,所以ab＜0不一定成立,故③错误；④中,ab+a+b+1=b+1a+1＜0,故④正确．所以一定成立的有①②④．故答案为：①②④．点评此题综合考查了数轴、绝对值、有理数的运算法则的有关内容．特别注意④中,能够运用因式分解的知识分解成积的形式,再分别判断两个因式的符号．21．2006 贺州若|x|=2,|y|=3,且＜0,则x+y=±1．分析根据绝对值的意义,知绝对值等于正数的数有2个,且互为相反数．根据分式值的符号判断字母符号之间的关系：同号得正,异号得负．解答解：∵|x|=2,|y|=3,∴x=±2,y=±3．又∵＜0,∴x,y异号,故x=2,y=﹣3；或x=﹣2,y=3．∴x+y=2+﹣3=﹣1或﹣2+3=1．故答案为：±1．点评理解绝对值的意义,注意互为相反数的两个数的绝对值相同．同时能够根据分式的值的符号判断两个字母符号之间的关系．22．2004 乌鲁木齐王老师为调动学生参加班级活动的积极性,给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片,若在活动中表现优胜者,可依次用色彩纸片覆盖圆面积的,,…．请你根据数形结合的思想,依据图形的变化,推断当n为整数时,+++…+=1﹣．分析结合图形,知+=1﹣,++=1﹣,推而广之即可．解答解：结合图形,得+++…+=1﹣．点评此题注意运用数形结合的思想进行分析．三．解答题共18小题23．计算：++++…+．分析把++++…+变形为+++++++ +…++,再根据加法交换律和结合律计算即可求解．解答解：++++…+=++++++++…++=+++++++…+++=2×2014+=4028+=4028．点评此题考查了有理数的混合运算,关键是把++++…+变形为++++++++…++计算．24．2016秋湖北月考请你仔细阅读下列材料：计算：﹣÷﹣+﹣解法1：按常规方法计算原式=﹣÷+﹣+=﹣÷﹣=﹣×3=﹣解法2：简便计算,先求其倒数原式的倒数为：﹣+﹣÷﹣=﹣+﹣×﹣30=﹣20+3﹣5+12=﹣10故﹣÷﹣+﹣=﹣再根据你对所提供材料的理解,模仿以上两种方法分别进行计算：﹣÷﹣+﹣．分析观察解法1,用常规方法计算即可求解；观察解法2,可让除数和被除数交换位置进行计算,最后的结果取计算结果的倒数即可．解答解：解法1,﹣÷﹣+﹣=﹣÷+﹣+=﹣÷﹣=﹣÷=﹣；解法2,原式的倒数为：﹣+﹣÷﹣=﹣+﹣×﹣56=﹣×56+×56﹣×56+×56=﹣21+12﹣28+16=﹣21,故﹣÷﹣+﹣=﹣．点评此题考查了有理数的混合运算,解决本题的关键是读懂题意,理解第二种解法的思路：两个数相除,可先求这两个数相除的倒数．25．2016秋东莞市期末已知x、y为有理数,现规定一种新运算※,满足x※y=xy+1．1求2※4的值；2求1※4※﹣2的值；3任意选择两个有理数至少有一个是负数,分别填入下列□和○中,并比较它们的运算结果：□※○和○※□；4探索a※b+c与a※b+a※c的关系,并用等式把它们表达出来．分析读懂题意,掌握规律,按规律计算每个式子．解答解：12※4=2×4+1=9；21※4※﹣2=1×4+1×﹣2+1=﹣9；3﹣1※5=﹣1×5+1=﹣4,5※﹣1=5×﹣1+1=﹣4；4∵a※b+c=ab+c+1=ab+ac+1,a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2．∴a※b+c+1=a※b+a※c．点评解答此类题目的关键是认真观察已知给出的式子的特点,找出其中的规律．26．2014秋朝阳区期末若a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=2,求+m2﹣3cd的值．分析根据互为相反数的两数之和为0,互为倒数的两数之积为1可得a+b=0,cd=1,代入可得出答案．解答解：由题意得：a+b=0,cd=1,m2=4,原式=m2﹣3=4﹣3=1．点评本题考查了倒数和相反数的知识,难度不大,注意细心运算．27．2016秋东台市期中有理数a、b、c在数轴上的位置如图：1判断正负,用“＞”或“＜”填空：b﹣c＜0,a+b＜0,c﹣a＞0．2化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．分析1根据数轴判断出a、b、c的正负情况,然后分别判断即可；2去掉绝对值号,然后合并同类项即可．解答解：1由图可知,a＜0,b＞0,c＞0且|b|＜|a|＜|c|,所以,b﹣c＜0,a+b＜0,c﹣a＞0；故答案为：＜,＜,＞；2|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|=c﹣b+﹣a﹣b﹣c﹣a=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a=﹣2b．点评本题考查了绝对值的性质,数轴,熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．28．2016秋镜湖区校级期中1阅读下面材料：点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|．当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A,B两点都不在原点时,①如图2,点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图3,点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣﹣a=|a﹣b|；③如图4,点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+﹣b=|a﹣b|；综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．2回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是3,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1| ,如果|AB|=2,那么x为1或﹣3；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．④当x=3或﹣2时,|x+1|+|x﹣2|=5．分析①根据数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；②根据数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；③|x+1|+|x﹣3|的最小值,意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小,那么x应在﹣1和3之间的线段上．④分三种情况讨论即可求得．解答解：①|2﹣5|=3,|﹣2﹣﹣5|=3,|1﹣﹣3|=4；②|x﹣﹣1|=|x+1|,如果AB=2,则x+1=±2,解得x=1或﹣3；③若|x+1|+|x﹣2|取最小值,那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上,所以﹣1≤x≤2．④若x+1＞0,x﹣2＞0,则x+1+x﹣2=5,解得x=3,若x+1＜0,x﹣2＜0,则﹣x+1﹣x﹣2=5,解得x=﹣2,若x+1和x﹣2异号,则等式不成立,所以当x=3或﹣2时,|x+1|+|x﹣2|=5．故答案为：3,3,4；|x+1|,1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．点评本题主要考查了数轴和绝对值,掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．29．2016 河北请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算：1999×﹣152999×118+999×﹣﹣999×18．分析1将式子变形为1000﹣1×﹣15,再根据乘法分配律计算即可求解；2根据乘法分配律计算即可求解．解答解：1999×﹣15=1000﹣1×﹣15=1000×﹣15+15=﹣15000+15=﹣14985；2999×118+999×﹣﹣999×18=999×118﹣﹣18=999×100=99900。

苏科版七年级数学上册有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，AB=12cm，点C在线段AB上，AC=3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．（1）AC=________cm，BC=________cm；（2）当t=________秒时，点P与点Q第一次重合；当t=________秒时，点P与点Q第二次重合；（3）当t为何值时，AP=PQ？【答案】（1）9；3（2）3；（3）解：在点P和点Q运动过程中，当AP=PQ时，存在以下三种情况：①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t=9+t，解得t= ；②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中，可得：2×[12-（4t-12）]=12-（t-3），解得t= ；③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前，可得：2×（4t-24）=12-（t-3），解得t=7．故当t为秒、秒或7秒时，AP=PQ．【解析】【解答】（1）∵AB=12cm，AC=3BC∴AC= AB=9，BC=12-9=3．故答案为：9；3．（2）设运动时间为t，则AP=4t，CQ=t，由题意，点P与点Q第一次重合于点B，则有4t-t=9，解得t=3；当点P与点Q第二次重合时有：4t+t=12+3+24，解得t= ．故当t=3秒时，点P与点Q第一次重合；当t= 秒时，点P与点Q第二次重合．故答案为：3；．【分析】（1）由题目中AB=12cm，点C在线段AB上，AB=3BC，可直接求得；（2）根据运动过程，两点重合时他们走过距离之间的关系列方程即可求得；（3）满足AP=PQ，则2AP=AQ，在整个运动过程中正确的位置存在三处，依次分析列出方程即可求得．2．如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和4.（1）直接写出A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点P，使得AP＝ PB，求点P表示的数.（3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP＝4OQ时的运动时间t的值.【答案】（1）解：A、B两点之间的距离是：4﹣（﹣12）＝16（2）解：设点P表示的数为x.分两种情况：①当点P在线段AB上时，∵AP＝ PB，∴x+12＝（4﹣x），解得x＝﹣8；②当点P在线段BA的延长线上时，∵AP＝ PB，∴﹣12﹣x＝（4﹣x），解得x＝﹣20.综上所述，点P表示的数为﹣8或﹣20（3）解：分两种情况：①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，此时Q点表示的数为4﹣2t，P点表示的数为﹣12+5t，∵OP＝4OQ，∴12﹣5t＝4（4﹣2t），解得t＝，符合题意；②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，此时Q点表示的数为3（t﹣2），P点表示的数为﹣12+5t，∵OP＝4OQ，∴|12﹣5t|＝4×3（t﹣2），∴12﹣5t＝12t﹣24，或5t﹣12＝12t﹣24，解得t＝，符合题意；或t＝，不符合题意舍去.综上所述，当OP＝4OQ时的运动时间t的值为或秒【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离；（2）设点P表示的数为x.分两种情况：①点P在线段AB上；②点P在线段BA的延长线上.根据AP＝ PB列出关于x的方程，求解即可；（3）根据点Q的运动方向分两种情况：①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP＝4OQ列出关于t的方程，解方程即可.3．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．（1）在数轴上标示出－4、－3、－2、4、（2）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：①数轴上表示4和－2的两点之间的距离是________，表示－2和－4两点之间的距离是________.一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|．如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，即那么a=________②若数轴上表示数a的点位于－3和2之间，则的值是________；③当a取________时，|a+4|+|a-1-|+|a-4|的值最小，最小值是________.【答案】（1）解：如图所示：（2）6；2；1或-5；5；1；8.【解析】【解答】解：(2)①数轴上表示4和−2的两点之间的距离是4−(−2)=6，表示−2和−4两点之间的距离是−2−(−4)=2；∵|a−(−2)|=3，∴a−(−2)=±3，解得a=−5或1；②因为|a+3|+|a−2|表示数轴上数a和−3，2之间距离的和,又因为数a位于−3与2之间，所以|a+3|+|a−2|=5；③根据|a+4|+|a−1|+|a−4|表示一点到−4，1，4三点的距离的和，所以当a=1时，式子的值最小，此时|a+4|+|a−1|+|a−4|的最小值是8.故答案为：6，2，−5或1；5；1，8.【分析】（1）数轴上原点表示正数，原点左边表示负数，原点右边表示正数，然后在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小原点标记，并在实心小圆点上方写出该点所表示的数；（2）①根据数轴上任意两点的距离等于这两点所表示的数差的绝对值即可算出答案；解含绝对值的方程，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再解即可；②因为数a位于−3与2之间，故a+3＞0，a−2＜0，根据绝对值的意义去掉绝对值符号再合并他即可；③根据|a+4|+|a−1|+|a−4|表示一点到−4，1，4三点的距离的和，根据两点之间线段最短即可得出当a=1时，式子的值最小，从而将a=1代入即可算出答案。

初中培优竞赛含详细解析第2讲有理数

初中数学竞赛专题2——有理数1.（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、不等式、绝对值、完全平方式、选择题）【标准答案】1#0#1#4#B若有理数a，b，c满足 a+b+c=0，abc=2，c>0，则（）A.ab<0 B.a+b≥2C.a+b≥4D.0≤a+b≤1【分析】由题意知，a+b=-c ,且ab=2c＞0，由于(a−b)2+4ab=(a+b)2, 因为(a−b)2≥0，所以4ab≤(a+b)2，即8c≤c2,c≥2，因为a、b同号，所以|a|+|b|=c≥2，故选B.【答案】B【技巧】本题关键在于运用完全平方式的非负性建立不等式，再根据不等式的性质解题. 【易错点】在运用不等式性质的时候若不注意符号问题就容易出错.2. （1）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、选择题）【标准答案】2#0#1#4#A已知a=−1999×1999−19991998×1998+1998,b=−2000×2000−20001999×1999+1999,c=−2001×2001−20012000×2000+2000，则abc的值等于( )A. -1B. 3C. -3D. 1【分析】因为a=−1999×1999−19991998×1998+1998=−1999×(1999−1)1998×(1998+1)=−1，同理可求得b=−1,c=−1.所以abc=−1.【答案】A【技巧】观察分析，提公因式法求值计算.【易错点】若直接计算容易因数值太大而计算出错.3. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、平方差公式、选择题）【标准答案】3#0#1#4#D乘积(1−122)(1−132)⋯(1−119992)(1−120002)等于( )A.19992000B.20012000C.19994000D.20014000【分析】观察发现，(1−12)(1−13)⋯(1−11999)(1−12000)可以用平方差公式分解因式，变形为：12×32×23×43×34×54×⋯×19981999×20001999×19992000×20012000=12×20012000=20014000.【答案】D【技巧】观察式子特点，运用平方差公式进行变形，从而将分式约分相消.【易错点】在约分的时候要小心最后一项的确定，容易出错.4.（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、幂、填空题）【标准答案】4#0#4# b##4#0#4#c设a=350,b=440,c=530，则a，b，c中最大的是_____，最小的是_____.【分析】a=350=(35)10,b=440=(44)10,c=530=(53)10，由于44>35>53，故b>a>c. 【答案】b；c【技巧】本题关键在于对指数式进行变形，将指数10全部分离出来，比较底数大小即可.5.（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、循环小数、填空题）【标准答案】5#0#0计算，结果表示为循环小数：(20.05−21198)÷7=______.【分析】原式=(20.05−2.005)÷7=(20.055−2.005)÷7=18.05÷7=2.578643.【答案】2.578643【技巧】将分数统一转化为循环小数再来运算.【易错点】在进行小数转化的时候若不注意循环的位数就容易出错.6. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、填空题）【标准答案】6#0#4# 4代数式|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是______.【分析】根据绝对值的几何意义可知，|x+1|+|x−2|+|x−3|就表示数轴上到三个点-1,2和3的距离，显然当x=2时，有最小值，为2+1+2−2+2−3=3+1=4.【答案】4【技巧】根据绝对值的几何意义，数形结合解题.7. （3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、拆项法、解答题）【标准答案】7#0#0已知C =12×3+13×4+14×5+⋯+199×100，求C的值.【分析】我们将12×3拆开发现，12×3=12−13，同理每一项都可以这么拆.【详解】C=12×3+13×4+14×5+⋯+199×100=12−13+13−14+⋯+199−1100=12−1100=49 100⋅【技巧】对于式子1n×(n+1)=1n−1n+1的裂项变形要熟练掌握，求和时经常用到这一技巧.【易错点】容易弄错首尾两项消去的部分和留下的部分.8. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、拆项法、解答题）【标准答案】8#0#0如果|a−2|+(ab−2)2=0，求1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2006)(b+2006)的值.【分析】根据非负性求出a、b的值，代入后面的式子，再利用1n×(n+1)=1n−1n+1进行变形计算.【详解】|a−2|+ab−22=0⇒|a−2|=0且(ab−2)2=0⇒a=2，b=1，原式=11×2+12×3+13×4+⋯+12007×2008=1−12+12−13+13−14+⋯+12007−12008=1−12008=20072008.【技巧】两个非负数（式）之和为0，则这两个非负数（式）都为0；对于式子1n×(n+1)=1n−1n+1的裂项变形要熟练掌握，求和时经常用到这一技巧.【易错点】容易弄错首尾两项消去的部分和留下的部分.9. （4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、有理数、拆项法、解答题）【标准答案】9#0#0有理数a，b，c均不为零，且a+b+c=0，设x=|a|b+c +|b|a+c+|c|a+b，试求代数式x19−99x+2000的值.【分析】由题意知，b+c=-a , a+c=-b , b+a=-c , 那么x就可以变形为|a|−a +|b|−b+|c|−c, 接下来分类讨论去绝对值求解.【详解】易知a，b，c中必有一正两负或两正一负.不妨设a>0,b<0,c<0.或a<0,b>0,c>0，则x=ab+c −ba+c−ca+b=|a|−a+|b|−b+|c|−c=−1+1+1=1或x=−ab+c+ba+c+ca+b=|a|−a+|b|−b +|c|−c=1−1−1=−1，所以当x=1时，x19−99x+2000=1−99+2000=1902.当x=−1时，x19−99x+2000=−1+99+2000=2098.【技巧】本题有两个关键处，第一是将x表达式进行变形，第二步是对正负号的讨论，弄清楚这两点，本题就很简单了.【易错点】讨论的时候思路不清晰，就容易或重或漏，从而出错.。

培优专题3 有理数的巧算(含答案)-

培优专题3 有理数的巧算有理数的巧算，实际上是结合算式的特点，灵活运用有理数的运算律，使之避繁就简，从而提高解题的速度和准确率．由于有理数的巧算常常体现出方法和思维的灵活性，因此是初中数学竞赛试题中，作为考察代数运算能力的一个重要内容．在有理数的运算中，除了一些常见的巧算方法外，还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等．例1计算：（-1136+13107÷24107-1718）÷（-78）×1711．分析在运算中合理运用运算律，可以达到简化运算的目的．要做到合理，关键是仔细观察题中数之间的联系．解：原式＝371317818 ()()362418711 -+-⨯-⨯=37398 (17)()2477 -+-⨯-=14878136206 77777777-+=．练习11．-292324×12=_________．2．1995减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…依次类推，一直减到余下的11995，•试求最后剩下的数．3．计算：472 6342＋472 6352－472 633×472 635－472 634×472 636．例2 计算：3-6+9-12+…+1995-1998+2001-2004．分析此题解法较多，如何根据其特点使运算简而巧是关键．这个题的特点是每一个数均是3的倍数，当提取公因数3后，很容易发现这个和实际上是由668•个数组成，且可相邻的两个数为一组，组成334组就可解决．解法1：原式=3×（1-2+3-4+…+665-666+667-668）=3×[（1-2）+（3-4）+…+（665-666）+（667-668）]=3×（-334）=-1002．解法2：原式=（3-6）+（9-12）+…+（1995-1998）+（2001-2004）=-3×334=-1002．练习21．计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+1998-1999-2000+2001+2002-2003-2004．2．计算：999×998 998 999-998×999 999 998．3．计算：9999n 个×9999n 个+91999n 个．例3 计算：S n =222121+-+223131+-+…+2211n n +-+22(1)1(1)1n n +++-．分析将每一项拆成两项之差，使得总和中构成相反数的项相消．拆项中常常用到： ①1(1)n n +=1n -11n +； ②1(1)(1)n n -+=12（11n --11n +）； ③1(1)(2)n n n ++=12[1(1)n n +-1(1)(2)n n ++]．解：先将假分数化成带分数，并适当拆项．由2211n n +-＝1+221n -＝1+（11n --11n +），知：222121+-＝1+（1-13） 223131+-=1+（12-14） …因此S n =n+（1-13）+（12-14）+…+（11n --11n +）+（1n -12n +） =n+1+12-11n +-12n + =322992(1)(2)n n n n n ++++．练习31．1-22+32-42+…+992-1002+1012．2．112⨯+123⨯+134⨯+…+1(1)n n+=________．3．已知：P=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．那么P的个位数是________．例4 计算：（12+13+…+12005）（1+12+13+…+12004）-（1+12+13+…+12005）（12+13+…+12004）．分析四个括号中均包含12+13+…+12004，我们可以用一个字母表示它，简化计算．解：设12+13+…+12004＝A，则：原式＝（A+12005）（1+A）-（1+A+12005）·A＝A+A2+12005+12005A-A-A2-12005A=12005．练习41．求S=1+3+32+33+ (32005)2．求1+12+212+312+…+200412．3．比较：S n=12+23448162nn++++（n是正整数）与2的大小．例5从A、B两地随机抽取10株麦苗，测得它们的株高分别如下：（单位：cm）A：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；B：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74．问：哪个麦地的麦苗长得高．分析这里问哪个麦地的麦苗长得高，实质上是比较其平均数的大小．在求平均数时，若直接将各数相加求和，计算较麻烦．一般是当一组数据x1，x2，x3•…x n的各个数值较大且要求它们的和时，我们可将各数据同时减去一个适当的常数a，•得到y1=x1-a，y2=x2-a，y3=x3-a…，y n=x n-a，那么x1+x2+x3+…+x n=na+（y1+y2+y3+…y n）．这里应注意的是，常数a的确定要使得新数据的求和运算尽可能简单．解：将上述两组数据分别减去85，得到两组新数据：A′：-9，5，-1，1，-4，2，1，-3，0，-2；B′：-3，-1，0，4，-6，-5，6，4，-6，-11．则A组数据的平均数为：110[85×10+（-9+5-1+1-4+2+1-3+0-2）]=110（850-10）=84．B组数据的平均数为：110[85×10+（-3-1+0+4-6-5+6+4-6-11）]=110（850-18）=83.2．∴A地麦苗长得高．练习51．已知如下数表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…那么第200行所有数的和为__________．2．对20名儿童的身高测量如下：（单位：cm）97，101，104，98，103，101，99，97，102，96，100，102，88，100，101，96，99，102，105，98．则它们的平均身高是________．3．计算下列各数的和．49.7，50.3，49，49.3，50.5，49.4，49.8，50.2，50，50.4，49.6，49.7，50.2．答案:练习11．-35912．原式=（-30+124）×12=360+12=35912． 2．1．原式=1995×（1-12）×（1-13）×…×（1-11995） =1995×12×23…×19941995 =1．3．2原式=472 635×（472 635-472 633）+472 634×（472 634-472 636）=472 635×2-472 634×2=（472 635-472 634）×2=2．练习21．-2004．原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（1997+1998-1999-2000）+（2001+•2002-•2003-2004） =-4×501=-2004．2．1997．原式=（998+1）×998 998 999-998×（998 998 999+1 001 000-1） =998×998 998 999+998 998 999-998×998 998 999-998 998 000+998=999+998=1997．3．21000n 个0原式=9999n 个×9999n 个+1000n 个0+9999n 个=9999n 个×(9999n 个+1)+ 1000n 个0=9999n 个×1000n 个0+1000n 个0=（9999n 个+1）×1000n 个0=1000n 个0×1000n 个0=21000n 个0．练习31．5151．原式=（1012-1002）+（992-982）+…+（32-22）+1=（101+100）×（101-100）+（99+98）×（99-98）+…+（3+2）×（3-2）+1 =201+197+…+1 =(2011)512+⨯ =5151．2．1n n + 原式=（1-12）+（12-13）+…+（1n -11n +） =1-11n +=1n n +． 3．5．原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）=（22-1）（22+1）…（232+1）=（232-1）（232+1）=264-1．∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，故264的末尾数字为6，∴原数的末尾数字为5．练习41．2006312-．3S=3+32+33+…+32006， ∴2S=32006-1，∴S=2006312-． 2．2-200412．设1+12+212+…+200412=A ．则2A=2+1+12+212+…+200312，∴A=2-200412． 3．S n <2． 2S n =1+22+34+48+…+12n n -．∴2S n -S n =1+（22-12）+（34-24）+（48-38）+…+（12n n --112n n --）-2n n =1+12+14+18+…+112n --2n n 由练2知1+12+14+18+…+112n -=2-112n -． ∴S=2-112n --2n n <2．练习51．159201．第200行的数为：200，201，202…598．方法1：200+201+…+598=(598200)3992+⨯=159201．方法2：每个数都减去399，则得到一组新数据：-199，-198，-197…，197，198，199，其和为0，故200+201+…+598=399×399+0=159201．2．198.9．将每个数据都减去100得到一组新数据，其和为-11，故原数据和为：100×20-11=1989，故平均身高为99.45．3．648.1．将原数据的每个数据减去50，得到一组新数据，其和为-1.9，• 故原数据和为：50×13-1.9=648.1．。

有理数培优题有答案解析

有理数培优题基础训练题一、填空：1、在数轴上表示－2的点到原点的距离等于（）。

2、若∣a ∣=－a,则a （）0.3、任何有理数的绝对值都是（）。

4、如果a+b=0,那么a 、b 一定是（）。

5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（）。

6、已知||3,||2,||a b a b a b ==-=-，则a b +=（）7、|2||3|x x -++的最小值是（）。

8、在数轴上，点A 、B 分别表示2141，-，则线段AB 的中点所表示的数是（）。

9、若,a b 互为相反数，,m n 互为倒数，P 的绝对值为3，则()20102a b mn p p++-=（）。

10、若abc ≠0，则||||||a b c a b c++的值是（） . 11、下列有规律排列的一列数：1、43、32、85、53、…，其中从左到右第100个数是（）。

二、解答问题：1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4，z 对应的点到-2对应的点的距离是7，求x 、y 、 z 这三个数两两之积的和。

3、若2|45||13|4x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此时常数的值。

4、若,,a b c 为整数，且20102010||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

5、计算：－21 ＋65－127＋209－3011＋4213－5615＋72176、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。

现要求每次翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？能力培训题知识点一：数轴例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练：1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（）（“祖冲之杯”邀请赛试题）A ．1B ．2C ．3D ．43、把满足52≤<a 中的整数a 表示在数轴上，并用不等号连接。

有理数的及其运算---培优题库4(含解析)

有理数及其运算培优题库41．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（）A．9 B．10 C．12 D．132．如图所示，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足|2a+6|+|b﹣9|＝0（1）点A表示的数为，点B表示的数为；（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在点A、点B之间的数轴上找一点C，使BC＝2AC，则C点表示的数为；（3）在（2）的条件下，若一动点P从点A出发，以3个单位长度/秒速度由A向B运动；同一时刻，另一动点Q从点C出发，以1个单位长度/秒速度由C向B运动，终点都为B点．当一点到达终点时，这点就停止运动，而另一点则继续运动，直至两点都到达终点时才结束整个运动过程．设点Q运动时间为t秒．请用含t的代数式表示：点P到点A的距离PA＝，点Q到点B的距离QB＝；点P与点Q之间的距离 PQ＝．3．【阅读理解】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C 是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？4．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”；a⊕b⊕c＝（|a﹣b﹣c|+a+b+c）．如：1⊕（﹣2）⊕3＝[|1﹣（﹣2）﹣3|+1+（﹣2）+3]＝1．解答下列问题：（1）计算：⊕（﹣3）⊕（﹣）的值；（2）在﹣，﹣，﹣，0，，，，，，这11个数中，任意取三个数作为a，b，c的值，进行“a⊕b⊕c”运算，求在所有计算的结果中的最大值．5．数轴上点A，C对应的数分别是a，c，且a，c满足：|a+6|+（c﹣1）2＝0，点B对应的数是﹣2．（1）填空：a＝，c＝；在数轴上描出点A，B，C；（2）若点M在数轴上对应的数为m，且满足|m﹣1|+|m+6|＝15，则m＝；（3）若A，B两点同时沿数轴正方向匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，在运动过程中，点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍时，点A对应的数是多少？6．如图，在单位长度为1的数轴上有，A、B、C、D四个点，点A、C表示的有理数互为相反数（1）请在数轴上标出原点O，并在点A、B、C、D上方标出它们所表示的有理数；（2）A、C两点间的距离AC＝，B、D两点间距离BD＝；（3）通过观察可以发现，数轴上两点之间的距离可以用这两个点所表示的有理数的绝对值来表示，如果数轴上点M表示的有理数是x，点N表示的有理数是y，那么M、N两地间的距离用含有绝对值的式子可以表示为；（4）设点P在数轴表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题：①式子|x﹣4|表示点P与有理数所对应的点之间的距离：|x+1|表示点P与有理数所对应的点之间的距离；②当x是哪个有理数或哪个有理数范围内时，式子|x﹣4|+|x+1|的值最小？最小值是多少？③若式子|x﹣4|+|x+1|的值是6，那么点P所表示的有理数是多少？．7．已知数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，且（a﹣1）2+|b+2|＝0．（1）求a，b的值；（2）点C在数轴上表示的数是c，且与A、B两点的距离和为11，求c值；（3）小蜗牛甲以1个单位长度/s的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3s后位于点A 的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/s的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？8．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B（B在﹣2与﹣3的正中）两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：B：；（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：；（3）若将数轴折叠，使得A点与﹣2表示的点重合，则B点与数表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2010（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M： N：．9．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为AO，则AO＝|a﹣0|＝|a|，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为BO，则BO＝|b|，点A与点B两点之间的距离表示为AB＝|a ﹣b|．请结合数轴，思考并回答以下问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示m和﹣1的两点之间的距离是；（3）数轴上表示m和﹣1的两点之间的距离是3，则有理数m是；（4）若x表示一个有理数，并且x比﹣3大，x比1小，则|x﹣1|+|x+3|＝；（5）求满足|x﹣2|+|x+4|＝6的所有整数x的和．10．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为|m﹣n|．（1）例如：数轴上表示4和1的两点之间的距离为|4﹣1|＝数轴表示5和﹣2的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝（2）数轴上表示数a的点与表示﹣4的点之间的距离表示为数轴上表示数a的点与表示2的点之间的距离表示为若数轴上a位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（3）当a＝时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为．11．如图，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b，且（a+5）2+|b﹣7|＝0．（1）则a＝，b＝．A、B两点之间的距离＝；（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2017次时，求点P所对应的有理数．（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？请直接写出此时点P的位置，并指出是第几次运动．12．阅读下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|，当A、B两点都不在原点时．（1）如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|（2）如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b| （3）如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|综上，数轴上A、B两点的距离|AB|＝|a﹣b|回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和5的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2那么x为．（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．13．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”因此，为了解问题和解决问题，我们常常需要把“数”和“形”结合起来．【教材回顾由形想数】下图选自教材《合并同类项》（单位略）（1）从图1中可以直观地看出，学校的占地面积可以表示为100a+200a+240b+60b，也可以表示为【速算研究由数想形】37×33，26×24，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？图形建模：用长方形的面积表示两个正数的乘积，以37×33为例：构图方法：如图2，画长为37，宽为33的长方形，将这个37×33的长方形从右边切下一个长为30，宽为3的小长方形，拼接到原长方形的上面．图形分析：原长方形面积可以有两种不同的表达方式，37×33的长方形面积（30+7+3）×30的长方形与右上角3×7的矩形面积之和，即37×33＝（30+10）×30+3×7＝4×3×100+3×7＝1221．用文字表述37×33的算方法是：十位数字3加1的和与3相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．（2）①类比示例：对于26×24，画图并简要说明其构图方法、速算方法．②归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是．（用文字语言表述）（3）①如图3，你能破解其中的奥妙吗？请画图解释图3的速算方法，并标出必要数据．②归纳提炼：用字母表示①中的速算方法：ab＝．（用符号语言表述，设其中一个两位数是a，另一个两位数是b）．14．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，数轴上有一点C，且C 点到A点的距离是C点到B点距离的2倍，且a、b满足|a+4|+（b﹣11）2＝0．（1）直接写出点C表示的数；（2）点P从A点以每秒4个单位的速度向右运动，点Q同时从B点以每秒3个单位的速度向左运动，若AP+BQ ＝2PQ，求时间t；（3）数轴上有一定点N，N点在数轴上对应的数为2，若点P与点M同时从A点出发，一起向右运动，P点的速度为每秒6个单位，M点的速度为每秒3个单位，在P点到达点B之前：①的值不变；②2BM﹣BP的值不变，其中只有一个正确，请你找出正确的结论并求出其值．15．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，C是AB的中点，且a、b满足|a+2|+（b+2a）2＝0（1）求点C表示的数；（2）若点P从A向右运动，点M为AP中点，在P点到达点B之前，求证：2BM﹣BP为定值（3）点P从A点以每秒2个单位的速度向右运动，点Q同时从B点出发以每秒1个单位的速度向左运动，若AP+BQ＝2PQ，求时间t．16．在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，已知a、b满足（3a+b）2+|b﹣6|＝0，（1）求a、b的值；（2）若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是C到A的距离的3倍，求点C表示的数；（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2个单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒．求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．17．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，到终点表示的数是﹣2．已知A、B是数轴上的点，请参照上图，完成下列填空：（1）如果点A表示的数是3，将点A先向右移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离为；（2）如果点A表示的数是﹣4，将点A先向右移动12个单位长度，再向左移动16个单位长度，那么终点B 表示的数是，A、B两点间的距离为；（3）一般地，如果点A表示的数是a，将点A先向右移动m个单位长度，再向左移动n个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离为．18．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0．（1）请求出a、b、c的值；（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在﹣1到1之间运动时（即﹣1≤x≤1时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|﹣2|x+3|；（写出化简过程）；（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，3秒钟后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请求BC﹣AB的值．19．已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为11，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为3个单位的线段BC在数轴上移动，（1）如图1，当线段BC在O，A两点之间移动到某一位置时，恰好满足线段AC＝OB，求此时b的值；（2）线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，是否存在AC﹣OB＝AB？若存在，求此时满足条件的b的值；若不存在，说明理由．20．某景区一电瓶小客车接到任务从景区大门出发，向东走2千米到达A景区，继续向东走2.5千米到达B 景区，然后又回头向西走8.5千米到达C景区，最后回到景区大门．（1）以景区大门为原点，向东为正方向，以1个单位长表示1千米，建立如图所示的数轴，请在数轴上表示出上述A、B、C三个景区的位置．（2）A景区与C景区之间的距离是多少？（3）若电瓶车充足一次电能行走15千米，则该电瓶车能否在一开始充足电而途中不充电的情况下完成此次任务？请计算说明．21．材料1：一般地，n个相同因数a相乘：记为a n．如23＝8，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为log28（即log28＝3）．那么，log39＝，（log216）2+log381＝．材料2：新规定一种运算法则：自然数1到n的连乘积用n！表示，例如：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…在这种规定下，请你解决下列问题：（1）计算 5！＝（2）已知x为整数，求出满足该等式的x：＝1．22．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，|m|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1＝0和m﹣2＝0，分别求得m＝﹣1，m＝2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m＝﹣1和m＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：（1）当m＜﹣1时，原式＝﹣（m+1）﹣（m﹣2）＝﹣2m+1；（2）当﹣1≤m＜2时，原式＝m+1﹣（m﹣2）＝3；（3）当m≥2时，原式＝m+1+m﹣2＝2m﹣1．综上讨论，原式＝通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．23．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB＝2（单位长度），慢车长CD ＝4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b ﹣16）2互为相反数．（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P 到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．24．如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：计算结果保留π）（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+3，﹣1，，+4，﹣3，①第3次滚动周后，Q点回到原点．第6次滚动周后，Q点距离原点4π②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？25．观察下列各式：＝×（1﹣），＝×（﹣），＝×（﹣），…，＝×（），…（1）归纳猜想：＝．（2）巧计算：+++…+‘（3）巧解方程：++＝．26．【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；线段AB的中点M表示的数为．【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣40和20，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）运动开始前，A、B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数为．（2）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？（3）当t为多少时，线段AB的中点M表示的数为﹣5？27．认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．（1）一般地，点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是．②|x﹣3|+|x+1|的最小值是．28．认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 之间的距离可表示为|a﹣b|．（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是，②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x 的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，这个最小值是．（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为，此时x的值为．（4）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围．29．如果有理数a、b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求：++…+的值．30．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．（注：结果保留π）（1）把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是数（填“无理”或“有理”），这个数是（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+4，﹣6，+3①第次滚动后，A点距离原点最远②当圆片结束运动时，此时点A所表示的数是．31．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．（结果保留π）（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是数（填“无理”或“有理”），这个数是；（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是；（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3．第几次滚动后，A点距离原点最近？第几次滚动后，A点距离原点最远？32．如图1，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则当A点移动到B点时，B点所对应的数为15，当B点移动到A点时，A点所对应的数为3（单位：单位长度）．由此可得（1）玩具火车的长为个单位长度．（2）你能解决下面问题吗？一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？请你帮他求出来．（3）在（1）的条件下数轴上放置与AB一模一样的玩具火车CD，使原点与C重合，两列玩具火车分别从O 和A同时向右出发，已知CD火车速度1个单位/秒，AB火车速度为0.5个单位/秒，问几秒两火车头A与C 相距1个单位？33．数学课上老师出了一道题计算：1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案：解：令s＝1+21+22+23+24+25+26+27+28+29①则2s＝2+22+23+24+25+26+27+28+29+210②②﹣①得s＝210﹣1根据以上方法请计算：（1）1+2+22+23+…+22015（写出过程，结果用幂表示）（2）1+3+32+33+…+32015＝（结果用幂表示）34．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014将下式减去上式得2S﹣S＝22014﹣1即S＝22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1仿照此法计算：1+2+22+23+ (2100)35．计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．36．甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时．（1）如果甲乙丙三人同时改卷，那么需要多少时间完成？（2）如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙，…的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷1小时，那么需要多少小时完成？（3）能否把（2）题所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其余的不变，使得完成这项任务的时间至少提前半小时？（答题要求：如认为不能，需说明理由；如认为能，请至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务）37．某超市在国庆期间推出如下优惠购物方案：①一次性购物不超过100元不享受优惠；②一次性购物超过100元但不超过300元一律九折优惠；③一次性购物超过300元一律八折优惠．王强两次购物分别付款80元、234元；若他一次性购买，比分两次购买可省多少元？38．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上x1，x2对应点之间的距离．例1：解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2点的对应数为2或﹣2，即该方程的解为x＝2或x＝﹣2例2：解不等式|x﹣1|＞2，如图1，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1和3，则|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．例3：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边，若x对应点在1的右边，由图2可以看出x＝2．同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|＝4的解为．（2）不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为．39．如果表示运算x+y+z，表示运算a﹣b﹣c+d，那么的结果是多少？40．今年铁路大提速，小明的爸爸因要出差，于是去火车站查询列车的开行时间．下面是小明的爸爸从火车站带回家的最新时刻表：2015年10月18日起1008次列车时刻表始发点发车时间终点站到站时间A站上午8：20 B站次日12：20小明的爸爸找出以前同一车次的时刻表如下：2014年1008次列车时刻表到站时间始发点发车时间终点站A站下午14：30 B站第三日8：30 比较了两张时刻表后，小明的爸爸提出了如下问题，请你帮小明解答：（1）请直接写出现在该次列车的运行时间是多少小时？（2）现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时？（3）若该次列车提速后的平均时速为每小时200千米，那么，该次列车原来的平均时速为多少？（结果精确到个位）41．如图，在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B表示的数是2.5，解答下列各问：（2）观察数轴，与点A的距离为10的点表示的数为；（3）若将数轴折叠，使点A恰好与表示3的点重合，则点B与表示的点重合；（4）若数轴上P、Q两点之间的距离为2016，点P在点Q的左侧，且P、Q两点按（3）中的方式折叠后互相重合，则P、Q两点表示的数分别是，．42．为了计算1+2+22+23+24+…+29+210的值，我们采用如下的方法：设S＝1+2+22+23+24+…+29+210①，则2S＝2+22+23+24+…+29+210+211②，由②﹣①，得S＝211﹣1，利用上述的方法，求1+5+52+53+54+…+52014+52015的值．43．某大型超市上周日购进新鲜的黄瓜1000公斤，每公斤1.5元，受暴发的“毒黄瓜”的影响，销售价格出现较大的波动，表中为一周内黄瓜销售价格的涨跌情况（涨为正，跌为负，其中星期一的销售价格是与进价比较，单位：元）：星期一二三四五六每公斤销售+0.3 +0.4 ﹣0.5 ﹣0.6 ﹣0.7 +0.1 价涨跌（与前一天比较）（1）到星期二时，每公斤的黄瓜售价是多少元？（2）本周最低售价是每公斤多少元？（3）已知截止到星期五，已卖出黄瓜700公斤，销售总额为935元．如果超市星期六能将剩下的黄瓜全部卖出．不考虑损耗等其他因素，请算算该超市本周销售黄瓜是盈还是亏？盈亏是多少？44．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：（1）若数轴上数2表示的点与﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣6表示的点与数表示的点重合．（2）若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．①则数轴上数3表示的点与数表示的点重合．②若数轴上A、B两点之间的距离为2016，并且A、B两点经折叠后重合，如果A点表示的数比B点表示的数大，则A点表示的数是多少？45．如图1在5×5的方格（每小格边长为1个单位长度）格点处有4只甲虫A、B、C、D，它们爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+3），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣3），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息，那么图中（1）A→C（，），B→D（，）；（2）若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D（如左图），请计算甲虫A爬行的路程；（3）若甲虫A的爬行路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），最终到达甲虫P处，请在图2标出甲虫A的爬行路线示意图及最终甲虫P的位置；若甲虫A向上爬行的速度为每秒0.5个单位长度，向下爬行的速度为每秒2个单位长度，向左或向右爬行的速度为每秒1个单位长度，请计算甲虫A 爬行的时间．46．计算下面各题（1）计算：+++…++（2）计算：1++++…+．47．（一）问题：你能比较两个数20102011和20112010的大小吗？为解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较n n+1和（n+1）n的大小（n为自然数），然后从简单情形入手，从中发现规律，经过归纳猜想出结论．（1）通过计算，比较下列各组数的大小：。

七年级有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 ( 大于秒.（1）点表示的数是________.（2）求当等于多少秒时，点到达点处？（3）点表示的数是________(用含字母的式子表示)（4）求当等于多少秒时，、之间的距离为个单位长度.【答案】（1）1（2）解：[6-（-4）]÷2=10÷2=5（秒）答：当t=5秒时，点P到达点A处.（3）2t-4（4）解：当点P在点C的左边时，2t=3，则t=1.5；当点P在点C的右边时，2t=7，则t=3.5.综上所述，当t等于1.5或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度.【解析】【解答】解：（1）依题意得，点C是AB的中点，故点C表示的数是： =1. 故答案是：1；（ 3 ）点P表示的数是2t-4.故答案是：2t-4；【分析】（1）根据x c=可求解；（2）根据数轴上两点间的距离等于两点坐标之差的绝对值可求得AB的距离，再根据时间=路程÷速度可求解；（3）根据题意可得点P表示的数=点P运动的距离+X B可求解；（4）由题意可分两种情况讨论求解：① 当点P在点C的左边时，由题意可列关于t的方程求解；② 当点P在点C的右边时，同理可求解.2．如图，点A、B都在数轴上，O为原点.（1）点B表示的数是________；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是________；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O 不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值. 【答案】（1）-4（2）0（3）解：① 当点O是线段AB的中点时，OB=OA4－3t=2+tt=0.5② 当点B是线段OA的中点时， OA = 2 OB2+t=2(3t-4)t=2③ 当点A是线段OB的中点时， OB = 2 OA3t－-4=2(2+t)t=8综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8.【解析】【解答】（1）点B表示的数是-4；（2）2秒后点B表示的数是 0 ；【分析】（1）根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案；（2）用点B开始所表示的数＋点B运动的路程＝经过t秒后点B表示的数，即可得出结论；（3）找出t秒后点A、B表示的数，分①点O为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点，根据线段中点的数学语言列出方程，求解即可求出此时的t值，综上即可得出结论。

【精选】有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．（1）当t＝1时，d＝________；（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；（4）当d＝5时，直接写出t的值．【答案】（1）3（2）解：线段AB的中点表示的数是：＝1．①如果P点恰好运动到线段AB的中点，那么AP＝AB＝3，t＝＝3，BQ＝2×3＝6，即Q运动到A点，此时d＝PQ＝PA＝3；②如果Q点恰好运动到线段AB的中点，那么BQ＝AB＝3，t＝，AP＝1× ＝，则d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣﹣3＝．故d的值为3或（3）解：当点P运动到线段AB的3等分点时，分两种情况：①如果AP＝AB＝2，那么t＝＝2，此时BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原点，则d＝PQ＝0；②如果AP＝AB＝4，那么t＝＝4，∵动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动，∴此时BQ＝6，即Q运动到A点，∴d＝PQ＝AP＝4．故所求d的值为0或4（4）解：当d＝5时，分两种情况：①P与Q相遇之前，∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ，∴6﹣t﹣2t＝5，解得t＝；②P与Q相遇之后，∵P点运动到线段AB的中点时，t＝3，此时Q运动到A点，停止运动，∴d＝AP＝t＝5．故所求t的值为或5．【解析】【分析】（1）当t＝1时，求出AP＝1，BQ＝2，根据PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；（2）分①P点恰好运动到线段AB的中点；②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情况进行讨论；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分①AP＝AB；②AP＝AB两种情况进行讨论；（4）当d＝5时，分①P与Q相遇之前；②P与Q相遇之后两种情况进行讨论．2．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.（1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值；②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，小安演算发现代数式3b﹣4m是一个定值.老师点评：你的演算发现还不完整!请通过演算解释：为什么“小安的演算发现”是不完整的？【答案】（1）2（2）解：①当m＝2，b＞2时，点M在点A，B之间，∵AM＝2BM，∴m﹣a＝2（b﹣m），∴2﹣a＝2（b﹣2），∴a+2b＝6，∴a+2b+20＝6+20＝26；②小安只考虑了一种情况，故老师点评“小安的演算发现”是不完整的.当点M在点A，B之间时，a＝﹣2，∵AM＝3BM，∴m+2＝3（b﹣m），∴m+2＝3b﹣3m，∴3b﹣4m＝2，∴代数式3b﹣4m是一个定值.当点M在点B右侧时，∵AM＝3BM，∴m+2＝3（m﹣b），∴m+2＝3m﹣3b，∴2m﹣3b＝2，∴代数式2m﹣3b也是一个定值.【解析】【解答】解：（1）由题意得出，线段AB的中点对应的数是2，故答案为：2.【分析】（1）首先根据数轴的性质，即可得出中点对应的数值；（2）①首先判定点M 在点A，B之间，然后根据等式列出关系式，即可得解；②根据题意，分两种情况进行求解：点M在点A，B之间和点M在点B右侧时，通过列出等式，即可判定.3．同学们都知道，|3-（-1）∣表示3与-1的差的绝对值，其结果为4，实际上也可以理解为3与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，其距离同样是4；同理，∣x-5|也可以理解为x与5两数在数轴上所应的两点之间的距离，试利用数轴探索：（1）试用“| |”符号表示：4与-2在数轴上对应的两点之间的距离，并求出其结果；（2）若|x-2|=4，求x的值；（3）同理，|x-3|+|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和，请你直接写出所有符合条件的整数x，使得|x-3|+|x+2|=5；试求代数式|x-3|+|x+2|的最小值.【答案】（1）解：|4-（-2）|=6（2）解：x与2的距离是4，在数轴上可以找到x=-2或6（3）解：当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5，∴符合条件的整数x=-2，-1，0，1，2，3；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，∴|x-3|+|x+2|的最小值是5【解析】【分析】（1）根据已知列式求解即可；（2）按照已知去绝对值符号即可求解.（3）当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，由此即可得出结论.4．如图，点A、B都在数轴上，O为原点.（1）点B表示的数是________；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是________；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O 不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值. 【答案】（1）-4（2）0（3）解：① 当点O是线段AB的中点时，OB=OA4－3t=2+tt=0.5② 当点B是线段OA的中点时， OA = 2 OB2+t=2(3t-4)t=2③ 当点A是线段OB的中点时， OB = 2 OA3t－-4=2(2+t)t=8综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8.【解析】【解答】（1）点B表示的数是-4；（2）2秒后点B表示的数是 0 ；【分析】（1）根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案；（2）用点B开始所表示的数＋点B运动的路程＝经过t秒后点B表示的数，即可得出结论；（3）找出t秒后点A、B表示的数，分①点O为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点，根据线段中点的数学语言列出方程，求解即可求出此时的t值，综上即可得出结论。

昆明市云大附中数学有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．点在数轴上分别表示有理数，两点间的距离表示为 .且 .（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是________；（2）数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x=________；（3）当代数式|x+1|+|x−2|取最小值时，相应x的取值范围是________.【答案】（1）3；3；4（2）1；-3（3）−1⩽x⩽2【解析】【解答】解：(1)、|2−5|=|−3|=3；|−2−(−5)|=|−2+5|=3；|1−(−3)|=|4|=4；( 2 )、|x−(−1)|=|x+1|，由|x+1|=2，得x+1=2或x+1=−2，所以x=1或x=−3；( 3 )、数形结合，若|x+1|+|x−2|取最小值，那么表示x的点在−1和2之间的线段上，所以−1⩽x⩽2.【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值即可算出答案；（2）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值得出AB=,又 |AB|=2 ，从而列出方程，求解即可；（3）|x+1|+|x−2| 表示数x的点到-1的点距离与表示x的点到2的点距离和，根据两点之间线段最短得出当表示x的点在-1与2之间的时候，代数式|x+1|+|x−2|有最小值，从而得出x的取值范围.2．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.（1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值；②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，小安演算发现代数式3b﹣4m是一个定值.老师点评：你的演算发现还不完整!请通过演算解释：为什么“小安的演算发现”是不完整的？【答案】（1）2（2）解：①当m＝2，b＞2时，点M在点A，B之间，∵AM＝2BM，∴m﹣a＝2（b﹣m），∴2﹣a＝2（b﹣2），∴a+2b＝6，∴a+2b+20＝6+20＝26；②小安只考虑了一种情况，故老师点评“小安的演算发现”是不完整的.当点M在点A，B之间时，a＝﹣2，∵AM＝3BM，∴m+2＝3（b﹣m），∴m+2＝3b﹣3m，∴3b﹣4m＝2，∴代数式3b﹣4m是一个定值.当点M在点B右侧时，∵AM＝3BM，∴m+2＝3（m﹣b），∴m+2＝3m﹣3b，∴2m﹣3b＝2，∴代数式2m﹣3b也是一个定值.【解析】【解答】解：（1）由题意得出，线段AB的中点对应的数是2，故答案为：2.【分析】（1）首先根据数轴的性质，即可得出中点对应的数值；（2）①首先判定点M 在点A，B之间，然后根据等式列出关系式，即可得解；②根据题意，分两种情况进行求解：点M在点A，B之间和点M在点B右侧时，通过列出等式，即可判定.3．观察下列等式：第1个等式：a1＝，第2个等式：a2＝，第3个等式：a3＝，…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝________＝________；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n＝________＝________(n为正整数)；（3）求a1+a2+a3+…+a2019的值.【答案】（1）；（2）；（3）解：a1+a2+a3+…+a2019＝+…+＝【解析】【解答】第1个等式：a1＝，第2个等式：a2＝，第3个等式：a3＝，∴第4个等式：a4＝，第5个等式：a5＝，故答案为： (2)第n个等式：a n＝故答案为：；【分析】（1）根据规律，得出第5个等式：a5＝；（2）根据规律，得出第5个等式：a n＝；（3）将提出后，括号里进行加减，即可求出结果．4．数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式6x3y－2xy＋5的二次项系数为a，常数项为b（1）直接写出：a＝________，b＝________（2）数轴上点P对应的数为x，若PA＋PB＝20，求x的值（3）若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动；同时点N从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左移动，到达A点后立即返回并向右继续移动，求经过多少秒后，M、N两点相距1个单位长度【答案】（1）﹣2；5（2）解：①当点P在点A左边，由PA+PB=20得: (﹣2 ﹣x )+(5﹣x)=20, ∴②当点P在点A右边，在点B左边，由PA+PB=20得: x ﹣（﹣2 ）+(5﹣x)=20,∴，不成立③当点P在点B右边，由PA+PB=20得:x ﹣（﹣2 ）+(x﹣5), ∴ .∴或11.5（3）解：设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度，由运动知，AM＝t，BN＝2t，① 当点N到达点A之前时，Ⅰ、当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度，t＋1＋2t＝5＋2，所以，t＝2秒，Ⅱ、当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度，t＋2t﹣1＝5＋2，所以，t＝秒，② 当点N到达点A之后时，Ⅰ、当N未追上M时，M、N两点相距1个单位长度，t﹣[2t﹣（5＋2）]＝1，所以，t＝6秒；Ⅱ、当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度，[2t﹣（5＋2）]﹣t＝1，所以，t＝8秒；即：经过2秒或秒或6秒或8秒后，M、N两点相距1个单位长度.【解析】【解答】（1）∵多项式6x3y-2xy+5的二次项系数为a，常数项为b，∴a=-2，b=5，故答案为：-2，5；【分析】（1）根据多项式的相关概念即可得出a,b的值；（2）分①当点P在点A左边，②当点P在点A右边，③当点P在点B右边，三种情况，根据 PA+PB=20 列出方程，求解并检验即可；（3）设经过t秒后，M、N两点相距1个单位长度，故AM＝t，BN＝2t，分① 当点N 到达点A之前时，Ⅰ、当M，N相遇前，M、N两点相距1个单位长度，Ⅱ、当M，N相遇后，M、N两点相距1个单位长度，② 当点N到达点A之后时，Ⅰ、当N未追上M 时，M、N两点相距1个单位长度，Ⅱ、当N追上M后时，M、N两点相距1个单位长度，几种情况，分别列出方程，求解即可.5．已知A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a、b、c（1）填空：abc________0，a＋b________ac，ab－ac________0；（填“＞”，“＝”或“＜”）（2）若|a|＝2，且点B到点A、C的距离相等① 当b2＝16时，求c的值② 求b、c之间的数量关系③ P是数轴上B，C两点之间的一个动点设点P表示的数为x.当P点在运动过程中，bx＋cx＋|x－c|－10|x＋a|的值保持不变，求b的值【答案】（1）<；>；>（2）解：① 且 , ,且 , .∵点B到点A，C的距离相等,∴∴ ,∴②∵ , ∴ ,③依题意，得∴原式=∵∴原式= 【此处不取-2没关系】∵当 P 点在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与无关∴ ,∴【解析】【解答】解：（1）由题中的数轴可知，a＜0＜b＜c，且∴abc＜0，a+b＞ac，ab-ac＞0，故答案为：＜，＞，＞；【分析】（1）根据数轴上的点所表示的数的特点得出a＜0＜b＜c，且，从而根据有理数的乘法法则，加法法则、减法法则及有理数大小的比较方法即可一一判断得出答案；（2）①根据数轴上点的位置及绝对值的意义、有理数的乘方确定a、b的取值，进而根据点B到点A，C的距离相等,即即可求解；②根据数轴上两个点之间的距离及点B到点A，C的距离相等,即，即可得结论；③根据绝对值的意义把算式化简，再根据当P点在运动过程中，原式的值保持不变，即原式的值与无关列出方程，求解即可.6．如图，数轴上两点分别表示有理数-2和5,我们用来表示两点之间的距离.（1）直接写出的值=________；（2）若数轴上一点表示有理数m，则的值是________；（3）当代数式∣n +2∣+∣n -5∣的值取最小值时，写出表示n的点所在的位置；（4）若点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动，求经过多少秒后，点到原点的距离是点到原点的距离的2倍.【答案】（1）7（2）（3）解：n点位于线段AB上（包括A、B两点），即时有最小值7；即：（4）解：设经过x秒后点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，第一种情况：2+2x=2（5-3x），解得：x=1第二种情况：2+2x=2（3x-5），解得：x=3答：经过1秒或3秒后点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍.【解析】【解答】解：（1）故答案为：7（2）【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；（2）根据两点间距离公式求解即可；（3）根据n+2和n-5以及两点间距离公式，即可得出n的取值范围；（4）设经过x秒后点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，利用两点间距离公式分两种情况列出方程，求解即可.7．已知数轴上点A、B分别表示的数是、 ,记A、B两点间的距离为AB（1）若a=6,b=4,则AB=________；若a=-6,b=4,则AB=________；（2）若A、B两点间的距离记为，试问和、有何数量关系？（3）写出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和.（4）|x-1|+|x+2|取得的值最小为________，|x-1|-|x+2|取得最大值为________.【答案】（1）2；10（2）解：d和a、b之间的数量关系：d=|a-b|（3）解：∵5-（-5）=5+5=10，∴点P在5和-5之间∴符合条件的整数点P表示的数为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，∴这些整数的和=-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5=0（4）3；3【解析】【解答】解：（1）若a=6,b=4,则AB=6-4=2；若a=-6,b=4,则AB=4-（-6）=10；（ 4 ）设|x-1|表示点C到1的距离，|x+2|表示点C到-2的距离，∵1到-2的距离是1-（-2）=3，∴当点C在-1到2（含-1和2）之间时，|x-1|+|x+2|取得的值最小，最小值是3；当点C在2的左边（含2）时，|x-1|-|x+2|取得的值最大，最大值是3.【分析】（1）根据各数据分别计算即可得解；（2）根据计算结果列出算式即可；（3）求出-5到5的距离正好等于10,可知-5到5之间的所有整数点都可以，然后求解即可；（4）设|x-1|表示点C到1的距离，|x+2|表示点C到-2的距离，则|x-1|+|x+2|表示两个距离的和，|x-1|-|x+2|表示两个距离的差，根据此意义即可求得.8．观察下列两个等式：2﹣＝2× +1，5﹣＝5× +1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，），都是“共生有理数对”．（1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是________；（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m）________“共生有理数对”（填“是”或“不是”）；（3）请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为________；（注意：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复）（4）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值．【答案】（1）（2）是（3）（0.-1）等（4）解：∵（a，3）是“共生有理数对”，∴a-3=3a+1解之：a=-2.【解析】【解答】（1）数对（﹣2，1）∴-2×1+1=-1，-2-1=-3-1≠-3∴数对（﹣2，1）不是“共生有理数对”；数对（3，）∴，∴数对（3，）是“共生有理数对”；故答案为：（3，）；（2）∵（m，n）是“共生有理数对”∴m-n=mn+1∴-n-（-m）=m-n-n（-m）+1=mn+1∴-n-（-m）=-n（-m）+1，∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”故答案为：是.（3）∵0×（-1）+1=10-（-1）=1∴（0，-1）是“共生有理数对”.【分析】（1）利用“共生有理数对”的定义：若（a，b）是“共生有理数对”，可得到a-b=ab+1，通过计算可作出判断。

【精选】人教版七年级上册数学有理数(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．通过学习绝对值,我们知道的几何意义是数轴上表示数在数轴上的对应点与原点的距离,如：表示在数轴上的对应点到原点的距离. ,即表示、在数轴上对应的两点之间的距离,类似的, ，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点，在数轴上分别表示数、，那么，之间的距离可表示为 .请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是________；数轴上、两点的距离为，点表示的数是，则点表示的数是________.（2）点，，在数轴上分别表示数、、 ,那么到点 .点的距离之和可表示为_ (用含绝对值的式子表示)；若到点 .点的距离之和有最小值，则的取值范围是_ __.（3）的最小值为_ __.【答案】（1）2；1或7（2）|x+1|+|x-2||-1≤x≤2（3）3【解析】【解答】解：（1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是4-2=2；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是4，则点Q表示的数是4-3=1或4+3=7；（ 2 ）A到B的距离与A到C的距离之和，可表示为|x+1|+|x-2|，∵|x-3|+|x+2|=7，当x＜-1时，|x+1|+|x-2|=2-x-x-1=1-2x无最小值，当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3，当x＞2时，x+1+x-2=2x-1＞3，故若A到点B、点C的距离之和有最小值，则x的取值范围是-1≤x≤2；（3）原式=|x-1|+|x-4|.当1≤x≤4时，|x-1|+|x-4|有最小值为|4-1|=3故答案为：（1）2，1或7；（2）|x+1|+|x-2|，-1≤x≤2；（3）3【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的求法“数轴上两点间的距离即数轴上表示两个点的数的差的绝对值．”可求解；（2）同理可求解；（3）由（2）中求得的x的取值范围去绝对值，然后合并同类项即可求解.2．如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a-30|+(b+6)2=0.点O是数轴原点。

七年级数学上册有理数经典难题培优练习

七年级数学上册有理数经典难题培优练习第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成（互质）。

m n0,,n m n ≠4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：① ② 非负性 (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？||||||0,a b ab ab a b ab+- 则 2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（）m m A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求a b c d x的值。

220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图a b所示，那么化简的结果等于（||||a b a b -++ A. B. C.0 D.2a 2a -2b5、已知，求的值是（）2(3)|2|0a b -+-=b a A.2 B.3 C.9 D.66、有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么中有几个负数？,,a b b c c a b c c a a b ------7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示,a b a +为0，，的形式，求。

b ab 20062007a b +8、三个有理数的积为负数，和为正数，且,,a bc 则的值是多少？||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++321ax bx cx +++9、若为整数，且，试求的,,a b c 20072007||||1a b c a -+-=||||||c a a b b c -+-+-值。

初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)

初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)一．选择题（共12小题）1．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米2．足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）+7．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么A+C=（）A．16 B．1C C．1A D．228．若ab＞0，且a+b＜0，那么（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞09．如图，在日历中任意圈出一个3×3的正方形，则里面九个数不满足的关系式是（）A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2（a4+a5+a6）B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2（a2+a5+a8）C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=（a2+a5+a8）10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文?密文（加密），接收方由密文?明文（解密），个自然1，…且公式，则13．2.40万精确到位，有效数字有个．14．如图M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=2，则原点是（填入M、N、P、R中的一个或几个）．15．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M ﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．16．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是．17．请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…你规定的新运算a⊕b= （用a，b的一个代数式表示）．18=ad，例如＜）（）（）（）﹣20．a、b＜0；③ab．，且＜22．的圆形，+24．请你仔细阅读下列材料：计算：（﹣）÷（﹣+﹣）解法1：按常规方法计算原式=（﹣）÷[+﹣（+）]=（﹣）÷（﹣）=（﹣）×3=﹣解法2：简便计算，先求其倒数原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．25．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．（1）求2※4的值；（2）求（1※4）※（﹣2）的值；（3），求+当A|；②b|；（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当x= 时，|x+1|+|x﹣2|=5．29．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999×（﹣15）（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．30两数在（4（5）“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是．（2）已知y=|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．33．（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；①②34））（×）×35．（1（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．37．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得：2S﹣S=22014﹣1，即S=22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013=﹣1请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．38．计算：（1）；（2）﹣24+3﹣16﹣5；（3）；；）；）；）；）；）；）；2+）39．1+21×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=3×4×5=20读完这段材料，请你思考后回答：（1）直接写出下列各式的计算结果：①1×2+2×3+3×4+…10×11=②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=（2）探究并计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12= ．40．（1、B两（2B （3）（4）) 1．（【分析】首先根据题意求出头发丝的半径是（60 000÷2）纳米，然后根据1纳米=10﹣9米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径．【解答】解：头发丝的半径是60 000÷2×10﹣9=3×10﹣5米．故选D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（2014秋?赛罕区校级期末）足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）A．红队2，黄队﹣2，蓝队0 B．红队2，黄队﹣1，蓝队1C．红队3，黄队﹣3，蓝队1 D．红队3，黄队﹣2，蓝队0【分析】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数．依此列出算式进行计算．【解答】解：由题意知，红队共进4球，失2球，净胜球数为：4+（﹣2）=2，黄队共进3球，失5球，净胜球数为3+（﹣5）=﹣2，佛山期末）要使∵为整数，4．（8A．25% B．37.5% C．50% D．75%【分析】根据正数是大于标准的数，非负数是达标成绩，可得达标人数，达标人数除以总人数，可的达标率．【解答】解：﹣1＜0，0=0，﹣1.2＜0，﹣0.1＜0，0=0，﹣0.6＜0，达标人数为6人，达标率为6÷8=75%，故选：D．【点评】本题考查拉正数和负数，注意非负数是达标人数，达标人数除以总人数的达标率．5．（2014?新华区模拟）有一列数a1，a2，a3，a4，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2008值为（）A．2 B．﹣1 C．D．2008【分析】从所给出的资料中，可得到若a1=2，a2=，a3=﹣1，a4=2…则这列数的周期为3，据此解﹣6．（+）②当a＞0＞b＞c时：++=++=1﹣1﹣1=﹣1；综上，++的所有可能的值为±1．故选（B）【点评】本题主要考查了代数式求值，关键是掌握绝对值的性质等知识点，注意分情况讨论字母的符号，不要漏解．7．（2013?天桥区一模）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么A+C=（）A．16 B．1C C．1A D．22【分析】首先把A+C利用十进制表示，然后化成16进制即可．【解答】解：A+C=10+12=22=16+6，则用16进制表示是16．9．（369147258【分析】从表格中可看出a5在中间，上下相邻的数为依次大7，左右相邻的数为依次大1，所以可得到代数式．【解答】解：A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=（a4+a5+a6）﹣21+（a4+a5+a6）+21=2（a4+a5+a6），正确，不符合题意；B、a1+a4+a7+a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6+a7+a9=2（a2+a5+a8），正确，不符合题意；C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5，正确，不符合题意D、（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=6，错误，符合题意．故选D．【点评】本题考查有理数的加减混合运算，关键是从表格中看出各个数与a5的关系，从而得出结果．10．（2010?广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文?密文（加密），接收方由密文?明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余a对应，所得的）C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值【分析】根据非负数的性质，分别讨论x的取值范围，再判断y的最值问题．【解答】解：方法一：由题意得：当x＜﹣1时，y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x；当﹣1≤x≤1时，y=﹣x+1+1+x=2；当x＞1时，y=x﹣1+1+x=2x；故由上得当﹣1≤x≤1时，y有最小值为2；故选D．方法二：由题意，y表示数轴上一点x，到﹣1，1的距离和，这个距离和的最小值为2，此时x的范围为﹣1≤x≤1，故选D．【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论．12．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…且公式，则C125+C126=（）=，+，=，=，效数字；注意后面的单位不算入有效数字．14．（2016秋?余杭区期末）如图M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=2，则原点是N或P （填入M、N、P、R中的一个或几个）．【分析】根据数轴判断出a、b之间的距离小于3，且大于1，然后根据绝对值的性质解答即可．【解答】解：∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，1＜|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=2，所以原点可能在N或P点；②当原点在M或R点时，|a|+|b|＞2，所以原点不可能在M或R点；综上所述，原点应是在N或P点．故答案为：N或P．【点评】此题考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．15．（2310023100234+3101，=，仿照以上推理计算：M=．故答案为．16．（0；【分析】根据题目信息，利用有理数的乘方列式进行计算即可得解．=1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13．【解答】解：（1101）2故答案为：13．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解二进制与十进制的数的转化方法是解题的关键．17．（2012?台州）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…你规定的新运算a⊕b= （用a，b的一个代数式表示）．【分析】由题中的新定义，将已知的等式结果变形后，总结出一般性的规律，即可用a与b表示出新运算a⊕b．【解答】解：根据题意可得：1⊕2=2⊕1=3=+，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣=+，+．18．（=ad，例如=2x、y＜＜的值，当x=±14时，y=±1；当x=±7时，y=±2．则x+y=1+14=15，或x+y=﹣1﹣14=﹣15，或x+y=2+7=9，或x+y=﹣2﹣7=﹣9．故x+y=±15或±9．故答案是：±15或±9．【点评】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键．19．（2011春?宿迁校级期末）符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，…（2）G（）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，…利用以上规律计算：G（2010）﹣G（）﹣2010= ﹣2009 ．【分析】此题是一道找规律的题目，通过观察可发现（1）中等号后面的数为前面括号中的数的2倍减1，（2）中等号后面的数为分母减去1再乘2，计算即可．【解答】解：G（2010）﹣G（）﹣2010=2010×2﹣1﹣（2010﹣1）×2﹣2010=﹣2009．20．（a﹣b ＜0；②根据分式值的符号判断字母符号之间的关系：同号得正，异号得负．【解答】解：∵|x|=2，|y|=3，∴x=±2，y=±3．又∵＜0，∴x，y异号，故x=2，y=﹣3；或x=﹣2，y=3．∴x+y=2+（﹣3）=﹣1或﹣2+3=1．故答案为：±1．【点评】理解绝对值的意义，注意互为相反数的两个数的绝对值相同．同时能够根据分式的值的符号判断两个字母符号之间的关系．22．（2004?乌鲁木齐）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时，+++…+= 1﹣．，++﹣．+++++．+++++变形为++++…++，再根据加法交换律和结合律计算即可求解．解：++++=+++++=+（+）++）=4028+=4028．【点评】此题考查了有理数的混合运算，关键是把++++…+变形为++++++++…++计算．24．（2016秋?湖北月考）请你仔细阅读下列材料：计算：（﹣）÷（﹣+﹣）解法1：按常规方法计算原式=（﹣）÷[+﹣（+）]=（﹣）÷（﹣）=（﹣）×3=﹣解法2：简便计算，先求其倒数原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣（﹣﹣）．﹣+﹣）[+﹣（+）[﹣]﹣÷﹣；（﹣+）+×+=﹣21+12﹣28+16=﹣21，故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣．【点评】此题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，理解第二种解法的思路：两个数相除，可先求这两个数相除的倒数．25．（2016秋?东莞市期末）已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．（1）求2※4的值；（2）求（1※4）※（﹣2）的值；（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．【分析】读懂题意，掌握规律，按规律计算每个式子．【解答】解：（1）2※4=2×4+1=9；（2）（1※4）※（﹣2）=（1×4+1）×（﹣2）+1=﹣9；26．（，求+（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|=（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a=﹣2b．【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．28．（2016秋?镜湖区校级期中）（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，②①②③|x+1如果AB=2，则x+1=±2，解得x=1或﹣3；③若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，所以﹣1≤x≤2．④若x+1＞0，x﹣2＞0，则（x+1）+（x﹣2）=5，解得x=3，若x+1＜0，x﹣2＜0，则﹣（x+1）﹣（x﹣2）=5，解得x=﹣2，若x+1和x﹣2异号，则等式不成立，所以当x=3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|=5．故答案为：3，3，4；|x+1|，1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．【点评】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．河北））﹣18．）﹣﹣）【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．30．（2015秋?古田县校级期末）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7 ，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|．（3）如果|x﹣2|=5，则x= 7或﹣3 ．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是﹣3、﹣2、﹣1、0、1 ．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．【分析】（1）根据距离公式即可解答；（2）利用距离公式求解即可；7；（4）∵|+3|+|x解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①，将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+22014+22015②将②﹣①得：S=22015﹣1，即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；（2）同理即可得到所求式子的值．【解答】解：（1）设S=1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+…+210+211，将下式减去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1，则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1；（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n①，234n n+1+323．（1（≤x（2）当x≥﹣2，时y=﹣2x，当x=﹣2时，y最大=4；当﹣4≤x≤﹣2时，y=6x+16，当x﹣2时，y最大=4；当x≤﹣4，时y=2x，当x=﹣4时，y最大=﹣8，所以x=﹣2时，y有最大值y=4．【点评】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，（2）分类讨论是解题关键．33．（2014?香洲区校级二模）（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①②③④②1④当x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2=5，解得x=﹣2；当﹣1＜x≤2时，3≠5，不成立；当x＞2时，x+1+x﹣2=5，解得x=3．故答案为：3，3，4，|x+1|，1或﹣3，﹣1≤x≤2．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合的优点．34．（2015秋?南江县校级期中）计算：（×）×（×）×（×）×…×（×）×（×）．【分析】利用去掉括号找出算式的规律求解即可．【解答】解：（×）×（×）×（×）×…×（×）×（×）=××××××…××××=×．35．（ 1.5（1【解答】（1）解：能，如图：（2）解：2+|﹣1|=3，答：小彬家距中心广场3千米．（3）解：|2|+|1.5|+|4.5|+|1|=9，答：小明一共跑了9千米．【点评】本题考查了有理数的加减运算，正数和负数，绝对值等知识点的应用，进而此题的关键是能根据题意列出算式，题目比较典型，难度适中，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题，用数学知识来解决．36．（2015秋?浠水县期末）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a= ﹣1 ，b= 1 ，c= 5（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运（3t秒钟的值（（，=x+1﹣1+x+2x+10=4x+10；当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0．∴|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|=x+1﹣（x﹣1）+2（x+5）=x+1﹣x+1+2x+10=2x+12；（3）不变．∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B每秒2个单位长度向右运动，∴A，B每秒钟增加3个单位长度；∵点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴B，C每秒钟增加3个单位长度．∴BC﹣AB=2，BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变．【点评】本题考查了数轴与绝对值，正确理解AB，BC的变化情况是关键．37．（2015?芜湖三模）阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．23420122013∴．）；；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）（﹣47.65）×2+（﹣37.15）×（﹣2）+10.5×（﹣7）．【分析】（1）（2）（5）（8）可直接按照有理数的混合运算进行；（3）（7）（9）（10）（11）按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的；（4）（6）可利用分配律计算；（12）可利用结合律进行运算，最后得出结果．+=×××=6﹣=；×﹣×+××﹣（﹣）﹣（﹣=×）﹣×（﹣﹣×××=﹣10.5×﹣10.5×=﹣10.5×（+）=﹣10.5×10=﹣105．【点评】本题考查的是有理数的运算．注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．39．（2014秋?沙坪坝区期中）1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式4=3nn【解答】解：（1）直接写出下列各式的计算结果：①1×2+2×3+3×4+…10×11=440，②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=n（n+1）（n+2），（2）探究并计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=4290．故答案为：440，n（n+1）（n+2），n（n+1）（n+2）（n+3），4290．【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，其中弄清题意，得出一般性的规律是解本题的关键．40．（2015秋?昌江县校级期中）如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 4 ，A、B两（2B （3）（4）4，（2B （3）（4）那么请你猜想终点B表示m+n﹣p，A、B两点间的距离为|n﹣p|．故答案为：（1）4，7；（2）1，2；（3）﹣13，9【点评】此题考查了数轴，弄清题中的规律是解本题的关键．。

第1章有理数培优训练试题（含解析）

浙教版七上数学第一章：有理数培优训练答案一．选择题：1.答案：B解析：∵053=-++b a ，∴,3,03-=∴=+a a 5,05=∴=-b b ，故选择B2.答案：D解析：∵ab ＜0， ∴a 、b 异号， ∵a+b ＜0，∴负数的绝对值大于正数的绝对值．故选：D ．3.答案：B解析：∵01≥-x ，即当1=x 时，|x ﹣1|+2的最小值为2，故选择B4.答案：B解析：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，我们发现四次一循环，因为2......50442018=÷，故未位数为4，故选择B5.答案：A解析：∵0是有理数中的其中一个数，它可以表示很多种不同的意义，故①错误； ∵整数包括正整数、负整数和零，故②错误； ∵正数和负数中有不是有理数的数，故③错误； ∵没有最小的整数，故④错误；∵负分数是有理数，故⑤正确。

故选择A 6.答案：A解析：01<<-a ，01,01,0>+>-<∴a a a ，()()011<+-∴a a a ，故选择A7.答案：D解析：如果m 是一个有理数，当0>m 时，0<-m ；当0=m 时，0=-m ；当0<m 时，0>-m ，故选择D8．答案：D解析：试题分析：0＜a ＜1，取21=a ，所以21-=-a ，21=a ，21-=-a ，所以a a a a 11->->>，故本题选D.9.答案：B解析：∵0,0><b a 且b a >， ∴a b b a -<<-<，故选择B10.答案：A解析：因为102601710=， 98604930=， 92602315=， 99603320=， 95601912= 又10299989592<<<<，故中间一个数应是4930，故选择A二．填空题：11.答案：2解析：P 表示的数为1-，向右平移3个单位后P '表示的数为212.答案：5解析：∵212-的相反数为212，这两个数中间的整数为2,1,0,1,2--共5个。

1.3数轴在有理数中的十大常见应用(新教材,重难点培优提升)(解析版)

1.3数轴在有理数中的十大常见应用（新教材，重难点培优提升）题型一、用数轴表示有理数1．（2024·陕西西安·模拟预测）数轴上，在原点左侧且到原点距离为2个单位长度的点，表示的数是（）A．2B．2-C．12D．12-【答案】B【分析】此题考查有理数，数轴和绝对值，根据数a在数轴上对应的点在原点左侧，则该数是一个负数，根据该点到原点的距离为2个单位长度，则这个数的绝对值是2，从而求解，掌握相关知识的应用是解题的关键．【详解】解：∵实数a在数轴上对应的点在原点左侧，∴该数是一个负数，∵该点到原点的距离为2个单位长度，∴这个数的绝对值是2，∴这个数是2-，故选：B ．2．（2024·吉林长春·二模）小明在一条东西向的跑道上先向东走了20米，又向西走了50米，规定向东为正，向西为负．这一过程在数轴上如图所示，则小明现在的位置A 表示的数为（）A ．50-B ．30-C ．20-D ．30【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算等知识．熟练掌握相反意义的量，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算是解题的关键．由题意知，()0205030++-=-，进而可得A 表示的数为30-．【详解】解：由题意知，()0205030++-=-，∴A 表示的数为30-，故选：B ．3．（2024·河北唐山·二模）如图，数轴上点A ，B ，C ，D 表示四个连续的整数，分别用a ，b ，c ，d 来表示．若2d =，）A ．0b =B ．ac =C ．2a b c d +++=D ．0a b c ++>题型二、用数轴表示相反数4．（2024·甘肃陇南·三模）如图，数轴上点A 的相反数是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A 【分析】根据数轴可知点A 表示的数是2，再根据相反数的定义，即可得到答案．本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．【详解】由数轴可知，点A 表示的数是2，2的相反数是2-，故选：A ．5．（2024·陕西榆林·三模）如图，数轴的单位长度为1，若点A 表示的数与点B 表示的数互为相反数，则点C 表示的数是．点C 表示的数为4-；6．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，整数m ，n ，t 在数轴上分别对应点M ，N ，T ．(1)若m ，n 互为相反数，描出原点O 的位置并求t 的值；(2)当点T 为原点，且：3m n -+=- 时，求“□”所表示的数．【答案】(1)图见解析，1t =-；(2)3【分析】本题考查了相反数、数轴、一元一次方程、实数的运算，考查运算能力．（1）根据相反数的定义，得到原点O 的位置，据此求解即可；（2）根据原点的位置，确定m ，n 的值，代入计算即可求解．【详解】（1）解：∵m ，n 互为相反数，∴0m n +=，即点M ，N 到原点的距离相等，∴原点的位置如图所示：则1t =-；（2）解：∵点T 为原点，则24m n =-=，，∵3m n -+=- ，∴243--+=- ，∴3=W ．题型三、数轴与绝对值的综合问题7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有四个点A ，B ，C ，D 分别对应四个有理数，若点B ，D ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】C 【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用．先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定表示绝对值最小的数的点即可．【详解】解：因为点B ，D 表示的有理数互为相反数，所以原点的位置在线段BD 的中点处，∵离原点越近的点表示的数绝对值越小，∴表示绝对值最小的数的点是C 点．故选：C ．8．（2024·吉林白城·一模）如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（）A ．72-B ．52-C ．72D ．52【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值．根据数轴确定该数的绝对值在3到4之间即可判断．【详解】解：由题意得，遮住的数在4-到3-之间，∴遮住的数的绝对值在3到4之间，∴四个选项中只有C 选项符合题意，故选：C ．9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a ，b ，c 对应的数如图所示，b c =．(1)确定符号：a ______0，b ______0，c _____0，b c +_____0，a c -______0；(2)化简：a c b +-；(3)化简：a a c --．题型四、用数轴进行大小比较10．（2024·广东佛山·三模）有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（）A ．0a <B ．0b >C ．0a >D ．a b<11．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）表示数,,a b c 的点在数轴上的位置如图所示，下列选项不成立的是（）A ．a b b c+<+B ．a c b c -<-C ．ab bc<D ．a b c c<【答案】C 【分析】根据图示，可得a b c <<且21a -<<-，10b -<<，12c <<，据此逐项判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，不等式的性质以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．【详解】解：根据图示，可得a b c <<且21a -<<-，10b -<<，12c <<，a c < ，12．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，数轴上点A 表示的数是3-，点B 表示的数是4．(1)在数轴上标出原点O ．(2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”连接起来．4-， 1.5-，2.5，32⎛⎫-+ ⎪（2）解： 1.5 1.5-=，3322⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭34 1.5 2.52⎛⎫-<-+<-< ⎪⎝⎭．题型五、用数轴表示两点间的距离13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上表示数1-和2021的两点分别为点A 和点B ，则A 、B 两点之间的距离为（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】D【分析】本题考查数轴上两点间距离；会求数轴上两点间的距离是解题的关键．由数轴上表示数1-和2021的点到原点的距离分别为1个单位长度和2021个单位长度，且这两个点位于原点的两侧，故这两个点之间的距离为2022．【详解】解：点A 在原点的左侧，到原点的距离是1个单位长度，点B 在原点的右侧，到原点的距离是2021个单位长度，B 两点之间的距离为120212022+=，故选：D ．14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在一条可以折叠的数轴上，点A ，B 表示的数分别是10-，3，如图，以点C 为折点，将此数轴向右对折，若点A 在点B 的右边，且1AB =，则点C 表示的数是（）A ．4-B ．3-C ．1-D ．015．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上有A 、B 、C 这三个点．回答：(1)A 、B 、C 这三个点表示的数各是多少？A ：；B ：；C ：．(2)A 、B 两点间的距离是，A 、C 两点间的距离是．(3)应怎样移动点B 的位置，使点B 到点A 和点C 的距离相等？题型六、用数轴判断式子的正负并化简式子16．（2024·吉林长春·三模）如图，实数a ，b 在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（）A ．20a b +>B ．0a b ->C ．0ab >D ．0a b -->【分析】本题考查的是实数与数轴．根据数轴可知，1a <-，01b <<，由此逐一判断各选项即可．【详解】解：由数轴可知，1a <-，01b <<，A 、∵1a <-，01b <<，∴22a <-，∴21a b +<-，故选项A 不符合题意；B 、∵1a <-，01b <<，∴10b -<-<，∴0a b -<，故选项B 不符合题意；C 、∵1a <-，01b <<，∴0ab <，故选项C 不符合题意；D 、∵1a <-，01b <<，∴110a b ->-<-<，，∴0a b -->，故选项D 符合题意；故选：D ．17．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知：数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简||||b a b c -+-=．【答案】c a-【分析】本题考查了利用数轴判断实数大小及去绝对值符号的能力．根据数据判断出a 、b 、c 的大小，判断出b a -和b c -的符号，从而成功将绝对值符号去掉进行化简，则可解决此题．【详解】解：由图示可知，a b c <<，0b a ∴->，0b c -<，||b a b a ∴-=-，||b c c b -=-，∴原式b a c b c a =-+-=-．故答案为：c a -．18．（22-23七年级上·河南南阳·阶段练习）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)比较大小（填“＞”或“＜”号）．①a ______c ；②a b +______0；③b c -______0；(2)化简：2b c a b c a -++--．题型七、数轴与整数点的覆盖问题19．（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）在数轴上与1-相距3个单位长度的点有个，长为3个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖个整数点.20．（23-24七年级上·江苏·周测）用长为2020个单位长度的线段AB 放在数轴上，能覆盖个整数点．【答案】2020或2021/2021或2020【分析】本题考查了数轴的性质，画出数轴，按照题意归纳总结，找到规律，得出答案是解答本题的关键．画出一个数轴，在上面画一个单位长度的线段，可以得到能覆盖1或2个整数点；画两个单位长度的线段，可以得到能覆盖2或3个整数点；以此类推，找到规律，由此得到答案．【详解】解：如图所示，当起点A位于整数点之间时：AB长度为1个单位，其覆盖了一个整数点；AC长度为2个单位，其覆盖了两个整数点；AD长度为3个单位，其覆盖了三个整数点；AE长度为4个单位，其覆盖了四个整数点，以此类推：长为2020个单位长度的线段AB放在数轴上，能覆盖2020个整数点．如图所示，当起点A位于整数点上时：AB长度为1个单位，其覆盖了两个整数点；AC长度为2个单位，其覆盖了三个整数点；AD长度为3个单位，其覆盖了四个整数点；AE长度为4个单位，其覆盖了五个整数点，以此类推：长为2020个单位长度的线段AB放在数轴上，能覆盖2021个整数点．综上：长为2020个单位长度的线段AB放在数轴上，能覆盖2020或2021个整数点．故答案为：2020或2021．21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB．(1)某数轴的单位长度是1cm，求盖住的整点的个数；(2)若将数轴的单位长度改为2cm，求盖住的整点的个数．【答案】(1)2021或2020个(2)1011或1010个【分析】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论．（1）以线段AB的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论．（2）先用2AB ÷，得出AB 相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论．【详解】（1）∵数轴的单位长度是1cm ，2020cm AB =，∴若点A 与一整点重合，则B 点也与一整点重合，两点之间有2019个整点．∴线段AB 共盖住了2021个整点．若点A 不与整点重合，则点B 也不与整点重合，两点之间有2020个整点．综上，线段AB 盖住的整点的个数为2021或2020个．（2）21010AB ÷=（个单位），∴若点A 与一整点重合，则B 点也与一整点重合，两点之间有1009个整点．∴线段AB 共盖住了1011个整点．若点A 不与整点重合，则点B 也不与整点重合，两点之间有1010个整点．综上，线段AB 盖住的整点的个数为1011或1010个．题型八、用数轴表示实际问题22．（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）某公路养护小组乘车沿一条东西方向的公路巡视维护．某天早晨从A 地出发，最后收工时到达B 地．约定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位:千米）：13+，14-，11+，10-，8-，9+，12-，8+．(1)求B 地在A 地的哪个方向?它们相距多少千米?(2)若每千米耗油0.3升，每升汽油6元，那么该养护小组当天乘车耗油多少升？花费多少油钱？=85，850.325.5⨯=（升），25.56153⨯=（元），∴该维修队耗油25.5升，花费153元油费．23．（23-24七年级上·湖北随州·期中）如图为武汉市地铁2号线地图的一部分，学生小王某天参加志愿者服务活动，从洪山广场站出发，到从A 站出站时，本次志愿者服务活动结束．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下：4+，3-，6+，8-，5+，2-，3-，1+．(1)请通过计算说明A 站是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？24．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A 站，东至L 站，途中共设12个上下车站点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C 站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：5,3,4,5,8,2,1,3,4,1+-+-+-+--+．(1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？(3)已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的1170，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？题型九、数轴与动点的压轴问题25．（2023·河北邯郸·模拟预测）如图，在一条不完整的数轴上有A，B两点，它们表示的数分别为7-和2．(1)求线段AB的长度．(2)A 点沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．①求5秒后A 点表示的数．②求t 为何值时，线段AB 的长度为2．【答案】(1)9(2)①2-，②7t =或11【分析】（1）用点B 表示的数减去点A 表示的数即可求解；（2）①用点A 表示的数加上点A 所走的路程即可求解；②根据题意进行分类讨论：当点A 运动到点B 左边时，当点A 运动到点B 右边时．【详解】（1）解：()279AB =--=．（2）解：①752-+=-，∴5秒后A 点表示的数为2-；②当点A 运动到点B 左边时，722t -+=-，解得：7t =；当点A 运动到点B 右边时，722t -+=+，解得：11t =；综上：7t =或11．【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是掌握数轴上的点表示的数右边大于左边．26．（21-22七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在数轴上，点P 从表示－40的点出发，沿水平向右的方向以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q 从表示20的点出发，沿水平向左的方向以每秒2个单位长度的速度运动．（1）当点Q 运动到原点O 时，点P 的位置表示的数是多少？（2）当P 、Q 两点间的距离为30个单位长度时，问两点运动的时间是多少？【答案】（1）-10，（2）6秒或18秒【分析】（1）求出点Q 运动到原点O 时所用时间，再求出点P 所走的距离，求出点P 表示的数即可；（2）设两点运动的时间是x 秒时，两点间的距离为30个单位长度，分两种情况列出方程，求解即可．【详解】解：（1）当点Q 运动到原点O 时，点Q 运动的距离为20，运动时间为20÷2=10（秒），此时，点P 所走的距离为：3×10=30，点P 表示的数为-40+30=-10；（2）设两点运动的时间是x 秒时，两点间的距离为30个单位长度，当点P 在点Q 左侧时，[20-（-40）]-3x -2x =30，解得，x =6，当点P 在点Q 右侧时，3x +2x -[20-（-40）]=30，解得，x =18，答：设两点运动的时间是6秒或18秒时，P 、Q 两点间的距离为30个单位长度．【点睛】本题考查了数轴上两点的距离和一元一次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出方程，注意分类讨论．题型十、数轴与新定义综合问题27．（23-24六年级下·上海·期末）数轴上点P 、点A 、点B 表示的数分别记作p 、a 、b ，如果点P 为线段AB 的中点．则有2a b p +=．如：点A 、B 所表示的数分别1-和3，如果P 是线段AB 的中点，则点P 表示的数为：(1)312p -+==，即点P 表示的数为1．此时P 到A 、B 的距离都是2，所以点P 是线段AB 的中点．(1)数轴上点C 、点D 表示分别为3-，6-，则线段CD 的中点表示的数是_________；(2)已知数轴上有三点E 、F 、G ，且其中一点是另外两点连线段的中点，若点E 、F 表示的数分别是2-和5，求点G 所表示的数是多少？28．（2024·山东威海·中考真题）定义我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离()=-≥．特别的，当0AB a b a ba≥时，表示数a的点与原点的距离等于0a-．当a<0时，表示数a的点与-．原点的距离等于0a应用-的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B 如图，在数轴上，动点A从表示3从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．一、单选题1．（2024·北京石景山·二模）实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．1a >-B ．b a >-C ．0a b +<D ．0ab >【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴可得102a b <-<<<，进而根据实数的运算法则即可判断求解，掌握数形结合思想是解题的关键．【详解】解：由数轴可得，102a b <-<<<，∴2a -<，0a b +>，0ab <，∴b a >-，∴A CD 错误，B 正确，故选：B ．2．（2024·浙江杭州·二模）已知数轴上有A 、B 两点，点A 在点B 的右侧，若点A 、B 分别表示数a 、b ，且满足1a b +=，则下列各式的值一定为负数的是（）A ．aB ．a -C ．1a -D ．1b +3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）实数a 在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b 满足b a >，且a b>，则b 的值可以是（）A ．3-B ．1-C ．1D ．34．（2024·河北沧州·一模）如图，M ，N 为数轴上的两点，P 为MN 的中点，点M ，N 对应的数分别为m ，n ，且0mn >，若将点N 沿原点翻折得到点N '，翻折后MN '的长度为10，则点P 所对应的数为（）A．4B．5C．4±D．5±使得点A，C之间的距离为5；再在数轴找一点D，使得点B，D之间的距离为1，则C，D两点间的距离可能为（）A．5B．4C．3D．2【答案】C【分析】本题综合考查了数轴上两点间的距离，数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等知识点，重点掌握求数轴上两点之间的距离的方法，易错点就是求点对应的数时不重不漏．由数轴上两点的距离等于两点对应数差的绝对值求出距离为1、3、7、9，符合题意的为C答案．【详解】解：点A，C之间的距离为5，A点对应的数为3-，∴点C对应的数为2或8-，又B 点对应的数6-，点B ，D 之间的距离为1，∴点D 对应的数为5-或7-，7CD ∴=或9或3或1，故选：C6．（23-24九年级下·福建莆田·阶段练习）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是（）A ．c a>B ．0b c ->C ．0a b c ++=D ．a b a c b c-=---二、填空题7．（23-24六年级下·上海·期末）数轴上点A 表示的数是113-，若数轴上点P 到点A 的距离等于122，则点P 所表示的数是．8．（2024·河北邯郸·三模）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别是8-，6，现以点C为折点，将数轴向右对折：①若A'与B重合，则C点表示的数是．②若点A'落在射线CB上，并且4A B=，则C点表示的数是．AC A C '= ，()810x x ∴--=-，解得：1x =；当A '在线段CB 上时，4B A '= ，∴点A '表示的数为642-=，AC A C '= ，()82x x ∴--=-，解得：3x =-；∴C 点表示的数是1或3-．故答案为：1或3-．9．（24-25七年级上·江苏·假期作业）阅读与思考如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是2-．参照图中所给的信息，完成填空：已知A ，B 都是数轴上的点．（1）若点A 表示数3-．将点A 向右移动5个单位长度至点1A ．则点1A 表示的数是；（2）若点A 表示数2，将点A 先向左移动7个单位长度，再向右移动92个单位长度至点2A ，则点2A 表示的数是；（3）若将点B 先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B 所表示的数是．10．（23-24六年级下·上海闵行·期末）数轴上点A 表示的数是1，点B 表示的数是3-，原点为O ，若点A 和点B 分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t 秒后，点A 运动到点C ，点B 运动到点D ，当2OD OC =时，则t =秒．三、解答题11．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，周长为14的长方形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上，且点A 对应的数为16CD -=，，若将长方形ABCD 沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2022次翻滚后到达数轴上的点P ，请求出P 点所对应的数.【答案】7082【分析】本题主要考查了数轴和图形规律，找出翻滚规律是解题的关键．根据长方形的周长及CD 的长求出AD 、AB 的长，再找出翻滚规律：每翻滚2次的和为7，即最小周期为2，再计算202221011÷=，最后计算P 点所对应的数．【详解】解：∵长方形ABCD 的周长为14，∴2()14AD CD +=，∴7AD CD +=，∵6CD =，∴1AD =，∵四边形ABCD 为长方形，∴1,6AB CD BC AD ====，∵点A 对应的数为1-，∴点B 对应的数为5，翻滚1次后到达数轴上的点所对应的数为516+=；翻滚2次后到达数轴上的点所对应的数为6612+=；翻滚3次后到达数轴上的点所对应的数为12113+=；翻滚4次后到达数轴上的点所对应的数为13619+=；∴每翻滚2次的和为7，即最小周期为2，∴202221011÷=，∴翻滚2022次有1011个周期，∴101177077⨯=，∴P 点所对应的数为570777082+=．故答案为：7082．12．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）为体现社会对教师的尊重，2023年9月10日“教师节”这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：15+，4-，13+，10-，12-，3+，13-，17-．(1)最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？(2)若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？(3)若出租车的收费标准是：5千米内（含5千米）只收取起步价8元；超过5千米，则每超过1千米加收1.2元．请你通过计算说明出租车司机小王当天免费教师多少钱？=+⨯64 1.250=+6460=（元），124∴出租车司机小王当天免费教师124元．13．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知数轴上两点A、B对应的数分别为3-、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数．(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？（3）解：设经过x 分钟点A 与点B 重合，∴24x x =+，解得4x =，由题意可得，点P 运动的时间即为点A 追上点B 的时间，∴624x =，故当点A 与点B 重合时，点P 所经过的总路程是24．14．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A ，B ，C 所对应的数依次为4-，2，32，乙数轴上的三点D ，E ，F 所对应的数依次为0，x ，12．(1)计算A ，B ，C 三点所对应的数的和，并求AB AC的值；(2)当点A 与点D 上下对齐时，点B ，C 恰好分别与点E ，F 上下对齐，求x 的值．15．（23-24七年级·全国·假期作业）阅读下列材料，回答问题．经过有理数运算的学习，我们知道53-可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，()52--可以表示5与2-之差的绝对值，也可以表示5与2-两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：(1)41-表示数轴上与所对应的两点之间的距离．(2)5x -表示数轴上有理数x 所对应的点到所对应的点之间的距离；2x +表示数轴上有理数x 所对应的点到所对应的点之间的距离．(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得224x x ++-=．这样的整数x 有．。

初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)之欧阳学创编

初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)时间：2021.03.03 创作：欧阳学一．选择题（共12小题）1．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米2．足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）A．红队2，黄队﹣2，蓝队0 B．红队2，黄队﹣1，蓝队1C．红队3，黄队﹣3，蓝队1 D．红队3，黄队﹣2，蓝队03．要使为整数，a只需为（）A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数4．体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）﹣1+0.80﹣1.2﹣0.10+0.5﹣0.6A．25% B．37.5% C．50% D．75%5．有一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2008值为（）A．2 B．﹣1 C ．D．20086．有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则++=（）A．1 B．±1 C．﹣1 D．07．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789A B C D E F10进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么A+C=（）A．16 B．1C C．1A D．228．若ab＞0，且a+b＜0，那么（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞09．如图，在日历中任意圈出一个3×3的正方形，则里面九个数不满足的关系式是（）A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2（a4+a5+a6）B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2（a2+a5+a8）C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=（a2+a5+a8）10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12字母 n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 24 25按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc11．设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x 使y取最小值12．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…且公式，则C125+C126=（）A．C135B．C136C．C1311D．C127二．填空题（共10小题）13．2.40万精确到位，有效数字有个．14．如图M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=2，则原点是（填入M、N、P、R中的一个或几个）．15．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．16．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是．17．请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…你规定的新运算a⊕b=（用a，b的一个代数式表示）．18．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值．19．符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，…（2）G（）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，…利用以上规律计算：G（2010）﹣G（）﹣2010=．20．a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）．21．若|x|=2，|y|=3，且＜0，则x+y=．22．王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时，+++…+=．三．解答题（共18小题）23．计算：++++…+．24．请你仔细阅读下列材料：计算：（﹣）÷（﹣+﹣）解法1：按常规方法计算原式=（﹣）÷[+﹣（+）]=（﹣）÷（﹣）=（﹣）×3=﹣解法2：简便计算，先求其倒数原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．25．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．（1）求2※4的值；（2）求（1※4）※（﹣2）的值；（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．26．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求+m2﹣3cd的值．27．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．28．（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当x= 时，|x+1|+|x﹣2|=5．29．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999×（﹣15）（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．30．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|=5，则x=．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．31．阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①，将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+22014+22015②将②﹣①得：S=22015﹣1，即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）32．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是．（2）已知y=|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．33．（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．34．计算：（×）×（×）×（×）×…×（×）×（×）．35．小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，继续向东跑了1.5千米到达小红家，然后向西跑了4.5千米到达中心广场，最后回到家．（1）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用 1 个单位长度表示1千米，你能在数轴上表示出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？（2）小彬家距中心广场多远？（3）小明一共跑了多少千米？36．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a=，b=，c=（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x ≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．37．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得：2S﹣S=22014﹣1，即S=22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013=﹣1请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．38．计算：（1）；（2）﹣24+3﹣16﹣5；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）（﹣47.65）×2+（﹣37.15）×（﹣2）+10.5×（﹣7）．39．1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…n （n+1）=？观察下面三个特殊的等式1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=3×4×5=20读完这段材料，请你思考后回答：（1）直接写出下列各式的计算结果：①1×2+2×3+3×4+…10×11=②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=（2）探究并计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=．40．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离为；（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示什么数？A、B两点间的距离为多少？初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016春•碑林区校级期末）1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米【分析】首先根据题意求出头发丝的半径是（60 000÷2）纳米，然后根据1纳米=10﹣9米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径．【解答】解：头发丝的半径是60 000÷2×10﹣9=3×10﹣5米．故选D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（2014秋•赛罕区校级期末）足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）A．红队2，黄队﹣2，蓝队0 B．红队2，黄队﹣1，蓝队1C．红队3，黄队﹣3，蓝队1 D．红队3，黄队﹣2，蓝队0【分析】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数．依此列出算式进行计算．【解答】解：由题意知，红队共进4球，失2球，净胜球数为：4+（﹣2）=2，黄队共进3球，失5球，净胜球数为3+（﹣5）=﹣2，蓝队共进2球，失2球，净胜球数为2+（﹣2）=0．故选A．【点评】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数．3．（2010春•佛山期末）要使为整数，a只需为（）A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数【分析】如果为整数，则（a﹣5）2为4的倍数，可确定a的取值．【解答】解：∵为整数，∴（a﹣5）2为4的倍数，∴a﹣5是偶数，则a可取任意奇数．故选A．【点评】本题考查了奇数、偶数、乘方的有关知识．注意：奇数±奇数=偶数，任何一个偶数必定能够被2整除，偶数的平方能够被4整除．4．（2013秋•郑州期末）体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）﹣1+0.80﹣1.2﹣0.10+0.5﹣0.6A．25% B．37.5% C．50% D．75%【分析】根据正数是大于标准的数，非负数是达标成绩，可得达标人数，达标人数除以总人数，可的达标率．【解答】解：﹣1＜0，0=0，﹣1.2＜0，﹣0.1＜0，0=0，﹣0.6＜0，达标人数为6人，达标率为6÷8=75%，故选：D．【点评】本题考查拉正数和负数，注意非负数是达标人数，达标人数除以总人数的达标率．5．（2014•新华区模拟）有一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2008值为（）A．2 B．﹣1 C．D．2008【分析】从所给出的资料中，可得到若a1=2，a2=，a3=﹣1，a4=2…则这列数的周期为3，据此解题即可．【解答】解：根据题意可知：若a1=2，则a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2，…，这列数的周期为3，∵2008=3×669+1∴a2008=2．故选：A．【点评】考查有理数的运算方法和数学的综合能力．解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律，并直接利用规律求出得数，代入后面的算式求解．6．（2016春•沭阳县期末）有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则++=（）A．1 B．±1 C．﹣1 D．0【分析】根据a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论，求得代数式的可能的取值即可．【解答】解解：∵a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，∴a，b，c为两正一负或两负一正，且b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c，①当a＞b＞0＞c时：++=++=1+1﹣1=1；②当a＞0＞b＞c时：++=++=1﹣1﹣1=﹣1；综上，++的所有可能的值为±1．故选（B）【点评】本题主要考查了代数式求值，关键是掌握绝对值的性质等知识点，注意分情况讨论字母的符号，不要漏解．7．（2013•天桥区一模）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：0123456789A B C D E F 16进制10进0123456789101112131415制例如，用十六进制表示5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么A+C=（）A．16 B．1C C．1A D．22【分析】首先把A+C利用十进制表示，然后化成16进制即可．【解答】解：A+C=10+12=22=16+6，则用16进制表示是16．故选A．【点评】本题考查了有理数的运算，理解十六进制的含义是关键．8．（2012秋•祁阳县校级期中）若ab＞0，且a+b＜0，那么（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0【分析】两数之积大于0，说明两数同号，两数之和小于0，说明两数都是负数．【解答】解：∵ab＞0，∴a，b同号；又∵a+b＜0，∴a，b同为负数．故本题选C．【点评】本题考查的知识点为：两数相乘，同号得正；同号两数相加为负数，则这两个数都为负数．9．（2011秋•南海区期末）如图，在日历中任意圈出一个3×3的正方形，则里面九个数不满足的关系式是（）A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2（a4+a5+a6）B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2（a2+a5+a8）C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=（a2+a5+a8）【分析】从表格中可看出a5在中间，上下相邻的数为依次大7，左右相邻的数为依次大1，所以可得到代数式．【解答】解：A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=（a4+a5+a6）﹣21+（a4+a5+a6）+21=2（a4+a5+a6），正确，不符合题意；B、a1+a4+a7+a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6+a7+a9=2（a2+a5+a8），正确，不符合题意；C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5，正确，不符合题意D、（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=6，错误，符合题意．故选D．【点评】本题考查有理数的加减混合运算，关键是从表格中看出各个数与a5的关系，从而得出结果．10．（2010•广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12字母 n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 24 25按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc【分析】m对应的数字是12，12+10=22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w；a对应的数字是0，0+10=10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数字是19，19+10=29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d；…，所以本题译成密文后是wkdrc．【解答】解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2，所对应的密文为wkdrc．故选：A．【点评】本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．11．（2009秋•和平区校级期中）设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x 使y取最小值【分析】根据非负数的性质，分别讨论x的取值范围，再判断y的最值问题．【解答】解：方法一：由题意得：当x＜﹣1时，y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x；当﹣1≤x≤1时，y=﹣x+1+1+x=2；当x＞1时，y=x﹣1+1+x=2x；故由上得当﹣1≤x≤1时，y有最小值为2；故选D．方法二：由题意，y表示数轴上一点x，到﹣1，1的距离和，这个距离和的最小值为2，此时x的范围为﹣1≤x≤1，故选D．【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论．12．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…且公式，则C125+C126=（）A．C135B．C136C．C1311D．C127【分析】根据题目信息，表示出C125与C126，然后通分整理计算即可．【解答】解：根据题意，有C125=，C126=，∴C125+C126=+，=，=，=C136．故选B．【点评】本题是信息给予题，读懂题目信息是解题的关键．二．填空题（共10小题）13．（2009秋•绥中县期末）2.40万精确到百位，有效数字有3个．【分析】根据24 000确定精确度，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止共有3个有效数字．【解答】解：2.40万=24 000，精确到百位，有效数字有3个，分别是2，4，0．【点评】从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．14．（2016秋•余杭区期末）如图M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=2，则原点是N或P（填入M、N、P、R中的一个或几个）．【分析】根据数轴判断出a、b之间的距离小于3，且大于1，然后根据绝对值的性质解答即可．【解答】解：∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，1＜|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=2，所以原点可能在N或P点；②当原点在M或R点时，|a|+|b|＞2，所以原点不可能在M或R点；综上所述，原点应是在N或P点．故答案为：N或P．【点评】此题考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．15．（2015•茂名）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．【分析】根据题目信息，设M=1+5+52+53+…+52015，求出5M，然后相减计算即可得解．【解答】解：设M=1+5+52+53+ (52015)则5M=5+52+53+54 (52016)两式相减得：4M=52016﹣1，则M=．故答案为．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．16．（2013•天河区一模）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是13．【分析】根据题目信息，利用有理数的乘方列式进行计算即可得解．【解答】解：（1101）2=1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13．故答案为：13．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解二进制与十进制的数的转化方法是解题的关键．17．（2012•台州）请你规定一种适合任意非零实数a，b 的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…你规定的新运算a⊕b=（用a，b的一个代数式表示）．【分析】由题中的新定义，将已知的等式结果变形后，总结出一般性的规律，即可用a与b表示出新运算a⊕b．【解答】解：根据题意可得：1⊕2=2⊕1=3=+，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣=+，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣=+，则a⊕b=+=．故答案为：．【点评】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型，其中弄清题意，找出一般性的规律是解本题得关键．18．（2011•越秀区校级模拟）我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值±15或±9．【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解．【解答】解：根据题意得：1＜xy﹣12＜3，则13＜xy＜15，因为x、y是整数，则x=±1时，y=±14；当x=±2时，y=±7，当x=±3时，y的值不存在；当x=±4，±5，±6，±8，±9，±10，±11，±12，±13时，y的值不存在；当x=±14时，y=±1；当x=±7时，y=±2．则x+y=1+14=15，或x+y=﹣1﹣14=﹣15，或x+y=2+7=9，或x+y=﹣2﹣7=﹣9．故x+y=±15或±9．故答案是：±15或±9．【点评】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键．19．（2011春•宿迁校级期末）符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，…（2）G（）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，…利用以上规律计算：G（2010）﹣G（）﹣2010=﹣2009．【分析】此题是一道找规律的题目，通过观察可发现（1）中等号后面的数为前面括号中的数的2倍减1，（2）中等号后面的数为分母减去1再乘2，计算即可．【解答】解：G（2010）﹣G（）﹣2010=2010×2﹣1﹣（2010﹣1）×2﹣2010=﹣2009．【点评】找到正确的规律是解答本题的关键．20．（2006•连云港）a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是①②④．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）．【分析】首先能够根据数轴得到a，b之间的关系的正确信息，然后结合数的运算法则进行分析．【解答】解：根据数轴得a＜﹣1＜b，|a|＞|b|．①中，a﹣b＜0，故①正确；②中，a+b＜0，故②正确；③中，由于b的符号无法确定，所以ab＜0不一定成立，故③错误；④中，ab+a+b+1=（b+1）（a+1）＜0，故④正确．所以一定成立的有①②④．故答案为：①②④．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值、有理数的运算法则的有关内容．特别注意④中，能够运用因式分解的知识分解成积的形式，再分别判断两个因式的符号．21．（2006•贺州）若|x|=2，|y|=3，且＜0，则x+y=±1．【分析】根据绝对值的意义，知绝对值等于正数的数有2个，且互为相反数．根据分式值的符号判断字母符号之间的关系：同号得正，异号得负．【解答】解：∵|x|=2，|y|=3，∴x=±2，y=±3．又∵＜0，∴x，y异号，故x=2，y=﹣3；或x=﹣2，y=3．∴x+y=2+（﹣3）=﹣1或﹣2+3=1．故答案为：±1．【点评】理解绝对值的意义，注意互为相反数的两个数的绝对值相同．同时能够根据分式的值的符号判断两个字母符号之间的关系．22．（2004•乌鲁木齐）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时，+++…+=1﹣．【分析】结合图形，知+=1﹣，++=1﹣，推而广之即可．【解答】解：结合图形，得+++…+=1﹣．【点评】此题注意运用数形结合的思想进行分析．三．解答题（共18小题）23．计算：++++…+．【分析】把++++…+变形为++++++++…++，再根据加法交换律和结合律计算即可求解．【解答】解：++++…+=++++++++…++=+（+）+（+）+（+）+…+（+）+=2×2014+=4028+=4028．【点评】此题考查了有理数的混合运算，关键是把++++…+变形为++++++++…++计算．24．（2016秋•湖北月考）请你仔细阅读下列材料：计算：（﹣）÷（﹣+﹣）解法1：按常规方法计算原式=（﹣）÷[+﹣（+）]=（﹣）÷（﹣）=（﹣）×3=﹣解法2：简便计算，先求其倒数原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．【分析】观察解法1，用常规方法计算即可求解；观察解法2，可让除数和被除数交换位置进行计算，最后的结果取计算结果的倒数即可．【解答】解：解法1，（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣÷[+﹣（+）]=﹣÷[﹣]=﹣÷=﹣；解法2，原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣56）=﹣×56+×56﹣×56+×56=﹣21+12﹣28+16=﹣21，故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣．【点评】此题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，理解第二种解法的思路：两个数相除，可先求这两个数相除的倒数．25．（2016秋•东莞市期末）已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．（1）求2※4的值；（2）求（1※4）※（﹣2）的值；（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．【分析】读懂题意，掌握规律，按规律计算每个式子．【解答】解：（1）2※4=2×4+1=9；（2）（1※4）※（﹣2）=（1×4+1）×（﹣2）+1=﹣9；（3）（﹣1）※5=﹣1×5+1=﹣4，5※（﹣1）=5×（﹣1）+1=﹣4；（4）∵a※（b+c）=a（b+c）+1=ab+ac+1，a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2．∴a※（b+c）+1=a※b+a※c．【点评】解答此类题目的关键是认真观察已知给出的式子的特点，找出其中的规律．26．（2014秋•朝阳区期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求+m2﹣3cd的值．【分析】根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1可得a+b=0，cd=1，代入可得出答案．【解答】解：由题意得：a+b=0，cd=1，m2=4，原式=m2﹣3=4﹣3=1．【点评】本题考查了倒数和相反数的知识，难度不大，注意细心运算．27．（2016秋•东台市期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|=（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a=﹣2b．【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．28．（2016秋•镜湖区校级期中）（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．④当x=3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|=5．【分析】①根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；②根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；③|x+1|+|x﹣3|的最小值，意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小，那么x应在﹣1和3之间的线段上．④分三种情况讨论即可求得．【解答】解：①|2﹣5|=3，|﹣2﹣（﹣5）|=3，|1﹣（﹣3）|=4；②|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果AB=2，则x+1=±2，解得x=1或﹣3；③若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，所以﹣1≤x≤2．④若x+1＞0，x﹣2＞0，则（x+1）+（x﹣2）=5，解得x=3，若x+1＜0，x﹣2＜0，则﹣（x+1）﹣（x﹣2）=5，解得x=﹣2，若x+1和x﹣2异号，则等式不成立，所以当x=3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|=5．故答案为：3，3，4；|x+1|，1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．【点评】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．29．（2016•河北）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999×（﹣15）（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．【分析】（1）将式子变形为（1000﹣1）×（﹣15），再。

初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)之欧阳体创编

初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)时间：2021.02.03 创作：欧阳体一．选择题（共12小题）1．1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米2．足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）A．红队2，黄队﹣2，蓝队0 B．红队2，黄队﹣1，蓝队1 C．红队3，黄队﹣3，蓝队1 D．红队3，黄队﹣2，蓝队0 3．要使为整数，a只需为（）A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数4．体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）﹣1+0.80﹣1.2﹣0.10+0.5﹣0.6A．25% B．37.5% C．50% D．75%5．有一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2008值为（）A．2 B．﹣1 C．D．20086．有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则++=（）A．1 B．±1 C．﹣1 D．07．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789A B C D E F 10进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么A+C=（）A．16 B．1C C．1A D．228．若ab＞0，且a+b＜0，那么（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b ＞09．如图，在日历中任意圈出一个3×3的正方形，则里面九个数不满足的关系式是（）A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2（a4+a5+a6）B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2（a2+a5+a8）C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=（a2+a5+a8）10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12字母 n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 24 25按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc11．设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值12．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…且公式，则C125+C126=（）A．C135B．C136C．C1311D．C127二．填空题（共10小题）13．2.40万精确到位，有效数字有个．14．如图M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=2，则原点是（填入M、N、P、R中的一个或几个）．15．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M ﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．16．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是．17．请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…你规定的新运算a⊕b=（用a，b的一个代数式表示）．18．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值．19．符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，…（2）G（）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，…利用以上规律计算：G（2010）﹣G（）﹣2010=．20．a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）．21．若|x|=2，|y|=3，且＜0，则x+y=．22．王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时，+++…+=．三．解答题（共18小题）23．计算：++++…+．24．请你仔细阅读下列材料：计算：（﹣）÷（﹣+﹣）解法1：按常规方法计算原式=（﹣）÷[+﹣（+）]=（﹣）÷（﹣）=（﹣）×3=﹣解法2：简便计算，先求其倒数原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．25．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．（1）求2※4的值；（2）求（1※4）※（﹣2）的值；（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．26．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求+m2﹣3cd的值．27．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．28．（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当x= 时，|x+1|+|x﹣2|=5．29．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999×（﹣15）（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．30．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为．（3）如果|x﹣2|=5，则x=．（4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．31．阅读材料：求值1+2+22+23+24+…+22014解：设S=1+2+22+23+24+…+22014①，将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+22014+22015②将②﹣①得：S=22015﹣1，即S=1+2+22+23+24+…+22014=22015﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）32．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题：（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x 的取值范围是，最小值是．（2）已知y=|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．33．（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．34．计算：（×）×（×）×（×）×…×（×）×（×）．35．小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，继续向东跑了1.5千米到达小红家，然后向西跑了4.5千米到达中心广场，最后回到家．（1）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用1 个单位长度表示1千米，你能在数轴上表示出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？（2）小彬家距中心广场多远？（3）小明一共跑了多少千米？36．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a=，b=，c=（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．37．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得：2S﹣S=22014﹣1，即S=22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013=﹣1请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．38．计算：（1）；（2）﹣24+3﹣16﹣5；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）（﹣47.65）×2+（﹣37.15）×（﹣2）+10.5×（﹣7）．39．1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式1×2=（1×2×3﹣0×1×2）2×3=（2×3×4﹣1×2×3）3×4=（3×4×5﹣2×3×4）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=3×4×5=20读完这段材料，请你思考后回答：（1）直接写出下列各式的计算结果：①1×2+2×3+3×4+…10×11=②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=（2）探究并计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=．40．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离为；（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是；（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示什么数？A、B两点间的距离为多少？初一数学有理数难题与提高练习和培优综合题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016春•碑林区校级期末）1纳米相当于1根头发丝直径的六万分之一．则利用科学记数法来表示，头发丝的半径是（）A．6万纳米B．6×104纳米C．3×10﹣6米D．3×10﹣5米【分析】首先根据题意求出头发丝的半径是（60 000÷2）纳米，然后根据1纳米=10﹣9米的关系就可以用科学记数法表示头发丝的半径．【解答】解：头发丝的半径是60 000÷2×10﹣9=3×10﹣5米．故选D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（2014秋•赛罕区校级期末）足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队2：1，蓝队胜红队1：0，则下列关于三个队净胜球数的说法正确的是（）A．红队2，黄队﹣2，蓝队0 B．红队2，黄队﹣1，蓝队1 C．红队3，黄队﹣3，蓝队1 D．红队3，黄队﹣2，蓝队0【分析】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数．依此列出算式进行计算．【解答】解：由题意知，红队共进4球，失2球，净胜球数为：4+（﹣2）=2，黄队共进3球，失5球，净胜球数为3+（﹣5）=﹣2，蓝队共进2球，失2球，净胜球数为2+（﹣2）=0．故选A．【点评】每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数．3．（2010春•佛山期末）要使为整数，a只需为（）A．奇数B．偶数C．5的倍数D．个位是5的数【分析】如果为整数，则（a﹣5）2为4的倍数，可确定a 的取值．【解答】解：∵为整数，∴（a﹣5）2为4的倍数，∴a﹣5是偶数，则a可取任意奇数．故选A．【点评】本题考查了奇数、偶数、乘方的有关知识．注意：奇数±奇数=偶数，任何一个偶数必定能够被2整除，偶数的平方能够被4整除．4．（2013秋•郑州期末）体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）﹣1+0.80﹣1.2﹣0.10+0.5﹣0.6A．25% B．37.5% C．50% D．75%【分析】根据正数是大于标准的数，非负数是达标成绩，可得达标人数，达标人数除以总人数，可的达标率．【解答】解：﹣1＜0，0=0，﹣1.2＜0，﹣0.1＜0，0=0，﹣0.6＜0，达标人数为6人，达标率为6÷8=75%，故选：D．【点评】本题考查拉正数和负数，注意非负数是达标人数，达标人数除以总人数的达标率．5．（2014•新华区模拟）有一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2008值为（）A．2 B．﹣1 C．D．2008【分析】从所给出的资料中，可得到若a1=2，a2=，a3=﹣1，a4=2…则这列数的周期为3，据此解题即可．【解答】解：根据题意可知：若a1=2，则a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2，…，这列数的周期为3，∵2008=3×669+1∴a2008=2．故选：A．【点评】考查有理数的运算方法和数学的综合能力．解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律，并直接利用规律求出得数，代入后面的算式求解．6．（2016春•沭阳县期末）有理数a，b，c都不为零，且a+b+c=0，则++=（）A．1 B．±1 C．﹣1 D．0【分析】根据a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论，求得代数式的可能的取值即可．【解答】解解：∵a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，∴a，b，c为两正一负或两负一正，且b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c，①当a＞b＞0＞c时：++=++=1+1﹣1=1；②当a＞0＞b＞c时：++=++=1﹣1﹣1=﹣1；综上，++的所有可能的值为±1．故选（B）【点评】本题主要考查了代数式求值，关键是掌握绝对值的性质等知识点，注意分情况讨论字母的符号，不要漏解．7．（2013•天桥区一模）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789A B C D E F 10进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示5+A=F，3+F=12，E+D=1B，那么A+C=（）A．16 B．1C C．1A D．22【分析】首先把A+C利用十进制表示，然后化成16进制即可．【解答】解：A+C=10+12=22=16+6，则用16进制表示是16．故选A．【点评】本题考查了有理数的运算，理解十六进制的含义是关键．8．（2012秋•祁阳县校级期中）若ab＞0，且a+b＜0，那么（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b ＞0【分析】两数之积大于0，说明两数同号，两数之和小于0，说明两数都是负数．【解答】解：∵ab＞0，∴a，b同号；又∵a+b＜0，∴a，b同为负数．故本题选C．【点评】本题考查的知识点为：两数相乘，同号得正；同号两数相加为负数，则这两个数都为负数．9．（2011秋•南海区期末）如图，在日历中任意圈出一个3×3的正方形，则里面九个数不满足的关系式是（）A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2（a4+a5+a6）B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2（a2+a5+a8）C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5D．（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=（a2+a5+a8）【分析】从表格中可看出a5在中间，上下相邻的数为依次大7，左右相邻的数为依次大1，所以可得到代数式．【解答】解：A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=（a4+a5+a6）﹣21+（a4+a5+a6）+21=2（a4+a5+a6），正确，不符合题意；B、a1+a4+a7+a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6+a7+a9=2（a2+a5+a8），正确，不符合题意；C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5，正确，不符合题意D、（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=6，错误，符合题意．故选D．【点评】本题考查有理数的加减混合运算，关键是从表格中看出各个数与a5的关系，从而得出结果．10．（2010•广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c字母 a b c d e f g h i j k l m序号0 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12字母 n o p q r s t u v w x y z序号13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 24 25按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（）A．wkdrc B．wkhtc C．eqdjc D．eqhjc【分析】m对应的数字是12，12+10=22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w；a对应的数字是0，0+10=10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数字是19，19+10=29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d；…，所以本题译成密文后是wkdrc．【解答】解：m、a、t、h、s分别对应的数字为12、0、19、7、18，它们分别加10除以26所得的余数为22、10、3、17、2，所对应的密文为wkdrc．故选：A．【点评】本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度．11．（2009秋•和平区校级期中）设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x使y取最小值C．有限个x（不止一个）y取最小值D．有无穷多个x使y取最小值【分析】根据非负数的性质，分别讨论x的取值范围，再判断y的最值问题．【解答】解：方法一：由题意得：当x＜﹣1时，y=﹣x+1﹣1﹣x=﹣2x；当﹣1≤x≤1时，y=﹣x+1+1+x=2；当x＞1时，y=x﹣1+1+x=2x；故由上得当﹣1≤x≤1时，y有最小值为2；故选D．方法二：由题意，y表示数轴上一点x，到﹣1，1的距离和，这个距离和的最小值为2，此时x的范围为﹣1≤x≤1，故选D．【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论．12．若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…且公式，则C125+C126=（）A．C135B．C136C．C1311D．C127【分析】根据题目信息，表示出C125与C126，然后通分整理计算即可．【解答】解：根据题意，有C125=，C126=，∴C125+C126=+，=，=，=C136．故选B．【点评】本题是信息给予题，读懂题目信息是解题的关键．二．填空题（共10小题）13．（2009秋•绥中县期末）2.40万精确到百位，有效数字有3个．【分析】根据24 000确定精确度，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止共有3个有效数字．【解答】解：2.40万=24 000，精确到百位，有效数字有3个，分别是2，4，0．【点评】从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．14．（2016秋•余杭区期末）如图M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=2，则原点是N或P（填入M、N、P、R中的一个或几个）．【分析】根据数轴判断出a、b之间的距离小于3，且大于1，然后根据绝对值的性质解答即可．【解答】解：∵MN=NP=PR=1，∴|MN|=|NP|=|PR|=1，∴|MR|=3；①当原点在N或P点时，1＜|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|=2，所以原点可能在N或P点；②当原点在M或R点时，|a|+|b|＞2，所以原点不可能在M或R 点；综上所述，原点应是在N或P点．故答案为：N或P．【点评】此题考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．15．（2015•茂名）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M ﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．【分析】根据题目信息，设M=1+5+52+53+…+52015，求出5M，然后相减计算即可得解．【解答】解：设M=1+5+52+53+ (52015)则5M=5+52+53+54 (52016)两式相减得：4M=52016﹣1，则M=．故答案为．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．16．（2013•天河区一模）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是13．【分析】根据题目信息，利用有理数的乘方列式进行计算即可得解．【解答】解：（1101）2=1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13．故答案为：13．【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解二进制与十进制的数的转化方法是解题的关键．17．（2012•台州）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣，…你规定的新运算a⊕b=（用a，b的一个代数式表示）．【分析】由题中的新定义，将已知的等式结果变形后，总结出一般性的规律，即可用a与b表示出新运算a⊕b．【解答】解：根据题意可得：1⊕2=2⊕1=3=+，（﹣3）⊕（﹣4）=（﹣4）⊕（﹣3）=﹣=+，（﹣3）⊕5=5⊕（﹣3）=﹣=+，则a⊕b=+=．故答案为：．【点评】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型，其中弄清题意，找出一般性的规律是解本题得关键．18．（2011•越秀区校级模拟）我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．若x、y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值±15或±9．【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解．【解答】解：根据题意得：1＜xy﹣12＜3，则13＜xy＜15，因为x、y是整数，则x=±1时，y=±14；当x=±2时，y=±7，当x=±3时，y的值不存在；当x=±4，±5，±6，±8，±9，±10，±11，±12，±13时，y的值不存在；当x=±14时，y=±1；当x=±7时，y=±2．则x+y=1+14=15，或x+y=﹣1﹣14=﹣15，或x+y=2+7=9，或x+y=﹣2﹣7=﹣9．故x+y=±15或±9．故答案是：±15或±9．【点评】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键．19．（2011春•宿迁校级期末）符号“G”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）G（1）=1，G（2）=3，G（3）=5，G（4）=7，…（2）G（）=2，G（）=4，G（）=6，G（）=8，…利用以上规律计算：G（2010）﹣G（）﹣2010=﹣2009．【分析】此题是一道找规律的题目，通过观察可发现（1）中等号后面的数为前面括号中的数的2倍减1，（2）中等号后面的数为分母减去1再乘2，计算即可．【解答】解：G（2010）﹣G（）﹣2010=2010×2﹣1﹣（2010﹣1）×2﹣2010=﹣2009．【点评】找到正确的规律是解答本题的关键．20．（2006•连云港）a、b两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是①②④．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）．【分析】首先能够根据数轴得到a，b之间的关系的正确信息，然后结合数的运算法则进行分析．【解答】解：根据数轴得a＜﹣1＜b，|a|＞|b|．①中，a﹣b＜0，故①正确；②中，a+b＜0，故②正确；③中，由于b的符号无法确定，所以ab＜0不一定成立，故③错误；④中，ab+a+b+1=（b+1）（a+1）＜0，故④正确．所以一定成立的有①②④．故答案为：①②④．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值、有理数的运算法则的有关内容．特别注意④中，能够运用因式分解的知识分解成积的形式，再分别判断两个因式的符号．21．（2006•贺州）若|x|=2，|y|=3，且＜0，则x+y=±1．【分析】根据绝对值的意义，知绝对值等于正数的数有2个，且互为相反数．根据分式值的符号判断字母符号之间的关系：同号得正，异号得负．【解答】解：∵|x|=2，|y|=3，∴x=±2，y=±3．又∵＜0，∴x，y异号，故x=2，y=﹣3；或x=﹣2，y=3．∴x+y=2+（﹣3）=﹣1或﹣2+3=1．故答案为：±1．【点评】理解绝对值的意义，注意互为相反数的两个数的绝对值相同．同时能够根据分式的值的符号判断两个字母符号之间的关系．22．（2004•乌鲁木齐）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时，+++…+=1﹣．【分析】结合图形，知+=1﹣，++=1﹣，推而广之即可．【解答】解：结合图形，得+++…+=1﹣．【点评】此题注意运用数形结合的思想进行分析．三．解答题（共18小题）23．计算：++++…+．【分析】把++++…+变形为++++++++…++，再根据加法交换律和结合律计算即可求解．【解答】解：++++…+=++++++++…++=+（+）+（+）+（+）+…+（+）+=2×2014+=4028+=4028．【点评】此题考查了有理数的混合运算，关键是把++++…+变形为++++++++…++计算．24．（2016秋•湖北月考）请你仔细阅读下列材料：计算：（﹣）÷（﹣+﹣）解法1：按常规方法计算原式=（﹣）÷[+﹣（+）]=（﹣）÷（﹣）=（﹣）×3=﹣解法2：简便计算，先求其倒数原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．【分析】观察解法1，用常规方法计算即可求解；观察解法2，可让除数和被除数交换位置进行计算，最后的结果取计算结果的倒数即可．【解答】解：解法1，（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣÷[+﹣（+）]=﹣÷[﹣]=﹣÷=﹣；解法2，原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）=（﹣+﹣）×（﹣56）=﹣×56+×56﹣×56+×56=﹣21+12﹣28+16=﹣21，故（﹣）÷（﹣+﹣）=﹣．【点评】此题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，理解第二种解法的思路：两个数相除，可先求这两个数相除的倒数．25．（2016秋•东莞市期末）已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1．（1）求2※4的值；（2）求（1※4）※（﹣2）的值；（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；（4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来．【分析】读懂题意，掌握规律，按规律计算每个式子．【解答】解：（1）2※4=2×4+1=9；（2）（1※4）※（﹣2）=（1×4+1）×（﹣2）+1=﹣9；（3）（﹣1）※5=﹣1×5+1=﹣4，5※（﹣1）=5×（﹣1）+1=﹣4；（4）∵a※（b+c）=a（b+c）+1=ab+ac+1，a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2．∴a※（b+c）+1=a※b+a※c．【点评】解答此类题目的关键是认真观察已知给出的式子的特点，找出其中的规律．26．（2014秋•朝阳区期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求+m2﹣3cd的值．【分析】根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1可得a+b=0，cd=1，代入可得出答案．【解答】解：由题意得：a+b=0，cd=1，m2=4，原式=m2﹣3=4﹣3=1．【点评】本题考查了倒数和相反数的知识，难度不大，注意细心运算．27．（2016秋•东台市期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|=（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a=﹣2b．【点评】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．28．（2016秋•镜湖区校级期中）（1）阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或﹣3；③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣1≤x≤2．④当x=3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|=5．【分析】①根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；②根据数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|回答即可；③|x+1|+|x﹣3|的最小值，意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小，那么x应在﹣1和3之间的线段上．④分三种情况讨论即可求得．【解答】解：①|2﹣5|=3，|﹣2﹣（﹣5）|=3，|1﹣（﹣3）|=4；②|x﹣（﹣1）|=|x+1|，如果AB=2，则x+1=±2，解得x=1或﹣3；③若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，所以﹣1≤x≤2．④若x+1＞0，x﹣2＞0，则（x+1）+（x﹣2）=5，解得x=3，若x+1＜0，x﹣2＜0，则﹣（x+1）﹣（x﹣2）=5，解得x=﹣2，若x+1和x﹣2异号，则等式不成立，所以当x=3或﹣2时，|x+1|+|x﹣2|=5．故答案为：3，3，4；|x+1|，1或﹣3；﹣1≤x≤2；3或﹣2．【点评】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．29．（2016•河北）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999×（﹣15）（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18．【分析】（1）将式子变形为（1000﹣1）×（﹣15），再根据乘法分配律计算即可求解；（2）根据乘法分配律计算即可求解．【解答】解：（1）999×（﹣15）=（1000﹣1）×（﹣15）=1000×（﹣15）+15=﹣15000+15=﹣14985；（2）999×118+999×（﹣）﹣999×18=999×（118﹣﹣18）=999×100。

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有理数复习（一）有理数的基本概念
1. 负数
在正数前面加“－”的数。

0既不是正数也不是负数。

2. 有理数
整数和分数统称为有理数
3. 数轴
规定了原点，正方向和单位长度的直线
（1）数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数
（3）所有有理数都可以用数轴上的点表示
4. 相反数
只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数
（1）数a的相反数是（a是任意一个有理数）；
（2）0的相反数是0；
（3）若a、b互为相反数，则a+b=0
5. 倒数
乘积是1的两个数互为倒数。

（1）a的倒数是；
（2）0没有倒数；
（3）若a与b互为倒数，则ab=1
6. 绝对值
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。

（1）a的绝对值记作|a|；
（2）若a>0，则|a|=a
若a=0，则|a|=0
若a<0，则|a|=
（3）对任何有理数a，总有|a|>0
7. 有理数大小的比较
（1）可通过数轴比较
在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

（2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小
8. 科学计数法，近似数与有效数字
（1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。

（2）一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

（3）近似数就是与实际数非常接近的数。

四. 考点分析
对负数意义的理解，绝对值的代数和几何意义，有理数的分类，相反数和倒数的概念，科学记数法，有效数字等都是中考命题的热点，考查学生对概念的把握能力。

【典型例题】
例1. 判断正误
（1）a一定是正数；（2）一定是负数；
（3）一定大于0；（4）0是正整数。

分析：本题主要考查对负数意义的理解
（1）由字母表示数的意义可知，a可是任意的数，既可以是正数，还可以是负数或0，故不正确。

（2）由上题可知，当a是负数或0时，是正数或0，故不正确。

（3）是的相反数，但a可以是一个负数，故不正确。

（4）由定义可知0不是正数也不是负数，不正确。

例2. 若，且x、y都是整数，请写出符合条件的x、y的值。

分析：本题是开放性问题，利用绝对值的几何意义和数轴解决问题，即x对应在数轴上的点到原点的距离，与y对应在数轴上的点到原点的距离之和为3。

解：由题意知，x对应在数轴上的点到原点的距离与y对应在数轴上的点到原点的距离之和为3。

从数轴上可以看出，x、y可以取的数应为从-3到3之间的整数。

∴（1）当x=－3时，y=0
（2）当x=－2时，y=1
（3）当x=－1时，y=2
（4）当x=0时，y=3
（5）当x=1时，y=－2
（6）当x=2时，y=－1
（7）当x=3时，y=0
例3. 数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简。

分析：本题考查数轴上的数的大小及绝对值的代数意义
解：由上图可知
∴
∴
∴
例4. 近似数与的意义相同吗为什么
分析：根据近似数的意义，明确和意义是不同的。

解：近似数和表示的意义不相同
1. 精确度不相同，精确到百分位，即，精确到千分位，即；
2. 有效数字不同，有三个有效数字，有四个有效数字；
3. 取值范围不同，的准确值m应满足，而的准确值n的范围是。

例5. 若，求________________。

分析：本题考查绝对值的非负性
解：∵
∴若
则
∴
∴
∴
有理数复习（二）
（一）运算法则
1. 有理数加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两数相加得0。

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

用数学语言描述有理数加法法则：
（1）同号相加
若，则
若a<0，b<0，则
（2）异号相加
若a>0，b<0，|a|>|b|，则
若a>0，b<0，，则
若a>0，b<0，，则
（3）与0相加
a是任一个有理数，则
2. 有理数的减法法则
减去一个数等于加上这个数的相反数
用数学语言描述为：
3. 有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘，都得0。

（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶个时，积为正。

（2）几个数相乘，有一个因数是0，积就为0。

用数学语言描述有理数乘法法则：
（1）同号相乘
若a>0，b>0，则
若a<0，b<0，则
（2）异号相乘
若a>0，b<0，则
若a<0，b>0，则
（3）数与0相乘
a为任一有理数，则
4. 有理数除法法则
法则一：除以一个数等于乘以这个数的倒数
即
法则二：两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。

用数学语言描述为：
（1）同号相除
若a>0，b>0，则
若a<0，b<0，则
（2）异号相除
若a>0，b<0，则
若a<0，b>0，则
（3）0除以任何数
若a是任一有理数且，则
5. 有理数的乘方
求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。

即：
（1）正数的任何次幂都是正数
负数的奇数次幂是负数
负数的偶数次幂是正数 0的任何次幂是0
（2）任何数的偶数次数是非负数
a是任一有理数，则
（二）运算顺序
1. 有括号，先算括号里面的；
2. 先算乘方，再算乘除，最后算加减
3. 对只含乘除或只含加减的运算，应从左往右运算
（三）有理数的运算律
1. 加法交换律：
2. 加法结合律：
3. 乘法交换律：
4. 乘法结合律：
5. 乘法分配律：
四. 考点分析：
有理数的运算是中考必考内容，选择、填空或解答是其考查题型，也会融入其他知识点中考查学生的计算能力。

【典型例题】
例1. 若，且，求的值。

分析：首先确定a、b、c的值，再代入求解，要进行分类讨论，讨论要全面，做到不重不漏。

解：
∴
又由
∴
∴a=3，b=
由
∴
∴
综上，a=3，b=，
当b=1时，
当b=时，
所以的值为或
例2. a与b互为倒数，x与y互为相反数，c的绝对值等于2，求的值。

分析：本题主要考查倒数，相反数和绝对值的意义。

解：由题意知：
ab=1，x+y=0，
∴
例3. 已知，求。

分析：本题是考查绝对值和有理数偶数次方的非负性
解：∵
又
∴
∴，b=2
把，b=2代入得：
例4. 以下是一个简单的数值运算程序
输入x→→→→输出，当输入的值为时，求输出的值为多少
分析：解这类问题的关键是根据数值运算程序列出算式，然后进行有理数的混合运算。

解：当输入的值为时，输出的值为：。

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