初中数学：将军饮马问题习题
将军饮马18道典型习题
“将军饮马”常见模型及18道典型习题何为将军饮马？2000多年以前。
古希腊的亚历山大城里住着一位睿智的数学家海伦。
一天，城里来了一位将军，听闻海伦盛名，特来向他请教一个问题。
将军说，每天早上，他都骑着马儿从营帐出发，到河边让马儿饮水，然后，再去河岸同一侧的一块草地上带着马儿去吃草，问题时，在河岸的哪个具体位置喝水，行程最短？海伦略做沉思，给出了将军最佳方案。
此之谓“将军饮马”。
最佳方案为何？且阅下文：一、将军饮马常见的5种模型：1、一动两定（和最小）：如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路PA+PB的值最小？解析：做A点关于L的对称点A’，连接A’B，与L的交点即为P点。
为什么这时PA+PB最小？假设L上有一点M（与P点不重合）。
∵A点与A’关于L对称∴AP=A’P；AM=A’M；∴AP + BP =A’P +BP =A’B而AM + BM = A’M +MB在△A’MB中，两边之和大于第三边∴A’B < A’M +MB；而M为L上任一点（与P点不重合）。
∴动点P在A’B与L交点处时AP+BP最小。
2、一定两动：如图，点A是将军和马居住的营帐，小河L1依然像上题中一样潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，不同的是，这次吃草的地方不在是一个指定的点，而是L2所代表的一片草地，Q则是将军骑马吃草的地方，水足草饱以后，将军和马儿会再回到营帐。
那么，P点、Q点在何处时，将军走过的路AP+PQ+QA的值最小？解析：做A点关于L1的对称点A’；做A点关于L2的对称点A‘’；连接A’A‘’，与L1和L2的交点即为P、Q。
为什么此时，AP+PQ+AQ的和最小？假设L1上有点M（不与P重合）、L2上有点N（不与Q重合）。
∵A点与A’关于L1对称；A点与A‘’关于L2对称。
∴AP=A’P；AQ=A”Q；AM=A’M；AN=A”N；∴AP+PQ+AQ = A’P+PQ+A”Q =A’A”；AM+MN+AN = A’M+MN+A”N在四边形A’MNA”中：A’M+MN+A”N >A’A”∴P、Q位于A’A”与L1和L2的交点处时，AP+PQ+AQ的和最小。
将军饮马问题例题
将军饮马问题例题
例题：一个将军饮马，有三个酒坛，其中一个酒坛里装着毒酒，另外两个酒坛里装着普通的酒。
这三个酒坛外观相同，将军无法通过外观来判断哪个酒坛是有毒的。
在喝下一杯毒酒后，将军将会立即死亡。
现在将军有一匹马，这匹马可以闻出毒酒，如果马喝下一杯毒酒，它将会在30分钟后死亡。
将军只有30
分钟的时间来确定哪个酒坛里装着毒酒，并且不允许酒坛之间进行任何类型的测量。
解法：将军可以按照以下步骤确定毒酒所在的酒坛：
1. 为了节省时间，将将军的马分成三组，每组10匹马。
标记
这三组马为A、B、C。
2. 让A组的马尝试第一个酒坛，让B组尝试第二个酒坛，C
组尝试第三个酒坛。
3. 让所有的马者都喝下一杯酒。
4. 等待15分钟。
5. 如果A组的马中有马死亡，那么第一个酒坛是有毒的；如
果B组的马中有马死亡，那么第二个酒坛是有毒的；如果C
组的马中有马死亡，那么第三个酒坛是有毒的。
6. 如果在15分钟内没有任何马死亡，那么第一个酒坛是安全的，因此第二个酒坛是有毒的；如果A和B组的马都没有死
亡，那么第三个酒坛是有毒的。
这样，将军可以在30分钟内确定哪个酒坛里装着毒酒。
关于将帅饮马问题的练习10题
关于将帅饮马问题的练习10题1. 问题描述：将帅饮马问题是一道经典的逻辑思维题。
在一个 11*11 的棋盘上，放置了一个将军（用“J”表示）、一个士兵（用“S”表示）和一匹马（用“H”表示）。
将军每次可以行走一步，士兵每次可以行走两步，马每次可以行走三步。
他们的行走规则如下：- 将军每次可以向上、下、左、右四个方向行走一步；- 士兵每次可以向上、下、左、右四个方向行走两步；- 马每次可以向上、下、左、右八个方向行走三步。
2. 问题目标：请找出所有可能的将军、士兵和马的位置组合，使得将军和士兵都无法互相攻击。
3. 练题目：下面是10道练题目，请尝试找出每道题目下将军、士兵和马的位置组合。
- 题目1：将军和士兵的位置：(1, 1) 马的位置：(1, 2)- 题目2：将军和士兵的位置：(2, 3) 马的位置：(1, 3)- 题目3：将军和士兵的位置：(5, 1) 马的位置：(9, 2)- 题目4：将军和士兵的位置：(6, 1) 马的位置：(10, 3)- 题目5：将军和士兵的位置：(1, 1) 马的位置：(1, 5)- 题目6：将军和士兵的位置：(3, 2) 马的位置：(1, 5)- 题目7：将军和士兵的位置：(3, 3) 马的位置：(2, 5)- 题目8：将军和士兵的位置：(4, 4) 马的位置：(7, 6)- 题目9：将军和士兵的位置：(5, 1) 马的位置：(8, 4)- 题目10：将军和士兵的位置：(4, 1) 马的位置：(8, 8)4. 总结：将帅饮马问题是一种非常有趣的逻辑思维题，通过分析每个角色的行动规则和限制，在给定的棋盘上找到不会互相攻击的位置组合。
练这些题目可以锻炼我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
初中数学：将军饮马问题习题
将军饮马“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
当两定点A、 B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。
连接AB交直线l 于点P，点P即为所求作的点。
当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。
ABl 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA PB 最大。
A作点 B关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。
连接AB并延长交直线l 于点P，点P 即为所求作的点。
模型 1 定直线与两定点模型Al作法结论PA+ PB 的最小。
PA+PB 的最小值为AB′。
PA PB 的最大值为AB。
lB当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA PB 最大。
作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。
PA PB 的最大值为AB′。
B模型实例例 1．如图，正方形 ABCD 的面积是 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，则 PD+PE 的最小值为 。
例 2．如图，已知△ ABC 为等腰直角三角形， AC=BC=，4 ∠ BCD=15°， P 为CD 上的动点，则 PA PB 的最大值是多少？热搜精练1．如图，在△ ABC 中， AC=BC=，2 ∠ ACB-90°， D 是 BC 边的中点， E 是AB 边 上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。
DCB2．如图，点C的坐标为（3，y），当△ ABC的周长最短时，求y 的值yA（3，0）OB（2，0）x3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一动点，求DN MN 的最小值与最大值。
将军饮马基础题
1、在古战场上，将军需从营地A出发，到达河边l饮马，然后返回营地B，以下哪种策略能使将军的总路程最短？A. 直接从A到l，再从l到BB. 选择河边l上离A最近的点饮马C. 选择河边l上使A到该点再到B距离和最小的点饮马（答案）D. 先到B，再从B到l，最后返回A2、将军的营地位于山丘上，他需要下山走到河边饮水，再上山返回另一营地。
为了节省体力，他应该：A. 尽量选择陡峭的路径下山和上山B. 下山时走直线，上山时走曲线C. 利用光的折射原理，选择看似最近的路径D. 找到使上下山总路程最短的点饮水（答案）3、假设河边是一条直线，将军需要从点A到河边饮马，然后到点B，河边的哪个点是他应该选择的？A. AB连线与河边的交点B. A点关于河边的对称点与B连线和河边的交点（答案）C. B点关于河边的对称点与A连线和河边的交点D. 河边中点4、将军的营地A和B分别位于山的两侧，中间隔着一条河。
为了最快回到B营地，他应该：A. 直接游泳过河B. 找到河边使得从A到河边再到B总时间最短的点C. 选择离A营地最近的河边点D. 先走到河边任意点，再根据情况决定下一步（答案：B，若考虑实际情况，可能需要结合游泳速度和行走速度综合考虑最优解，但题目简化为寻找最短路径点）5、在平原上，将军需要从A点出发到直线型的河边l饮马，然后返回B点，他应该：A. 选择离A或B更近的河边点B. 选择AB连线与河边的交点C. 通过作图法找到使总路程最短的河边点（答案）D. 随机选择一个河边点6、将军的营地A和B位于一片广阔的草原上，中间有一条笔直的河流。
为了最快完成饮马并返回，他应该：A. 走到河边中点饮马B. 走到AB连线与河边的交点饮马C. 利用几何知识找到最优饮马点（答案）D. 直接从A走到B，不饮马7、假设将军的营地A和B位于同一高度，中间隔着一条河，为了最快完成饮马任务，他应该：A. 选择离A营地较近的河边点B. 选择离B营地较近的河边点C. 通过计算找到使总时间（考虑行走和饮水时间）最短的点（答案，若题目未明确只考虑路程，则需综合考虑）D. 走到河边任意点饮马8、在山地环境中，将军需要从A点到河边l饮马，然后返回B点，考虑到地形因素，他应该：A. 忽略地形，直接选择AB连线与河边的交点B. 根据地形调整路径，但仍选择AB连线与河边的交点饮马C. 综合考虑地形和路程，找到最优饮马点（答案）D. 选择离A或B营地最近的河边点。
将军饮马18道典型习题
将军饮马18道典型习题将军饮马"是一个古希腊数学问题，源于2000多年前。
当时，一位将军向城里的著名数学家海伦请教：他每天早上都要骑马到河边让马喝水，然后到河岸同一侧的一块草地上让马吃草。
将军想知道，在河岸的哪个具体位置让马喝水，可以让他和马儿走的路程最短。
经过思考，海伦给出了答案，这就是"将军饮马"问题。
以下是"将军饮马"问题的五种常见模型：1.一动两定（和最小）模型：假设点A是将军和马儿居住的营帐，点B是指定的草地，小河L在两点之间流过。
问题是，将军和马儿在哪个具体位置喝水，可以让他们走的路程最短？解决方法是，做A点关于L的对称点A'，连接A'B，与L的交点即为P点。
这时，PA+PB最小。
为什么呢？因为在L 上任意取一点M（不与P重合），根据几何原理，PA+PB=A'P+PB=A'B，AM+MB>A'B，所以动点P在A'B与L 交点处时，PA+PB最小。
2.一定两动模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，草地不是指定的点，而是由L2代表的一片草地。
问题是，在哪个具体位置喝水和吃草，可以让将军和马儿走的路程最短？解决方法是，做A点关于L1的对称点A'，做A点关于L2的对称点A''，连接A'A''，与L1和L2的交点即为P、Q。
这时，AP+PQ+QA的和最小。
为什么呢？因为在L1上取点M（不与P重合），在L2上取点N（不与Q重合），根据几何原理，AP+PQ+AQ=A'P+PQ+A''Q=A'A''，AM+MN+AN>A'A''，所以动点P和Q在A'A''与L1、L2的交点处时，AP+PQ+QA的和最小。
3.两动一定模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，将军要骑马到L2代表的一片草地吃草，然后再回到营帐。
关于将军饮马难题的练习10题
关于将军饮马难题的练习10题
1. 将军饮马难题是著名的逻辑难题之一，以下是10个练题帮助理解和解决这个难题。
2. 题目一：题目一：
- 将军饮马难题描述了将军通过一条连续的河流骑马前行的情景。
- 请阐述将军饮马难题的具体要求和条件。
3. 题目二：题目二：
- 给定一个车辆的行驶速度、将军饮马的速度以及将军饮马的间隔时间，请计算将军饮马时车辆与将军的距离。
4. 题目三：题目三：
- 假设将军饮马的路径有所改变，如何调整速度和时间间隔，才能保持将军和车辆的固定距离？
5. 题目四：题目四：
- 假设将军饮马时遇到突发情况，需要停下来处理，重新上路后可以追上车辆吗？
6. 题目五：题目五：
- 若车辆的速度变化，将军饮马的速度还能保持不变吗？请解释为什么？
7. 题目六：题目六：
- 假设将军饮马的速度变化，车辆的速度保持不变，将军和车辆之间的相对距离如何变化？
8. 题目七：题目七：
- 将军饮马难题中是否有其他影响将军和车辆距离的因素？请列举并解释。
9. 题目八：题目八：
- 假设将军饮马的速度快于车辆的速度，将军和车辆之间的相对距离会怎样变化？
10. 题目九：题目九：
- 将军饮马难题中的数学模型是什么？使用该模型可以解决哪些相关问题？
11. 题目十：题目十：
- 将军饮马难题中是否存在法律或道德层面的问题？请阐述你的观点和理由。
以上是关于将军饮马难题的练习10题，希望能帮助你更好地理解和解决这个难题。
中学数学 “将军饮马”类问题 (含答案)
最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。
使△PAB 的周长最小4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。
使四边形 PAQB 的周长最小。
5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小E MMEHM30°二、常见题型三角形问题1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD⊥BC，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，若 AE = 2，求 EM+EC 的最小值A解：∵点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，A∴连接 BE，交 AD 于点 M，则 ME+MD 最小，过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE = BH2 + HE2 B= (3 3)2 + 12 = 2 7D C B D C2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是．解：作点 B 关于 AD 的对称点B'，过点 B'作 B'E⊥AB 于点E，交 AD 于点 F，则线段 B'E 的长就是 BM＋ＭＮ的最小值在等腰 Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4CB'M F D A N E B3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值C 解：作 AB 关于 AC 的对称线段AB'，过点 B'作 B'N⊥AB，垂足为 N，交 AC 于点M，则 B'N = MB'+MN = MB+MNB'N 的长就是 MB+MN 的最小值则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。
将军饮马问题专练练习附答案
将军饮马问题专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知线段AB及直线l，在直线l上确定一点P，使PA PB最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧，∵作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P，∵P A+PB=PB′+P A=AB′为最小故选：C．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键．2．如图，等边∵ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）AB ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】连接BE ，交AD 于点M ，过点E 作EF ∵BC 交于点F ，此时EM ＋CM 的值最小，求出BE 即可．【详解】解：连接BE ，交AD 于点M ，过点E 作EF ∵BC 交于点F ，∵∵ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∵B 点与C 点关于AD 对称，∵BM ＝CM ，∵EM ＋CM ＝EM ＋BM ＝BE ，此时EM ＋CM 的值最小，∵AC ＝6，AE ＝2，∵EC ＝4，在Rt ∵EFC 中，∵ECF ＝60°，∵FC ＝2，EF ＝在Rt ∵BEF 中，BF ＝4，∵BE ＝故选：C ．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题的关键．3．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（）A．4B．4.5C．5.5D．5【答案】D【解析】【分析】连接BE，交AC于点N'，连接DN'，N'即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的长即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∵点B与点D关于直线AC对称，连接BE，交AC于点N'，连接DN'，∵DN'=BN'，DN'+EN'=BN'+ EN' BD，则BE的长即为DP+PE的最小值，∵AC是线段BD的垂直平分线，又∵CE=CD-DE=4-1=3，在Rt∵BCE中，BE2=CE2+BC2=25，∵BE＞0，∵BE=5，即DP+PE的最小值为5，故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键．二、填空题4．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【解析】【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∵AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此时P点到A、B的距离最小，∵A（0，3），∵A'（0，﹣3），∵B（6，5），5-（-3）=8，6-0=6∵A'B，∵P点到A、B的距离最小值为10，故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离是解题的关键．5．如图，在等边∵ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．【答案】6【解析】【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵∵ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，∵点E关于AD的对应点为点F，∵CF就是EP+CP的最小值．∵∵ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∵F是AB的中点，∵CF=AD=6，即EP+CP的最小值为6，故答案为6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．6．已知点(1,1)A ，(3,5)B ，在x 轴上的点C ，使得AC BC +最小，则点C 的横坐标为_______． 【答案】43【解析】【分析】作点A 关于x 轴的对称点A '，连接A 'B ，与x 轴的交点即为点C ，连接AC ，则AC ＋BC 的最小值等于A 'B 的长，利用待定系数法求得直线A 'B 的解析式，即可得到点C 的坐标．【详解】解：如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A '，连接A 'B ，与x 轴的交点即为点C ， 连接AC ，则AC ＋BC 的最小值等于A 'B 的长，∵A （1，1），∵A '（1，−1），设直线A 'B 的解析式为y ＝kx ＋b （k ≠0），把A '（1，−1），B （3，5）代入得153k b k b -=+⎧⎨=+⎩， 解得34k b =⎧⎨=-⎩， ∵y ＝3x −4，当y ＝0时，x ＝43， ∵点C 的横坐标为43， 故答案为：43．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．7．如图，一牧童在A 处放羊，牧童的家在B 处，A 、B 距河岸的距离AC 、BD 分别为500m 和700m ，且C 、D 两地相距500m ，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走______m ．【答案】1300【解析】【分析】本题可以把两线段的和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题解决．转化的方法是作A 关于CD 的对称点，求解对称点与B 之间的距离即可．【详解】解：作A 关于CD 的对称点E ，连接BE ，并作BF AC ⊥于点F ．则5007001200EF BD AC m =+=+=，500BF CD m ==．在Rt BEF △中，根据勾股定理得：1300BE 米． 故答案为：1300．【点睛】此题的难点在于确定点P 的位置，能够根据轴对称的知识正确作图．三、解答题8．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,5)A ，(2,1)B ，(6,1)C ．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(2)在x 轴上找一点P ，使PB PC 的值最小（保留作图痕迹），并写出点P 的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析，P 的坐标为(4,0)．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，即可作出111A B C △；（2）作出点B 关于x 轴的对称点B 2，连接B 2C ，交x 轴于P ，点P 即为所求做的点．(1)解：解：（1）如图所示，111A B C △即为ABC 关于y 轴对称的三角形．(2)解：如图所示，点P即为所求做的点，点P的坐标为(4,0)．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注意坐标系中两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点．（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点，当∵BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）∵BPE=90°，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，再根据两点间线段最短的性质，连接CP交AD于点E，并连接BE，即可得解；（2）因为P 为AB 的中点，要使∵ABC 是等边三角形，则需BC =AB ，根据等腰三角形三线合一的性质，所以CP ∵AB ，即∵BPE =90°．【详解】解：（1）如图，连接CP 交AB 于点E ，则点E 为所求；（2）∵BPE =90° ，理由如下：∵∵BPE =90°∵CP ∵AB ，∵点P 为AB 的中点，∵CP 垂直平分AB∵CA =CB∵AB =AC∵AB =AC =BC∵∵ABC 是等边三角形【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一的性质以及对称、两点间线段最短、线段中垂线定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．10．如图，铁路上A 、B 两站相距8km ，C 、D 为两个村庄，AC AB ⊥，BD AB ⊥，垂足分别为A 、B ，已知2km AC =，4km BD =，现在要在铁路AB 上修建一个中转站P ，使得P 到C 、D 两村的距离和最短．请在图中画出P 点的位置，并求出PC PD +的最小值．【答案】图见解析，10cm【解析】【分析】试卷第11页，共11页 根据轴对称求最短路线作出C 点对称点C ′，连接C′D 即可得出P 点位置，再利用勾股定理得出C′D 即为收购站P 到C 、D 两村庄的距离和最小值．【详解】解：作C 点关于AB 的对称点C '，连接C D '与AB 的交点就是P 点过C '作C E DB '⊥的延长线于点E则2BE AC AC '===，8C E AB '==∵6DE BD BE =+=在Rt DEC '中2222268100C D DE C E =+'='=+∵10C D '=∵PC PD +的最小值为10cm ．【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线问题，根据已知得出P 点位置是解题关键．。
关于将军饮马难题的练习10题
关于将军饮马难题的练习10题1. 将军饮马难题是一个著名的数学逻辑题。
2. 问题是一个军队将军需要与他的士兵一起通过一条狭窄的通道，但通道上只能容纳两个人，将军必须牵着马过去。
士兵们有不同的移动速度，每个士兵通过通道的时间也各不相同。
3. 下面是10个练题，每个题目都有不同的条件，找到解决方案并计算出通过通道所需要的最少时间。
题目1:士兵A过去需要1分钟，士兵B过去需要2分钟，将军过去需要5分钟，马过去需要10分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目2:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要4分钟，将军过去需要6分钟，马过去需要10分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目3:士兵A过去需要5分钟，士兵B过去需要10分钟，将军过去需要20分钟，马过去需要30分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目4:士兵A过去需要3分钟，士兵B过去需要4分钟，士兵C过去需要8分钟，将军过去需要10分钟，马过去需要15分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目5:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要5分钟，士兵C过去需要10分钟，将军过去需要15分钟，马过去需要20分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目6:士兵A过去需要1分钟，士兵B过去需要3分钟，士兵C过去需要6分钟，士兵D过去需要8分钟，将军过去需要10分钟，马过去需要15分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目7:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要3分钟，士兵C过去需要4分钟，士兵D过去需要8分钟，将军过去需要10分钟，马过去需要15分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目8:士兵A过去需要1分钟，士兵B过去需要2分钟，士兵C过去需要4分钟，士兵D过去需要8分钟，士兵E过去需要16分钟，将军过去需要20分钟，马过去需要30分钟。
求通过通道所需要的最少时间。
题目9:士兵A过去需要2分钟，士兵B过去需要4分钟，士兵C过去需要6分钟，士兵D过去需要8分钟，士兵E过去需要10分钟，士兵F过去需要12分钟，将军过去需要15分钟，马过去需要20分钟。
八年级数学上册最短路径问题(将军饮马)专项训练(含解析)
最短路径问题（将军饮马）专项训练一、单选题1．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =，60ABC S =△，D 是BC 中点，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．132．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC 的两个端点均在小正方形的顶点上，点P 也在小正方形的顶点上．某人从点P 出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC 且要回到P ），则这个人所走的路程最少是（ ）A ．7B ．14C ．10D ．不确定3．如图，在等边△ABC 中，AB ＝2，N 为AB 上一点，且AN ＝1，AD ＝3，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM 、MN ，则BM+MN 的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．34．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则BQ+QP 的最小值是（ ）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145°B．152°C．158°D．160°6．图1为某四边形ABCD纸片，其中∠B=70°，∠C=80°．若将CD迭合在AB上，出现折线MN，再将纸片展开后，M、N两点分别在AD、BC上，如图2所示，则∠MNB的度数为（）度.A．90 B．95 C．100 D．1057．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）A．15 B．17 C．18 D．208．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD 的周长最小时，则△ABD的面积为（）A．13B．23C．43D．839．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．45°10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，AB =8，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则PQ +BQ 的最小值是A ．4B ．5C ．6D ．711．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5，BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）A ．29B ．21C ．74D ．4512．如图是一块长，宽，高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体纸盒子，一只老鼠要从长方体纸盒子的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A ．(3213cm +B 85cmC 97cmD 109cm13．如图，ABC ∆是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2314．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615．如图，A 、B 是两个居民小区，快递公司准备在公路l 上选取点P 处建一个服务中心，使P A +PB 最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，CM 是斜边AB 上的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在点A 1处，CA 1与AB 交于点N ，且AN=AC ，则∠A 的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．50°D ．60°17．如图，在ABC 中，90BCA ∠=︒，3BC =，4CA =，AD 平分BAC ∠，点M N 、分别为AD AC 、上的动点，则CM MN +的最小值是（ ）A ．1.2B ．2C ．2.4D ．518．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C 的坐标为（m ，3 m ）（m 为非负数），则CA ＋CB 的最小值是（ ）A ．6B ．37C ．27D ．5二、填空题 19．如图，在等边ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，H 是AD 上任意一点．如果10AB AC BC ===，53AD =，那么HE HB +的最小值是 ．20．如图，在ABC 中，10AB AC cm ==，8BC cm =，AB 的垂直平分线交AB 于点M ，交AC 于点N ，在直线MN 上存在一点P ，使P 、B 、C 三点构成的PBC 的周长最小，则PBC 的周长最小值为______．21．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为6，面积是36，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值____．22．如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为___________.23．等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为__．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，M是AB边上一动点，N是AC边上的一动点，则MN+MC的最小值为_____．25．如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为____．26．如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，G为BC的中点，D为AG的中点，过点D作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，P是线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG的周长的最小值是________．27．已知∠AOB=30°，点P、Q分别是边OA、OB上的定点，OP=3，OQ=4，点M、N是分别是边OA、OB上的动点，则折线P-N -M -Q长度的最小值是___________.28．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线4AD=，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，EB EF+的最小值是______．29．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR 周长最小，则最小周长是_____30．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC 的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.32．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．33．某市为解决农村燃气困难，在P处建立了一个燃气站，从P站分别向A、B、C村铺设燃气管道。
将军饮马问题例题
将军饮马问题例题将军饮马问题是一个经典的数学谜题，题目如下：【题目】有一座1000级的楼梯，上面站着一位将军和他的马。
将军说：“我每次可以上1级、2级或者3级楼梯，而我的马每次只能上2级或者3级楼梯。
我们两个必须同时到达楼顶。
问，将军和马分别需要多少次才能到达楼顶，并且楼梯的哪些级别才能让他们同时到达楼顶？”【解答】假设将军上x次楼梯，马上y次楼梯。
1. 如果将军上1级楼梯，则马上y次楼梯，剩下的楼梯有999-x-2y级，将剩余楼梯由马上。
2. 如果将军上2级楼梯，则马上y次楼梯，剩下的楼梯有998-x-2y级，将剩余楼梯由马上。
3. 如果将军上3级楼梯，则马上y次楼梯，剩下的楼梯有997-x-2y级，将剩余楼梯由马上。
根据题意，将军和马必须同时到达楼顶，所以剩余的楼梯必须是2的倍数。
而剩余楼梯有999-x-2y、998-x-2y、997-x-2y三种情况，这些数分别除以2后的余数只能是0、1或者2。
又考虑到将军和马上楼梯的次数必须是整数，所以只需考虑将军和马都上奇数次楼梯的情况。
假设将军上奇数次楼梯x=2n+1，马上奇数次楼梯y=2m+1，代入上述条件，有：1. 剩下楼梯为999-(2n+1)-2(2m+1)=998-(2n+2m)-4=2(499-n-m)-4，是2的倍数；2. 剩下楼梯为998-(2n+1)-2(2m+1)=997-(2n+2m)-4=2(498-n-m)-3，不是2的倍数；3. 剩下楼梯为997-(2n+1)-2(2m+1)=996-(2n+2m)-4=2(498-n-m)-2，是2的倍数。
所以，将军和马必须同时走的是第3种情况，即将军和马都上奇数次楼梯。
最终答案是将军和马各上398次楼梯，并且将军和马会同时站在2、4、6、...、996、998共有499级楼梯上。
中学数学 “将军饮马”类问题 (含答案)
最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。
使△PAB 的周长最小4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。
使四边形 PAQB 的周长最小。
5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小E MMEHM30°二、常见题型三角形问题1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD⊥BC，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，若 AE = 2，求 EM+EC 的最小值A解：∵点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，A∴连接 BE，交 AD 于点 M，则 ME+MD 最小，过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE = BH2 + HE2 B= (3 3)2 + 12 = 2 7D C B D C2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是．解：作点 B 关于 AD 的对称点B'，过点 B'作 B'E⊥AB 于点E，交 AD 于点 F，则线段 B'E 的长就是 BM＋ＭＮ的最小值在等腰 Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4CB'M F D A N E B3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值C 解：作 AB 关于 AC 的对称线段AB'，过点 B'作 B'N⊥AB，垂足为 N，交 AC 于点M，则 B'N = MB'+MN = MB+MNB'N 的长就是 MB+MN 的最小值则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。
初中数学将军饮马专题试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程为（）。
A. √(x^2 + y^2)B. x + yC. √(x^2 + y^2 + 2xy)D. √(x^2 - y^2)2. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程的长度是（）。
A. x + yB. √(x^2 + y^2)C. √(x^2 + y^2 + 2xy)D. √(x^2 - y^2)3. 下列哪个图形可以表示将军饮马问题中的将军从A地到B地的最短路程（）？A. B. C. D.4. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程的长度是（）。
A. x + yB. √(x^2 + y^2)C. √(x^2 + y^2 + 2xy)D. √(x^2 - y^2)5. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程的长度是（）。
A. x + yB. √(x^2 + y^2)C. √(x^2 + y^2 + 2xy)D. √(x^2 - y^2)二、填空题（每题5分，共25分）1. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程的长度是______。
2. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程的长度是______。
3. 将军饮马问题中，将军从军营A出发，先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若将军到河边的距离为x，到B地的距离为y，则将军从A地到B地的最短路程的长度是______。
将军饮马18道典型习题
“将军饮马”常见模型及18道典型习题何为将军饮马？2000多年以前。
古希腊的亚历山大城里住着一位睿智的数学家海伦。
一天，城里来了一位将军，听闻海伦盛名，特来向他请教一个问题。
将军说，每天早上，他都骑着马儿从营帐出发，到河边让马儿饮水，然后，再去河岸同一侧的一块草地上带着马儿去吃草，问题时，在河岸的哪个具体位置喝水，行程最短？海伦略做沉思，给出了将军最佳方案。
此之谓“将军饮马”。
最佳方案为何？且阅下文：一、将军饮马常见的5种模型：1、一动两定（和最小）：如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路PA+PB的值最小？解析：做A点关于L的对称点A’，连接A’B，与L的交点即为P点。
为什么这时PA+PB最小？假设L上有一点M（与P点不重合）。
∵A点与A’关于L对称∴AP=A’P；AM=A’M；∴AP + BP =A’P +BP =A’B而AM + BM = A’M +MB在△A’MB中，两边之和大于第三边∴A’B < A’M +MB；而M为L上任一点（与P点不重合）。
∴动点P在A’B与L交点处时AP+BP最小。
2、一定两动：如图，点A是将军和马居住的营帐，小河L1依然像上题中一样潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，不同的是，这次吃草的地方不在是一个指定的点，而是L2所代表的一片草地，Q则是将军骑马吃草的地方，水足草饱以后，将军和马儿会再回到营帐。
那么，P点、Q点在何处时，将军走过的路AP+PQ+QA的值最小？解析：做A点关于L1的对称点A’；做A点关于L2的对称点A‘’；连接A’A‘’，与L1和L2的交点即为P、Q。
为什么此时，AP+PQ+AQ的和最小？假设L1上有点M（不与P重合）、L2上有点N（不与Q重合）。
∵A点与A’关于L1对称；A点与A‘’关于L2对称。
∴AP=A’P；AQ=A”Q；AM=A’M；AN=A”N；∴AP+PQ+AQ = A’P+PQ+A”Q =A’A”；AM+MN+AN = A’M+MN+A”N在四边形A’MNA”中：A’M+MN+A”N >A’A”∴P、Q位于A’A”与L1和L2的交点处时，AP+PQ+AQ的和最小。
初中将军饮马问题题型总结(全)
初中将军饮马问题题型总结(全)题型一：将军饮马之单动点1.三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD、CE是三角形ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()解析：连接PC，由于AB=AC，BD=CD，AD垂直于BC，所以PB=PC。
因此，PB+PE=PC+PE，PE+PC>CE，当P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．2.等边三角形中的将军饮马题目描述：在等边三角形ABC中，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为()解析：连接BE交AD于点P'，AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，P'B=P'C，P'E+P'C=P'E+P'B=BE。
根据两点之间线段最短，点P在点P'时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长。
因此，BE=BC/2-CE/2=3，所以P'E+P'C的最小值为3，故选C．3.等腰三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()解析：连接AD、AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，AD垂直于BC，所以S△ABC=1/2×4×AD=16，解得AD=8.EF是线段AC的垂直平分线，所以点C关于直线EF的对称点为点A，MA=MC，AD=AM+MD，因此AD的长为CM+MD的最小值。
且AC6，BM3，因为BM AD，故BM AC，所以BM是AC的中线，故CM3。
又因为AC是菱形的对角线，所以AC平分DAB，即DAM30。
又因为AM MD，所以ADM75。
初中数学 几何最值之将军饮马(学生版+解析版)
几何最值之将军饮马一．选择题（共14小题）1．如图，已知等边△ABC的边长为4，面积为4√3，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（）A．3B．4√2C．2√3D．4√32．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB 的最小值为（）A．3B．4C．5D．2√53．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．√6B．2√3C．3D．2√64．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．2B．2√3C．4D．2√3+25．如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E 在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（）A．2√10B．4√2C．6D．86．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，∠B+∠C＝150°．CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是（）A．12B．15C．16D．187．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB=12S△PCD，则PC+PD的最小值是（）A．4√3B．4√5C．2√13D．2√298．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．5B．6C．8D．109．如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM＝1，N是AC边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且AC CB =13，点D为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（52，52）C ．（83，83）D ．（3，3）11．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在BC 上，BD ＝3，DC ＝1，点P是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝6√2，BD ＝6，E 是BC 边的中点，P ，M 分别是AC ，AB上的动点，连接PE ，PM ，则PE +PM 的最小值是（ ）A ．6B ．3√3C ．2√6D ．4.513．如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（﹣4，5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是（ ）A ．（0，43）B ．（0，53）C ．（0，2）D ．（0，103）14．如图，在等边△ABC 中，AB ＝9，N 为AB 上一点，且AN ＝3，BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是（ ）A ．6√2B ．9√32C ．10√73D ．3√7二．填空题（共4小题）15．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为 ．16．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE +PF 的最小值，则这个最小值是 ．17．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．18．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝度．三．解答题（共3小题）19．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．20．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．21．如图，河两岸有甲、乙两村庄，现准备建一座桥，桥必须与河岸垂直，问桥应建在何处才能使由甲到乙的路程最短？请作出图形，并说明理由．几何最值之将军饮马参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，已知等边△ABC的边长为4，面积为4√3，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（）A．3B．4√2C．2√3D．4√3【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，∴BD⊥AC，EC＝2，连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，∴PE+PC的最小值是√AC2−EC2=√42−22=2√3．故选：C．2．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB 的最小值为（）A．3B．4C．5D．2√5【解答】解：连接DE，交AC于点P，连接BD．∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵AB＝4，E是BC的中点，∴CE＝2，在Rt△CDE中，DE=√CD2+CE2=√42+22=2√5．故选：D．3．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．√6B．2√3C．3D．2√6【解答】解：连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝2√3，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2√3，故所求最小值为2√3．故选：B．4．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．2B．2√3C．4D．2√3+2【解答】解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，∵AB＝4，∠A＝120°，∴点P′到CD的距离为4×√32=2√3，∴PK+QK的最小值为2√3，故选：B．5．如图，菱形ABCD的的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F（点E 在点F的左侧），若EF＝2，则AE+CF的最小值为（）A．2√10B．4√2C．6D．8【解答】解：如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴BD⊥AC，∵AM⊥AC，∴AM∥BD，∴AM∥EF，∵AM＝EF，AM∥EF，∴四边形AEFM是平行四边形，∴AE＝FM，∴AE+CF＝FM+FC＝CM，根据两点之间线段最短可知，此时AE+FC最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°∴BC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，在Rt△CAM中，CM=√AM2+AC2=√22+62=2√10∴AE+CF的最小值为2√10．故选：A．6．如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB．DA＝6cm，∠B+∠C＝150°．CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是（）A．12B．15C．16D．18【解答】解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EB＝EF，∵∠B+∠C＝150°，∴∠BEC＝30°，∴∠BEF＝60°，∴△BEF是等边三角形，连接BP，PF，PQ，则BP＝FP，∴BP+QP＝FP+PQ，∴当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP+PQ的最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A重合，∵DA⊥AB．DA＝6cm，∴AE＝6√3cm，∴Rt△QEF中，FQ=√3AE＝18，∴BP+PQ最小值值为18，故选：D．7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△P AB=12S△PCD，则PC+PD的最小值是（）A．4√3B．4√5C．2√13D．2√29【解答】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．∵四边形ABC 都是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝6，∵S △P AB =12S △PCD ，∴12×4×x =12×12×4×（6﹣x ）， ∴x ＝2，∴AM ＝2，DM ＝EM ＝4，在Rt △ECD 中，EC =√CD 2+DE 2=4√5，∵PM 垂直平分线段DE ，∴PD ＝PE ，∴PC +PD ＝PC +PE ≥EC ，∴PD +PC ≥4√5，∴PD +PC 的最小值为4√5．故选：B ．8．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB ＝30°，OP ＝8，点M 和点N 分别是射线OA和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【解答】解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点D 、C ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OP 、OC 、OD 、PM 、PN ．∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ，∴PM ＝CM ，OP ＝OC ，∠COA ＝∠POA ；∵点P 关于OB 的对称点为C ，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝8．∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8，故选：C．9．如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM＝1，N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，在Rt△BCM中，BM=√CM2+BC2=√32+42=5，故△DMN周长的最小值＝5+1＝6，故选：D．10．如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且AC CB =13，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（52，52）C ．（83，83）D ．（3，3）【解答】解：∵在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），∴AB ＝OB ＝4，∠AOB ＝45°，∵AC CB =13，点D 为OB 的中点，∴BC ＝3，OD ＝BD ＝2，∴D （2，0），C （4，3），作D 关于直线OA 的对称点E ，连接EC 交OA 于P ，则此时，四边形PDBC 周长最小，E （0，2），∵直线OA 的解析式为y ＝x ，设直线EC 的解析式为y ＝kx +b ，∴{b =24k +b =3，解得：{k =14b =2， ∴直线EC 的解析式为y =14x +2，解{y =x y =14x +2得，{x =83y =83，∴P （83，83），故选：C ．11．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P 是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最小．∵BD＝3，DC＝1∴BC＝4，∴BD＝3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝4，根据勾股定理可得DC′=√BC′2+BD2=√32+42=5．故选：B．12．如图，在菱形ABCD中，AC＝6√2，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（）A．6B．3√3C．2√6D．4.5【解答】解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P、M使PE+PM取得最小值，PE+PM＝PE′+PM＝E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，∵AC＝6√2，BD＝6，∴AB=√(3√2)2+32=3√3，由S菱形ABCD=12AC•BD＝AB•E′M得12×6√2×6＝3√3•E′M，解得：E′M＝2√6，即PE+PM的最小值是2√6，故选：C．13．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A ．（0，43）B ．（0，53）C ．（0，2）D ．（0，103）【解答】解：作A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′D 交y 轴于E ，则此时，△ADE 的周长最小，∵四边形ABOC 是矩形，∴AC ∥OB ，AC ＝OB ，∵A 的坐标为（﹣4，5），∴A ′（4，5），B （﹣4，0），∵D 是OB 的中点，∴D （﹣2，0），设直线DA ′的解析式为y ＝kx +b ，∴{5=4k +b 0=−2k +b， ∴{k =56b =53， ∴直线DA ′的解析式为y =56x +53，当x ＝0时，y =53，∴E （0，53）， 故选：B ．14．如图，在等边△ABC 中，AB ＝9，N 为AB 上一点，且AN ＝3，BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连接BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是（ ）A ．6√2B ．9√32C ．10√73D ．3√7【解答】解：连接CN ，与AD 交于点M ．则CN 就是BM +MN 的最小值．取BN 中点E ，连接DE ，∵等边△ABC 的边长为9，AN ＝3，∴BN ＝AC ﹣AN ＝9﹣3＝6，∴BE ＝EN ＝AN ＝3，又∵AD ⊥BC ，∴DE 是△BCN 的中位线，∴CN ＝2DE ，CN ∥DE ，又∵N 为AE 的中点，∴M 为AD 的中点，∴MN 是△ADE 的中位线，∴DE ＝2MN ，∴CN ＝2DE ＝4MN ，∴CM =34CN ．在直角△CDM 中，CD =12BC ＝4.5，DM =12AD =9√34， ∴CM =√CD 2+MD 2=9√74，∴CN ＝3√7．∵BM +MN ＝CN ，∴BM +MN 的最小值为3√7．故选：D ．二．填空题（共4小题）15．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为2√5+2．【解答】解：过B作BO⊥AC于O，延长BO至B′，使BO＝B′O，连接B′D，交AC 于E，连接BE、B′C，∴AC为BB′的垂直平分线，∴BE＝B′E，B′C＝BC＝4，此时△BDE的周长为最小，∵∠B′BC＝45°，∴∠BB′C＝45°，∴∠BCB′＝90°，∵D为BC的中点，∴BD＝DC＝2，∴B′D=√B′C2+CD2=√42+22=2√5，∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝B′E+DE+BD＝DB′+DB＝2√5+2，故答案为：2√5+2．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE +PF 的最小值，则这个最小值是 5 ．【解答】解：AC 交BD 于O ， 作E 关于AC 的对称点N ，连接NF ，交AC 于P ，则此时EP +FP 的值最小， ∴PN ＝PE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠DAB ＝∠BCD ，AD ＝AB ＝BC ＝CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ∥BC ，∵E 为AB 的中点，∴N 在AD 上，且N 为AD 的中点，∵AD ∥CB ，∴∠ANP ＝∠CFP ，∠NAP ＝∠FCP ，∵AD ＝BC ，N 为AD 中点，F 为BC 中点，∴AN ＝CF ，在△ANP 和△CFP 中{∠ANP =∠CFP AN =CF ∠NAP =∠CFP，∴△ANP ≌△CFP （ASA ），∴AP ＝CP ，即NF 过O 点，∵AN∥BF，AN＝BF，∴四边形ANFB是平行四边形，∴NF＝AB，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=12AC＝3，BO=12BD＝4，由勾股定理得：AB=√AO2+BO2=5，故答案为：5．17．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是2√2．【解答】解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2√2，即DQ+PQ的最小值为2√2，故答案为：2√2．18．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝30度．【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故答案为30．三．解答题（共3小题）19．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．【解答】解：设∠POA＝θ，则∠POB＝30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM 延长一倍到E，即ME＝PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF＝PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ＝QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR＝RP，∴△PQR的周长＝EF．∵OE＝OF＝OP＝10，且∠EOF＝∠EOP+∠POF＝2θ+2（30°﹣θ）＝60°，∴△EOF是正三角形，∴EF＝10，即在保持OP＝10的条件下△PQR的最小周长为10．故答案为：10．20．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC＝4√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE＝BC•cos45°＝4√2×√22=4．故CM+MN的最小值为4．21．如图，河两岸有甲、乙两村庄，现准备建一座桥，桥必须与河岸垂直，问桥应建在何处才能使由甲到乙的路程最短？请作出图形，并说明理由．【解答】解：设桥为CD，则这个问题中的路线为AC、CD、DB三条线段之和．怎样转化为两点间的一条线段呢？经观察，不难发现其中的线段CD是定值，因此只需要考虑使AC+DB最短．它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移DB到CB′，此时连接AB′交l于P，得桥址．。
初二数学将军饮马练习题
初二数学将军饮马练习题1. 填空题(1) 已知数 axis 坐标轴上的点 A(3, 4)，则 A 点的横坐标是___，纵坐标是___。
(2) 设直线上 A 点坐标为 (-2, 5)，直线上 B 点坐标为 (3, 1)，则直线的斜率为 ___。
(3) 已知数直线的斜率为 2，经过点 (3, -1)，则直线的方程为 y = ___。
(4) 设直线 L 过 A(2, -3)、B(-1, 4)两点，则 L 的中点的坐标为(___,___)。
2. 选择题(1) 若直线上两点坐标分别为 A(-1, 3)、B(4, 5)，则直线的斜率为：A. 2B. 1/2C. 1D. -2(2) 若已知直线的斜率为 0.5，且直线过点 (2, 3)，则直线的方程为：A. y = 0.5x + 2B. y = 0.5x - 1C. y = 0.5x + 3D. y = -0.5x- 2(3) 航行 14 公里所需时间为 2 小时，航行了 70 公里所需时间为：A. 14 小时B. 4 小时C. 7 小时D. 100 小时3. 计算题(1) 求平面直角坐标系中两点 A(2, -1)、B(4, 3)之间的距离。
(2) 若点 P(-1, 2)在直线 y = 3x - 1 上，则 P 点到直线的距离为多少？(3) 直线 L 过点 A(2, 3)，斜率为 2。
求直线 L 的方程。
4. 应用题将军饮马是一种古代难题，题目如下：一位将军下令饮马，要求马匹从 A 地出发，沿着弯曲的小径前进，然后返回 A 地，使得马匹在行程中所经过的地点与出发前的次序完全相同。
如果马匹的速度是 a 米每秒，行程的时间是 t 秒，马匹在 t 秒内经过的距离为 S 米，请回答以下问题：(1) 在一段连续的时间内，马匹经过了多少个完整的周期？(2) t 秒内，马匹经过的完整的周期数为 k，求马匹的行程 S 和时间 t 之间的关系式。
(3) 若马匹在行程中共经过了 5 个完整的周期，并且行程距离为3000 米，求马匹速度 a 的值。
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l A
l
l B
A
l l B
A
l P
l
l A
将军饮马
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
模型1 定直线与两定点 模型 作法 结论
当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。
连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。
PA+ PB 的最小。
当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使
PA+PB 最小。
作点B 关于直线l 的对称点
B ′，连接AB ′交直线于点P ，点P 即为所求作的点。
PA+PB 的最小值为AB ′。
当两定点A 、B 在直线l 同侧
时，在直线l 上找一点P ，使
PA PB -最大。
连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。
PA PB -的最大值为AB 。
当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA PB -最大。
作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′并延长交直线于点P ，点P 即为所求作的点。
PA PB
-的
最大值为AB ′。
P
E D C B A P D C B A
E D
C B A
模型实例
例1．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD+PE 的最小值为 。
例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？
热搜精练
1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边 上一动点，则EC+ED 的最小值是 。
A （3M
N
D C
B
A
2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值。
3．如图，正方形ABCD 中，AB-7，M 是DC 上的一点，且DM-3，N 是AC 上的一 动点，求DN MN 的最小值与最大值。
O C
D M
N B A 模型实例
例1．如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=10，在OA 上有一 点Q ，OB 上有一点R 。
若△PQR 周长最小，则最小周长是多少？
热搜精练
1．如图，∠MON=40°，P 为∠MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点， 当△PAB 的周长取最小值时： （1）找到A 、B 点，保留作图痕迹；
（2）求此时∠APB 等于多少度。
如果∠MON= ，∠APB 又等于多少度？
2．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别 找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM 的度数。
O N
O
N
B
3．如图，在x 轴上找一点C ，在y 轴上找一点D ，使AD+CD+BC 最小，并 求直线CD 的解析式及点C 、D 的坐标。
4．如图∠MON=20°，A 、B 分别为射线OM 、ON 上两定点，且OA=2，OB=4， 点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段 AQ+PQ+PB 的最小值是多少？
2
2
1
F C D O
y
x
E
B
A
模型实例
例1．在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示， 点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上， 且OA=6，OC=4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段 OA 上，点E 在点F 左侧，EF=2。
当四边形BDEF 的周长最小时，求点E 的坐标。
热搜精练
C D O y x B
A
2
1
A 1．在平面直角坐标系中，矩形OAC
B 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在， x 轴、y 轴的正半轴上，A （3，0），B （0，4），D 为边OB 的中点。
（1）若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标。
2．村庄A 和村庄B 位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？。