初中数学：将军饮马问题习题

l A

l

l B

A

l l B

A

l P

l

l A

将军饮马

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

模型1 定直线与两定点 模型 作法 结论

当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。

连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+ PB 的最小。

当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使

PA+PB 最小。

作点B 关于直线l 的对称点

B ′，连接AB ′交直线于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+PB 的最小值为AB ′。

当两定点A 、B 在直线l 同侧

时，在直线l 上找一点P ，使

PA PB -最大。

连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA PB -的最大值为AB 。

当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA PB -最大。

作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′并延长交直线于点P ，点P 即为所求作的点。

PA PB

-的

最大值为AB ′。

P

E D C B A P D C B A

E D

C B A

模型实例

例1．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD+PE 的最小值为 。

例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？

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1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边 上一动点，则EC+ED 的最小值是 。

A （3M

N

D C

B

A

2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值。

3．如图，正方形ABCD 中，AB-7，M 是DC 上的一点，且DM-3，N 是AC 上的一 动点，求DN MN 的最小值与最大值。

O C

D M

N B A 模型实例

例1．如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=10，在OA 上有一 点Q ，OB 上有一点R 。若△PQR 周长最小，则最小周长是多少？

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1．如图，∠MON=40°，P 为∠MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点， 当△PAB 的周长取最小值时： （1）找到A 、B 点，保留作图痕迹；

（2）求此时∠APB 等于多少度。如果∠MON= ，∠APB 又等于多少度？

2．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别 找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM 的度数。

O N

O

N

B

3．如图，在x 轴上找一点C ，在y 轴上找一点D ，使AD+CD+BC 最小，并 求直线CD 的解析式及点C 、D 的坐标。

4．如图∠MON=20°，A 、B 分别为射线OM 、ON 上两定点，且OA=2，OB=4， 点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段 AQ+PQ+PB 的最小值是多少？

2

2

1

F C D O

y

x

E

B

A

模型实例

例1．在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示， 点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上， 且OA=6，OC=4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段 OA 上，点E 在点F 左侧，EF=2。当四边形BDEF 的周长最小时，求点E 的坐标。

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C D O y x B

A

2

1

A 1．在平面直角坐标系中，矩形OAC

B 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在， x 轴、y 轴的正半轴上，A （3，0），B （0，4），D 为边OB 的中点。 （1）若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；

（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标。

2．村庄A 和村庄B 位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？