两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例

知识要点：

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式

2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；

2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；

3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。 如T(α±β)可变形为:

tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：

1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )

711

A 、 711

B 、-

7

13C 、 713D 、-

2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝4

5

3，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.45

3、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝5

13

，则cos C 的值是( )

A.1665

B.5665

C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )

A ．0

B ．±3

C ．0或 3

D ．0或

±3

5、三角式2cos55°

－3sin5°

cos5°

值为( )

A.3

2

B. 3 C ．2 D ．1 题型训练

题型1 给角求值

一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.

变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20

︒︒

︒

- 题型2给值求值

三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如

()()ααββαββ=+-=-+，2()()

ααβαβ=++-，

2()()

αβαβα=+--，

22

αβαβ++=⋅

，()(

)

222αββ

ααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19

，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝2

3，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．

变式2：π3π33π5

0π,cos(),sin(),4445413

βααβ<<

<<-=+=已知求sin(α+β)的值.

题型3给值求角

已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。

例3已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1

7

，求2α－β的值．

变式3：已知tan α=

17，tan β= 1

3

，并且α,β 均为锐角,求α+2β的值.

题型4辅助角公式的应用

()

sin cos a x b x x θ+=+ (其中θ角所在的象限由a

, b 的符号确定，θ角的值由

tan b

a

θ=

确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 例4求函数2

5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间？

变式4

（1）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ；

（2）若方程sin x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________. 题型5公式变形使用

二倍角公式的升幂降幂

tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± tan tan tan tan 1

tan()

αβ

αβαβ±=± 例5（1）设ABC ∆中，33tan A tan B tan Atan B ++=，3

4

sin Acos A =，则此三角形是____三角形

（2）化简1-sin822cos8++

变式5已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝ ； 专题自测

1、下列各式中，值为

1

2

的是 （ ） A 、1515sin cos B 、2

2

12

12

cos sin π

π

- C 、

22251225tan .tan .- D 、130

2

cos +

2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，

则P 是Q 的 （ ） A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件

3、已知3sin 5α=

,tan 0α<则tan()4

π

α-= . 4、=︒+︒

-︒20sin 6420cos 120sin 32

2

2 5、2sin()2sin()3cos()333

x x x πππ

++---=______________.

6、0

cos(27)cos(18)sin(18)sin(27)x x x x +---+=

7、若25sin 5α=

,310

sin 10

β=,,αβ都为锐角,则αβ+= 8、在△ABC 中，已知tan A 、tan B 是方程3x 2

＋8x －1＝0的两个根，则tan C 等于 9、

131080

sin sin -= ；

10、

︒

︒

-︒70sin 20sin 10cos 2=

11、(1tan 22)(1tan 23)︒︒

++=

12、)20tan 10(tan 320tan 10tan ︒+︒+︒︒=

13、（福建理17）在ABC △中，1tan 4A =，3

tan 5

B =． （Ⅰ）求角

C 的大小；

（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．

14、（四川理17）已知0,14

13

)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,

(1)求α2tan 的值. （2）求β.

15、(2008·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点,已知A,B 两点的横坐标分别为225

,.105

(1)求tan(α+β)的值; (2)求α+2β的值.

答案：考点自测:1-5BCADD 变式1、3 2、

5665 3：4

π

4（1）－2 （2）[－2,2] 5、22-

专题自测：1、C 2、C 3、7- 4、32 5、0 6、22 7、3

4

π 8、2 9、4 10、3