14.2 命题与证明 课件6(沪科版八年级上册)
《命题与证明》PPT课件 (公开课获奖)2022年沪科版 (3)
试说明：
1..直角三角形的两锐角具有什么关系？ 三角形内角和推论1：
直角三角形的两锐角互余 三角形内角和推论2：
有两个角互余的三角形是直角三角形
提高训练
下面的正六边形，你能根据自己的知识求出六边 形的内角和吗？
4个三角形： 180°×4＝720°
六角螺母的面是六边形， 它的内角都相等， 则这个六边形的每个内角 是 120° 。
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
1
2
CD
基础练习：
1.证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°.
已知：如图，△ABC
E
求证： ∠ A+∠B+ ∠C=180°.
A
21
F
证法3：过A作EF∥BA，
∵ EF∥BA（作图）
本节课学习了什么内容？
《19．1 多边形内角和》
问题：
1、什么叫正三角形？什么叫正方形？
2、什么叫正多边形？
3、如果多边形的各边都 归 相等，各内角也都相等，那么 纳 就称它为正多边形． ：
三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这 样的三角形就叫做正三角形．
正三角形 正四边形 正五边形 (或正三边形) (或正四边形)
B
C
∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)
又 ∵∠2+∠1+∠BAC=180°（平角的定义）
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
提高训练
你还有其他方法来证明三 角形内角和定理吗？
沪科版八年级数学课件：1命题与证明
（1）如果a=b，则a2=b2。（2）等角的余角相等。（3）同位角相等，两直线平行。
如果a2=b2 ，则 a=b。
如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等。
两直线平行，同位角相等。
思考：原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题吗？
讨论：我们如何判断一个命题的真假？
什么叫做命题：
对某一事物作出正确（真）或者错误（假）判断的语句叫做命题。（也可以说：判断一件事情的语句叫做命题）
判断对错：
即，只要是判断的句子都是命题
命题有真有假
正确的命题叫做真命题
错误的命题叫做假命题
｛
｛
命题的类型
（1）你的作业做完了吗？（2）欢迎前来参观！（3）以点O为圆心，3cm长为半径画弧
判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“× 表示。
3）不相等的两个角不是对顶角（ ）
5）相等的两个角是对顶角（ ）
×
√
×
×
√
√
√
判断一个句子是不是命题的关键是什么？
命题的结构：任何一个数学命题都是由 两部分组成的. 是 ， 是由 ， 这种命题常可写成 的情势,“如果”后面的部分是题设,“那么”后面的部分是结论.
问题:(1)上述四个语句是命题吗?(2)它们的题设,结论分别是什么?(3)(1)和(2),(3)和(4)之间,你发现了什么?
把一个命题的题设和结论互换，便可以得到一个新的命题，我们称这样的两个命 题为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
第一个命题的题设是第二个命题的结论
题设和结论
题设
已知事项
结论
已知事项推出的事项
“如果 …那么…”
初二上数学课件(沪科版)-《命题与证明》
)
所以∠2＝90°.(
)
所以b⊥c.(
)
证法二：因为a∥b，(
)
所以∠1＝∠2.(
)
因为a⊥c，(
)
所以∠1＝90°.(
)
所以∠2＝90°.(
)
所以b⊥c.(
)
答案：证法一：已知；垂直的定义 ；已知；两直线平行，同位角
相等；等量代换；垂直的定义．
证法二：已知；两直线平行，同位角相等；已知；垂直的意义 ；
探究2：已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分 ∠AOB，OF平分∠BOC，求证：OE⊥OF.
归纳：(1)证明的一般步骤是：已知、求证、证明． (2)证明的过程与思路是：由条件(已知)出发，经过一步步 地推理最后得出结论．
四、点点对接
例1：下面给出一道题的两种证法，请在后面的括号内，填上
本节课的主要内容
教学目标 1．理解公理、定理、演绎推理、证明等概念． 2．理解证明的必要性，熟悉证明的步骤与书写格式．
教学重难点 重点：对一些几何问题进行正确的逻辑证明；证明过程中 规范性语言的使用． 难点：规范的证明过程的写法；规范性语言的使用．
一、课前预习 阅读课本第P77～P79页内容，了解本节主要内容．
推理的依据：
已知：如图，a∥b，a⊥c.求证：b⊥c.
解析：要证垂直，就是要证两条直线相交成90°的角．因为直
线a与c垂直，所以a与c相交成90°的角．又因为a∥b，所以同位
角相等．所以直线b与c相交也成90°的角．所以b⊥c.
证法一：因为a⊥c，(
)
所以∠1＝90°.(
)
因为a∥b，(
)
所以∠1＝∠2.(
等量代换；垂直的意义．
沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第14讲 命题与证明举例(解析版)
命题与证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念及举例证明进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题和举例证明．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础．1、演绎证明的概念演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，简称为证明．几何证明知识结构模块一：演绎证明知识精讲内容分析【例1】 填空：（1） 已知，如图∠ABC =∠ADC ，∠AED =∠EDC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，求证：DE ∥EF证明：因为BF 平分∠ABC ，（________________________），所以∠ABF =12∠ABC （______________________________）．同理∠EDF =12∠ADC ． 因为∠ABC =∠ADC （________），所以∠ABF =∠EDF （________）， 又因为∠AED =∠EDC ，所以∠AED =∠ABF （________________）， 所以DE ∥EF （______________________________）．（2） 已知：如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，EB 交CD 于点F ，且AD =DF ．求证：AC =BF ．证明：因为CD ⊥AB ，BE ⊥AC （已知），所以∠AEB =∠BDC =∠ADC =90°(______________________________)， 因为∠A +∠B +∠AEB =180°（______________________），同理∠BFD +∠B +∠BDC =180°．所以∠A +∠B +∠AEB =∠BFD +∠B +∠BDC (___________________________)， 所以∠A =∠BFD ．（____________） 在△ADC 与△FDB 中，__________A BFD ADC FDB ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩，所以△ADC ≌△FDB （____________） 所以____________________（____________________）（图1）（图2）【答案】略【解析】（1）已知；角平分线的定义；已知；等量代换；等量代换；同位角相等，两直线平例题解析AB CDE FA BCD EFABCD行；（2）垂直的意义；三角形内角和180°；等量代换；等式性质；AD DF =；ASA ；AC BF =；全等三角形的对应边相等．【总结】考查证明题证明过程的依据和相关条件．【例2】 （1）如图，由AB = AC ，AD ⊥BC ，得____________，依据是__________；（2）如图，由A B = AC ，BD = DC ，得________________，依据是__________．【答案】略．【解析】（1）BD CD BAD CAD =∠=∠或，等腰三角形三线合一；（2）AD BC BAD CAD ⊥∠=∠或，等腰三角形三线合一．【总结】考查等腰三角形“三线合一”的性质应用．【例3】 求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等． 【答案】略【解析】已知：如图AB AC =，BD CD =，DE AB ⊥交AB 于点E ， DF AC ⊥交AC 于点F ．求证：DE DF =． 证明：AB AC =，BD CD =，BAD CAD ∴∠=∠DE AB ⊥，DF AC ⊥， 90DEA DFA ∴∠=∠=︒AD AD =， ADE ADF ∴∆≅∆DE DF ∴=【总结】考查等腰三角形性质定理的应用，作图，已知，求证，证明的完整过程．【例4】 求证：等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等． 【答案】略．E ABCDF AMEF【解析】已知：如图AB AC =，AD BC ⊥，M 为线段AD 上任意一点， ME AB ⊥交AB 于点E ，MF AC ⊥交AC 于点F ．求证：ME MF =． 证明：AB AC =，AD BC ⊥，BAD CAD ∴∠=∠．ME AB ⊥，MF AC ⊥，90MEA MFA ∴∠=∠=︒． AM AM =， AME AMF ∴∆≅∆．ME MF ∴=．【总结】考查等腰三角形性质定理的应用，作图，已知，求证，证明的完整过程．【例5】 如图，已知四边形ABCD 是凹四边形，求证：∠D =∠A +∠B +∠C ．【答案】略．【解析】证明：联结BC ． 180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，ACB ABD BDC ∠=∠+∠，ACB ACD DCB ∠=∠+∠180A ABD ACD DBC DCB ∴∠+∠+∠=︒-∠-∠ 180D DBC DCB ∠+∠+∠=︒ 180D DBC DCB ∴∠=︒-∠-∠D A ABD ACD ∴∠=∠+∠+∠【总结】考查三角形中的等量代换，利用三角形内角和180°即可解题．【例6】 如图，已知△ABC 中，求证：∠A +∠B +∠C =180°证明：过BC 上一点D ，分别作________，交AB 于点E ，交AC 于点F ， 因为___________________，所以∠A =______．ABCDAB CD E F同理∠B =______，∠C =______． 因为_________________， 所以_________________．因为∠EDB +∠EDF +∠FDC =180°（），所以_________________． 【答案】略【解析】//DE AC ，//DF AB ；//DF AB ，CFD ∠；FDC ∠，EDB ∠；//DE AC ，EDF CFD A ∠=∠=∠；平角的意义；180A B C ∠+∠+∠=︒．【总结】考查三角形内角和的证明，利用平行线得到相等角等量代换即可．1、 命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题．数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论．逆命题：在两个命题中，如果第一个名义的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．2、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理．逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理．所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理．【例7】 判断下列语句是不是命题?例题解析知识精讲模块二：命题、公理、定理（1） 直线AB 和直线CD 垂直； （2） 同旁内角不相等，两直线平行；（3） 天气预报播报，明天下雨的概率较大，大家出门带好雨具； （4） 两点之间，线段最短； （5） 对顶角相等； （6） 请把门关上！【答案】（2）、（4）、（5）是命题，（1）、（3）、（6）不是命题．【解析】根据命题的定义，对某一件事情做出判断的句子叫做命题，（2）（4）（5）是对一件事情做出判断的句子，是命题，（1）（3）（6）不是．【总结】考查对语句是否为命题的判断．【例8】 判断下列命题的真假．（1） 两个钝角的和还是钝角；（2） 两个等腰三角形必定可以拼成一个直角三角形； （3） 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；（4） 在一个三角形中，若一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形； （5） 若两个三角形全等，则这两个三角形关于某个点成中心对称； （6） 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】（1）、（2）、（3）、（5）、（6）是假命题，（4）是真命题．【解析】（1）两个钝角的和大于180°，不是钝角，是假命题；（2）两个等腰三角形的三边 长都不相等，则不能组合在一起，也不能拼成直角三角形，是假命题；（3）等边三角形 不是中心对称图形，是假命题；（4）这条中线将三角形分成两个等腰三角形，根据等腰 三角形两底角相等，可得这条边的对角为180°÷2=90°，即为直角三角形，是真命题； （5）两全等三角形的对应点不一定交于一点，则不一定关于某点中心对称，是假命题； （6）保持一边不变，过一个顶点作一条射线，另一个顶点向这条射线作垂线，并以这 点为圆心，长于垂线长的长度为半径作圆与射线有两个交点，形成三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，满足题目条件，但两个三角形明显不全等，是假命题．【总结】考查判断一个命题的真假，判断命题为假命题举一个反例即可． 【例9】 下列定理中有逆定理的是（）．A ．直角三角形中没有钝角；B ．互为相反数的数的绝对值相等；C ．同旁内角互补，两直线平行；D ．若22a b a b ==，则．【答案】C【解析】没有钝角的三角形可能为锐角三角形，A 错误；绝对值相等的数可能是相等也可能是互为相反数，B 错误；22a b =，a b =±，D 错误；C 选项逆命题为平行线判定定理．【总结】考查定理和相关逆定理，平行线三条性质定理都有逆定理．【例10】以下命题的逆命题为真命题的是（）．A．三个角相等的三角形是等边三角形；B．同角的余角相等；C．在三角形中，钝角所对的边最长；D．对顶角相等．【答案】A【解析】等边三角形三个内角相等，A的逆命题是真命题；余角相等的角是等角，不一定是同角，B的逆命题是假命题；根据“大边对大角”，最长边所对的角是三角形中最大角即可，三角形中的最大角不一定是钝角，例如直角三角形，C的逆命题是假命题；相等的角不一定为对顶角，同位角、内错角等，D的逆命题是假命题；故选A．【总结】考查对命题的逆命题的真假的判断，举反例即可．【例11】把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式：（1）等边对等角；如果____________________，那么______________________________；（2）同角的补角相等；如果____________________，那么______________________________；（3）平行于同一条直线的两条直线互相平行；如果____________________，那么______________________________；（4）全等三角形对应边相等；如果____________________，那么______________________________．【答案】略．【解析】（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等；（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；（3）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行；（4）一对全等三角形中，如果两条边是这对全等三角形的对应边，那么这两条边相等．【总结】考查命题“如果……那么……”形式的改写，注意加入适当的描述性的语句，使得语句更通顺好理解．【例12】写出以下命题的逆命题，并判断真假：（1）等边三角形的三个内角相等；（2）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；（3）等腰三角形的底角相等；（4）全等三角形对应角相等；（5）全等三角形面积相等．【答案】略．【解析】（1）逆命题：三个内角相等的三角形是等边三角形，真命题；（2）逆命题：两个三角形是全等三角形，这两个三角形中两条对应边和其中一个对应角都相等，真命题；（3）逆命题：如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，真命题；（4）逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形，假命题；（5）逆命题：面积相等的两个三角形是全等三角形，假命题．【总结】考查对命题的逆命题的真假的判断．【例13】以下说法中正确的有（）个．（1）逆定理一定是真命题；（2）一个定理一定有逆定理；（3）互逆命题一定是互逆定理；（4）互逆定理一定是互逆命题．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】逆定理的前提是真命题，（1）正确；定理对应的逆命题不一定为真命题，则没有逆定理，（2）错误；定理一定是命题，但命题不一定是定理，可知互逆定理一定是互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，（3）错误，（4）正确；综上，（1）（4）正确，故选B．【总结】考查定理和命题的区别和联系．【例14】下列命题是假命题有（）个．（1）若000，则；>>>a b ab（2）两直线相交，只有一个交点；（3）等腰三角形是锐角三角形；（4）等边三角形是等腰三角形．A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】（1）正确，是真命题；（2）正确是真命题；等腰三角形顶角有可能为钝角，则为钝角三角形，（3）是假命题；等边三角形是特殊的等腰三角形，（4）是真命题；综上（3）是假命题故选A．【总结】考查命题的真假的判断．【例15】判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】略【解析】（1）假命题，组成角的两条射线，一条方向相同，一条相反，则两角互补；（2）假命题，保持一边不变，过一个顶点作一条射线，另一个顶点向这条射线作垂线，并以这点为圆心，长于垂线长的长度为半径作圆与射线有两个交点，形成三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，满足题目条件，但两个三角形明显不全等．【总结】考查命题的真假的判断，假命题举反例即可．【例16】写出下列命题的逆命题，判断逆命题的真假，并说明其中哪些是逆定理．（1）等腰三角形两腰上的中线相等；（2）内错角相等，两直线平行；（3）等边对等角；（4）两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．【答案】略．【解析】（1）逆命题：如果一个三角形中有两条边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真命题，不是逆定理；（2）逆命题：两直线平行，内错角相等，真命题，是逆定理；（3）逆命题：等角对等边，真命题，是逆定理；（4）逆命题：如果两条直线被第三条直线所截，截得的一对同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线平行，真命题，不是逆定理．【总结】考查一个命题的逆命题的写法，以及对命题真假的判断．证明两直线平行的一般方法： （1） 平行线的判定和性质；（2） 利用全等得出结论证明两直线平行．【例17】 如图，若AB ∥CD ，直线EF 分别与AB 和CD 相交于点E 和F ，EP ⊥EF ，∠EFD 的平分线与EP 相交于点P ，且∠BEP =40°，则∠EPF =____________．【答案】65°．【解析】90PEF ∠=︒，40BEP ∠=︒， 130BEF PEF BEP ∴∠=∠+∠=︒ //AB CD ， 180BEF EFD ∴∠+∠=︒ 50EFD ∴∠=︒PF 是EFD ∠的角平分线，1252EFP EFD ∴∠=∠=︒18065EPF PEF EFP ∴∠=︒-∠-∠=︒例题解析模块三：证明举例知识精讲ACEB DFP【总结】考查平行线的性质定理的应用，两直线平行，同旁内角互补．【例18】 已知AB ∥CD ，∠1=2∠GBH ．求证：BH 平分∠DHG ．【答案】略． 【解析】证明：//AB CD1DHG GBH DHB ∴∠=∠∠=∠， 12GBH ∠=∠，1B GHB ∠=∠+∠ GHB GBH DHB ∴∠=∠=∠即证BH 平分∠DHG【总结】考查平行线的性质定理的应用，两直线平行，内错角相等．【例19】 已知：如图，AB ∥CD ，且FH 、EG 分别是∠BFE 、∠CEF 的平分线，求证：FH ∥EG ． 【答案】略 【解析】证明：//AB CD ， CEF BFE ∴∠=∠，GE 是CEF ∠的角平分线，12GEF CEF ∴∠=∠，同理12EFH BFE ∠=∠GEF EFH ∴∠=∠， //FH EG ∴．【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行．【例20】 如图，已知E 是△ABC 一边AC 的中点，F 是AB 上的一点，FE 的延长线与CD 交于点D ，且FE = DE ．求证：DC ∥AB ． 【答案】略． 【解析】证明：E 是AC 的中点，AE CE ∴=．ACED BFHGCABF DEG CAEFDB1HACFBED G A C EDFBOFE DE AEF DEC =∠=∠，， AEF CED ∴∆≅∆．A ECD ∴∠=∠， //DC AB ∴．【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行．【例21】 如图，BE 、CE 分别为∠B 、∠C 的平分线，且∠BEC =90°，求证：AB ∥CD ．【答案】略【解析】证明：90BEC ∠=︒， 90EBC ECB ∴∠+∠=︒BE 是ABC ∠的角平分线，2ABC EBC ∴∠=∠，同理2DCB ECB ∴∠=∠，()2180ABC DCB EBC ECB ∴∠+∠=∠+∠=︒//AB CD ∴【总结】考查平行线的判定定理，同旁内角互补，两直线平行．【例22】 如图，已知∠ADE =∠B ，FG ⊥AB ，∠EDC =∠GFB ，求证：CD ⊥AB ． 【答案】略【解析】证明：ADE B ∠=∠， //DE BC ∴， EDC BCD ∴∠=∠ EDC GFB ∠=∠， DCB GFB ∴∠=∠， //GF DC ∴．FG AB ⊥， CD AB ∴⊥．【总结】考查平行线的性质和判定定理的相互转换应用．【例23】 如图，已知BO =OC ，AB =DC ，BF ∥CE ，且A 、B 、C 、D 、O 在同一直线上．求证：DE ∥AF ．【答案】略【解析】证明：//BF CE ， BFO CEO ∴∠=∠ BO OC BOF COE =∠=∠， BOF COE ∴∆≅∆ OE OF ∴= BO OC AB CD ==，BO AB OC CD ∴+=+，即AO OD =AOF DOE ∠=∠ AOF DOE ∴∆≅∆AEDBCAB DFEACEDB 1 2A D ∴∠=∠ //DE AF ∴【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行与全等三角形性质的应用．【例24】 已知：如图所示，AB = AC ，AD = CE ，BD = AE ，∠1=∠2．求证：AE ∥BC ． 【答案】略 【解析】证明：AB AC =， 2ACB ∴∠=∠AB AC AD CE BD AE ===，， ABD CAE ∴∆≅∆，1CAE ∴∠=∠12∠=∠， 12CAE ACB ∴∠=∠=∠=∠//AE BC ∴【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行结合全等三角形性质的应用．【例25】 如图：已知CD 、BE 是三角形ABC 的中线，AB =AC ,求证：DE ∥BC ．【答案】略【解析】证明：CD 是ABC ∆的中线，12AD AB ∴=． 同理12AE AC =．AB AC =， AD AE ABC ACB ∴=∠=∠， ADE AED ∴∠=∠180180A ADE AED A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒，()11802ADE A ABC ∴∠=︒-∠=∠， //DE BC ∴．【总结】考查平行线的判定定理和等腰三角形性质的综合应用．【例26】 如图，已知在三角形ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，EF 过点D ，且EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：EF = BE +CF ． 【答案】略【解析】证明：BD 是ABC ∠的角平分线， EBD DBC ∴∠=∠ //EF BC ， EDB DBC ∴∠=∠， EBD EDB ∴∠=∠BE DE ∴=，同理DF CF =，EF ED DF BE CF ∴=+=+【总结】考查角平分线与平行线结合产生等腰三角形的基本模型． AB CEDABE CDFABCDEF 【例27】 如图所示，在四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD ，∠BAD 和∠BCD 互补，∠DFC 和∠DCF 互余． 求证：∠AEB =∠FCB ． 【答案】略 【解析】证明：AE 平分BAD ∠，12DAE BAD ∴∠=∠．同理12DCF BCD ∠=∠．BAD ∠和BCD ∠互补， 180BAD BCD ∴∠+∠=︒， 90DAE DCF ∴∠+∠=︒． DFC ∠和DCF ∠互余， 90DFC DCF ∴∠+∠=︒， DFC DAE ∴∠=∠//AE CF ∴，AEB FCB ∴∠=∠．【总结】考查平行线性质定理和判定定理的综合应用．【例28】 如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C ，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ．求证：BE ∥DF ． 【答案】略【解析】证明：BE 平分ABC ∠，12ABE ABC ∴∠=∠，同理12FDE ADC ∠=∠，360A ABC C ADC ∠+∠+∠+∠=︒，A C ∠=∠， 3602ABC ADC A ∴∠+∠=︒-∠BED A ABE ∠=∠+∠()1113602180222BED FDE A ABC ADC A A ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+︒-∠=︒//BE DF ∴【总结】考查平行线的判定定理，同旁内角互补，两直线平行．【例29】 如图，AB ∥CD ，分别探讨下面4个图形中∠BPD 、∠ABP 、∠CDP 的关系，（直接写出关系即可），并对第3个图得到的关系进行证明（至少用两种方法）．C ABPDABCDP图1图2【答案】图1：+360BPD ABP CDP ∠∠+∠=； 图2：BPD CDP ABP ∠=∠-∠； 图3：BPD ABP CDP ∠=∠+∠； 图4：BPD ABP CDP ∠=∠-∠． 【解析】证明：方法1：延长BP 交CD 于点M ， //AB CD ， ABP PMD ∴∠=∠BPD PMD CDP ABP CDP ∴∠=∠+∠=∠+∠；方法2：过点作射线//PN AB ，则有ABP BPN ∠=∠，//AB CD ， //CD PN ∴， CDP DPN ∴∠=∠BPD BPN DPN ABP CDP ∴∠=∠+∠=∠+∠．【总结】考查平行线的性质定理和三角形外角性质的结合应用，本题中4个小题都可通过作平行或延长简单证明．【例30】 如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠DCB ，AB =CD ，AE =DF .（1） 求证：BF =CE ；（2） 当点E 、F 相向运动，形成图2时，BF 和CE 还相等吗?证明你的结论．【答案】（1）略；（2）相等． 【解析】（1）证明：//AD BC ，180180BAD ABC ADC BCD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒， ABC DCB ∠=∠ BAD ADC ∴∠=∠AE DF =AE AD DF AD ∴+=+，即DE AF = AB CD =EDC FAB ∴∆≅∆ABCDPABCDP图3图4A ABCDFED BC（E ） （F ）图1图2BF CE∴=（2）相等，证明：同（1）可证BAD ADC∠=∠，，==ED AF AB CD∴∆≅∆EDC FABBF CE∴=【总结】考查等腰梯形的性质的证明，实际为后面等腰梯形性质的学习打下基础．随堂检测【习题1】下列命题中，属于公理的有（）．A．三角形的内角和为180°B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等C．等腰三角形两个底角相等D．在所有联结两点的线中，线段最短【答案】D【解析】公理是人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据，D是公理，A、B、C都是定理．【总结】考查对公理的判断．【习题2】下列判断错误的是（）．A．底角对应相等的两个等腰三角形全等B．有一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等C．腰相等的两个等腰直角三角形全等D．边长相等的两个等边三角形全等【答案】A【解析】由A只能确定两个等腰三角形的三个内角对应相等，缺少边相等的条件，不能判定全等，故选A．【总结】考查与等腰三角形结合的全等三角形的判定．【习题3】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）等角对等边；（2）同角的余角相等；ACED B 1 2 CBAFME（3）全等的三角形的对应边上的高相等． 【答案】略【解析】（1）如果一个三角形中有两个相等的角，那么这两个角所对的边也相等； （2）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； （3）如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应边上的高相等．【总结】考查命题“如果……那么……”形式的改写，注意加入适当的描述性的语句，使得语句更通顺好理解．【习题4】 如图，已知AC ∥DE ，∠1=∠2，求证：AB ∥CD ． 【答案】略 【解析】证明：//AC DE ， 2ACD ∴∠=∠．12∠=∠， 1ACD ∴∠=∠，//AB CD ∴．【总结】考查平行线的性质定理和判定定理的综合应用，等角转化．【习题5】 如图，AM 是△ABC 底边BC 上的中线，点F 在AM 上，点E 在AM 的延长线上，且EM =MF ． 求证：//CE BF ． 【答案】略 【解析】证明：AM 是ABC ∆的中线， BM CM ∴=EM MF CME BMF =∠=∠， CME BMF ∴∆≅∆E MFB ∴∠=∠ //CE BF ∴【总结】考查三角形的全等证明与平行线的判定定理的综合应用．【习题6】 如图，已知AF ∥BE ∥CD ，∠A =∠D ．求证：AB ∥ED ．【答案】略 【解析】证明：////AF BE CD ，180180A ABE D DEB ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，．A D ∠=∠， ABE DEB ∴∠=∠，ADBECF//AB ED ∴．【总结】考查平行线的性质和判定定理的结合应用，先利用性质再进行判定．【习题7】 如图，已知B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB ∥DE ，且AB =DE ，BE =CF ．求证：AC ∥DF . 【答案】略 【解析】证明：//AB DE ， B DEF ∴∠=∠．BE CF =，BE EC EC CF ∴+=+，即BC EF =．AB DE =，ABC DEF ∴∆≅∆． ACB F ∴∠=∠ //AC DF ∴【总结】考查全等三角形的判定和平行线的性质和判定定理的综合应用．【习题8】 如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2．求证：∠BEF =∠EFC ．证明：__________________________． 因为_________________________（），所以∠ABC =∠BCD （）． 又因为__________________（ ）， 得______________________（ ）， 所以_____________________（），所以∠BEF =∠EFC （）．【答案】略【解析】联结BC ；//AB CD ，已知；两直线平行，内错角相等；12∠=∠；已知；EBC BCF ∠=∠；等式性质；//BE CF ，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【总结】考查平行线的性质和判定定理的综合运用．ABCDEF12ABCDEF【习题9】 如图，一条公路修到湖边时，需绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A 是120°，第二次拐弯的角∠B 是150°，第三次拐弯的角是∠C ，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C 的度数．【答案】150°【解析】延长AB 交DC 延长线于点E ，由两道路平行，可得120E A ∠=∠=︒，150ABC ∠=︒ 18030CBE ABC ∴∠=︒-∠=︒12030150BCD E CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【总结】考查平行线的性质和三角形外角性质的综合应用．【习题10】 已知：如图，∠ABC =∠ADC ，BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，且CF =CB ．求证：∠1=∠2【答案】略【解析】证明：DE 平分ADC ∠，12CDE ADC ∴∠=∠，同理12CBF ABC ∴∠=∠，ABC ADC ∠=∠ CDE CBF ∴∠=∠ CF CB = CFB CBF ∴∠=∠ CDE CFB ∴∠=∠ //DE FB ∴12∴∠=∠【总结】考查平行线的性质定理和判定定理的综合应用．DCEABF21 ACBDE【习题11】 如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．（1） 联结AC 、BD 相交于点O ，若OD = OB ，求证：OA = OC ．（2） 若E 、F 分别是DA 、BC 延长线上的一点，且AE = CF ．联结EF ，交AB 、CD于点G 、H ，交BD 于点O ．求证：OG = OH 且O 是BD 的中点．【答案】略【解析】证明：（1）//AB CD ，AD ∥BC ，ADO CBO DAO BCO ∴∠=∠∠=∠， OD OB = ADO CBO ∴∆≅∆ OA OC ∴=（2）//AB CD ，∴ABD BDC ∠=∠，FHC FGB ∠=∠，//AD BC ，AGE FGB ∠=∠ E F AGE CHF ∴∠=∠∠=∠，ABD BDC ∠=∠AE CF = AGE CHF ∴∆≅∆ EG HF ∴=BD BD = ABD CDB ∴∆≅∆ AD BC ∴= AE CF =AE AD CF BC ∴+=+，即DE BF = EDO FBO ∴∆≅∆ DO BO EO FO ∴==， EO EG FO FH ∴-=-即证OG OH =且O 是BD 的中点【总结】考查根据平行线和三角形的全等证明平行四边形的相关性质，为后面学习平行四边形的性质打好基础．AB CGDEFHO 图2AB CDO图1课后作业【作业1】以下命题的逆命题是真命题的是（）．A．等边三角形的三个角相等；B．同角的补角相等；C．在三角形中，钝角所对的边长最长；D．同位角相等．【答案】A【解析】三个内角相等的三角形是等边三角形，A的逆命题是真命题；补角相等的角相等，但不一定为同角，B的逆命题是假命题；根据“大边对大角”，最长边所对的角是三角形中最大角即可，三角形中的最大角不一定是钝角，例如直角三角形，C的逆命题是假命题；相等的角不一定为同位角，D的逆命题为假命题；故选A．【总结】考查命题的逆命题真假的判定，判定为假命题举反例即可．【作业2】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结论判断出命题的真假．（1）轴对称图形都是等腰三角形；（2）等腰三角形顶角的角平分线就是底边上的高；（3）等角的余角相等．【答案】略【解析】（1）如果一个图形是轴对称图形，那么这个图形是等腰三角形；题设：如果一个图形是轴对称图形，结论：那么这个图形是等腰三角形，假命题；（2）如果过等腰三角形的顶角作顶角的角平分线，那么这条角平分线是等腰三角形底边上的高；题设：如果过等腰三角形的顶角作顶角的角平分线，结论：那么这条角平分线是等腰三角形底边上的高，真命题；（3）如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等；题设：如果两个角是两个相等的角的余角，结论：那么这两个角相等，真命题．【总结】考查命题“如果……那么……”形式的改写，注意加入适当的描述性的语句，使得语句更通顺好理解，同时考查命题真假的判断．【作业3】 以下说法正确的有（）个．①每个命题都有逆命题； ②假命题的逆命题是假命题； ③真命题的逆命题都是真命题； ④每个定理都有逆定理． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】①显然正确，②③显然错误，定理的逆命题必须为真命题则为定理，④错误， 综上只有①正确，故选A ．【总结】考查命题和逆命题、定理和逆定理的相关定义．【作业4】 如图，已知：∠AEC =∠A +∠C ．求证：AB ∥CD ． 【答案】略【解析】证明：延长AE 交CD 于点F ，AEC C EFC AEC A C ∠=∠+∠∠=∠+∠， EFC A ∴∠=∠ //AB CD ∴【总结】考查平行线的判定定理和三角形外角性质的综合应用．【作业5】 已知：如图，AB //CD ，∠B =110°，∠C =35°．求∠E 的度数．【答案】105°【解析】延长AB 交CE 延长线于点F ，//AB CD 35F C ∴∠=∠=︒ 110ABE ∠=︒18070FBE ABE ∴∠=︒-∠=︒7035105BEC FBE F ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【总结】考查平行线的判定定理和三角形外角性质的综合应用．【作业6】 已知：如图，A 、E 、F 、D 四点在一条直线上，AE =FD ，AB //CD ，且AB =CD ．EABDCFABCDEFABCONM EDCBA求证：BF //CE ． 【答案】略 【解析】证明：//AB CD ， A D ∴∠=∠AE FD =AE EF FD EF ∴+=+，即AF DE = AB CD = ABF DCE ∴∆≅∆CED BFA ∴∠=∠ //BF CE ∴【总结】考查平行四边形和全等三角形性质的综合应用．【作业7】 已知：如图，已知点O 在直线AB 上，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ，那么OM ⊥ON 吗?为什么? 解：因为OM 平分∠AOC （）， 所以∠MOC=______________________（），同理____________=_________________． 又因为∠AOC+∠BOC=180°（）， 所以0119022AOC BOC ∠+∠=（）， 得____________+____________=090，（ ）所以OM _______________ON （）．【答案】略【解析】已知；12AOC ∠，角平分线的意义；CON ∠，12BOC ∠；平角的意义；等式性质；MOC ∠，CON ∠，等量代换；⊥，垂直的意义． 【总结】考查证明题的判定应用和相应的定理的把握．【作业8】 如图，AC =CE ，DE =BD ，∠AEB =90°．求证：AC //BD ．【答案】略ABCDEF90CEA DEB ∴∠+∠=︒ AC CE =A CEA ∴∠=∠，同理B DEB ∠=∠，180180A CEA C D DEB B ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒，18021802C CEA D DEB ∴∠=︒-∠∠=︒-∠，()3602180C D CEA DEB ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒//AC BD ∴【总结】考查平行线的性质定理和等腰三角形性质的综合应用．【作业9】 已知CE 、BD 是△ABC 的高，AB =AC ，求证：DE ∥BC ．【答案】略【解析】证明：CE 、BD 是ABC ∆的高，90ADB AEC ∴∠=∠=︒ A A AB AC ∠=∠=，ABD ACE ABC ACB ∴∆≅∆∠=∠，AE AD ∴= ADE AED ∴∠=∠180180A ADE AED A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒，()11802AED A ABC ∴∠=︒-∠=∠//DE BC ∴【总结】考查平行线的判定定理和等腰三角形性质的综合应用．【作业10】 已知：如图，∠B =∠C ， ∠BDE =∠CDF ，BD = CD ，求证：EF //BC ．【答案】略ACBDEFEDCBACABDRQP180180BDE EDC BDF CDF ∠+∠=︒∠+∠=︒，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=︒()11802BDF CDE BDE EDF ∴∠=∠∠=︒-∠，BD CD B C =∠=∠，BDF CDE ∴∆≅∆ DE DF ∴=DEF DFE ∴∠=∠180DEF EDF DFE ∠+∠+∠=︒()11802DEF EDF BDE ∴∠=︒-∠=∠//EF BC ∴【总结】考查三角形的全等，等腰三角形性质，三角形内角和的综合应用．【作业11】 已知：如图在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD ，∠ABC 的角平分线交直线AD 的延长线于点P ，经过点A 与BP 垂直的直线交直线BC 的延长线于点Q ． 求证：PQ ∥CD ．【答案】略【解析】证明：BP 是ABC ∠的角平分线， PBQ PBA ∴∠=∠． AQ BP ⊥， 90BRQ BRA ∴∠=∠=︒．BR BR =， BRQ BRA ∴∆≅∆， BQ BA ∴=．BP BP =， BPQ BPA ∴∆≅∆， BQP BAP ∴∠=∠． BAD BCD ∠=∠， BCD BQP ∴∠=∠//PQ CD ∴【总结】考查三角形的全等判定和平行线的判定的综合应用．。
沪科版八年级上册数学课件(第14章 全等三角形)
所以△ADE≌△AFE，所以∠DAE＝∠FAE.
因为∠BAF＝56°，∠BAD＝90°，所以
∠DAF＝90°－∠BAF＝90°－56°＝34°，
所以∠DAE＝ 1 ∠DAF＝ 1 ×34°＝17°.
2
2
总结
解决折叠问题的关键是弄清在折叠 过程中发生的是全等变换，即折叠前后 的两个图形(本例是三角形)全等，其折 叠前后的对应边相等，对应角相等．类 似地，还有平移和旋转问题．在此过程 中，往往产生了全等三角形，然后根据 全等三角形的性质解题．
第14章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第1课时 两边及其夹角分别 相等的两个三角形
1 课堂讲解 判定两三角形全等的基本事实：边角边
全等三角形判定“边角边”的简单应用
2 课时流程
逐点 导讲练
知3－讲
解：∵Rt△ABC≌Rt△CDE， ∴∠BAC＝∠DCE. 又∵在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴∠ACB＋∠BAC＝90°. ∴∠ACB＋∠ECD＝90°. ∴∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠ECD) ＝180°－90°＝90°.
总结
(1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法： 利用全等三角形的性质先确定两个三角形中角 的对应关系，由这种关系实现已知角和未知角 之间的转换，从而求出所要求的角的度数．
总结
两种解法的入手点分别是“同底等高、等底 等高的三角形面积相等”，这一结论要结合具体 图形理解．如图，l1∥l2，点A，B，F在l1上， AB ＝BF，点C，D，E是l2上任取的点，则根据上述 结论，知S△ABC＝S△ABD＝S△BFE.
知3－讲
知3－练
1 若△ABC与△DEF全等，点A和点E，点B和点D
知1－讲
命题与证明 学科信息：数学-沪科版-八年级上-数学沪科八年级上册
3 1
2
这节课你学习了什么？
4、定理：从基本事实或其它真命题出发， 用推理的方法判断为正确的，并被选作判 断命题真假的依据，这样的真命题叫做定 理。 定理是真命题吗?它与真命题有什么不同？
5、演绎推理与证明 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已 知定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这 一方法称为演绎推理（或演绎法）。 演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明。
都有哪些收获？
课本第84页习题第2,3,4题。
祝同学们学习进 步！ 谢谢！
13.2 命题与证明
第一课时
托兰斯肯弯曲幻觉：
观察：哪条曲线的半径最大？
这三个圆弧的弯曲度实际完全一样，只 是下面两个比上面那个短一些。
视觉神经末梢一开始只是按照短线段解释 世界，当线段的相关位置在一个更大的空间范 围延伸概括后，弯曲才被感知到，所以如果给 定的是一条曲线的一小部分，你的视觉神经系 统往往不能察觉到它是曲线。 上面的例子告诉我们：几何需要观察与 实验，同时也需要学会推理，推理这种思 维活动通常需要对事物的情况作出判断。
像（1），（3），（5），（7）这样， 对某一事件做出正确或不正确判断的语 句（或式子）叫做命题。
其中，（1），（3），（5）判断是正确的， 我们称之为真命题。
而（7）是错误的命题，我们称之为
假命题。
1、命题的结构
说明：命题通常可以写成“如果……，那么……” 的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那 么”后面的部分是结论，有时为了叙述简便，也 可以活用关联词“如果”“那么”。 2、原命题和逆命题 什么叫原命题和逆命题？原命题和逆命题之间有 什么关系？能不能称某个命题是原命题或逆命题？ 3、反例的概念 一个命题是真命题时，它的逆命题一定是真命 题吗？什么情况下会用到反例?
命题定理与证明课件华东师大版数学八年级上册
基本事实与定理
基本事实：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践 中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始 依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.
例如 下列的真命题作为基本事实： 1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； 2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么 这两条直线平行； 3.全等三角形的对应边、对应角分别相等．
(2) 写出已知和求证；
(3) 写出证明的过程
当堂练习
1. 已知：如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，
A
D
∠AOC 与∠BOD 是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD.
O B
证明：∵直线 AB 与直线 CD 相交于点C O ( 已知 )，
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°，
∠BOD＋∠AOD＝180° ( 补角的定义 ).
∴ ∠AOC =∠BOD ( 同角的补角相等 ).
1. 要判断一个命题是真命题，可以用演绎 推理加以论证；
2. 要判断一个命题是假命题，只要举出一个 例子，说明该命题不成立
(1) 三角形的内角和等于 180°
比如（1）中若∠A = 120°，那么它的补角是 60°，从而 它的补角比∠A 小，所以（1）是假命题. 在数学中， 这种方法称为“举反例”.
证明的概念
定义：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演 绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫 做证明.
例题精讲 例1
证明命题：直角三角形的两个锐角互余.
已知：如图，在△ ABC 中，∠C = 90°.
求证：∠A +∠B = 90°. BB
A
A
CC
例题精讲
证明：∵∠A + ∠B + ∠C = 180°， (三角形的内角和等于 180°)， 又∵∠C = 90°(已知)， ∴∠A +∠B = 180°-∠C = 90°(等式的性质).
命题与证明课件(上海)数学八年级上册
例2：判断下列句子是命题吗？ （1）你的作业做完了吗？ （2）欢迎前来参观！ （3）以点o为圆心、3cm长为半径画弧.
疑问句、感叹句、祈使句、以及表示画图的语句都不是命题。
巩固练习
1．下列语句是命题的是（ ） A.过直线外一点作直线的平行线 B.用量角器画∠AOB=90°
C. 4 的算术平方根是2 D.任何数的平方都不小于0吗？
两个角是对顶角. 顶点
顶角
③两直线平行， 同位角相等.
如果两条直线平行
那么它们的同位角 相等
④同位角相等， 两直线平行.
如果两个同位角相等 那么这两条直线平行
上述命题③与④的条件与结论之间有什么联系？
命题③与④的条件与 ③两直线平行，同位角相等.
结论互换了位置.
④同位角相等，两直线平行.
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另 一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互 逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
19.1 命题与证明
教学目标
1.理解命题、真命题、假命题的意义，会区分命题的条件与结论. 2.通过具体实例，了解原命题及其逆命题的意义，会识别两个互逆的命题，知 道原命题成立其逆命题不一定成立. 3.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的. 4.初步感受感性认识与理性认识的不同，体会数学的严谨性.
教学难点
重点：区分一个命题的条件与结论. 难点：举出反例来判断一个命题是假命题.
新课引入
在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形 有关，首先画出图形，再结合图形，写出已知、求证. 命题：三角形的内角和等于180°.
你能证明这个命题吗？
已知：△ABC， 求证：∠A+∠B+∠C=180°
上海教育出版社八年级数学上册命题和证明
（１）两点之间线段最短
线段的基本性质 （２）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
平行线的基本性质 （３）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
垂线的基本性质 （４）同位角相等，两直线平行
平行线的判定方法１ （５）两直线平行，同位角相等
题设 已知事项 如果……
数学中的命题 对顶角相等
结论 由已知事项推出的事项 那么……
eg：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
题设
结论
有两条边相等的三角形是等腰三角形
如果在一个三角形有两条边相等， 那么这个三角形是等腰三角形
证明命题“等腰三角形两底角的平分线相等。”是真命题。
第一步： 根据题意，画出图形
真命题
句
子 （５）两条直线被第三条直线所截，如果内错角
叫做命题 相等，那么这两条直线互相平行 真命题
（６）画∠ＡＯＢ的平分线ＯＣ 不是命题
（７）等角的余角相等吗？ 不是命题
判断下列命题哪些是真命题，哪些是假命题？ 1. 面积相等的两个三角形全等
2. 两个全等三角形的面积相等
3. 任何一条线段有且只有一条垂直平分线 ４．如果两个角互补，那么一个角是锐角，另 一个角是钝角 ５．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形 全等；
∠1=
1 2
∠ABC，∠2=
12∠ACB，
则BD=CE.
证明命题“等腰三角形两底角的平分线相等。”是真命题。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC，
BD， CE分别平分∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ
求证： BD=CE 证明： ∵AB=AC
(已知)，
∴ ∠ABC= ∠ACB (等边对等角).
沪科版 八上命题与证明
命题与证明一、命题1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题.2、命题分类真命题：正确的命题命题假命题：错误的命题3、命题的组成：每个命题都由条件和结论两部分组成.4、互逆命题：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.每个命题都有逆命题.5、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子称为反例.原命题：如果p，那么q；逆命题：如果q，那么p.（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题.）二、公理、定理与证明1、几何推理中，把那些从长期实践中总结出来，不需要再作证明的真命题叫做公理. 如：经过两点，有且只有一条直线；两点之间，线段最短；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.2、正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.如：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；在平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.三、三角形内角和定理、外角及其推论1、三角形的内角和为180°.2、推论1：直角三角形的两锐角互余.3、三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角与它相邻的内角互补.4、推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5、推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.【专题解析】1.已知△ABC的高为AD，∠BAD=70º，∠CAD=20º，求∠BAC的度数.2.如图，已知AB ∥DE ，试求证：∠A +∠ACD +∠D =3600（你有几种证法?）3.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小明和小虎分别给出了下列证法. 小明：在△ABC 中，延长BC 到D ，∴∠ACD =∠A +∠B （三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.又∵∠ACD +∠ACB =180°（平角定义），∴∠A +∠B +∠ACB =180°（等式的性质）.小虎：在△ABC 中，作CD ⊥AB ，∵CD ⊥AB （已知），∴∠ADC =∠BDC =90°（直角定义）.∴∠A +∠ACD =90°，∠B +∠BCD =90°（直角三角形两锐角互余）.∴∠A +∠ACD +∠B +∠BCD =180°（等式的性质）.∴∠A +∠B +∠ACB =180°.请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法，与同伴交流.4.如图，已知AB CD ∥，探究123∠，∠，∠之间的关系，并写出证明过程．【综合提升】一、选择题1、在平面内，下列命题中正确的有（ ）（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）两点之间，线段最短（3）垂线段最短 （4）两点确定一条直线A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、命题“相交的两条直线不一定互相垂直”的条件是（）A、两条直线B、两条直线垂直C、两条直线相交D、它们不一定垂直3、若△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、钝角三角形或锐角三角形4、如图，在△ABC值，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，CE是∠ACD的平分线，则∠ACE的度数为（）A、60°B、65°C、100°D、135°5、如图是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠ABC＝140°，∠CDE＝120°，则∠C的度数为（）A、120°B、100°C、140°D、90°6、下图能说明∠1＞∠2的是（）7、如图，直线BD∥EF，AE与BD交于点C.若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为（）A、60°B、75°C、90°D、105°二、填空题8、下列语句中哪些是命题，哪些不是命题？请在横线上填“是”或“不是”.（1）延长AB至C. _______；（2）这两条直线平行吗？________；（3）若x＝2，则1－5x＞0. ________；（4）明天可能会下雨. ________；（5）绝对值等于3的数是3. ________；（6）两个负数的商是正数. _________；（7）在同一平面内的两条直线不相交就平行. ________；（8）同角的补角相等. ________；（9）画线段AB＝3cm. ________；（10）直角三角形一定不是轴对称图形. ________.9、若一个三角形的三个内角之比是6:2:1，则这个三角形中最大内角的外角是______度.10、如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠EDF＝______.11、如图，AD∥BC，AB∥CD，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E＋∠F＝_______.12、把“相交成直角的两条直线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式为___________________________________________________________________________. 13、如图，∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝∠_____＋∠_____；∠DAC＞∠_____，∠DAC＞∠______.依据是____________________________________________________________________.14、如图，∠1是△ABC的一个外角，直线DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，∠1＝120°，则∠2的度数是_______.三、解答题15、如图，AB⊥BC，AD⊥CD.求证：∠A＋∠C＝180°.16、如图，在△ABC中，∠BAD=∠B，∠C=∠ADC，∠BAC=60°，求∠DAC的度数.17、如图，（1）根据图形说明∠1、∠2、∠A的大小关系；（2）若∠ABD=25°，∠ACE=30°，∠A=80°，求∠1的度数.18、如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F，EC与DF平行吗？若平行，给出证明；若不平行，请说明理由.。
《命题与证明》PPT课件
你还能举出曾学过的“定义”吗？
什么是命题？
判断一件事情的句子，叫做命题.
例如： （1）任何一个三角形一定有直角. （2）对顶角相等. （3）无论n为怎样的自然数，式子n^2-
n+11的值都是质数. （4）如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互一 件事情作出任何判断，那么它就 不是命题.
八年级 上 册
命题与证明
什么是定义？
对名称和术语的含义加以描述，作出 明确的规定，也就是给出它们的定义.
例如： （1）“具有中华人民共和国国籍的人，叫
做中华人民共和国公民”是“中华人民共 和国公民”的定义
（2）“两点之间线段的长度，叫做这两点 之间的距离”是“两点之间距离”的定义
（3）“无限不循环小数称为无理数”是 “无理数”的定义
2、一般地，命题可以写成“如果……，那么……”的情势， 其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分
是 结论.
1.下列命题的条件是什么？结论是什么？ 如果两个角相等，那么它们是对顶角； 如果a≠b，b≠c，那么a≠c； 全等三角形的面积相等； 菱形的四条边都相等.
2.上述的命题中，哪些是正确的？哪些是不正确的？你怎么 知道
正它们确是的不命正题确称的为？与真同命伴题交，流不. 正确的的命题称为假命 题要. 说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例 子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论， 这种例子称为反例.
命题的特征
每个命题都由条件和结论两部分 组成.条件是已知的事项，结论 是由已知事项推论出的事项.一 般地，命题都可以写成“如 果……那么……”的情势，其中 “如果”引出的部分是条件， “那么”引出的部分是结论.
例如：
（1）你喜欢数学吗？
沪科版八年级数学上册《命题与证明》课件
总结提升
本节课我们有哪些收获？
布置作业
家庭作业：1、p78练习1、2 2、预学下一节内容。
课堂作业：习题13.2第五题、第六题；
教学反思
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月5日星期二2022/4/52022/4/52022/4/5 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/52022/4/52022/4/54/5/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/52022/4/5April 5, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
5. 若c＞a+b,则c＞a,c＞b正确吗？
不是命题
二、判断下列命题的真假.
真命题
1.有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.
2.质数不可能是偶数.
假命题
3.黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人. 假命题
4.有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.
5.若y(1-y)=0，则y=0.
假命题
6.正数不小于它的倒数.
3.定理：用推理的方判断为正确的命题；
4.公理：经过人类长期实践后公认为正确的命题；
定理.公理都可以判断其他命题真假的依 据；公理不需要再证明。
一、下列语句哪些是命题,哪些不是命题?
1. 正数大于零，零大于一切负数; 是命题
2. 两点确定一条直线;
是命题
3. 画∠AOB的平分线;
不是命题
4. 相等的角是全等三角形的对应角;是命题
命题与证明
教学目标
沪科版八年级数学上册：14.2.6全等三角形的判定方法的综合运用课件
探究点二：灵活选用合适方法证明三角形全等 例4：如图，在△ABE中，AB=AE，AD=AC， ∠BAD=∠EAC，BC、DE交于点O． 求证：（1）△ABC≌△AED； （2）OB=OE．
灿若寒星
解析：（1）由∠BAD=∠EAC可知 ∠BAC=∠EAD，所以有
可证△ABC≌△AED（SAS）； （2）由（1）知∠ABC=∠AED，AB=AE可 知∠ABE=∠AEB，所以∠OBE=∠OEB， 则OB=OE． 证明：（1）∵∠BAD=∠EAC， ∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC， 即∠BAC=∠EAD． 在△ABC和△AED中，
灿若寒星
解：（1）如果①③，那么②；如果②③，那么①． （2）对于“如果①，③，那么②”证明如下： ∵BE∥AF，∴∠AFD=∠BEC． ∵AD=BC，∠A=∠B，∴△ADF≌△BCE． ∴DF=CE．∴DF﹣EF=CE﹣EF即DE=CF． 对于“如果②，③，那么①”证明如下： ∵BE∥AF，∴∠AFD=∠BEC． ∵DE=CF，∴DE+EF=CF+EF即DF=CE． ∵∠A=∠B，∴△ADF≌△BCE． ∴AD=BC．
灿若寒星
方法总结： （1）已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或 ASA判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用 SAS判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合SSA的 情形，不能判定三角形全等． （2）添加条件时，应结合判定图形和四种方法：SSS、SAS、 ASA、AAS，注意不能是SSA的情形．
灿若寒星
【类型二】结论开放
例2：如图，点F在BC上，AB=AE，CB=FE，
∠EAB=∠CAF，请你任意写出一个正确结
论：
．
灿若寒星
沪科版数学八年级上册1命题与证明课件
1、自学中的哪些疑问得到了解决？
2、自学中还有没解决的疑问吗？
速度回顾知识点，准备检测！！
1、什么是命题？ 2、什么是真命题？什么是假命题？ 3、如何判断真假命题？ 4、命题由哪几部分组成？ 5、用“如果p,那么q”的情势有什么好处？ 6、改写命题时要注意什么？ 7、什么是互逆命题？原命题？逆命题？ 8、原命题是真命题，那么它的逆命题也 是真命题吗？
2）两条直线相交，有且只有一个交点. （√ ）真
3）不相等的两个角不是对顶角.
（√ ）真
4）一个平角的度数是180度.
（√ ）真
5）202X年是虎年. 6）取线段AB的中点C. 7）画两条相等的线段.
（√ ）假 （× ） （× ）
对某一件事情 作出正确或不 正确判断的句 子叫命题。
正确的命题叫 真命题。
4)两条直线与第三条直线相交，同位角相等。 假
命题可看做由 题设（条件） 和结论两部分 组成。
如果p,那么q .
P
题设
q
结论
4、命题的结构是什么？ 5、用“如果p,那么q”的情势有什么好处？
指出下列命题的题设和结论。 1)如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2 ；
题设： ∠1与∠2是对顶角 结论： ∠1=∠2 2)如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角 相等； 题设： 两条平行线被第三条直线所截 结论： 内错角相等
(5)上海在海上。（是）
(6)你的作业做完了吗？（不是）
2、说出下列命题的题设和结论 (1)两直线平行，内错角相等。 (2)内错角相等，两直线平行。
3、写出下列命题的逆命题： (1)如果a2=b2,那么|a|=|b| (2)对顶角相等 (3)如果一个三角形是直角三角形，那么 它的两个锐角互余。
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如何说明“对顶角相等”？
因为∠1与∠3、 ∠2 A
D
与∠3是邻补角。
O
所以∠1+∠3=180°
B
C
∠2+∠3=180°（邻补角的意义）
所以∠1+∠3= ∠2+∠3 （等量代换） 所以∠1=∠2 （等式性质）
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC， 对角线AC、BD交于点O。
问：△AOB与△DOC的面积是否相等？
A
D
O
BE
F
C
演绎证明是指:
从已知的概念 、条件出发，依据已被 确认的事实和公认的逻辑规则推导出 某结论为正确的过程。
例：已知2X+3=5 ，求X 解：因为 2X+3=5 （已知）
所以2X=2 （等式性质） 所以X=1 （等式性质）
已知:直线a、b 被直线c所截。 请问：∠1与∠2一定相等吗？为什么？
c
a
1
2
b
已知：△ABC
请证明： ∠ A+∠为EF∥BC（所作）
E
A
F
所以∠B=∠1
B
C
∠C=∠2（两直线平行，内错角相等）
因为点E、A、F在直线EF上（所作）
所以∠1+ ∠2 +∠3=180°（平角定义）
所以∠ A+∠B+ ∠C=180°（等量代换）
初中数学沪教版八年级上册 《命题和证明》
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证明是指人们为获得使人信服的 结论所采用的手段。
“神舟七号”的发射成功，标志着中国 的航天技术已达到世界领先地位。
南京大屠杀是十分残忍的，日本鬼子是 残暴无情的。
光在同种均匀介质中是沿直线传播的。
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D
1
C F
E
2
A
B
你有哪些收获?
⑴公理和定理的概念及它们的异同.
⑵什么叫证明?
⑶如何进行推理和表达?
2
l2
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
第二步： l3
1 3
在“已知”中写出条件， 在“求证”中写出结论
条件： 如图，直线 l 1 已知： 与 l 2 被 l3 所 截，∠1=∠2
结论： ∠2=∠3 求证：
2
l1
l2
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
+ （1）根据题意画出图形；
+ （2）根据题设和结论，结合图形，写出
“已知”和“求证”； + （3）经过分析，找出由已知推出结论的途 径，写出证明过程.
证明假命题的方法——举反例
例题分析
证明命题“两条直线被第三条所截，如果内错角 相等，那么同位角也相等”是真命题。
第一步：
1 3
l3 l1
根据题意，画出图形
公理和定理的共同点和不同点：
共同点：都是真命题 不同点：公理的正确性是人们长期 实践检验所证实的真命题； 定理的正确性是依赖推理证实的.
演绎推理
从已知条件出发，依据定义、基 本事实、已证定理，并按照逻辑 法则，推导出结论，这一方法称 为演绎推理（或演绎法）演绎推 理的过程，就是演绎证明，简称 证明
B
D
2
F
∴AB// CD （ 同位角相等，两直线平行 又∵ ∠1=∠2 ∴AB//EF ∴ CD // EF ∴∠3=∠4 （内错角相等，两直线平行）
）
（平行于同一直线的两直线平行 ）
（ 两直线平行，同位角相等）
课后练习P80
1、已知：如图DC//AB ，AD//BC。 求证∠A=∠C
A D
B
C
课后练习P80
已知：如图直线c与直线a、b相交，且∠1=∠2。 求证：a ∥ b
l3
1 2 3
l1
l2
例4：已知:如图, ∠AOB+∠BOC=180°,OE
平分∠AOB,OF平分∠BOC,E来自B F 1 2 O C
求证:OE⊥OF
A
1. 已知，如图，AB⊥BF， A CD⊥BF，∠1=∠2 1 求证： ∠3=∠4 C 3 证明:∵ AB⊥BF， （已知 ） 4 CD⊥BF E （ 垂直定义 ） ∴∠ B=∠CDF=90° （已知）
+ + + + + + +
1、复习上节课的内容 2、什么叫做定义 3、什么叫做公理 4、什么叫做定理 5、什么叫做证明（演绎推理） 6、证明真命题的一般步骤 7、例题分析
+ 举例
（1）对顶角相等； 假命题 （2）互为补角的两个角都是锐角； （3）两直线平行，同位角相等； （4）两条平行线被第三条直线所截，如果内 错角相等，那么这两条直线平行. 命题的结构： 题设 结论
两点之间，线段最短
+ 平行线的基本事实：
过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线
+ 举例
（1）能够被2整除的整数叫做偶数； （2）由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所 组成的封闭图形叫做三角形； （3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
问：你还能举出 一些例子吗？
+ 公理：人们从长期的生活实践中总结出来的
已知： 如图，直线 l 1 与 l 2 被 l3 所 截，∠1=∠2 第三步：
在“证明”中写出推理过程， 并且步步有依据。
l3
1
求证： ∠2=∠3
3
证明： ∵∠1=∠2 ∴∠2=∠3
l1
（ 已知 ） 2
∠1=∠3 （对顶角相等）
（等量代换）
l2
例2. 证明：邻补角的平分线互相垂直。
（自己尝试证明）
命题的一般表述：如果……，那么……
(1）两直线平行，同位角相等； 真
题设 结论
（2）在一个三角形中，等边对等角； 真
在一个三角形中有两条边相等
题设 两个数的乘积为1 题设
这两条边所对应的角相等 结论
（3）乘积为1的两个数互为倒数；
两个数互为倒数 结论
真
+ 直线的基本事实：
两点确定一条直线
+ 线段的基本事实：
真命题叫做公理，可以作为判断其他命题真 假的原始依据。 举例：两点之间，线段最短； 两直线平行，同位角相等. + 定理：从公理或其他真命题出发，用推理方 法证明为正确的、并进一步作为判断其他命 题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 举例：两直线平行，内错角相等； 如果两个三角形三条边相等，那么两 个三角形全等.