4 流体动力学基础

4.2 元流的伯努利方程
4.2.1理想流体运动微分方程的伯努利积分
将理想流体运动微分方程的各式分别乘以dx、 dy、dz，然后相加，得
1 p p p Xdx Ydy Zdz ( dx dy dz ) x y z d uy d ux d uz dx dy dz dt dt dt
引入限定条件： 1）作用在流体上的质量力只有重力
X=Y=0
Z=-g
Xdx+Ydy+Zdz=-gdz 2）不可压缩流体，恒定流 ρ=常数 p=p(x,y,z)
1 p p p 1 p dy dz ) dp d ( ) 则 ( dx x y z
3）恒定流，流线与迹线重合 dx=uxdt, dy=uydt, dz=uzdt 则 2 2 2 2 d u u u u d ux d uz u y x y z dx dy dz d ( ) d( ) dt dt dt 2 2
将三个限定条件代入前式，积分得：
u2 gz c 2 p
或
p u2 z c g 2g
也可以写成
p1 u12 p2 u2 2 z1 z2 g 2g g 2g p
将流体重度γ=ρg代入上式，得
u2 z c 2g
上述积分称为伯努利积分，所得结果称为 伯努利方程，以纪念1738年瑞士物理学家 伯努利根据动能原理提出的与上述结果相 同的公式。
4.2.2 理想流体元流伯努利方程的物理意 义和几何意义
物理意义
Z 单位重量流体的位能（比位能）
几何意义
位置水头 压强水头 速度水头 测压管水头 总水头
p g 单位重量流体的压强势能（比压能）
u2 2 g 单位重量流体的动能（比动能） p z 单位重量流体的总势能（比势能） g p u2 z 单位重量流体的总能量（总比能） g 2 g
v 8.28m / s
Q vA 0.065m3 / s
作压力线 117.6 156.8 27.4 246.8
例：空气由炉口a流入，通过燃烧，经b、c、 d后流出烟囱，空气ρa=1.2kg/m3，烟气 ρ=0.6kg/m3，损失压强pw=29ρv2/2，求出口 流速，作出压力线，并标出c处的各种压强。 解：取a、d断面列能量方程
dH dhw' J dl dl
4.3 实际流体总流的伯努利方程
4.3.1 总流的伯努利方程
1）渐变流及其性质
均匀流： 流线平行
非均匀流
渐变流：流线近于平行 急变流
均匀流过流断面的压强分布
p1A glA cos p2 A
l cos z1 z2
p1 p2 z1 z2 c ——服从流体静力学规律 g g
v2 v2 a g z2 z1 29 2 2 v2 v2 1.2 0.6 9.8 50 0.6 29 0.6 2 2 2
v 294 30 0.6 2
v 5.7m / s
作压力线
c点：
总压 pcc2 ↑ 势压 pcc1 ↑ 静压 pc3c1 ↓ 全压 pc3c2 ↓
解：选基准面0-0与水池液面1-1重合， 列1-1、2-2断面的伯努利方程 2 p1 1v12 p2 2v2 z1 z2 hw g 2g g 2g
式中：Z1=0，Z2=Hs=5m，p1=0， v1=0，v2=Q/A=0.708m/s，代入 0=5+p2+0.7082/(2×9.807)+0.25 p2=-51740Pa 即p2v=51740Pa
解： （a）管内为空气时，取A、C断面列能量方程
v2 v2 pA 9 2 2 v2 v2 12 9.8 1.2 9 1.2 2 2
v 4.43m / s
Q vA 0.0348 m3 / s
作压力线 pA 12 9.8 117.6Pa
v2 11.6 Pa 2
v2 9 106Pa 2
（b）管内为燃气时，取A、C断面列能量方程
v2 v2 p A a g z2 z1 9 2 2
v2 v2 12 9.8 1.2 0.8 9.8 40 0 0.8 9 0.8 2 2
（1）势能积分
p p p z g gdQ z g gQ z g gdQ
（2）动能积分
u2 u2 1 3 gdQ gudA g u dA 2g 2g 2g
总流的伯努利方程与元流的伯努利方程关系： （1）z1、z2——总流过流断面上同一流线上
的两个计算点相对于基准面的高程；
（2）p1、p2——对应z1、z2点的压强（同为绝
对压强或同为相对压强）；
（3）v1、v2——断面的平均流速。
4.3.2 总流伯努利方程的应用条件和应用 方法
应用条件:恒定流、质量力只有重力、不可压 缩流体、过流断面为均匀流（渐变流）、两断 面之间无分流或汇流。 应用步骤和方法:
4.4 总流的动量方程和动量矩方程
在许多工程实际问题中，可以不必考虑流 体内部的详细流动过程，而只需求解流体边界 上流体与固体的相互作用，这时常常应用动量 定理直接求解显得十分方便。例如求弯管中流 动的流体对弯管的作用力，以及计算射流冲击 力等。由于不需要了解流体内部的流动型式， 所以不论对理想流体还是实际流体，可压缩流 体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。
分析流动 选取基准面：一般选在较低断面形心。 选取计算断面：应选在渐变流处，尽量使已知条件 最多，如自由液面、管道出口等。 选择计算点：有压管流一般选在管道中心，明渠自 由流一般选在自由液面上。 方程两边压强基准要相同，一般用相对压强。 全面分析两计算断面之间的能量损失。
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水 面与管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒 定，水头损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作 出水头线。 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努 利方程 2
总水头线
测压管水头线
位置水头线
• 1、水管直径d=50mm，末端阀门关闭时， 压力表读值为PM1=21kPa，阀门打开后读 值为PM2=5.5kPa，不计水头损失，求通过 阀门的流量。 • 2、油在管道中流动，直径dA=0.15m， dB=0.1m，VA=2m/s，水头损失不计，求B 点处测压管高度hC。
2）用相对压强计算
p1ab p1 pa1
p2ab p2 pa 2 p2 pa1 a g z2 z1
p1
v12
2
a g z2 z1 p2
2 v2
2
pw
——用相对压强计算的气体伯努利方程
p1
v12
2
a g z2 z1 p2
2 v2
Hale Waihona Puke Baidu
2
pw
p——静压 ρv2/2——动压 (ρa-ρ)g(z2-z1)——位压
注意：z2-z1——下游断面高度减上游断面高度（±）； ρa-ρ——外界大气密度减管内气体密度（±） ； z2=z1或ρa=ρ——位压为零
3）压力线
静压+动压=全压
静压+动压+位压=总压
例：气体由压强为12mmH2O的静压箱A经过 直径为10cm、长为100m的管子流出大气中， 高差为40m，沿管子均匀作用的压强损失为 pw=9ρv2/2，大气密度ρa=1.2kg/m3，（a）当管 内气体为与大气温度相同的空气时；（b）当 管内为ρ=0.8kg/m3燃气时，分别求管中流量， 作出压力线，标出管中点B的压强。
• 3、水在变直径竖管中流动，已知粗管直径 d1=300mm，流速V1=6m/s。装有压力表的 两断面相距h=3m，为使压力表读值相同， 试求细管直径（水头损失不计）。 • 4、变直径管段AB，dA=0.2m，dB=0.4m， 高差h=1.5m测得PA=30kPa，PB=40kPa， Ｂ点断面平均流速VB=1.5m/s，试求两点间 的水头损失hAB。
p3 v p1 v z1 z3 hw13 g 2 g g 2 g
2 1 1 2 3 3
4.3.5 恒定气体总流的伯努利方程
1）用绝对压强计算
2 p1ab v12 p2ab v2 z1 z2 hw g 2 g g 2 g
用压强单位（Pa）表示 2 2 v1 v2 gz1 p1ab gz2 p2 ab pw 2 2

v 3
2g
gA
v 2
2g
gQ

3 u dA
v3 A
——动能修正系数
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
（3）水头损失积分
hw ' gdQ hw gQ
2 p1 1v12 p2 2v2 z1 z2 hw g 2 g g 2 g
——总流的伯努利方程
例
pB gh ' gh
pB ' gh gh
2）总流的伯努利方程
元流的伯努利方程
p1 u p2 u z1 z2 hw ' g 2 g g 2 g
2 1 2 2
两边同乘以ρgdQ，积分
2 2 p1 u1 p2 u 2 gdQ z2 gdQ z h ' 1 w g 2 g g 2 g
v2 2 g H hw 4.43m / s
v2 H 00 hw 2g
Q v2 A2 0.035m / s
3
作水头线
例 已知离心泵抽水量Q=5.56L/s，泵的安装高度 Hs=5m，吸水管直径d=100mm，吸水管的水头损失 hw=0.25m，试求水泵进口断面2-2的真空度。
• 5、管道流动，管径d=150mm、喷嘴出口 直径dD=50mm，各点高差h1=2m、h2=4m、 h3=3m，不计水头损失，求A、B、C、D压 强。
4.2.3 实际流体元流的伯努利方程
2 p1 u12 p2 u2 z1 z2 hw ' g 2 g g 2 g
/ 式中：hw ——单位重量流体的能量（水头） 损失。 水力坡度：
p dx p dx (p )d ydz ( p )d ydz X dxd ydz x 2 x 2 du x dxd ydz dt
1 p d ux 整理后，得 X x dt 1 p d ux 同样可得到y轴方向和z X x d t 轴方向上的运动微分方 程。于是，理想流体的 1 p d uy Y 运动微分方程（1755年 y dt 欧拉提出）为： 1 p d uz Z z dt
4.3.3 有能量输入或输出的伯努利方程
Hi
Ho
2 p1 1v12 p2 2v2 z1 H i z2 H 0 hw g 2 g g 2 g
4.3.4 两断面间有合流或分流的伯努利方程
2 p1 1v12 p2 2 v2 z1 z2 hw12 g 2 g g 2g
4 流体动力学基础
4.1 理想流体运动微分方程
在流动的流体中取出一边长分别为dx、dy、 dz，平均密度为ρ的微元平行六面体作为研 究对象。由于是理想流体，所以作用在微元 六面体上的外力只有质量力和垂直于表面的 压力，而没有粘性力。微元六面体的形心A点 的坐标为(x，y，z)，速度为u，速度分量分 别为ux、uy、uz，压力为p。作用在微元六面 体上的单位质量力的分量分别为X、Y和Z。则 按牛顿第二定律ΣF=ma，可以得到x轴方向的 运动微分方程: