材料力学第六章静不定
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A
F
14
静不定结构的特点（2） ——装配应力
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
静不定结构 ？——产生装配应力
材料力学
.
15
已知三根杆EA相同，1杆有制造误差d，
求装配后各杆的应力。
解：因制造误差，装配时各杆必须变形，
因此产生装配内力。 一次静不定问题。 平衡方程：FN2=FN3
FN1－2FN2cosq=0
变形协调方程 。
材料力学
.
4
拉压静不定问题的解法
（1）静力平衡方程——力学——原有基础 （2）变形协调方程——几何——灵活思考 （3）材料本构方程——物理——构筑桥梁 （4）方程联立求解——代数——综合把握
材料力学
.
5
图示结构，求各杆轴力。
解：1、判断：一次静不定。 2、列平衡方程
F N 2sin F N 3sin 0
FN1
FN2
FN3
qq
A
几何方程：l1＋l2 / cosq =d 物理方程： l1FENA1ll2FN2EcA olsql3
B
2
l1 l2
C
D
1
3
l
d
qq
A
注意1杆变形计算时用l
物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得
qqd qqd F N 1 1 2 2 c o c s o 3 s 3
B
C
E1A1 l1
E2A2 l2
D E3A3 l3=E2A2 l2
FN2 FN3
F N 1 F N 2 c o s F N 3 c o s F 0
3、列几何(变形协调)方程
l3 l1cos
4、列物理方程
Baidu Nhomakorabea
y
l3
A FN2
FN1 FN3
F
l1
x
l1F EN 1A 1l1 1， l2l3F EN 22 A l2 2
材料力学
.
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联 立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
2
l2 l2
2l1 2l1
11
图示静不定结构， 可列如右变形图。 ∆l1
a
a
∆l1
1
2
3
∆l2 （a）
∆l2 （b）
几何方程
∆l3
2l2=l1 +l3
∆l3 2(l2+l1 ) = l3 +l1
刚体
F
∆l1
∆l2
2(l2+l3 ) =l1 +l3
（c）
∆l3
材料力学
.
12
还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。
5、多余约束力：多余约束提供的约束力。 静不定次数 = 多余约束力数目
材料力学
.
3
二、拉压静不定问题的解法
1、判断静不定次数； 2、列静力平衡方程； 3、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系，具体问题需
具体分析。一般通过“变形几何图”列方程。 特别注意：力与变形相对应！！ （即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应） 4、列物理方程：变形与力的关系； 5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得
材料力学
.
1
3、静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差。 也是需要补充的方程数目。
材料力学
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
.
2
4、多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束。若没有这 些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定)
代入变形协调方程得补充方程
2FN 22FN 1FN 3
联立平衡方程求得
FN114232 3F0.76F
FN2
3
32F0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
FN332232 3F1.24F()
内力假设与变形假设应一致。 内力假设受拉，变形只能假设伸长。 内力假设受压，变形只能假设缩短。
材料力学
.
FN1
FN2
FN3
∆l1
∆l2
∆l3
（a）
∆l1 ∆l2
（b）
对应受力图
∆l3
∆l1 ∆l2
（c）
∆l3
（a） F
FN1
FN2
FN3
（b） F
FN1
FN2
FN3
（c） F
材料力学
.
13
静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大
A
F
材料力学
.
C
刚度增加 内力不变
F
5、列补充方程
将物理方程代入几何方程得补充方程
材料力学
.
6
FN2l2FN3l3FN1l1cos
E2A2 E3A3 E1A1
解得
FN1
1
F 2E2A2l1
cos2
E1 A1l2
FN2 FN3 2cosE F2A E21l1 Ac1lo2s
材料力学
.
7
OAB为刚性梁，写几何方程。
450
①
②
O
A
lE A F N 2 = F N 3 1 c 2 o c s 2 o s 3
E A ( ) l
材料力学
.
16
1 1 2 2 c o c s o 3 s q 3 qd lE 2 = 3 1 c 2 o c so 2 q s3 qd lE
l1 l1
1
2 E2 1 1 E1
材料力学
.
9
图示支架承受力F 作用，①杆的抗拉刚度 为EA，②杆的抗拉刚度为1.5EA，③杆的
B
①
抗拉刚度为2EA。求各杆的轴力。 解：平衡方程为
C
②
300
300
A
FN1cos300FN2FN3cos3000 FN1sin300FN3sin300F0
③
F
D
l
第六章 简单超静定问题
§6.1～§6.2 概述及拉压静不定问题
一、静定静不定概念 1、静定问题——仅用静力平衡方程就能求出全部未知 力，这类问题称为静定问题. 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。 2、静不定问题——仅用静力平衡方程不能求出全部未 知力。又称超静定问题。 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
变形协调方程
l3 A l2
FN1
l3 sin 300
l2
cot
300
300
l1 FN2
A
300
FN3
(l1
l2 cos 300
sin 300
)
l2
tan
300
F
300
化简得
3l2 l1l3
300 300
材料力学
.
10
物理关系为
l1FN 1 EA 23l， l21F .5N E 2lA， l3FN 2 3EA 23l
B
l
l1 l l2
l
OAB为刚性梁， ①、②两杆材料相同， 抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。
F
①
F
O
B l1 C
bA
l2 sin 45o
2l1
②
l
l
l
EAsF in N 1 2 clos2EAsiF nN b2closb
FN1 sin 2 FN2 sin 2b
l1 2 l2
sin sin b
l1F E N A 1(co 2 sl)， l2F E N A 2(colsb)
F
14
静不定结构的特点（2） ——装配应力
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
静不定结构 ？——产生装配应力
材料力学
.
15
已知三根杆EA相同，1杆有制造误差d，
求装配后各杆的应力。
解：因制造误差，装配时各杆必须变形，
因此产生装配内力。 一次静不定问题。 平衡方程：FN2=FN3
FN1－2FN2cosq=0
变形协调方程 。
材料力学
.
4
拉压静不定问题的解法
（1）静力平衡方程——力学——原有基础 （2）变形协调方程——几何——灵活思考 （3）材料本构方程——物理——构筑桥梁 （4）方程联立求解——代数——综合把握
材料力学
.
5
图示结构，求各杆轴力。
解：1、判断：一次静不定。 2、列平衡方程
F N 2sin F N 3sin 0
FN1
FN2
FN3
A
几何方程：l1＋l2 / cosq =d 物理方程： l1FENA1ll2FN2EcA olsql3
B
2
l1 l2
C
D
1
3
l
d
A
注意1杆变形计算时用l
物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得
qqd qqd F N 1 1 2 2 c o c s o 3 s 3
B
C
E1A1 l1
E2A2 l2
D E3A3 l3=E2A2 l2
FN2 FN3
F N 1 F N 2 c o s F N 3 c o s F 0
3、列几何(变形协调)方程
l3 l1cos
4、列物理方程
Baidu Nhomakorabea
y
l3
A FN2
FN1 FN3
F
l1
x
l1F EN 1A 1l1 1， l2l3F EN 22 A l2 2
材料力学
.
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联 立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
2
l2 l2
2l1 2l1
11
图示静不定结构， 可列如右变形图。 ∆l1
a
a
∆l1
1
2
3
∆l2 （a）
∆l2 （b）
几何方程
∆l3
2l2=l1 +l3
∆l3 2(l2+l1 ) = l3 +l1
刚体
F
∆l1
∆l2
2(l2+l3 ) =l1 +l3
（c）
∆l3
材料力学
.
12
还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。
5、多余约束力：多余约束提供的约束力。 静不定次数 = 多余约束力数目
材料力学
.
3
二、拉压静不定问题的解法
1、判断静不定次数； 2、列静力平衡方程； 3、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系，具体问题需
具体分析。一般通过“变形几何图”列方程。 特别注意：力与变形相对应！！ （即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应） 4、列物理方程：变形与力的关系； 5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得
材料力学
.
1
3、静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差。 也是需要补充的方程数目。
材料力学
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
.
2
4、多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束。若没有这 些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定)
代入变形协调方程得补充方程
2FN 22FN 1FN 3
联立平衡方程求得
FN114232 3F0.76F
FN2
3
32F0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
FN332232 3F1.24F()
内力假设与变形假设应一致。 内力假设受拉，变形只能假设伸长。 内力假设受压，变形只能假设缩短。
材料力学
.
FN1
FN2
FN3
∆l1
∆l2
∆l3
（a）
∆l1 ∆l2
（b）
对应受力图
∆l3
∆l1 ∆l2
（c）
∆l3
（a） F
FN1
FN2
FN3
（b） F
FN1
FN2
FN3
（c） F
材料力学
.
13
静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大
A
F
材料力学
.
C
刚度增加 内力不变
F
5、列补充方程
将物理方程代入几何方程得补充方程
材料力学
.
6
FN2l2FN3l3FN1l1cos
E2A2 E3A3 E1A1
解得
FN1
1
F 2E2A2l1
cos2
E1 A1l2
FN2 FN3 2cosE F2A E21l1 Ac1lo2s
材料力学
.
7
OAB为刚性梁，写几何方程。
450
①
②
O
A
lE A F N 2 = F N 3 1 c 2 o c s 2 o s 3
E A ( ) l
材料力学
.
16
1 1 2 2 c o c s o 3 s q 3 qd lE 2 = 3 1 c 2 o c so 2 q s3 qd lE
l1 l1
1
2 E2 1 1 E1
材料力学
.
9
图示支架承受力F 作用，①杆的抗拉刚度 为EA，②杆的抗拉刚度为1.5EA，③杆的
B
①
抗拉刚度为2EA。求各杆的轴力。 解：平衡方程为
C
②
300
300
A
FN1cos300FN2FN3cos3000 FN1sin300FN3sin300F0
③
F
D
l
第六章 简单超静定问题
§6.1～§6.2 概述及拉压静不定问题
一、静定静不定概念 1、静定问题——仅用静力平衡方程就能求出全部未知 力，这类问题称为静定问题. 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。 2、静不定问题——仅用静力平衡方程不能求出全部未 知力。又称超静定问题。 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
变形协调方程
l3 A l2
FN1
l3 sin 300
l2
cot
300
300
l1 FN2
A
300
FN3
(l1
l2 cos 300
sin 300
)
l2
tan
300
F
300
化简得
3l2 l1l3
300 300
材料力学
.
10
物理关系为
l1FN 1 EA 23l， l21F .5N E 2lA， l3FN 2 3EA 23l
B
l
l1 l l2
l
OAB为刚性梁， ①、②两杆材料相同， 抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。
F
①
F
O
B l1 C
bA
l2 sin 45o
2l1
②
l
l
l
EAsF in N 1 2 clos2EAsiF nN b2closb
FN1 sin 2 FN2 sin 2b
l1 2 l2
sin sin b
l1F E N A 1(co 2 sl)， l2F E N A 2(colsb)