矩阵的特征值和特征向量习题
第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
n
a2 j a22
j 1
a2n 0
n
anj an2 ann
j 1
1 a12 a1n
1
( a)
a22
a2n
0
1 an2 ann
a 是矩阵A的特征值。
1 1
(
2
)
A
1
a
1
1 1
1 1
A
k 1
a
k
1
1
1
b11
设
Ak
1
1
0 1
1 1,2 1 1,
1
（方法最普通，也是 最常用的 ）
3
0
2
(2,2) (2,2)
2
12 1 2 1
（方法二） 1 1 1
设
1
1,
1
1,
0
00,（方但法较普麻通烦，）
已知 1,,, 线性无关，
然后将其正交化即得 1,2,3
（方法三）（方法较好，但太特殊）
已知
2 0 1 3 1 x 0 4 0 5
(1)2
1 0
4 5
(1)2(6)0
因为矩阵A是可以对角化的，所以当1 2 1时，
(EA)X 有两个线性无关的特征向量。
R(EA)1 1 0 1 (E A) 3 0 x 4 0 4
1 0 1 1 0 1 ~ 3 0 x ~ 0 0 x 3
A1 AT
B
1
BT
(A) 1 B B 1A 1B TA T (A)T B
（方法二）
A,B都是n阶正交矩阵，
AAT AT A E BBT BTB E
(A)B A ( )B TAB TAT BAE TA E (A)B T(A)B BTATA BBTE BE
线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题
第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。
则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。
习题六特征值与特征向量
习题六 特征值与特征向量1. 求下列矩阵的特征值和特征向量()()131200012010100⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 设100212121A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求A 的特征值及特征子空间。
3. 设线性变换ϕ在基123,,εεε下的矩阵是320416482A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求的特征值与特征向量。
4. 设A 、B 都是n 阶方阵，且0A ≠，证明AB 与BA 相似。
若0A =，结论如何？5. 已知矩阵74147144A x -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦的特征值，求x 与A 的特征向量。
6. 证明：（1）若A 是n 阶幂等矩阵（即A 2=A ）,则A 的特征值是1或0；（2）若A 是n 阶对合矩阵（即A 2=I ），则A 的特征值是1或-1；（3）反对称实矩阵的特征值为0或纯虚数；（4）n 阶幂零矩阵（A k =0，k 为正整数）只有0为特征值。
7. 设A 的对应于特征值0λ的特征向量为X ，证明： （1） X 是A m 的对应于特征值0m λ的特征向量；（2） 对于多项式()f λ，X 是f(A)的对应于特征值0()f λ的特征向量。
8. 若A 是可逆的，A 、A *、A -1三个矩阵的特征值与特征向量之间的关系如何？9. 设λ是n 阶方阵A 的特征值，证明： （1） 21λλ++是A 2+A+I 的特征值； （2） 若A 可逆，Aλ是A *的一个特征值。
10. 设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，12,αα分别是A 的属于12,λλ的特征向量，试证：12αα+不是A 的特征向量。
11. 设 0411100A x y x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦、是实数 （1） 求A 的特征多项式；（2） 若A 相似于对角阵，求x 、y 应满足何种条件； （3） 若A 正交相似于实对角阵，x 、y 又如何？ 12. 设3阶方阵A 的特征值为0，1，-1，对应的特征向量为 X 1=(1,0,0)T , X 2=(1,1,0)T , X 3=(0,1,1)T ,求A 及A 2n 。
矩阵的特征值和特征向量 习题
3
3 例1 计算 3阶实矩阵 A = 2 4 和特征向量.
解 第一步
2 0 2
4 2 的全部特征值 3
计算 A 的特征多项式
λ−3 −2 f ( λ ) = λE − A = − 2 λ
−4
= (λ − 8) (λ + 1) .
2
−4 −2 −2 λ−3
4
第二步
求出特征多项式 f ( λ )的全部根 ,即 A
9
1 其解为λ1 = 1，k1 = −2；λ2 = ，k2 = 1. 4 −1 故k = −2或1时，α 是A 的特征向量。
2 1 1 1 例3.设矩阵A = 1 2 1 可逆，向量α = b 是 1 1 a 1 矩阵A∗的一个特征向量，λ是α 对应的特征值， 其中A∗是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和λ的值。
11
A 3+b = λ A 由此，得方程组 2 + 2b = b λ A a + b + 1 = λ
解方程组得a = 2, b = 1或b = 2。
12
2 1 1 由于 A = 1 2 1 = 3a − 2 = 4， 1 1 a 由方程组的第一个方程知， 4 特征向量α 所对应的特征值λ = = 。 3+b 3+b
8
2 1 1 T 例2.已知向量α = 1, k ,1) 是矩阵A = 1 2 1 的逆阵 （ 1 1 2 −1 A 的特征向量，试求常数k的值。（ 1991年数学5）
解：设λ是α 所属的A 的特征值，即A α = λα，
−1 −1
于是λ Aα = α，即
2 1 1 1 1 λ 1 2 1 k = k 1 1 2 1 1
3.1 矩阵的特征值和特征向量
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
5. 设λ0是n阶矩阵A的一个特征值 , 试证 (1) kλ0是kA的一个特征值 ( k为常数 );
m ( 2) λ0 是Am的一个特征值 ( m为常数 );
( 3) 若A可逆 , 则 ( 4) 若A可逆 , 则
1
λ0
A
是A−1的一个特征值; 是 A 的一个特征值;
习题二第11题 习题二第11题
设 n阶矩阵 A各行的元素之和均为零 , 且 r ( A ) = n − 1. 求齐次线性方程组 AX = O的全部解 .
练习2.5第 练习2.5第3题: 矩阵, 矩阵. 证明AB 设 A 为m × n 矩阵, B为 n × s 矩阵. 证明AB = O ⇔ B 的解. 的每一个列向量均为齐次线性方程组 AX = O 的解.
第三章
1. 设 A 是 n 阶矩阵，则 A 与 AT 具有相同的特征值. 阶矩阵， 具有相同的特征值. 3. 设 λ1 , λ2 , … λm 是方阵 A 的 m 个互异特征值, α1 , α2 , 个互异特征值, 依次是与之对应的特征向量, … , αm 依次是与之对应的特征向量, 则 α1 , α2 , … , αm 线性无关. 线性无关. 4. 设 n 阶矩阵 A 的互异特征值为 λ1 , λ2 , … λm . A 的属于 λi 的线性无关的特征向量为 则向量组
*
λ0
( 5) 对任意数 k , k − λ0是kE − A的一个特征值 .
P16P16-15
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
7. 设 λ1 , λ2是 n阶矩阵 A的两个不同特征值 , 对应的特征向量 分别为 α 1 , α 2 , 试证 c1α 1 + c 2α 2 ( c1 ≠ 0, c 2 ≠ 0 )不是 A的特征 向量 .
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题在线性代数中，特征值与特征向量是重要的概念。
特征值与特征向量的研究对于解决矩阵和线性变换的问题具有重要意义。
本文将为你提供一些特征值与特征向量的练习题，帮助你加深对这些概念的理解。
练习题一：考虑以下矩阵A:A = | 3 4 || 2 1 |问题一：找出矩阵A的特征值和对应的特征向量。
解答一：首先，我们需要找到矩阵A的特征值λ，通过求解矩阵A的特征方程来得到。
特征方程的形式为| A-λI |=0，其中I是单位矩阵。
我们可以写出矩阵A-λI的形式：A-λI = | 3-λ 4 || 2 1-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(3-λ)(1-λ)-(4)(2) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ - 5 = 0解方程，得到特征值λ1=5和λ2=-1。
接下来，我们需要找到对应于特征值λ1和λ2的特征向量。
我们可以通过解线性方程组(A-λI)x=0，来得到特征向量。
首先，对于特征值λ1=5，我们可以得到线性方程组：(-2)x1 + 4x2 = 02x1 - 4x2 = 0解方程组，得到x1=2和x2=1。
因此，特征向量v1=(2,1)。
然后，对于特征值λ2=-1，我们可以得到线性方程组：4x1 + 4x2 = 02x1 + 2x2 = 0解方程组，得到x1=-1和x2=1。
因此，特征向量v2=(-1,1)。
练习题二：考虑以下对称矩阵B:B = | 2 -1 || -1 2 |问题二：找出对称矩阵B的特征值和对应的特征向量。
解答二：由于对称矩阵的特征值与特征向量具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来求解。
首先，我们可以通过求解特征方程来得到矩阵B的特征值。
特征方程的形式为| B-λI |=0，其中I是单位矩阵。
我们可以写出矩阵B-λI的形式：B-λI = | 2-λ -1 || -1 2-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(2-λ)(2-λ)-(-1)(-1) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ + 3 = 0解方程，得到特征值λ1=1和λ2=3。
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面是一些关于特征值和特征向量的练习题。
1、设矩阵A的元素如下：2 -3 41 -1 10 1 -2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
2、设矩阵A的元素如下：1 2 34 5 67 8 9矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
3、设矩阵A的元素如下：2 1 00 2 10 0 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
4、设矩阵A的元素如下：csharp1 0 00 2 -10 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
5、设矩阵A的元素如下：lua1 0 0 00 2 -1 -10 -1 2 -10 -1 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中两个非常重要的概念，它们在许多数学领域中都有广泛的应用，包括解决线性方程组、研究矩阵的性质、以及在机器学习和数据科学中等。
一、特征值特征值是矩阵的一个重要属性，它可以通过对矩阵进行特定的数学操作来得到。
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特征值的性质可以通过矩阵的特征多项式来研究。
特征多项式f(x) = |xI - A|，其中I是单位矩阵，A是给定的矩阵。
特征多项式的根就是矩阵的特征值。
二、特征向量特征向量是矩阵对应于特征值的向量。
它与特征值有密切的关系，并且在解决线性代数问题中发挥着重要的作用。
设A是n阶方阵，如果存在非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特别地，如果λ是矩阵A的特征值，那么对于任何使得|xI - A|= 0成立的x，我们都有(xI - A)v = xv - Av = (x - λ)v，这表明v 也是对应于x的特征向量。
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 3. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛633312321.4. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同.5. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ⨯n B n ⨯m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值.6. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |.7. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |.8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x .9. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由.10. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022化为对角阵.11. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.12. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .13. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .14. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=340430241A , 求A 100.。
矩阵的特征值和特征向量
第四章 矩阵的特征值和特征向量例1 求下列矩阵的特征值与特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ，并判断它能否相似对角化。
若能，求可逆阵P ，使∧=-AP P 1（对角阵）。
例2 已知三阶方阵A 的三个特征值为4,3,2-，则1-A 的特征值为_______，T A 的特征值为_______，*A 的特征值为_______，E A A 232+-的特征值为_______例3 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量，则y x ,应满足条件_______例 5 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10200002与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10000002y B 相似，则____________==y x例6 设n 阶方阵A 满足0232=+-I A A ，求A 的特征值例7 已知向量T k )1,,1(=ξ是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k例8 设A 为非零方阵，且0=m A (m 为某自然数)，证明：A 不能与对角阵相似例9 设n 阶方阵A 满足01072=+-I A A ，求证：A 相似于一个对角矩阵结 论 总结1 n 阶方阵A 有n 个特征值，它们的和等于A 的主对角线元素之和(即A 的逆trA )，它们的乘积等于A 的行列式A2 如果m λλ,,1 是方阵A 的特征值，m P P ,,1 是与之对应的特征向量，如m λλ,,1 互不相等时，m P P ,,1 线性无关3 如果n 阶方阵A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值4 如果n 阶方阵A 与对角阵∧相似，则∧的主对角线元素就是A 的n 个特征值5 n 阶方阵A 与对角阵∧相似，即A 可相似对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量6 如果n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似，即A 可相似对角化7 实对称矩阵的特征值全为实数8 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交9 对实对称矩阵n n A A ⨯=，必存在正交矩阵P ，使∧=-AP P 1，其中∧是以A 的n 个特征值为主对角线元素的对角阵10 方阵A 可逆的充要条件是A 的特征值全不为零习 题一、单项选择题1. 设001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。
特征值与特征向量复习题
二、选择题
⎡4 − 5 2⎤ 1．设 A = ⎢⎢5 − 7 3⎥⎥ ，则以下向量中是 A 的特征向量的是（ ）.
⎢⎣6 − 9 4⎥⎦
（A）[1, 1, 1]T （B）[1, 1, 3]T （C）[1, 1, 0]T （D）[1, 0, − 3]T
2．设 A,B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，则（ ）.
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦
时，求
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
xn+1 yn+1
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
.
11．设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2，λ1 = λ2 = 6 是 A 的二重特征值.若α1 = [1,1,0]T ,
α 2 = [2,1,1]T , α3 = [−1,2,−3]T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量. （1） 求 A 的另一特征值和对应的特征向量； （2） 求矩阵 A.
四、证明题 1．设 A 为正交矩阵，若|A|=-1，试证：A 一定有特征值-1.
2．设 A,B 均为 n 阶方阵，且 r( A) + r(B) < n . 试证：A,B 有公共的特征向量.
3．设 A 是 n 阶方阵，任一非零的 n 维向量都是 A 的特征向量. 试证：
⎡λ
0⎤
⎢
A
=
⎢ ⎢
λ O
⎥ ⎥ ⎥
6
练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过
培养及实践至年终考核有 2 成为熟练工. 设第 n 年 1 月份统计的熟练工和非熟练 3
工所占百分比分别为
xn和yn
，记成向量
⎡ xn
⎢ ⎣
y
n
⎤ ⎥ ⎦
考研数学一(矩阵的特征值与特征向量)-试卷1
考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）-试卷1(总分：76.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则伴随矩阵A *的一个特征值是（分数：2.00）A.λ－1｜A｜n－1．B.λ－1｜A｜．√C.λ｜A｜．D.λ｜A｜n－1．解析：解析：如Aα=λα，则A －1α．故选(B)．3.设A=2是可逆矩阵A的一个特征值，则+E（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：如Aα=λα，则+1)α．当λ=2(C)．4.设A是3阶不可逆矩阵，α1，α2是Ax=0的基础解系，α3是属于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是（分数：2.00）A.α1 +3α2．B.α1一α2．C.α1 +α3．√D.2α3．解析：解析：如Aα1 =λα1，Aα2 =λα2，则 A(k 1α1 +k 2α2 )=k 1 Aα1 +k 2 Aα2 =k 1λα1 +k 2λα2 =λ(k 1α1 +k 2α2 )．因此k 1α1 +k 2α2是A的特征向量，所以(A)、(B)、(D)均正确．设Aβ1 =λβ1，Aβ2 =μβ2，λ≠μ，若A(β1 +β2 )=k(β1 +β2 )，则λβ1 +μβ2 =kβ1 +kβ2．即有 (λ－k)β1 +(μ—k)β2 =0．因为λ—k，μ一k不全为0，与β1，β2是不同特征值的特征向量线性无关相矛盾．从而α1 +α3不是A的特征向量．故应选(C)．5.设α0是A属于特征值λ0的特征向量，则α0不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(A+E) 2．B.一2A．C.A T．√D.A *．解析：解析：由｜λE一A T｜=｜(λE—A) T｜=｜λE一A｜，知A与A T有相同的特征值，但方程组(AE—A)x=0与(AE—A T )x=0不一定同解，故A与A T特征向量不一定相同．故应选(C)．6.（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：(A)是实对称矩阵，(C)有3个不同的特征值，均可对角化．(B)和(D)特征值都是0，0，3．在(B)中，n一r(0E—A)=2，说明λ=0有2个线性无关的特征向量．故可以相似对角化．在(D)中，n—r(0E—A)=1，说明λ=0只有1个线性无关的特征向量．因此不能相似对角化．故应选(D)．7.设A是n阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A的特征值只有零．B.A必不能对角化．C.E+A+A 2+…+A m－1必可逆．D.A只有一个线性无关的特征向量．√解析：解析：设Aα=λα，α≠0，则A mα=λmα=0．故λ=0．(A)正确．因为A≠0，r(A)≥1，那么Ax=0的基础解系有n—r(A)个解，即λ=0有n—r(A)个线性无关的特征向量．故(B)正确，而(D)不一定正确．由(E一A)(E+A+A 2+…+A m－1 )=E一A m =E，知(C)正确．故应选(D)．二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值 1，且其重数至少是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：λ=0）填空项1:__________________ （正确答案：n—r(A)）解析：解析：r(A)＜n ｜A｜=0 λ=0必是A的特征值．由r(A)＜有非0解．设η1，η2，…，ηn－r(A)是Ax=0的基础解系，则Aηj=0=0ηj，即λ=0是矩阵A的特征值，ηj(j=1，2，…，n—r(A))是λ=0的特征向量．因此λ=0有n—r(A)个线性无关的特征向量．从而λ=0至少是矩阵A的n—r(A)重特征值．注意：k重特征值至多有k个线性无关的特征向量．9.设A是n阶可逆矩阵，A是A的特征值，则(A * ) 2 +E必有特征值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：A的特征值为λ(A * ) 2 +E的特征值为．10.已知－2是x= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：—4）解析：解析：因为－2是矩阵A11.设A是秩为2的3阶实对称矩阵，且A 2 +5A=0，则A的特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－5，－5，0）解析：解析：因为A是实对称矩阵，故A～=2．设Aα=λα(α≠0)由A 2+5A=0得λ2+5λ=0．因此A的特征值为0或－5．从而A～．所以矩阵A的特征值是：－5，－5，0．12.已知α=(1，1，一1) T是矩阵x= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设Aα=λα，即，亦即13.设A是3阶矩阵，且各行元素之和都是5，则A必有特征向量 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为各行元素之和都是5，即亦即从而A．所以矩阵A14.设A是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α1=(1，2，1) T与α2 =(1，一1，1) T，则λ=2的特征向量是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t(一1，0，1) T）解析：解析：设λ=2的特征向量是α=(x 1，x 2，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有所以λ=2的特征向量是t(一1，0，1) T，t≠0．15.已知x= 1，y= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解析：由A～B，知∑a ii=∑b ii且一1是A的特征值，即16.已知矩阵a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－1）解析：解析：由A的特征多项式知矩阵A的特征值是λ=－1(三重根)，因为A只有2个线性无关的从而a=－1．三、解答题(总题数：22，分数：44.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第3章-特征值和特征向量 练习题
第3章 特征值和特征向量 练习题1、设非奇异矩阵 A 的一个特征值为 λ = 2，试求出 1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 的一个特征值。
（ 3 / 4 ）2、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=20203020x A 的一个特征值 λ1 = 0，求 x 值和 A 的全部特征值。
（2；0、3、4）3、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20020y y x A 的一个特征值为-3，且A 的三个特征值之积为 -12，确定 x 和 y 的值。
（ 1 ； 2 或 -2 ）4、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a A 11121112 可逆，向量 β = ( 1 , b , 1 )T 是矩阵 A 的逆矩阵 A -1 的一个特征向量，λ 是 β 所属的特征值，试求 a 、b 和 λ 的值 .（ a = 2 ，b = 1 ，λ = 1 / 4 或 a = 2 ，b = -2 ，λ = 1 ）5、设三阶方阵 A 的一个特征值为 1 / 9，与其对应的特征向量 α = ( 1 , 1 , 1 )T ，求方阵 A 的 9 个元素之和。
（ 1 / 3 ）6、设 n 阶方阵 A 有 n 个特征值 0，1，2，…，n - 1，且方阵 B 与 A 相似，求 | B+E | 。
（ n! ）7、设向量 α = ( 1 , 0 , - 1 ) T ，矩阵 A = α αT ，若 n 为正整数，计算行列式 det ( a E - A n ) 的值 。
（ a 2 ( a - 2n ) ）8、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩 r ( A ) = 2，且满足 A 2 = 2 A ，求行列式 | 4 E - A | 的值。
（16）9、设 A 是2阶实对称矩阵，且满足 A 2 + A - 6 E = O ，其中 E 是2阶单位矩阵，求行列式det A 和 det ( A* - 2E ) 的值。
（ 9 或 4 或 - 6 ；25 或 0 ）10、设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101010y x A 有三个线性无关的特征向量（可以相似对角化），求 x 、y 应满足的条件。
求矩阵的特征值和特征向量例题
求矩阵的特征值和特征向量例题一、背景特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们是描述矩阵特性的两个重要参数，在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本例题将介绍如何求矩阵的特征值和特征向量，并通过例题加深对相关概念和方法的理解。
二、方法求矩阵的特征值和特征向量的方法主要有两种：特征多项式法和特征向量法。
1.特征多项式法：通过求解矩阵的行列式，得到其特征多项式，进而求得特征值，再通过解特征方程得到特征向量。
这种方法适用于求解特征值不重合且特征向量个数等于矩阵阶数的情况。
2.特征向量法：通过求解矩阵与向量间的关系，得到特征向量。
这种方法适用于求解任意矩阵的特征值和特征向量。
三、例题解析【例1】已知矩阵A=1-120求它的特征值和特征向量。
解法1：特征多项式为f(λ)=|-λ-A|=0，即：(-λ-1)(λ²+3λ+2)=0解得：λ1=1，λ2=-2由于λ2=-2是重根，只需解方程|A-2E|=0得一个特征向量。
得：(-2-ξ)ξ²-4ξ+1=0，解得：ξ=1或ξ=0.5当ξ=0.5时，λ=λ¹=1时，A-2E的行列式为0，所以舍去。
所以特征值为λ¹=1，λ₂=-2，对应的特征向量为(1,-1,0)T和(0,2,1)T。
解法2：设Aξ=λξ，代入数据得：(-1,-ξ)×(ξ²-3ξ-2)=0，解得：ξ=1或ξ=-2当ξ=-2时，λ¹=1时，A-2E的行列式为0，所以舍去。
所以特征值为λ₁=1，λ₂=-2，对应的特征向量为(ξ₁,-ξ₁,0)T和(0,ξ₂,ξ₂)T。
【例2】设三阶矩阵A=3-45-6-389求它的特征值及对应的特征向量。
根据矩阵的特征多项式F(x)=|3xI-A|=0，得到6x³+5x²-5x+7=0.分解因式得：x²(x+1)(x-7)=0.解得x₁=-1,x₂=x₃=7.分别代入F(x)=0中可得矩阵A的三个特征值为λ₁=-1,λ₂=7,λ₃=7.当λ₁=-1时，对应的一个基础解系为(4,-6,5)T；当λ₂=7时，因为矩阵的阶数大于零且特征值所对角线上的元素不可能全为零(它还有第二个特征值λ₃≠0),因此至少有两个相同的非零特征向量可以分别求出对应于λ₁=-1和λ₂=7的线性无关的特征向量,记这两个向量分别为α₁和α₂,令(Aα₁-α₂,α₂)=5≠0,(Aα₃-α₃,α₃)=3≠0,即可求出这两个非零特征向量的分量分别为(-9/7,-8/7,5),(-9/4,-3,6)于是A的属于不同特征值的特征向量互相线性无关,因此就得到了三个线性无关的特征向量:α₁=(4,-6,5)T,α₂=(-9/7,-8/7,5)T,α₃=(-9/4,-3,6)T.四、总结求矩阵的特征值和特征向量的方法有多种，需要根据具体情况选择合适的方法。
特征值与特征向量复习题
一、思考题 1．n 阶方阵 A、B 有不同的特征值时，能否有相同的特征向量. 2．有相同特征值的 n 阶不同矩阵 A、B，能否有相同的特征向量. 3．设 A 为三阶矩阵，已知 E-A，3E-A，E+A 都不可逆，问 A 是否相似于对
角阵. 4．若方阵A≠0，但Ak=0，问A能否相似于对角阵. 5．设 A 和 B 都是 n 阶实对称阵，并且相同的特征值，则可以得到 A 和 B 相
（A） λE − A = λE − B
（B）A 与 B 有相同的特征值与特征向量
（C）A 与 B 都相似于一个对角阵 （D）对于任意 t， tE − A与tE − B 相似
3．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α 是A的属于特征值
λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量是（ ）.
7．设 4 阶方阵A满足条件| 3E + A |= 0, AAT = 2E, | A |< 0 ，求方阵A的伴随矩
阵A*的一个特征值.
⎡3 2 2⎤
⎡0 1 0⎤
8．设矩阵 A = ⎢⎢2 3 2⎥⎥ ， P = ⎢⎢1 0 1⎥⎥ ， B = P −1 A∗ P ，求B+2E的特征值与特
⎢⎣2 2 3⎥⎦
（B） 3 似，且
⎡ 1 −1 1 ⎤
⎡2 0 0⎤
A
=
⎢ ⎢
2
4 − 2⎥⎥
B = ⎢⎢0 2 0⎥⎥
则（
⎢⎣− 3 − 3 a ⎥⎦
⎢⎣0 0 b⎥⎦
（A）a=5, b=0 （B）a=5, b=6 （C）a=6, b=5
（D） 1 4
）. （D）a=0, b=5
7．已知 AX 0 = λ0 X 0 （X0为非零向量），P为可逆矩阵，则（
第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
1 2 3 (2) 2 1 3
3 3 6
1 2 3
E A 2 1 3
3 3 6
3 82 9 ( 1)( 9)
1 1, 2 0, 3 9
1E AX
2 2 3
2 2 3X
3 3 7
1 1 0
0 0 1X
0 0 0
x1 x2
x3 0
1 1 1 0T
8 3X
3 3
x1
x2
1
2 1T
X k33 (k3 R, k3 0)
5、已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，求: A3 5A2 7E
解：
f ( A) A3 5A 7E
' f () 3 5 7
1' '2
3 5
'3 11
A3 5A2 7E 165
9、设 P1, P2 是A的属于特征值3的线性无关的
两个向量
PP11TT
P2 P3
0 0
x1 x2 x3 0
P1T X
x1 x2 x3
1 1 P2 1 , P3 0
0 1
（方法一） 1 1 1
P (P1, P2 , P3) 1 1 0 1 0 1
1 3
5 2 4
2 8 2 X
4 2 5
1 0
0 1
1 1
X
0 0
2 0
3 2 1 2T
x1 x3
x2
1 2
x3
e3
3 3
2 3
1 3
2 T
3
P e1 e2 e3
P1AP
8、 解：
A 1(2)3 6 0
A可逆
十特征值与特征向量典型题
特征值与特征向量典型题1、特征值与特征向量1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=，求A【分析】解本题的关键是注意A 为实对称矩阵，在已知A 的三个特征值和三个线性无关特征向量123,,ξξξ后，由公式123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=;可解出1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-= 【详解】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=，根据A 为实对称矩阵的假设知10T ξξ=，即230x x +=，解得23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==- 于是由123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=有11122331231(,,)(,,)010010100101101001101101010A λξλξλξξξξ--=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦2．（98，填4题，3分）设A 为n 阶矩阵，0A ≠，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()A E +必有特征值2()1Aλ+【分析】本题从特征值、特征向量的定义,0Ax x x λ=≠进行推导即可 【详解】设(0)Ax x x λ=≠，则 111,(0)AA x x A A x x x λλ--=⇒=≠即*AA x x λ=从而*22()()AA x x λ= *22[()][()1],0AA E x x x λ+=+≠可见*2()A E +必有特征值2()1Aλ+3．（99，填4题，3分）设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是1,0,,0n n -【分析】因为r(A)=1，所以1n n ii E A a λλλ--=-∑【详解】因为-11111111111111111110000n n n E A nnn λλλλλλλλλλλλλλ---------=---=-－－－－＝－－－－－＝（－）故矩阵A 的n 个特征值是n 和0（n-1重）因此本题应填1,0,,0n n -4．（99，十题，8分）设矩阵15310a c A b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为(1,1,1)T α=--，求a b c 、、和0λ的值【分析】利用*AA A E =，把*0A αλα=转化为0A λαα=-是本题的关键【详解】根据题设有*0A αλα=，又*,AA A E E ==-于是*00,AA A A αλαλα==即0A αλα-=;也即011153111011a c b c a λ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦由此可得 000(1)1(53)1(1)1a c b c a λλλ-++=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=-⎩ 解此方程组，得01,3,b a c λ==-=又由1A a c =-=和，有1533110a cb a ca-=-=--- 故2,a c ==因此02,3,2,1a b c λ==-==5.（03，九题，10分）设矩阵322232223A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，010101001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1*B P A P -=，求B ＋2E的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵【分析】可先求出*1,A P -，进而确定1*B P A P -=及B ＋2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定*A 的特征值与特征向量，最终根据B ＋2E 与*2A E +相似求出其特征值与特征向量。
5.1求下列矩阵的特征值和特征向量。
5.1 求下列矩阵的特征值和特征向量。
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2321A ；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200121002A ；（3）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0001110１１－１１－１１１－１１ A 5.2 已知n 阶满秩矩阵A 的n 个特征值n λλλ，，，２１及对应的特征向量u n u u ,,,21 ，试求伴随矩阵A *的特征值及对应的特征向量。
5.3 设[]Tn ,,2,1 =α，T A αα=，求A 的特征值和特征向量。
5.4 试证：若AP P B 1-=,0λ是A 的某个特征值，又知g 是A 的属于0λ特征向量，则g P 1-是B 的属于0λ的特征向量。
5.5 已知三阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=a c b c aA 01351的行列式为-1，且与A 对应的伴随矩阵*A 有一个特征向量[]T 1,1,1--，求a,b,c 的值。
5.6 设矩阵A 满足A 2=A （称这样的A 为幂等阵），试证：（1） A 的特征值只能是1或0；（2） A+2I 必为满秩阵。
5.7 设三阶矩阵A 的特征值为1，-1，2，求：（1） B=I A A 342+-的特征值；(2)B ；(3)I A 5-。
5.8 已知三阶矩阵A 的三个特征值为1，2，3。
（1）求矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-*1)2(A A B 的特征值； （2）求B ；（3）算332211A A A ++的值。
5.9 设21,ηη分别是矩阵A 属于不同特征值21,λλ的特征向量，试证21ηη+不是A 的特征向量。
5.10 问下列矩阵能否与对角矩阵相似？为什么？（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010101；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--301121402；（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----284014013； 5.11 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11322002a A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b B 00020001 若已知A 与B 相似，试求a ，b 的值及矩阵P ，使得B AP P =-1。
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1 2 2 1 4 6
即A
2
2
1
2
4
3
2 1 2 2 2 6
17
1 4 6 1 2 2 1
故A
2 2
4 2
3 6
2 2
2 1
1 2
7
1 4 6 1
2
2
3
0
2 3
1 9
2 2
4 2
3
2
6 2
2 1
1 2
0 2
3
5 3 2 3
2 3
2
18
解 首先证明A与 P 1 AP有相同的特征值.只需证明 它们有相同的特征多项式.
f P1AP ( ) E P1 AP
P1 P P1 AP
P1 E A P E A f A( ), 1, 2 , , n就是 P1 AP的全部特征值.
其次求 P1 AP属于 i的特征向量.
A i i i , 即 (i E A) i 0,
又 ( i E P1 AP ) i (i P1 P P1 AP) i P1(i E A)P i ,
-1 E A 1 AT A A
1 AT E A 1 A E T A
1 E A 1
14
由此得 1 E A 0,即1是A的一个特征值。
（2）当 A 1且n 2k 1时， E A AT A A A E A A E
1n E A E A
由此知 E A 0,即1为A的特征值。
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 10
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
即A A ，亦即
2 1 11 1
1
1
2 1
1
b
a 1
A
b
1
11
A
3b
由此，得方程组
2 2b
A
b
A
a b 1
解方程组得a 2,b 1或b 2。
12
211 由于 A 1 2 1 3a 2 4，
11a 由方程组的第一个方程知，
特征向量所对应的特征值 A 4 。
3b 3b
所以，当b 1时 1；当b 2时 4.
13
例4.设n阶方阵A满足AT A E,试证： （1）当 A 1时，1是A的一个特征值； （2）当 A 1,且n 2k 1时，1是A的一个特征值。 证： （1）由AT A E及 A 1知，
2 1 11 1
1
2
1
k
k
1 1 2 1 1
9
由此得方程组 (2(32kk))
1 k
其解为1
1，k1
2；2
1 4
，k2
1.
故k 2或1时，是A1的特征向量。
2 1 1
1
例3.设矩阵A
1
2
1
可逆，向量
b
是
1 1 a
1
矩阵A的一个特征向量，是 对应的特征值，
数).
6
同理对 2 3 1,求相应线性方程组( 2 E
A)x 0的一个基础解系:
4 x1 2 x2 4 x3 0,
2
x1
x2
2
x3
0,
4 x1 2 x2 4 x3 0,
求解得此方程组的一个基础解系:
1
2
0 1
,
1
2 2.
0
7
于是A的属于 2 3 1的全部特征向量为 k2 2 k3 3,
全部特征值. 第三步 求出 A的全部特征向量
对1 8,求相应线性方程组(1 E A)x 0
的一个基础解系.
5
5 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 8 x2 2 x3 0, 4 x1 2 x2 5 x3 0,
化简求得此方程组的一个基础解系
2
1 1.
2
属于 1 8的全部特征向量为k1 1(k1 0为实
第四章 习题课
1
典型例题
一、特征值与特征向量的求法 二、特征值与特征向量的应用 三、矩阵的相似及对角化 四、证明所给矩阵为正交矩阵 五、将线性无关向量组化为正
交单位向量组 六、利用正交变换将实对称
矩阵化为对角阵
2
一、特征值与特征向量的计算
第一步 计算 A 的特征多项式； 第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
(i E P1 AP) P1 i
P1(i E A)P P1 i P1(i E A) i 0, 即 ( P1 AP )( P1 i) i ( P1 i),
故 P1 i 是 P1 AP属于 i的特征向量.
20
二、特征值与特征向量的应用
1 用特征根计算方阵A的行列式 A
例8 设A是3阶矩阵,它的3个特征值为1 1, 2 1, 3 2,设B A3 5A2,求 B ; A 5E .
k 2 , k 3是不全为零的实数. 从而A的全部特征向量为k1 1;k 2 2 k 3 3 ,这
里 k1 0为实数, k 2 , k 3是不全为零的实数.
8
2 1 1
例2.已知向量
（1, k,1)T
是矩阵A
1
2
1 的逆阵
1 1 2
A1的特征向量，试求常数k的值。（1991年数学5）
解：设是所属的A1的特征值，即A1 ， 于是 A ，即
例5.设 2是非奇异矩阵A的一个特征值，
试求矩阵
1 3
A2
1
的一个特征值。
15
解：设是A的对应于 2的一个特征向量，
即A 2,于是
1 A2 1 A 2 2 A 4
3
3
3
3
由此得
1 3
A2
1
1 3
A2
1 3
A2
1
4 3
,
所以
1 3
A2
1
3 4
, 故
3 4
为矩阵
1 3
A2
解 利用A的行列式与特征值的重要关系 A 1 2 n来计算 A.
3
3 2 4
例1
计算3阶实矩阵A
2 4
0 22 3Fra bibliotek的全部特征值
和特征向量.
解 第一步 计算A 的特征多项式
3 2 4 f ( ) E A 2 2
4 2 3 ( 8)( 1)2.
4
第二步 求出特征多项式f ( )的全部根,即A
的全部特征值.
令f ( ) 0,解之得1 8, 2 3 1,为A的
1
的一个特征值。
16
例6.设三阶矩阵A满足Ai ii (i 1, 2,3),
其中向量1 （1，2，2）T，2 （2， 2，1）T，
3 (2, 1, 2)T , 试求矩阵A.(1995年数学5)
解由Ai ii ,可得A(1, 2 , 3 ) ( A1, A2 , A3 )
(1, 22 ,33 ),