矩阵的特征值和特征向量习题
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全部特征值. 第三步 求出 A的全部特征向量
对1 8,求相应线性方程组(1 E A)x 0
的一个基础解系.
5
5 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 8 x2 2 x3 0, 4 x1 2 x2 5 x3 0,
化简求得此方程组的一个基础解系
2
1 1.
2
属于 1 8的全部特征向量为k1 1(k1 0为实
例5.设 2是非奇异矩阵A的一个特征值，
试求矩阵
1 3
A2
1
的一个特征值。
15
解：设是A的对应于 2的一个特征向量，
即A 2,于是
1 A2 1 A 2 2 A 4
3
3
3
3
由此得
1 3
A2
1
1 3
A2
1 3
A2
1
4 3
,
所以
1 3
A2
1
3 4
, 故
Hale Waihona Puke Baidu
3 4
为矩阵
1 3
A2
1
的一个特征值。
16
例6.设三阶矩阵A满足Ai ii (i 1, 2,3),
其中向量1 （1，2，2）T，2 （2， 2，1）T，
3 (2, 1, 2)T , 试求矩阵A.(1995年数学5)
解由Ai ii ,可得A(1, 2 , 3 ) ( A1, A2 , A3 )
(1, 22 ,33 ),
f P1AP ( ) E P1 AP
P1 P P1 AP
P1 E A P E A f A( ), 1, 2 , , n就是 P1 AP的全部特征值.
其次求 P1 AP属于 i的特征向量.
A i i i , 即 (i E A) i 0,
又 ( i E P1 AP ) i (i P1 P P1 AP) i P1(i E A)P i ,
解 利用A的行列式与特征值的重要关系 A 1 2 n来计算 A.
-1 E A 1 AT A A
1 AT E A 1 A E T A
1 E A 1
14
由此得 1 E A 0,即1是A的一个特征值。
（2）当 A 1且n 2k 1时， E A AT A A A E A A E
1n E A E A
由此知 E A 0,即1为A的特征值。
k 2 , k 3是不全为零的实数. 从而A的全部特征向量为k1 1;k 2 2 k 3 3 ,这
里 k1 0为实数, k 2 , k 3是不全为零的实数.
8
2 1 1
例2.已知向量
（1, k,1)T
是矩阵A
1
2
1 的逆阵
1 1 2
A1的特征向量，试求常数k的值。（1991年数学5）
解：设是所属的A1的特征值，即A1 ， 于是 A ，即
数).
6
同理对 2 3 1,求相应线性方程组( 2 E
A)x 0的一个基础解系:
4 x1 2 x2 4 x3 0,
2
x1
x2
2
x3
0,
4 x1 2 x2 4 x3 0,
求解得此方程组的一个基础解系:
1
2
0 1
,
1
2 2.
0
7
于是A的属于 2 3 1的全部特征向量为 k2 2 k3 3,
第四章 习题课
1
典型例题
一、特征值与特征向量的求法 二、特征值与特征向量的应用 三、矩阵的相似及对角化 四、证明所给矩阵为正交矩阵 五、将线性无关向量组化为正
交单位向量组 六、利用正交变换将实对称
矩阵化为对角阵
2
一、特征值与特征向量的计算
第一步 计算 A 的特征多项式； 第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
(i E P1 AP) P1 i
P1(i E A)P P1 i P1(i E A) i 0, 即 ( P1 AP )( P1 i) i ( P1 i),
故 P1 i 是 P1 AP属于 i的特征向量.
20
二、特征值与特征向量的应用
1 用特征根计算方阵A的行列式 A
例8 设A是3阶矩阵,它的3个特征值为1 1, 2 1, 3 2,设B A3 5A2,求 B ; A 5E .
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 10
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
即A A ，亦即
2 1 11 1
1
1
2 1
1
b
a 1
A
b
1
11
A
3b
由此，得方程组
3
3 2 4
例1
计算3阶实矩阵A
2 4
0 2
2 3
的全部特征值
和特征向量.
解 第一步 计算A 的特征多项式
3 2 4 f ( ) E A 2 2
4 2 3 ( 8)( 1)2.
4
第二步 求出特征多项式f ( )的全部根,即A
的全部特征值.
令f ( ) 0,解之得1 8, 2 3 1,为A的
2 2b
A
b
A
a b 1
解方程组得a 2,b 1或b 2。
12
211 由于 A 1 2 1 3a 2 4，
11a 由方程组的第一个方程知，
特征向量所对应的特征值 A 4 。
3b 3b
所以，当b 1时 1；当b 2时 4.
13
例4.设n阶方阵A满足AT A E,试证： （1）当 A 1时，1是A的一个特征值； （2）当 A 1,且n 2k 1时，1是A的一个特征值。 证： （1）由AT A E及 A 1知，
1 2 2 1 4 6
即A
2
2
1
2
4
3
2 1 2 2 2 6
17
1 4 6 1 2 2 1
故A
2 2
4 2
3 6
2 2
2 1
1 2
7
1 4 6 1
2
2
3
0
2 3
1 9
2 2
4 2
3
2
6 2
2 1
1 2
0 2
3
5 3 2 3
2 3
2
18
解 首先证明A与 P 1 AP有相同的特征值.只需证明 它们有相同的特征多项式.
2 1 11 1
1
2
1
k
k
1 1 2 1 1
9
由此得方程组 (2(32kk))
1 k
其解为1
1，k1
2；2
1 4
，k2
1.
故k 2或1时，是A1的特征向量。
2 1 1
1
例3.设矩阵A
1
2
1
可逆，向量
b
是
1 1 a
1
矩阵A的一个特征向量，是 对应的特征值，
对1 8,求相应线性方程组(1 E A)x 0
的一个基础解系.
5
5 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 8 x2 2 x3 0, 4 x1 2 x2 5 x3 0,
化简求得此方程组的一个基础解系
2
1 1.
2
属于 1 8的全部特征向量为k1 1(k1 0为实
例5.设 2是非奇异矩阵A的一个特征值，
试求矩阵
1 3
A2
1
的一个特征值。
15
解：设是A的对应于 2的一个特征向量，
即A 2,于是
1 A2 1 A 2 2 A 4
3
3
3
3
由此得
1 3
A2
1
1 3
A2
1 3
A2
1
4 3
,
所以
1 3
A2
1
3 4
, 故
Hale Waihona Puke Baidu
3 4
为矩阵
1 3
A2
1
的一个特征值。
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例6.设三阶矩阵A满足Ai ii (i 1, 2,3),
其中向量1 （1，2，2）T，2 （2， 2，1）T，
3 (2, 1, 2)T , 试求矩阵A.(1995年数学5)
解由Ai ii ,可得A(1, 2 , 3 ) ( A1, A2 , A3 )
(1, 22 ,33 ),
f P1AP ( ) E P1 AP
P1 P P1 AP
P1 E A P E A f A( ), 1, 2 , , n就是 P1 AP的全部特征值.
其次求 P1 AP属于 i的特征向量.
A i i i , 即 (i E A) i 0,
又 ( i E P1 AP ) i (i P1 P P1 AP) i P1(i E A)P i ,
解 利用A的行列式与特征值的重要关系 A 1 2 n来计算 A.
-1 E A 1 AT A A
1 AT E A 1 A E T A
1 E A 1
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由此得 1 E A 0,即1是A的一个特征值。
（2）当 A 1且n 2k 1时， E A AT A A A E A A E
1n E A E A
由此知 E A 0,即1为A的特征值。
k 2 , k 3是不全为零的实数. 从而A的全部特征向量为k1 1;k 2 2 k 3 3 ,这
里 k1 0为实数, k 2 , k 3是不全为零的实数.
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例2.已知向量
（1, k,1)T
是矩阵A
1
2
1 的逆阵
1 1 2
A1的特征向量，试求常数k的值。（1991年数学5）
解：设是所属的A1的特征值，即A1 ， 于是 A ，即
数).
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同理对 2 3 1,求相应线性方程组( 2 E
A)x 0的一个基础解系:
4 x1 2 x2 4 x3 0,
2
x1
x2
2
x3
0,
4 x1 2 x2 4 x3 0,
求解得此方程组的一个基础解系:
1
2
0 1
,
1
2 2.
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于是A的属于 2 3 1的全部特征向量为 k2 2 k3 3,
第四章 习题课
1
典型例题
一、特征值与特征向量的求法 二、特征值与特征向量的应用 三、矩阵的相似及对角化 四、证明所给矩阵为正交矩阵 五、将线性无关向量组化为正
交单位向量组 六、利用正交变换将实对称
矩阵化为对角阵
2
一、特征值与特征向量的计算
第一步 计算 A 的特征多项式； 第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
(i E P1 AP) P1 i
P1(i E A)P P1 i P1(i E A) i 0, 即 ( P1 AP )( P1 i) i ( P1 i),
故 P1 i 是 P1 AP属于 i的特征向量.
20
二、特征值与特征向量的应用
1 用特征根计算方阵A的行列式 A
例8 设A是3阶矩阵,它的3个特征值为1 1, 2 1, 3 2,设B A3 5A2,求 B ; A 5E .
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 10
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
即A A ，亦即
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1
1
2 1
1
b
a 1
A
b
1
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A
3b
由此，得方程组
3
3 2 4
例1
计算3阶实矩阵A
2 4
0 2
2 3
的全部特征值
和特征向量.
解 第一步 计算A 的特征多项式
3 2 4 f ( ) E A 2 2
4 2 3 ( 8)( 1)2.
4
第二步 求出特征多项式f ( )的全部根,即A
的全部特征值.
令f ( ) 0,解之得1 8, 2 3 1,为A的
2 2b
A
b
A
a b 1
解方程组得a 2,b 1或b 2。
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211 由于 A 1 2 1 3a 2 4，
11a 由方程组的第一个方程知，
特征向量所对应的特征值 A 4 。
3b 3b
所以，当b 1时 1；当b 2时 4.
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例4.设n阶方阵A满足AT A E,试证： （1）当 A 1时，1是A的一个特征值； （2）当 A 1,且n 2k 1时，1是A的一个特征值。 证： （1）由AT A E及 A 1知，
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即A
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2
4
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1 4 6 1 2 2 1
故A
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4 2
3 6
2 2
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1 2
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2
2
3
0
2 3
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2 2
4 2
3
2
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5 3 2 3
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解 首先证明A与 P 1 AP有相同的特征值.只需证明 它们有相同的特征多项式.
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k
k
1 1 2 1 1
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由此得方程组 (2(32kk))
1 k
其解为1
1，k1
2；2
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，k2
1.
故k 2或1时，是A1的特征向量。
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例3.设矩阵A
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可逆，向量
b
是
1 1 a
1
矩阵A的一个特征向量，是 对应的特征值，