广义线性回归分析(协方差分析)
第四章-广义线性回归
p 维向量
。
；其中
此时，对应的检验假说为
。
在 下有
。
假定扰动项服从正态分布，则无约束下的对数似然函数为：
，参数 为
参数 对应的一阶导和二阶导为：
则在 下有
其中， 由于信息矩阵 可构造如下：
，
。
为分块对角阵，则约束
即 LM 统计量的值等于 g 对 Z 回归的回归平方和的一半。 又因为在正态分布设定条件下有
检验统计量计算如下：
(4-14)
其中， 和 通常取
分别为两段样本 LS 回归的残差， 和 ，则上式可简化为：
为对应的样本长度。
(4-15)
注意，计算上式 F 统计量时，必须把较大者放在分子。 Goldfeld-Quandt 检验是 LS 估计框架下最简单的方差检验，它与普通的方差结构变化检
验非常接近，比较容易计算。但它也具有一定的局限性：首先，扰动项假定服从正态分布；
和 ）下，上述的两
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第四章 广义线性回归
其中，
。
需要注意的是，当我们假定
时，事实上是假定了一种特殊的非球形扰动形
式，这种假定很有可能是不准确的，因此，基于这种特定形式下的估计结果必须建立在相应
的诊断性检验上。
4.2 异方差
4.2.1 异方差检验
异方差设定具体有两种形式：一般的异方差形式设定各期扰动项的方差都不同，此时通 常会假定这种异方差与某些变量有关；另一种特殊的形式则是设定不同组间存在异方差，即 把数据划分为若干组，并假定各组扰动项的方差不同，但在同一组内方差相同。
如果协方差阵未知，则 FGLS 估计如下：
此时，对 WLS 估计的两步估计可以使用迭代的方法。
3．协方差一致稳健估计
协方差分析
∑
k
∑
dft = k 1
(10(10-6)
处理内的乘积和SP 处理内的乘积和SPe是 xij 与xi . 和 yij 与 yi . 的 离均差乘积之和， 离均差乘积之和，即：
1 k SP = ∑∑(xij xi .)( yij yi .) = ∑∑xij yij ∑xi .yi . = SP SP e T t n i=1 i=1 j =1 i=1 j =1
SP = ∑∑xij yij T
i=1 j =1 k nii=1
k
i
dfT = ∑ni 1
i=1
k
(10(10-8)
上一张 下一张 主 页
退 出
xk .yk . x..y.. x1.y1. x2 .y2 . SP = + + ... + k t n1 n2 nk ∑ni
dft = k 1
r=
∑(x x)( y y) /(n 1) ∑(x x) ∑( y y)
2
2
(n 1)
10（10-1） (n 1)
退 出
上一张 下一张 主 页
其中
∑
(x x)2 n 1
是x的均方MSx，它是x的 的均方MS 它是x
2 方差 σ x 的无偏估计量； 的无偏估计量；
∑( y y)2
n 1
k n k n
(10(10-7)
df e=k(n-1)
以上是各处理重复数n相等时的计算公式， 以上是各处理重复数n相等时的计算公式， 若各处理重复数n不相等，分别为n 若各处理重复数n不相等，分别为n1、n2、…、 k nk，其和为 ∑ni ，则各项乘积和与自由度的计 i=1 算公式为： 算公式为：
线性模型(1)——方差分析模型
在方差分析中，我们初步介绍了线性模型的思想，实际上，线性模型只是方差分析的模型化，其统计检验仍然是依照方差分解原理进行F检验。
线性模型作为一种非常重要的数学模型，通常可以分为方差分析模型、协方差分析模型、线性回归模型、方差分量模型等，根据表现形式又可以分为一般线性模型、广义线性模型、一般线性混合模型、广义线性混合模型。
下面我们就根据分析目的来介绍线性模型一、方差分析模型：使用线性模型进行方差分析的时候涉及一些基本概念：===============================================(1)因素与水平因素也称为因子，在实际分析中，因素就是会对结果产生影响的变量，通常因素都是分类变量，如果用自变量和因变量来解释，那么因素就是自变量，结果就是因变量。
一个因素下面往往具有不同的指标，称为水平，表现在分类变量上就是不同类别或取值范围，例如性别因素有男、女两个水平，有时取值范围是人为划分的。
(2)单元因素各水平之间的组合，表现在列联表中就是某个单元格，有些实验设计如拉丁方设计，单元格为空或无。
(3)元素指用于测量因变量值的最小单位，其实也就是具体的测量值。
根据具体的实验设计，列联表的一个单元格内可以有一个或多个元素，也可能没有元素。
(4)均衡如果一个实验设计中任一因素的各水平在所有单元格中出现的次数相同，且每个单元格内的元素数也相同，那么该实验就是均衡的。
不均衡的实验设计在分析时较为复杂，需要对方差分析模型作特别的设置才行。
(5)协变量有时，我们在分析某些因素的影响时，需要排除某个因素对因变量的影响，这个被排除的因素被称为协变量，(6)交互作用如果一个因素的效应大小在另一个因素的不同水平下表现的明显不同，则说明这两个因素之间存在交互作用。
交互作用是多因素分析时必须要做的，这样分析的结果才会全面。
(7)固定因素和随机因素是因素的两个种类，固定因素是指该因素的所有水平，在本次分析中全部出现，从分析结果就可以获知全部水平的情况。
《线性回归与协方差》课件
描述数据点之间的协方差关系， 即各变量之间的相关程度。
协方差在回归分析中的作用
01
02
03
预测精度
协方差矩阵用于估计回归 模型的参数，从而提高预 测精度。
模型评估
通过比较实际值与预测值 的协方差，可以评估模型 的拟合效果。
变量选择
协方差矩阵可以帮助确定 哪些变量对回归模型的影 响最大，从而进行变量选 择。
最小二乘法的推导
最小二乘法的推导过程
通过最小化残差平方和，利用数学方 法（如导数）求解最佳参数值。
正规方程法
迭代法
通过迭代算法逐步逼近最小二乘解， 常用的迭代方法有高斯-牛顿法和雅可 比法。
通过正规方程组求解参数值，得到最 小二乘解。
最小二乘法的应用
线性回归分析
最小二乘法广泛应用于线性回 归分析，通过最小化残差平方 和来估计最佳线性模型的参数
。
时间序列分析
在时间序列分析中，最小二乘 法用于估计最佳的预测模型， 如ARIMA模型。
经济计量学
在经济计量学中，最小二乘法 用于估计经济模型的参数，如 多元线性回归模型。
其他领域
除了以上领域，最小二乘法还 广泛应用于其他领域，如生物 统计学、医学统计、地理信息
系统等。
03
CATALOGUE
协方差介绍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用协方差分析股票市场的实例
总结词
协方差矩阵
01
02
详细描述
通过分析股票市场的历史数据，计算各股票 之间的协方差矩阵，了解各股票之间的相关 性。
总结词
投资组合优化
03
总结词
市场趋势分析
05
06
04
线性回归分析ppt课件
21
多元回归分析中的其他问题 u变量筛选问题 Ø向前筛选策略
解释变量不断进入回归方程的过程，首先选择与被解释变量具有最高 线性相关系数的变量进入方程，并进行各种检验；其次在剩余的变量中挑 选与解释变量偏相关系数最高并通过检验的变量进入回归方程。 Ø向后筛选策略
变量不断剔除出回归方程的过程，首先所有变量全部引入回归方程并 检验，然后在回归系数显著性检验不显著的一个或多个变量中，剔除t检验 值最小的变量。 Ø逐步筛选策略
合准则。
最小二乘法将偏差距离定义为离差平方和，即
n
Q( 0, 1, p) ( yi E( yi ))2
i 1
最小二乘估计就是寻找参数β0
、β1、…
βp的估计
值β̂0 、β ̂1、… β ̂p，使式（1）达到极小。通过
求极值原理（偏导为零）和解方程组，可求得估计值，
SPSS将自动完成。
每个解释变量进 入方程后引起的 判定系数的变化 量和F值的变化 量（偏F统计量）
输出个解释变量 和被解释变量的 均值、标准差、 相关系数矩阵及 单侧检验概率值
输出判定系数、 调整的判定系数、 回归方程的标准 误、回归方程显 著性检验的方差 分析表
输出方程中各解 释变量与被解释 变量之间的简单 相关、偏相关系 数和部分相关
30
n回归分析的其他操作
Ø选项
DW值
输出标准化残差 绝对值大于等于 3（默认）的样 本数据的相关信 息
多重共线性分 析： 输出各解释变 量的容忍度、 方差膨胀因子、
特征值、条件 指标、方差 比例等
31
n回归分析的其他操作
Ø选项
•标准化预测值 •标准化残差 •剔除残差 •调整的预测值 •学生化残差 •剔除学生化残差
广义线性模型及其在数据分析中的应用
摘要广义线性模型是一类现如今十分重要的数学模型，它是经典线性模型的推广，在当今社会有着广泛的应运。
在医学、生物以及经济等数据的统计和分析上有着很深的意义。
它可适用于离散的数据和连续的数据，尤其是前者，像属性数据、计数数据等等。
广义线性模型包括了许多模型，其中有方差分析模型、线性回归、交替响应的对数和概率单位模型、计数的多项响应模型、对数线性模型以及生存数据的一些常用模型等等。
本论文前两章讨论了广义线性模型的研究现状以及广义线性模型的基本理论。
第三章通过医学、生物和经济三个方面的实例来研究广义线性模型在日常生活中的广泛应用。
医学方面讨论了新药试验过程中广义线性模型对于新药的有效性研究提供了一种最为合适且快捷的方案。
生物方面通过浙江省一个水稻区域试验来说明广义线性模型在非平衡数据的处理上较与经典线性回归模型有着很显著的优越性。
经济方面则通过车辆保险费率厘定的实例来说明广义线性模型处理数据的简便与快捷。
三个方向的研究与探讨都说明了广义线性模型在现今社会生活中有着无法替代的存在感，在各个领域都有着极其广泛的应用。
关键词：广义线性模型；数据分析；timi分级；极大似然估计AbstractThe generalized linear model is a kind of mathematical model which is very important nowadays. It is the popularization of the classical linear model. It is widely used in today's society. In the medical, biological and economic data and statistical analysis and has a deep meaning. It can be applied to discrete data and continuous data, especially the former, like attribute data, count data and so on. The generalized linear model includes a number of models, including variance analysis models, linear regression, logarithm of alternating responses and probability unit models, counting multiple response models, logarithmic linear models, and some common models of survival data. The first two chapters of this paper discuss the general situation of generalized linear model and the basic theory of generalized linear model. The third chapter studies the broad application of generalized linear model in daily life through medical, biological and economic aspects. In this paper, the generalized linear model of the new drug trial is discussed in the medical field, which provides a most suitable and quick solution for the effectiveness of the new drug. The biological aspect shows that the generalized linear model has a significant superiority with the classical linear regression model in the treatment of non - equilibrium data through a rice regional experiment in Zhejiang Province. Economic aspects of the vehicle through the insurance rate to determine the examples to illustrate the generalized linear model of data processing is simple and fast. The study and discussion of the three directions show that the generalized linear model has an irreplaceable sense of existence in today's social life and has a wide range of applications in various fields.Key words: Generalized linear model; data analysis; timi classification; maximum likelihood estimation目录摘要 (I)Abstract (II)目录.................................................................................................................... I II 第一章绪论.. (1)1.1课题研究目的与意义 (1)1.2国内外研究现状 (1)第二章广义线性模型的研究 (3)2.1两种线性模型 (3)2.2常见的广义线性模型 (3)2.3广义线性模型的优点 (4)2.4广义线性模型的两种参数估计方法 (4)2.4.1极大似然估计 (4)2.4.2两参数估计 (9)第三章广义线性模型在数据分析中的应用 (11)3.1 广义线性模型在timi分级影响因素分析中的应用 (11)3.2 广义线性模型在水稻区域试验中的应用 (13)3.2.1实例 (15)3.2.2分析与结果比较 (16)3.2.3分析与展望 (17)3.3 广义线性模型在汽车保险定价中的应用 (17)3.4 广义线性模型在保险赔款预估中的应用 (19)第四章总结 (24)参考文献 (25)致谢 (26)第一章绪论1.1课题研究目的与意义广义线性模型是从线性模型演变过来的，但是它比经典的线性模型适应性更强，在处理很多数据分析问题中表现出很多优点。
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
回归分析与协方差分析
⑵ 当x＝x0时，用适合不等式P{Y0∈(G,H)}≥ 1-α的统计量G和H所确定的随机区间(G,H) 预测Y0的取值范围称为区间预测，而(G,H)称 为Y0的1-α预测区间。 若Y0与样本中的各Yi相互独立，则根据 Z＝Y0-(a+bx0)服从正态分布，E(Z)＝0， 2 1 ( x0 x ) 2 D( Z ) (1 ), n l xx SSE 及 2 ~ 2 ( n 2), Z与SSE相互独立，
r
l xy
,r
2
l
2 xy
,
当F≥F1-α(1,n-2)或|r|≥rα(n-2)时应该放 弃原假设H0，式中的 F1 (1, n 2) r ( n 2) F1 (1, n 2) ( n 2)
可由r检验用表中查出。
r
2
因此，r常常用来表示x与Y的线性关系在x 与Y的全部关系中所占的百分比，又称为x 与Y的观测值的决定系数。
2 i
i
yi ;
(2)计算l xx , l xy , l yy ;
(3)计算b和a，写出一元线性回归方程。
与上述a和b相对应的Q的数值又记作SSE， 称为剩余平方和。
ˆ和 Y ˆ 看作是统计量， 将a、b和SSE以及 Y i 它们的表达式分别为 n
a Y bx , b
( x
i 1
i
2 ˆ ˆ i 之间的偏差 ( y i y i ) 是y i 与y i 1
n
通过回归已经达到了最小值，称为剩余平 方和，记作SSE。
n i 1
2 ˆ 而 ( y i y ) 表示n个ˆ y i 与y之间的差异，
ˆ i 所造成的， 是将x i 代入回归方程得到 y 称为回归平方和，记作SSR。
协方差分析
肥料间（组间） 2 356.083 178.042 6.34** 60.750 30.376 <1
肥料内（组内） 21 589.750 28.083
830.875 39.565
总变异
23 945.833
891.625
注： F0.05（2，23）=3.47 F0.01 （2，23） =5.78
从上述方差分析看，施肥前，产量（x）存在显著差 异，说明24株树，三个组间存在极显著差异。
矫正平均数（y）间的差异
2 222.84 111.420
F 45.63**
注： F0.01 (2, 20) 5.85
结论：施不同肥料对果树的产量影响差异显著。这种 结论与前面的分析不同，前面不作协方差分析时，施不同 肥料间对果树产量影响差异不显著。
3）多重比较方法： ① 对观察值 y 的各处理平均数矫正
本例x-y变量间回归系数检验，回归关系 极显著，必须对反应量（y）进行矫正。
◆ 测定矫正后 yi (x x) 的差异性
① 计算总变异离回归平方和 （即对总变异
进行离回归分析）
QT
SST y
(SPT )2 SST x
765.752 891.625
945.833
271.67
VT n k 2 8 3 2 22
2.44281
1 8
50.875 51.8752
589.75
0.784
t 62.06 64.29 2.844* 0.784
B-C比较：
S d
2.442
1 8
1 8
59.5 51.8752
589.75
0.923
t 59.51 64.29 9.512** 0.923
第十章协方差分析
第十章协方差分析协方差分析（Analysis of Covariance，简称ANCOVA）是一种多元统计方法，用于在考虑一个或多个共变量（covariates）的情况下，评估一个或多个自变量（independent variables）对于因变量（dependent variable）的影响。
在实际研究中，常常会遇到一些与因变量相关但未被考虑的其他变量，而这些变量可能会对因变量与自变量之间的关系产生干扰。
ANCOVA通过引入共变量来修正这种干扰，从而提高自变量对因变量的解释效果。
ANCOVA的基本思想是通过构建一个线性回归模型，将自变量、共变量以及其交互项作为预测变量，将因变量作为被预测变量，进而评估自变量对因变量的影响。
在这个过程中，共变量的作用是控制或削弱对因变量的影响，从而更准确地评估自变量的效果。
在进行ANCOVA分析之前，需要满足一些前提条件。
首先，因变量和自变量之间应该存在线性关系。
其次，各个共变量与自变量和因变量之间也应该存在线性关系。
最后，自变量与因变量之间的差异不能完全由共变量解释。
在进行ANCOVA分析时，需要进行一些统计检验来评估因变量与自变量、共变量之间的关系。
例如，可以计算自变量和因变量之间的相关系数，使用方差分析来比较组间差异，以及计算共变量与因变量的相关系数等。
ANCOVA的优势在于可以更准确地评估自变量对因变量的影响，同时控制其他可能干扰的因素。
此外，ANCOVA还可以用于提高实验的统计效力，减少研究中可能出现的偏差。
然而，ANCOVA也存在一些局限性。
首先，ANCOVA要求共变量与自变量和因变量之间存在线性关系，因此如果数据不符合线性假设，则ANCOVA可能不适用。
其次，ANCOVA要求样本量足够大，才能保证结果的可信度。
此外，ANCOVA对于共变量和自变量之间的交互作用也存在敏感性。
总结来说，协方差分析是一种有效的多元统计方法，可以用于控制共变量的干扰，评估自变量对因变量的影响。
协方差分析
协方差协方差分析：（一）协方差分析基本思想通过上述的分析可以看到，不论是单因素方差分析还是多因素方差分析，控制因素都是可控的，其各个水平可以通过人为的努力得到控制和确定。
但在许多实际问题中，有些控制因素很难人为控制，但它们的不同水平确实对观测变量产生了较为显著的影响。
协方差分析例如，在研究农作物产量问题时，如果仅考察不同施肥量、品种对农作物产量的影响，不考虑不同地块等因素而进行方差分析，显然是不全面的。
因为事实上有些地块可能有利于农作物的生长，而另一些却不利于农作物的生长。
不考虑这些因素进行分析可能会导致：即使不同的施肥量、不同品种农作物产量没有产生显著影响，但分析的结论却可能相反。
再例如，分析不同的饲料对生猪增重是否产生显著差异。
如果单纯分析饲料的作用，而不考虑生猪各自不同的身体条件（如初始体重不同），那么得出的结论很可能是不准确的。
因为体重增重的幅度在一定程度上是包含诸如初始体重等其他因素的影响的。
（二）协方差分析的原理协方差分析将那些人为很难控制的控制因素作为协变量，并在排除协变量对观测变量影响的条件下，分析控制变量（可控）对观测变量的作用，从而更加准确地对控制因素进行评价。
协方差分析仍然沿承方差分析的基本思想，并在分析观测变量变差时，考虑了协变量的影响，人为观测变量的变动受四个方面的影响：即控制变量的独立作用、控制变量的交互作用、协变量的作用和随机因素的作用，并在扣除协变量的影响后，再分析控制变量的影响。
方差分析中的原假设是：协变量对观测变量的线性影响是不显著的；在协变量影响扣除的条件下，控制变量各水平下观测变量的总体均值无显著差异，控制变量各水平对观测变量的效应同时为零。
检验统计量仍采用F统计量，它们是各均方与随机因素引起的均方比。
（三）协方差分析的应用举例为研究三种不同饲料对生猪体重增加的影响，将生猪随机分成三组各喂养不同的饲料，得到体重增加的数据。
由于生猪体重的增加理论上会受到猪自身身体条件的影响，于是收集生猪喂养前体重的数据，作为自身身体条件的测量指标。
线性回归分析
1
在研究问题时，我们考虑一个变量受其他变量的影响时，把这变量称为因变 量，记为Y ，其他变量称为自变量，记为 X ，这时相关系数可记作：
行元素构成的行向量，上式对 k 1,2, , K 都成立，bk 正是被解释变量观测值Yi 的
线性组合，也就是多元线性回归参数的最小二乘估计是线性估计。 （2）无偏性：
多元线性回归的最小二乘估计也是无偏估计，即参数最小二乘估计的数学期 望都等于相应参数的真实值，最小二乘估计向量的数学期望等于参数真实值的向 量，参数真实值是参数估计量的概率分布中心。
i
bk zki )](1) 0, bk zki )](z1i ) 0,
2[Yi (b0 b1z1i bk zki )](zki ) 0
i
同时成立时，V 有最小值。对这个方程组整理，可得到如下的正规方程组：
4
b0 Y (b1z1 bK zK ), S11b1 S12b2 S1KbK S10,
(2)成立为前提)。 (4) 对应不同观测数据的误差项不相关，即
Cov(i , j ) E[(i E(i ))( j E( j ))] E(i j 0) 对任意的 i j 都成立(假设(1) 成立为前提)。
(5) 解释变量 Xi (i 1, 2, ,r)是确定性变量而非随机变量。当存在多个解释 变量 (r 1) 时假设不同解释变量之间不存在线性关系，包括严格的线性关系和强 的近似线性关系。
Yi 0 1X1i 2 X2i 3X3i k Zki i ，其中 i 是随机误差项。
gls 和ols 的协方差
gls 和ols 的协方差
GLS（广义最小二乘法）和OLS（普通最小二乘法）是统计学中常用的回归分析方法。
协方差是用来衡量两个随机变量之间的关系强度和方向的统计量。
在回归分析中，协方差可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关联程度。
首先，让我们来看GLS和OLS的定义。
OLS是一种回归分析方法，它通过最小化观测数据的残差平方和来估计模型参数。
这意味着它假设误差方差在所有自变量的取值上都是相同的，即误差项是同方差的。
而GLS则是一种更一般化的回归方法，它允许误差项的方差在不同的自变量取值下不同，因此可以更好地处理异方差性（即误差项方差不相等）的情况。
接下来，我们来看GLS和OLS的协方差。
在回归分析中，我们通常关心的是残差的协方差。
残差是因变量的观测值与回归模型预测值之间的差异，它们的协方差可以帮助我们评估模型的拟合程度和误差的相关性。
在OLS中，残差的协方差通常被假定为常数，因为OLS假设误差项是同方差的。
而在GLS中，由于允许误差项的方差在不同自变量取值下不同，因此残差的协方差也可以根据具体的模型设定而变化。
总的来说，GLS和OLS的协方差都是在回归分析中用来衡量误差项之间关联程度的重要统计量。
通过对协方差的分析，我们可以更好地理解回归模型的拟合情况和误差的特性。
在实际应用中，选择合适的回归方法和对协方差的合理处理都对建立准确的回归模型和进行有效的统计推断至关重要。
广义线性回归分析(协方差分析)
随机误差 协变量
二、方差分析和协方差分析的区别
区别(1)：数据
方差分析
协方差分析
AY 1 y11 1 y12 ∶∶ 1 y1.n1 2 y21 2 y22 ∶∶ 2 y2,n2
AY 1 y11 1 y12 ∶∶ 1 y1,n1 2 y21 2 y22 ∶∶ 2 y2,n2
X x11 x12 ∶ x1,n1 x21 x22 ∶ x2,n2
X
1 577.89740304 577.89740304 36.01 0.0001
③
Source
DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F
DRUG
2 68.55371060 34.27685530 2.14 0.1384
X
1 577.89740304 577.89740304 36.01 0.0001
区别(2)：模型
方差分析模型
μi 是组均值 (group mean) εij 是随机误差
协方差分析模型
μi 是校正的组均值 (adjusted group mean) εij 是随机误差 β是协变量x对因变量y的影响
区别(3)：假设条件
方差分析
协方差分析
Ø 在效应因子的每一 个水平上，因变量y 服从正态分布；
(3) 检验线性相关性的结果：(H0: 线性无关，H1:线性相关） A组：F=11.23，df=(1,8)，p=0.0101 D组：F=39.24，df=(1,8)，p=0.0002 F组：F= 6.21，df=(1,8)，p=0.0374 --------说明三个组上 y 与 x 均近似呈线性关系。
数据：
解：这是一个完全随机设计资料。令 x 表示治疗前病人身体的癫疯病菌数量， y 表示治疗后病人身体的癫疯病菌数量， drug 表示用药方式，取值为A、D和F，分别 表示使用抗生素A、抗生素D和安慰剂。
回归分析方差分析
分别对b0,b1,…,bn求导,并令其一阶导数为0,可 求出各个系数
二、回归方程得数学模型
估计标准误差 就是估计y与对应观测值之间得离差平方和
SST Lyy ( yi yi )2
^
^
( yi yi )2 ( yi y)2
• ⑦“Influence Statistics” 统计量得影响。 “DfBeta(s)”删除一个特定得观测值所引起得回归系数得 变化。 “Standardized DfBeta(s)”标准化得DfBeta值 。 “DiFit” 删除一个特定得观测值所引起得预测值得变 化。“Standardized DiFit”标准化得DiFit值。 “Covariance ratio”删除一个观测值后得协方差矩阵得行 列式和带有全部观测值得协方差矩阵得行列式得比率。
Leverage values: 杠杆值。 • ③“Prediction Intervals”预测区间选项:
Mean: 区间得中心位置。 Individual: 观测量上限和下限得预测区间。
• ④“Save to New File”保存为新文件: 选中“Coefficient statistics”项将回归系数保存到指定得 文件中。
Unstandardized 非标准化预测值。在当前数据 文件中新添加一个以字符“PRE_”开头命名得变 量,存放根据回归模型拟合得预测值。 Standardized 标准化预测值。 Adjusted 调整 后预测值。S、E、 of mean predictions 预测 值得标准误。
• ②“Distances”距离栏选项: • Mahalanobis: 距离。 Cook’s”: Cook距离。
spss学习系列23.协方差分析
spss学习系列23.协⽅差分析（⼀）原理⼀、基本思想在实际问题中，有些随机因素是很难⼈为控制的，但它们⼜会对结果产⽣显著影响。
如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。
这种影响的变量称为协变量（⼀般是连续变量）。
例如，研究3种不同的教学⽅法的教学效果的好坏。
检查教学效果是通过学⽣的考试成绩来反映的，⽽学⽣现在考试成绩是受到他们⾃⾝知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。
协⽅差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从⽽实现对控制变量效果的准确评价。
协⽅差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独⽴，且与控制变量之间没有交互影响。
前⾯单因素⽅差分析和多因素⽅差分析中的控制变量都是⼀些定性变量，⽽协⽅差分析中既包含了定性变量（控制变量），⼜包含了定量变量（协变量）。
协⽅差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进⾏⽅差分析，是⼀种把直线回归或多元线性回归与⽅差分析结合起来的⽅法，其中的协变量⼀般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组⼀致，即各组协变量与因变量所建⽴的回归直线基本平⾏。
当有⼀个协变量时，称为⼀元协⽅差分析，当有两个或两个以上的协变量时，称为多元协⽅差分析。
⼆、协⽅差分析需要满⾜的条件（1）⾃变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差；（2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以⽤协变量和因变量的散点图来检验是否违背这⼀假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是⾮⽔平的平⾏线。
否则，就有可能犯第⼀类错误，即错误地接受虚⽆假设；（3）⾃变量与协变量相互独⽴，若协⽅差受⾃变量的影响，那么协⽅差分析在检验⾃变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，⾃变量对因变量的间接效应就会被排除；（4）各样本来⾃具有相同⽅差σ2的正态分布总体，即要求各组⽅差齐性。
线性模型(5)——广义线性模型
我们知道，混合线性模型是一般线性模型的扩展，而广义线性模型在混合线性模型的基础上又做了进一步扩展，使得线性模型的使用范围更加广阔。
每一次的扩展，实际上都是模型适用范围的扩展，一般线性模型要求观测值之间相互独立、残差(因变量)服从正态分布、残差(因变量)方差齐性，而混合线性模型取消了观测值之间相互独立和残差(因变量)方差齐性的要求，接下来广义线性模型又取消了对残差(因变量)服从正态分布的要求。
残差不一定要服从正态分布，可以服从二项、泊松、负二项、正态、伽马、逆高斯等分布，这些分布被统称为指数分布族，并且引入了连接函数，根据不同的因变量分布、连接函数等组合，可以得到各种不同的广义线性模型。
要注意，虽然广义线性模型不要求因变量服从正态分布，但是还是要求相互独立的，如果不符合相互独立，需要使用后面介绍的广义估计方程。
=================================================一、广义线性模型广义线性模型的一般形式为：有以下几个部分组成1.线性部分2.随机部分εi3.连接函数连接函数为单调可微(连续且充分光滑)的函数，连接函数起了"y的估计值μ"与"自变量的线性预测η"的作用，在一般线性模型中，二者是一回事，但是当自变量取值范围受限时，就需要通过连接函数扩大取值范围，因此在广义线性模型中，自变量的线性预测值是因变量的函数估计值。
广义线性模型设定因变量服从指数族概率分布，这样因变量就可以不局限于正态分布一种形式，并且方差可以不稳定。
指数分布族的概率密度函数为其中θ和φ为两个参数，θ为自然参数，φ为离散参数，a,b,c为函数广义线性模型的参数估计：广义线性模型的参数估计一般不能使用最小二乘法，常用加权最小二乘法或极大似然法。
回归参数需要用迭代法求解。
广义线性模型的检验和拟合优度：广义线性模型的检验一般使用似然比检验、Wald检验。
模型的比较用似然比检验，回归系数使用Wald检验。
线性模型(5)——广义线性模型
线性模型(5)——广义线性模型广义线性模型是一种扩展了一般线性模型的模型，它在混合线性模型的基础上进一步扩展，使得线性模型的使用范围更加广泛。
每次扩展都是为了适用更多的情况。
一般线性模型要求观测值之间相互独立，残差（因变量）服从正态分布，残差（因变量）方差齐性。
而混合线性模型取消了观测值之间相互独立和残差（因变量）方差齐性的要求。
广义线性模型又取消了对残差（因变量）服从正态分布的要求。
残差不一定要服从正态分布，可以服从二项、泊松、负二项、正态、伽马、逆高斯等分布，这些分布被统称为指数分布族，并且引入了连接函数。
根据不同的因变量分布、连接函数等组合，可以得到各种不同的广义线性模型。
需要注意的是，虽然广义线性模型不要求因变量服从正态分布，但是仍要求相互独立。
如果不符合相互独立的要求，需要使用广义估计方程。
广义线性模型的一般形式包括线性部分、随机部分εi和连接函数。
连接函数为单调可微的函数，起到连接因变量的估计值μ和自变量的线性预测值η的作用。
在广义线性模型中，自变量的线性预测值是因变量的函数估计值。
广义线性模型设定因变量服从指数族概率分布，这样因变量就可以不局限于正态分布，并且方差可以不稳定。
指数分布族的概率密度函数包括θ和φ两个参数，其中θ为自然参数，φ为离散参数，a、b、c为函数广义线性模型的参数估计。
广义线性模型的参数估计一般不能使用最小二乘法，常用加权最小二乘法或极大似然法。
回归参数需要用迭代法求解。
广义线性模型的检验和拟合优度一般使用似然比检验和Wald检验。
似然比检验是通过比较两个相嵌套模型的对数似然函数来进行的，统计量为G。
模型P中的自变量是模型K 中自变量的一部分，另一部分是要检验的变量。
G服从自由度为K-P的卡方分布。
回归系数使用Wald检验进行模型比较。
广义线性模型的拟合优度通常使用以下统计量来度量：离差统计量、Pearson卡方统计量、AIC、AICC、BIC、CAIC准则，准则的值越小越好。
广义估计方程回归模型 回归系数
广义估计方程回归模型回归系数
广义估计方程（Generalized Estimating Equations，简称GEE）是一种统计方法，用于估计相关数据的回归系数。
在回归分析中，回归系数是用来衡量自变量对因变量的影响程度的参数。
GEE
方法适用于处理相关数据，如重复测量数据或者集群数据，它允许
我们在考虑数据相关性的情况下进行回归分析。
GEE方法的优势在于它能够处理非正态分布的数据和相关数据，而且对数据的相关结构没有特定的要求。
在广义估计方程中，回归
系数的估计是通过最大似然估计或者广义估计方程的迭代算法得到的。
这些估计的回归系数可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，以及它们之间的关系。
此外，GEE方法还可以提供回归系数的置信区间和假设检验，
帮助我们评估回归系数的显著性和可信度。
通过对回归系数的估计，我们可以进行统计推断，得出自变量对因变量的影响是否显著，以
及它们之间的关系强度如何。
总之，广义估计方程方法通过估计回归系数来帮助我们理解数
据之间的关系，尤其适用于处理相关数据和非正态分布的数据。
它
为我们提供了一种有效的统计工具，可用于回归分析和解释自变量对因变量的影响。
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① Dependent Variable: Y
Sum of
Mean
Source
DF Squares Square
F Value Pr > F
Model
3 871.49740304 290.49913435 18.10 0.0001
Error
26 417.20259696 16.04625373
Corrected Total 29 1288.70000000
Parameter INTERCEPT DRUG A
D F X
Estimate -0.434671164 B -3.446138280 B -3.337166948 B 0.000000000 B
0.987183811
T for H0: Parameter=0
-0.18 -1.83 -1.80
. 6.00
。男性和女性之间收缩压的差异 。试验药和对照药之间的作用差异 。大学生和运动员之间肺活量的差异
方差分析的原理
分解总体变异： SST = SSA + SSE
Y的总体变异 舒张压
被因子A 所 解释的部分
性别
残差
回归分析
分析自变量X对因变量Y的依存关系，即， 分析自变量X改变一个单位时，因变量Y的 改变量大小。
多元统计分析方法
The Methods of Multivariate Statistical Analysis
回忆
主要的统计分析方法
反 分类型 应 变 量 数值型
卡方分析 方差分析 回归分析
异同点？
比较率 比较均值 依存关系
方差分析
分析效应因子A对反应变量Y的影响，即， 分析效应因子A的不同水平对反应变量Y 的作用差异。
(3) 检验线性相关性的结果：(H0: 线性无关，H1:线性相关） A组：F=11.23，df=(1,8)，p=0.0101 D组：F=39.24，df=(1,8)，p=0.0002 F组：F= 6.21，df=(1,8)，p=0.0374 --------说明三个组上 y 与 x 均近似呈线性关系。
协方差分析的意义
• 可以消除多个混杂因素对处理效应的影响， 得到校正均值；
• 提高方差分析结果的准确性和真实性； • 医学研究中应用广泛，解决了很多条件不易
控制的实验问题。
协方差分析和随机区组设计的区别：
• 随机区组设计资料的方差分析仅可以消除一 个混杂因素（分类型变量）对因变量的影响；
• 协方差分析可以消除多个混杂因素对因变量 的影响。
区别(2)：模型
方差分析模型
μi 是组均值 (group mean) εij 是随机误差
协方差分析模型
μi 是校正的组均值 (adjusted group mean) εij 是随机误差 β是协变量x对因变量y的影响
区别(3)：假设条件
方差分析
协方差分析
Ø 在效应因子的每一 个水平上，因变量y 服从正态分布；
Ø 方差相等。
Ø 在效应因子的每一个水平上， 因变量y服从正态分布；
Ø 方差相等； Ø 在效应因子的每一个水平上，
因变量y和协变量x呈线性关系； Ø 斜率相同。
三、协方差分析的方法步骤
o 检验数据是否满足假设条件： § 正态分布性 § 方差齐性 § 线性相关性 § 平行性
o 检验效应因子的显著性 o 估计校正的组均值 o 检验校正的组均值之间的差异
【SAS 部分输出结果】 (1) 检验正态分布的结果：(H0: y 服从正态分布）
A组：W= 0.928405， P=0.4166 D组：W= 0.871798， P= 0.1002 F组：W= 0.972136， P= 0.9023 -------说明三个组的y 值均近似服从正态分布。 (2) 检验方差齐性的结果:（H0: 方差相等） Chi-Square =1.551005，DF=2，P= 0.4605， --------说明三个组的方差在统计意义上是相等的。
R-Square
C.V. Root MSE
Y Mean
0.676261 50.70604 4.0057775
7.9000000
②
Source
DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F
DRUG
2 293.60000000 146.80000000 9.15 0.0010
方差分析存在的问题：结果不够准确
用方差分析结果来对下面问题作结论，合适吗？
。男性和女性之间收缩压的差异 。试验药和对照药之间的作用差异 。大学生和运动员之间肺活量的差异
年龄 用药前水平 身高
方差分析不够准确的原因：
SST = SSA + SSE
Y的总体变异 被因子A 所 残差 解释的部分
肺活量
职业
其意义是使得方型分析方法
协方差分析
含有数值型自变量 的方差分析
广义线性回归分析
含有分类型自变量 的回归分析
第二节 协方差分析
协方差分析是将方差分析原理和线性回归 分析原理结合起来的一种方差分析方法。 它消除了混杂变量（协变量）对因变量的 影响，使得方差分析结果更加准确。
class drug； model y=drug x； lsmeans drug / pdiff； run； 【SAS 输出结果】 General Linear Models Procedure Class Level Information Class Levels Values DRUG 3 A D F Number of observations in data set = 30
数据：
解：这是一个完全随机设计资料。令 x 表示治疗前病人身体的癫疯病菌数量， y 表示治疗后病人身体的癫疯病菌数量， drug 表示用药方式，取值为A、D和F，分别 表示使用抗生素A、抗生素D和安慰剂。
首先建立SAS数据集
data eg6_1； do id=1 to 10； do drug='A'， 'D'， 'F'； input x y @@； output； end； end；
方差分析和回归分析的不同点
结合？
自变量： 方差分析： 回归分析：
自变量---分类型 自变量---连续型
第六章
广义线性模型分析
General Linear Model Analysis
主要内容
Ø 什么是广义线性模型分析？ Ø 协方差分析 Ø 广义线性回归分析
第一节 广义线性模型分析的概念
广义线性模型分析是将方差分析和回归分 析的基本原理结合起来，用来分析连续型 因变量与任意型自变量之间各种关系的一 种统计分析方法。
cards； 11 6 6 0 16 13 …… 3 0 15 9 12 20
run；
(一) 检验协方差分析的4个假设条件是否满足 (1) 检验正态性： proc sort data=eg6_1； by drug；run； proc univariate data=eg6_1 normal；var y；by drug；run； (2) 检验方差齐性： proc discrim data=eg6_1 pool=test；class drug；var y；run； (3) 检验线性相关性： proc reg data=eg6_1； model y=x； by drug；run； (4) 检验平行性： proc glm data=eg6_1；model y=drug x drug*x ；run；
LSMEAN i/j 1
2
3
A
6.7149635 1 .
0.9521 0.0793
D
6.8239348 2 0.9521 .
0.0835
F
10.1611017 3 0.0793 0.0835 .
均值和校正均值
The means and adjusted means
means
adjusted means
。收缩压和胆固醇的依存关系 。肺活量和体重的关系 。污染物浓度和污染源距离之间的关系
回归分析的原理
分解总体变异： SST = SSX + SSE
Y的总体变异
舒张压
被自变量X 所 解释的部分
胆固醇
残差
方差分析和回归分析的相同点
模型：
因变量 = 自变量 + 残差
方法原理： 因变量：
分解总体变异 SST = SSA + SSE SST = SSX + SSE 连续型数值变量
X
1 577.89740304 577.89740304 36.01 0.0001
③
Source
DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F
DRUG
2 68.55371060 34.27685530 2.14 0.1384
X
1 577.89740304 577.89740304 36.01 0.0001
③ TyepIII SS 对参数的检验结果。根据第三类SS定义，检验 模型中每一个自变量时，都校正模型中的其它变量对y 的 影响。此结果说明，校正了治疗前的病情状况后，这三种 治疗方法是没有显著性区别的(p=0.1384)。
④ 给出了三个处理组的校正均值，即，校正了治疗前的病情 状况后三个组的均值，以及每一对均值的差异比较。因为 上面结果已经说明三种治疗方法没有显著性差别，因此不 需要解释这一部分的结果。 因为数据满足协方差分析的 假设条件，因此，上述协方差分析结果是可靠的。
协方差分析在医学中的应用
1）借助协方差分析来排除非处理因素的干扰，从而 准确地估计处理因素的试验效应。
2）协方差分析和方差分析一样，包括各种类型的模 型，因此可以用来处理医学研究中各种不同设计资 料的分析，例如，完全随机设计资料，随机区组设 计资料等等。