职高数学正弦型函数1

A 0 ， 0 ， A 、 、 都是常数)，叫做正弦型函数，
其图象叫做正弦型曲线．
其中 A 叫做振幅， 叫做角速度(或角频率)，
叫做初相位， T 2 是函数的周期．
当 A 1 ， 1 ， 0 时，正弦型函数 y Asin x
就是正弦函数 y sin x ．
y
1
-4 -3 -2 -
o 2 3 4 5 6 x
-1
函数 定义域
值域 取得最大值时 x的取值集合 取得最小值时 x的取值集合
周期 奇偶性
单调增区间
单调减区间
y =sinx
R [-1，1]
{x | x π 2kπ, k Z} 2
{x|x 3π 2kπ, k Z} 2
2 T 2π

求函数 y= 3 sin 1 cos的最大值和最小值.
2
2
证明：Q y= 3 sin 1 cos
2
2
= sin cos cos sin = sin( )
6
y= sin( )
6
6
6
当 =2k

2 3

,
k

Z时，ymax
1;
当 =2k

5,k
3
Z时，ymin

1.
求函数 y sin x 3 cos x的最大值.
2
➢二倍角的正弦公式
sin2＝2sin·cos
➢二倍角的余弦公式
cos2＝cos2－sin2 或 cos2＝2cos2－1 或 cos2＝1－2sin2
✓公式中的 可以是任意角.
用五点法作正弦函数 y=sinx，x∈[0,2π]的图象.
y
在精确度要
求不高时
1-
-
o
π
2π
x
-1 -
图象的最高点: 与 x 轴的交点: 图象的最低点:
( π ，1)； 2
(0，0)，(π，0)，(2 π，0)；
(3π ，1) ． 2
一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T， 当x取定义域D内的每一个值时，都有等式 f(x＋T)＝ f(x)成立，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的一个周期．
3 振幅、角频率、初相位、周期、最大值和最小值．
解：振幅 A 2 ， 角频率 5， 初相位 ，
3
周期T 2 2 ，最大值为 2，最小值为 2 ．
5
已知正弦型函数 y 3sin(4x ) ，求该正弦型函数的
6 振幅、角频率、初相位、周期、最大值和最小值．
➢两角和(差)的余弦公式
cos(－)＝cos·cos＋sin·sin cos(＋)＝cos·cos－sin·sin
➢两角差的正弦公式
sin(＋)＝sin·cos＋cos·sin sin(－)＝sin·cos－cos·sin
✓公式中的 、 可以是任意角.
正弦型函数 y=sinx 的图象
正弦型函数 y=2sin x 的图象
正弦型函数 y=sin2 x 的图象
正弦型函数 y=sin(x + )的图象
2
正弦型函数 y=Asin( x +)的图象
正弦型函数 y Asin x 图象与正弦曲线很相似.
已知正弦型函数 y 2sin(5x ) ，求该正弦型函数的
0，最大值为
7

，最小正周期 3
，
初相位 ，求函数解析式。
4
函数 振幅 角速度 初相位 定义域 最值
y取最大值时的x
y取最小值时的x
周期
y=Asin( x +)
A

R ymax＝A，ymin＝–A
{x|x 2kπ π , k Z}
2
{x|x 2kπ 3π , k Z}
3
3
此时 5x 2k 3 ， 即 x 2 k 7 ， k Z
3
2
5 30
当 x 取何值时，正弦型函数 y 5sin 1 x 取得最大值和最小值？ 3
例3：已知函数 y 10sin(4x ) ，
求函数取得最小值和最大值时x的取值集合。
3、y
Asin(x ),
• §15 三角函数及其应用
• 3.1正弦型函数的概念
➢两角和(差)的正切公式 tan(＋ ) tan＋tan 1 tan tan tan( ) tan tan 1 tan tan
✓公式中的 、 、＋、 －都不等于 k k Z .
2 ,4 ,… ,–2 ,–4 ,… , 2k(kZ且k≠0)都是正弦 函数 y =sinx的周期．
y
1
-4 -3 -2 -
o 2 3 4 5 6 x
-1
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在 一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小 正周期．
如果不特别说明，周期就是指最小正周期． 正弦函数 y =sinx的最小正周期2.
当 x 取何值时，正弦型函数 y 2sin(5x ) 取得最大值
3
和最小值？
解：当 sin(5x ) 1 时， y 2sin(5x ) 取得最大值 2，
3
3
此时 5x 2k ，
3
2
即 x 2 k ， k Z
5 30
当 sin(5x ) 1时， y 2sin(5x ) 取得最小值-2，
2π 奇函数
[ π 2kπ, π 2kπ], k Z
2
2
[ π 2kπ, 3π 2kπ], k Z
2
2
我们还知道， 正弦交流电的电压u与时间t之间的关系为
u=Usin( t +)
正弦型函数
y=Rsin( t
y
+=)Asin(x+
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一般地，形如 y Asinx ， x R 的函数(其中