优选第五节极限运算法则

常数因子可以提到极限记号外面. 【推论2】 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
【注意】定理3及其两个推论成立的前提条件是：
“f (x)与g (x)的极限存在”
2.数列极限运算法则
【定理4】设数列xn, yn, 若
lim
n
xn
A
n(n 1)
但
1 n2
2 n2
n n2
2 n2
n(n 2n2
1)
1 2
非无穷小
(n 时)
2）乘积的性质
【定理2】有界函数 u与无穷小 的 乘积是无穷小.
【分析】（仅证 x 时x0） 需证 0 , 0
当 0 x x0 时 , u
【证】设
u M（注：M为定值）
又设 lim 0, 即 0,
求极限方法举例
【例2】
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
【解】 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5 22 3 2 5 3 0,
x2
x2
x2
lim
x2
x2
x3 1 3x
由无穷小运算法则,得
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
( A B ) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
，lim n
yn
B
则
(1)
lim (
n
xn
yn )
A
B
(2)
lim
n
xn
yn
A B
(3)
lim xn n yn
A B
,当 yn
0(n 1,2,) 且 B 0
【提示】因数列是一种特殊的函数 , 故此定理4 可由
定理3（x→∞情形）与海因定理直接得出结论 .
3.极限保序性
【定理5】 如果 ( x) ( x) 而 lim( x) a
由于 lim g( x) B 0 由第三节定理3*得
x x0
U( x0 ) , 当 x U( x0 )时
g(x) B 2
即
1 1 2
g(x) B B
故
1
B(B )
1 B
1
B
2 B2
,
有界， (3)成立.
函数和,差,积,商的极限等于极限的和,差,积,商.
【推论1】如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[ cf ( x)] c lim f ( x).
当
x x0
时, 有
M
取
min1 , 2 ,
则当 x ( x0 , ) 时 , 就有 u
u
M
M
故
即是
时的无穷小 .
【证完】
【推论1】 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
【推论2】 常数与无穷小的乘积是无穷小.
【推论3】 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1
x
x
都是无穷小
【例1】 求 lim sin x .
【解】
x x lim 1 0
y sin x x
x x
由定理 2 可知：
【说明 】 y = 0 是
的渐近线 .
二、极限的运算法则
【声明】以下符号lim表示自变量的同一变化过程
1.函数极限运算法则
【定理3】 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则
f ( x0 ).
2.
设有理分式函数
F
(
x)
P( Q(
x) x)
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x) lim F ( x) xx0
P( x0 )
F ( x0 ).
x x0
lim Q( x) Q( x0 )
x x0
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用. 需特别注意
【例3】求
lim
x1
lim ( x) b 则 a b
【证】 令 f ( x) ( x) ( x)
则 f (x) 0
由定理3可知
lim f ( x) lim( x) ( x)
lim( x) lim ( x) a b
由第三节函数极限的局部保号性的推论可知
lim 源自文库 ( x) 0 a b 0 a b 【证完】
优选第五节极限运算法则
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【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
【例如】
(1) n 时, 1 是无穷小，但n个 1 之和为 1 , 非无穷小.
n
n
lim(1 1 1 ) lim1 1
n n n
n
n
(2)
1 n2
,
2 n2
,,
n n2
n个 都是 n 时的无穷小
(1) lim[ f ( x) g( x)] A B;
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B;
推广到 有限项
(3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
【证】lim f ( x) A, lim g( x) B.
f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0.
【方法】消去零因子法
【解】 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子 x 1 后再求极限.
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
lim
x1
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
lim x 1 1 . 在x→1（但x≠1）时是相 x1 x 3 2 同的函数,故而极限相等
【例5】
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
.
( 型)
【方法】抓大头（以消除不定性）—无穷小量分出法
【解】
x
时,
分子,分母的极限都是无穷大.
5
lim x
x2
lim( x 2
3 lim 1 x2
3x 5)
23 3
1
7. 3
x2
【小结】
1. 设多项式 f ( x) a0 xn a1xn1 an ,则有
lim
x x0
f
(
x)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0n
a1
x n1 0
an
x
4x 1 2 2x
3
.
【方法】无穷大的倒数法
“( 1 ”型 ,为) 0
【解】 x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 商的法则不能用
但因
lim x2 2x 3 x1 4 x 1
0 0. 3
lim
x1
x
4x 1 2 2x
3
.
【例4】
求
lim
x1
x
2
x2 1 2x
3
.
( 0型) 0