主成分分析法实例 - 360文档中心

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1、主成分法：

用主成分法寻找公共因子的方法如下：

假定从相关阵出发求解主成分，设有p 个变量，则可找出p 个主成分。将所得的p 个主成分按由大到小的顺序排列，记为1Y ，2Y ，…，P Y ，则主成分与原始变量之间存在如下关系：

11111221221122221122....................p p p p p

p p pp p Y X X X Y X X X Y X X X

γγγγγγγγγ=+++⎧⎪

=+++⎪⎨⎪

⎪=+++⎩ 式中，ij γ为随机向量X 的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量，因为特征向量之间彼此正交，从X 到Y 得转换关系是可逆的，很容易得出由Y 到

X 得转换关系为：

11112121212122221122....................p p p p p

p p pp p X Y Y Y X Y Y Y X Y Y Y

γγγγγγγγγ=+++⎧⎪

=+++⎪⎨⎪

⎪=+++⎩ 对上面每一等式只保留钱m 个主成分而把后面的部分用i ε代替，则上式变为：

111121211

2121222221122.................

...m m m m p p p mp m p X Y Y Y X Y Y Y X Y Y Y γγγεγγγεγγγε=++++⎧⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩

上式在形式上已经与因子模型相一致，且i Y （i=1,2，…，m ）之间相互独立，且i Y 与i ε之间相互独立，为了把i Y 转化成合适的公因子，现在要做的工作只是把主成分i Y 变为方差为1的变量。为完成此变换，必须将i Y 除以其标准差，由主成分分析的知识知其标准差即为特征根的平方根

i λ/i i i F Y λ=，

1122m m λγλγλγ，则式子变为：

1111122112211222221122....................m m m m p p p pm m p X a F a F a F X a F a F a F X a F a F a F εεε=++++⎧⎪=++++⎪⎨⎪

⎪=++++⎩

这与因子模型完全一致，这样，就得到了载荷A 矩阵和初始公因子(未旋转)。

一般设A ∧

为样本相关矩阵R 的特征根，12,,...,p γγγ为对应的标准正交化特征向量。设m

A ∧

=(1122,,...,m m λγλγλγ)

共同度的估计为：

2

12...i i i im h a a a ∧∧∧∧=+++

下面用主成分法分析以下数据：

步骤：

第一步，把Excel 中的数据导入到SPSS 中：File →Open →Data ；第二步，数据标准化：Analyze →Descriptive Statistics →Descriptives 如图：

第三步，检验数据：

如图：

得到结果如下：

KMO 和Bartlett 的检验

取样足够度的Kaiser-Meyer-Olkin 度量。.754 Bartlett 的球形度检验近似卡方

df 36

Sig. .000

Sig小于，所以该数据可用；

第四步,用主成分法分析数据：Analyze→Dimension Reduction→Factor 如图：

得到结果如下图：