椭圆与标准方程(优秀获奖教(学)案)

2.2.1椭圆及其标准方程（1）教学目标:重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：椭圆标准方程的建立和推导．知识点：椭圆定义及标准方程.能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义；2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错.拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课【创设情景】材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.材料2：2012年6月16日下午18时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片．【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想. 思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆． 学生分组做试验,教师同时做好指导:按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）思考:点M 运动时，12,F F 移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程， 师生共同总结规律：当1212||||||MF MF FF 时,M 点的轨迹为椭圆；当1212||||||MF MF F F 时,M 点的轨迹为线段1F 2F ；当1212||||||MF MF F F 时,M 点的轨迹不存在．【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．二、探究新知 （一）归纳定义思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？设椭圆上任一点为M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+【设计意图】通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.（二）椭圆标准方程的推导复习提问求曲线方程的一般步骤：（教师提问，针对对于学生回答情况做一总结） （1）建系、设点;（2）写出点的集合;（3）列式;（4）化简;（5）证明. 思考：如何建系，才能使求出的方程最简呢？由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较。

常遇到的建系方法如下：（供教师参考）方案一：把1F 、2F 建在x 轴上，以1F 、2F 的中点为原点； 方案二：把1F 、2F 建在x 轴上，以1F 为原点；方案三：把1F 、2F 建在x 轴上，以1F 、2F 与x 轴的左交点为原点； 方案四：把1F 、2F 建在y 轴上，以1F 、2F 的中点为原点；坐标简单及化简过程不那么繁杂，设12||2(0)F F c c，则12(,0),(,0)F c F c设M 与两定点21,F F 的距离的和等于a 2 （2）写点的集合：由椭圆的定义，椭圆就是集合{}12|||||2P M MF MF a =+=（3）列式：12||||2MF MF a 22()2,x c y a（4）化简：教师引导学生思考:我们怎么化简两个带根式的式子？对于本式是直接平方好还是移项后再平222()ax c y两边平方，得：2222222()44()()x c y a a x c y x c y即222()a cxa x c y两边平方，得：422222222()a a cx c x a x c a y整理，得：22222222()()ac x a y a a c两边同除以222()a ac ，得 222221x y a a c+=-①由椭圆的定义知，a c > 所以220a c ->注:教师板书化简过程,让学生进一步明确标准方程的由来,思考1:请同学观察右图，你能从中找出表示,a c 由图可知，12,PF PF a ==12,OF OF c ==PO =令b PO =即222(0)ac b b ，则方程可简化为：222a x b +整理成：)0(12222>>=+b a by a x ②【设计意图】通过思考可以让学生进一步明确,,a b c 的几何意义，加深对椭圆定义及标准方程的理解.(5)证明：从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(,)x y 为坐标的点到椭圆的两个焦点12(,0),(,0)F c F c -的距离之和为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上，由曲线与方程的关系知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.方程)0(12222>>=+b a by a x 叫做椭圆的标准方程，焦点在x 轴上，焦点是22221),0,(),0,(b a c c F c F -=-思考2：如果以21,F F 所在直线为y 轴，线段21F F 的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是),0(),,0(21c F c F -，椭圆的方程又如何呢？ 如果不想重复上述繁琐的化简过程，我们将如何做呢？ 分析:由12||||2MF MF a22()2,x c y a变为22()2,xy c a 即变量x 与y 互换位置;)0(12222>>=+b a by a x 变为22221(0)y x a b a b +=>> 即：椭圆的标准方程注：椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。

【设计意图】椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师跟踪指导．再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y 轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．三、理解新知1.椭圆的标准方程：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 焦点在x 轴上，焦点是22212(,0),(,0),F c F c c a b -=-（2）)0(12222>>=+b a bx a y 焦点在y 轴上，焦点是22212(0,),(0,),F c F c c a b -=-2.归纳概括，椭圆方程特征（1）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1; （2）0a b >>不可少,体会,,a b c 的几何意义; （3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定;（4）椭圆标准方程中三个参数,,a b c 关系：222a b c =+ ，a 最大，b c 、大小不定.【设计意图】通过将两个标准方程的总结加深学生对椭圆标准方程的理解掌握，特别是焦点位置，三个参数的关系，为求解椭圆的相关问题打下基础.四、运用新知题型一:求椭圆标准方程例1.已知椭圆的两个两焦点坐标分别是(2,0),(2,0)-，并且椭圆经过点53(,)22-，求它的标准方程 分析:要求椭圆的标准方程,关键先确定参数,,a b c ,本题已知2c =,结合222b ac =-及标准方程)0(12222>>=+b a b y a x ,进一步确定,a b . 教师板书例题求解过程:法1:因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x由椭圆定义知：2a ==所以：a =又因为2,c = 所以222b ac =-=1046-=因此，所求椭圆的标准方程为221106x y += 思考与探究:是否还有其他方法解决此类型问题法2:因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x因为椭圆经过点53(,)22- 且 222b a c =-=24a - 所以：222253()()2214a a -+=-所以解方程得：2210,6a b ==因此，所求椭圆的标准方程为221106x y += 注:本题多以方法二为主,如:已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,椭圆上一点到两焦点1F 、2F 的距离的和等于4,求椭圆的标准方程及焦点坐标.本题再用方法一解决显着比较麻烦了.方法小结:求椭圆标准方程的步骤 （1）“定位”即确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上; （2）“定量”即确定22,a b 的具体数值;（3）求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法及定义法.变式训练1:已知椭圆经过两点(2,-,求椭圆的标准方程. 分析:通过条件看不出焦点的位置,因此在解决问题前应先考虑焦点位置的两种情况,然后带入两点的坐标求参数,a b 即可.方法1:(1)若焦点在x 轴上,设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,由已知条件可得222242111414a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即所求椭圆的标准方程为22184x y +=; (2)若焦点在y 轴上,设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>,由已知条件可得222242111414b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得22114118a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即224,8a b ==,且2248a b =<=,与题设矛盾,舍去 综上,所求椭圆的标准方程为22184x y +=. 方法2:分析:结合方法1的两种情况,影响最后结果的只是2211,a b ,所以我们可以设2211,m n a b==,求出来具体值后在比较大小,进一步确定表达式,这样可以减少讨论的复杂性. 设椭圆的一般方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠.将两点(2,1,2-带入,得 4211414m n nm +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得1814m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即所求椭圆的标准方程为22184x y +=. 小结:在对椭圆定义充分理解的基础上,显然方法2解决问题要比方法1要简单.【设计意图】培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯, 同一个题目有不同的解法,我们可以从中选择简捷、自然的的解题思路．本题突出椭圆定义的应用和待定系数法的解题方法. 题型二:椭圆标准方程的识别例2．当39k <<时,指出方程22193x y k k +=--表示的曲线. 分析:要想确定22193x y k k +=--表示的曲线,首先应确定9,3k k --的取值X 围.教师板书例题求解过程:由39k <<,则90,30k k ->->.（1）当93k k ->-,即36k <<时,方程表示焦点在x 轴上的椭圆; （2）当93k k -=-,即6k =时,方程表示圆223x y +=;（3）当93k k -<-,即69k <<时,方程表示焦点在y 轴上的椭圆.方法小结:根据椭圆方程的两种基本形式可知,焦点在哪一个轴上,那一个变量就对应的分母大,即:2x 对应的分母大,焦点就在x 轴上;2y 对应的分母大,焦点就在y 轴上.当两变量的分母相同时就变成圆了.变式训练2:已知曲线C :22153x y k k+=---,则“45k ≤<”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的什么条件?分析:将曲线C 的方程化为:22153x y k k +=--,若曲线C 是焦点在y 轴的椭圆,则350k k ->->,即 45k <<;故“45k ≤<”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件.注:在解决此类问题前应将22153x y k k+=---先化成标准式. 【设计意图】通过此类型问题进一步加深学生对椭圆定义及标准方程的理解,强调椭圆焦点位置的决定因素,对于含参问题一直是学生的难点,通过此题可以让学生进一步体会参数问题的解决方法. 题型三:椭圆定义及其应用例3:已知p 为椭圆221123x y +=上一点,1F 、2F 为椭圆的两焦点,1260F PF ∠=,求12F PF ∆的面积. 分析:本题解决关于椭圆和三角形问题,通常利用椭圆的定义,结合正余弦定理等知识求解. 教师板书例题求解过程:设12||,||PF m PF n ==,由2212,3a b ==,所以a b ==,则2m n a +==,又由1260F PF ∠=,则22212||2cos 60F F m n mn =+-所以,236()4m n mn =+-,即4mn =.则121sin 6032F PF S mn ∆==变式训练3:已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ,1F 、2F 为椭圆的两焦点,过1F 的直线AB 与椭圆交于,A B两点,求2ABF ∆的周长.分析:因为1212||||2,||||2AF AF a BF BF a +=+=则2ABF ∆的周长为1212|||||||224AF AF BF BF a a a +++=+= 即2ABF ∆的周长为4a .思考:当直线AB 过焦点1F 时,随着,A B 位置的该变,是否2ABF ∆的周长也在跟着改变呢? 分析:由椭圆的定义可得2ABF ∆的周长是个定值,即为4a .【设计意图】通过题型三,一是加强学生对椭圆定义和标准方程的理解,二是加强了椭圆与三角函数的联系.并且通过思考进一步明确三角形一边过焦点时周长为定值的情况.五、课堂小结1．知识：本节课学习了椭圆的定义及标准方程, 应注意以下几点: (1)椭圆的定义中,,a b c 皆为正值,222a b c =+,其中2c 是椭圆焦距； (2)要注意特征量,,a b c 的几何意义,它们确定椭圆的形状.(3)焦点的位置由椭圆的标准方程中22,x y 的分母大小或焦点坐标来决定;求椭圆的标准方程之前应先判断焦点位置以便确定代入哪个方程解题.2．思想：曲线与方程的轨迹思想，方程的思想、分类讨论的思想、待定系数法．【设计意图】通过椭圆的教学，加强对学生学习方法的指导，让学生进一步巩固所学知识,与前面的学习目标呼应,同时应加强对学生在数学知识与思想方法的指导.六、布置作业必做题:1.写出适合下列条件的椭圆标准方程 （1）4,1a b ==，焦点在x 轴上；（2）4,a c ==焦点在y 轴上，； （3）4,10=-=+c a c a2.若方程22216x y a a+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的X 围.3.已知椭圆C 与椭圆223737x y +=的焦点1F 、2F 相同,且椭圆C 过点6)-. (1)求椭圆C 的标准方程.(2)若12,60P C F PF ∈∠=,求12F PF ∆的面积. 选做题：1.已知B ，C 是两个定点，ABC BC ∆=且,6周长为16，求顶点A 的轨迹方程.2.已知P 为椭圆C 上一点,椭圆焦点为1F 、2F ,且12||F F =,若1||PF 、2||PF 的等差中项为12||F F ,求椭圆C 的标准方程.(注意焦点的位置)3．已知椭圆的焦点为1(4,0)F -、2(4,0)F ,P 为椭圆C 上一点,若12F PF ∆的面积的最大值为12,求椭圆的标准方程.【设计意图】通过设计不同层次的作业一是为了让学生能够运用椭圆的定义及标准方程，解决简单的椭圆问题；二是让学有余力的学生有所提高,从而达到激发学生学习兴趣和“减负”的目的.七、教后反思1.本教案的亮点是在教学过程中始终是教师作为引导者，引导学生借助于生活中的实际问题及动手实验归纳出椭圆的定义,在此基础上进一步探讨椭圆的标准方程,理解,,a b c 的几何意义及焦点位置的决定因素.在教学中通过例题的讲述,变式训练的加强,作业的巩固大部分同学基本上掌握椭圆的定义及求解标准方程等相关问题.2. 本节课在设计和教学过程中，留下了一些遗憾:想让学生了解的内容过多,而对学生的估计不足,使得在教学过程中,未能充分发挥学生的主观能动作用,其次由于课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程. 由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须做好定义的探究及标准方程的推导.八、板书设计11 / 11。