随机变量及其分布知识点总结
第1课时 随机变量及其概率分布(1)
第1课时 随机变量及其概率分布（1）一、知识要点：1、一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做 通常用大写拉丁字母X,Y,Z （或小写希腊字母,,ξηζ）等表示，而用小写拉丁字母x,y,z （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值2、假定随机变量X 有n 个不同的值，它们分别是12,...n x x x ,(),1,2...,i i P X x p i n ===① 则称①为随机变量X 的 ，简称为X 的分布列，也可以将其用表的形式来表示，我们称为随机变量X 的 ，它和①都叫做随机变量X 的3、随机变量X 只取两个可能值0和1，我们把这一类概率分布列称为 或 二、例题分析： 例1、（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一试验箱中装有标号1,2,3,3,4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随即变量Y 的可能取值有哪些？例2从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即10X ⎧=⎨⎩，当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布例3、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数X 的概率分布，并求X 大于2小于5的概率P （25X <<）三、练习：课本P48 1,2,3（做在课本上）1、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；（2）盒内装着标有1－4号的大小相同的4个小球，设随机抽取2个，所得的号码之和为Y（3）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数Z2、设随机变量X 只能取5,6,7,…,16这12个值，且取每个值的机会是均等的，试求： （1）P （X>8）； （2）P （6<X ≤8）； （3）(10)P X ≥3、随机变量X 的分布列为(),1,2,3,4,515kP X k k ===，试求： (1)(3)P X <； 15(2)()22P X <<； （3）(24)P X ≤≤第1课时 随机变量及概率分布（1）作业感受·理解1、设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果3.0)4(=<X P ，那么n=2、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到的次品数X 的分布列为 _______ ___3、设随机变量X 的概率分布是kak X P 5)(==，a 为常数，3,2,1=k ，则a =_________ 抛掷一颗骰子两次,定义随机变量⎩⎨⎧=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点ξ试写出随机变量ξ的分布列4、学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P =>ξ，则文娱队的人数是5、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则)0(=ξP 等于思考·运用6、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；（2）盒内装着标有1－4号的大小相同的4个小球，设随机抽取2个，所得的号码之和为Y ；（3）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数Z 。
随机变量及其分布总结
随机变量及其分布1、基本概念⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件A B C 、、，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A B C 、、彼此互斥. 当A B 、是互斥事件时，那么事件A B +发生（即A B 、中有一个发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的和，即()()(P A B P A P B +=+.⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A 的对立事件通常记着A . 对立事件的概率和等于1. ()1()P A P A =-.特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.⑶相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.当A B 、是相互独立事件时，那么事件A B ⋅发生（即A B 、同时发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的积.即()()()P A B P A P B ⋅=⋅.若A 、B 两事件相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的.⑷独立重复试验①一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.②独立重复试验的概率公式p ，那么在n 次独立重复试验中这个试验恰好发生k 次的概率()()(1)0,12,.,k k n k n n P k n k C p p -==-⑸条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 发生的概率.知识结构公式：()(),()0.()P AB P B A P A P A => 2、离散型随机变量 ⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用字母,,,X Y ξη等表示.⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若X 是随机变量，(,Y aX b a b =+是常数）则Y 也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）.3、离散型随机变量的分布列⑴概率分布（分布列）设离散型随机变量X 可能取的不同值为12,x x ，…，i x ，…，n x ，X )i i X x p ==，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列.性质：①0,1,2,...;i p i n ≥= ②1 1.n i i p ==∑⑵两点分布则称X 服从两点分布，并称(1)p P X ==为成功概率.⑶二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是()(1).k k n k n P X k C p p -==-我们称这样的随机变量X 服从二项分布，记作()p n B X ,~，并称p 为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了n 次;① 等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.② 注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；⑵二项分布中的参数是,,.p k n⑷超几何分布一般地, 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{}X k =发生的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===,于是得到随机变量X其中{}min ,m M n =,*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤. 我们称这样的随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从超几何分布.注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；⑵超几何分布中的参数是,,.M N n 其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量.4、离散型随机变量的均值与方差⑴离散型随机变量的均值则称()1122i i n n E X x p x p x p x p =+++++为离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差则称21()(())n ii i D X x E X p ==-∑为离散型随机变量X 的方差，为随机变量X 的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. ()D X 越小，X 的稳定性越高，波动越小，取值越集中；()D X 越大，X 的稳定性越差，波动越大，取值越分散.。
高中数学随机变量分布列知识点
第二章随机变量及其分布内容提要：一、随机变量的定义设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。
二、分布函数的概念和性质1．分布函数的定义设是随机变量，称定义在上的实值函数为随机变量的分布函数。
2．分布函数的性质(1) ，（2）单调不减性：，（3）（4）右连续性：。
注：上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。
在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。
（5）注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。
三、离散型随机变量1．离散型随机变量的定义若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布律（1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称为离散型随机变量的分布律，表示为或用表格表示：或记为~（2）性质：，注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。
其中。
注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的分布函数=，它是右连续的阶梯状函数。
4．常见的离散型分布（1）两点分布（0—1分布）：其分布律为即（2）二项分布（ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。
（ⅱ）二项分布的定义设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为，，称随机变量服从参数为的二项分布，记作。
注：即为两点分布。
（3）泊松分布：若随机变量的分布律为，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。
高中数学系列2—3练习题（2.1）一、选择题：1、如果X是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X取每一个可能值的概率都是非负数；B. X取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（ ） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ）X1 2 3 4P16 1316aA ．12B ．16C ．13D ．144、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,kP X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（ ）A ．1；B ．12； C ．13； D ．145、已知随机变量X 的分布列为：()12k p X k ==，Λ,3,2,1=k ，则()24p X <≤=（ ） A.163 B. 41 C. 161 D. 165 6、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6C. 10D. 无法确定7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ） A. 一枚是3点，一枚是1点 B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 8、设随机变量X 的分布列为()()21,2,3,,,kP X k k n λ==⋅=⋯⋯，则λ的值为（ ）A ．1；B ．12； C ．13； D ．14二、填空题：9 、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是 （把全部正确的答案序号填上）()12,1,2,3,,21k n P X k k n -===-L 10、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10L ，则X 的取值为 11、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为X-1 0 1 p 0.3 0.4 0.4X 1 2 3 p 0.4 0.7 -0.1 X 5 0 -5 p 0.3 0.6 0.1 ()1,2,3,4,5,P X k k k===L④⑤三、解答题：12、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?13、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．14、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n 21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X .高中数学系列2—3练习题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、D3、C4、B5、A6、C7、D8、C 二、填空题：9、 ③④10、13579,1,,2,,3,,4,,52222211、 3,4,5三、解答题：12、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．13、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． X 10 －1 P74 71 7214、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X2 4 8 16 ．．．n 2．．． P 21 41 81 161 ．．． n 21 ．．． ∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．。
概率论第二章随机变量及其分布小结
概率论第二章随机变量及其分布小结随机变量及其分布小结随机变量X=X(e)是定义在样本空间S={e}上的实值单值函数。
也就是说，它是随机试验结果的函数。
它的取值随试验的结果而定，是不能预先确定的，因此它的取值有一定的概率。
随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随即现象的研究。
一个随机变量，如果它所有可能取值是有限个或可列无穷多个，则称其为离散型随机变量，不是这种情况的则称为非离散型。
不论是离散型还是非离散型的随机变量X,都可以借助分布函数F ( x) P{X x}, x来描述。
若已知随机变量X的分布函数，就能知道X落在任意区间( x1 , x2 ]上的概率：P{x1 X x2 } F ( x1 ) F ( x2 ).这样，分布函数就完整的描述了随机变量取值的统计规律性。
对于离散型随机变量，我们需要掌握的是它可能取哪些值，以及它以怎样的概率取这些值，这就是离散型随机变量取值的统计规律性。
因而，对于离散型随机变量，用分布律P{X xk } pk ,k 1,2,或写成Xpkx1 x2 xk p1 p 2 p k来描述它的取值的统计规律性更为直观和简洁。
分布律与分布函数有以下关系：F ( x) P{X x} xk xP{X x }k它们是一一对应的。
分布律具有以下性质：1 pk 0;2pk 1k1.分布函数的基本性质：1 2F ( x)单调不减。
0 F ( x) 1, 且F ( ) lim F ( x) 0,x xF ( ) lim F ( x) 1.3F ( x) F ( x 0),即F ( x)是右连续的。
设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函数f(x),使得对于任意x,有F ( x)f ( x)dx,x则称X是连续型随机变量，其中f ( x) 0称为X的概率密度。
连续型随机变量的分布函数是连续的，连续型随机变量取任一指定实数值a的概率为0,这两点性质是离散型随+机变量不具备的。
高中数学必修知识点随机变量及其分布
高中数学必修知识点随机变量及其分布1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x nX 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1．5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===，其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率8、公式： .0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ）于是可得随机变量ξ的概率分布如下：这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。
随机变量及其分布考点总结
第二章 随机变量及其分布 复习一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1( =i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.1=≥i p ； ②121=++++ i p p p .注意：若随机变量可以取某一区间的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题：1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1)cP k k k k ξ===+……，则P(13)____ξ≤≤=2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为17，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。
（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。
4已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)二、几种常见概率1、条件概率与事件的独立性（1）B|A 与AB 的区别：__________________（2）P(B|A)的计算公式_____________,注意分子分母事件的性质相同 （3）P(AB)的计算公式_____________注意三点：前提，目标，一般情况___________________ （4）P （A+B ）的计算公式__________注意三点：前提，目标，一般情况____________________ 典型例题：1、市场上供应的灯泡，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率80%，则从市场上买到一个是甲厂产的合格品的概率是多少？2、把一副扑克52随即均分给钱四家，A={家得到六章草花}，B={家得到3草花}，计算P(B|A)，P(AB)3、从混有5假钞的20百元钞票中任取两，将其中1在验钞机上检验发现是假钞，求两都是假钞的概率。
随机变量及其分布知识点总结
随机变量及其分布知识点总结随机变量是数学中的一个基本概念,描述了一个随机事件的可能结果。
在概率论和统计学中,随机变量的分布是研究随机变量性质的重要工具。
本文将总结随机变量及其分布的相关知识,包括随机变量的定义、表示、分布、期望、方差等。
一、随机变量的定义随机变量是一种描述随机事件可能的变量,通常用符号 $X$ 表示。
随机变量的取值可以是离散的或连续的。
离散的随机变量只取有限或可数个取值,而连续的随机变量则取无限个取值。
二、随机变量的表示随机变量的表示通常用概率密度函数 $f_X(x)$ 或概率质量函数$g_X(x)$ 表示。
概率密度函数是描述随机变量取值分布的函数,通常用$f_X(x)$ 表示。
概率质量函数是描述随机变量离散程度的函数,通常用$g_X(x)$ 表示。
三、随机变量的分布随机变量的分布描述了随机变量取值的概率分布。
离散分布描述了随机变量只取有限或可数个取值的概率分布,连续分布描述了随机变量取无限个取值的概率分布。
1. 离散分布离散分布通常用 $P(X=x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。
离散分布的概率质量函数通常用 $g_X(x)$ 表示。
例如,正态分布的概率质量函数为:$$g_X(x) = frac{sqrt{2pi}}{x!}e^{-frac{(x-1)^2}{2}}$$2. 连续分布连续分布通常用 $P(X leq x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。
连续分布的概率质量函数通常用 $f_X(x)$ 表示。
例如,均匀分布的概率质量函数为: $$f_X(x) = begin{cases}1, & x in [0,1],0, & x in [1,2],end{cases}$$四、期望和方差随机变量的期望是随机变量的取值的总和。
离散分布的期望通常用$E(X)$ 表示,连续分布的期望通常用 $E[X]$ 表示。
期望的概率质量函数通常用$f_X(x)$ 表示。
2022年人教A版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列 章末知识梳理
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
事实上，对于具体问题，若能设出 n 个事件 Ai(i＝1,2，…，n)，使之 满足AA1iA＋j＝A2∅＋…＋An＝Ω，(任意两个事件互斥，i，j＝1,2，…，n，i≠j)．(1) 就可得 B＝BΩ＝BA1＋BA2＋…＋BAn．(2)这样就便于应用概率的加法公 式和乘法公式．
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
③二项分布与超几何分布的区别：有放回抽样，每次抽取时的总体 没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复 试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样，取出一个则总体中就 少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模 型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回 抽样还是不放回抽样．
i＝1
i＝1
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
P(Ai|B)＝PAPiPBB |Ai
＝
PAiPB|Ai
k
，i＝1,2，…，n
PAkPB|Ak
i＝1
3．独立性与条件概率的关系：当 P(B)＞0 且 P(AB)＝P(A)P(B)时，
有 P(A|B)＝PPABB＝PAPPBB＝P(A)
率公式求解．
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
[解析] 解法一：记“至少出现 2 枚正面朝上”为事件 A，“恰好出 现 3 枚正面朝上”为事件 B，所求概率为 P(B|A)，事件 A 包含的基本事 件的个数为 n(A)＝C52＋C53＋C54＋C55＝26，
▲随机变量及分布知识点
随机变量及分布知识点(一)条件概率1、条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为|B A2、条件概率的计算方法：（1）按照条件概率的计算公式：()()()|P AB P B A P A =（2）考虑事件A 发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B 在这种情况下的概率例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：按照（1）的方法：设事件A 为“甲没中奖”，事件B 为“乙中奖”，则所求事件为|B A ，按照公式，分别计算()(),P AB P A ，利用古典概型可得：()25415P AB A ==，()45P A =，所以()()()1|4P AB P B A P A == 按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖。
那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为143、含条件概率的乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ ，此时()|P B A 通常用方案（2）进行计算4、处理此类问题要注意以下几点：（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。
(二)事件的相互独立性1、互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 2、对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=- 3、互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么)(21n A A A P ⋅⋅⋅++＝)()()(21n A P A P A P ⋅⋅⋅++ 4、相互独立事件的定义：设B A ,为两个事件，如果)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立（mutually in de p e n de nt ) . 事件A （或B ）是否发生对事件B （或A 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 5、相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 6、对于非独立事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+（三）离散型随机变量分布列1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件。
(完整版)随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，，，… 表示．ξη2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表()i i P x p ξ==ξx 1x 2…x i …PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1．5.求离散型随机变量的概率分布的步骤:ξ（1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(=x i )=p i ξ（36.两点分布列:ξ01P1p -p7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k ｝发生的概率为,其中(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== ，且．称分布列min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈X 01…mP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是，（k ＝0,1,2,…，n ，）．kn k k n n q p C k P -==)(ξp q -=1于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnn qp C 00111-n n qp C …kn k k n qp C -…qp C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
概率与统计的随机变量与分布知识点总结
概率与统计的随机变量与分布知识点总结概率与统计是一门研究随机事件发生规律的学科，其中重要的概念就是随机变量与分布。
随机变量是数学模型中用来描述随机现象结果的变量，而分布则是描述随机变量可能取值的概率规律。
下面将对概率与统计中的随机变量与分布的知识点进行总结。
一、随机变量的基础知识随机变量是对随机事件结果的数学描述，它可以是离散型或连续型的。
离散型随机变量的取值有限或可数，比如掷硬币的结果（正面或反面），而连续型随机变量的取值是一个区间或者实数集合，比如人的身高、温度等。
随机变量的概率分布函数（Probability Distribution Function，PDF）描述随机变量的取值及其对应的概率。
对于离散型随机变量，概率分布函数通常表示为概率质量函数（Probability Mass Function，PMF），记作P(X=x)；对于连续型随机变量，概率分布函数通常表示为概率密度函数（Probability Density Function，PDF），记作f(x)。
二、常见的随机变量与概率分布1. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布描述了一系列独立重复试验中成功次数的概率分布。
每次试验只有两个可能结果，成功和失败。
例如，抛掷硬币的结果（正面或反面）符合二项分布。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n是试验次数，p是单次试验的成功概率，k是成功次数。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的连续型随机变量分布，也称为高斯分布。
它具有钟形曲线的概率密度函数，对称分布在均值周围。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布描述了一个固定时间或空间单位内随机事件发生的次数的概率分布。
随机变量及其分布列知识点
随机变量及其分布列知识点随机变量是描述随机实验结果的数值，它可以是离散的（只能取一些离散的数值）或连续的（可以取所有的数值）。
随机变量可以用来描述实验结果的各种特征，如数量、位置、时间等。
离散随机变量的分布列是一个表格，列出了随机变量取各个值的概率。
概率可以通过实验或理论分析得出。
在计算机科学和统计学中，分布列通常被表示为一个数组或字典。
离散随机变量的分布列有以下几个重要性质：1. 概率和为1：所有随机变量取值的概率之和等于1，即P(X=x1) + P(X=x2) + ... + P(X=xn) = 12.非负性：概率永远不会为负数，即P(X=x)>=0，对于所有的x。
3.互斥性：不同取值的随机变量概率互不重叠，即P(X=x1)与P(X=x2)不重叠，对于所有的x1和x24.互斥性：如果随机变量取值是离散的，那么分布列是一个离散函数，概率只在取值点有定义。
如果随机变量是连续的，那么分布列是一个连续函数，概率在区间上有定义。
离散随机变量的分布列可以用于计算各种统计量，如期望值、方差、标准差等。
期望值是随机变量取值的加权平均，方差是随机变量取值偏离平均值的程度。
标准差是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。
在实际应用中，离散随机变量的分布列可以用来描述概率分布、事件的发生概率等。
它可以用来解决各种问题，如生活中的投资决策、经济模型的拟合、产品质量控制等。
例如，一个骰子的随机变量可以描述它可能的取值为1、2、3、4、5或6，对应的分布列是[1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]。
这个分布列可以用来计算骰子摇出特定点数的概率，以及求得骰子取值的期望值和方差。
另一个例子是二项分布，它描述了在一系列独立实验中成功次数的概率分布。
二项分布的随机变量是一个离散随机变量，它的分布列可以用来计算成功次数的概率和期望值。
连续随机变量的分布列被称为概率密度函数。
概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度，而不是概率。
高中数学知识点总结：随机变量及其分布2页
高中数学知识点总结：随机变量及其分布2页1.随机变量随机变量是定义在样本空间上的函数，它的取值是随机的。
如果随机变量只取有限个或无限个可列值，称为离散随机变量。
3.离散概率分布离散随机变量的取值及其对应的概率称为离散概率分布。
4.期望离散随机变量X的期望是各个取值与其对应的概率乘积之和，用E(X)表示。
5.方差6.二项分布重复独立地进行n次相同的试验，每次试验只有成功和失败两种可能，成功概率为p，失败概率为1-p，记X为n次试验中成功的次数，则X服从二项分布，用B(n,p)表示。
7.泊松分布在一定时间或空间内，事件发生的次数服从泊松分布，如果事件在单位时间或单位空间内出现的概率是λ，则X在一个时间或空间区间内出现x次的概率为e^(-λ)λ^x/x!。
9.概率密度函数连续随机变量X的概率密度函数是一个非负可积函数f(x)，满足积分从负无穷到正无穷等于1，即∫f(x) dx=1。
连续随机变量X的期望是∫xf(x) dx。
12.正态分布在许多自然界现象中，随机变量的分布往往服从正态分布，其概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π)) e^((-(x-μ)^2)/(2σ^2))，其中μ是期望，σ是标准差。
13.中心极限定理如果n个独立随机变量的和服从某个分布，当n趋于无穷大时，它们的和近似服从正态分布。
这就是中心极限定理。
14.卡方分布卡方分布是一种重要的概率分布，它是二项分布的极限情况。
在统计学中广泛应用，用于检验样本方差是否符合正态分布。
t分布是一种重要的概率分布，常用于小样本的统计推断，如t检验。
F分布是一种概率分布，广泛用于方差分析，也用于卡方检验、t检验等。
17.统计量统计量是由样本数据计算出来的统计量，是样本的函数，可以用于对总体进行推断，如均值、方差、相关系数等。
18.抽样分布抽样分布是一个统计量的分布，由样本数据计算得到，用于总体参数的估计和假设检验。
19.点估计点估计是使用样本数据得到总体参数的点估计值，如样本均值、样本标准差等。
概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结
概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结在概率与统计学中，随机变量是一种具有概率分布的变量，它可以用来描述不确定性的现象和事件。
随机变量的理论是概率论的核心内容之一，掌握随机变量及其分布知识点对于理解概率与统计学的基本原理及应用具有重要意义。
本文将对概率与统计中的随机变量及其分布进行知识点总结。
一、随机变量的概念与分类随机变量（Random Variable）是指对于随机试验结果的数值描述。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。
1. 离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）的取值为有限个或可数个。
常见的离散型随机变量有伯努利随机变量、二项分布随机变量、泊松随机变量等。
2. 连续型随机变量连续型随机变量（Continuous Random Variable）的取值可以是任意的实数。
通常用于表示测量结果或特定区间内的变化。
常见的连续型随机变量有均匀分布随机变量、正态分布随机变量等。
二、随机变量的分布函数与概率函数随机变量的分布函数和概率函数是描述随机变量的重要工具。
1. 分布函数分布函数（Distribution Function）是随机变量取值小于或等于某个值的概率，通常记作F(x)，其中x为随机变量的取值。
分布函数的性质包括：非递减性、右连续性、左极限性质。
2. 概率函数（密度函数）概率函数（Probability Density Function）用于描述连续型随机变量的概率分布情况，通常记作f(x)，其中x为随机变量的取值。
概率函数的性质包括：非负性、归一性。
三、常见的随机变量及其分布在概率与统计学中，有一些常见的随机变量及其分布是被广泛应用的。
1. 伯努利随机变量伯努利随机变量（Bernoulli Random Variable）是最简单的离散型随机变量，它只有两个取值，通常用来描述成功或失败的情况。
2. 二项分布随机变量二项分布随机变量（Binomial Random Variable）描述了n个独立的伯努利试验中成功的次数，其中n为试验次数，p为单次成功的概率。
概率论与数理统计随机变量及其分布小结
3
本讲内容
01 知识点归纳 02 教学要求和学习建议
02 教学要求和学习建议
(1)理解随机变量及其分布函数的概念，掌握其性质。
(2)理解离散型随机变量及其分布律的概念和性质； 熟练掌握二项分布、泊松分布等常用分布及其应用。 (3)理解连续型随机变量及其概率密度的概念和性质； 熟练掌握正态分布、指数分布和均匀分布及其应用。 (4)会利用分布律、概率密度及分布函数计算有关事 件的概率。 (5)会求简单的随机变量函数的概率分布。
概率论与数理统计
第2章 随机变量及其分布 本章小结
本讲内容
01 知识点归纳 02 教学要求和学习建议
01 知识点归纳
随机变量及其分布
分布函数 离散型随机变量
连续型随机变量
分布律 常用分布 概率密度 常用分布
二项分布 泊松分布 几何分布 超几何分布
正态分布 指数分布 均匀分布
离散型随机变量函数的分布 随机变量函数的分布
5
02 教 离散型随机变量
连续型随机变量
分布律 常用分布 概率密度 常用分布
二项分布
泊松分布
几何分布 超几何分布 正态分布
工具——掌握 使用——熟练 转换——灵活
指数分布
均匀分布
离散型随机变量函数的分布 随机变量函数的分布
连续型随机变量函数的分布
6
概率论与数理统计 学海无涯, 祝你成功！
随机变量及其分布知识点总结
随机变量及其分布知识点总结随机变量是概率论中的基础概念之一，是描述随机事件的数学模型。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量，它们分别对应两种不同的概率分布函数。
随机变量及其分布是概率论和统计学中的重要概念，掌握它们的知识对理解概率和统计学的应用至关重要。
一、随机变量的定义在概率论中，将随机试验中的所有可能结果对应的实数量称为随机变量。
可以通过随机变量的取值和概率分布函数来描述随机试验的结果。
二、随机变量的分类1. 离散随机变量如果随机变量只能取离散的值，则称其为离散随机变量。
离散随机变量的概率分布函数(discrete probability function )可以用概率质量函数(probability mass function，PMF)表示。
离散随机变量的概率分布函数具有以下性质：1) P(X = x) ≥ 0，即每个值的概率非负。
2) ΣP(X = x) = 1，即所有可能取值的概率和为1。
3) PMF可以用折线图表示。
例如：伯努利试验中，试验的结果只有两种可能性，即成功和失败。
设X为成功的次数，则X是离散随机变量。
成功的概率为p，失败的概率为1-p。
则X的概率分布函数为：P(X = k) = p^k(1-p)^(1-k), k = 0,12. 连续随机变量如果随机变量可以取任意实数值，则称其为连续随机变量。
由于随机变量可以取无限多的值，因此相对于离散随机变量，它的概率分布函数有一些特殊的性质。
连续随机变量的概率密度函数(Probability Density Function，PDF)可以用函数表示。
由于随机变量连续，因此PDF不是一条折线，而是一条连续曲线。
连续随机变量的概率分布函数具有以下性质：1) P(X = x) = 0，即连续随机变量的每个单独取值的概率为0。
2) ∫f(x)dx = 1，即PDF下的所有面积和为13) 可以用PDF曲线下的面积计算概率。
例如：假设X表示一个信号在某个时间段内的功率，则X是一个连续随机变量。
随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格6.两点分布列:7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n kM NMnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 01 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
计数原理概率随机变量及其分布知识点易错点总结高考三轮复习冲刺
计数原理、概率、随机变量及其分布一、两个计数原理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
3.两个计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事。
注意:分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终。
(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类。
(2)分步乘法计数原理中,各个步骤中的方法相互依存,步与步之间“相互独立,分步完成”。
【重点难点易错点】1.根据题目特点恰当选择一个分类标准。
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置。
2.分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复。
3.分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏。
4.一类元素允许重复选取的计数问题,可以采用分步乘法计数原理来解决,关键是明确要完成的一件事是什么。
用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时,哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据。
5.与数字有关的问题常见的有以下4类:①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”;②在某范围内的数;③各数字的和具有某种特征;④各数字满足某种关系。
6.涂色问题一般综合利用两个计数原理求解,但也有两种常用方法:按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,用分类加法计数原理分析。
二、排列与组合1.两个概念(1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
计数原理概率随机变量及其分布总结
计数原理概率随机变量及其分布总结计数原理是一种概率理论中的基本原理，用于计算一个事件集合中具有某些性质的元素的数量。
在概率论中，计数原理用于确定样本空间中每个事件的概率，从而计算总体的概率。
计数原理包括排列、组合和多重集合。
排列是指从一个集合中选取若干元素，按照一定的顺序进行排列的方法数，可以表示为n!/(n-k)!。
组合是指从一个集合中选取若干元素，不考虑它们的排列顺序的方法数，可以表示为n!/[(n-k)!k!]。
多重集合是指一个集合中每个元素出现的次数不限，选取若干元素的组合总数。
概率随机变量是指随机试验中，对于每一个结果赋予一个数字的函数。
它可以是离散型随机变量或连续型随机变量。
离散型随机变量是指随机变量只能取到有限个或可数个值的情况，如掷骰子的点数；连续型随机变量是指随机变量可以取到无限个值的情况，如身高、体重等。
概率分布是指随机变量取不同值时，对应的概率值的分布情况。
常见的离散型概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续型概率分布有正态分布、指数分布、卡方分布等。
伯努利分布是指只有两种结果的随机试验，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
其概率分布函数为f(x) = p^x(1-p)^(1-x)，其期望为E(x) = p，方差为Var(x) = p(1-p)。
二项分布是指进行n次相互独立的伯努利试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p，成功的次数为X，则X的概率分布函数为f(x) = C(n,x)p^x(1-p)^(n-x)，其期望为E(x) = np，方差为Var(x) = np(1-p)。
泊松分布是指某个时间段内某个事件发生的次数，假设每个事件发生的概率相等，但是发生次数是不确定的，符合泊松分布。
其概率分布函数为f(x) = e^(-λ)λ^x/x!，其中λ为事件发生的平均次数，其期望为E(x) = λ，方差为Var(x) = λ。
正态分布是指连续型随机变量最常用的分布，其概率密度函数为f(x) = 1/(σ√(2π))e^-((x-μ)^2/2σ^2)，其中μ为期望，σ为标准差，其期望和方差分别为E(x) = μ，Var(x) = σ^2。
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圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理
一、离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率
()i i P X x p ==，则称以下表格
为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+= 1．两点分布
则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：
(),0,1,2,3,...,k n k M N M
n
N
C C P X k k m C --===
{}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。
注：超几何分布的模型是不放回抽样 二、条件概率
一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()
(|)()
P AB P B A P A =
为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤
如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+U 三、相互独立事件
设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。
()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立
一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =.
注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；
(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. 四、n 次独立重复试验
一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.
在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征
第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；
第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. n 次独立重复试验的公式：
n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为
()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k
n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功概率.
五、二项分布
一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则
()(1)0,1,2,,k k
n k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，
此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(
,)X B n p ，并称p 为成功概率.
六、离散随机变量的均值（数学期望） 则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++
为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
则()EY aE X b =+，即()()E aX b aE X b +=+ 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么
()=10(1)E X p p p ⨯+⨯-=
即若X 服从两点分布，则()E X p =
3．若
~(,)
X B n p ，则()E X np =
七、离散型随机变量取值的方差和标准差 221122(())(())((.
n DX x E X p x E X p x E X X =-+-+⋅⋅⋅+-则称的标准差
1．若X 服从两点分布，则()(1)D X p p =- 2．若~(,)X B n p ，则()(1)D X np p =- 3．2
()()D aX b a D X +=。