平面向量的基本定理及坐标运算

平面向量的基本定理及坐标运算

【考纲要求】

1、了解平面向量的基本定理及其意义.

2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】

一、平面向量基本定理

如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示

在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标.

规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无

关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算

1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++.

2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --.

3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.

4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ.

5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ⇔-=（斜乘相减等于零）

6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件

1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景）

2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件

1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ=

2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是

(1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈.

特别地，当12

λμ==时，P 是AB 中点。

六、温馨提示

1、向量的坐标表示体现了数形结合的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题，因此解题过

程中应注意使用数形结合的思想方法。

2、向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

【例题精讲】

例1：如图所示，已知ABC ∆中()8,7A 、()5,3B 、()3,4C ，M 、N 是AB 、CD 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于F ，求DF .

例2：已知()2,1=，()2,3-=，当k 为何值时，k +与3-平行平地时它们是同向还是反向

平面向量的基本定理及坐标运算 【基础精练】

1．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是（ ） A ．(－4，12) B ．(4，－1

2

) C ．(－8，1)

D ．(8，1)

2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．(－1，－32) C ．(1，3

2

)

D ．(8，－1)

3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )

A ．(2，72)

B ．(2，－1

2

) C ．(3，2)

D ．(1，3)

4．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(1

2

，1＋sin θ)，且a ∥b ，则锐角θ等于

（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

5．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，

若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2

b

的最小值是( )

A．2 B．4 C．6 D．8

6．直角坐标系xOy中，AB→＝(2,1)，AC→＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是( )

A．1 B．2 C．3

D．4

7．l1、l2是不共线向量，且a＝－l1＋3l2，b＝4l1＋2l2，c＝－3l1＋12l2，若b、为一组基底，则＝_____.

8．已知向量＝(3，1)，＝(1，3)，＝(k，7)，若(－)∥，则k＝________. 9．若向量＝(1，2)，＝(x，1)，＝＋2，＝2－且∥，则x＝__________.

10．已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(2cosα，2sinα)(α∈R)，实数m、n满足m a＋n b＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为__________．

11．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)．

(1)若点A、B、C能够成三角形，求实数m应满足的条件；

(2)若点A、B、C构成以∠A为直角的直角三角形，求m的值．

【拓展提高】

1．设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．