[0088]《数学分析选讲》

[0088]《数学分析选讲》 第一次作业

[论述题]1346658460111.doc 《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业

一、判断下列命题的正误

1. 若数集S 存在上、下确界，则inf su p S S ≤.

2. 收敛数列必有界.

3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷.

5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. 二、选择题 1．设2,1

()3,1

x x f x x x -≤⎧=⎨

->⎩, 则 [(1)]f f =( ) .

A 3- ；

B 1- ；

C 0 ；

D 2

2．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2

||2n x a ε-≤”是数列

}{n x 收敛于a 的（ ）.

A 充分必要条件；

B 充分条件但非必要条件；

C 必要条件但非充分条件；

D 既非充分又非必要条件 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；

C 必定有无穷多个 ；

D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）．

A 收敛；

B 发散；

C 是无穷大；

D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞

→||lim ，则 （ ）

A 数列}{n x 收敛；

B a x n n =∞

→lim ；

C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散；

D a x n n -=∞

→lim ；

6．若函数)(x f 在点0x 极限存在，则（ ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值； B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值； C )(x f 在0x 的函数值可以不存在；

D 如果)(0x f 存在的话必等于函数值

7．下列极限正确的是（ ） A 0

1lim sin

1x x x →=； B sin lim 1x x x →∞=； C 1lim sin 0x x x

→∞=； D 01lim sin 1x x x →=

8． 11

21lim

21

x

x x

→-=+（ ）

A 0；

B 1 ；

C 1- ；

D 不存在

三、计算题

1．求极限 90

20

70)15()58()63(lim --++∞→x x x x .

2．求极限 21

1lim(

)2

x x x x +→∞

+-. 3．

求极限2

1n n →∞

++

+ .

4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f x

x

x

x n 的连续性.若有间断点指出其类型. 四、证明题

设a a n n =∞

→lim ，b b n n =∞

→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有

n n b a <.

参考答案：1346658460112.doc

《数学分析选讲》第一次主观题作业答案

一、判断题 1．（正确） 2．（ 正确 ） 3．（错误 ） 4．（ 正确 ） 5．（ 正确） 二、 选择题

1、A

2、A

3、B

4、B

5、C

6、C

7、D

8、D 三、计算题

解 1、90

20

709020

7090

20

70583155863lim )15()58()63(lim

⋅=⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

-⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=--++∞

→+∞→x x x x x x x x

2、211lim()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211x x x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21x

x x x →∞⎛

⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)

21[(1)]lim 2[(1)]x x x x x

→∞-

-+- 2

64e e e

-==. 3、解：因

2

1n ≤

+

+

≤

+

1n n

==， 故 2

1

1n n →∞

+

+

=+。

4、 当0x <时，有221

()lim lim 11

x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.

而(0)0f =，所以1,0

()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪

===⎨⎪>⎩

。所以0是f 的跳跃间断点.

四、证明题

证 由b a <，有b b a a <+<

2. 因为2

lim b

a a a n n +<

=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<。 又因为2

lim b

a b b n n +>=∞→，所以，又存在

02>N ，使得当2N n >时有2

b

a b n +>. 于是取},m ax {21N N N =，当N n >时，有

n n b b a a <+<2

.

[判断题]两个收敛数列的和不一定收敛 参考答案：错误

[单选题]设数列{An}收敛，数列{Bn}发散，则数列{AnBn} A ：收敛B ：发散C ：是无穷大D ：可能收敛也可能发散参考答案：D

[判断题]收敛数列必有界 参考答案：正确

[判断题]两个（相同类型的）无穷小量的和一定是无穷小量 参考答案：正确 [判断题]若函数在某点无定义，则在该点的极限不存在 参考答案：错误

[单选题]设 f,g 为区间 (a,b)上的递增函数，则 min{f(x),g(x)}是(a,b) 上的 A ：递增函数B ：递减函数C ：严格递增函数D ：严格递减函数参考答案：A