高一数学必修一知识点

y
f(x1) f(x ) 2 x2 x o x1
3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
设值 作差变形 判断差符号 下结论
简单函数的单调性
1、一次函数 y=kx+b 2、二次函数 y=ax^2+bx+c
3、反比例函数 y=k/x
4、指数函数 y=a^x 5、对数函数 y=logax 6、幂函数 y=x^a
(1)
(2)
(3)
当 a≥1 时， 函数图象如图(1)所示， 函数 f(x)在区间[－1， 1]上是减函数，最小值为 f(1)＝3－2a； 当－1<a<1 时， 函数图象如图(2)所示， 函数 f(x)在区间[－ 1，1]上是先减后增，最小值为 f(a)＝2－a2； 当 a≤－1 时， 函数图象如图(3)所示， 函数 f(x)在区间[－ 1，1]上是增函数，最小值为 f(－1)＝3＋2a.
例题：
2 例1.已知函数y= （x∈[2，6]），求函数 x-1 的最大值和最小值。
f(x1)-f(x2) = 2 2 x1-1 x2-1 2(x2-x1) = (x1-1)(x2-1) 2[(x2-1)-(x1-1)] = (x1-1)(x2-1)
解：设x1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1<x2，则
奇函数里的定值：如果奇函数y=f(x)的 定义域内有0，则f(0)=0.
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义 域是否关于原点对称； ②确定f(-x)与f(x)的关系； ③作出相应结论： 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数； 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
2
2
(2) y t
3
3
(3) y x
x (4) y x
2
反比例函数
k>0
1、定义域 2、值域 3、单调性 4、图象 .
k y x
k<0
(, 0）（ 0，+）
(,0）（ 0，+）
递减(,0)， (0，+)
递增(,0)， (0，+)
二次函数 y ax bx c
∵2≤x2<x1≤6，∴x - x >0 , (x -1)(x -1)>0 2 1 1 2 于是f(x1)-f(x2)>0，即：f(x1)>f(x2) 2 所以函数y= x-1 在区间[2，6]上是减函数。 因此函数在 x=2 时取得最大值，最大值是 2 ▁ 在 x=6 时取得最小值，最小值是 0.4 。
f -3
一个函数的三要素为：定义域、对应关 系和值域，值域是由对应法则和定义域 决定的
判断两个函数相等的方法： 1、定义域是否相等 （定义域不同的函数，不是相等的函数） 2、对应法则是否一致 （对应关系不同，两个函数也不同）
例、下列函数中哪个与函数y=x相等
(1) y
x
【自主解答】 (1)因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(－0)＝－f(0)，即 f(0)＝0.2 分 (2)当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－ 2x2－3x＋1.由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－f(－x)，所以 f(x)＝ 2x2＋3x－1，x<0.10 分 (3)函数 f(x)在 R 上的解析式为 －2x2＋3x＋1，x>0， x＝0， f(x)＝0， 2x2＋3x－1，x<0.

练习(二次函数)
若二次函数 f ( x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递 增，求a的取值范围。
y y

o1
x
o 1
x
a 解：二次函数 f ( x) x ax 4的对称轴为 x , 2 a 由图象可知只要 x 1 ，即 a 2 即可. 2
如果函数的定义域不关于原点对称，则 此函数既不是奇函数，又不是偶函数。 奇函数关于原点对称的两个区间上的
单调性一致；偶函数则相反。
Leabharlann Baidu
利用函数的奇偶性求解析式
已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求： (1)f(0)； (2)当 x<0 时，f(x)的解析式； (3)f(x)在 R 上的解析式．
函数的三要素：定义域，值域，对应法则
使函数有意义的x的取值范围。
求 定 义 域 的 主 要 依 据
1、分式的分母不为零.
2、偶次方根的被开方数大于等于零.
3、零次幂的底数不为零.
4、对数函数的真数大于零.
5、指、对数函数的底数大于零且不为1.
6、实际问题中函数的定义域
例1 求函数
2 x y 的定义域。 lg x
2
已知函数 f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数 f(x) 的最小值．
【思路点拨】
抛物线开口方向确定，对称轴不确定，
需根据对称轴的不同情况分类讨论．可画出二次函数相关部 分的简图，数形结合解决问题．
【规范解答】 f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2 的图象 开口向上，且对称轴为直线 x＝a.
2
a>0
1、定义域 2、值域 .
4ac b 2 [ , ) 4a b b ( , ]减 , [- ,) 增 2a 2a
a<0
R.
4ac b 2 ( , ] 4a
( , b b ]增 ,[ ,) 减 2a 2a
3、单调性
4、图象
函数的性质：单调性
y
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
{
}
知全集 U＝R，若集合 A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2<x≤6}， 则(结果用区间表示) (1)求 A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)； (2)若集合 C＝{x|x>a}，A C，求 a 的取值范围．
例1已知集合A＝{x |－2≤x≤5}， 集合B＝{x | m＋1≤x≤2m－1}， 若 B A ，求m的取值范围. （1）B为空集（2）B不为空集
1、图像法，2 、 配方法，3、观察法， 4、分离常数法，5、换元法，6单调性法。
x+2, (x≤－1)
1、已知函数f (x)=
x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x的值是( D ) 3 B. 1或 2 A. 1 3 C. 1, 3 , 2 D. 3
log 3 x, x 0 已知f x 1 x , 求f , x 0 3
已知定义在[-4,4]上的奇函数f(x)为减函数，且f(12a)+f(-a)>0,求实数a的取值范围
最值：
一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果存 在实数M满足： （1）对于任意的 x∈I , 都有 f(x)≤M ； （2）存在 x0∈I ，使得 f(x0)=M . 那么，称M是函数 y=f(x) 的最大值.
f (x 1 1 ) x 2 2 2求f(x). x x
待定系数法、换元法、配凑法
求值域的一些方法：
a) c)
2x 1 y x 1
b) y x 4x 3, 0 x 3
2
y 2 x 1 2x
d) y log3 ( x 3) x 6,12
2.已知x {1, 2, x }, 则x 0或2
2
知识 结构 概念 三要素 函 数
大小比较
图象 性质
指数函数 对数函数
方程解的个数
应用
不等式的解
实际应用
函数的概念
A.B是两个非空的集合,如果按照 某种对应法则f，对于集合A中的 每一个元素x，在集合B中都有唯 一的元素y和它对应，这样的对 应叫做从A到B的一个函数。
求定义域
1 (1) y x 1 2 x 2 x 3 0 (2) y (x ) 2 x2 (3) y log2 (2 x 1)
求函数解析式的方法：
1, 已知 f ( x 1) x 3 x 求f(x).
2, 已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x+3求f(x). 3，已知
3.集合间的关系:
子集：AB任意x∈A x∈B. AB x∈A，x∈B，但存在 真子集： x0∈B且x0A. 集合相等：A＝B AB且BA. 空集：. 性质：①A，若A非空， 则A.


子集、真子集个数： 一般地，集合A含有n个元素， 则A的子集共有 2n 个; A的真子集共有 2n－1 个; A的非空子集 2n-1 个; A的非空真子集 2n-2 个.
4.并集: A B {x | x A，或x B} 5.交集: A B {x | x A，且x B}
A B A B
A B
A B
6.全集: 7.补集:
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.
U
A ={x|x U，且x A}
AU
U
U A
U
A U
A
类比并集的相关性质
1: A B A B A
2: A B A B A
练习
2 } 2.已知集合 M { 集合 { N yy x ， x M} - 1， 1， 2 则M ∩N 是( B )
A
{ 1， 2， 4}
B{1 }
C{1，2}
DΦ
x { M y | y 2 , x R}, N x | y 1 log 3 x 变式：
x1 , x2 (0,) x1 x2 0 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0 x1 x2 x2 x1 0
x2 x1 x1 x2
－1
x
1 函数 f ( x) 在(0, )上是减函数 . x
例1：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+∞)上 是增函数还是减函数？并证明你的结论。
证明： 设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
1 f ( x2 ) x2 1 1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 1 f ( x1 ) , x1
y
－1 1
O
1
f（x）在定义域 上是减函数吗？
单调性（复合函数） ①当a>1时，f(x)=ag(x)的单调性与g(x)相同; ②当0<a<1时，f(x)=ag(x)的单调性与g(x)相反;
函数y 3
x2 5 x 4
的单调增区间是（） D 5 B.(, ) 2 5 D.( , ) 2
5 A.(, ) 2 5 C.( , ) 2
集合结构图
列举法 描述法 图示法 子集 真子集 交集 并集 补集
集合含义与表示
集合间关系
集合基本运算
集合
1.集合中元素的性质:
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的. (2)互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的. (3)无序性：集合中的元素是没有先后顺序的.
2.常用的数集及其记法
自然数集（非负整数集）：记作 N 正整数集：记作N*或N+ （不含0） 整数集：记作 Z 有理数集：记作 Q 实数集：记作 R （含0）
y=f(x)
f(x1) o x1 f ( x2 ) x2 x y=f(x)
如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是减函数.
几何意义： 函数 y=f(x) 的最大值是图象最高点的纵坐标.
最值：
一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果存 在实数M满足： （1）对于任意的 x∈I , 都有 f(x)≥M ； （2）存在 x0∈I ，使得 f(x0)=M . 那么，称M是函数 y=f(x) 的最小值. 几何意义： 函数 y=f(x) 的最小值是图象最低点的纵坐标.
一、函数的奇偶性定义
前提条件：定义域关于原点对称。
1、奇函数
2、偶函数
f (-x)= - f (x)
f (-x) = f (x)
或 f (-x)+f (x) = 0
或f (-x) - f (x) = 0
二、奇函数、偶函数的图象特点
1、奇函数的图象关于原点成中心对称图形。
2、偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。